1-ден 5-ке дейінгі сандардың қосындысы. Көңілді математика: Гаусс ережесі

Мазмұны:

Бүтін сандар – бөлшек немесе ондық бөлігі жоқ сандар. Егер тапсырма 1-ден берілген N мәніне бүтін сандардың белгілі бір санын қосуды қажет етсе, онда оларды қолмен қосу қажет емес. Оның орнына (N(N+1))/2 формуласын пайдаланыңыз, мұндағы N қатардағы ең үлкен сан.

Қадамдар

1. 1 Ең үлкен бүтін санды (N) анықтаңыз. 1-ден кез келген N санына дейінгі бүтін сандарды қосу арқылы N мәнін анықтау керек (N ондық сан немесе бөлшек немесе теріс сан бола алмайды).
   • Мысал. 1-ден 100-ге дейінгі барлық бүтін сандардың қосындысын табыңыз. Бұл жағдайда N=100, өйткені бұл сізге берілген сандар қатарының ең үлкен (және соңғы) саны.
2. 2 N-ді (N + 1) көбейтіп, 2-ге бөліңіз. N бүтін мәнін анықтағаннан кейін оны (N(N+1))/2 формуласына ауыстырыңыз және 1-ден N-ге дейінгі барлық бүтін сандардың қосындысын табасыз.
   • Мысал. N=100 ауыстырыңыз және (100(100+1))/2 алыңыз.
3. 3 Жауабын жазыңыз.Соңғы жауап 1-ден N-ге дейінгі барлық бүтін сандардың қосындысы болып табылады.
   • Мысал.
     • (100(100+1))/2 =
     • (100(101))/2 =
     • (10100)/2 = 5050
     • 1-ден 100-ге дейінгі барлық бүтін сандардың қосындысы 5050-ге тең.
4. 4 (N(N+1))/2 формуласын шығару.Жоғарыдағы мысалды қайта қарастырыңыз. 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 99 + 100 жолын ойша екі жолға бөліңіз - біріншісі 1-ден 50-ге дейін, екіншісі 51-ден 100-ге дейін. Егер сіз біріншінің бірінші санын (1) қоссаңыз. жол және екінші жолдың соңғы саны (100 ) болса, сіз 101 аласыз. Сондай-ақ 2 мен 99, 3 және 98, 4 және 97 және т.б. қоссаңыз, 101 аласыз. Егер бірінші топтың әрбір саны екінші топтың сәйкес санына қосылса, соңында біз әрқайсысы 101-ге тең 50 сан аламыз. Демек, 50 * 101 \u003d 5050 - 1-ге дейінгі сандардың қосындысы 100-ге дейін. 50 \u003d 100/2 және 101 = 100 + 1 екенін ескеріңіз. Шындығында, бұл кез келген оң бүтін сандардың қосындысына қатысты: олардың қосындысын екі қатар сандармен және сәйкес сандармен екі кезеңге бөлуге болады. әр қатарда бір-біріне қосуға болады және қосу нәтижесі бірдей болады.
   • 1-ден N-ге дейінгі бүтін сандардың қосындысы (N/2)(N+1) деп айта аламыз. Бұл формуланың жеңілдетілген нұсқасы (N(N+1))/2 формуласы болып табылады.

1-ден N-ге дейінгі қосындыны пайдаланып, екі санның арасында орналасқан сандардың қосындысын есептеу

1. 1 Қосынды опциясын анықтаңыз (қоса немесе жоқ).Көбінесе тапсырмаларда 1-ден N санына дейінгі сандардың қосындысын табудың орнына, N 1-ден N 2-ге дейінгі бүтін сандардың қосындысын табу ұсынылады, мұндағы N 2 > N 1 және екі сан да > 1. Мұндай санды есептеу сома өте қарапайым, бірақ есептеулерді бастамас бұрын, N 1 және N 2-де берілген сандар соңғы қосындыға кіретінін немесе қосылмағанын анықтау керек.
2. 2 N 1 және N 2 екі санының арасындағы бүтін сандардың қосындысын табу үшін N 1-ге дейінгі қосындыны бөлек табыңыз, N 2-ге дейінгі қосындыны бөлек табыңыз және оларды бір-бірінен шегеріңіз (негізінен кіші N-ге дейінгі қосындыны шегеріңіз. үлкен N) қосындысы. Бұл жағдайда инклюзивті түрде қорытындылау керек пе, жоқ па, білу маңызды. Инклюзивті жинақтау кезінде N 1 берілген мәннен 1-ді алу керек; әйтпесе, N 2 берілген мәннен 1-ді алып тастау керек.
   • Мысал. N 1 = 75-тен N 2 = 100-ге дейінгі бүтін сандардың қосындысын («қоса») табыңыз. Басқаша айтқанда, 75 + 76 + 77 + ... + 99 + 100 табу керек. Есепті шешу үшін біз табуымыз керек. 1-ден N 1-ге дейінгі бүтін сандардың қосындысы, содан кейін оны 1-ден N 2-ге дейінгі сандардың қосындысынан шегеріңіз (есіңізде болсын: қоса алғанда, N 1-ден 1-ді шегереміз):
     • (N 2 (N 2 + 1))/2 - ((N 1 -1)((N 1 -1) + 1))/2 =
     • (100(100 + 1))/2 - (74(74 + 1))/2 =
     • 5050 - (74(75))/2 =
     • 5050 - 5550/2 =
     • 5050 - 2775 = 2275. 75-тен 100-ге дейінгі сандардың қосындысы («қоса алғанда») 2275.
   • Енді берілген сандарды қоспай сандардың қосындысын табайық (басқаша айтқанда, 76 + 77 + ... + 99 табу керек). Бұл жағдайда N 2-ден 1-ді шегереміз:
     • ((N 2 -1)((N 2 -1) + 1))/2 - (N 1 (N 1 + 1))/2 =
     • (99(99 +1))/2 - (75(75 + 1))/2 =
     • (99(100))/2 - (75(76))/2 =
     • 9900/2 - 5700/2 =
     • 4950 - 2850 \u003d 2100. 75-тен 100-ге дейінгі сандардың қосындысы (осы сандарды қоспай) 2100.
3. 3 Процесті түсініңіз. 1-ден 100-ге дейінгі бүтін сандардың қосындысын 1 + 2 + 3 +... + 98 + 99 + 100 және 1-ден 75-ке дейінгі бүтін сандардың қосындысын 1 + 2 + 3 + ... + 73 + 74 + деп ойлаңыз. 75. 75-тен 100-ге дейінгі ("қоса алғанда") бүтін сандардың қосындысы есептеу болып табылады: 75 + 76 + 77 + ... + 99 + 100. 1-ден 75-ке дейінгі сандардың қосындысы және сандардың қосындысы 1-ден 100-ге дейін 75 санына тең, бірақ 75-тен кейінгі 1-ден 100-ге дейінгі сандардың қосындысы жалғасады: ... + 76 + 77 + ... + 99 + 100. Осылайша, сандардың қосындысын шегереміз. 1-ден 100-ге дейінгі сандардың қосындысынан 1-ден 75-ке дейін, біз 75-тен 100-ге дейінгі бүтін сандардың қосындысын «оқшаулаймыз».
   • Егер біз инклюзивті түрде қоссақ, 75 санын соңғы қосындыға қосу үшін 1-ден 75-ке дейінгі қосындыны емес, 1-ден 74-ке дейінгі қосындыны пайдалануымыз керек.
   • Сол сияқты, егер бұл сандарды қоспай қоссақ, 100 санын соңғы қосындыдан алып тастау үшін 1-ден 100-ге дейінгі қосындыны емес, 1-ден 99-ға дейінгі қосындыны пайдалануымыз керек. Біз 1-ден 75-ке дейінгі қосындыны пайдалана аламыз, өйткені оны 1-ден 99-ға дейінгі қосындыдан шегергенде, соңғы қосындыдан 75 саны жойылады.

• Қосындыны есептеу нәтижесі әрқашан бүтін сан болады, өйткені N немесе N + 1 2-ге қалдықсыз бөлінетін жұп сан.
• Сома = Сома - Сома.
• Басқаша айтқанда: Қосынды = n(n+1)/2

Ескертулер

• Бұл әдісті теріс сандарға дейін кеңейту өте қиын болмаса да, бұл мақала тек N 1-ден үлкен немесе тең болатын кез келген оң бүтін N сандарын қарастырады.

өтінемін көмектесіңіз!! 1+2+3+4+...+97+98+99+100 натурал сандарының қосындысын есепте. және ең жақсы жауап алды

Александр Хайноненнің жауабы [гуру]
Немістің көрнекті математигі Карл Фридрих Гауссты (1777-1855) замандастары «математика патшасы» деп атаған.
Ол ерте балалық шағында-ақ тамаша математикалық қабілеттерін көрсетті. Үш жасында Гаусс әкесінің есептерін түзетіп үлгерді.
Олардың айтуынша, Гаусс (6 жас) оқыған бастауыш мектепте мұғалім сыныпты ұзақ уақыт өздік жұмыспен қамту үшін оқушыларға 1-ден барлық натурал сандардың қосындысын есептеуді тапсырған. 100-ге дейін. Кішкентай Гаусс сұраққа лезде жауап берді, бұл таңғаларлық барлығын және ең алдымен мұғалімді таң қалдырды.
Жоғарыдағы сандардың қосындысын табу есебін ауызша шешуге тырысайық. Алдымен 1-ден 10-ға дейінгі сандардың қосындысын алайық: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + +7 + 8 + 9 + 10.
Гаусс 1 + 10 = 11 және 2 + 9 = 11 және т.б. Ол 1-ден 10-ға дейінгі натурал сандарды қосқанда осындай 5 жұп шығатынын, 5 есе 11 саны 55-ке тең болатынын анықтады.
Гаусс барлық қатардың сандарын қосуды жұппен жүргізу керектігін көрді және ол 1-ден 100-ге дейінгі сандарды жылдам қосу алгоритмін құрастырды.
1 2 3 4 5 6 7 8 …49 50 51 52 …94 95 96 97 98 99 100
1. 1-ден 100-ге дейінгі қатардағы сандар жұбының санын санау керек.50 жұп аламыз.
2. Бүкіл тізбектің бірінші және соңғы сандарын қосыңыз. Біздің жағдайда бұл 1 және 100. Біз 101 аламыз.
3. Тізбектегі сандар жұптарының санын 2-тармақта алынған сомаға көбейтеміз. Біз 5050 аламыз.
Сонымен, 1-ден 100-ге дейінгі натурал сандардың қосындысы 5050-ге тең.
Қарапайым формула: 1-ден n-ге дейінгі сандардың қосындысы = n * (n+1) : 2. n-ді соңғы санмен ауыстырыңыз және есептеңіз.
Мынаны көр! Ол істейді!

Жауабы Яня Фертикова[жаңадан]
5050

Жауабы Михаил Медведев[белсенді]
5050

Жауабы Павел Соломенников[жаңадан]
5050

Жауабы Алевтина Башкова[жаңадан]
5050

Жауабы Ђигр Тихомирова[белсенді]
5050

Жауабы Мария Дубровина[жаңадан]
5050

Жауабы Аавиль Бадиров[жаңадан]
5050

Жауабы Дмитрий[белсенді]
5050

Жауабы Евгений Саяпов[белсенді]
5050

Жауабы 2 жауап[гуру]

«Көңілді математика» циклі математиканы жақсы көретін балаларға және балаларының дамуына уақыт бөлетін ата-аналарға арналған, оларды қызықты және қызықты тапсырмалармен, басқатырғыштармен «лақтырып».

Бұл топтаманың бірінші мақаласы Гаусс ережесіне арналған.

Біраз тарих

Атақты неміс математигі Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) бала кезінен өзінің құрдастарынан ерекшеленді. Кедей отбасынан шыққанына қарамастан, оқуды, жазуды, санауды ерте үйренген. Оның өмірбаянында тіпті 4-5 жасында әкесінің қате есептеріндегі қатесін жай ғана қарап отырып түзегені туралы айтылады.

Оның алғашқы жаңалықтарының бірі 6 жасында математика сабағында ашылған. Мұғалімге ұзақ уақыт бойы балаларды баурап алу қажет болды және ол келесі мәселені ұсынды:

1-ден 100-ге дейінгі барлық натурал сандардың қосындысын табыңыз.

Жас Гаусс бұл тапсырманы тез жеңіп, қызықты үлгіні тапты, ол кеңінен таралған және әлі де ақыл-ой санауында қолданылады.

Бұл мәселені ауызша шешуге тырысайық. Бірақ алдымен 1-ден 10-ға дейінгі сандарды алайық:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10

Осы соманы мұқият қарап шығыңыз және Гаусстың не ерекше екенін анықтауға тырысыңыз? Жауап беру үшін сандардың құрамын жақсы түсіну керек.

Гаусс сандарды былай топтады:

(1+10) + (2+9) + (3+8) + (4+7) + (5+6)

Осылайша кішкентай Карл 5 жұп сандарды алды, олардың әрқайсысы жеке-жеке барлығы 11 береді.Содан кейін 1-ден 10-ға дейінгі натурал сандардың қосындысын есептеу үшін сізге қажет.

Бастапқы мәселеге оралайық. Гаусс жинақтау алдында сандарды жұптарға топтау керектігін байқады және сол арқылы 1-ден 100-ге дейінгі сандарды жылдам қосуға болатын алгоритм ойлап тапты:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100

Натурал сандар қатарындағы жұптардың санын табыңыз. Бұл жағдайда 50 бар.

Осы қатардың бірінші және соңғы сандарын қос. Біздің мысалда бұл 1 және 100. Біз 101 аламыз.

Қатардың бірінші және соңғы мүшесінің алынған қосындысын осы қатардың жұптарының санына көбейтеміз. Біз 101 * 50 = 5050 аламыз

Демек, 1-ден 100-ге дейінгі натурал сандардың қосындысы 5050-ге тең.

Гаусс ережесін қолдануға арналған тапсырмалар

Енді сіздердің назарларыңызды Гаусс ережесі қандай да бір дәрежеде қолданылатын есептерге шақырамыз. Бұл жұмбақтарды төртінші сынып оқушысы түсінуге және шешуге өте қабілетті.

Сіз балаға бұл ережені «ойлап табуы» үшін өзі туралы ойлауға мүмкіндік бере аласыз. Сіз оны бөлшектеп, оның оны қалай пайдалана алатынын көре аласыз. Төменде берілген тапсырмалардың арасында Гаусс ережесін берілген реттілікке қолдану үшін оны қалай өзгерту керектігін түсіну қажет мысалдар бар.

Қалай болғанда да, бала өз есептеулерінде мұнымен жұмыс істеуі үшін Гаусс алгоритмін түсіну керек, яғни жұпқа дұрыс бөлу және санау.

Маңызды!Егер формуланы түсінбей жаттап алса, онда ол өте тез ұмытылады.

1-тапсырма

Сандардың қосындысын табыңыз:

• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10;
• 1 + 2 + 3 + … + 14 + 15 + 16;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100.

Шешім.

Алдымен сіз балаға бірінші мысалды өзі шешуге мүмкіндік бере аласыз және оны санада орындау оңай жолды табуды ұсына аласыз. Әрі қарай, бұл мысалды баламен бірге талдаңыз және Гаусс оны қалай жасағанын көрсетіңіз. Түсінікті болу үшін қатарды жазып, жұп сандарды қосындысы бірдей санға тең жолдармен байланыстырған дұрыс. Баланың жұптардың қалай құрылатынын түсінуі маңызды - біз қатардағы сандар саны жұп болған жағдайда, қалған сандардың ең кішісін және ең үлкенін аламыз.

• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = (1 + 10) + (2 + 9) + (3 + 8) + (4 + 7) + (5 + 6) = (1 + 10) * 5;
• 1 + 2 + 3 + … + 14 + 15 + 16 = (1 + 16) + (2 + 15) + (3 + 14) + (4 + 13) + (5 + 12) + (6 + 11) + (7 + 10) + (8 + 9) = (1 + 16) * 8 = 136;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1 + 8) + (2 + 7) + (3 + 6) + (4 + 5) + 9 = (1+ 8) * 4 + 9 = 45;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100 = (1 + 100) * 50 = 5050

Тапсырма2

Салмағы 1г, 2г, 3г, 4г, 5г, 6г, 7г, 8г, 9г болатын 9 салмақ бар. Бұл салмақтарды бірдей салмақтағы үш қадаға бөлуге бола ма?

Шешім.

Гаусс ережесін қолданып, барлық салмақтардың қосындысын табамыз:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1 + 8) * 4 + 9 = 45 (г)

Сонымен, егер біз салмақтарды әрбір қадада жалпы салмағы 15 г салмақ болатындай етіп топтасақ, онда мәселе шешілді.

Опциялардың бірі:

• 9г, 6г
• 8г, 7г
• 5г, 4г, 3г, 2г, 1г

Басқа ықтимал нұсқаларды балаңызбен бірге табыңыз.

Балаға назар аударыңыз, мұндай мәселелер шешілгенде, әрқашан үлкен салмақпен (санымен) топтастыруды бастаған дұрыс.

3-тапсырма

Әр бөліктегі сандардың қосындылары тең болатындай етіп сағаттың бетін түзу арқылы екі бөлікке бөлуге бола ма?

Шешім.

Бастау үшін Гаусс ережесін 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 сандар қатарына қолданыңыз: қосындыны табыңыз және оның 2-ге бөлінетінін біліңіз:

Сондықтан сіз бөлісе аласыз. Енді қалай екенін көрейік.

Сондықтан циферблатқа 3 жұп бір жартыға, ал үшеуі екіншісіне түсетіндей сызық салу керек.

Жауабы: сызық 3 пен 4 сандарының, содан кейін 9 мен 10 сандарының арасына өтеді.

Тапсырма4

Әр бөліктегі сандардың қосындысы бірдей болатындай етіп сағаттың беткі жағында екі түзу жүргізуге бола ма?

Шешім.

Алдымен 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 сандар қатарына Гаусс ережесін қолданамыз: қосындыны табыңыз және оның 3-ке бөлінетінін біліңіз:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = (1 + 12) * 6 = 78

78 саны 3-ке қалдықсыз бөлінеді, сондықтан бөлуге болады. Енді қалай екенін көрейік.

Гаусс ережесі бойынша біз 6 жұп сандарды аламыз, олардың әрқайсысы 13-ке жетеді:

1 және 12, 2 және 11, 3 және 10, 4 және 9, 5 және 8, 6 және 7.

Сондықтан әр бөлікке 2 жұп түсетін етіп циферблатқа сызықтар салу керек.

Жауабы: бірінші жол 2 мен 3 сандарының, содан кейін 10 мен 11 санының арасына өтеді; екінші жол 4 пен 5 сандарының арасында, содан кейін 8 мен 9 арасында.

5-тапсырма

Бір топ құс ұшып келеді. Алда бір құс (көшбасшы), одан кейін екі, одан кейін үш, төрт, т.б. Соңғы қатарда 20 құс болса, отарда неше құс бар?

Шешім.

Біз 1-ден 20-ға дейінгі сандарды қосу керек екенін түсінеміз. Ал мұндай қосындыны есептеу үшін Гаусс ережесін қолдануға болады:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 = (20 + 1) * 10 = 210.

6-тапсырма

45 қоянды 9 торға қалай отырғызу керек, сонда барлық торларда қояндар саны әртүрлі болады?

Шешім.

Егер бала 1-тапсырмадағы мысалдарды түсініп шешіп, түсінсе, 45 1-ден 9-ға дейінгі сандардың қосындысы екені бірден есіне түседі. Сондықтан қояндарды былай қоямыз:

• бірінші ұяшық - 1,
• екінші - 2,
• үшінші – 3,
• сегізінші - 8,
• тоғызыншы - 9.

Бірақ егер бала мұны бірден анықтай алмаса, онда оған мұндай мәселелерді дөрекі күшпен шешуге болатынын және ең аз саннан бастау керек деген идеяны беруге тырысыңыз.

7-тапсырма

Гаусс трюкімен қосындыны есептеңіз:

• 31 + 32 + 33 + … + 40;
• 5 + 10 + 15 + 20 + … + 100;
• 91 + 81 + … + 21 + 11 + 1;
• 1 + 2 + 3 + 4 + … + 18 + 19 + 20;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6;
• 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14;
• 4 + 6 + 8 + 10 + 12;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11.

Шешім.

• 31 + 32 + 33 + … + 40 = (31 + 40) * 5 = 355;
• 5 + 10 + 15 + 20 + … + 100 = (5 + 100) * 10 = 1050;
• 91 + 81 + … + 21 + 11 + 1 = (91 + 1) * 5 = 460;
• 1 + 2 + 3 + 4 + … + 18 + 19 + 20 = (1 + 20) * 10 =210;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = (1 + 6) * 3 = 21;
• 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 = (4 + 14) * 3 = 54;
• 4 + 6 + 8 + 10 + 12 = (4 + 10) * 2 + 12 = 40;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = (1 + 10) * 5 + 11 = 66.

8-тапсырма

Салмағы 1г, 2г, 3г, 4г, 5г, 6г, 7г, 8г, 9г, 10г, 11г, 12г болатын 12 салмақ жинағы бар. Жиынтықтан 4 гір алынып тасталды, олардың жалпы массасы барлық салмақ жинағының жалпы массасының үштен біріне тең. Қалған салмақтарды екі теңгерімді табаға, әр табаға 4 данадан, олар тепе-теңдікте болатындай етіп қоюға бола ма?

Шешім.

Салмақтардың жалпы массасын табу үшін Гаусс ережесін қолданамыз:

1 + 2 + 3 + ... + 10 + 11 + 12 = (1 + 12) * 6 = 78 (г)

Жойылған салмақтардың массасын есептейміз:

Сондықтан қалған салмақтарды (жалпы массасы 78-26 \u003d 52 г) тепе-теңдікте болу үшін әр таразы табаға 26 г қою керек.

Біз қандай салмақтардың жойылғанын білмейміз, сондықтан біз барлық ықтимал нұсқаларды қарастыруымыз керек.

Гаусс ережесін қолдана отырып, сіз салмақтарды бірдей салмағы бар 6 жұпқа (әрқайсысы 13 г) бөлуге болады:

1g және 12g, 2g және 11g, 3g және 10, 4g және 9g, 5g және 8g, 6g және 7g.

Содан кейін ең жақсы нұсқа 4 салмақты алып тастағанда, жоғарыда аталған екі жұп жойылады. Бұл жағдайда бізде 4 жұп қалады: бір шкалада 2 жұп, екіншісінде 2 жұп.

Ең нашар жағдай - жойылған 4 салмақ 4 жұпты бұзады. Бізде жалпы салмағы 26 г болатын 2 үзілмеген жұп болады, яғни біз оларды бір таразы табаға қоямыз, ал қалған салмақтарды басқа таразы табаға қоюға болады және олар да 26 г болады.

Балаларыңыздың дамуына сәттілік тілейміз.