Шыңы бар оң жақ дөңгелек конус берілген. «Конустың көлемі» сабағы

V цилиндр = S негізгі. ∙сағ

2-мысал.АВС тік дөңгелек конусы берілген, тең қабырғалы, BO = 10. Конустың көлемін табыңыз.

Шешім

Конус табанының радиусын табайық. C=60 0, B=30 0,

ОЖ = болсын А, онда BC = 2 А. Пифагор теоремасы бойынша:

Жауап: .

3-мысал. Көрсетілген сызықтармен шектелген аумақтарды айналдыру арқылы құрылған фигуралардың көлемдерін есептеңіз.

y 2 = 4x; y = 0; x = 4.

Интеграция шектері a = 0, b = 4.

V= | =32π

Тапсырмалар

1 нұсқа

1. Цилиндрдің осьтік қимасы квадрат, оның диагоналы 4 дм. Цилиндрдің көлемін табыңыз.

2. Қуыс шардың сыртқы диаметрі 18 см, қабырғаларының қалыңдығы 3 см шардың қабырғаларының көлемін табыңдар.

X y 2 = x, y = 0, x = 1, x = 2 түзулерімен шектелген фигура.

2-нұсқа

1. Үш шардың радиусы 6 см, 8 см, 10 см, көлемі осы шарлардың көлемдерінің қосындысына тең шардың радиусын анықта.

2. Конустың табанының ауданы 9 см 2, оның жалпы бетінің ауданы 24 см 2. Конустың көлемін табыңыз.

3. О осінің айналасында айналу нәтижесінде пайда болған дененің көлемін есептеңдер X y 2 = 2x, y = 0, x = 2, x = 4 түзулерімен шектелген фигура.

Бақылау сұрақтары:

1.Денелердің көлемдерінің қасиеттерін жаз.

2. Ой осінің айналасындағы айналу денесінің көлемін есептеу формуласын жазыңыз.

САБАҚТЫҢ МӘТІН ТРАНСКРИПТІ:

Біз стереометрияның «Айналу денелері» бөлімін зерттеуді жалғастырамыз.

Айналу денелеріне: цилиндрлер, конустар, шарлар жатады.

Анықтамаларды еске түсірейік.

Биіктік – фигураның немесе дененің төбесінен фигураның (дененің) негізіне дейінгі қашықтық. Әйтпесе, фигураның үстіңгі және негізін қосатын және оған перпендикуляр кесінді.

Есіңізде болсын, шеңбердің ауданын табу үшін пиді радиустың квадратына көбейту керек.

Шеңбердің ауданы тең.

Диаметрін біле отырып, шеңбердің ауданын қалай табуға болатынын еске түсірейік? Өйткені

Оны формулаға салайық:

Конус сонымен қатар айналу денесі болып табылады.

Конус (дәлірек айтсақ, дөңгелек конус) - шеңберден тұратын дене - конустың табаны, осы шеңбер жазықтығында жатпайтын нүкте - конустың төбесі және оның төбесін қосатын барлық кесінділер. негізгі нүктелері бар конус.

Конустың көлемін табу формуласымен танысайық.

Теорема. Конустың көлемі негіз ауданы мен биіктігінің көбейтіндісінің үштен біріне тең.

Осы теореманы дәлелдеп көрейік.

Берілген: конус, S - оның табанының ауданы,

h - конус биіктігі

Дәлелдеу: V=

Дәлелдеу: көлемі V, табанының радиусы R, биіктігі h және шыңы О нүктесінде болатын конусты қарастырайық.

Ox осін OM арқылы енгізейік - конус осі. Ох осіне перпендикуляр жазықтықтағы конустың еркін кесіндісі нүктесінде центрі бар шеңбер болып табылады.

М1 – осы жазықтықтың Окс осімен қиылысу нүктесі. Бұл шеңбердің радиусын R1 деп, ал көлденең қимасының ауданын S(x) деп белгілейік, мұндағы х – М1 нүктесінің абсциссасы.

ОМ1А1 және ОМА тікбұрышты үшбұрыштарының ұқсастығынан (ے ОМ1А1 = ے ОМА - түзулер, ے MOA-жалпы, бұл үшбұрыштар екі бұрышта ұқсас дегенді білдіреді) мынадай қорытынды шығады:

Суретте OM1=x, OM=h екені көрсетілген

немесе осы жерден пропорция қасиеті бойынша R1 = табамыз.

Көлденең қимасы шеңбер болғандықтан, S(x)=πR12, R1 орнына алдыңғы өрнекті қойыңыз, көлденең қиманың ауданы pi er квадратының х квадратының квадратына көбейтіндісінің қатынасына тең. биіктігі бойынша:

Негізгі формуланы қолданайық

a=0, b=h болатын денелердің көлемдерін есептеп, (1) өрнегін аламыз.

Конустың табаны шеңбер болғандықтан, конус табанының S ауданы пир квадратына тең болады.

дененің көлемін есептеу формуласында біз pier квадратының мәнін табанның ауданымен ауыстырамыз және конустың көлемі оның ауданының көбейтіндісінің үштен біріне тең екенін табамыз. негізі және биіктігі

Теорема дәлелденді.

Теореманың қорытындысы (қиық конустың көлемінің формуласы)

Биіктігі h болатын кесілген конустың V көлемі және S және S1 табандарының ауданы формула бойынша есептеледі.

Ве – табан аудандарының көбейтіндісінің квадрат түбірі мен табан аудандарының қосындысына көбейтілген осьтің үштен біріне тең.

Мәселені шешу

Катеттері 3 см және 4 см болатын тікбұрышты үшбұрыш гипотенузаның айналасында айналады. Алынған дененің көлемін анықтаңыз.

Үшбұрышты гипотенузаның айналасында айналдырсақ, конус аламыз. Бұл мәселені шешу кезінде екі жағдайдың мүмкін екенін түсіну маңызды. Олардың әрқайсысында конустың көлемін табу үшін формуланы қолданамыз: конустың көлемі табан мен биіктіктің көбейтіндісінің үштен біріне тең.

Бірінші жағдайда сызба келесідей болады: конус берілген. Радиусы r = 4, биіктігі h = 3 болсын

Негіздің ауданы радиустың квадратының π еселенгеніне тең

Сонда конустың көлемі π радиусы мен биіктігінің квадратына көбейтіндісінің үштен біріне тең болады.

Мәнді формулаға ауыстырайық, конустың көлемі 16π болып шығады.

Екінші жағдайда, келесідей: конус берілген. Радиусы r = 3, биіктігі h = 4 болсын

Конустың көлемі табанының ауданы мен биіктігінің көбейтіндісінің үштен біріне тең:

Табанның ауданы радиустың квадратының π еселенгеніне тең:

Сонда конустың көлемі π радиусы мен биіктігінің квадратына көбейтіндісінің үштен біріне тең болады:

Мәнді формулаға ауыстырсақ, конустың көлемі 12π болатыны шығады.

Жауабы: V конусының көлемі 16 π немесе 12 π

Есеп 2. Радиусы 6 см, бұрышы BCO = 45 тік дөңгелек конус берілген.

Конустың көлемін табыңыз.

Шешуі: Бұл есеп бойынша дайын сызба берілген.

Конустың көлемін табу формуласын жазайық:

Оны R табанының радиусы арқылы өрнектейік:

Құрылысы бойынша h =BO табамыз – тікбұрышты, өйткені бұрышы BOC = 90 (үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы), табанындағы бұрыштары тең, бұл ΔBOC үшбұрышы тең қабырғалы және BO = OC = 6 см дегенді білдіреді.

Оң жақ дөңгелек цилиндр берілсін, горизонталь проекция жазықтығы оның табанына параллель. Цилиндрді жалпы жағдайда жазықтықпен қиып өткенде (жазықтық цилиндрдің табандарын қимайды деп есептейміз), қиылысу сызығы эллипс, қиманың өзі эллипс пішініне ие, оның көлденең проекциясы цилиндр негізінің проекциясы, ал алдыңғы жағы да эллипс пішініне ие. Бірақ егер секант жазықтығы цилиндр осімен 45° бұрыш жасаса, онда эллипс пішіні бар кесінді шеңбер арқылы кесінді бірдей бұрышта көлбеу болатын проекция жазықтығына проекцияланады.

Егер кесу жазықтығы цилиндрдің бүйір бетін және оның табандарының біреуін қиып өтсе (8.6-сурет), онда қиылысу сызығының толық емес эллипс (эллипс бөлігі) пішіні болады. Бұл жағдайда қиманың көлденең проекциясы шеңбердің бөлігі (негіздің проекциясы), ал фронтальды проекциясы эллипстің бөлігі болып табылады. Жазықтықты кез келген проекция жазықтығына перпендикуляр орналастыруға болады, содан кейін кесінді осы проекция жазықтығына түзу сызық ретінде проекцияланады (секант жазықтығының ізінің бөлігі).

Цилиндр генератрицаға параллель жазықтықпен қиылса, онда бүйір бетімен қиылысу сызықтары түзу болады, ал қиманың өзі цилиндр түзу болса тіктөртбұрыштың, ал цилиндр көлбеу болса параллелограммның пішініне ие болады.

Белгілі болғандай, цилиндр де, конус да сызылған беттерден тұрады.

Сызбалы бет пен жазықтықтың қиылысу сызығы (кесу сызығы) жалпы жағдайда белгілі бір қисық болып табылады, ол генерациялардың қиюшы жазықтықпен қиылысу нүктелерінен құрастырылады.

Берілсін түзу дөңгелек конус.Оны жазықтық кесіп өткенде, қиылысу сызығының пішіні жазықтықтың орналасуына байланысты: үшбұрыш, эллипс, шеңбер, парабола, гипербола (8.7-сурет) болуы мүмкін.

Үшбұрыш конусты қиып өтетін қиюшы жазықтық оның төбесінен өткенде алынады. Бұл жағдайда бүйір бетімен қиылысу сызықтары конустың шыңында қиылысатын түзу сызықтар болып табылады, олар табанның қиылысу сызығымен бірге бұрмаланумен проекциялық жазықтықтарға проекцияланған үшбұрышты құрайды. Егер жазықтық конустың осін қиып өтсе, онда қима конустың төбесімен сәйкес келетін төбесімен бұрышы берілген конустың үшбұрыш бөліктері үшін максималды болатын үшбұрышты шығарады. Бұл жағдайда кесінді горизонталь проекция жазықтығына (ол оның табанына параллель) түзу кесінді арқылы проекцияланады.

Жазықтық пен конустың қиылысы эллипс болады, егер жазықтық конустың генатрицаларының ешқайсысына параллель болмаса. Бұл жазықтықтың барлық генераторларды (конустың бүкіл бүйір беті) қиып өтуіне тең. Егер секант жазықтығы конустың табанына параллель болса, онда қиылысу сызығы шеңбер болады, қиманың өзі горизонталь проекция жазықтығына бұрмаланбай, ал фронтальды жазықтыққа түзу кесінді ретінде проекцияланады.

Кесу жазықтығы конустың тек бір генератрицасына параллель болған кезде қиылысу сызығы парабола болады. Егер қиюшы жазықтық бір уақытта екі генерацияға параллель болса, онда қиылысу сызығы гипербола болады.

Кесілген конус алынады, егер түзу дөңгелек конусты конустың табанына параллель және конус осіне перпендикуляр жазықтықпен қиып, жоғарғы бөлігін тастаса. Проекциялардың горизонталь жазықтығы кесілген конустың табандарына параллель болған жағдайда, бұл негіздер концентрлік шеңберлермен бұрмаланбай проекциялардың горизонталь жазықтығына проекцияланады, ал фронталь проекциясы трапеция болып табылады. Қиық конусты жазықтықпен қиып өткенде, оның орналасуына байланысты кесілген сызық трапеция, эллипс, шеңбер, парабола, гипербола немесе осы қисықтардың бірінің бөлігі болуы мүмкін, олардың ұштары бір-бірімен байланысқан. түзу сызық.

Диагностикалық жұмыс екі бөлімнен тұрады, оның ішінде 19 тапсырма. 1 бөлімде қысқа жауаппен негізгі қиындық деңгейіндегі 8 тапсырма бар. 2-бөлімде қысқа жауабы бар күрделілігі жоғары деңгейдегі 4 тапсырма және егжей-тегжейлі жауабы бар күрделілігі жоғары және жоғары деңгейдегі 7 тапсырма бар.
Математикадан диагностикалық жұмысты орындауға 3 сағат 55 минут (235 минут) бөлінген.
1-12 тапсырмалардың жауаптары бүтін сан немесе соңғы ондық бөлшек түрінде жазылады. Жұмыс мәтініндегі жауап өрістеріне сандарды жазыңыз, содан кейін оларды No1 жауап формасына көшіріңіз.13-19 тапсырмаларды орындаған кезде толық шешімді жазып, No2 жауап формасына жауап беру керек.
Барлық пішіндер ашық қара сиямен толтырылуы керек. Сіз гельді, капиллярлық немесе фонтанды қаламдарды пайдалана аласыз.
Тапсырмаларды орындау кезінде жобаны пайдалануға болады. Жұмысты бағалау кезінде жобадағы жазбалар есепке алынбайды.
Орындалған тапсырмалар үшін алған ұпайларыңыз қорытындыланады.
Сәттілік тілейміз!

Проблемалық жағдайлар

1. Егер тап
2. Лабораторияда экранда лампочканың үлкейтілген кескінін алу үшін негізгі фокустық қашықтығы = 30 см болатын коллекторлық линза қолданылады, ал линзадан шамға дейінгі қашықтық 40-тан 65 см-ге дейін өзгеруі мүмкін объективтен экранға дейін - 75-тен 100 см-ге дейін арақатынас орындалса, экрандағы кескін анық болады. Экрандағы кескіні анық болуы үшін шамды линзадан қандай максималды қашықтықта орналастыруға болатынын көрсетіңіз. Жауабыңызды сантиметрмен көрсетіңіз.
3. Моторлы кеме өзен бойымен 300 км жол жүріп, діттеген жеріне дейін барады да, тоқтаған соң, жөнелту нүктесіне қайтады. Кеменің тынық судағы жылдамдығы 15 км/сағ, тұру 5 сағат болса, ал кеме жөнелтілгеннен кейін 50 сағаттан кейін өзінің жөнелтетін нүктесіне қайтып келсе, ағыстың жылдамдығын табыңыз. Жауабыңызды км/сағ.
4. Функцияның кесіндідегі ең кіші мәнін табыңыз
5. а) Теңдеуді шеш б) Осы теңдеудің кесіндіге жататын барлық түбірлерін табыңыз
6. Шыңы бар оң жақ дөңгелек конус берілген М. Конустың осьтік қимасы шыңында бұрышы 120° болатын үшбұрыш М. Конустың генератрисы болып табылады. Нүкте арқылы Мконустың кесіндісі генератрицалардың біріне перпендикуляр сызылған.
   а) Көлденең қимада пайда болған үшбұрыштың доғал екенін дәлелдеңдер.
   б) Орталыққа дейінгі қашықтықты табыңыз ТУРАЛЫконустың табаны қима жазықтығына.
7. Теңдеуді шеш
8. Ортасы бар шеңбер ТУРАЛЫжағына тиеді ABтең қабырғалы үшбұрыш ABC,жағының ұзаруы ACжәне іргетастың жалғасы Күннүктесінде Н. Нүкте М- негіздің ортасы Күн.
   а) Дәлелдеу MN = AC.
   б) табу ОЖ,үшбұрыштың қабырғалары болса ABC 5, 5 және 8-ге тең.
9. «А» бизнес жобасы алғашқы екі жылда оған салынған инвестиция көлемінің жыл сайын 34,56%-ға және келесі екі жылда жыл сайын 44%-ға ұлғаюын болжайды. B жобасы тұрақты бүтін санға өсуді болжайды nжыл сайын пайыз. Ең кіші мәнді табыңыз n, онда алғашқы төрт жылда «В» жобасы «А» жобасына қарағанда тиімдірек болады.
10. , параметрінің барлық мәндерін табыңыз, олардың әрқайсысы үшін теңдеулер жүйесі бірегей шешімі бар
11. Аня ойын ойнайды: тақтада екі түрлі натурал сандар жазылған және , екеуі де 1000-нан аз. Егер екеуі де табиғи болса, онда Аня қозғалыс жасайды - ол алдыңғыларды осы екі санмен ауыстырады. Егер осы сандардың кем дегенде біреуі табиғи емес болса, онда ойын аяқталады.
    а) Ойын дәл үш айналымға созылуы мүмкін бе?
    б) Ойын кемінде 9 жүріске созылатындай екі бастапқы сан бар ма?
    в) Ойындағы бірінші жүрісті Аня жасады. Алынған екі санның көбейтіндісінің көбейтіндіге ең үлкен қатынасын табыңыз