Әртүрлі дәрежелі дәрежелі функциялар. Қуат функциясы, оның қасиеттері және графигі

Қуат функциясы түрдегі формуламен берілген.

Дәрежелік функцияның графиктерінің түрін және дәрежелік функцияның қасиеттерін дәреженің мәніне байланысты қарастырайық.

Бүтін көрсеткіші бар қуат функциясынан бастайық а. Бұл жағдайда дәрежелік функциялардың графиктерінің пайда болуы және функциялардың қасиеттері көрсеткіштің жұп немесе тақтығына, сондай-ақ оның таңбасына байланысты болады. Сондықтан алдымен көрсеткіштің тақ оң мәндері үшін қуат функцияларын қарастырамыз а, содан кейін - жұп оң дәрежелер үшін, содан кейін - тақ теріс дәрежелер үшін, ең соңында, жұп теріс дәрежелер үшін а.

Бөлшек және иррационал дәрежелі дәрежелік функциялардың қасиеттері (сондай-ақ мұндай дәрежелік функциялардың графиктерінің түрі) дәреженің мәніне байланысты. а. Біз оларды, ең алдымен, қашан қарастырамыз анөлден бірге дейін, екіншіден, қашан аүлкен бірліктер, үшіншіден, бар аминус бірден нөлге дейін, төртіншіден, бар акіші минус бір.

Бұл бөлімнің соңында толық болу үшін көрсеткіші нөлдік дәреже функциясын сипаттаймыз.

Тақ оң көрсеткішті қуат функциясы.

Тақ оң көрсеткішті дәреже функциясын қарастырайық, яғни a=1,3,5,….

Төмендегі суретте қуат функцияларының графиктері көрсетілген – қара сызық, – көк сызық, – қызыл сызық, – жасыл сызық. Сағат a=1бізде бар сызықтық функция y=x.

Дәрежесі тақ оң көрсеткішті функцияның қасиеттері.

Жұп оң көрсеткішті қуат функциясы.

Дәрежесі жұп оң дәрежелі функцияны қарастырайық, яғни үшін a=2,4,6,….

Мысал ретінде қуат функцияларының графиктерін келтіреміз – қара сызық, – көк сызық, – қызыл сызық. Сағат a=2бізде графигі болатын квадраттық функция бар квадраттық парабола.

Жұп оң көрсеткішті дәрежелік функцияның қасиеттері.

Тақ теріс көрсеткішті қуат функциясы.

Көрсеткіштің тақ теріс мәндері үшін қуат функциясының графиктерін қараңыз, яғни a=-1,-3,-5,….

Білім негізгі элементар функциялар, олардың қасиеттері және графиктерікөбейту кестелерін білуден кем емес. Олар іргетас сияқты, бәрі соларға негізделген, бәрі солардан салынған және бәрі соларға түседі.

Бұл мақалада біз барлық негізгі қарапайым функцияларды тізімдейміз, олардың графиктерін береміз және қорытындысыз немесе дәлелсіз береміз. негізгі элементар функциялардың қасиеттерісхемаға сәйкес:

• анықтау облысы, тік асимптоталар шекараларындағы функцияның әрекеті (қажет болса, функцияның үзіліс нүктелерінің мақала классификациясын қараңыз);
• жұп және тақ;
• дөңес (дөңес жоғары) және ойыс (төмен қарай дөңес), иілу аралықтары (қажет болса, функцияның дөңестігін, дөңестің бағытын, иілу нүктелерін, дөңес және иілу шарттарын қараңыз);
• көлбеу және көлденең асимптоталар;
• функциялардың дара нүктелері;
• кейбір функциялардың арнайы қасиеттері (мысалы, тригонометриялық функциялардың ең кіші оң периоды).

Егер сізді қызықтыратын болсаңыз немесе, онда сіз теорияның осы бөлімдеріне өтуіңізге болады.

Негізгі элементар функцияларолар: тұрақты функция (тұрақты), n-ші түбір, дәреже функциясы, көрсеткіштік, логарифмдік функция, тригонометриялық және кері тригонометриялық функциялар.

Бетті шарлау.

Тұрақты функция.

Тұрақты функция барлық нақты сандар жиынында формула бойынша анықталады, мұндағы С - қандай да бір нақты сан. Тұрақты функция х тәуелсіз айнымалысының әрбір нақты мәнін y тәуелді айнымалысының бірдей мәнімен - С мәнімен байланыстырады. Тұрақты функцияны тұрақты деп те атайды.

Тұрақты функцияның графигі х осіне параллель және координаталары (0,С) нүктесі арқылы өтетін түзу. Мысал ретінде төмендегі суретте сәйкесінше қара, қызыл және көк сызықтарға сәйкес келетін y=5, y=-2 және тұрақты функциялардың графиктерін көрсетеміз.

Тұрақты функцияның қасиеттері.

• Домен: нақты сандар жиыны.
• Тұрақты функция жұп.
• Мәндер ауқымы: С дара санынан тұратын жиын.
• Тұрақты функция өспейді және кемімейді (сол себепті ол тұрақты).
• Тұрақтының дөңестігі мен ойысы туралы айтудың мағынасы жоқ.
• Асимптоталар жоқ.
• Функция координаталық жазықтықтың (0,С) нүктесі арқылы өтеді.

n-ші түбір.

n – бірден үлкен натурал сан, формуласымен берілген негізгі элементар функцияны қарастырайық.

n-ші дәрежелі түбір, n - жұп сан.

n түбір көрсеткішінің жұп мәндері үшін n-ші түбір функциясынан бастайық.

Мысал ретінде мұнда функция графиктерінің суреттері бар сурет берілген және , олар қара, қызыл және көк сызықтарға сәйкес келеді.

Жұп дәрежелі түбір функциялардың графиктері көрсеткіштің басқа мәндері үшін ұқсас көрініске ие.

Жұп n үшін n-ші түбір функциясының қасиеттері.

n-ші түбір, n тақ сан.

Тақ түбір көрсеткіші n болатын n-ші түбір функциясы нақты сандардың барлық жиынында анықталған. Мысалы, мұнда функция графиктері берілген және , олар қара, қызыл және көк қисықтарға сәйкес келеді.

Түбір көрсеткішінің басқа тақ мәндері үшін функция графиктері ұқсас көрініске ие болады.

Тақ n үшін n-ші түбір функциясының қасиеттері.

Қуат функциясы.

Қуат функциясы түрдегі формуламен берілген.

Дәрежелік функцияның графиктерінің түрін және дәрежелік функцияның қасиеттерін дәреженің мәніне байланысты қарастырайық.

Бүтін көрсеткіші a болатын қуат функциясынан бастайық. Бұл жағдайда дәрежелік функциялардың графиктерінің пайда болуы және функциялардың қасиеттері көрсеткіштің жұп немесе тақтығына, сондай-ақ оның таңбасына байланысты болады. Сондықтан, алдымен а көрсеткішінің тақ оң мәндері үшін, одан кейін жұп оң дәрежелер үшін, содан кейін тақ теріс дәрежелер үшін және ең соңында жұп теріс а үшін дәрежелік функцияларды қарастырамыз.

Бөлшек және иррационал дәрежелі дәрежелік функциялардың қасиеттері (сондай-ақ мұндай дәрежелік функциялардың графиктерінің түрі) а көрсеткішінің мәніне байланысты. Оларды, біріншіден, нөлден бірге дейін, екіншіден, бірден үлкен үшін, үшіншіден, минус бірден нөлге дейін, төртіншіден, минус бірден кіші үшін қарастырамыз.

Бұл бөлімнің соңында толық болу үшін көрсеткіші нөлдік дәреже функциясын сипаттаймыз.

Тақ оң көрсеткішті қуат функциясы.

Дәрежесі тақ оң көрсеткішті, яғни a = 1,3,5,... болатын дәреже функциясын қарастырайық.

Төмендегі суретте қуат функцияларының графиктері көрсетілген – қара сызық, – көк сызық, – қызыл сызық, – жасыл сызық. a=1 үшін бізде бар сызықтық функция y=x.

Дәрежесі тақ оң көрсеткішті функцияның қасиеттері.

Жұп оң көрсеткішті қуат функциясы.

Дәрежесі жұп оң дәрежелі функцияны қарастырайық, яғни a = 2,4,6,... үшін.

Мысал ретінде қуат функцияларының графиктерін келтіреміз – қара сызық, – көк сызық, – қызыл сызық. a=2 үшін бізде квадраттық функция бар, оның графигі болады квадраттық парабола.

Жұп оң көрсеткішті дәрежелік функцияның қасиеттері.

Тақ теріс көрсеткішті қуат функциясы.

Көрсеткіштің тақ теріс мәндері үшін қуат функциясының графиктерін қараңыз, яғни a = -1, -3, -5,....

Суретте қуат функцияларының графиктері мысал ретінде көрсетілген - қара сызық, - көк сызық, - қызыл сызық, - жасыл сызық. a=-1 үшін бізде бар кері пропорционалдық, кімнің графигі гипербола.

Теріс көрсеткіші тақ дәрежелі функцияның қасиеттері.

Теріс көрсеткіші бар қуат функциясы.

a=-2,-4,-6,… үшін қуат функциясына көшейік.

Суретте қуат функцияларының графиктері көрсетілген – қара сызық, – көк сызық, – қызыл сызық.

Жұп теріс көрсеткішті дәрежелік функцияның қасиеттері.

Мәні нөлден үлкен және бірден кіші рационал немесе иррационал көрсеткіші бар дәреже функциясы.

Назар аударыңыз!Егер а тақ бөлгіші бар оң бөлшек болса, онда кейбір авторлар дәреже функциясының анықталу облысын интервал деп есептейді. Көрсетілгендей, а көрсеткіші азайтылмайтын бөлшек. Қазір алгебра және талдау принциптері бойынша көптеген оқулықтардың авторлары аргументтің теріс мәндері үшін тақ бөлгіші бар бөлшек түріндегі көрсеткіші бар дәрежелік функцияларды АНЫҚТАМАДЫ. Біз дәл осы көзқарасты ұстанамыз, яғни жиынды бөлшек оң дәрежелі дәреже функцияларын анықтау облыстары деп қарастырамыз. Келіспеушілік тудырмас үшін оқушыларға осы нәзік тұсқа мұғалімнің пікірін білуге ​​кеңес береміз.

Рационал немесе иррационал a, және дәрежесі бар дәреже функциясын қарастырайық.

a=11/12 (қара сызық), a=5/7 (қызыл сызық), (көк сызық), a=2/5 (жасыл сызық) үшін қуат функцияларының графиктерін көрсетейік.

Бірден үлкен бүтін емес рационал немесе иррационал көрсеткіші бар дәреже функциясы.

Бүтін емес рационал немесе иррационал көрсеткіші a, және болатын дәреже функциясын қарастырайық.

Формулалар арқылы берілген дәрежелік функциялардың графиктерін ұсынайық (тиісінше қара, қызыл, көк және жасыл сызықтар).

a көрсеткішінің басқа мәндері үшін функцияның графиктері ұқсас көрініске ие болады.

кезіндегі қуат функциясының қасиеттері.

Нақты көрсеткіші минус бірден үлкен және нөлден кіші дәреже функциясы.

Назар аударыңыз!Егер а - тақ бөлгіші бар теріс бөлшек болса, онда кейбір авторлар дәреже функциясының анықталу облысын интервал деп есептейді. . Көрсетілгендей, а көрсеткіші азайтылмайтын бөлшек. Қазір алгебра және талдау принциптері бойынша көптеген оқулықтардың авторлары аргументтің теріс мәндері үшін тақ бөлгіші бар бөлшек түріндегі көрсеткіші бар дәрежелік функцияларды АНЫҚТАМАДЫ. Біз дәл осы көзқарасты ұстанамыз, яғни бөлшек бөлшек теріс көрсеткішті дәреже функцияларын анықтау облыстарын сәйкесінше жиын деп қарастырамыз. Келіспеушілік тудырмас үшін оқушыларға осы нәзік тұсқа мұғалімнің пікірін білуге ​​кеңес береміз.

Қуат функциясына көшейік, kgod.

Дәрежелік функциялардың графиктерінің пішіні туралы жақсы түсінікке ие болу үшін функциялардың графиктеріне мысалдар келтіреміз. (тиісінше қара, қызыл, көк және жасыл қисық).

Көрсеткіші а, болатын дәрежелік функцияның қасиеттері.

Минус бірден кіші бүтін емес нақты көрсеткіші бар дәреже функциясы.

үшін дәрежелік функциялардың графиктеріне мысалдар келтірейік , олар сәйкесінше қара, қызыл, көк және жасыл сызықтармен бейнеленген.

Бүтін емес теріс көрсеткіші минус бірден кіші дәрежелік функцияның қасиеттері.

a = 0 болғанда, бізде функция бар - бұл (0;1) нүктесі алынып тасталатын түзу (0 0 өрнегіне ешқандай мән бермеуге келісті).

Көрсеткіштік функция.

Негізгі элементар функциялардың бірі – көрсеткіштік функция.

Көрсеткіштік функцияның графигі, мұндағы және негізі а мәніне байланысты әр түрлі формада болады. Осыны анықтап көрейік.

Біріншіден, көрсеткіштік функцияның негізі нөлден бірге дейінгі мән алатын жағдайды қарастырайық, яғни .

Мысал ретінде a = 1/2 – көк сызық, a = 5/6 – қызыл сызық үшін көрсеткіштік функцияның графиктерін келтіреміз. Көрсеткіштік функцияның графиктері аралықтағы негіздің басқа мәндері үшін ұқсас көрініске ие.

Негізі бірден кіші көрсеткіштік функцияның қасиеттері.

Көрсеткіштік функцияның негізі бірден үлкен болған жағдайға көшейік, яғни .

Иллюстрация ретінде біз экспоненциалды функциялардың графиктерін ұсынамыз - көк сызық және - қызыл сызық. Бірден үлкен негіздің басқа мәндері үшін көрсеткіштік функцияның графиктері ұқсас көрініске ие болады.

Негізі бірден үлкен көрсеткіштік функцияның қасиеттері.

Логарифмдік функция.

Келесі негізгі элементар функция логарифмдік функция, мұндағы , . Логарифмдік функция аргументтің оң мәндері үшін ғана анықталады, яғни үшін.

Логарифмдік функцияның графигі а негізінің мәніне байланысты әртүрлі формада болады.

Қашан жағдайдан бастайық.

Мысал ретінде a = 1/2 – көк сызық, a = 5/6 – қызыл сызық үшін логарифмдік функцияның графиктерін келтіреміз. Бірден аспайтын негіздің басқа мәндері үшін логарифмдік функцияның графиктері ұқсас көрініске ие болады.

Негізі бірден кіші логарифмдік функцияның қасиеттері.

Логарифмдік функцияның негізі бірден () үлкен болған жағдайға көшейік.

Логарифмдік функциялардың графиктерін көрсетейік - көк сызық, - қызыл сызық. Бірден үлкен негіздің басқа мәндері үшін логарифмдік функцияның графиктері ұқсас көрініске ие болады.

Негізі бірден үлкен логарифмдік функцияның қасиеттері.

Тригонометриялық функциялар, олардың қасиеттері және графиктері.

Барлық тригонометриялық функциялар (синус, косинус, тангенс және котангенс) негізгі элементар функцияларға жатады. Енді біз олардың графиктерін қарап, қасиеттерін тізімдейміз.

Тригонометриялық функциялардың ұғымы бар жиілігі(период бойынша бір-бірінен ерекшеленетін аргументтің әртүрлі мәндері үшін функция мәндерінің қайталануы , мұндағы T - период), сондықтан тригонометриялық функциялардың қасиеттерінің тізіміне элемент қосылды. «ең кіші оң кезең». Сондай-ақ, әрбір тригонометриялық функция үшін сәйкес функция жойылатын аргументтің мәндерін көрсетеміз.

Енді барлық тригонометриялық функцияларды ретімен қарастырайық.

Синус функциясы y = sin(x) .

Синус функциясының графигін салайық, ол «синус толқыны» деп аталады.

Синус функциясының қасиеттері y = sinx.

Косинус функциясы y = cos(x) .

Косинус функциясының («косинус» деп аталады) графигі келесідей:

y = cosx косинус функциясының қасиеттері.

Тангенс функциясы y = tan(x) .

Тангенс функциясының («тангентоид» деп аталады) графигі келесідей:

Тангенс функциясының қасиеттері y = tanx.

Котангенс функциясы y = ctg(x) .

Котангенс функциясының графигін салайық («котангентоид» деп аталады):

y = ctgx котангенс функциясының қасиеттері.

Кері тригонометриялық функциялар, олардың қасиеттері және графиктері.

Кері тригонометриялық функциялар (доға синусы, доға котангенсі, доға тангенсі және доға котангенсі) негізгі элементар функциялар болып табылады. Көбінесе «доға» префиксі болғандықтан кері тригонометриялық функциялар доғалық функциялар деп аталады. Енді біз олардың графиктерін қарап, қасиеттерін тізімдейміз.

Арксинус функциясы y = arcsin(x) .

Арксинус функциясының графигін салайық:

Әдебиеттер тізімі.

• Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. және т.б. Алгебра және талдаудың бастаулары: Оқулық. 10-11 сыныптар үшін. жалпы білім беретін мекемелер.
• Выгодский М.Я. Бастауыш математика анықтамалығы.
• Новоселов С.И. Алгебра және элементар функциялар.
• Тұманов С.И. Бастауыш алгебра. Өзін-өзі тәрбиелеуге арналған нұсқаулық.

Сіз функциялармен таныссыз ба y=x, y=x 2 , y=x 3 , y=1/xБұл функциялардың барлығы қуат функциясының, яғни функцияның ерекше жағдайлары болып табылады y=x б, мұндағы p – берілген нақты сан. Дәрежелік функцияның қасиеттері мен графигі нақты көрсеткіші бар дәреженің қасиеттеріне, атап айтқанда оның мәндеріне айтарлықтай тәуелді. xЖәне бдәрежесі мағынасы бар x б. Көрсеткішке байланысты әртүрлі жағдайларды ұқсас қарастыруға көшейік б.

Индекс p=2n- жұп натурал сан.

Бұл жағдайда қуат функциясы y=x 2n, Қайда n- натурал сан, келесісі бар

қасиеттері:

анықтау облысы – барлық нақты сандар, яғни R жиыны;

мәндер жиыны - теріс емес сандар, яғни y 0-ден үлкен немесе оған тең;

функциясы y=x 2nтіпті, өйткені x 2n =(-x) 2n

функция аралықта азаяды x<0 және аралықта артады x>0.

Функцияның графигі y=x 2nмысалы, функцияның графигі сияқты пішінге ие y=x 4 .

2. Көрсеткіш p=2n-1- тақ натурал сан Бұл жағдайда қуат функциясы y=x 2n-1, мұндағы натурал санның келесі қасиеттері бар:

анықтау облысы – R жиыны;

мәндер жиыны - R жиыны;

функциясы y=x 2n-1тақ, өйткені (- x) 2n-1 =x 2n-1 ;

функция бүкіл нақты осьте өседі.

Функцияның графигі y=x2n-1мысалы, функцияның графигі сияқты пішінге ие y=x3.

3. Көрсеткіш p=-2n, Қайда n-натурал сан.

Бұл жағдайда қуат функциясы y=x -2н =1/х 2n келесі қасиеттерге ие:

мәндер жиыны – оң сандар y>0;

функциясы у =1/х 2nтіпті, өйткені 1/(-x) 2n =1/х 2n ;

функция x интервалында өседі<0 и убывающей на промежутке x>0.

y функциясының графигі =1/х 2nмысалы, у функциясының графигі сияқты пішінге ие =1/х 2 .

4. Көрсеткіш p=-(2n-1), Қайда n- натурал сан. Бұл жағдайда қуат функциясы y=x -(2n-1)келесі қасиеттерге ие:

анықтау облысы – R жиыны, x=0 қоспағанда;

мәндер жиыны - R жиыны, y=0 қоспағанда;

функциясы y=x -(2n-1)тақ, өйткені (- x) -(2n-1) =-x -(2n-1) ;

функция интервалдар бойынша азаяды x<0 Және x>0.

Функцияның графигі y=x -(2n-1)мысалы, функцияның графигі сияқты пішінге ие y=1/x 3 .

1. Кері тригонометриялық функциялар, олардың қасиеттері және графиктері.

Кері тригонометриялық функциялар, олардың қасиеттері және графиктері.Кері тригонометриялық функциялар (дөңгелек функциялар, доға функциялары) - тригонометриялық функцияларға кері болатын математикалық функциялар.

1. arcsin функциясы

Функцияның графигі .

арксинуссандар мбұл бұрыштың мәні деп аталады x, ол үшін

Функция үздіксіз және бүкіл сан түзуімен шектелген. Функция қатаң түрде артып келеді.

1. [Өңдеу]arcsin функциясының қасиеттері

1. [Өңдеу]arcsin функциясын алу

Функцияның бүкіл бойына берілген анықтау аймағыол болады бөлшектік монотонды, демек, кері сәйкестік функция емес. Сондықтан, біз ол барлық мәндерді қатаң түрде арттыратын және қабылдайтын сегментті қарастырамыз мәндер ауқымы- . Интервалдағы функция үшін аргументтің әрбір мәні функцияның бір мәніне сәйкес келетіндіктен, бұл аралықта кері функция оның графигі түзу сызыққа қатысты сегменттегі функцияның графигіне симметриялы

Дәріс: Натурал көрсеткішті дәреже функциясы, оның графигі

Біз үнемі аргумент белгілі дәрежеде болатын функциялармен айналысамыз:
y = x 1, y = x 2, y = x 3, y = x -1, т.б.

Дәрежелік функциялардың графиктері

Енді біз қуат функциясының бірнеше ықтимал жағдайларын қарастырамыз.

1) y = x 2 n .

Бұл енді көрсеткіші жұп сан болатын функцияларды қарастырамыз дегенді білдіреді.

Функция сипаттамасы:

1. Барлық нақты сандар мәндер ауқымы ретінде қабылданады.

2. Функция барлық оң мәндерді және нөл санын қабылдай алады.

3. Функция жұп, себебі ол аргументтің белгісіне тәуелді емес, тек оның модуліне тәуелді.

4. Оң аргумент үшін функция артады, ал теріс аргумент үшін ол азаяды.

Бұл функциялардың графиктері параболаға ұқсайды. Мысалы, төменде у = x 4 функциясының графигі берілген.

2) Функцияның тақ көрсеткіші бар: y = x 2 n +1.

1. Функцияның анықталу облысы – нақты сандар жиыны.

2. Функция мәнінің облысы – кез келген нақты сан түрін қабылдай алады.

3. Бұл функция біртүрлі.

4. Функцияны қарастырудың барлық интервалында монотонды түрде артады.

5. Көрсеткіші тақ болатын барлық дәрежелік функциялардың графигі у = x 3 функциясымен бірдей.

3) Функцияның жұп теріс табиғи көрсеткіші бар: y = x -2 n.

Теріс көрсеткіш азайғыштан дәрежені түсіріп, көрсеткіш белгісін өзгертуге мүмкіндік беретіні бәрімізге белгілі, яғни у = 1/х 2 n түрін аламыз.

1. Бұл функцияның аргументі нөлден басқа кез келген мәнді қабылдай алады, өйткені айнымалы бөлгіште болады.

2. Көрсеткіш жұп сан болғандықтан, функция теріс мәндерді қабылдай алмайды. Ал аргумент нөлге тең бола алмайтындықтан, функцияның нөлге тең мәнін де алып тастау керек. Бұл функция тек оң мәндерді қабылдай алатынын білдіреді.

3. Бұл функция жұп.

4. Теріс аргумент үшін функция монотонды түрде артады, ал оң аргумент үшін ол азаяды.

y = x -2 функциясының графигінің түрі:

4) Теріс тақ көрсеткішті функция y = x -(2 n +1) .

1. Бұл функция нөлден басқа барлық аргумент мәндері үшін бар.

2. Функция нөлден басқа барлық нақты мәндерді қабылдайды.

3. Бұл функция біртүрлі.

4. Қарастырылып отырған екі аралықта азаяды.

Теріс тақ көрсеткіші бар функцияның графигінің мысалын у = x -3 мысалы арқылы қарастырайық.

y = x p дәреже функциясының анықталу облысында келесі формулалар орындалады:
; ;
;
; ;
; ;
; .

Дәрежелік функциялардың қасиеттері және олардың графиктері

Дәрежесі нөлге тең, p = 0 болатын қуат функциясы

Егер y = x p дәрежелік функциясының көрсеткіші нөлге тең болса, p = 0, онда дәреже функциясы барлық x ≠ 0 үшін анықталады және бірге тең тұрақты болады:
y = x p = x 0 = 1, x ≠ 0.

Табиғи тақ көрсеткішті қуат функциясы, p = n = 1, 3, 5, ...

Табиғи тақ көрсеткіші n = 1, 3, 5, ... болатын у = x p = x n дәрежелік функцияны қарастырайық. Бұл көрсеткішті келесі түрде де жазуға болады: n = 2k + 1, мұндағы k = 0, 1, 2, 3, ... теріс емес бүтін сан. Төменде осындай функциялардың қасиеттері мен графиктері берілген.

n = 1, 3, 5, ... көрсеткішінің әртүрлі мәндері үшін табиғи тақ көрсеткіші бар у = x n дәрежелік функцияның графигі.

Домен: -∞ < x < ∞
Көп мағыналар: -∞ < y < ∞
Паритет:тақ, у(-х) = - у(х)
Монотонды:монотонды түрде артады
Төтенше жағдайлар:Жоқ
дөңес:
-∞ нүктесінде< x < 0 выпукла вверх
0-де< x < ∞ выпукла вниз
Иілу нүктелері: x = 0, y = 0
x = 0, y = 0
Шектер:
;
Жеке құндылықтар:
х = -1 кезінде,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
х = 0 кезінде, у(0) = 0 n = 0
x = 1 үшін, y(1) = 1 n = 1
Кері функция:
n = 1 үшін функция оған кері: x = y
n ≠ 1 үшін кері функция n дәрежесінің түбірі болады:

Табиғи жұп көрсеткішті қуат функциясы, p = n = 2, 4, 6, ...

Табиғи жұп көрсеткіші n = 2, 4, 6, ... болатын у = x p = x n дәрежелік функцияны қарастырайық. Бұл көрсеткішті келесі түрде де жазуға болады: n = 2k, мұндағы k = 1, 2, 3, ... - табиғи. Мұндай функциялардың қасиеттері мен графиктері төменде берілген.

n = 2, 4, 6, ... көрсеткішінің әртүрлі мәндері үшін табиғи жұп көрсеткіші бар у = x n дәрежелік функцияның графигі.

Домен: -∞ < x < ∞
Көп мағыналар: 0 ≤ y< ∞
Паритет:жұп, y(-x) = y(x)
Монотонды:
x ≤ 0 үшін монотонды түрде төмендейді
x ≥ 0 үшін монотонды түрде артады
Төтенше жағдайлар:минимум, x = 0, y = 0
дөңес:дөңес төмен
Иілу нүктелері:Жоқ
Координаталық осьтермен қиылысу нүктелері: x = 0, y = 0
Шектер:
;
Жеке құндылықтар:
х = -1 кезінде, y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1
х = 0 кезінде, у(0) = 0 n = 0
x = 1 үшін, y(1) = 1 n = 1
Кері функция:
n = 2 үшін квадрат түбірі:
n ≠ 2 үшін, n дәрежесінің түбірі:

Теріс бүтін көрсеткішті дәреже функциясы, p = n = -1, -2, -3, ...

Бүтін теріс көрсеткіші n = -1, -2, -3, ... болатын у = x p = x n дәрежелік функцияны қарастырайық. Егер n = -k қойсақ, мұндағы k = 1, 2, 3, ... натурал сан, онда оны келесі түрде көрсетуге болады:

n = -1, -2, -3, ... көрсеткішінің әртүрлі мәндері үшін теріс бүтін көрсеткіші бар у = x n дәрежелік функцияның графигі.

Тақ көрсеткіш, n = -1, -3, -5, ...

Төменде n = -1, -3, -5, ... тақ теріс көрсеткішті y = x n функциясының қасиеттері берілген.

Домен: x ≠ 0
Көп мағыналар: y ≠ 0
Паритет:тақ, у(-х) = - у(х)
Монотонды:монотонды түрде төмендейді
Төтенше жағдайлар:Жоқ
дөңес:
x кезінде< 0 : выпукла вверх
x > 0 үшін: төмен қарай дөңес
Иілу нүктелері:Жоқ
Координаталық осьтермен қиылысу нүктелері:Жоқ
Белгі:
x кезінде< 0, y < 0
x > 0, y > 0 үшін
Шектер:
; ; ;
Жеке құндылықтар:
x = 1 үшін, y(1) = 1 n = 1
Кері функция:
n = -1 болғанда,
n< -2 ,

Жұп көрсеткіш, n = -2, -4, -6, ...

Төменде жұп теріс көрсеткіші n = -2, -4, -6, ... болатын у = x n функциясының қасиеттері берілген.

Домен: x ≠ 0
Көп мағыналар: y > 0
Паритет:жұп, y(-x) = y(x)
Монотонды:
x кезінде< 0 : монотонно возрастает
x > 0 үшін: монотонды түрде төмендейді
Төтенше жағдайлар:Жоқ
дөңес:дөңес төмен
Иілу нүктелері:Жоқ
Координаталық осьтермен қиылысу нүктелері:Жоқ
Белгі: y > 0
Шектер:
; ; ;
Жеке құндылықтар:
x = 1 үшін, y(1) = 1 n = 1
Кері функция:
n = -2 кезінде,
n< -2 ,

Рационал (бөлшек) көрсеткішті дәреже функциясы

Рационал (бөлшек) көрсеткіші бар у = x p дәреже функциясын қарастырайық, мұндағы n - бүтін сан, m > 1 - натурал сан. Оның үстіне n, m ортақ бөлгіштері жоқ.

Бөлшек көрсеткішінің бөлгіші тақ

Бөлшек көрсеткіштің бөлімі тақ болсын: m = 3, 5, 7, ... . Бұл жағдайда x p қуат функциясы х аргументінің оң және теріс мәндері үшін анықталады. Көрсеткіш p белгілі бір шектерде болғанда мұндай дәрежелік функциялардың қасиеттерін қарастырайық.

p-мәні теріс, p< 0

Рационал көрсеткіш (тақ бөлімі m = 3, 5, 7, ...) нөлден кіші болсын: .

Көрсеткіштің әртүрлі мәндері үшін рационал теріс көрсеткіші бар дәрежелік функциялардың графиктері, мұндағы m = 3, 5, 7, ... - тақ.

Тақ алым, n = -1, -3, -5, ...

Рационал теріс көрсеткішті y = x p дәреже функциясының қасиеттерін береміз, мұндағы n = -1, -3, -5, ... тақ теріс бүтін сан, m = 3, 5, 7 ... тақ табиғи бүтін сан.

Домен: x ≠ 0
Көп мағыналар: y ≠ 0
Паритет:тақ, у(-х) = - у(х)
Монотонды:монотонды түрде төмендейді
Төтенше жағдайлар:Жоқ
дөңес:
x кезінде< 0 : выпукла вверх
x > 0 үшін: төмен қарай дөңес
Иілу нүктелері:Жоқ
Координаталық осьтермен қиылысу нүктелері:Жоқ
Белгі:
x кезінде< 0, y < 0
x > 0, y > 0 үшін
Шектер:
; ; ;
Жеке құндылықтар:
кезінде x = -1, y(-1) = (-1) n = -1
x = 1 үшін, y(1) = 1 n = 1
Кері функция:

Жұп алым, n = -2, -4, -6, ...

Рационал теріс көрсеткішті y = x p дәреже функциясының қасиеттері, мұндағы n = -2, -4, -6, ... жұп теріс бүтін сан, m = 3, 5, 7 ... тақ натурал сан. .

Домен: x ≠ 0
Көп мағыналар: y > 0
Паритет:жұп, y(-x) = y(x)
Монотонды:
x кезінде< 0 : монотонно возрастает
x > 0 үшін: монотонды түрде төмендейді
Төтенше жағдайлар:Жоқ
дөңес:дөңес төмен
Иілу нүктелері:Жоқ
Координаталық осьтермен қиылысу нүктелері:Жоқ
Белгі: y > 0
Шектер:
; ; ;
Жеке құндылықтар:
кезінде x = -1, y(-1) = (-1) n = 1
x = 1 үшін, y(1) = 1 n = 1
Кері функция:

p-мәні оң, бірден кем, 0< p < 1

Рационал көрсеткішті дәрежелік функцияның графигі (0< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Тақ алым, n = 1, 3, 5, ...

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Домен: -∞ < x < +∞
Көп мағыналар: -∞ < y < +∞
Паритет:тақ, у(-х) = - у(х)
Монотонды:монотонды түрде артады
Төтенше жағдайлар:Жоқ
дөңес:
x кезінде< 0 : выпукла вниз
x > 0 үшін: дөңес жоғары
Иілу нүктелері: x = 0, y = 0
Координаталық осьтермен қиылысу нүктелері: x = 0, y = 0
Белгі:
x кезінде< 0, y < 0
x > 0, y > 0 үшін
Шектер:
;
Жеке құндылықтар:
кезінде x = -1, y(-1) = -1
х = 0 кезінде, у(0) = 0
x = 1 үшін, у(1) = 1
Кері функция:

Жұп алым, n = 2, 4, 6, ...

Рационал көрсеткіші 0 шегінде болатын у = x p дәрежелік функциясының қасиеттері берілген< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Домен: -∞ < x < +∞
Көп мағыналар: 0 ≤ y< +∞
Паритет:жұп, y(-x) = y(x)
Монотонды:
x кезінде< 0 : монотонно убывает
x > 0 үшін: монотонды түрде артады
Төтенше жағдайлар:минимум x = 0, у = 0 кезінде
дөңес: x ≠ 0 үшін дөңес жоғары
Иілу нүктелері:Жоқ
Координаталық осьтермен қиылысу нүктелері: x = 0, y = 0
Белгі: x ≠ 0, y > 0 үшін
Шектер:
;
Жеке құндылықтар:
кезінде x = -1, y(-1) = 1
х = 0 кезінде, у(0) = 0
x = 1 үшін, у(1) = 1
Кері функция:

p индексі бірден үлкен, p > 1

Көрсеткіштің әртүрлі мәндері үшін рационал көрсеткішті (p > 1) дәрежелік функцияның графигі, мұндағы m = 3, 5, 7, ... - тақ.

Тақ алым, n = 5, 7, 9, ...

Рационал көрсеткіші бірден үлкен y = x p дәреже функциясының қасиеттері: . Мұндағы n = 5, 7, 9, ... - тақ натурал, m = 3, 5, 7 ... - тақ натурал.

Домен: -∞ < x < ∞
Көп мағыналар: -∞ < y < ∞
Паритет:тақ, у(-х) = - у(х)
Монотонды:монотонды түрде артады
Төтенше жағдайлар:Жоқ
дөңес:
-∞ нүктесінде< x < 0 выпукла вверх
0-де< x < ∞ выпукла вниз
Иілу нүктелері: x = 0, y = 0
Координаталық осьтермен қиылысу нүктелері: x = 0, y = 0
Шектер:
;
Жеке құндылықтар:
кезінде x = -1, y(-1) = -1
х = 0 кезінде, у(0) = 0
x = 1 үшін, у(1) = 1
Кері функция:

Жұп алым, n = 4, 6, 8, ...

Рационал көрсеткіші бірден үлкен y = x p дәреже функциясының қасиеттері: . Мұндағы n = 4, 6, 8, ... - жұп натурал, m = 3, 5, 7 ... - тақ натурал.

Домен: -∞ < x < ∞
Көп мағыналар: 0 ≤ y< ∞
Паритет:жұп, y(-x) = y(x)
Монотонды:
x кезінде< 0 монотонно убывает
x > 0 үшін монотонды түрде артады
Төтенше жағдайлар:минимум x = 0, у = 0 кезінде
дөңес:дөңес төмен
Иілу нүктелері:Жоқ
Координаталық осьтермен қиылысу нүктелері: x = 0, y = 0
Шектер:
;
Жеке құндылықтар:
кезінде x = -1, y(-1) = 1
х = 0 кезінде, у(0) = 0
x = 1 үшін, у(1) = 1
Кері функция:

Бөлшек көрсеткішінің бөлгіші жұп

Бөлшек көрсеткіштің бөлімі жұп болсын: m = 2, 4, 6, ... . Бұл жағдайда x p қуат функциясы аргументтің теріс мәндері үшін анықталмаған. Оның қасиеттері иррационал көрсеткіші бар дәрежелік функцияның қасиеттерімен сәйкес келеді (келесі бөлімді қараңыз).

Иррационал көрсеткішті қуат функциясы

р иррационал көрсеткіші бар у = x p дәрежелік функцияны қарастырайық. Мұндай функциялардың қасиеттері жоғарыда қарастырылғандардан ерекшеленеді, өйткені олар х аргументінің теріс мәндері үшін анықталмаған. Аргументтің оң мәндері үшін сипаттар тек p көрсеткішінің мәніне тәуелді және p бүтін, рационал немесе иррационал екеніне тәуелді емес.

Теріс көрсеткіші p бар қуат функциясы< 0

Домен: x > 0
Көп мағыналар: y > 0
Монотонды:монотонды түрде төмендейді
дөңес:дөңес төмен
Иілу нүктелері:Жоқ
Координаталық осьтермен қиылысу нүктелері:Жоқ
Шектер: ;
Жеке мағынасы: x = 1 үшін у(1) = 1 p = 1

Оң көрсеткіші p > 0 болатын қуат функциясы

Көрсеткіш бір 0-ден аз< p < 1

Домен: x ≥ 0
Көп мағыналар: y ≥ 0
Монотонды:монотонды түрде артады
дөңес:жоғары қарай дөңес
Иілу нүктелері:Жоқ
Координаталық осьтермен қиылысу нүктелері: x = 0, y = 0
Шектер:
Жеке құндылықтар: x = 0 үшін, y(0) = 0 p = 0 .
x = 1 үшін у(1) = 1 p = 1

Көрсеткіш бір p > 1-ден үлкен

Домен: x ≥ 0
Көп мағыналар: y ≥ 0
Монотонды:монотонды түрде артады
дөңес:дөңес төмен
Иілу нүктелері:Жоқ
Координаталық осьтермен қиылысу нүктелері: x = 0, y = 0
Шектер:
Жеке құндылықтар: x = 0 үшін, y(0) = 0 p = 0 .
x = 1 үшін у(1) = 1 p = 1

Қолданылған әдебиет:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Инженерлер мен колледж студенттеріне арналған математика анықтамалығы, «Лан», 2009 ж.