한 점에서 평면의 선까지의 거리. 점에서 선까지의 거리를 찾는 방법은 무엇입니까? 점 M에서 선까지의 거리 찾기: 수식 점에서 평면 위 벡터까지의 거리

이 문서에서는 주제에 대해 설명합니다. « 점에서 선까지의 거리 », 점에서 선까지의 거리 정의는 좌표 방법으로 예시된 예와 함께 고려됩니다. 끝에 있는 각 이론 블록은 유사한 문제를 해결하는 예를 보여줍니다.

점에서 선까지의 거리는 점에서 점까지의 거리를 결정하여 구합니다. 더 자세히 고려해 봅시다.

직선 a와 주어진 직선에 속하지 않는 점 M 1이 있다고 하자. 선 a에 수직으로 배치된 선을 그립니다. 선의 교차점을 H 1로 가져옵니다. 우리는 M 1 H 1이 점 M 1에서 선 a로 낮아진 수직선임을 알 수 있습니다.

정의 1

점 M 1에서 직선 a까지의 거리호출 점 사이의 거리 남 1 과 H 1 .

수직선 길이의 수치로 정의한 기록이 있습니다.

정의 2

점에서 선까지의 거리주어진 점에서 주어진 선까지 그은 수선의 길이입니다.

정의는 동일합니다. 아래 그림을 고려하십시오.

점에서 직선까지의 거리는 가능한 가장 작은 것으로 알려져 있습니다. 예를 들어 살펴보겠습니다.

점 M 1과 일치하지 않고 선 a에있는 점 Q를 취하면 세그먼트 M 1 Q를 비스듬히 부르며 M 1에서 선 a로 내려갑니다. 점 M 1의 수직선이 점에서 직선으로 그린 다른 모든 사선보다 작다는 것을 표시할 필요가 있습니다.

이를 증명하기 위해 M 1 Q 1 이 빗변인 삼각형 M 1 Q 1 H 1 을 고려하십시오. 그 길이는 항상 다리 길이보다 길다는 것이 알려져 있습니다. 따라서 우리는 M 1 H 1< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

점에서 직선으로 찾기 위한 초기 데이터는 피타고라스의 정리, 사인, 코사인, 각도의 탄젠트 등을 통해 여러 솔루션 방법을 사용할 수 있습니다. 이 유형의 대부분의 작업은 기하학 수업에서 학교에서 해결됩니다.

점에서 선까지의 거리를 찾을 때 직교 좌표계를 입력하면 좌표 방법이 사용됩니다. 이 단락에서는 주어진 지점에서 원하는 거리를 찾는 두 가지 주요 방법을 고려합니다.

첫 번째 방법은 거리를 M 1에서 선 a까지 그린 수직선으로 찾는 것입니다. 두 번째 방법은 직선 a의 정규 방정식을 사용하여 필요한 거리를 찾습니다.

직교 좌표계에 위치한 좌표 M 1 (x 1, y 1)을 가진 평면에 직선 a가 있고 거리 M 1 H 1을 찾아야 하는 경우 두 가지 방법으로 계산할 수 있습니다. 그들을 고려해 봅시다.

첫 번째 방법

점 H 1의 좌표가 x 2, y 2와 같으면 점에서 선까지의 거리는 공식 M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

이제 점 H 1의 좌표를 찾는 것으로 넘어 갑시다.

O x y의 직선은 평면의 직선 방정식에 해당하는 것으로 알려져 있습니다. 직선의 일반방정식이나 기울기가 있는 방정식을 써서 직선 a를 정의하는 방법을 생각해 보자. 점을 통과하는 직선의 방정식을 작성합니다. 남 1 주어진 선 a에 수직입니다. 너도밤 나무 b 로 선을 표시합시다. H 1은 선 a와 b의 교차점이므로 좌표를 결정하려면 두 선의 교차점 좌표를 다루는 기사를 사용해야합니다.

주어진 점 M 1 (x 1, y 1)에서 직선 a까지의 거리를 찾는 알고리즘은 다음 점에 따라 수행됨을 알 수 있습니다.

정의 3

직선의 일반 방정식 찾기 a , A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 형식 또는 기울기 계수가 있는 방정식 y \u003d k 1 x + b 1 형식;
A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0 또는 선 b가 점과 교차하는 경우 기울기 y \u003d k 2 x + b 2를 갖는 방정식을 갖는 선 b의 일반 방정식을 얻음 M 1 주어진 직선 a에 수직이고;
a와 b의 교차점 인 점 H 1의 좌표 x 2, y 2 결정, 이를 위해 선형 방정식 시스템이 해결됩니다. A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 또는 y = k 1 x + b 1 y = k 2 x + b 2 ;
공식 M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2를 사용하여 점에서 직선까지 필요한 거리 계산.

두 번째 방법

정리는 주어진 점에서 평면의 주어진 선까지의 거리를 찾는 문제에 답하는 데 도움이 될 수 있습니다.

정리

직교 좌표계는 O x y 점을 가집니다. M 1 (x 1, y 1), 이 점에서 직선이 평면에 그려집니다. 평면의 정규 방정식에 의해 주어지며 cos α x + cos β 형식을 갖습니다. y-p \u003d 0, x = x 1, y = y 1에서 계산된 정상 직선 방정식의 왼쪽에서 얻은 값을 모듈로와 동일하며 M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p.

증거

선 a는 cos α x + cos β y - p = 0의 형식을 갖는 평면의 정규 방정식에 해당하고 n → = (cos α , cos β)는 a에서 선 a의 법선 벡터로 간주됩니다. p 단위로 원점에서 선 a까지의 거리. 그림의 모든 데이터를 묘사하고 좌표가있는 점을 추가해야합니다. 미디엄 1 (x 1, y 1) , 여기서 점의 반경 벡터 미디엄 1 - 옴 1 → = (엑스 1 , y 1) . 점에서 직선으로 직선을 그리는 것이 필요합니다. M 1 H 1 . n → = (cos α , cos β) 형식의 방향 벡터를 사용하여 점 O를 통과하는 직선에 점 M1 및 H2의 투영 M2 및 H2를 표시해야 합니다 벡터의 는 O M 1 → = (x 1 , y 1) 방향 n → = (cos α , cos β) 로 n pn → O M 1 → 로 표시됩니다.

변형은 점 M1 자체의 위치에 따라 달라집니다. 아래 그림을 고려하십시오.

M 1 H 1 = n pn → O M → 1 - p 공식을 사용하여 결과를 수정합니다. 그런 다음 n pn → O M → 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1을 얻기 위해 M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p 형식으로 평등을 가져옵니다.

벡터의 스칼라 곱은 n → , O M → 1 = n → n pn → O M 1 → = 1 n pn → O M 1 → = n pn → O M 1 → 형식의 변형된 공식이 됩니다. 형태 n → , O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . 따라서 n pn → O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 임을 얻습니다. M 1 H 1 = n pn → O M 1 → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p 입니다. 정리가 입증되었습니다.

점 M 1 (x 1, y 1)에서 평면의 직선 a까지의 거리를 찾으려면 몇 가지 작업을 수행해야 합니다.

정의 4

작업에 없는 경우 a cos α · x + cos β · y - p = 0 라인의 정규 방정식을 얻습니다.
식 계산 cos α · x 1 + cos β · y 1 - p 여기서 결과 값은 M 1 H 1 입니다.

점에서 평면까지의 거리를 찾는 문제를 해결하기 위해 이러한 방법을 적용해 봅시다.

예 1

좌표가 M 1 (- 1 , 2)인 점에서 선 4 x - 3 y + 35 = 0까지의 거리를 찾습니다.

해결책

첫 번째 방법을 사용하여 해결해 보겠습니다.

이렇게하려면 주어진 점을 통과하는 선 b의 일반 방정식을 찾아야합니다. 남 1 (- 1 , 2) 선에 수직 4 x - 3 y + 35 = 0 . 선 b가 선 a에 수직이라는 조건에서 볼 수 있으며 방향 벡터의 좌표는 (4, - 3) 입니다. 따라서 점 M 1의 좌표가 있기 때문에 평면에 선 b의 정식 방정식을 쓸 기회가 있습니다. 선 b에 속합니다. 직선의 방향 벡터의 좌표를 결정합시다 b . 우리는 x - (- 1) 4 = y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 = y - 2 - 3 을 얻습니다. 결과 정식 방정식을 일반 방정식으로 변환해야 합니다. 그럼 우리는 그것을 얻는다

x + 1 4 = y - 2 - 3 ⇔ - 3(x + 1) = 4(y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 = 0

H 1이라는 지정으로 취할 선의 교차점의 좌표를 찾아 봅시다. 변환은 다음과 같습니다.

4 x - 3y + 35 = 0 3 x + 4y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 3 4 y - 35 4 + 4 y - 5 = 0 ⇔ ⇔ x = 3 4 y - 35 4 y = 5 ⇔ x = 3 4 5 - 35 4 y = 5 ⇔ x = - 5 y = 5

위에서 점 H 1의 좌표는 (- 5; 5) 입니다.

점 M 1에서 직선 a까지의 거리를 계산할 필요가 있습니다. 점 M 1 (- 1, 2) 및 H 1 (- 5, 5)의 좌표를 얻은 다음 거리를 찾는 공식으로 대체하면 다음을 얻습니다.

남 1 H 1 \u003d (-5-(-1) 2 + (5-2) 2 \u003d 25 \u003d 5

두 번째 해결책.

다른 방법으로 풀기 위해서는 직선의 정규 방정식을 구해야 합니다. 정규화 인자의 값을 계산하고 방정식 4 x - 3 y + 35 = 0 의 양변을 곱합니다. 여기에서 정규화 계수는 - 1 4 2 + (- 3) 2 = - 1 5 이고 정규 방정식은 - 1 5 4 x - 3 y + 35 = - 1 5 0 ⇔ - 45x + 35y - 7 = 0 .

계산 알고리즘에 따르면 직선의 정규 방정식을 구하고 x = - 1 , y = 2 값으로 계산해야 합니다. 그럼 우리는 그것을 얻는다

4 5 - 1 + 3 5 2 - 7 = - 5

여기에서 점 M 1 (- 1 , 2)에서 주어진 직선 4 x - 3 y + 35 = 0까지의 거리 값은 - 5 = 5입니다.

대답: 5 .

이 방법은 가장 짧기 때문에 직선의 정규 방정식을 사용하는 것이 중요하다는 것을 알 수 있습니다. 그러나 첫 번째 방법은 계산 포인트가 더 많음에도 불구하고 일관되고 논리적이라는 점에서 편리합니다.

예 2

평면에는 점 M 1 (8, 0)과 직선 y = 1 2 x + 1을 갖는 직교 좌표계 O x y가 있습니다. 주어진 점에서 직선까지의 거리를 찾으십시오.

해결책

첫 번째 방법의 솔루션은 기울기 계수가 있는 주어진 방정식을 일반 방정식으로 줄이는 것을 의미합니다. 단순화하기 위해 다르게 할 수 있습니다.

수직선의 기울기 곱이 -1이면 주어진 y=12x+1에 수직인 직선의 기울기는 2입니다. 이제 좌표가 M 1 (8, 0) 인 점을 통과하는 직선의 방정식을 얻습니다. y - 0 = - 2 (x - 8) ⇔ y = - 2 x + 16 입니다.

점 H 1의 좌표, 즉 교차점 y \u003d-2 x + 16 및 y \u003d 1 2 x + 1을 찾습니다. 우리는 방정식 시스템을 구성하고 다음을 얻습니다.

y = 1 2 x + 1 y = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 11 2 x + 1 = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 x = 6 ⇔ ⇔ y = 1 2 6 + 1 x \u003d 6 \u003d y \u003d 4 x \u003d 6 ⇒ H 1 (6, 4)

좌표가 M 1 (8 , 0)인 점에서 선 y = 1 2 x + 1까지의 거리는 좌표 M 1 (8 , 0) 및 H가 있는 시작점과 끝점으로부터의 거리와 같습니다. 1 (6 , 4) . M 1 H 1 = 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 = 2 5 임을 계산하고 구해 봅시다.

두 번째 방법의 솔루션은 계수가 있는 방정식에서 정규 형식으로 전달하는 것입니다. 즉, y \u003d 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 \u003d 0을 얻으면 정규화 계수의 값은 -1 1 2 2 + (- 1) 2 \u003d - 2 5 . 직선의 정규 방정식은 - 2 5 1 2 x - y + 1 = - 2 5 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 형식을 취합니다. 점 M 1 8 , 0 에서 - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 형식의 직선까지 계산해 봅시다. 우리는 다음을 얻습니다.

남1H1 \u003d-158 + 250-25 \u003d-105 \u003d 25

대답: 2 5 .

예 3

좌표가 M 1 (- 2 , 4) 인 점에서 직선 2 x - 3 = 0 및 y + 1 = 0 까지의 거리를 계산해야 합니다.

해결책

우리는 직선 2 x - 3 = 0의 정규 형식 방정식을 얻습니다.

2x - 3 = 0 ⇔ 1 2 2 x - 3 = 1 2 0 ⇔ x - 3 2 = 0

그런 다음 점 M 1 - 2, 4에서 직선 x - 3 2 = 0까지의 거리를 계산합니다. 우리는 다음을 얻습니다.

M 1 H 1 = - 2 - 3 2 = 3 1 2

직선 방정식 y + 1 = 0은 값이 -1인 정규화 인자를 가집니다. 이것은 방정식이 - y - 1 = 0 형식을 취함을 의미합니다. 점 M 1 (- 2 , 4)에서 직선 - y - 1 = 0까지의 거리를 계산합니다. 우리는 그것이 - 4 - 1 = 5와 같다는 것을 알게 됩니다.

대답: 3 1 2 및 5 .

평면의 주어진 점에서 좌표축 O x 및 O y까지의 거리 결정을 자세히 살펴 보겠습니다.

직교 좌표계에서 축 O y는 불완전하고 형식이 x \u003d 0이고 O x - y \u003d 0인 직선 방정식을 갖습니다. 방정식은 좌표축에 대해 정상이므로 좌표가있는 점에서 거리를 찾아야합니다. M 1 x 1 , y 1 직선까지. 이것은 M 1 H 1 = x 1 및 M 1 H 1 = y 1 공식을 기반으로 수행됩니다. 아래 그림을 고려하십시오.

예 4

점 M 1 (6, - 7)에서 O x y 평면에 위치한 좌표선까지의 거리를 찾으십시오.

해결책

방정식 y \u003d 0은 선 O x를 참조하므로 공식을 사용하여 주어진 좌표로 M 1에서 이 선까지의 거리를 찾을 수 있습니다. 우리는 6 = 6을 얻습니다.

방정식 x \u003d 0은 선 O y를 참조하므로 수식을 사용하여 M 1에서 이 선까지의 거리를 찾을 수 있습니다. 그러면 - 7 = 7 이 됩니다.

대답: M 1에서 O x까지의 거리는 6의 값을 가지며 M 1에서 O y까지의 거리는 7의 값을 갖습니다.

3차원 공간에서 좌표가 M 1(x 1, y 1, z 1)인 점이 있을 때 점 A에서 선 a까지의 거리를 찾아야 합니다.

점에서 공간에 있는 직선까지의 거리를 계산할 수 있는 두 가지 방법을 고려하십시오. 첫 번째 경우는 점 M 1에서 선까지의 거리를 고려합니다. 여기서 선 위의 점을 H 1이라고 하고 점 M 1에서 선 a까지 그린 수직선의 밑입니다. 두 번째 경우는 이 평면의 점을 평행사변형의 높이로 찾아야 함을 시사합니다.

첫 번째 방법

정의에서 우리는 직선 a에 위치한 점 M 1로부터의 거리가 수직선 M 1 H 1의 길이라는 것을 알게 된 다음 점 H 1의 찾은 좌표로 얻은 다음 거리를 찾습니다. M 1 (x 1, y 1, z 1 ) 및 H 1 (x 1, y 1, z 1) 사이 공식 M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2-지 1 2 .

우리는 전체 솔루션이 M 1에서 선 a로 그려진 수직선의 밑면 좌표를 찾는 데 간다는 것을 알게 됩니다. 이는 다음과 같이 수행됩니다. H 1은 선 a가 주어진 점을 통과하는 평면과 교차하는 점입니다.

이것은 점 M 1 (x 1, y 1, z 1)에서 공간의 직선 a까지의 거리를 결정하는 알고리즘이 여러 점을 의미함을 의미합니다.

정의 5

평면 χ의 방정식을 선에 수직인 주어진 점을 통과하는 평면의 방정식으로 작성하고;
선 a와 평면 χ의 교차점인 점 H1에 속하는 좌표(x2, y2, z2)의 결정;
공식을 사용하여 점에서 선까지의 거리 계산 M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 .

두 번째 방법

라인 a가 있는 조건에서 좌표 x 3, y 3, z 3 및 라인 a에 속하는 특정 점 M 3을 사용하여 방향 벡터 a → = a x, a y, a z를 결정할 수 있습니다. 점의 좌표가 주어지면 M 1 (x 1 , y 1) 및 M 3 x 3 , y 3 , z 3 , M 3 M 1 → 다음을 계산할 수 있습니다.

미디엄 3 미디엄 1 → = (엑스 1 - 엑스 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3)

벡터 a → \u003d a x, a y, a z 및 M 3 M 1 → \u003d x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3을 점 M 3에서 연기하고 연결하고 얻을 필요가 있습니다. 평행사변형 도형. M 1 H 1은 평행사변형의 높이입니다.

아래 그림을 고려하십시오.

높이 M 1 H 1이 원하는 거리라는 것을 알고 있으면 공식을 사용하여 찾아야 합니다. 즉, 우리는 M 1 H 1 을 찾고 있습니다.

문자 S로 평행 사변형의 영역을 나타내며 벡터 a → = (a x , a y , a z) 및 M 3 M 1 → = x 1 - x 3 . y 1 - y 3 , z 1 - z 3 . 면적 공식의 형식은 S = a → × M 3 M 1 → 입니다. 또한 그림의 면적은 변의 길이와 높이의 곱과 같으며 S \u003d a → M 1 H 1과 a → \u003d a x 2 + a y 2 + a z 2, 벡터의 길이 a → \u003d (a x, a y, a z) 평행 사변형의 측면과 같습니다. 따라서 M1H1은 점에서 선까지의 거리입니다. 공식 M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

좌표가 M 1(x 1, y 1, z 1)인 점에서 공간의 직선 a까지의 거리를 찾으려면 알고리즘의 여러 지점을 수행해야 합니다.

정의 6

직선의 방향 벡터 결정 a - a → = (a x , ay , az) ;
방향 벡터의 길이 계산 a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 ;
선 a 상에 위치한 점 M3에 속하는 좌표 x3, y3, z3를 구하는 단계;
벡터의 좌표 계산 M 3 M 1 → ;
벡터 a → (a x, ay, a z) 및 M 3 M 1 → = x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3의 외적 찾기 a → × M 3 M 1 → = i → j → k → a x a y a z x 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3 공식에 따라 길이를 구하려면 a → × M 3 M 1 → ;
점에서 선까지의 거리 계산 M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

공간에서 주어진 점에서 주어진 직선까지의 거리를 찾는 문제 해결

실시예 5

좌표가 M 1 2 , - 4 , - 1 인 점에서 선 x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 까지의 거리를 구합니다.

해결책

첫 번째 방법은 M 1을 통과하고 주어진 점에 수직인 평면 χ의 방정식을 작성하는 것으로 시작합니다. 다음과 같은 표현을 얻습니다.

2(x - 2) - 1(y - (-4)) + 5(z - (- 1)) = 0 ⇔ 2 x - y + 5z - 3 = 0

조건에 의해 주어진 직선에 대한 평면 χ와의 교차점 인 점 H 1의 좌표를 찾는 것이 필요합니다. 정식 형식에서 교차 형식으로 이동해야 합니다. 그런 다음 다음 형식의 방정식 시스템을 얻습니다.

x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ⇔ - 1 (x + 1) = 2 y 5 (x + 1) = 2 (z + 5) 5 y = - 1 (z + 5) ⇔ x + 2y + 1 = 0 5 x - 2z - 5 = 0 5y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2y + 1 = 0 5 x - 2z - 5 = 0

x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = - 1 5 x - 2 z = 5 시스템을 계산해야 합니다. Cramer의 방법으로 2 x - y + 5 z = 3이면 다음을 얻습니다.

∆ = 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 = - 60 ∆ x = - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 = - 60 ⇔ x = ∆ x ∆ = - 60 - 60 = 1 ∆ y = 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 = 60 ⇒ y = ∆ y ∆ = 60 - 60 = - 1 ∆ z = 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 = 0 ⇒ z = ∆ z ∆ = 0 - 60 = 0

따라서 우리는 H 1 (1, - 1, 0) .

남 1 H 1 \u003d 1-2 2 +-1--4 2 + 0--1 2 \u003d 11

두 번째 방법은 정식 방정식에서 좌표를 검색하여 시작해야 합니다. 이렇게하려면 분수의 분모에주의하십시오. 그러면 a → = 2 , - 1 , 5 는 선 x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 의 방향 벡터입니다. a → = 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 30 공식을 사용하여 길이를 계산해야 합니다.

선 x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5가 점 M 3 (- 1 , 0 , - 5)와 교차한다는 것은 분명합니다. 따라서 원점이 있는 벡터는 M 3 (- 1 , 0 , - 5) 그리고 점 M 1 2 , -4 , -1 에서 끝은 M 3 M 1 → = 3 , -4 , 4 입니다. 벡터 곱 찾기 a → = (2, - 1, 5) 및 M 3 M 1 → = (3, - 4, 4) .

a → × M 3 M 1 → = i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 = - 4 i → + 15 j → - 8 k → + 20 i → - 8 j 형식의 표현을 얻습니다. → = 16i → + 7j → - 5k →

외적의 길이는 a → × M 3 M 1 → = 16 2 + 7 2 + - 5 2 = 330 입니다.

우리는 직선에 대한 점으로부터의 거리를 계산하기 위한 공식을 사용하기 위한 모든 데이터를 가지고 있으므로 이를 적용하여 다음을 얻습니다.

M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → = 330 30 = 11

대답: 11 .

텍스트에 오류가 있는 경우 강조 표시하고 Ctrl+Enter를 누르십시오.

평면에서 점에서 선까지의 거리를 계산하는 공식

직선 Ax + By + C = 0의 방정식이 주어지면 점 M(M x , My y)에서 직선까지의 거리는 다음 공식을 사용하여 구할 수 있습니다.

평면에서 점에서 선까지의 거리를 계산하는 작업의 예

예 1

선 3x + 4y - 6 = 0과 점 M(-1, 3) 사이의 거리를 찾으십시오.

해결책.수식에서 선의 계수와 점의 좌표를 대체하십시오.

대답:점에서 선까지의 거리는 0.6입니다.

벡터에 수직인 점을 통과하는 평면의 방정식평면의 일반 방정식

주어진 평면에 수직인 0이 아닌 벡터를 호출합니다. 법선 벡터 (또는 한마디로 정상 ) 이 비행기의 경우.

주어진 좌표 공간(직교 좌표계에서)을 보자:

가) 점 ;

b) 0이 아닌 벡터(그림 4.8, a).

점을 통과하는 평면에 대한 방정식을 작성해야 합니다. 벡터에 수직 증명 끝.

이제 평면에서 직선의 다양한 유형의 방정식을 고려해 봅시다.

1) 평면의 일반 방정식피 .

방정식의 유도로부터 그것은 동시에 ㅏ, 비그리고 씨 0과 같지 않음(이유 설명).

포인트는 평면에 속합니다 피좌표가 평면의 방정식을 만족하는 경우에만. 계수에 따라 ㅏ, 비, 씨그리고 디비행기 피한 위치 또는 다른 위치를 차지합니다.

- 평면이 좌표계의 원점을 통과함, - 평면이 좌표계의 원점을 통과하지 않음,

- 평면은 축과 평행하다. 엑스,

엑스,

- 평면은 축과 평행하다. 와이,

- 평면이 축과 평행하지 않음 와이,

- 평면은 축과 평행하다. 지,

- 평면이 축과 평행하지 않음 지.

이 진술을 직접 증명하십시오.

방정식 (6)은 방정식 (5)에서 쉽게 파생됩니다. 사실, 요점을 비행기에 놓으십시오 피. 그런 다음 그 좌표는 방정식을 만족합니다. 방정식 (5)에서 방정식 (7)을 빼고 항을 그룹화하면 방정식 (6)을 얻습니다. 이제 각각 좌표가 있는 두 벡터를 고려하십시오. 공식 (6)에서 스칼라 곱이 0과 같습니다. 따라서 벡터는 벡터에 수직입니다. 마지막 벡터의 시작과 끝은 각각 평면에 속하는 점입니다. 피. 따라서 벡터는 평면에 수직입니다. 피. 점에서 평면까지의 거리 피, 그의 일반 방정식은 공식에 의해 결정됩니다 이 공식의 증명은 점과 선 사이의 거리에 대한 공식의 증명과 완전히 유사합니다(그림 2 참조).
쌀. 2. 평면과 직선 사이의 거리 공식 유도.

사실 거리가 디선과 평면 사이는

평면 위에 있는 점이 어디에 있습니까? 여기에서 11강에서와 같이 위의 식을 얻는다. 법선 벡터가 평행하면 두 평면이 평행합니다. 여기에서 우리는 두 평면의 평행 조건을 얻습니다. - 평면의 일반 방정식 계수. 법선 벡터가 수직이면 두 평면은 수직이므로 일반 방정식을 알고 있으면 두 평면의 수직 조건을 얻습니다.

모서리 에프두 평면 사이의 법선 벡터 사이의 각도와 같으므로(그림 3 참조) 공식에서 계산할 수 있습니다.
평면 사이의 각도 결정.

(11)

점에서 평면까지의 거리와 그것을 찾는 방법

지점에서 까지의 거리 비행기한 점에서 이 평면까지 내린 수직선의 길이입니다. 점에서 평면까지의 거리를 찾는 방법에는 적어도 두 가지가 있습니다. 기하학그리고 대수.

기하학적 방법으로먼저 수직선이 점에서 평면까지 어떻게 위치하는지 이해해야 합니다. 편리한 평면에 있을 수도 있고, 편리한 삼각형의 높이일 수도 있고, 일반적으로 이 수직선이 일부 피라미드의 높이일 수도 있습니다. .

이 첫 번째이자 가장 어려운 단계 후에 문제는 몇 가지 특정 면적 측정 문제(아마도 다른 평면에서)로 나뉩니다.

대수적 방법으로점에서 평면까지의 거리를 찾으려면 좌표계를 입력하고 점의 좌표와 평면의 방정식을 찾은 다음 점에서 평면까지의 거리 공식을 적용해야 합니다.

예제를 풀 때 주어진 점에서 평면의 주어진 직선까지의 거리를 찾기 위해 분석된 방법의 적용을 고려하십시오.

점에서 선까지의 거리 찾기:

먼저 첫 번째 방법으로 문제를 해결해 보겠습니다.

문제의 조건에서 다음 형식의 직선 a의 일반 방정식이 제공됩니다.

직선에 수직인 주어진 점을 통과하는 직선 b의 일반 방정식을 찾아봅시다.

선 b는 선 a에 수직이므로 선 b의 방향 벡터는 주어진 선의 법선 벡터입니다.

즉, 라인 b의 방향 벡터에는 좌표가 있습니다. 이제 직선 b가 통과하는 점 M 1의 좌표와 직선 b의 방향 벡터 좌표를 알고 있기 때문에 평면에서 직선 b의 표준 방정식을 작성할 수 있습니다.

얻어진 직선 b의 정식 방정식에서 직선의 일반 방정식으로 전달합니다.

이제 선 a와 b의 일반 방정식으로 구성된 방정식 시스템을 풀어 선 a와 b의 교차점 좌표를 찾으십시오 (필요한 경우 기사 해결 시스템 참조) 선형 방정식):

따라서 점 H1에는 좌표가 있습니다.

점 사이의 거리로서 점 M 1에서 직선 a까지 원하는 거리를 계산하는 것이 남아 있습니다.

문제를 해결하는 두 번째 방법.

주어진 선의 정규 방정식을 얻습니다. 이를 위해 정규화 계수의 값을 계산하고 직선의 원래 일반 방정식의 두 부분을 모두 곱합니다.

(직선의 일반 방정식을 정규 형식으로 가져오는 섹션에서 이에 대해 이야기했습니다.)

정규화 계수는 다음과 같습니다.

그러면 직선의 정규 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

이제 결과 직선의 정규 방정식의 왼쪽에 있는 식을 취하여 다음 값을 계산합니다.

주어진 점에서 주어진 직선까지의 원하는 거리:

는 받은 값의 절대값, 즉 5()와 같습니다.

점에서 선까지의 거리:

물론 직선의 정규방정식을 이용하여 평면 위의 한 점에서 직선까지의 거리를 구하는 방법의 장점은 상대적으로 계산량이 적다는 점이다. 차례로 점에서 선까지의 거리를 찾는 첫 번째 방법은 직관적이며 일관성과 논리로 구별됩니다.

직사각형 좌표계 Oxy는 평면에 고정되어 있고 점과 직선이 주어집니다.

주어진 점에서 주어진 선까지의 거리를 찾으십시오.

첫 번째 방법.

기울기가 있는 직선의 주어진 방정식에서 이 직선의 일반 방정식으로 갈 수 있으며 위에서 설명한 예와 같은 방식으로 진행할 수 있습니다.

그러나 다르게 할 수 있습니다.

우리는 수직선 기울기의 곱이 1이라는 것을 알고 있습니다(수직선, 수직선 문서 참조). 따라서 주어진 직선에 수직인 직선의 기울기는 다음과 같습니다.

는 2와 같습니다. 그러면 주어진 직선에 수직이고 점을 통과하는 직선의 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

이제 점 H 1의 좌표 - 선의 교차점을 찾으십시오.

따라서 점에서 직선까지 원하는 거리:

점 사이의 거리와 동일:

두 번째 방법.

기울기가 있는 직선의 주어진 방정식에서 이 직선의 정규 방정식으로 이동해 봅시다.

정규화 계수는 다음과 같습니다.

따라서 주어진 직선의 정규 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

이제 점에서 선까지 필요한 거리를 계산합니다.

점에서 선까지의 거리를 계산합니다.

그리고 직선으로:

직선의 정규 방정식을 얻습니다.

이제 점에서 선까지의 거리를 계산합니다.

직선 방정식의 정규화 계수:

1과 같습니다. 그러면 이 선의 정규 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

이제 점에서 선까지의 거리를 계산할 수 있습니다.

그것은 동등하다.

답: 그리고 5.

결론적으로 평면의 주어진 점에서 좌표선 Ox 및 Oy까지의 거리를 찾는 방법을 별도로 고려할 것입니다.

직각좌표계 Oxy에서 좌표선 Oy는 선 x=0의 불완전 일반방정식으로 주어지고, 좌표선 Ox는 방정식 y=0으로 주어진다. 이 방정식은 선 Oy와 Ox의 정규 방정식이므로 점에서 이 선까지의 거리는 다음 공식으로 계산됩니다.

각기.

그림 5

직사각형 좌표계 Oxy가 평면에 도입됩니다. 점에서 좌표선까지의 거리를 찾습니다.

주어진 점 M 1에서 좌표선 Ox까지의 거리(방정식 y=0으로 지정됨)는 점 M 1의 세로 좌표 모듈, 즉 .

주어진 점에서 거리 미디엄 1 좌표선 Oy (방정식에 해당 x=0) 점의 가로 좌표의 절대 값 미디엄 1: .

대답: 점 M 1에서 선 Ox까지의 거리는 6이고 주어진 점에서 좌표 선 Oy까지의 거리는 같습니다.

좌표 방법(점과 평면 사이, 직선 사이의 거리)

점과 평면 사이의 거리.

점과 선 사이의 거리.

두 선 사이의 거리입니다.

알아야 할 첫 번째 유용한 사항은 점에서 평면까지의 거리를 찾는 방법입니다.

값 A, B, C, D - 평면 계수

x, y, z - 점 좌표

작업. 점 A = (3; 7; −2)와 평면 4x + 3y + 13z - 20 = 0 사이의 거리를 찾으십시오.

모든 것이 주어지면 방정식의 값을 즉시 대체 할 수 있습니다.

작업. 점 K = (1; −2; 7)에서 점 V = (8; 6; −13) 및 T = (−1; −6; 7)을 통과하는 직선까지의 거리를 찾으십시오.

직선 벡터를 찾습니다.
원하는 지점과 선의 모든 지점을 통과하는 벡터를 계산합니다.
행렬을 설정하고 첫 번째와 두 번째 단락에서 얻은 두 벡터에 대한 행렬식을 찾습니다.
행렬 계수의 제곱합의 제곱근을 선을 정의하는 벡터의 길이로 나누면 거리를 얻습니다.(명확하지 않은 것 같아서 구체적인 예로 넘어가겠습니다.)

1) TV = (8−(−1); 6−(−6); -13-7) = (9; 12; −20)

2) K와 V 또는 이 선의 다른 점을 통해서도 가능하지만 점 K와 T를 통해 벡터를 찾습니다.

TK = (1−(−1); −2−(−6); 7-7) = (2; 4; 0)

3) 계수 D가 없는 행렬을 얻습니다(여기서는 솔루션에 필요하지 않음).

4) 비행기는 계수 A = 80, B = 40, C = 12,

x, y, z - 직선 벡터의 좌표, 이 경우 벡터 TV의 좌표는 (9, 12, -20)입니다.

작업. 점 E = (1; 0; −2), G = (2; 2; −1)을 통과하는 직선과 점 M = (4; −1; 4)를 통과하는 직선 사이의 거리를 구하십시오. L = (-2;3;0).

두 라인의 벡터를 설정합니다.
각 라인에서 한 점을 취하여 벡터를 찾습니다.
3개의 벡터(첫 번째 점에서 두 줄, 두 번째 점에서 한 줄)의 행렬을 작성하고 숫자 결정 요인을 찾습니다.
처음 두 벡터의 행렬을 설정합니다(1단계에서). 첫 번째 줄을 x, y, z로 설정합니다.
포인트 3 모듈로의 결과 값을 포인트 4의 제곱합의 제곱근으로 나눌 때 거리를 얻습니다.

숫자로 넘어 갑시다.

직각좌표계를 3차원 공간에 고정하자 옥시즈, 주어진 점 , 선 ㅏ점에서 거리를 구해야 합니다. 하지만똑바로 ㅏ.

공간에서 점에서 선까지의 거리를 계산하는 두 가지 방법을 보여줍니다. 첫 번째 경우, 점으로부터의 거리 찾기 중 1 똑바로 ㅏ점에서 거리를 찾는 것으로 귀결됩니다. 중 1 요점에 시간 1 , 어디 시간 1 - 점에서 떨어진 수직선의 밑면 중 1 곧장 ㅏ. 두 번째 경우에서 점에서 평면까지의 거리는 평행사변형의 높이로 발견됩니다.

시작하겠습니다.

공간에서 점에서 직선까지의 거리를 찾는 첫 번째 방법입니다.

정의에 따르면 점으로부터의 거리는 중 1 똑바로 ㅏ수직선의 길이입니다 중 1 시간 1 그런 다음 점의 좌표를 결정한 후 시간 1 , 점 사이의 거리로 원하는 거리를 계산할 수 있습니다. 그리고 공식에 따라 .

따라서 문제는 점에서 구성된 수직선의 밑면 좌표를 찾는 것으로 축소됩니다. 중 1 직선으로 ㅏ. 충분히 쉽습니다: 점 시간 1 선의 교차점이다. ㅏ한 점을 통과하는 비행기로 중 1 선에 수직 ㅏ.

따라서, 점으로부터의 거리를 결정할 수 있는 알고리즘 똑바로ㅏ 우주에서, 이다:

두 번째 방법은 공간에서 점에서 선까지의 거리를 찾을 수 있습니다.

문제의 조건에서 직선이 주어졌기 때문에 ㅏ그런 다음 방향 벡터를 결정할 수 있습니다. 그리고 어떤 점의 좌표 중 3 일직선으로 누워 ㅏ. 그런 다음 점의 좌표에 따라 벡터의 좌표를 계산할 수 있습니다.

벡터 따로 설정 그리고 포인트에서 중 3 평행 사변형을 구성하십시오. 이 평행사변형에 높이를 그립니다. 중 1 시간 1 .

높이가 분명히 중 1 시간 1 구성된 평행 사변형은 점에서 원하는 거리와 같습니다 중 1 똑바로 ㅏ. 를 찾아봅시다.

한편으로는 평행 사변형의 면적 (우리는 그것을 나타냅니다 에스)는 벡터의 벡터 곱을 통해 찾을 수 있습니다. 그리고 공식에 따라 . 한편, 평행사변형의 넓이는 그 변의 길이와 높이의 곱, 즉, , 어디 - 벡터 길이 , 고려중인 평행 사변형의 측면 길이와 같습니다. 따라서 주어진 점으로부터의 거리는 중 1 주어진 라인으로 ㅏ평등에서 찾을 수 있습니다 어떻게 .