확률 이론 개발의 역사. 주제

리버트 엘레나

흥분과 부자가 되고자 하는 열망은 매우 중요한 새로운 수학 분야인 확률 이론의 출현에 자극을 주었습니다. Pascal 및 Fermat와 같은 규모의 수학자 Huygens가 기초 개발에 참여했습니다.

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시사:

MBOU 중등 학교 No. 8, Yartsevo, Smolensk 지역

수학 프로젝트:

"확률 이론 출현의 역사"

준비자: 11학년 학생

중등 학교 №8 Libert Elena

지도자: 수학 교사

보리센코바 올가 블라디미로브나

2015년 야르체보

확률 이론의 역사...........................................................................................3

중세 유럽과 뉴에이지의 시작 ..4

17세기: 파스칼, 페르마, 호이겐스…

XVIII 세기 ..................................................................................7

XIX 세기. 일반적인 경향과 비평 ..................................................7

XIX-XX 세기의 확률 이론 적용 ........................8

천문학 ..................................................................8
물리학 ..................................................................9
생체 인식 ..................................................................................9
농업 ..................................................................9
산업 ..................................................................10
의학 ..................................................................................10
생물정보학 ..................................................................10
경제 및 은행 ..................................................11

확률 이론 출현의 역사

Monsieur de Mere라는 이름의 프랑스 귀족은 주사위 도박꾼이었고 열정적으로 부자가 되고 싶었습니다. 그는 주사위 게임의 비밀을 알아내기 위해 많은 시간을 보냈다. 그는 이런 식으로 큰 재산을 얻을 것이라고 가정하고 게임에 대한 다양한 옵션을 발명했습니다. 예를 들어, 그는 하나의 주사위를 4 번 던지겠다고 제안했고 파트너에게 적어도 한 번은 6이 떨어질 것이라고 확신했습니다. 4개의 던지기에 6개가 나오지 않으면 상대가 이겼습니다.

그 당시에는 오늘날 우리가 확률 이론이라고 부르는 수학 분야가 없었기 때문에 그의 가정이 올바른지 확인하기 위해 Mr. Mere는 그의 친구인 유명한 수학자이자 철학자인 B. Pascal에게 다음과 같이 말했습니다. 두 가지 유명한 질문을 연구해 달라는 요청, 그 중 첫 번째 질문은 그가 스스로 해결하려고 시도한 것입니다. 질문은 다음과 같습니다.

한 번에 2개의 6이 나오는 총 횟수의 절반 이상이 되려면 주사위 2개를 몇 번 굴려야 합니까?

어떤 이유로 게임을 조기에 중단한 경우 두 플레이어가 베팅한 돈을 공정하게 나누는 방법은 무엇입니까?

Pascal은 이것에 관심을 갖게되었을뿐만 아니라 유명한 수학자 P. Fermat에게 편지를 써서 주사위의 일반 법칙과 승리 확률을 연구하도록 자극했습니다.

따라서 흥분과 부자가 되려는 열망은 매우 중요한 새로운 수학적 학문인 확률 이론의 출현에 자극을 주었습니다. 파스칼과 페르마, 호이겐스(1629-1695), "도박 계산에 관하여" 논문을 쓴 야콥 베르누이(1654-1705), 무아브르(1667-1754), 라플라스( 1749-1827), 가우스(1777-1855)와 푸아송(1781-1840). 요즘 확률 이론은 통계, 일기 예보 (일기 예보), 생물학, 경제, 기술, 건설 등 거의 모든 지식 분야에서 사용됩니다.

중세 유럽과 근대의 시작

확률론적 성격의 첫 번째 문제는 주사위, 카드 등 다양한 도박 게임에서 발생했습니다. 13세기 프랑스 캐논 Richard de Fournival은 3개의 주사위를 던진 후 가능한 모든 점수 합계를 정확하게 계산하고 이러한 각각의 방법의 수를 표시했습니다. 금액을 구할 수 있습니다. 이 방법의 수는 확률과 유사하게 이벤트의 예상도에 대한 첫 번째 수치 측정으로 생각할 수 있습니다. Fournival 이전과 이후에 이 척도는 종종 잘못 계산되었습니다. 던지기, "3 단위"및 "2 단위로 2 개. 동시에, 3개의 1이 실제로 한 가지 방식으로만 획득된다는 점을 고려하지 않았습니다: ~1+1+1, 2와 1 - 3: ~1+1+2;\;1+2 +1;\;2+ 1+1이므로 이러한 사건의 발생 가능성은 동일하지 않습니다. 과학의 추가 역사에서 유사한 실수가 반복적으로 발생했습니다.

이탈리아 Luca Pacioli(1494)의 방대한 수학적 백과사전 "산술, 기하학, 비율 및 비율의 합"에는 일련의 게임이 예정보다 일찍 중단될 경우 두 플레이어 간에 내기를 나누는 방법에 대한 원래 문제가 포함되어 있습니다. 유사한 문제의 예: 게임은 최대 60점까지 올라가고, 승자는 22두캇의 전체 베팅을 받습니다. 원래 요율을 공평하게 나누어야 합니다. 결정은 "공정한" 구분이 무엇을 의미하는지에 달려 있습니다. Pacioli 자신은 득점한 점수(55/4 및 33/4 두카트)에 비례하여 나눌 것을 제안했습니다. 그의 결정은 나중에 잘못된 것으로 밝혀졌습니다.

두 개의 주사위를 던진 후 점수 분배

16세기의 저명한 대수학자인 Gerolamo Cardano는 게임 분석에 관한 유익한 논문인 The Book of Dice(1526, 사후 출판)를 썼습니다. Cardano는 점수 합계 값에 대해 완전하고 틀림없는 조합 분석을 수행했으며 다양한 이벤트에 대해 "유리한" 이벤트 비율의 예상 값을 표시했습니다. 예를 들어, 3개의 주사위를 던질 때 3개의 주사위 모두의 값은 6/216 또는 1/36입니다. Cardano는 통찰력 있는 관찰을 했습니다. 연구된 이벤트의 실제 수는 적은 수의 게임에 대한 이론적인 것과 크게 다를 수 있지만 시리즈의 게임이 많을수록 이 차이의 비율이 작아집니다. 본질적으로 Cardano는 확률 개념에 근접했습니다.

따라서 계산을 위한 하나의 일반적인 규칙이 있습니다. 가능한 총 발생 수와 이러한 발생이 나타날 수 있는 방법의 수를 고려한 다음 마지막 숫자와 나머지 가능한 발생 수의 비율을 찾아야 합니다. .

또 다른 이탈리아 대수학자인 Niccolò Tartaglia는 내기 공유 문제를 해결하기 위한 Pacioli의 접근 방식을 비판했습니다. 결국 플레이어 중 한 명이 아직 단일 점수를 얻지 못한 경우 Pacioli의 알고리즘은 상대에게 전체 내기를 제공하지만 이것은 뒤처진 사람이 이길 가능성이 있기 때문에 공정하다고 할 수는 없습니다. 카르다노와 타르탈리아는 그들 나름의 (다양한) 나눗셈 방법을 제안했지만, 나중에 이 방법들도 성공하지 못한 것으로 인식되었다.

"주사위를 할 때 포인트 문제"(1718, 사후 출판)라는 논문을 쓴 갈릴레오 갈릴레이도이 주제에 대한 연구에 참여했습니다. 게임 이론에 대한 갈릴레오의 프레젠테이션은 철저한 완전성과 명료성으로 구별됩니다. 그의 주요 저서인 세계의 두 가지 주요 시스템인 프톨레마이오스와 코페르니쿠스에 관한 대화에서 갈릴레오는 천문학 및 기타 측정의 오류를 추정할 수 있는 가능성을 지적하고 작은 측정 오류가 큰 오류보다 가능성이 더 높다고 말했습니다. 두 방향 모두 가능성이 동일하며 평균 결과는 측정된 값의 실제 값에 가까워야 합니다. 이 질적 추론은 오류의 정규 분포에 대한 최초의 예측이 되었습니다.

17세기: 파스칼, 페르마, 호이겐스

17세기에 확률 이론의 문제에 대한 명확한 아이디어가 형성되기 시작했고 확률 문제를 해결하기 위한 최초의 수학적(조합적) 방법이 등장했습니다. 수학적 확률 이론의 창시자는 Blaise Pascal과 Pierre de Fermat였습니다.

그 전에 아마추어 수학자 Chevalier de Mere는 소위 "포인트 문제"에 대해 Pascal에게 문의했습니다. 적어도 한 번은 두 개의 6이 수익성이 있다는 동시 손실에 베팅하려면 두 개의 주사위를 던져야합니까? Pascal과 Fermat는 이 문제 및 관련 문제에 대해 서로 서신을 교환했습니다(1654). 이 서신의 일부로 과학자들은 확률 계산과 관련된 많은 문제에 대해 논의했습니다. 특히 배팅을 분할하는 오래된 문제가 고려되었으며 두 과학자는 남은 승률에 따라 배팅을 분할해야한다는 결정을 내 렸습니다. Pascal은 de Mere에게 "점수에 대한 문제"를 풀면서 저지른 실수를 지적했습니다. de Mere는 24개 던지기라는 답을 받은 후 동등하게 가능한 사건을 잘못 식별했지만 Pascal은 정답을 25개 던지기로 했습니다.

파스칼은 자신의 저서에서 조합 방법의 사용을 훨씬 발전시켰으며, 그의 저서 산술 삼각형에 관한 논문(1665)에서 이를 체계화했습니다. 확률론적 접근에 기초하여 파스칼은 (그의 사후 출판된 노트에서) 무신론자보다 신자가 되는 것이 더 유익하다고 주장하기까지 했습니다.

Huygens는 처음에 "비용"이라는 용어를 사용했으며 Van Schouten이 Huygens의 논문을 라틴어로 번역하고 과학에서 일반적으로 받아 들여질 때 "기대"라는 용어가 처음 등장했습니다.

이 책에는 많은 문제가 포함되어 있으며 일부는 솔루션이 있고 다른 일부는 "독립적 솔루션"입니다. 후자 중 "플레이어를 망치는 문제"는 특별한 관심과 활발한 토론을 불러 일으켰습니다. 다소 일반화된 형태로 공식화하면 다음과 같이 공식화됩니다. 플레이어 A와 B는 각각 a와 b 코인을 가지고 있고, 각 게임에서 1개의 코인을 얻었고, 각 게임에서 A가 이길 확률은 p와 같습니다. 그의 완전한 파멸의 확률. "파멸의 문제"에 대한 완전한 일반 해결책은 반세기 후(1711) Abraham de Moivre에 의해 제시되었습니다. 요즘에는 "파멸 문제"의 확률적 체계가 "랜덤 워크" 유형의 많은 문제를 해결하는 데 사용됩니다.

Huygens는 또한 배팅 분할 작업을 분석하여 최종 솔루션을 제공했습니다. 배팅은 게임이 계속될 경우 이길 확률에 비례하여 분할되어야 합니다. 그는 또한 확률론적 방법을 인구 통계에 적용하는 선구자였으며 평균 기대 수명을 계산하는 방법을 보여주었습니다.

영국 통계학자인 John Graunt(1662)와 William Petty(1676, 1683)의 간행물은 같은 시기에 속합니다. 100년 이상 데이터를 처리한 결과 무작위 변동에도 불구하고 런던 인구의 많은 인구통계학적 특성이 매우 안정적이라는 것을 보여주었습니다. 13까지, 변동은 작고 특정 임의의 이유로 인한 사망 비율입니다. 이 데이터는 과학계가 새로운 아이디어를 인식할 수 있도록 준비했습니다.

Graunt는 또한 생명표(나이에 따른 사망 확률표)를 최초로 편집한 사람이기도 합니다. 확률 이론의 문제와 인구통계에 대한 적용은 네덜란드의 요한 후데(Johann Hudde)와 얀 데 비트(Jan de Witt)도 1671년에 사망률 표를 작성하여 종신 연금의 크기를 계산하는 데 사용했습니다. 1693년 에드먼드 핼리(Edmund Halley)가 이 범위의 문제를 자세히 설명했습니다.

18 세기

Huygens의 책은 18세기 초에 등장한 Pierre de Montmor의 논문인 "The Experience of the Study of Gambling"(1708년에 출판되고 1713년에 추가로 재인쇄됨)와 Jacob Bernoulli의 "The Art of Assumptions"에 기반을 두고 있습니다. " (같은 1713 년에 과학자 사망 후 출판 ). 후자는 확률 이론에서 특히 중요했습니다.

19 세기

일반적인 경향과 비판

19세기에는 확률 이론에 관한 연구의 수가 계속 증가했으며, 예를 들어 도덕, 심리학, 법 집행, 신학. 특히 웨일즈 철학자 리처드 프라이스(Richard Price)에 이어 라플라스(Laplace)는 베이즈의 공식을 사용하여 다가오는 일출의 확률을 계산할 수 있다고 생각했고, 푸아송은 법원 판결의 공정성과 증인 증언의 신뢰성에 대한 확률론적 분석을 시도했습니다. 철학자 J. S. 밀은 1843년에 확률의 미적분학을 "수학의 불명예"라고 불렀던 그러한 사변적 응용을 지적했습니다. 이것과 다른 추정은 확률 이론의 정당성이 불충분하다는 것을 증명했습니다.

한편 확률 이론의 수학적 장치는 계속해서 개선되었습니다. 당시 적용의 주요 범위는 무작위 오류가 포함된 관찰 결과의 수학적 처리와 보험 사업 및 기타 통계적 매개변수의 위험 계산이었습니다. 19세기 확률 이론과 수학 통계의 주요 응용 문제는 다음과 같습니다.

동일한 (알려진) 분포 법칙을 가진 독립 확률 변수의 합이 주어진 한계 내에 있을 확률을 찾으십시오. 이 문제는 주로 관찰 오류를 추정하기 위한 측정 오류 이론에서 특히 중요했습니다.

무작위 값 또는 일련의 값의 차이에 대한 통계적 유의성을 설정합니다. 예: 새로운 약물이 정말 더 나은지 결정하기 위해 새로운 유형의 약물과 이전 유형의 약물을 사용한 결과를 비교합니다.

무작위 변수에 대한 주어진 요인의 영향에 대한 연구(요인 분석).

19세기 중반까지 포격에 대한 확률론이 형성되었습니다. 대부분의 주요 유럽 국가는 국가 통계 조직을 설립했습니다. 세기말에 확률론적 방법의 적용 분야는 물리학, 생물학, 경제학 및 사회학으로 성공적으로 확산되기 시작했습니다.

XIX-XX 세기의 확률 이론 적용.

19세기와 20세기에 확률 이론은 먼저 과학(천문학, 물리학, 생물학)에 침투한 다음 실용(농업, 산업, 의학)에 침투했으며 마지막으로 컴퓨터가 발명된 후 모든 사람의 일상 생활에 침투했습니다. 정보를 수신하고 전송하는 현대적인 수단을 사용합니다. 다양한 영역에서 응용 프로그램을 추적해 봅시다.

1. 천문학.

천문학에서 사용하기 위해 유명한 "최소 제곱 방법"이 개발되었습니다(Legendre 1805, Gauss 1815). 그것이 원래 사용되었던 주된 문제는 혜성의 궤도를 계산하는 것이었고, 이것은 적은 수의 관측으로 이루어져야 했습니다. 궤도는 작은 영역에서만 관찰되기 때문에 궤도 유형(타원 또는 쌍곡선)의 신뢰할 수 있는 결정과 해당 매개변수의 정확한 계산이 어렵다는 것이 분명합니다. 이 방법은 효과적이고 보편적인 것으로 입증되었으며 우선 순위에 대한 열띤 논쟁을 불러일으켰습니다. 그것은 측지학 및 지도 제작에 사용되기 시작했습니다. 이제 수동 계산 기술이 사라졌기 때문에 1880년대 영국에서 세계 해양 지도를 작성할 때 수백 개의 미지수가 포함된 약 6,000개의 방정식 시스템이 최소 제곱법을 사용하여 수치적으로 풀렸다는 것을 상상하기 어렵습니다.

2. 물리학.

19세기 후반에 Maxwell, Boltzmann 및 Gibbs의 작업에서 엄청난 수의 입자(아보가드로 수 정도)를 포함하는 희박한 시스템의 상태를 설명하는 통계 역학이 개발되었습니다. 이전에 무작위 변수의 분포 개념이 주로 측정 오류의 분포와 관련이 있었다면 이제 속도, 에너지, 자유 경로와 같은 다양한 양이 분포되는 것으로 나타났습니다.

3. 생체 인식.

1870-1900년에 벨기에의 Quetelet과 영국의 Francis Galton 및 Karl Pearson은 생체 인식이라는 새로운 과학적 방향을 세웠습니다. 여기서 처음으로 살아있는 유기체의 불확실한 변동성과 양적 특성의 유전이 체계적이고 정량적으로 연구되기 시작했습니다. 회귀와 상관 관계라는 새로운 개념이 과학적 순환에 도입되었습니다.

따라서 20세기 초까지 확률 이론의 주요 응용 분야는 과학 연구와 관련이 있었습니다. 실용화 - 농업, 산업, 의학은 20세기에 일어났습니다.

4. 농업.

20세기 초 영국에서 과제는 다양한 농법의 효율성을 정량적으로 비교하는 것이었다. 이 문제를 해결하기 위해 계획 실험 이론과 분산 분석 이론이 개발되었습니다. 이미 순전히 실용적인 통계 사용 개발의 주요 장점은 훈련을받은 천문학 자이자 나중에는 농부, 통계 학자, 유전 학자, 영국 왕립 학회 회장 인 Ronald Fisher 경에 있습니다. 실제로 광범위하게 적용하기에 적합한 현대 수학 통계는 영국에서 개발되었습니다(Karl Pearson, Student, Fisher). 학생은 베이지안 접근법을 사용하지 않고 알려지지 않은 분포 매개변수를 추정하는 문제를 처음으로 해결했습니다.

5. 산업.

생산에 통계적 제어 방법 도입(Shewhart 제어 차트). 필요한 제품 품질 테스트 횟수를 줄입니다. 수학적 방법은 이미 너무 중요해서 분류되었습니다. 따라서 테스트 횟수를 줄일 수 있는 새로운 기술을 설명하는 책(Wald의 "Sequential Analysis")은 1947년 2차 세계 대전이 끝난 후에야 출판되었습니다.

6. 의학.

의학에서 통계적 방법의 광범위한 사용은 비교적 최근(20세기 후반)에 시작되었습니다. 효과적인 치료 방법(항생제, 인슐린, 효과적인 마취, 심폐 우회술)의 개발에는 효과를 평가하기 위한 신뢰할 수 있는 방법이 필요했습니다. "근거 기반 의학"이라는 새로운 개념이 등장했습니다. 많은 질병의 치료에 대한보다 공식적이고 정량적 인 접근 방식이 개발되기 시작했습니다. 즉, 프로토콜, 지침의 도입입니다.

1980년대 중반 이후, 빠르고 저렴한 컴퓨터의 광범위한 사용 가능성이라는 확률 이론의 모든 적용에 혁명을 일으킨 새롭고 중요한 요소가 등장했습니다. 현대의 개인용 컴퓨터 한 대가 속도와 기억력 면에서 원자력 발전소 건설과 관련된 프로젝트가 시작되던 1968년까지 존재했던 소련과 미국의 모든 컴퓨터를 능가한다는 점을 생각하면 혁명의 위대함을 느낄 수 있다. 식물, 달로의 비행, 열핵폭탄의 생성. 이제 직접 실험을 통해 이전에는 접근할 수 없었던, 즉 생각할 수 없는 결과를 얻을 수 있습니다.

7. 생물 정보학.

1980년대 이후 알려진 단백질 및 핵산 서열의 수가 급격히 증가했습니다. 축적된 정보의 양은 이러한 데이터의 컴퓨터 분석만이 정보 추출 문제를 해결할 수 있을 정도입니다.

8. 경제 및 금융.

위험 이론은 광범위하게 적용됩니다. 위험 이론은 확률론적 불확실성의 조건 하에서 의사 결정을 내리는 이론입니다. 수학적 관점에서 그것은 확률 이론의 한 분야이며 위험 이론의 적용은 거의 무한합니다. 응용 프로그램의 가장 진보된 금융 영역: 은행 및 보험, 시장 및 신용 위험 관리, 투자, 비즈니스 위험, 통신. 건강, 환경에 대한 위협, 사고 및 환경 재해의 위험 및 기타 영역과 관련된 비재무적 애플리케이션도 개발되고 있습니다.

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기말 보고서, 2010년 11월 24일 추가됨

정의.확률 이론은 무작위 현상의 패턴을 연구하는 과학입니다.

정의.랜덤 현상은 반복적으로 테스트했을 때 매번 다르게 진행되는 현상입니다.

정의.경험은 인간의 활동 또는 과정, 테스트입니다.

정의.이벤트는 경험의 결과입니다.

정의.확률 이론의 주제는 무작위 현상과 대량 무작위 현상의 특정 패턴입니다.

이벤트 분류:

이벤트가 호출됩니다. 진본인 실험 결과 확실히 발생한다면.

예시.학교 수업은 확실히 끝날 것입니다.

이벤트가 호출됩니다. 불가능한 주어진 조건 하에서 결코 발생하지 않는 경우.

예시.회로에 전류가 없으면 램프가 켜지지 않습니다.

이벤트가 호출됩니다. 무작위의 또는 불가능한 실험 결과로 발생하거나 발생하지 않을 수 있습니다.

예시.이벤트 - 시험에 합격하십시오.

이벤트가 호출됩니다. 동등하게 가능 , 출현 조건이 동일하고 실험 결과 둘 중 하나가 다른 것보다 나타날 확률이 더 높다고 주장할 이유가 없는 경우.

예시.동전을 던질 때 팔의 외투나 꼬리가 사라지는 것.

이벤트는 관절 그들 중 하나의 발생이 다른 하나의 발생 가능성을 배제하지 않는 경우.

예시.해고되면 미스와 비행은 공동 이벤트입니다.

이벤트가 호출됩니다. 호환되지 않는 하나의 발생이 다른 하나의 가능성을 배제하는 경우.

예시.원샷으로 히트와 미스는 공동 이벤트가 아닙니다.

두 개의 호환되지 않는 이벤트가 호출됩니다. 반대 실험 결과 둘 중 하나가 반드시 발생하는 경우.

예시.시험에 합격하면 "시험 합격"및 "시험 불합격"이벤트를 반대라고합니다.

지정: - 일반 이벤트, - 반대 이벤트.

여러 이벤트 형식 호환되지 않는 이벤트의 전체 그룹 , 실험 결과 그 중 하나만 발생하는 경우.

예시.시험에 합격하면 "시험에 합격하지 못했습니다", "3"에 합격, "4"에 합격, 호환되지 않는 전체 이벤트 그룹이 가능합니다.

합계 및 제품 규칙.

정의.두 제품의 합 ㅏ 그리고 비 이벤트 호출 씨 , 이벤트 발생으로 구성 ㅏ 또는 이벤트 비 또는 동시에 둘 다.

이벤트의 합을 호출합니다. 결합 이벤트 (이벤트 중 적어도 하나의 출현).

작업에서 무엇이 나타나야 하는지가 분명한 경우 ㅏ 또는 비 , 그런 다음 그들은 합계를 찾았다고 말합니다.

정의.이벤트 상품 ㅏ 그리고 비 이벤트 호출 씨 , 이벤트의 동시 발생으로 구성 ㅏ 그리고 비 .

제품은 두 이벤트의 교차점입니다.

작업에서 찾은 것으로 표시되는 경우 ㅏ 그리고 비 , 그래서 그들은 제품을 찾습니다.

예시.두 번의 촬영으로:

적중을 한 번 이상 찾아야 하는 경우 합계를 찾습니다.
히트를 두 번 찾아야 하는 경우 제품을 찾으십시오.

개연성. 확률 속성.

정의.어떤 사건의 빈도는 수행된 모든 실험의 수에 대한 사건이 나타난 실험의 수의 비율과 같은 숫자라고 합니다.

표기법: r() – 이벤트 빈도 .

예시.동전을 15번 던지면 문장이 10번 떨어지고 문장이 나타나는 빈도: r () =.

정의.무한히 많은 수의 실험을 통해 사건의 빈도는 사건의 확률과 같아집니다.

고전적 확률의 정의. 사건의 확률은 유일하게 가능하고 동등하게 가능한 경우의 수에 대한 이 사건의 발생에 유리한 경우의 수의 비율입니다.

지정: , 여기서 P는 확률,

m은 이벤트 발생에 유리한 경우의 수입니다.

n은 고유하고 동등하게 가능한 경우의 총 수입니다.

예시. 60명의 CHIEP 학생들이 달리기 대회에 참가합니다. 누구나 번호가 있습니다. 경주에서 이긴 학생의 숫자에 숫자 5가 없을 확률을 구하십시오.

확률 속성:

확률 값은 음수가 아니며 값 0과 1 사이에 있습니다.
확률은 불가능한 사건의 확률인 경우에만 0입니다.
확률은 특정 사건의 확률인 경우에만 1입니다.
동일한 이벤트의 확률은 변하지 않으며 수행되는 실험 수에 의존하지 않으며 실험 수행 조건이 변경될 때만 변경됩니다.

기하학적 확률의 정의. 기하 확률은 영역의 일부, 선택한 지점이 전체 영역에서 찾아야 하는 적중, 이 지점에서 동등하게 가능한 적중의 비율입니다.

면적은 면적, 길이 또는 부피의 척도가 될 수 있습니다.

예시.각 지점에서 1km 이내의 세그먼트 끝 근처에 떨어질 필요가 있는 경우 특정 지점이 길이 10km의 섹션에 떨어질 확률을 찾으십시오.

논평.

면적 s와 S의 측정 단위가 문제의 조건에 따라 다른 측정 단위를 갖는 경우 솔루션을 위해 s와 S에 동일한 차원을 제공해야 합니다.

화합물. 조합론의 요소.

정의.원소 또는 적어도 하나의 원소의 순서가 다른 다른 족 원소의 조합을 화합물이라고 합니다.

연결은 다음과 같습니다.

숙소

콤비네이션

순열

정의. n - 요소의 m배 배열은 적어도 하나의 요소와 요소의 순서가 서로 다른 연결이라고 합니다.

정의. n개 원소와 m개의 조합은 동일한 원소 중 하나 이상의 원소가 다른 화합물로 구성된 화합물입니다.

정의. n개의 원소의 순열은 원소의 순서만 서로 다른 동일한 원소로 구성된 화합물입니다.

예시.

1) 5대의 차량으로 구성된 호송대는 몇 가지 방법으로 구성될 수 있습니까?

2) 반에 25명이 있다면 반에 3명의 참석자를 몇 가지 방법으로 지정할 수 있습니까?

원소의 순서는 중요하지 않고 화합물의 그룹은 원소의 수가 다르기 때문에 25 원소의 조합 수를 3으로 계산합니다.

방법.

3) 숫자 1,2,3,4,5,6으로 네 자리 수를 만들 수 있는 방법은 몇 가지입니까? 그러므로 이후 연결은 배열 순서와 적어도 하나의 요소가 다르므로 6개 요소의 배치를 4로 계산합니다.

확률 계산에 대한 조합 요소 사용에 대한 예입니다.

n개의 제품 배치에서 - m - 결함. 우리는 임의로 l 제품을 선택합니다. 그들 사이에 정확히 k번의 결혼이 있을 확률을 구하십시오.

예시.

10 개의 냉장고를 창고로 가져 왔으며 그중 4-3 챔버, 나머지는 2 챔버입니다.

임의로 선택한 5개의 언덕 중 3개가 3실이 될 확률을 구하십시오.

확률 이론의 기본 정리.

정리 1.

2개의 양립할 수 없는 사건의 합의 확률은 이러한 사건의 확률의 합과 같습니다.

결과.

1) 어떤 사건이 양립할 수 없는 사건들의 완전한 그룹을 형성한다면, 그들의 확률의 합은 1과 같습니다.

2) 서로 반대되는 두 사건의 확률의 합은 1이다.

정리 2.

2개의 독립적인 사건의 곱의 확률은 그 확률의 곱과 같습니다.

정의.사건 A의 발생 확률이 사건 B의 발생 여부에 의존하지 않는 경우 사건 A는 사건 B와 독립적이라고 합니다.

정의.두 이벤트 중 하나의 발생 확률이 두 번째 이벤트의 발생 또는 비 발생에 따라 달라지는 경우 두 이벤트를 독립이라고합니다.

정의.사건 A가 일어났다고 가정하고 계산한 사건 B의 확률을 조건부 확률이라고 합니다.

정리 3.

2개의 독립적인 사건의 곱의 확률은 첫 번째 사건이 발생한 경우 한 사건의 발생 확률에 두 번째 사건의 조건부 확률을 곱한 것과 같습니다.

예시.

도서관에는 수학에 관한 12권의 교과서가 있습니다. 이 중 초등 수학 교과서 2권, 확률 이론 교과서 5권, 고등 수학 교과서 5권. 무작위로 2개의 교과서를 선택합니다. 둘 다 기초 수학을 터뜨릴 확률을 구하십시오.

정리 4. 이벤트가 적어도 한 번 발생할 확률.

양립할 수 없는 사건의 완전한 그룹을 형성하는 사건 중 적어도 하나의 발생 확률은 첫 번째 사건과 반대 사건의 확률 곱 간의 차이와 같습니다.

그럼 보자

결과.

각 사건의 발생 확률 가 동일하고 p와 같으면 이러한 사건 중 적어도 하나가 발생할 확률은 다음과 같습니다.

N은 수행된 실험의 수입니다.

예시.

목표물에 3발을 발사합니다. 첫 번째 샷으로 칠 확률은 0.7, 두 번째 샷은 0.8, 세 번째 샷은 0.9입니다. 목표물에 세 번의 독립적인 사격 후 다음과 같은 확률을 찾으십시오.

A) 안타 0개;

B) 1 안타;

다) 2안타;

D) 3 안타;

D) 적어도 하나의 히트.

정리 5. 총 확률 공식.

이벤트 A가 가설 중 하나와 함께 나타날 수 있다고 가정하면 이벤트 A가 발생할 확률은 다음 공식으로 구합니다.

그리고 . 우리는 공통 분모를 가져옵니다.

저것. 4게임 중 2게임을 이기는 것보다 동등한 상대를 상대로 2게임 중 1게임을 이길 확률이 더 높습니다.

서론 3 1장. 확률 5 1.1. 확률의 개념 5 1.2. 확률과 확률변수 7 제2장 응용정보학에서의 확률이론의 응용 10 2.1. 확률론적 접근법 10 2.2. 확률적 또는 콘텐츠 접근 방식 11 2.3. 정보 측정에 대한 알파벳 접근법 12

소개

응용 정보학은 다른 과학과 별도로 존재할 수 없으며 과학, 기술 및 일상 생활의 다양한 분야에서 다양한 문제를 해결하는 데 사용되는 새로운 정보 기술 및 기술을 창출합니다. 응용 정보학 개발의 주요 방향은 이론, 기술 및 응용 정보학입니다. 응용 정보학은 정보 검색, 처리 및 저장, 정보 생성 및 변환 법칙 설명, 우리 활동의 다양한 영역에서의 사용, "인간-컴퓨터"관계 연구, 정보 기술 형성에 대한 일반 이론을 개발합니다. 응용 정보학은 정보 처리 자동화 시스템, 최신 컴퓨터 기술의 형성, 탄력적 기술 시스템, 로봇, 인공 지능 등을 포함하는 국가 경제 분야를 가정합니다. 응용 정보학은 정보학의 지식 기반을 형성하고 제조 자동화를 위한 합리적인 방법, 이론적 설계 기반, 과학과 생산 간의 관계 확립 등을 개발합니다. 정보학은 이제 과학 및 기술 진보의 촉매제로 간주되며 인적 요소의 활성화에 기여합니다. , 인간 활동의 모든 영역을 정보로 채웁니다. 선택한 주제의 관련성은 확률 이론이 컴퓨터 과학, 신뢰성 이론, 대기열 이론, 이론 물리학 및 기타 이론 및 응용 과학과 같은 다양한 기술 및 자연 과학 분야에서 사용된다는 사실에 있습니다. 확률 이론을 모르면 "제어 이론", "운영 연구", "수학적 모델링"과 같은 중요한 이론 과정을 구축할 수 없습니다. 확률 이론은 실제로 널리 사용됩니다. 측정 오류, 다양한 메커니즘 부품의 마모 및 표준과의 치수 편차와 같은 많은 무작위 변수는 정규 분포를 따릅니다. 신뢰도 이론에서 정규 분포는 대상의 신뢰도를 추정하는 데 사용되며 노후화 및 마모는 물론 오정렬, 즉 점진적인 실패를 평가할 때. 작업의 목적: 응용 정보학에서 확률 이론의 적용을 고려합니다. 확률 이론은 응용 문제를 해결하는 매우 강력한 도구이자 다기능 과학 언어로 간주되지만 공통 문화의 대상이기도 합니다. 정보 이론은 정보학의 기초인 동시에 기술 사이버네틱스의 주요 영역 중 하나입니다.

결론

따라서 확률 이론, 연대기 및 상태 및 가능성을 분석하면이 개념의 출현은 과학에서 우연한 현상이 아니라 후속 기술 및 사이버네틱스 형성에 필요하다고 말할 수 있습니다. 이미 존재하는 소프트웨어 제어는 다른 사람의 도움 없이는 사람처럼 생각하는 인공두뇌 기계의 개발에서 사람을 도울 수 없기 때문입니다. 그리고 직접 확률 이론은 인공 지능의 출현에 기여합니다. 사이버네틱스는 "살아 있는 유기체, 기계 또는 사회에서 발생하는 제어 절차는 특정 법률에 따라 수행됩니다."라고 말했습니다. 즉, 완전히 알려지지는 않았지만 인간의 뇌에서 발생하는 절차가 변화하는 분위기에 탄력적으로 적응할 수 있도록 가장 복잡한 자동 장치에서 인위적으로 재생하는 것이 가능합니다. 수학의 중요한 정의는 함수의 정의이지만, 항상 인수의 단일 값을 함수의 하나의 값과 연관시키고 이들 사이의 기능적 관계가 잘 정의되어 있는 단일 값 함수에 대해 말했습니다. 그러나 실제로는 비자발적 현상이 발생하고 많은 사건이 구체적이지 않은 상호 관계 특성을 가지고 있습니다. 무작위 현상에서 패턴을 찾는 것은 확률 이론의 과제입니다. 확률 이론은 과학, 기술 및 경제학의 수많은 분야에서 다양한 현상의 보이지 않는 다중값 관계를 연구하기 위한 도구입니다. 확률 이론을 통해 수요, 공급, 가격 및 기타 경제 지표의 변동을 정확하게 계산할 수 있습니다. 확률 이론은 통계 및 응용 컴퓨터 과학과 같은 기초 과학의 일부입니다. 하나의 응용 프로그램과 컴퓨터 전체가 확률 이론 없이는 작동하지 않기 때문입니다. 그리고 게임 이론에서도 주요한 것입니다.

서지

1. Belyaev Yu.K. 및 Nosko V.P. "수학적 통계의 기본 개념 및 작업." - M.: 모스크바 주립대학교 출판사 CheRo, 2012. 2. V.E. Gmurman, 확률 이론 및 수학 통계. - M.: 고등학교, 2015. 3. Korn G., Korn T. “과학자 및 엔지니어를 위한 수학 핸드북. - 상트페테르부르크: 출판사 "Lan" 2013. 4. Peheletsky I. D. "학생을 위한 수학 교과서" - M. Academy, 2013. 5. Sukhodolsky V.G. "인문학을 위한 고등 수학 강의." - 상트페테르부르크 주립대학교 상트페테르부르크 출판사. 2013년; 6. Gnedenko B. V. 및 Khinchin A. Ya. "확률 이론에 대한 기본 소개" 3판, M. - L., 2012. 7. Gnedenko B. V. "확률 이론 과정" 4판, M., 2015. 8. Feller V. "확률 이론 및 그 응용 소개"(이산 분포), trans. 영어에서, 2판, 1-2권, M., 2012. 9. 번스타인 S.N. "확률 이론", 4판, M.-L., 2014. 10. Gmurman, Vladimir Efimovich. 확률론과 수학적 통계학: 대학 교과서 /V. E. Gmurman.-Ed. 12일, 수정됨.-M.: 고등학교, 2009.-478s.

2009년 12월 9일 업데이트됨

실제로 확률 이론을 적용한 역사에 대한 약간의 여담.

18 세기 말까지 국가 회계 및 통제가 생각할 수 없기 때문에 오랫동안 존재했던 응용 통계는 기본적이고 순전히 산술적인 성격을 가졌습니다. 확률 이론은 비교적 복잡한 "응용 프로그램"으로 도박만 있는 순수한 학문 분야로 남아 있었습니다. 18세기 주사위 생산 기술의 향상은 확률 이론의 발전을 자극했습니다. 플레이어들은 자신도 모르게 주사위가 같은 표준이 되면서 집단적으로 재현 가능한 실험을 설정하기 시작했습니다. 따라서 나중에 "통계 실험"이라고 불리는 것의 예가 생겼습니다. 동일한 조건에서 무제한으로 반복할 수 있는 실험입니다.

19세기와 20세기에 확률 이론은 먼저 과학(천문학, 물리학, 생물학)에 침투한 다음 실용(농업, 산업, 의학)에 침투했으며 마지막으로 컴퓨터가 발명된 후 모든 사람의 일상 생활에 침투했습니다. 현대적인 정보 수신 및 전송 수단을 사용하여 주요 단계를 추적해 봅시다.

1. 천문학.

유명한 "최소 자승 방법"이 개발된 것은 천문학에서 사용하기 위한 것이었습니다(Legendre 1805, Gauss 1815). 원래 이 방법이 사용되었던 주된 문제는 혜성의 궤도를 계산하는 것이었습니다. 적은 수의 관찰. 궤도는 작은 영역에서만 관찰되기 때문에 궤도 유형(타원 또는 쌍곡선)의 신뢰할 수 있는 결정과 해당 매개변수의 정확한 계산이 어렵다는 것이 분명합니다. 이 방법은 효과적이고 보편적인 것으로 입증되었으며 우선 순위에 대한 열띤 논쟁을 불러일으켰습니다. 그것은 측지학 및 지도 제작에 사용되기 시작했습니다. 이제 수동 계산 기술이 사라졌기 때문에 1880년대 영국에서 세계 해양 지도를 작성할 때 수백 개의 미지수가 포함된 약 6,000개의 방정식 시스템이 최소 제곱법을 사용하여 수치적으로 풀렸다는 것을 상상하기 어렵습니다.

3. 생체 인식.

1870-1900년에 벨기에의 Quetelet과 영국의 Francis Galton 및 Karl Pearson은 생체 인식이라는 새로운 과학적 방향을 세웠습니다. 여기서 처음으로 살아있는 유기체의 불확실한 가변성과 양적 특성의 유전이 체계적이고 양적으로 시작되었습니다. 공부했다. 회귀와 상관 관계라는 새로운 개념이 과학적 순환에 도입되었습니다.

따라서 20세기 초까지 확률 이론의 주요 응용 분야는 과학 연구와 관련이 있었습니다. 실용화 - 농업, 산업, 의학은 20세기에 일어났습니다.

4. 농업.

20세기 초 영국에서 과제는 다양한 농법의 효율성을 정량적으로 비교하는 것이었다. 이 문제를 해결하기 위해 계획 실험 이론과 분산 분석 이론이 개발되었습니다. 이미 순전히 실용적인 통계 사용 개발의 주요 장점은 천문학 자 (!) 교육, 나중에는 농부, 통계 학자, 유전 학자, 영국 왕립 학회 회장 인 Ronald Fisher 경에 있습니다. 실제로 광범위하게 적용하기에 적합한 현대 수학 통계는 영국에서 개발되었습니다(Karl Pearson, Student, Fisher). 학생은 베이지안 접근법을 사용하지 않고 알려지지 않은 분포 매개변수를 추정하는 문제를 처음으로 해결했습니다.

5. 산업. 생산에 통계적 제어 방법 도입(Shewhart 제어 차트). 필요한 제품 품질 테스트 횟수를 줄입니다. 수학적 방법은 이미 너무 중요해서 분류되었습니다. 따라서 테스트 횟수를 줄일 수 있는 새로운 기술을 설명하는 책(Wald의 "Sequential Analysis")은 1947년 2차 세계 대전이 끝난 후에야 출판되었습니다.

6. 의학. 의학에서 통계적 방법의 광범위한 사용은 비교적 최근(20세기 후반)에 시작되었습니다. 효과적인 치료 방법(항생제, 인슐린, 효과적인 마취, 심폐 우회술)의 개발에는 효과를 평가하기 위한 신뢰할 수 있는 방법이 필요했습니다. "근거 기반 의학"이라는 새로운 개념이 등장했습니다. 많은 질병의 치료에 대한보다 공식적이고 정량적 인 접근 방식이 개발되기 시작했습니다. 프로토콜, 가이드 라인의 도입입니다.

1980년대 중반 이후, 빠르고 저렴한 컴퓨터의 광범위한 사용 가능성이라는 확률 이론의 모든 적용에 혁명을 일으킨 새롭고 중요한 요소가 등장했습니다. 하나의(!) 현대 개인용 컴퓨터가 속도와 메모리 면에서 모든(!) 소련과 미국의 컴퓨터를 능가한다는 점을 감안할 때 일어난 혁명의 엄청난 규모를 느낄 수 있습니다. 원자력 발전소 건설은 이미 구현되었습니다 , 달로의 비행, 열핵 폭탄 생성. 이제 직접 실험을 통해 이전에는 접근할 수 없었던 결과를 얻을 수 있습니다.

7. 생물 정보학. 1980년대 이후 알려진 단백질 및 핵산 서열의 수가 급격히 증가했습니다. 축적된 정보의 양은 이러한 데이터의 컴퓨터 분석만이 정보 추출 문제를 해결할 수 있을 정도입니다.

8. 패턴 인식.