Как решаются числовые выражения. Числовые выражения, преобразование! Условия для выражения, которое не имеет смысла

На этом уроке вы рассмотрите тему «Числовые выражения. Сравнение числовых выражений». Данное занятие познакомит вас с определением числовых выражений. Вы узнаете, что числовые выражения можно прочитать. Также вы научитесь находить их значение и сравнивать. Несколько практических примеров помогут закрепить вам изученный материал.

Урок: Числовые выражения. Сравнение числовых выражений

Посмотрите на данные выражения и постарайтесь найти среди них лишнее.

20 + а
с + 7
6 + 8
15 - (10 + 2)
18 > 9

Лишней является запись 18 > 9 (18 больше 9). Как вы думаете почему?

Правильный ответ: потому что только в ней использован знак сравнения. Во всех остальных использованы знаки действия.

Записанные выражения можно разделить на две группы:

Буквенные выражения Числовые выражения
20 + a 6 + 8
c + 7 15 - (10 + 2)

Буквенные выражения - это выражения, в которых используются буквы латинского алфавита.

Числовые выражения - числа, соединенные знаками действия. Числовые выражения можно прочитать.

6 + 8 …(сумма 6 и 8)

15 - (10 + 2)…(из 15 вычесть сумму 10 и 2)

Найдем значения выражений:

15 - (10 + 2) = …
Сначала выполняем действие, записанное в скобках. К 10 прибавляем 2.
10 + 2 = 12
Теперь нужно из 15 вычесть 12.
15 - 12 = 3
15 - (10 + 2) = 3

Теперь выполним задание:

Мы повторили, что значит найти значение числового выражения.

Теперь мы должны научиться сравнивать числовые выражения. Сравнить числовое выражение - найти значение каждого из выражений и их сравнить.

Давайте сравним значения двух выражений. Для этого найдем значения каждого из них.

Теперь сравним значения еще двух выражений:

В данной статье рассмотрено, как находить значения математических выражений. Начнем с простых числовых выражений и далее будем рассматривать случаи по мере возрастания их сложности. В конце приведем выражение, содержащее буквенные обозначения, скобки, корни, специальные математические знаки, степени, функции и т.д. Всю теорию, по традиции, снабдим обильными и подробными примерами.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Как найти значение числового выражения?

Числовые выражения, помимо прочего, помогают описывать условие задачи математическим языком. Вообще математические выражения могут быть как очень простыми, состоящими из пары чисел и арифметических знаков, так и очень сложными, содержащими функции, степени, корни, скобки и т.д. В рамках задачи часто необходимо найти значение того или иного выражения. О том, как это делать, и пойдет речь ниже.

Простейшие случаи

Это случаи, когда выражение не содержит ничего, кроме чисел и арифметических действий. Для успешного нахождения значений таких выражений понадобятся знания порядка выполнения арифметических действий без скобок, а также умение выполнять действия с различными числами.

Если в выражении есть только числа и арифметические знаки " + " , " · " , " - " , " ÷ " , то действия выполняются слева направо в следующем порядке: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание. Приведем примеры.

Пример 1. Значение числового выражения

Пусть нужно найти значения выражения 14 - 2 · 15 ÷ 6 - 3 .

Выполним сначала умножение и деление. Получаем:

14 - 2 · 15 ÷ 6 - 3 = 14 - 30 ÷ 6 - 3 = 14 - 5 - 3 .

Теперь проводим вычитание и получаем окончательный результат:

14 - 5 - 3 = 9 - 3 = 6 .

Пример 2. Значение числового выражения

Вычислим: 0 , 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12 .

Сначала выполняем преобразование дробей, деление и умножение:

0 , 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 · 11 12

1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 · 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 · 4 11 · 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 9 .

Теперь займемся сложением и вычитанием. Сгруппируем дроби и приведем их к общему знаменателю:

1 2 - (- 14) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .

Искомое значение найдено.

Выражения со скобками

Если выражение содержит скобки, то они определяют порядок действий в этом выражении. Сначала выполняются действия в скобках, а потом уже все остальные. Покажем это на примере.

Пример 3. Значение числового выражения

Найдем значение выражения 0 , 5 · (0 , 76 - 0 , 06) .

В выражении присутствуют скобки, поэтому сначала выполняем операцию вычитания в скобках, а уже потом - умножение.

0 , 5 · (0 , 76 - 0 , 06) = 0 , 5 · 0 , 7 = 0 , 35 .

Значение выражений, содержащих скобки в скобках, находится по такому же принципу.

Пример 4. Значение числового выражения

Вычислим значение 1 + 2 · 1 + 2 · 1 + 2 · 1 - 1 4 .

Выполнять действия будем начиная с самых внутренних скобок, переходя к внешним.

1 + 2 · 1 + 2 · 1 + 2 · 1 - 1 4 = 1 + 2 · 1 + 2 · 1 + 2 · 3 4

1 + 2 · 1 + 2 · 1 + 2 · 3 4 = 1 + 2 · 1 + 2 · 2 , 5 = 1 + 2 · 6 = 13 .

В нахождении значений выражений со скобками главное - соблюдать последовательность действий.

Выражения с корнями

Математические выражения, значения которых нам нужно найти, могут содержать знаки корня. Причем, само выражение может быть под знаком корня. Как быть в таком случае? Сначала нужно найти значение выражения под корнем, а затем извлечь корень из числа, полученного в результате. По возможности от корней в числовых выражениях нужно лучше избавляться, заменяя из на числовые значения.

Пример 5. Значение числового выражения

Вычислим значение выражения с корнями - 2 · 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 · 2 , 2 + 0 , 1 · 0 , 5 .

Сначала вычисляем подкоренные выражения.

2 · 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 = - 6 - 1 + 15 3 = 8 3 = 2

2 , 2 + 0 , 1 · 0 , 5 = 2 , 2 + 0 , 05 = 2 , 25 = 1 , 5 .

Теперь можно вычислить значение всего выражения.

2 · 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 · 2 , 2 + 0 , 1 · 0 , 5 = 2 + 3 · 1 , 5 = 6 , 5

Часто найти значение выражения с корнями часто нужно сначала провести преобразование исходного выражения. Поясним это на еще одном примере.

Пример 6. Значение числового выражения

Сколько будет 3 + 1 3 - 1 - 1

Как видим, у нас нет возможности заменить корень точным значением, что усложняет процесс счета. Однако, в данном случае можно применить формулу сокращенного умножения.

3 + 1 3 - 1 = 3 - 1 .

Таким образом:

3 + 1 3 - 1 - 1 = 3 - 1 - 1 = 1 .

Выражения со степенями

Если в выражении имеются степени, их значения нужно вычислить прежде, чем приступать ко всем остальным действиям. Бывает так, что сам показатель или основание степени являются выражениями. В таком случае, сначала вычисляют значение этих выражений, а затем уже значение степени.

Пример 7. Значение числового выражения

Найдем значение выражения 2 3 · 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3 , 5 - 2 · 1 4 .

Начинаем вычислять по порядку.

2 3 · 4 - 10 = 2 12 - 10 = 2 2 = 4

16 · 1 - 1 2 3 , 5 - 2 · 1 4 = 16 * 0 , 5 3 = 16 · 1 8 = 2 .

Осталось только провести операцию сложение и узнать значение выражения:

2 3 · 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3 , 5 - 2 · 1 4 = 4 + 2 = 6 .

Также часто целесообразно бывает провести упрощение выражения с использованием свойств степени.

Пример 8. Значение числового выражения

Вычислим значение следующего выражения: 2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6 .

Показатели степеней опять таковы, что их точные числовые значения получить не удастся. Упростим исходное выражение, чтобы найти его значение.

2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 · 2 2 5 - 1 + 3 1 3 · 6

2 - 2 5 · 2 2 5 - 1 + 3 1 3 · 6 = 2 - 2 5 · 2 2 · 5 - 2 + 3 2 = 2 2 · 5 - 2 - 2 5 + 3 2

2 2 · 5 - 2 - 2 5 + 3 2 = 2 - 2 + 3 = 1 4 + 3 = 3 1 4

Выражения с дробями

Если выражение содержит дроби, то при вычислении такого выражения все дроби в нем нужно представить в виде обыкновенных дробей и вычислить их значения.

Если в числителе и знаменателе дроби присутствуют выражения, то сначала вычисляются значения этих выражений, и записывается финальное значение самой дроби. Арифметические действия выполняются в стандартном порядке. Рассмотрим решение примера.

Пример 9. Значение числового выражения

Найдем значение выражения, содержащего дроби: 3 , 2 2 - 3 · 7 - 2 · 3 6 ÷ 1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 .

Как видим, в исходном выражении есть три дроби. Вычислим сначала их значения.

3 , 2 2 = 3 , 2 ÷ 2 = 1 , 6

7 - 2 · 3 6 = 7 - 6 6 = 1 6

1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 = 1 + 2 + 3 9 - 3 = 6 6 = 1 .

Перепишем наше выражение и вычислим его значение:

1 , 6 - 3 · 1 6 ÷ 1 = 1 , 6 - 0 , 5 ÷ 1 = 1 , 1

Часто при нахождении значений выражений удобно бывает проводить сокращение дробей. Существует негласное правило: любое выражение перед нахождением его значения лучше всего упростить по максимуму, сводя все вычисления к простейшим случаям.

Пример 10. Значение числового выражения

Вычислим выражение 2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 .

Мы не можем нацело извлечь корень из пяти, однако можем упростить исходное выражение путем преобразований.

2 5 - 1 = 2 5 + 1 5 - 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 - 1 = 2 5 + 2 4

Исходное выражение принимает вид:

2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 .

Вычислим значение этого выражения:

2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 - 2 5 + 7 4 - 3 = 9 4 - 3 = - 3 4 .

Выражения с логарифмами

Когда в выражении присутствуют логарифмы, их значение, если это возможно, вычисляется с самого начала. К примеру, в выражении log 2 4 + 2 · 4 можно сразу вместо log 2 4 записать значение этого логарифма, а потом выполнить все действия. Получим: log 2 4 + 2 · 4 = 2 + 2 · 4 = 2 + 8 = 10 .

Под самим знаком логарифма и в его основании также могут находится числовые выражения. В таком случае, первым делом находятся их значения. Возьмем выражение log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 . Имеем:

log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 = log 3 27 + 7 = 3 + 7 = 10 .

Если же вычислить точное значение логарифма невозможно, упрощение выражения помогает найти его значение.

Пример 11. Значение числового выражения

Найдем значение выражения log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0 , 2 27 .

log 2 log 2 256 = log 2 8 = 3 .

По свойству логарифмов:

log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2 · 3) = log 6 6 = 1 .

Вновь применяя свойства логарифмов, для последней дроби в выражении получим:

log 5 729 log 0 , 2 27 = log 5 729 log 1 5 27 = log 5 729 - log 5 27 = - log 27 729 = - log 27 27 2 = - 2 .

Теперь можно переходить к вычислению значения исходного выражения.

log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0 , 2 27 = 3 + 1 + - 2 = 2 .

Выражения с тригонометрическими функциями

Бывает, что в выражении есть тригонометрические функции синуса, косинуса, тангенса и котангенса, а также функции, обратные им. Из значения вычисляются перед выполнением всех остальных арифметических действий. В противном случае, выражение упрощается.

Пример 12. Значение числового выражения

Найдите значение выражения: t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ .

Сначала вычисляем значения тригонометрических функций, входящих в выражение.

sin - 5 π 2 = - 1

Подставляем значения в выражение и вычисляем его значение:

t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ = 3 2 - (- 1) + (- 1) = 3 + 1 - 1 = 3 .

Значение выражения найдено.

Часто для того, чтобы найти значение выражения с тригонометрическими функциями, его предварительно нужно преобразовать. Поясним на примере.

Пример 13. Значение числового выражения

Нужно найти значение выражения cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 .

Для преобразования будем использовать тригонометрические формулы косинуса двойного угла и косинуса суммы.

cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 = cos 2 π 8 cos 5 π 36 + π 9 - 1 = cos π 4 cos π 4 - 1 = 1 - 1 = 0 .

Общий случай числового выражения

В общем случае тригонометрическое выражение может содержать все вышеописанные элементы: скобки, степени, корни, логарифмы, функции. Сформулируем общее правило нахождения значений таких выражений.

Как найти значение выражения

1. Корни, степени, логарифмы и т.д. заменяются их значениями.
2. Выполняются действия в скобках.
3. Оставшиеся действия выполняются по порядку слева направо. Сначала - умножение и деление, затем - сложение и вычитание.

Разберем пример.

Пример 14. Значение числового выражения

Вычислим, чему равно значение выражения - 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 .

Выражение довольно сложное и громоздкое. Мы не случайно выбрали именно такой пример, постаравшись уместить в него все описанные выше случаи. Как найти значение такого выражения?

Известно, что при вычислении значения сложного дробного вида, сначала отдельно находятся значения числителя и знаменателя дроби соответственно. Будем последовательно преобразовывать и упрощать данное выражение.

Первым делом вычислим значение подкоренного выражения 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 . Чтобы сделать это, нужно найти значение синуса, и выражения, которое является аргументом тригонометрической функции.

π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 = π 6 + 2 · 2 π + 3 π 5 = π 6 + 2 · 5 π 5 = π 6 + 2 π

Теперь можно узнать значение синуса:

sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 = sin π 6 + 2 π = sin π 6 = 1 2 .

Вычисляем значение подкоренного выражения:

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 2 · 1 2 + 3 = 4

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 4 = 2 .

Со знаменателем дроби все проще:

Теперь мы можем записать значение всей дроби:

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 = 2 2 = 1 .

С учетом этого, запишем все выражение:

1 + 1 + 3 9 = - 1 + 1 + 3 3 = - 1 + 1 + 27 = 27 .

Окончательный результат:

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 = 27 .

В данном случае мы смогли вычислить точные значения корней, логарифмов, синусов и т.д. Если такой возможности нет, можно попробовать избавиться от них путем математических преобразований.

Вычисление значений выражений рациональными способами

Вычислять значения числовых нужно последовательно и аккуратно. Данный процесс можно рационализировать и ускорить, используя различные свойства действий с числами. К примеру, известно, что произведение равно нулю, если нулю равен хотя бы один из множителей. С учетом этого свойства, можно сразу сказать, что выражение 2 · 386 + 5 + 589 4 1 - sin 3 π 4 · 0 равно нулю. При этом, вовсе не обязательно выполнять действия по порядку, описанному в статье выше.

Также удобно использовать свойство вычитания равных чисел. Не выполняя никаких действий, можно заказать, что значение выражения 56 + 8 - 3 , 789 ln e 2 - 56 + 8 - 3 , 789 ln e 2 также равно нулю.

Еще один прием, позволяющий ускорить процесс - использование тождественных преобразований таких как группировка слагаемых и множителей и вынесение общего множителя за скобки. Рациональный подход к вычислению выражений с дробями - сокращение одинаковых выражений в числителе и знаменателе.

Например, возьмем выражение 2 3 - 1 5 + 3 · 289 · 3 4 3 · 2 3 - 1 5 + 3 · 289 · 3 4 . Не выполняя действий в скобках, а сокращая дробь, можно сказать, что значение выражения равно 1 3 .

Нахождение значений выражений с переменными

Значение буквенного выражения и выражения с переменными находится для конкретных заданных значений букв и переменных.

Нахождение значений выражений с переменными

Чтобы найти значение буквенного выражения и выражения с переменными, нужно в исходное выражение подставить заданные значения букв и переменных, после чего вычислить значение полученного числового выражения.

Пример 15. Значение выражения с переменными

Вычислить значение выражения 0 , 5 x - y при заданных x = 2 , 4 и y = 5 .

Подставляем значения переменных в выражение и вычисляем:

0 , 5 x - y = 0 , 5 · 2 , 4 - 5 = 1 , 2 - 5 = - 3 , 8 .

Иногда можно так преобразовать выражение, чтобы получить его значение независимо от значений входящих в него букв и переменных. Для этого от букв и переменных в выражении нужно по возможности избавиться, используя тождественные преобразования, свойства арифметических действий и все возможные другие способы.

Например, выражение х + 3 - х, очевидно, имеет значение 3 , и для вычисления этого значения совсем необязательно знать значение переменной икс. Значение данного выражения равно трем для всех значений переменной икс из ее области допустимых значений.

Еще один пример. Значение выражения x x равно единице для всех положительных иксов.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

В пп. 8.2.1 было показано, что алгебраические понятия являются средствами обобщения, языком описания арифметических действий. Понятие математического выражения иной природы, чем понятия сложения, вычитания, умножения и деления. Отношения между эти­ми понятиями можно считать отношениями формы и содержания: математические выражения являются одной из форм знакового, пись­менного обозначения арифметических действий. Числовое выраже­ние можно считать также одной из форм числа, так как каждое чис­ловое выражение имеет единственное числовое значение - число.

Выражения появляются в обучении математике, как только в пер­вом классе появляются записи вида 2 + 3, 4 - 3 при изучении дей-

ствий сложения и вычитания. Вначале их так и называют: запись сложения, запись вычитания. Как известно, эти записи имеют и име­на собственные: «сумма», «разность», которые могут быть введены на одном уроке вместе с соответствующими действиями или через некоторое время. А понятие выражения предметом изучения следует делать только после того, как у учащихся уже будет некоторый прак­тический опыт действий с такими записями. При этом учитель может использовать термин «выражение» в своей речи, не требуя от де­тей его употребления, но вводя его в пассивную лексику учащихся. Именно так происходит, когда повседневной жизни, когда дети слы­шат новое слово, отнесенное к визуально выделенному объекту. На­пример, указывая на записи сложения и вычитания через несколько уроков после введения этих действий, учитель говорит: «Прочитайте эти записи, эти выражения: …», «Найдите в учебнике под № … вы­ражение, в котором из семи нужно вычесть три. …», «Рассмотрите эти выражения (показывает на доске). Прочитайте то, которое по­зволяет найти число, на 3 большее чем 5, в котором есть число, на 3 большее чем 5; на 3 меньшее чем 5».

При изучении числовых выражений в начальной школе рассма­тривают следующие понятия и способы действий.

Понятия: математическое выражение, числовое выражение (выражение), виды числовых выражений (в одно действие и в не­сколько действий; со скобками и без скобок; содержащие действия одной ступени и действия двух ступеней); числовое значение выра­жения; правила порядка действий; сравнение отношений.

Способы действий: чтение выражений в одно - два дей­ствия; запись выражений под диктовку в одно - два действия; определение порядка действий; вычисление значения выражений по правилам порядка действий; сравнение двух числовых выра­жений; преобразование выражений - замена одного выражения равным ему другим на основе свойств действий.

Введение понятий. Урок введения понятия выражения полезно начать с обсуждения записей. Какие бывают записи? Зачем люди пи­шут? Зачем вы учитесь писать? Какие записи мы делаем при изуче­нии математики? (Дети обращаются к своим тетрадям, к учебнику, к заранее подготовленным карточкам с примерами записей из тех, которые за период обучения делали учащиеся.) На какие группы можно разделить записи при изучении математики?

В результате такого обсуждения акцентируем внимание на двух основных группах записей: запись чисел и запись арифметических действий. Записи арифметических действий, в свою очередь, делим на две группы: без вычислений и с вычислениями, т. е. вида 2 + 3 и 2 + 3 = 5. На основании этой классификации сообщаем учащимся, что за­пись сложения и вычитания вида 2 + 3и7-5,а также любую запись составленную из таких записей, например, 2 + 3-4, 7 - 5 - 1 и подоб­ные им, принято называть (договорились называть) математическим

выражением, или просто выражением. Далее, как и при введении других понятий, необходимо выполнение заданий на распознавание, обучение универсальному учебному действию - распознаванию объ­ектов, относящихся к изучаемому понятию. В число распознаваемых объектов должны быть включены такие, которые обладают не всеми общими (существенными) свойствами понятия и потому не представ­ляют данное понятие и подпадающие под понятие, но обладающие разными вариативными (несущественными) свойствами. Например: 17 - 10, 17 - 10 =, 17 -10 = 7, 17 -; 17 - 5 + 4, 23 - 5 - 4, 23 - (5 + 4), 0 + 0, 18-2-2-2-2-2-2, 18-6= 18-3-3 = 15-3 = 12.

Так как записи, называемые выражениями, уже использовались, читались и записывались учащимися, нужно обобщить способы чтения рассматриваемых выражений. Например, выражение 17 - 10 может быть прочитано как «разность чисел 17 и 10», как задание - «из 17 вычесть 10», «уменьшить число 17 на 10» или «найти число, меньшее семнадцати на десять» и по подобным названиям научаем учащихся записывать выражения. В дальнейшем вопросы: как про­читать записанное выражение и как записать названное выражение обсуждаются с появлением новых видов выражений.

На том же уроке, где вводим понятие выражения, вводим и по­нятие значение выражения - число, получающееся в результате выполнения всех его арифметических действий.

Для подведения итога введения понятий и планирования даль­нейшей работы, полезно обсудить на этом или на следующих уроках вопросы: Сколько существует выражений? Чем одно выражение может быть похожим на другое? Чем может отличаться от другого? Чем все выражения похожи друг на друга? О чем могут сообщить нам выражения? Что можно делать с выражениями? Чему нужно (можно научиться), изучая выражения?

Отвечая на последний вопрос вместе с учащимися формулируем учебные цели предстоящей деятельности: можно научиться и бу­дем учиться читать и записывать выражения, находить значения выражений, сравнивать выражения.

Чтение и запись выражений. Так как выражения суть записи, то нужно уметь их читать. Основные способы чтения задаются при введении действий. Читать выражение можно как наименование, как перечень знаков, как задание или вопрос. После изучения отношений «меньше (больше) на», «меньше (больше) в» между числами выраже­ния читаются еще и как утверждения или вопросы об отношениях равенства и неравенства. Каждый способ чтения раскрывает опре­деленную грань смысла соответствующего действия или действий. Поэтому очень полезно поощрять разные способы чтения. Образец чтения задает учитель при введении действия или при рассмотрении соответствующего понятия, свойства или отношения.

Основу чтения любого выражения составляет чтение выражения в одно действие. Обучение чтению происходит как и обучение любо-

му чтению при выполнении заданий, требующих такого чтения. Это могут быть специальные задания: «Прочитай выражения». Чтение необходимо при проверке значений выражения (читают выражение в составе равенства), при сообщении о результатах сравнения. Важ­но и обратное действие: запись выражения по его названию или за­даваемому им заданию, отношению. Такого рода действия учащиеся выполняют при проведении математических диктантов, специально предназначенных для формирования умения записывать выражения или в составе заданий на вычисление, сравнение и др. Чтение мате­матических выражений, обучение чтению выражений скорее не цель, а средство обучения - средство развития речи, средство углубления понимания смысла действий.

Покажем на примерах способы чтения основных ви­дов простых выражений:

1) 2 + 3 к двум прибавить три; сложить числа два и три; сум­
ма чисел два и три; два плюс три; найти сумму чисел два и три;

Найти сумму слагаемых два и три; найти число, на три большее,
чем число два; два увеличить на три; первое слагаемое 2, второе
слагаемое 3, найти сумму;

2) 5 - 3 из пяти вычесть (ни в коем случае не «отнять 1 «!) три;

Разность чисел пять и три; пять минус три; найти разность
чисел пять и три; уменьшаемое пять, вычитаемое три, найти раз­
ность; найти число, на три меньшее, чем пять; пять уменьшить
на три;

3) 2 ·3 два взять слагаемым три раза; по два взять три раза;

Два умножить на три; произведение чисел два и три; первый
множитель два, второй - три, найти произведение; найти произ­
ведение чисел два и три; дважды три, трижды два; два увеличить
в три раза; найти число в три раза большее чем два; первый мно­
житель два, второй три, найти произведение;

4) 12:4 двенадцать разделить на четыре; частное чисел двенад­
цать и четыре частное двенадцати и четырех); частное от деления
двенадцати на четыре; делимое двенадцать, делитель четыре, найти
частное (для 13:4 - найти частное и остаток); уменьшить 12 в че­
тыре раза; найти число, в четыре раза меньшее, чем двенадцать.

Чтение выражений, содержащих более двух действий, вызывает у младших школьников определенные трудности. В планируемые предметные результаты поэтому умение читать такие выражения мо-

1 «ОТНЯТЬ, … 1. кого (что). Взять у кого-н. силой, лишить кого-чего-н. О. деньги. О. сына. О. надежду. О. свое время у кого-н. (перен.: заставить потра­тить время на кого-что-н.). О. жизнь у кого-н. (убить). 2. что. Поглотить, вызвать расход чего-н. Работа отняла много сил у кого-н. 3. что. Отвести в сторону, от­делить от чего-н. О. лестницу от стены. …». [Ожегов С. И. Толковый словарь / С. И. Ожегов, Н.Ю.Шведова. - М., 1949 -1994.]

жет быть помещено в повышенный или высокий уровень владения математической речью. Называются выражения с двумя и более дей­ствиями по последнему действию, компонентами которого считают­ся выражения. Однако некоторые виды выражений входят в тексты правил. Знание словесных формулировок правил означает и знание способов (способа) чтения. Например, распределительное свойство умножения относительно сложения или правило умножения суммы на число в самом названии правила дает название выражения вида (А + □ ) · й . А в формулировке свойства называются два вида вы­ражений: «Произведение суммы на число равно сумме произведе­ний каждого слагаемого на это число». Способы чтения выражений в два и более действий могут быть заданы предписаниями алгорит­мического вида. В подразделе 4.2 приведен пример такого алгорит­ма. Овладение способами чтения таких выражений происходит при выполнении тех же видов заданий, что и при обучении чтению вы­ражений в одно действие.

Нахождение значения выражений. Правила порядка дей­ствий. С начала изучения арифметических действий и появления выражений негласно принимается правило: действия нужно выпол­нять слева направо в порядке их записи. Проблема порядка действий обнаруживается тогда, когда возникают трудности обозначения выра­жением некоторых предметных ситуаций. Например, требуется взять 7 синих кубиков, на 2 меньше белых и узнать, сколько всего кубиков взято. Выполняем практически все действия, обозначая число ку­биков цифрами, а действия - знаками арифметических действий. Отсчитаем 7 синих кубиков. Чтобы взять на 2 меньше белых, ото­двинем на время два синих кубика и путем составления пар возь­мем столько белых кубиков, сколько синих без двух. Белые и синие кубики объединим. Наши действия с кубиками в записи арифмети­ческими действиями: 7 + 7-2. Но в такой записи действия нужно выполнять в порядке записи, а это не те действия, по которым мы составляли запись! Имеет место противоречие. Нам нужно, чтобы вначале 2 вычиталось из 7 (узнаем требуемое число белых кубиков), а потом к 7 - числу синих кубиков прибавлялся результат вычита­ния 7 и 2. Как быть?

Выход из этой и подобных ситуаций может быть таким: нужно каким-либо образом в записи выражения выделить то действие или действия, которые нужно выполнять не в порядке записи слева - направо. И такой способ выделения есть. Это скобки, которые как раз и придуманы для ситуаций, когда действия в выражении нужно выполнять не в порядке следования слева направо. Со скобками ма­тематическая запись наших практических действий с кубиками будет выглядеть так: 7 + (7 - 2). Действия, записанные в скобках, принято выполнять в первую очередь. Чтобы освоить и присвоить это свой­ство скобок, составляем с учащимися разные выражения, ставим в них по-разному скобки, вычисляем, сравниваем результаты. Заме-

чаем: иногда изменение порядка действий не меняет значения выра­жения, а иногда - меняет. Например, 12 - 6 + 2 = 8, (12 - 6) + 2 = 8, 12 - (6 + 2) = 4.

При введении скобок общепринятые правила порядка действий явно еще не изучаются, хотя два правила уже практически приме­няются: а) если в выражении без скобок только сложение и вычита­ние, то действия выполняются в порядке их записи слева направо; б) действия в скобках выполняются первыми.

Вновь остро проблема порядка действий возникает после появ­ления выражений, содержащих действия умножения и (или) деле­ния и действия сложения и (или) вычитания. В этот период потреб­ность в правилах порядка действий может быть осознана учащимися и именно в этот период учащиеся уже могут обсуждать эту проблему, формулировать и понимать общепринятые формулировки правил порядка действий.

Обеспечить понимание необходимости таких правил можно соз­дать с помощью экспериментирования с выражением в несколько действий. Например, вычислим значение выражения 7 - 3 · 2 + 15: 5, выполняя действия в трех разных последовательностях: 1) - · + (в порядке записи); 2) - + ·: (вначале сложение и вычитание, потом умножение и деление); 3) ·: - + (вначале умножение и деление, за­тем сложение и вычитание). В результате получим три разных зна­чения: 1) 4 (ост. 3); 2) 13 (ост. 3); 3) 6. Обсуждая с учащимися воз­никшую ситуацию, делаем вывод: нужно договориться и принять только одну последовательность в качестве общепринятого правила действий. А так как значения выражений вычисляли еще и до нас, да еще и не одну сотню лет, то, вероятно, такие договоренности уже есть. Находим их в учебнике.

Далее обсуждаем с учащимися необходимость знания этих пра­вил и умения их применять. Обосновав для самих себя такую не­обходимость, учащиеся вполне могут попытаться сами определить для себя виды учебной работы, выполняя которую, они смогут за­помнить правила и научиться их безошибочно выполнять. Такое определение видов учебной работы может быть намечено в группо­вой работе и на том же уроке некоторые виды такой работы могут быть выполнены. В процессе работы группы учащиеся знакомятся с содержанием соответствующих страниц учебника и тетради для самостоятельной работы к учебнику, могут сами дополнить учеб­ные задания, выполнить некоторые из них, проверить себя и затем сделать отчет работы в группе по тому, что уже освоили в результате работы в группе. Например: «В нашей группе все научились в выра­жениях без скобок в три-четыре действия определять порядок дей­ствий, обращаясь к тексту правила в учебнике, и обозначать этот порядок номерами действий над знаками действий в выражении». Затем ставится цель научиться находить значения таких «больших» выражений - в три-четыре и более действий на многих уроках уча-

щиеся выполняют учебные действия для ее достижения. Способ на­хождения значений составного выражения может быть представлен в алгоритмическом виде.

Алгоритм нахождения значения числового выражения (задан сло­весным предписанием в виде перечня шагов).

1. Если в выражении есть скобки, то выполнить действия в скоб­ках как в выражении без скобок. 2. Если в выражении нет скобок, то: а) если в выражении только сложение и (или) вычитание или только умножение и (или) деление, то выполнить эти действия по порядку слева-направо; б) если в выражении есть действия из группы сложе­ние - вычитание и из группы умножение - деление, то выполнить вначале умножение и деление по порядку слева-направо, затем вы­полнить сложение и вычитание по порядку слева-направо. 3. Результат последнего действия назвать значением выражения.

Особую роль в обучении играют способы нахождения значений выражений на основе свойств действий. Такие способы заключаются в том, что вначале выражения преобразуются на основе свойств дей­ствий, и лишь потом применяются правила порядка действий. На­пример, нужно найти значение выражения: 23 + 78 + 77. По правилам порядка действий нужно вначале к 23 прибавить 78, а к результату прибавить 17. Однако переместительное и сочетательное свойства или правило «Складывать числа можно в любом порядке» позволяет нам это выражение заменить равным ему с другим порядком действий 23 + 77 + 78. Выполнив действия в соответствии с правилами поряд­ка действий, легко получим результат 100 + 78 = 178.

Собственно математическая деятельность, математическое раз­витие учащихся происходит именно тогда, когда они ищут рацио­нальные или оригинальные способы преобразования выражений с последующими удобными вычислениями. Поэтому необходимо вырабатывать у учащихся привычку в любых не калькуляторных вы­числениях, искать способы упрощения вычислений, преобразования выражений с тем, чтобы вместо громоздких, некрасивых вычисле­ний искомое значение выражения находилось с помощью простых и красивых случаев вычисления. Задания формулируются для этого так «Вычисли удобным (или рациональным) способом …».

Нахождение значений буквенных выражений - важное умение, которое формирует представления о переменной и является основой понимания в дальнейшем функциональной зависимости. Очень удоб­ной формой заданий на нахождение значений буквенных выражений и для наблюдения зависимости значения выражения от значений вхо­дящих в него букв является табличная. Например, по табл. 8.1 уча­щиеся могут установить ряд зависимостей: если значения а являются последовательными числами, то значения 2а есть последовательные четные числа, а значения 3а - каждые третьи числа, начиная со зна­чения 3а при наименьшем значении а и др.

Таблица 8.1

Сравнение выражений. На выражения переносятся отношения, связывающие значения выражений. Основной способ сравнения - нахождение значений сравниваемых выражений и сравнение значе­ний выражения. Алгоритм сравнения :

1. Найти значения сравниваемых выражений. 2. Сравнить получен­ные числа. 3. Результат сравнения чисел перенести на выражения. Если требуется, поставить между выражениями соответствующий знак. Конец.

Также как и при нахождении значений выражений ценятся спосо­бы сравнения, основанные на свойствах арифметических действий, свойствах числовых равенств и неравенств, так как такое сравнение требует дедуктивных рассуждений и потому обеспечивает развитие логического мышления.

Например, нужно сравнить 73 + 48 и 73 + 50. Известно свойство: «Если одно слагаемое увеличить или уменьшить на несколько единиц, то и сумма увеличится или уменьшится на столько же единиц». Следо­вательно, значение первого выражения меньше, чем значение второго, а значит первое выражение меньше второго, а второе - больше перво­го. Мы сравнили выражения без нахождения значений выражений, без выполнения каких-либо арифметических действий путем применения известного свойства сложения. Для таких случаев полезно сравнение выражений, записанных с использованием обобщающей символики. Сравните выражения. © + Ф и © + (Ф + 4), © + Ф и © + (Ф - 4).

Интересны способы сравнения, основанные на преобразовании срав­ниваемых выражений - заменой их равными. Например: 18 · 4 и 18 + 18 + 18 + 18; 25 · (117 - 19) и 25 · 117 - 19; 25 · (117 -119) и 25 · 117 - - 19 · 117 и т.п. Преобразуя выражение в одной части на основании свойств действий мы получаем выражения, сравнивать которые уже можно через сравне­ние чисел - компонентов одного и того же действия.

Пример. 126 + 487 и 428 + 150. Для сравнения применим переме-стительное свойство. Получим: 487 + 126 и 428 и 150. Преобразуем первое выражение: 487 + 132 = (483 + 4) + (130 - 4) = 483 + 4 + 130 -4 = 483 + 130 = (483 - 20) + (130 + 20) = 463 + 150. Теперь сравнивать нужно выражения 463 + 150 и 428 + 150.

Как найти периметр прямоугольника, стороны которого равны 3 см и 5 см (рис. 67 )?

Отвечая на этот вопрос, вы можете сделать такую запись: 2 * 3 + 2 * 5 .

Такая запись представляет собой числовое выражение .

Приведем еще несколько примеров числовых выражений: 12 : 4 − 1, (5 + 17 ) + 11, (19 − 7 ) * 3 . Эти выражения составлены из чисел, знаков арифметических действия и скобок.

Заметим, что не всякая запись, составленная из чисел, знаков арифметических действия и скобок является числовым выражением. Например, запись +) +3 − (2 представляет собой бессмысленный набор символов.

Завершив решение задачи о периметре прямоугольника, получим ответ 16 см. В таких случаях говорят, что число 16 является значением выражения 2 * 3 + 2 * 5 .

А чему равен периметр прямоугольника, стороны которого равны 3 см и a см? Ответом будет выражение 2 * 3 + 2 * a.

Запись 2 * 3 + 2 * a представляет собой буквенное выражение .

Приведем еще несколько примеров буквенных выражений: (a + b) + 11, 5 + 3 * x, n: 2 − k * 5 . Эти выражения составлены из чисел, букв, знаков арифметических действий и скобок.

Как правило, в буквенных выражениях знак умножения пишут только между числами. В остальных случаях его опускают. Например, вместо 5 * y, m * n, 2 * (a + b) соответственно пишут 5 y, mn, 2 (a + b).

Пусть стороны прямоугольника равны a см и b см. В этом случае буквенное выражение для нахождения его периметра выглядит так: 2 a + 2 b.

Подставим в это выражение вместо букв a и b соответственно числа 3 и 5 . Получим числовое выражение 2 * 3 + 2 * 5, которое мы уже записывали для нахождения периметра прямоугольника. Если же вместо a и b подставить, например, числа 4 и 9, то получим числовое выражение 2 * 4 + 2 * 9 . Вообще, из одного буквенного выражения можно получить бесконечно много числовых выражений.

Обозначим периметр прямоугольника буквой P. Тогда равенство

P = 2 a + 2 b

можно использовать для нахождения периметра любого прямоугольника. Такие равенства называют формулами .

Например, если сторона квадрата равна a, то его периметр вычисляется по формуле:

P = 4 a

Равенство

s = vt

где s − пройденный путь, v − скорость движения, а t − время, за которое пройден путь s, называют формулой пути .

Пример 1 . Собранные в саду яблоки фермер разложил в пять ящиков по a кг и в b ящиков по 20 кг. Скоько килограммов яблок собрал фермер? Вычислите значение полученного выражения при a = 18, b = 9 .

В пяти ящиках содержится 5 a кг яблок, а в b ящиках − 20 b кг. Всего фермер собрал (5 a + 20 b) кг яблок.

Если a = 18, b = 9, то получаем: 5 * 18 + 20 * 9 = 90 + 180 = 270 (кг).

Ответ: (5 a + 20 b) кг, 270 кг.

Пример 2 . Найдите, ползуясь формулой пути, скорость, с которой поезд прошел 324 км за 6 ч.

Поскольку s = vt, то v = s: t. Тогда можно записать v = 324 : 6 = 54 (км/ч).

Ответ: 54 км/ч.

Пример 3 . Буратино купил m булочек по 2 сольдо и торт за 5 сольдо. Составим формулу для вычисления стоимости покупки и найдите эту стоимость, если:

1 ) m = 4 ;

2 ) m = 12 .

За m булочек Буратино заплатил 2 m сольдо.

Обозначив стоимость покупки буквой k, получаем формулу k = 2 m + 5 .

1 ) Если m = 4, то k = 2 * 4 + 5 = 13 ;

2 ) если m = 12, то k = 2 * 12 + 5 = 29 .

Ответ: k = 2 m + 5, 13 сольдо, 29 сольдо.

Числовое выражение – это любая запись из чисел, знаков арифметических действий и скобок. Числовое выражение может состоять и просто из одного числа. Напомним, что основными арифметическими действиями являются «сложение», «вычитание», «умножение» и «деление». Этим действиям соответствуют знаки «+», «-», «∙», «:».

Конечно же, чтобы у нас получилось числовое выражение, запись из чисел и арифметических знаков должна быть осмысленной. Так, например, такую запись 5: + ∙ нельзя назвать числовым выражением, так как это случайный набор символов, не имеющий смысла. Напротив, 5 + 8 ∙ 9 - уже настоящее числовое выражение.

Значение числового выражения.

Сразу скажем, что если мы выполним действия указанные в числовом выражении, то в результате мы получим число. Это число называется значением числового выражения .

Попробуем вычислить, что у нас получится в результате выполнения действий нашего примера. Согласно порядку выполнения арифметических действий , сначала выполним операцию умножения. Умножим 8 на 9. Получим 72. Теперь сложим 72 и 5. Получим 77.
Итак, 77 – значение числового выражения 5 + 8 ∙ 9.

Числовое равенство.

Можно это записать таким образом: 5 + 8 ∙ 9 = 77. Здесь мы впервые использовали знак «=» («Равно»). Такая запись, при которой два числовых выражения разделены знаком «=», называется числовым равенством . При этом, если значения левой и правой части равенства совпадают, то равенство называют верным . 5 + 8 ∙ 9 = 77 – верное равенство.
Если же мы напишем 5 + 8 ∙ 9 = 100, то это уже будет неверное равенство , так как значения левой и правой части данного равенства уже не совпадают.

Следует отметить, что в числовом выражении мы также можем использовать скобки. Скобки влияют на порядок выполнения действий. Так, например, видоизменим наш пример, добавив скобки: (5 + 8) ∙ 9. Теперь сначала нужно сложить 5 и 8. Получим 13. А затем умножить 13 на 9. Получим 117. Таким образом, (5 + 8) ∙ 9 = 117.
117 – значение числового выражения (5 + 8) ∙ 9.

Чтобы правильно прочитать выражение, нужно определить какое именно действие выполняется последним для вычисления значения данного числового выражения. Так, если последнее действие вычитание, то выражение называют «разностью». Соответственно, если последнее действие сумма - «суммой», деление – «частным», умножение – «произведением», возведение в степень – «степенью».

Например, числовое выражение (1+5)(10-3) читается так: «произведение суммы чисел 1 и 5 на разность чисел 10 и 3».

Примеры числовых выражений.

Приведем пример более сложного числового выражения:

\[\left(\frac{1}{4}+3,75 \right):\frac{1,25+3,47+4,75-1,47}{4\centerdot 0,5}\]

В скобках у нас выражение $\frac{1}{4}+3,75$ . Преобразуем десятичную дробь 3,75 в обыкновенную.

$3,75=3\frac{75}{100}=3\frac{3}{4}$

Итак, $\frac{1}{4}+3,75=\frac{1}{4}+3\frac{3}{4}=4$

Далее, в числителе дроби \[\frac{1,25+3,47+4,75-1,47}{4\centerdot 0,5}\] у нас выражение 1,25+3,47+4,75-1,47. Для упрощения данного выражения применим переместительный закон сложения, который гласит: «От перемены мест слагаемых сумма не изменяется». То есть, 1,25+3,47+4,75-1,47=1,25+4,75+3,47-1,47=6+2=8.

В знаменателе дроби выражение $4\centerdot 0,5=4\centerdot \frac{1}{2}=4:2=2$

Получаем $\left(\frac{1}{4}+3,75 \right):\frac{1,25+3,47+4,75-1,47}{4\centerdot 0,5}=4:\frac{8}{2}=4:4=1$

Когда числовые выражения не имеют смысла?

Рассмотрим еще один пример. В знаменателе дроби $\frac{5+5}{3\centerdot 3-9}$ значением выражения $3\centerdot 3-9$ является 0. А, как мы знаем, деление на нуль невозможно. Следовательно, у дроби $\frac{5+5}{3\centerdot 3-9}$ нет значения. Про числовые выражения, у которых нет значения, говорят, что они «не имеют смысла».

Если мы в числовом выражении помимо чисел будем использовать буквы, то у нас получится уже алгебраическое выражение .

Дата публикации: 30.08.2014 10:58 UTC

• Геометрия, решебник к книге Балаяна Э.Н. «Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ: 7-9 классы», 7 класс, Балаян Э.Н., 2019
• Тренажёр по геометрии, 7 класс, к учебнику Атанасяна Л.С. и др. «Геометрия. 7-9 классы», ФГОС, Глазков Ю.А., Егупова М.В., 2019