산술 진행 n. 산술 진행

그림과 시처럼 수학에도 고유한 아름다움이 있습니다.

러시아 과학자, 기계공 N.E. 주코프스키

수학 입학 시험에서 매우 일반적인 작업은 산술 진행의 개념과 관련된 작업입니다. 이러한 문제를 성공적으로 해결하기 위해서는 산술 진행의 속성을 잘 알고 이를 적용할 수 있는 특정 기술이 필요합니다.

먼저 산술 진행의 주요 속성을 상기하고 가장 중요한 공식을 제시하겠습니다., 이 개념과 관련이 있습니다.

정의. 숫자 시퀀스, 각 후속 용어는 이전 용어와 동일한 숫자로 다릅니다., 산술 진행이라고합니다. 동시에, 번호진행 차이라고 합니다.

산술 진행의 경우 공식이 유효합니다.

, (1)

어디 . 식(1)은 등차수열의 공통항의 식이라 하고, 식(2)는 등차열의 주요 성질이다.

고려 중인 수열을 "산술"이라고 부르는 것은 바로 이 속성 때문입니다.

위의 식(1)과 (2)를 요약하면 다음과 같다.

(3)

합계를 계산하려면첫 번째 산술 진행의 구성원일반적으로 사용되는 공식

(5) 어디서 그리고 .

공식을 고려하면 (1), 그러면 공식 (5)는 다음을 의미합니다.

우리가 지정하는 경우

어디 . 이므로 공식 (7)과 (8)은 해당 공식 (5)와 (6)의 일반화입니다.

특히, 공식 (5)에서 다음과 같습니다., 무엇

대부분의 학생들에게 거의 알려지지 않은 것 중에는 다음 정리를 통해 공식화되는 산술 진행의 속성이 있습니다.

정리.그렇다면

증거.그렇다면

정리가 입증되었습니다.

예를 들어 , 정리를 사용하여, 그것은 보여질 수 있습니다

"산술 진행" 주제에 대한 문제 해결의 전형적인 예를 살펴보겠습니다.

예 1와 . 찾다 .

해결책.공식 (6)을 적용하면 . 이후 및 , 다음 또는 .

예 2세 번 더하고 몫으로 나누면 2가되고 나머지는 8입니다. 결정하고.

해결책.연립방정식은 예제의 조건을 따릅니다.

, , , 이후 방정식 (10)의 시스템에서 우리는

이 연립방정식의 해는 와 입니다.

예 3 if 및 를 찾습니다.

해결책.공식 (5)에 따르면, 우리는 또는 . 그러나 속성 (9)를 사용하여 를 얻습니다.

이후 및 다음 평등에서 방정식은 다음과 같습니다또는 .

예 4경우 찾기 .

해결책.공식 (5)에 의해 우리는

그러나 정리를 사용하면 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

여기에서 그리고 공식 (11)에서 우리는 .

실시예 5. 주어진: . 찾다 .

해결책.그때부터 . 그러나 따라서 .

실시예 6하자 , 그리고 . 찾다 .

해결책.공식 (9)를 사용하여 를 얻습니다. 따라서 if , then 또는 .

이후 및 그러면 여기에 방정식 시스템이 있습니다.

해결, 우리는 얻을 및 .

방정식의 자연근이다 .

실시예 7 if 및 를 찾습니다.

해결책.공식 (3)에 따르면 , 방정식 시스템은 문제의 조건에서 따릅니다.

표현을 대입하면시스템의 두 번째 방정식으로, 그런 다음 우리는 얻습니다 또는 .

이차 방정식의 근은 다음과 같습니다.그리고 .

두 가지 경우를 생각해 봅시다.

1. 하자 , 그럼 . 이후 그리고 .

이 경우 식 (6)에 따라

2. 이면 , 그리고

답: 그리고.

실시예 8라고 알려져 있으며 찾다 .

해결책.공식 (5)와 예의 조건을 고려하여 및 .

이것은 방정식 시스템을 의미합니다.

시스템의 첫 번째 방정식에 2를 곱한 다음 두 번째 방정식에 더하면

공식 (9)에 따르면. 이와 관련하여 (12)에서 다음과 같다.또는 .

이후 그리고 .

대답: .

실시예 9 if 및 를 찾습니다.

해결책.이후 , 그리고 조건에 따라 , then 또는 .

공식 (5)에서 알 수 있습니다., 무엇 . 그때부터 .

결과적으로, 여기에 선형 방정식 시스템이 있습니다.

여기에서 우리는 및 . 공식 (8)을 고려하여 .

실시예 10방정식을 푸십시오.

해결책.그것은 주어진 방정식에서 다음과 같습니다. , , 이라고 가정해 봅시다. 이 경우 .

공식 (1)에 따르면 또는 .

이므로 방정식 (13)은 고유한 적절한 루트 를 갖습니다.

예 11.및 에 제공된 최대값을 찾습니다.

해결책.이후 고려되는 산술 진행이 감소합니다. 이와 관련하여, 표현식은 진행의 최소 양수 멤버의 수일 때 최대값을 취합니다.

우리는 공식 (1)과 사실을 사용합니다., 그리고 . 그런 다음 우리는 그것을 얻습니다 또는 .

왜냐하면 , 그렇다면 또는 . 그러나 이 불평등에서가장 큰 자연수, 그래서 .

값이 공식 (6)으로 대체되면 .

대답: .

예 12. 6으로 나누었을 때 나머지가 5인 모든 두 자리 자연수의 합을 구하십시오.

해결책.모든 2값 자연수 집합으로 표시합니다. . 다음으로, 숫자 6으로 나누었을 때 나머지가 5가 되는 집합의 요소(숫자)로 구성된 하위 집합을 구성합니다.

쉬운 설치, 무엇 . 확실히 , 세트의 요소는산술 수열을 형성하다, 그리고 .

세트의 카디널리티(요소 수)를 결정하기 위해 . 이후 및 , 공식 (1)은 또는 를 의미합니다. 공식 (5)를 고려하면 .

위의 문제 해결 예는 결코 완전하다고 주장할 수 없습니다. 이 기사는 주어진 주제에 대한 일반적인 문제를 해결하기 위한 현대적인 방법의 분석을 기반으로 작성되었습니다. 산술 진행과 관련된 문제를 해결하는 방법에 대한 더 깊은 연구를 위해 권장 문헌 목록을 참조하는 것이 좋습니다.

1. 기술 대학 지원자를 위한 수학 과제 모음 / Ed. 미. 스카나비. -M .: 세계와 교육, 2013. - 608p.

2. 수프런 V.P. 고등학생을 위한 수학: 학교 커리큘럼의 추가 섹션. – M.: 레난드 / URSS, 2014. - 216p.

3. Medynsky M.M. 작업 및 연습에서 초등 수학의 전체 과정. 제 2권: 숫자 시퀀스 및 진행. – M.: 에디투스, 2015. - 208p.

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누군가는 "진보"라는 단어를 고등 수학 섹션의 매우 복잡한 용어로 조심스럽게 취급합니다. 한편, 가장 간단한 산술 진행은 택시 카운터(아직도 남아 있는)의 작업입니다. 그리고 산술 시퀀스의 본질을 이해하는 것(그리고 수학에서 "본질을 이해하는 것"보다 더 중요한 것은 없습니다)은 몇 가지 기본 개념을 분석했기 때문에 그리 어렵지 않습니다.

수학 숫자 시퀀스

숫자 시퀀스를 일련의 숫자라고 부르는 것이 일반적이며 각 숫자에는 고유한 번호가 있습니다.

1은 시퀀스의 첫 번째 구성원입니다.

2는 시퀀스의 두 번째 구성원입니다.

7은 시퀀스의 일곱 번째 멤버입니다.

n은 시퀀스의 n번째 멤버입니다.

그러나 임의의 숫자와 숫자 집합은 우리의 관심을 끌지 않습니다. 수학적으로 명확하게 공식화할 수 있는 종속성에 의해 n번째 멤버의 값이 해당 서수와 관련되는 숫자 시퀀스에 주의를 집중할 것입니다. 즉, n번째 숫자의 수치는 n의 함수입니다.

a - 숫자 시퀀스의 구성원 값

n은 일련 번호입니다.

f(n)은 숫자 시퀀스 n의 서수가 인수인 함수입니다.

정의

산술 수열은 일반적으로 각 후속 항이 이전 항보다 같은 숫자만큼 더 큰(작은) 수치 시퀀스라고 합니다. 산술 시퀀스의 n번째 구성원에 대한 공식은 다음과 같습니다.

n - 산술 진행의 현재 멤버 값;

n+1 - 다음 숫자의 공식;

d - 차이(특정 숫자).

차이가 양수(d>0)이면 고려 중인 계열의 각 후속 구성원이 이전 구성원보다 클 것이며 이러한 산술 진행이 증가할 것임을 쉽게 결정할 수 있습니다.

아래 그래프에서 숫자 시퀀스를 "증가"라고 부르는 이유를 쉽게 알 수 있습니다.

차이가 음수인 경우(d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

지정된 멤버의 값

때로는 산술 수열의 임의 항 n의 값을 결정해야 합니다. 첫 번째부터 원하는 값까지 산술 진행의 모든 ​​구성원 값을 연속적으로 계산하여 이를 수행할 수 있습니다. 그러나 이 방법은 예를 들어 5000분의 1 또는 800만분의 1 항의 값을 찾아야 하는 경우 항상 허용되는 것은 아닙니다. 전통적인 계산은 시간이 오래 걸립니다. 그러나 특정 수식을 사용하여 특정 산술 진행을 조사할 수 있습니다. n번째 항에 대한 공식도 있습니다. 산술 수열의 모든 구성원의 값은 수열의 첫 번째 구성원과 진행의 차이의 합에 원하는 구성원의 수를 곱한 후 1을 뺀 값으로 결정될 수 있습니다. .

공식은 증가 및 감소 진행에 대해 보편적입니다.

주어진 멤버의 값을 계산하는 예

산술 수열의 n번째 멤버의 값을 구하는 다음 문제를 해결해 봅시다.

조건: 매개변수가 있는 산술 수열이 있습니다.

시퀀스의 첫 번째 구성원은 3입니다.

숫자 시리즈의 차이는 1.2입니다.

과제: 214항의 값을 구해야 합니다.

솔루션: 주어진 멤버의 값을 결정하기 위해 다음 공식을 사용합니다.

a(n) = a1 + d(n-1)

문제 진술의 데이터를 식으로 대체하면 다음과 같습니다.

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1.2(214-1) = 258.6

답변: 시퀀스의 214번째 멤버는 258.6과 같습니다.

이 계산 방법의 장점은 명백합니다. 전체 솔루션은 2줄을 넘지 않습니다.

주어진 구성원 수의 합계

종종 주어진 산술 시리즈에서 일부 세그먼트 값의 합을 결정해야 합니다. 또한 각 항의 값을 계산한 다음 합산할 필요가 없습니다. 이 방법은 합계를 구해야 하는 항의 수가 적은 경우에 적용할 수 있습니다. 다른 경우에는 다음 공식을 사용하는 것이 더 편리합니다.

1에서 n까지의 산술 수열의 구성원의 합은 첫 번째 구성원과 n번째 구성원의 합에 구성원 번호 n을 곱하고 2로 나눈 것과 같습니다. 수식에서 n번째 멤버의 값이 기사의 이전 단락에 있는 표현식으로 대체되면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

계산 예

예를 들어 다음 조건의 문제를 해결해 보겠습니다.

시퀀스의 첫 번째 항은 0입니다.

차이는 0.5입니다.

문제에서 56에서 101까지 급수의 항의 합을 결정해야 합니다.

해결책. 진행의 합을 결정하는 공식을 사용합시다.

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

먼저 문제의 주어진 조건을 공식에 ​​대입하여 진행의 101개 구성원 값의 합을 결정합니다.

s 101 = (2∙0 + 0.5∙(101-1))∙101/2 = 2,525

당연히 56번째에서 101번째까지의 수열 항의 합을 알아보기 위해서는 S101에서 S55를 빼야 합니다.

초 55 = (2∙0 + 0.5∙(55-1))∙55/2 = 742.5

따라서 이 예제에 대한 산술 진행의 합은 다음과 같습니다.

초 101 - 초 55 \u003d 2,525 - 742.5 \u003d 1,782.5

산술 진행의 실제 적용 예

기사의 끝에서 첫 번째 단락에 제공된 산술 시퀀스의 예인 택시 미터 (택시 미터기)로 돌아가 보겠습니다. 그러한 예를 생각해 봅시다.

택시(3km 포함)에 타는 비용은 50루블입니다. 이후의 각 킬로미터는 22 루블 / km의 비율로 지불됩니다. 주행거리 30km. 여행 비용을 계산하십시오.

1. 상륙 비용에 가격이 포함된 처음 3km는 버리자.

30 - 3 = 27km.

2. 추가 계산은 일련의 산술 구문 분석에 지나지 않습니다.

회원 번호는 이동한 킬로미터 수입니다(처음 3을 뺀 값).

멤버의 값은 합계입니다.

이 문제의 첫 항은 1 = 50 루블입니다.

진행 차이 d = 22p.

우리에게 관심있는 수 - 산술 진행의 (27 + 1) 번째 구성원의 값 - 27km 끝에서 읽는 미터 - 27.999 ... = 28km.

28 \u003d 50 + 22 ∙ (28-1) \u003d 644

임의로 긴 기간 동안의 달력 데이터 계산은 특정 숫자 시퀀스를 설명하는 공식을 기반으로 합니다. 천문학에서 궤도의 길이는 천체에서 발광체까지의 거리에 기하학적으로 의존합니다. 또한 통계 및 기타 응용 수학 분야에서 다양한 수치 계열이 성공적으로 사용됩니다.

다른 종류의 숫자 시퀀스는 기하학적입니다.

기하 수열은 산술에 비해 변화율이 큰 것이 특징입니다. 정치, 사회학, 의학에서 특정 현상, 예를 들어 전염병 중 질병의 빠른 확산 속도를 보여주기 위해 종종 그 과정이 기하 급수적으로 발전한다고 말하는 것은 우연이 아닙니다.

기하학적 숫자 시리즈의 N 번째 멤버는 상수를 곱한다는 점에서 이전 멤버와 다릅니다. 예를 들어 첫 번째 멤버는 1이고 분모는 2입니다.

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16·2 = 32,

b n - 기하 수열의 현재 멤버 값;

b n+1 - 기하 수열의 다음 구성원 공식.

q는 기하 수열(상수)의 분모입니다.

산술 수열 그래프가 직선이면 기하 수열 그래프는 약간 다른 그림을 그립니다.

산술의 경우와 마찬가지로 기하 수열은 임의의 구성원 값에 대한 공식을 갖습니다. 기하 수열의 n번째 항은 첫 번째 항의 곱과 수열의 분모를 n의 거듭제곱으로 1만큼 줄인 것과 같습니다.

예시. 첫 항이 3이고 수열의 분모가 1.5인 기하 수열이 있습니다. 진행의 5번째 항 찾기

b 5 \u003d b 1 ∙ q (5-1) \u003d 3 ∙ 1.5 4 \u003d 15.1875

주어진 멤버 수의 합계도 특수 공식을 사용하여 계산됩니다. 기하 수열의 처음 n개 요소의 합은 수열의 n번째 요소와 그 분모의 곱과 수열의 첫 번째 요소 간의 차이를 분모를 1로 나눈 값과 같습니다.

위에서 설명한 공식을 사용하여 b n을 대체하면 고려되는 숫자 시리즈의 처음 n 구성원의 합계 값은 다음과 같은 형식을 취합니다.

예시. 기하 수열은 첫 항이 1인 것으로 시작합니다. 분모는 3으로 설정됩니다. 처음 8항의 합을 구해 봅시다.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

음, 친구들이여, 만약 당신이 이 텍스트를 읽고 있다면, 내부 캡 증거는 당신이 여전히 산술 진행이 무엇인지 모른다고 말하지만 당신은 정말로 (아니요, 이렇게: SOOOOO!) 알고 싶어합니다. 그러므로 나는 긴 소개로 당신을 괴롭히지 않고 즉시 사업을 시작할 것입니다.

시작하려면 몇 가지 예가 있습니다. 여러 세트의 숫자를 고려하십시오.

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

이 모든 세트의 공통점은 무엇입니까? 언뜻보기에 아무것도 없습니다. 그러나 실제로 뭔가가 있습니다. 즉: 각각의 다음 요소는 이전 요소와 동일한 숫자로 다릅니다..

스스로 판단하십시오. 첫 번째 세트는 각각 이전 세트보다 하나 더 많은 연속된 숫자입니다. 두 번째 경우에는 인접한 숫자의 차이가 이미 5이지만 이 차이는 여전히 일정합니다. 세 번째 경우에는 일반적으로 뿌리가 있습니다. 그러나 $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$인 반면 $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, 즉 이 경우 각각의 다음 요소는 단순히 $\sqrt(2)$만큼 증가합니다(그리고 이 숫자가 비합리적이라고 겁내지 마십시오).

따라서 이러한 모든 시퀀스를 산술 진행이라고 합니다. 엄격한 정의를 내리자:

정의. 각 다음 숫자가 이전 숫자와 정확히 같은 양만큼 다른 일련의 숫자를 산술 수열이라고 합니다. 숫자가 다른 바로 그 양을 진행 차이라고 하며 문자 $d$로 가장 자주 표시됩니다.

표기법: $\left(((a)_(n)) \right)$는 진행 그 자체이고 $d$는 차이입니다.

그리고 몇 가지 중요한 발언입니다. 첫째, 진행만 고려됩니다. 질서 있는일련의 숫자: 쓰여진 순서대로 엄격하게 읽을 수 있으며 다른 어떤 것도 허용되지 않습니다. 번호를 재정렬하거나 바꿀 수 없습니다.

둘째, 시퀀스 자체는 유한하거나 무한할 수 있습니다. 예를 들어 집합 (1; 2; 3)은 분명히 유한한 산술 수열입니다. 그러나 (1; 2; 3; 4; ...)와 같이 쓰면 이미 무한 진행입니다. 4 뒤에 오는 말줄임표는 꽤 많은 숫자가 더 나아가고 있음을 암시합니다. 예를 들어 무한히 많습니다. :)

또한 진행이 증가하고 감소하고 있음에 주목하고 싶습니다. 우리는 이미 증가하는 것을 보았습니다-동일한 세트 (1; 2; 3; 4; ...). 진행이 감소하는 예는 다음과 같습니다.

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

좋아요, 좋아요: 마지막 예는 지나치게 복잡해 보일 수 있습니다. 하지만 나머지는 이해하실 것 같습니다. 따라서 새로운 정의를 소개합니다.

정의. 산술 진행을 다음과 같이 부릅니다.

1. 각 다음 요소가 이전 요소보다 크면 증가합니다.
2. 반대로 각 후속 요소가 이전 요소보다 작은 경우 감소합니다.

또한 소위 "정지" 시퀀스가 ​​있습니다. 동일한 반복 번호로 구성됩니다. 예를 들어, (3; 3; 3; ...).

한 가지 질문만 남습니다. 증가하는 진행과 감소하는 진행을 구별하는 방법은 무엇입니까? 다행히도 여기서 모든 것은 숫자 $d$의 부호에만 의존합니다. 진행 차이:

1. $d \gt 0$이면 진행률이 증가합니다.
2. $d \lt 0$이면 진행이 분명히 감소합니다.
3. 마지막으로 $d=0$의 경우가 있습니다. 이 경우 전체 진행이 (1; 1; 1; 1; ...) 등의 동일한 숫자의 고정 시퀀스로 축소됩니다.

위의 세 가지 감소 진행에 대한 차이 $d$를 계산해 봅시다. 이렇게하려면 인접한 두 요소 (예 : 첫 번째와 두 번째)를 가져 와서 오른쪽 숫자에서 왼쪽 숫자를 빼면 충분합니다. 다음과 같이 표시됩니다.

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

보시다시피 세 가지 경우 모두 그 차이는 실제로 음수였습니다. 이제 우리는 정의를 어느 정도 파악했으므로 진행이 어떻게 설명되고 어떤 속성이 있는지 알아낼 시간입니다.

진행 및 반복 공식의 구성원

시퀀스의 요소는 교환할 수 없으므로 번호를 매길 수 있습니다.

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \오른쪽\)\]

이 세트의 개별 요소를 진행의 구성원이라고 합니다. 이러한 방식으로 첫 번째 멤버, 두 번째 멤버 등의 숫자를 사용하여 표시됩니다.

또한 이미 알고 있듯이 진행의 이웃 구성원은 다음 공식으로 관련됩니다.

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\오른쪽 화살표 ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

간단히 말해서 진행의 $n$번째 항을 찾으려면 $n-1$번째 항과 차이 $d$를 알아야 합니다. 이러한 공식을 반복이라고합니다. 도움을 받으면 이전 숫자 만 알고 (사실 이전의 모든 숫자) 숫자를 찾을 수 있기 때문입니다. 이것은 매우 불편하므로 모든 계산을 첫 항과 차이로 줄이는 더 까다로운 공식이 있습니다.

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]

이 공식을 전에 본 적이 있을 것입니다. 그들은 모든 종류의 참고 서적과 reshebniks에서 그것을 제공하는 것을 좋아합니다. 그리고 합리적인 수학 교과서에서 그것은 첫 번째 것 중 하나입니다.

그러나 조금 연습하는 것이 좋습니다.

작업 번호 1. $((a)_(1))=8,d=-5$인 경우 산술 진행 $\left(((a)_(n)) \right)$의 처음 세 항을 적으십시오.

해결책. 따라서 우리는 첫 항 $((a)_(1))=8$과 진행 차이 $d=-5$를 압니다. 방금 주어진 공식을 사용하여 $n=1$, $n=2$ 및 $n=3$를 대체해 보겠습니다.

\[\begin(정렬) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 삼; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \종료(정렬)\]

답: (8; 3; -2)

그게 다야! 진행률이 감소하고 있습니다.

물론, $n=1$은 대체될 ​​수 없습니다. 우리는 이미 첫 항을 알고 있습니다. 그러나 단위를 대체함으로써 우리는 첫 항에 대해서도 공식이 작동하는지 확인했습니다. 다른 경우에는 모든 것이 진부한 산술로 귀결되었습니다.

작업 번호 2. 7번째 항이 -40이고 17번째 항이 -50인 경우 산술 진행의 처음 세 항을 적으십시오.

해결책. 일반적인 용어로 문제의 조건을 작성합니다.

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \끝(정렬) \오른쪽.\]

\[\left\( \begin(정렬) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(정렬) \오른쪽.\]

이러한 요구 사항이 동시에 충족되어야 하기 때문에 시스템의 기호를 넣었습니다. 그리고 이제 우리는 두 번째 방정식에서 첫 번째 방정식을 빼면(우리는 시스템이 있기 때문에 이것을 할 권리가 있습니다) 다음을 얻습니다.

\[\begin(정렬) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \종료(정렬)\]

그렇게 진행 차이를 찾았습니다! 시스템의 방정식에서 찾은 숫자를 대체하는 것이 남아 있습니다. 예를 들어, 첫 번째:

\[\begin(matrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \끝(행렬)\]

이제 첫 번째 용어와 차이점을 알고 있으므로 두 번째 및 세 번째 용어를 찾는 것이 남아 있습니다.

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \종료(정렬)\]

준비가 된! 문제 해결됨.

답: (-34; -35; -36)

우리가 발견한 수열의 흥미로운 속성에 주목하십시오. $n$번째 및 $m$번째 항을 취하여 서로 빼면 수 $n-m$을 곱한 수열의 차이를 얻습니다.

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

확실히 알아야 할 간단하지만 매우 유용한 속성 - 도움을 받으면 많은 진행 문제의 해결 속도를 크게 높일 수 있습니다. 다음은 이에 대한 대표적인 예입니다.

작업 번호 3. 산술 진행의 다섯 번째 항은 8.4이고 열 번째 항은 14.4입니다. 이 수열의 15번째 항을 찾으십시오.

해결책. $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$이고 $((a)_(15))$를 찾아야 하므로 다음 사항에 유의하십시오.

\[\begin(정렬) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \종료(정렬)\]

그러나 $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$ 조건에 따라 $5d=6$, 여기서 우리는 다음을 얻습니다.

\[\begin(정렬) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14.4=20.4. \\ \종료(정렬)\]

답: 20.4

그게 다야! 방정식 시스템을 구성하고 첫 번째 항과 차이를 계산할 필요가 없었습니다. 모든 것이 단 몇 줄로 결정되었습니다.

이제 또 다른 유형의 문제인 진행의 부정적인 구성원과 긍정적인 구성원을 찾는 문제를 살펴보겠습니다. 진행이 증가하면 첫 번째 용어가 부정적이지만 조만간 긍정적 용어가 나타날 것이라는 것은 비밀이 아닙니다. 반대의 경우도 마찬가지입니다. 진행이 감소하는 조건은 조만간 음수가 됩니다.

동시에 요소를 순차적으로 정렬하여 "이마에서"이 순간을 찾는 것이 항상 가능한 것은 아닙니다. 종종 문제는 공식을 모르면 계산에 여러 장이 걸리는 방식으로 설계됩니다. 답을 찾을 때까지 잠이 들었습니다. 따라서 우리는 이러한 문제를 더 빠른 방법으로 해결하려고 노력할 것입니다.

작업 번호 4. 산술 진행 -38.5에서 몇 개의 음수 항; -35.8; ...?

해결책. 따라서 $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, 여기서 즉시 차이점을 찾습니다.

차이가 양수이므로 진행률이 증가하고 있습니다. 첫 번째 용어는 음수이므로 실제로 어느 시점에서 우리는 양수를 우연히 발견하게 될 것입니다. 유일한 질문은 이것이 언제 일어날 것인가입니다.

알아보자: 용어의 부정성이 보존되는 기간(즉, 자연수 $n$까지):

\[\begin(정렬) & ((a)_(n)) \lt 0\오른쪽 화살표 ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \right. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\오른쪽 화살표 ((n)_(\max ))=15. \\ \종료(정렬)\]

마지막 줄은 설명이 필요합니다. 그래서 우리는 $n \lt 15\frac(7)(27)$를 압니다. 반면에 숫자의 정수 값만 적합하므로(추가: $n\in \mathbb(N)$) 허용 가능한 최대 숫자는 정확히 $n=15$이고 어떤 경우에도 16이 아닙니다.

작업 번호 5. 산술 진행에서 $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. 이 진행의 첫 번째 양수 항의 수를 찾으십시오.

이것은 이전 문제와 정확히 같은 문제이지만 우리는 $((a)_(1))$를 모릅니다. 그러나 이웃 항은 $((a)_(5))$ 및 $((a)_(6))$이므로 진행 차이를 쉽게 찾을 수 있습니다.

또한 표준 공식을 사용하여 첫 번째와 차이로 다섯 번째 항을 표현해 봅시다.

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \종료(정렬)\]

이제 우리는 이전 문제와 유추하여 진행합니다. 시퀀스의 어느 지점에 양수가 나타날지 알아냅니다.

\[\begin(정렬) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\오른쪽 화살표 ((n)_(\min ))=56. \\ \종료(정렬)\]

이 부등식의 최소 정수 솔루션은 숫자 56입니다.

마지막 작업에서 모든 것이 엄격한 불평등으로 축소되었으므로 $n=55$ 옵션은 우리에게 적합하지 않습니다.

간단한 문제를 해결하는 방법을 배웠으니 이제 더 복잡한 문제로 넘어갑시다. 하지만 먼저, 산술 진행의 또 다른 매우 유용한 속성을 배워 봅시다. 그러면 앞으로 많은 시간과 불평등한 셀을 절약할 수 있습니다. :)

산술 평균 및 등호 들여쓰기

증가하는 산술 진행 $\left(((a)_(n)) \right)$의 여러 연속 항을 고려하십시오. 수직선에 표시해 봅시다.

나는 임의의 멤버 $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$ 를 특별히 언급했으며 $((a)_(1)) , \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ 등 내가 지금 말할 규칙은 모든 "세그먼트"에 대해 동일하게 작동하기 때문입니다.

그리고 규칙은 매우 간단합니다. 재귀 공식을 기억하고 표시된 모든 멤버에 대해 적어 봅시다.

\[\begin(정렬) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \종료(정렬)\]

그러나 이러한 등식은 다르게 다시 작성할 수 있습니다.

\[\begin(정렬) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \종료(정렬)\]

글쎄요? 그러나 $((a)_(n-1))$ 및 $((a)_(n+1))$ 항이 $((a)_(n)) $ . 그리고 이 거리는 $d$와 같습니다. $((a)_(n-2))$ 및 $((a)_(n+2))$ 용어에 대해서도 마찬가지입니다. $((a)_(n) )$ $2d$와 동일한 거리만큼. 무한정 계속해도 되지만 사진으로 그 의미를 잘 알 수 있습니다

이것은 우리에게 무엇을 의미합니까? 즉, 이웃 숫자를 알고 있으면 $((a)_(n))$를 찾을 수 있습니다.

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

우리는 멋진 진술을 추론했습니다: 산술 진행의 각 구성원은 이웃 구성원의 산술 평균과 같습니다! 또한 $((a)_(n))$에서 왼쪽과 오른쪽으로 한 단계가 아니라 $k$ 단계로 벗어날 수 있으며 여전히 공식은 정확합니다.

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

저것들. $((a)_(100))$ 및 $((a)_(200))$를 알고 있으면 $((a)_(150))$를 쉽게 찾을 수 있습니다. (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. 언뜻 보기에 이 사실이 우리에게 유용한 정보를 제공하지 않는 것처럼 보일 수 있습니다. 그러나 실제로는 산술 평균을 사용하기 위해 많은 작업이 특별히 "날카롭게" 되어 있습니다. 구경하다:

작업 번호 6. 숫자 $-6((x)^(2))$, $x+1$ 및 $14+4((x)^(2))$가 연속적인 구성원이 되도록 $x$의 모든 값을 찾습니다. 산술 진행(지정된 순서대로).

해결책. 이러한 숫자는 진행의 구성원이므로 산술 평균 조건이 충족됩니다. 중앙 요소 $x+1$는 이웃 요소로 표현할 수 있습니다.

\[\begin(정렬) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \종료(정렬)\]

결과는 고전적인 이차 방정식입니다. 그 뿌리: $x=2$ 및 $x=-3$가 답입니다.

답변: -3; 2.

작업 번호 7. 숫자 $-1;4-3;(()^(2))+1$이 (순서대로) 산술 수열을 형성하도록 $$의 값을 찾습니다.

해결책. 다시, 중간 항을 인접 항의 산술 평균으로 표현합니다.

\[\begin(정렬) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\right.; \\ & 8x-6=((엑스)^(2))+엑스; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \종료(정렬)\]

또 다른 이차 방정식. 그리고 다시 두 근: $x=6$ 및 $x=1$.

답변: 1; 6.

문제를 해결하는 과정에서 잔인한 숫자를 얻거나 찾은 답변의 정확성을 완전히 확신하지 못하는 경우 다음을 확인할 수 있는 놀라운 트릭이 있습니다. 문제를 올바르게 해결했습니까?

문제 6에서 -3과 2의 답을 얻었다고 가정해 봅시다. 이 답이 맞는지 어떻게 확인할 수 있습니까? 그것들을 원래 조건에 연결하고 무슨 일이 일어나는지 봅시다. 산술 수열을 형성해야 하는 세 개의 숫자($-6(()^(2))$, $+1$ 및 $14+4(()^(2))$)가 있음을 상기시켜 드리겠습니다. 대체 $x=-3$:

\[\begin(정렬) & x=-3\오른쪽 화살표 \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \끝(정렬)\]

우리는 숫자 -54를 얻었습니다. -2; 52만큼 다른 50은 의심할 여지 없이 산술 수열입니다. $x=2$에 대해서도 마찬가지입니다.

\[\begin(정렬) & x=2\오른쪽 화살표 \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \끝(정렬)\]

다시 진행이지만 차이는 27입니다. 따라서 문제는 올바르게 해결됩니다. 원하는 사람은 두 번째 작업을 스스로 확인할 수 있지만 즉시 말할 것입니다. 모든 것이 정확합니다.

일반적으로 마지막 문제를 해결하는 동안 기억해야 할 또 다른 흥미로운 사실을 발견했습니다.

세 개의 숫자가 두 번째가 첫 번째와 마지막의 평균인 경우 이 숫자는 산술 수열을 형성합니다.

앞으로 이 문장을 이해하면 문자 그대로 문제의 조건에 따라 필요한 진행을 "구성"할 수 있습니다. 그러나 그러한 "건설"에 참여하기 전에 우리는 이미 고려한 것에서 직접적으로 이어지는 또 하나의 사실에 주목해야 합니다.

요소의 그룹화 및 합계

다시 수직선으로 돌아가 봅시다. 우리는 아마도 그 사이에 진행의 여러 구성원이 있음을 주목합니다. 다른 많은 회원들에게 가치가 있습니다.

$((a)_(n))$ 및 $d$로 "왼쪽 꼬리"를 표현하고 $((a)_(k))$ 및 $로 "오른쪽 꼬리"를 표현해 봅시다. d$. 매우 간단합니다.

\[\begin(정렬) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \종료(정렬)\]

이제 다음 합계는 동일합니다.

\[\begin(정렬) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= 에스; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= 에스. \끝(정렬)\]

간단히 말해서, 진행의 두 요소를 시작으로 간주하면 총 $S$와 같은 수와 같으며 이러한 요소에서 반대 방향으로(서로를 향하거나 반대 방향으로 이동) 단계를 시작합니다. 그 다음에 우리가 우연히 발견하게 될 요소의 합도 같을 것입니다$S$. 이는 그래픽으로 가장 잘 표현할 수 있습니다.

이 사실을 이해하면 위에서 고려한 것보다 근본적으로 더 복잡한 문제를 해결할 수 있습니다. 예를 들어 다음과 같습니다.

작업 번호 8. 첫 번째 항이 66이고 두 번째 항과 열두 번째 항의 곱이 가능한 가장 작은 산술 수열의 차를 구하십시오.

해결책. 우리가 아는 모든 것을 적어 봅시다.

\[\begin(정렬) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \끝(정렬)\]

따라서 진행 $d$의 차이를 알 수 없습니다. 실제로 $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ 제품을 다음과 같이 다시 작성할 수 있으므로 전체 솔루션은 차이점을 중심으로 구축됩니다.

\[\begin(정렬) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \끝(정렬)\]

탱크에 있는 사람들을 위해: 나는 두 번째 괄호에서 공통 인수 11을 취했습니다. 따라서 원하는 곱은 변수 $d$에 대한 2차 함수입니다. 따라서 $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ 함수를 고려하십시오. 괄호를 열면 다음을 얻습니다.

\[\begin(정렬) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(정렬)\]

보시다시피 가장 높은 항의 계수는 11입니다. 이것은 양수이므로 가지가 위로 향하는 포물선을 실제로 다루고 있습니다.

이차 함수의 그래프 - 포물선

참고: 이 포물선은 가로 좌표 $((d)_(0))$가 있는 정점에서 최소값을 취합니다. 물론 표준 체계(공식 $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$)에 따라 이 가로 좌표를 계산할 수 있지만 원하는 정점은 포물선의 축 대칭에 있으므로 점 $((d)_(0))$은 방정식 $f\left(d \right)=0$의 근에서 등거리에 있습니다.

\[\begin(정렬) & f\left(d\right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \종료(정렬)\]

그렇기 때문에 괄호를 여는 데 서두르지 않았습니다. 원래 형태에서는 뿌리를 찾기가 매우 쉬웠습니다. 따라서 가로 좌표는 숫자 -66 및 -6의 산술 평균과 같습니다.

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

발견된 숫자는 무엇입니까? 그것으로 필요한 제품은 가장 작은 값을 취합니다 (그런데 우리는 계산하지 않았습니다 $((y)_(\min ))$ - 이것은 우리에게 필요하지 않습니다). 동시에 이 숫자는 초기 진행의 차이입니다. 답을 찾았습니다. :)

답변: -36

작업 번호 9. 숫자 $-\frac(1)(2)$와 $-\frac(1)(6)$ 사이에 세 개의 숫자를 삽입하여 주어진 숫자와 함께 산술 수열을 형성합니다.

해결책. 사실 우리는 첫 번째와 마지막 숫자를 이미 알고 있는 5개의 숫자 시퀀스를 만들어야 합니다. 변수 $x$, $y$ 및 $z$로 누락된 숫자를 나타냅니다.

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

숫자 $y$는 시퀀스의 "중간"입니다. 숫자 $x$ 및 $z$와 숫자 $-\frac(1)(2)$ 및 $-\frac에서 등거리에 있습니다. (1)( 6)$. 그리고 현재 숫자 $x$ 및 $z$에서 $y$를 얻을 수 없다면 진행이 끝날 때 상황이 달라집니다. 산술 평균을 기억하십시오.

이제 $y$를 알면 나머지 숫자를 찾을 수 있습니다. $x$는 방금 찾은 $-\frac(1)(2)$와 $y=-\frac(1)(3)$ 사이에 있습니다. 그래서

비슷하게 주장하면 나머지 숫자를 찾습니다.

준비가 된! 세 개의 숫자를 모두 찾았습니다. 원래 숫자 사이에 삽입해야 하는 순서대로 답에 적어 봅시다.

답: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

작업 번호 10. 숫자 2와 42 사이에 삽입된 숫자의 첫 번째, 두 번째 및 마지막의 합이 56인 경우 주어진 숫자와 함께 등차 수열을 형성하는 여러 개의 숫자를 삽입합니다.

해결책. 그러나 산술 평균을 통해 이전 작업과 동일한 방식으로 해결되는 훨씬 더 어려운 작업입니다. 문제는 정확히 몇 개의 숫자를 삽입해야 하는지 모른다는 것입니다. 따라서 명확성을 위해 삽입 후 정확히 $n$개의 숫자가 있고 첫 번째 숫자는 2이고 마지막 숫자는 42라고 가정합니다. 이 경우 원하는 산술 수열은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \오른쪽\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

그러나 숫자 $((a)_(2))$ 및 $((a)_(n-1))$는 가장자리에 서 있는 숫자 2와 42에서 서로를 향해 한 걸음씩 얻어집니다. , 즉 . 시퀀스의 중심으로. 그리고 이것은 다음을 의미합니다.

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

그러나 위 식은 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다.

\[\begin(정렬) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \종료(정렬)\]

$((a)_(3))$ 및 $((a)_(1))$를 알면 진행 차이를 쉽게 찾을 수 있습니다.

\[\begin(정렬) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\오른쪽 화살표 d=5. \\ \종료(정렬)\]

나머지 구성원을 찾는 것만 남아 있습니다.

\[\begin(정렬) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \종료(정렬)\]

따라서 이미 9번째 단계에서 시퀀스의 왼쪽 끝인 숫자 42에 도달하게 됩니다. 총 7개의 숫자만 삽입해야 했습니다: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

답변: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

진행이 있는 텍스트 작업

결론적으로 비교적 간단한 몇 가지 문제를 고려하고 싶습니다. 음, 간단합니다. 학교에서 수학을 공부하고 위에 쓰여진 내용을 읽지 않은 대부분의 학생들에게 이러한 작업은 제스처처럼 보일 수 있습니다. 그럼에도 불구하고 수학에서 OGE와 USE에서 만나는 것은 바로 그러한 작업이므로 숙지하는 것이 좋습니다.

작업 번호 11. 이 팀은 1월에 62개의 부품을 생산했고, 다음 달에는 이전보다 14개의 부품을 더 생산했습니다. 여단은 11월에 얼마나 많은 부품을 생산했습니까?

해결책. 분명히, 월별로 도색되는 부품의 수는 증가하는 산술 수열이 될 것입니다. 그리고:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

11월은 11번째 달이므로 $((a)_(11))$를 찾아야 합니다.

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

따라서 11월에는 202개의 부품이 생산될 예정입니다.

작업 번호 12. 제본공방은 1월에 216권을 제본했고 매달 전월보다 4권씩 제본했다. 12월 워크숍에서 제본한 책은 몇 권입니까?

해결책. 모두 같은:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(정렬)$

12월은 한 해의 마지막 12번째 달이므로 $((a)_(12))$를 찾습니다.

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

이것이 답입니다. 12월에 260권이 제본됩니다.

자, 여기까지 읽으셨다면 서둘러 축하드립니다. 산술 진행에서 "젊은 파이터 코스"를 성공적으로 완료했습니다. 우리는 안전하게 다음 단원으로 넘어갈 수 있습니다. 여기서 우리는 진행 합계 공식과 그로부터 중요하고 매우 유용한 결과를 공부할 것입니다.

수업 유형:새로운 자료 학습.

수업 목표:

• 산술 진행을 사용하여 해결된 과제에 대한 학생들의 생각의 확장 및 심화; 산술 진행의 처음 n 구성원의 합에 대한 공식을 유도할 때 학생들의 검색 활동 구성
• 새로운 지식을 독립적으로 습득하는 기술 개발, 이미 습득한 지식을 사용하여 과제를 달성합니다.
• 얻은 사실을 일반화하려는 욕구와 필요성의 발달, 독립성의 발달.

작업:

• "산술 진행" 주제에 대한 기존 지식을 일반화하고 체계화합니다.
• 산술 수열의 처음 n개 요소의 합을 계산하기 위한 공식을 유도합니다.
• 다양한 문제를 해결하는 데 얻은 공식을 적용하는 방법을 가르칩니다.
• 수식의 값을 찾는 절차에 학생들의 관심을 끕니다.

장비:

• 그룹 및 쌍 작업을 위한 작업 카드;
• 평가지;
• 프레젠테이션"산술 진행".

I. 기본 지식의 실현.

1. 쌍으로 독립적으로 작업합니다.

첫 번째 옵션:

산술 진행을 정의합니다. 산술 수열을 정의하는 재귀 공식을 작성하십시오. 산술 진행의 예를 제시하고 그 차이를 표시하십시오.

두 번째 옵션:

산술 진행의 n번째 항에 대한 공식을 적으십시오. 산술 진행의 100번째 항 찾기( 엔}: 2, 5, 8 …
이때 칠판 뒤에 두 명의 학생이 같은 질문에 대한 답을 준비하고 있습니다.
학생들은 칠판과 비교하여 파트너의 작업을 평가합니다. (답변이 담긴 전단지가 전달됩니다).

2. 게임 순간.

연습 1.

선생님.나는 몇 가지 산술 진행을 생각했습니다. 답변 후이 진행의 7 번째 멤버를 신속하게 지명 할 수 있도록 두 가지 질문 만하십시오. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

학생들의 질문.

1. 진행의 여섯 번째 기간은 무엇이며 차이점은 무엇입니까?
2. 진행의 여덟 번째 용어는 무엇이며 차이점은 무엇입니까?

더 이상 질문이 없으면 교사는 d(차이점)에 대한 "금지", 즉 차이점이 무엇인지 물어볼 수 없도록 자극할 수 있습니다. 다음과 같은 질문을 할 수 있습니다. 진행의 6번째 항은 무엇이며 진행의 8번째 항은 무엇입니까?

작업 2.

칠판에는 20개의 숫자가 쓰여 있습니다. 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

선생님은 칠판에 등을 대고 서 있습니다. 학생들은 숫자의 숫자를 말하고 교사는 즉시 숫자 자체를 호출합니다. 어떻게 할 수 있는지 설명해 주시겠습니까?

교사는 n번째 용어의 공식을 기억합니다. n \u003d 3n-2주어진 n 값을 대입하여 해당 값을 찾습니다. 엔.

II. 교육 과제 진술.

나는 이집트 파피루스에서 발견된 기원전 2천년으로 거슬러 올라가는 오래된 문제를 해결할 것을 제안합니다.

작업:“너희에게 이르되 보리 열 석을 열 사람에게 나누라 각 사람과 이웃의 차이는 그 8분의 1이니라”

• 이 문제는 산술 진행이라는 주제와 어떤 관련이 있습니까? (다음 사람은 측정값의 1/8을 더 가져가므로 차이는 d=1/8, 10명이므로 n=10입니다.)
• 숫자 10이 무엇을 의미한다고 생각하세요? (진행 중인 모든 구성원의 합계입니다.)
• 문제의 상태에 따라 보리를 쉽고 간단하게 나누기 위해 또 무엇을 알아야 할까요? (진행의 첫 번째 용어.)

수업 목표- 수, 첫 번째 항 및 차이에 대한 진행 항의 합의 종속성을 얻고 고대에 문제가 올바르게 해결되었는지 확인합니다.

공식을 도출하기 전에 고대 이집트인들이 이 문제를 어떻게 해결했는지 살펴보겠습니다.

그리고 그들은 다음과 같이 해결했습니다.

1) 10개 측정값: 10 = 1개 측정값 - 평균 점유율;
2) 1소절 ∙ = 2소절 - 2배 평균공유하다.
두 배가 평균몫은 5번째와 6번째 사람의 몫의 합입니다.
3) 2마디 - 1/8마디 = 1 7/8마디 - 5번째 사람의 몫의 2배.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - 다섯 번째의 몫; 등등, 이전 및 이후 사람의 몫을 찾을 수 있습니다.

우리는 다음 순서를 얻습니다.

III. 작업의 솔루션입니다.

1. 그룹 작업

첫 번째 그룹:연속된 20개의 자연수의 합을 구합니다. 에스 20 \u003d (20 + 1) ∙ 10 \u003d 210.

일반적으로

II 그룹: 1에서 100까지의 자연수의 합을 구합니다(작은 가우스의 전설).

에스 100 \u003d (1 + 100) ∙ 50 \u003d 5050

결론:

III 그룹: 1부터 21까지의 자연수의 합을 구합니다.

솔루션: 1+21=2+20=3+19=4+18…

결론:

IV 그룹: 1부터 101까지 자연수의 합을 구합니다.

결론:

고려된 문제를 해결하는 이 방법을 "가우스 방법"이라고 합니다.

2. 각 그룹은 칠판에 문제에 대한 해결책을 제시합니다.

3. 임의 산술 진행에 대해 제안된 솔루션의 일반화:

1 , 2 , 3 ,… , n-2 , n-1 , n .
S n \u003d a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

우리는 유사하게 주장하여 이 합계를 찾습니다.

4. 과제를 해결했습니까?(예.)

IV. 문제 해결에서 얻은 공식의 기본 이해 및 적용.

1. 공식으로 오래된 문제의 해결책을 확인합니다.

2. 다양한 문제 해결에 공식 적용.

3. 문제 해결에 공식을 적용하는 능력 형성을 위한 연습.

가) 613호

주어진 :( n) -산술 진행;

(n): 1, 2, 3, ..., 1500

찾다: 에스 1500

해결책: , 1 = 1, 1500 = 1500,

B) 주어진: ( n) -산술 진행;
(및 n): 1, 2, 3, ...
S n = 210

찾다: N
해결책:

V. 상호 검증을 통한 독립적인 작업.

Denis는 택배로 일하러갔습니다. 첫 달에 그의 급여는 200 루블이었고 다음 달에는 30 루블 씩 증가했습니다. 그는 1년에 얼마를 벌었습니까?

주어진 :( n) -산술 진행;
1 = 200, d=30, n=12
찾다: 에스 12
해결책:

대답: Denis는 올해 4380 루블을 받았습니다.

VI. 숙제 지시.

1. 4.3페이지 - 공식의 유도를 배웁니다.
2. №№ 585, 623 .
3. 산술 수열의 처음 n 항의 합에 대한 공식을 사용하여 풀 수 있는 문제를 작성하십시오.

VII. 수업을 요약합니다.

1. 성적표

2. 문장 계속하기

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• 내 생각에는 …

3. 1부터 500까지의 합을 구하실 수 있나요? 이 문제를 해결하기 위해 어떤 방법을 사용할 것인가?

서지.

1. 대수학, 9학년. 교육 기관용 교과서. 에드. G.V. Dorofeeva.모스크바: 깨달음, 2009.

중등 학교(9학년)에서 대수학을 공부할 때 중요한 주제 중 하나는 기하 및 산술 진행을 포함하는 수치 시퀀스 연구입니다. 이 기사에서는 산술 진행과 솔루션의 예를 고려할 것입니다.

산술 진행이란 무엇입니까?

이를 이해하려면 고려 중인 진행에 대한 정의를 제공하고 문제 해결에 추가로 사용할 기본 공식을 제공해야 합니다.

산술 또는 대수 진행은 순서가 지정된 유리수의 집합이며, 각 구성원은 이전 구성원과 일부 상수 값이 다릅니다. 이 값을 차이라고 합니다. 즉, 순서가 지정된 일련의 숫자의 구성원과 차이를 알면 전체 산술 진행을 복원할 수 있습니다.

예를 들어 보겠습니다. 다음 숫자 시퀀스는 4, 8, 12, 16, ...의 산술 수열이 됩니다. 이 경우의 차이는 4(8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12)이기 때문입니다. 그러나 숫자 3, 5, 8, 12, 17의 집합은 그 차이가 상수 값(5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17)이 아니기 때문에 더 이상 고려되는 진행 유형에 기인할 수 없습니다. - 12).

중요한 공식

이제 산술 진행을 사용하여 문제를 해결하는 데 필요한 기본 공식을 제공합니다. n은 시퀀스의 n번째 구성원을 나타내며 여기서 n은 정수입니다. 차이점은 라틴 문자 d로 표시됩니다. 그러면 다음 표현이 참입니다.

1. n 번째 항의 값을 결정하려면 다음 공식이 적합합니다. a n \u003d (n-1) * d + a 1.
2. 처음 n 항의 합을 결정하려면: S n = (an + a 1)*n/2.

9학년 솔루션을 사용한 산술 수열의 예를 이해하려면 이 두 공식을 기억하는 것으로 충분합니다. 또한 진행 차이는 다음 공식에 의해 결정된다는 점을 잊지 마십시오. d = an - an n-1 .

예 #1: 알 수 없는 구성원 찾기

산술 진행의 간단한 예와 해결에 사용해야 하는 공식을 제공합니다.

시퀀스 10, 8, 6, 4, ...가 주어지면 5개의 용어를 찾아야 합니다.

문제의 조건에서 처음 4항이 알려져 있다는 것은 이미 뒤따르고 있습니다. 다섯 번째는 두 가지 방식으로 정의할 수 있습니다.

1. 먼저 차이를 계산해 봅시다. d = 8 - 10 = -2입니다. 마찬가지로, 서로 옆에 있는 두 개의 다른 항을 취할 수 있습니다. 예를 들어, d = 4 - 6 = -2입니다. d \u003d a n-a n-1, d \u003d a 5-a 4로 알려져 있으므로 a 5 \u003d a 4 + d를 얻습니다. 알려진 값을 a 5 = 4 + (-2) = 2로 대체합니다.
2. 두 번째 방법도 해당 진행의 차이에 대한 지식이 필요하므로 위에 표시된 것처럼 먼저 이를 결정해야 합니다(d = -2). 첫 번째 항 a 1 = 10임을 알면 수열의 n 수에 대한 공식을 사용합니다. n \u003d (n-1) * d + a 1 \u003d (n-1) * (-2) + 10 \u003d 12-2 * n이 있습니다. n = 5를 마지막 식에 대입하면 a 5 = 12-2 * 5 = 2가 됩니다.

보시다시피 두 솔루션 모두 동일한 결과를 가져옵니다. 이 예에서 진행의 차이 d는 음수입니다. 이러한 수열은 각각의 연속 항이 이전 항보다 작기 때문에 감소라고 합니다.

예 #2: 진행 차이

이제 작업을 약간 복잡하게 만들고 방법에 대한 예를 들어 보겠습니다.

일부에서는 첫 번째 항이 6이고 7번째 항이 18인 것으로 알려져 있습니다. 차이를 찾아 이 시퀀스를 7번째 항으로 복원해야 합니다.

공식을 사용하여 알 수 없는 용어를 결정해 봅시다: a n = (n - 1) * d + a 1 . 조건의 알려진 데이터, 즉 숫자 a 1과 7을 대체합니다. 18 \u003d 6 + 6 * d가 있습니다. 이 식에서 차이를 쉽게 계산할 수 있습니다: d = (18 - 6) / 6 = 2. 따라서 문제의 첫 번째 부분이 답이 되었습니다.

시퀀스를 7번째 멤버로 복원하려면 a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d 등과 같은 대수 진행의 정의를 사용해야 합니다. 결과적으로 전체 시퀀스를 복원합니다. a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , 6 = 14 + 2 = 16 및 7 = 18.

예 #3: 진행하기

문제의 조건을 더욱 복잡하게 합시다. 이제 산술 진행을 찾는 방법에 대한 질문에 답해야 합니다. 다음 예를 들 수 있습니다. 예를 들어 4와 5와 같이 두 개의 숫자가 주어집니다. 이들 사이에 세 개의 용어가 더 들어가도록 대수적 진행을 만드는 것이 필요합니다.

이 문제를 해결하기 전에 주어진 숫자가 향후 진행에서 어떤 위치를 차지할지 이해하는 것이 필요합니다. 그들 사이에 세 개의 용어가 더 있기 때문에 1 \u003d -4 및 5 \u003d 5입니다. 이것을 설정하면 이전 작업과 유사한 작업을 진행합니다. 다시 n 번째 항에 대해 공식을 사용하면 a 5 \u003d a 1 + 4 * d를 얻습니다. 에서 : d \u003d (a 5-a 1) / 4 \u003d (5-(-4)) / 4 \u003d 2.25. 여기서 차이는 정수 값이 아니라 유리수이므로 대수 수열의 공식은 그대로 유지됩니다.

이제 찾은 차이를 1에 추가하고 진행 중 누락된 구성원을 복원해 보겠습니다. 우리는 다음을 얻습니다. 문제의 조건과 일치했습니다.

예 #4: 진행의 첫 번째 멤버

솔루션과 함께 산술 진행의 예를 계속 제공합니다. 이전의 모든 문제에서 대수 진행의 첫 번째 숫자가 알려져 있었습니다. 이제 다른 유형의 문제를 고려하십시오. 15 = 50 및 43 = 37인 두 개의 숫자가 주어집니다. 이 시퀀스가 ​​시작되는 숫자를 찾아야 합니다.

지금까지 사용된 공식은 a 1과 d에 대한 지식을 가정합니다. 문제가 있는 상태에서 이러한 숫자에 대해 알려진 바가 없습니다. 그럼에도 불구하고 우리가 정보를 가지고 있는 각 용어에 대해 a 15 = a 1 + 14 * d 및 a 43 = a 1 + 42 * d라는 표현을 작성해 봅시다. 우리는 2개의 미지수(a 1 및 d)가 있는 두 개의 방정식을 얻었습니다. 이것은 문제가 선형 방정식 시스템을 푸는 것으로 축소됨을 의미합니다.

지정된 시스템은 각 방정식에 1을 표현한 다음 결과 표현식을 비교하면 가장 쉽게 풀 수 있습니다. 첫 번째 등식: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; 두 번째 방정식 : a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. 이 표현을 동일시하면 50-14 * d \u003d 37-42 * d를 얻습니다. 여기서 차이 d \u003d (37-50) / (42-14) \u003d-0.464 (소수점 3 자리 만 제공됨).

d를 알면 1에 대해 위의 두 표현식 중 하나를 사용할 수 있습니다. 예를 들어, 먼저 a 1 \u003d 50-14 * d \u003d 50-14 * (-0.464) \u003d 56.496입니다.

결과에 대해 의심이 가는 경우 예를 들어 조건에 지정된 진행의 43번째 멤버를 결정할 수 있습니다. 우리는 다음을 얻습니다. a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56.496 + 42 * (-0.464) \u003d 37.008. 작은 오차는 계산에 1000분의 1로 반올림했기 때문입니다.

예 #5: 합계

이제 산술 진행의 합에 대한 솔루션이 있는 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.

1, 2, 3, 4, ...,와 같은 형식의 수열이 주어집니다. 이 숫자의 100의 합계를 계산하는 방법은 무엇입니까?

컴퓨터 기술의 발달 덕분에 이 문제를 해결할 수 있습니다. 즉, 사람이 Enter 키를 누르자마자 컴퓨터가 수행하는 모든 숫자를 순차적으로 더합니다. 그러나 제시된 일련의 숫자가 대수 진행이고 그 차이가 1이라는 점에 주의하면 문제를 정신적으로 해결할 수 있습니다. 합계에 대한 공식을 적용하면 S n = n * (a 1 + an n)을 얻습니다. / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

18 세기 초에 아직 10 살 밖에되지 않은 유명한 독일인이 몇 초 만에 마음 속에서 해결할 수 있었기 때문에이 문제를 "가우시안"이라고 부르는 것이 궁금합니다. 소년은 대수 진행의 합에 대한 공식을 몰랐지만 수열의 가장자리에 있는 숫자 쌍을 더하면 항상 같은 결과, 즉 1 + 100 = 2 + 99를 얻는다는 것을 알아차렸습니다. = 3 + 98 = ... 그리고 이 합계는 정확히 50(100 / 2)이므로 정답을 얻으려면 50에 101을 곱하면 충분합니다.

예 #6: n에서 m까지 항의 합

산술 진행의 합에 대한 또 다른 전형적인 예는 다음과 같습니다. 일련의 숫자가 주어지면 3, 7, 11, 15, ..., 8에서 14까지의 항의 합이 무엇인지 찾아야 합니다.

문제는 두 가지 방법으로 해결됩니다. 첫 번째는 8에서 14까지 알려지지 않은 용어를 찾은 다음 순차적으로 합산하는 것입니다. 용어가 적기 때문에 이 방법은 충분히 힘들지 않습니다. 그럼에도 불구하고 보다 보편적인 두 번째 방법으로 이 문제를 해결하는 것이 제안된다.

개념은 항 m과 n 사이의 대수적 진행의 합에 대한 공식을 얻는 것입니다. 여기서 n > m은 정수입니다. 두 경우 모두 합계에 대해 두 가지 식을 작성합니다.

1. S m \u003d m * (am + a 1) / 2.
2. S n \u003d n * (an + a 1) / 2.

n > m이므로 2의 합이 첫 번째 합을 포함한다는 것은 명백합니다. 마지막 결론은 우리가 이 합들 사이의 차이를 취하고 그것에 항 a m을 더하면(차이를 취하는 경우에는 합 S n에서 뺍니다) 문제에 필요한 답을 얻는다는 것을 의미합니다. S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + an * n / 2 + am * (1- m / 2). n과 m에 대한 공식을 이 식으로 대체할 필요가 있습니다. S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

결과 공식은 다소 번거롭지만 합 S mn은 n, m, a 1 및 d에만 의존합니다. 우리의 경우 a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8입니다. 이 숫자를 대체하면 S mn = 301이 됩니다.

위의 솔루션에서 알 수 있듯이 모든 문제는 n번째 항에 대한 표현과 첫 번째 항 집합의 합에 대한 공식에 대한 지식을 기반으로 합니다. 이러한 문제를 해결하기 전에 조건을 주의 깊게 읽고 찾고자 하는 내용을 명확하게 이해한 다음 해결 방법을 진행하는 것이 좋습니다.

또 다른 팁은 단순성을 위해 노력하는 것입니다. 즉, 복잡한 수학적 계산을 사용하지 않고 질문에 답할 수 있다면 그렇게 해야 합니다. 이 경우 실수할 확률이 적기 때문입니다. 예를 들어, 솔루션 번호 6을 사용한 산술 수열의 예에서 공식 S mn = n * (a 1 + an) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m에서 멈출 수 있습니다. 일반 작업을 별도의 하위 작업으로 나눕니다(이 경우 먼저 용어 a n 및 a m을 찾습니다).

얻은 결과에 대해 의심이 가는 경우 주어진 몇 가지 예에서와 같이 확인하는 것이 좋습니다. 산술 진행을 찾는 방법, 알아냈습니다. 알고 나면 그리 어렵지 않습니다.