확률 이론과 수학적 통계. 확률 이론

수학에는 다양한 분야가 포함되며, 그 중 하나가 대수학, 기하학과 함께 확률 이론입니다. 이러한 모든 영역에 공통적인 용어가 있지만, 그 외에도 하나의 특정 "틈새"에만 특징이 되는 특정 단어, 공식 및 정리도 있습니다.

'확률 이론'이라는 문구는 준비가 안 된 학생에게 공포감을 불러일으킵니다. 실제로 상상력은 무섭고 방대한 공식이 나타나는 그림을 그리고 한 가지 문제에 대한 해결책은 전체 공책을 필요로 합니다. 그러나 실제로 모든 것이 그렇게 끔찍하지는 않습니다. 작업에 대한 두려움을 완전히 멈추기 위해 일부 용어의 의미를 한 번 이해하고 다소 독특한 추론 논리의 본질을 탐구하는 것으로 충분합니다. 이와 관련하여 우리는 젊지만 매우 흥미로운 지식 분야인 확률 이론과 수학적 통계의 기본 개념을 고려할 것입니다.

개념을 왜 배워야 할까요?

언어의 기능은 정보를 한 사람에게서 다른 사람에게 전달하여 그 사람이 이해하고 사용할 수 있도록 하는 것입니다. 모든 수학적 개념은 간단한 단어로 설명할 수 있지만 이 경우 데이터를 교환하는 작업은 훨씬 더 오랜 시간이 걸립니다. "빗변"이라는 단어 대신 항상 "직각 삼각형의 가장 긴 변"이라고 말해야 한다고 상상해 보십시오. 이는 매우 불편하고 시간이 많이 걸립니다.

이것이 바로 사람들이 특정 현상과 과정에 대해 새로운 용어를 생각해내는 이유입니다. 확률론의 기본 개념인 사건, 사건의 확률 등도 같은 방식으로 나타났다. 이는 공식을 사용하고, 문제를 해결하고, 생활에 기술을 적용하려면 새로운 단어를 기억할 뿐만 아니라 각 단어의 의미도 이해해야 함을 의미합니다. 당신이 그것들을 더 깊이 이해하고, 그 의미를 탐구할수록, 당신의 능력의 범위는 더 넓어지고, 당신은 주변 세계를 더 완전하게 인식하게 됩니다.

물건의 의미는 무엇인가

확률이론의 기본 개념을 알아봅시다. 확률의 고전적인 정의는 다음과 같습니다. 이는 가능한 결과의 총 수에 대한 연구자에게 적합한 결과의 비율입니다. 간단한 예를 들어보겠습니다. 사람이 주사위를 던지면 주사위는 6개의 면 중 어느 면이든 위로 향하게 떨어질 수 있습니다. 따라서 총 결과 수는 6개입니다. 무작위로 선택된 면이 나타날 확률은 1/6입니다.

특정 결과의 발생을 예측하는 능력은 다양한 전문가에게 매우 중요합니다. 배치에서 몇 개의 결함 부품이 예상됩니까? 이에 따라 생산해야 하는 양이 결정됩니다. 약이 질병을 극복하는 데 도움이 될 가능성은 얼마나 됩니까? 그러한 정보는 절대적으로 중요합니다. 그러나 추가 사례에 시간을 낭비하지 말고 새로운 영역을 연구하기 시작하십시오.

첫 만남

확률 이론의 기본 개념과 그 사용법을 고려해 봅시다. 법학, 자연과학, 경제학에서는 아래에 제시된 공식과 용어가 통계 및 측정 오류와 직접적인 관련이 있기 때문에 어디에서나 사용됩니다. 이 문제에 대한 더 자세한 연구를 통해 더 정확하고 복잡한 계산에 유용한 새로운 공식이 드러날 것입니다. 하지만 간단한 것부터 시작하겠습니다.

확률론과 수학적 통계의 가장 기본적이고 기본 개념 중 하나는 무작위 사건입니다. 명확한 말로 설명하겠습니다. 실험의 가능한 모든 결과 중 하나만 결과로 관찰됩니다. 이 사건이 발생할 확률이 다른 사건보다 훨씬 높더라도 이론적으로 결과가 다를 수 있으므로 무작위입니다.

일련의 실험을 수행하고 특정 수의 결과를 얻은 경우 각 결과의 확률은 P(A) = m/n 공식으로 계산됩니다. 여기서 m은 일련의 테스트에서 우리가 관심 있는 결과가 나타나는 것을 몇 번이나 관찰했는지입니다. n은 수행된 총 실험 횟수입니다. 동전을 10번 던져서 앞면이 5번 나오면 m=5이고 n=10입니다.

이벤트 유형

각 시험에서 일부 결과가 관찰되는 것이 보장되는 경우가 있습니다. 이러한 이벤트를 신뢰할 수 있다고 합니다. 결코 일어나지 않는다면 불가능하다고 할 것입니다. 그러나 이러한 사건은 확률론 문제에서는 사용되지 않습니다. 알아야 할 훨씬 더 중요한 기본 개념은 공동 이벤트와 비합동 이벤트입니다.

실험을 수행할 때 두 가지 이벤트가 동시에 발생하는 경우가 있습니다. 예를 들어, 두 개의 주사위를 던졌습니다. 이 경우 하나가 "6"을 굴린다는 사실이 두 번째 주사위가 다른 숫자를 굴리지 않는다는 것을 보장하지는 않습니다. 이러한 이벤트를 공동 이벤트라고 합니다.

하나의 주사위를 굴리면 두 개의 숫자가 동시에 나타날 수 없습니다. 이 경우, "1", "2" 등이 빠진 형태의 결과는 호환되지 않는 이벤트로 간주됩니다. 각 특정 사례에서 어떤 결과가 발생하는지 구별하는 것이 매우 중요합니다. 이는 확률을 찾는 문제에 사용할 공식을 결정합니다. 우리는 덧셈과 곱셈의 특징을 고려할 때 몇 단락 뒤에서 확률 이론의 기본 개념을 계속 연구할 것입니다. 결국, 그들 없이는 단 하나의 문제도 해결할 수 없습니다.

합계와 곱

당신과 친구가 주사위를 굴려 4를 얻었다고 가정해 봅시다. 이기려면 "5" 또는 "6"을 얻어야 합니다. 이 경우 확률은 합산됩니다. 두 숫자가 추첨될 확률은 1/6이므로 답은 1/6 + 1/6 = 1/3처럼 보입니다.

이제 당신이 주사위를 두 번 굴려 친구가 11점을 얻었다고 상상해 보세요. 이제 두 번 연속으로 "6"을 얻어야 합니다. 사건은 서로 독립적이므로 확률을 1/6 * 1/6 = 1/36으로 곱해야 합니다.

확률론의 기본 개념과 정리 중 결합 사건의 확률의 합, 즉 동시에 일어날 수 있는 사건에 주목해야 한다. 이 경우 덧셈 공식은 다음과 같습니다: P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB).

조합론

일부 개체 매개변수의 가능한 모든 조합을 찾거나 조합 수를 계산해야 하는 경우가 매우 많습니다(예: 암호를 선택할 때). 확률 이론과 밀접하게 관련된 조합론이 이에 도움이 될 것입니다. 여기에 있는 기본 개념에는 몇 가지 새로운 단어가 포함되어 있으며 이 주제의 여러 공식이 도움이 될 것입니다.

1, 2, 3이라는 세 개의 숫자가 있다고 가정해 보겠습니다. 가능한 모든 세 자리 숫자를 쓰려면 이 숫자를 사용해야 합니다. 몇 명이나 될까요? 답: 엔! (느낌표는 계승을 의미합니다). 배열 순서만 다른 특정 개수의 서로 다른 요소(숫자, 문자 등)의 조합을 순열이라고 합니다.

그러나 이러한 상황은 훨씬 더 자주 발생합니다. 비밀번호나 코드가 만들어지는 숫자는 10개(0부터 9까지)입니다. 길이가 4자라고 가정해 보겠습니다. 가능한 코드의 총 개수를 계산하는 방법은 무엇입니까? 이에 대한 특별한 공식이 있습니다: (n!)/(n - m)!

위에서 제안한 문제 조건을 고려하면 n=10, m=4이다. 또한 간단한 수학적 계산만 필요합니다. 그런데 이러한 조합을 배치라고 합니다.

마지막으로 조합이라는 개념이 있습니다. 이는 적어도 하나의 요소가 서로 다른 시퀀스입니다. 그 수는 (n!) / (m!(n-m)!) 공식을 사용하여 계산됩니다.

기대값

학생이 해당 과목의 첫 수업에서 이미 접하게 되는 중요한 개념은 수학적 기대입니다. 가능한 모든 결과 값의 합에 확률을 곱한 값입니다. 기본적으로 테스트 결과로 예측할 수 있는 평균 수치입니다. 예를 들어, 확률이 괄호 안에 표시되는 세 가지 값이 있습니다: 0(0.2); 1(0.5); 2(0.3). 수학적 기대값을 계산해 봅시다: M(X) = 0*0.2 + 1*0.5 + 2*0.3 = 1.1. 따라서 제안된 식에서 이 값은 일정하며 테스트 결과에 의존하지 않는다는 것을 알 수 있습니다.

이 개념은 많은 공식에서 사용되며 앞으로도 여러 번 접하게 될 것입니다. 작업하는 것은 어렵지 않습니다. 합계에 대한 수학적 기대값은 매트의 합계와 같습니다. 기대 - M(X+Y) = M(X) + M(Y). 제품에도 동일하게 적용됩니다: M(XY) = M(X) * M(Y).

분산

아마도 학교 물리학 과정에서 분산이 산란이라는 것을 기억하실 것입니다. 확률 이론의 기본 개념 중 그 위치는 무엇입니까?

두 가지 예를 살펴보세요. 어떤 경우에는 다음과 같습니다: 10(0.2); 20(0.6); 30(0.2). 또 다른 - 0(0.2); 20(0.6); 40(0.2). 두 경우 모두 수학적 기대치는 동일합니다. 그러면 이러한 상황을 어떻게 비교할 수 있습니까? 결국 우리는 두 번째 경우의 가치 분포가 훨씬 더 크다는 것을 육안으로 볼 수 있습니다.

이것이 분산의 개념이 도입된 이유이다. 이를 구하기 위해서는 각 확률변수의 차이와 수학적 기대값의 합으로부터 수학적 기대값을 계산해야 합니다. 이전 단락에 작성된 첫 번째 예의 숫자를 살펴보겠습니다.

먼저 수학적 기대값을 계산해 보겠습니다. M(X) = 10*0.2 + 20*0.6 + 30*0.2 = 20. 그런 다음 분산 값: D(X) = 40.

통계 및 확률 이론의 또 다른 기본 개념은 표준 편차입니다. 계산하는 것은 매우 간단합니다. 분산의 제곱근만 취하면 됩니다.

여기서 우리는 범위와 같은 간단한 용어를 주목할 수도 있습니다. 샘플 내 최대값과 최소값의 차이를 나타내는 값입니다.

통계

일부 기본 학교 개념은 과학에서 매우 자주 사용됩니다. 그 중 두 가지는 산술 평균과 중앙값입니다. 확실히 당신은 그 의미를 찾는 방법을 기억합니다. 그러나 만일을 대비하여 산술 평균은 모든 값의 합을 숫자로 나눈 값입니다. 10개의 값이 있으면 이를 더하고 10으로 나눕니다.

중앙값은 가능한 모든 값 중에서 중심 값입니다. 수량이 홀수라면 오름차순으로 적고 중간에 있는 것을 선택합니다. 짝수 개의 값이 있는 경우 중앙의 2개를 가져와 2로 나눕니다.

중앙값과 세트의 두 극단 값(최대 및 최소) 사이에 위치한 두 개의 추가 값을 사분위수라고 합니다. 동일한 방식으로 계산됩니다. 요소 수가 홀수이면 행 중앙에 있는 숫자를 취하고, 요소 수가 짝수이면 두 중앙 요소의 합의 절반을 가져옵니다.

또한 모든 샘플 값, 범위, 중앙값, 사분위간 간격 및 이상치(통계 오류에 맞지 않는 값)를 볼 수 있는 특수 그래프도 있습니다. 결과 이미지에는 "콧수염이 있는 상자"라는 매우 구체적인(심지어 비수학적) 이름이 지정됩니다.

분포

분포는 확률 이론 및 수학적 통계의 기본 개념과도 관련이 있습니다. 간단히 말해서, 테스트 결과로 볼 수 있는 모든 확률변수에 대한 일반화된 정보를 나타냅니다. 여기서 주요 매개변수는 각 특정 값의 발생 확률입니다.

정규 분포는 가장 자주 발생하는 값을 포함하는 하나의 중앙 피크를 갖는 분포입니다. 점점 더 가능성이 적은 결과가 호에서 분기됩니다. 일반적으로 그래프는 외부에서 보면 "슬라이드"처럼 보입니다. 나중에 이러한 유형의 분포가 확률 이론의 기본인 중심 극한 정리와 밀접하게 관련되어 있음을 배우게 됩니다. 우리가 고려하고 있는 수학 분야의 중요한 패턴을 설명하며, 이는 다양한 계산에 매우 유용합니다.

하지만 주제로 돌아가 보겠습니다. 분포에는 비대칭 및 다중 모드라는 두 가지 유형이 더 있습니다. 첫 번째는 "일반" 그래프의 절반처럼 보입니다. 즉, 호가 최고 값에서 한쪽으로만 하강합니다. 마지막으로, 다중 모드 분포는 여러 개의 "상위" 값이 있는 분포입니다. 따라서 그래프는 내려갈 수도 있고 올라갈 수도 있습니다. 모든 분포에서 가장 빈번하게 나타나는 값을 모드(mode)라고 합니다. 확률론과 수리통계의 기본 개념 중 하나이기도 하다.

가우스 분포

가우스 또는 정규 분포는 평균에서 관측값의 편차가 특정 법칙을 따르는 분포입니다.

간단히 말해서, 샘플 값의 주요 확산은 가장 빈번한 모드를 향해 기하급수적으로 경향이 있습니다. 보다 정확하게는 모든 값의 99.6%가 3개의 표준 편차 내에 위치합니다(위에서 이 개념에 대해 논의한 것을 기억하십니까?).

가우스 분포는 확률 이론의 기본 개념 중 하나입니다. 이를 사용하면 특정 매개변수에 따라 요소가 "일반" 범주에 포함되는지 여부를 이해할 수 있습니다. 이는 연령, 지적 발달 수준, 심리적 상태 등에 따라 사람의 키와 체중을 평가하는 방법입니다. .

신청 방법

흥미롭게도 "지루한" 수학 데이터가 유리하게 사용될 수 있습니다. 예를 들어, 한 청년은 확률 이론과 통계를 사용하여 룰렛에서 수백만 달러를 따냈습니다. 사실, 그 전에는 몇 달 동안 다양한 카지노에서 게임 결과를 기록하기 위해 준비해야 했습니다.

분석을 수행한 후 그는 테이블 중 하나가 약간 기울어져 있음을 발견했습니다. 이는 여러 값이 다른 값보다 통계적으로 훨씬 더 자주 나타나는 것을 의미합니다. 약간의 계산과 인내심 - 이제 시설 소유자는 머리를 긁적이며 사람이 어떻게 그렇게 운이 좋을 수 있는지 궁금해합니다.

통계 없이는 해결할 수 없는 일상적인 문제가 많이 있습니다. 예를 들어 매장에서 S, M, L, XL 등 다양한 사이즈로 주문해야 하는 옷 수를 결정하는 방법은 무엇입니까? 이를 위해서는 도시, 지역, 인근 매장에서 누가 가장 자주 옷을 ​​구매하는지 분석해야 합니다. 그러한 정보를 얻지 못하면 소유자는 많은 돈을 잃을 위험이 있습니다.

결론

우리는 테스트, 사건, 순열 및 배치, 기대값 및 분산, 모드 및 정규 분포 등 확률 이론의 다양한 기본 개념을 살펴보았습니다. 또한 한 달 이상 소요되는 여러 공식도 살펴보았습니다. 고등 교육 기관에서 공부하기 위한 수업.

잊지 마세요. 경제학, 자연과학, 정보기술, 공학을 공부할 때는 수학이 필요합니다. 여기서도 그 영역 중 하나인 통계를 무시할 수 없습니다.

이제 연습, 문제 해결, 예시 등 작은 일만 남았습니다. 시간을 내어 복습하지 않으면 확률 이론의 기본 개념과 정의조차 잊어버리게 됩니다. 또한 후속 공식은 우리가 고려한 공식에 크게 의존하게 됩니다. 그러므로 특히 그 수가 많지 않기 때문에 기억해보십시오.

많은 사람들이 '확률 이론'이라는 개념을 접할 때 그것이 너무 복잡하고 압도적인 것이라고 생각하여 겁을 먹습니다. 그러나 실제로 모든 것이 그렇게 비극적이지는 않습니다. 오늘은 확률이론의 기본 개념을 살펴보고, 구체적인 사례를 통해 문제를 해결하는 방법을 배워보겠습니다.

과학

"확률 이론"과 같은 수학 분야에서는 무엇을 연구합니까? 그녀는 패턴과 수량을 기록합니다. 과학자들은 도박을 연구하던 18세기에 처음으로 이 문제에 관심을 갖게 되었습니다. 확률론의 기본 개념은 사건(event)이다. 경험이나 관찰에 의해 확립된 모든 사실입니다. 그러나 경험이란 무엇입니까? 확률 이론의 또 다른 기본 개념. 이는 이러한 상황이 우연이 아니라 특정 목적을 위해 만들어졌다는 것을 의미합니다. 관찰의 경우, 여기서 연구자 자신은 실험에 참여하지 않고 단순히 이러한 사건의 목격자일 뿐이며 무슨 일이 일어나고 있는지 어떤 식으로든 영향을 미치지 않습니다.

이벤트

확률론의 기본 개념이 사건이라는 점은 배웠지만 분류는 고려하지 않았습니다. 모두 다음 범주로 나뉩니다.

• 믿을 수 있는.
• 불가능한.
• 무작위의.

체험 중에 어떤 종류의 사건이 관찰되거나 생성되었는지에 관계없이 모두 이 분류에 속합니다. 각 유형에 대해 개별적으로 알아보시기 바랍니다.

믿을 수 있는 이벤트

이는 필요한 조치가 취해진 상황입니다. 본질을 더 잘 이해하려면 몇 가지 예를 드는 것이 좋습니다. 물리학, 화학, 경제학, 고등수학은 이 법칙의 적용을 받습니다. 확률 이론에는 신뢰할 수 있는 사건과 같은 중요한 개념이 포함됩니다. 여기 몇 가지 예가 있어요.

• 우리는 일하고 임금의 형태로 보상을 받습니다.
• 우리는 시험을 잘 통과하고 대회에 합격했으며 이에 대해 교육 기관에 입학하는 형태로 보상을 받습니다.
• 우리는 은행에 돈을 투자했고, 필요하다면 돌려받도록 하겠습니다.

이러한 이벤트는 신뢰할 수 있습니다. 필요한 조건을 모두 충족했다면 반드시 기대했던 결과를 얻을 수 있을 것입니다.

불가능한 사건

이제 우리는 확률 이론의 요소를 고려하고 있습니다. 우리는 다음 유형의 사건, 즉 불가능에 대한 설명으로 넘어갈 것을 제안합니다. 먼저 가장 중요한 규칙을 규정해 보겠습니다. 불가능한 사건이 발생할 확률은 0입니다.

문제를 해결할 때 이 공식에서 벗어날 수 없습니다. 명확하게 설명하기 위해 이러한 이벤트의 예는 다음과 같습니다.

• 물은 +10의 온도에서 얼었습니다 (불가능합니다).
• 전기 부족은 어떤 식으로든 생산에 영향을 미치지 않습니다(이전 예에서와 마찬가지로 불가능합니다).

위에서 설명한 내용은 이 범주의 본질을 매우 명확하게 반영하므로 더 많은 예를 제시할 가치가 없습니다. 어떤 상황에서도 실험 중에는 불가능한 사건이 발생하지 않습니다.

무작위 이벤트

요소를 연구할 때 이러한 특정 유형의 이벤트에 특별한 주의를 기울여야 합니다. 이것이 과학이 연구하는 것입니다. 경험의 결과로 어떤 일이 일어날 수도 있고 일어나지 않을 수도 있습니다. 또한, 테스트는 횟수 제한 없이 수행할 수 있습니다. 생생한 예는 다음과 같습니다:

• 동전 던지기는 경험이나 시험이고, 앞면이 나오는 것은 하나의 사건이다.
• 무작정 가방에서 공을 꺼내는 것은 테스트이고, 빨간 공을 얻는 것은 이벤트 등입니다.

그러한 예는 무제한으로 있을 수 있지만 일반적으로 본질은 명확해야 합니다. 사건에 대해 얻은 지식을 요약하고 체계화하기 위해 표가 제공됩니다. 확률 이론은 제시된 모든 유형 중 마지막 유형만 연구합니다.

법률

확률이론은 어떤 사건이 일어날 가능성을 연구하는 과학이다. 다른 것과 마찬가지로 몇 가지 규칙이 있습니다. 확률 이론에는 다음과 같은 법칙이 존재합니다.

• 랜덤 변수 시퀀스의 수렴.
• 큰 수의 법칙.

복잡한 일의 가능성을 계산할 때 간단한 이벤트 세트를 사용하면 더 쉽고 빠른 방법으로 결과를 얻을 수 있습니다. 확률 이론의 법칙은 특정 정리를 사용하여 쉽게 증명됩니다. 먼저 첫 번째 법칙에 대해 알아가는 것이 좋습니다.

랜덤 변수 시퀀스의 수렴

수렴에는 여러 유형이 있습니다.

• 일련의 확률변수는 확률적으로 수렴합니다.
• 거의 불가능한.
• 평균 제곱 수렴.
• 유통융합.

그래서 막상 본질을 이해하는 것은 매우 어렵습니다. 이 주제를 이해하는 데 도움이 되는 정의는 다음과 같습니다. 첫 번째 보기부터 시작해 보겠습니다. 시퀀스가 호출됩니다. 확률이 수렴하다, 다음 조건이 충족되면 n은 무한대 경향이 있고 수열이 경향이 있는 숫자는 0보다 크고 1에 가깝습니다.

다음 보기로 넘어가겠습니다. 거의 확실히. 수열은 수렴한다고 한다 거의 확실히 n은 무한대에 가까워지고 P는 1에 가까운 값에 가까운 확률 변수로 변환됩니다.

다음 유형은 평균 제곱 수렴. SC 수렴을 사용할 때 벡터 랜덤 프로세스에 대한 연구는 좌표 랜덤 프로세스에 대한 연구로 축소됩니다.

마지막 유형이 남아 있는데, 바로 문제 해결로 넘어갈 수 있도록 간략하게 살펴보겠습니다. 분포의 수렴에는 "약함"이라는 또 다른 이름이 있으며 그 이유는 나중에 설명하겠습니다. 약한 수렴이는 극한 분포 함수의 연속성의 모든 지점에서 분포 함수의 수렴입니다.

우리는 약속을 반드시 지킬 것입니다. 약한 수렴은 무작위 변수가 확률 공간에서 정의되지 않는다는 점에서 위의 모든 것과 다릅니다. 이는 오로지 분포함수만을 이용하여 조건을 형성하였기 때문에 가능한 일이다.

대수의 법칙

다음과 같은 확률 이론의 정리:

• 체비쇼프 부등식.
• 체비쇼프의 정리.
• 일반화된 체비쇼프의 정리.
• 마르코프의 정리.

이러한 모든 정리를 고려하면 이 질문은 수십 장에 걸쳐 계속될 수 있습니다. 우리의 주요 임무는 확률 이론을 실제로 적용하는 것입니다. 지금 당장 이 작업을 수행하는 것이 좋습니다. 하지만 그 전에, 문제 해결의 주요 조력자가 될 확률 이론의 공리를 살펴보겠습니다.

공리

우리는 불가능한 사건에 관해 이야기할 때 이미 첫 번째 사람을 만났습니다. 기억하자: 불가능한 사건이 일어날 확률은 0이다. 우리는 매우 생생하고 기억에 남는 예를 들었습니다. 기온이 섭씨 30도에 눈이 내렸습니다.

두 번째는 다음과 같습니다. 신뢰할 수 있는 이벤트가 1과 같은 확률로 발생합니다. 이제 수학적 언어인 P(B)=1을 사용하여 이를 작성하는 방법을 보여 드리겠습니다.

셋째: 무작위 사건은 발생할 수도 있고 발생하지 않을 수도 있지만 가능성은 항상 0에서 1까지입니다. 값이 1에 가까울수록 가능성이 커집니다. 값이 0에 가까워지면 확률은 매우 낮습니다. 이것을 수학적 언어로 쓰자: 0<Р(С)<1.

다음과 같이 들리는 마지막 네 번째 공리를 고려해 보겠습니다. 두 사건의 합 확률은 확률의 합과 같습니다. 우리는 이를 수학적 언어로 씁니다: P(A+B)=P(A)+P(B).

확률 이론의 공리는 기억하기 어렵지 않은 가장 간단한 규칙입니다. 우리가 이미 습득한 지식을 바탕으로 몇 가지 문제를 해결해 봅시다.

복권

먼저 가장 간단한 예인 복권을 살펴보겠습니다. 행운을 빌어 복권 한 장을 샀다고 상상해 보세요. 당신이 적어도 20루블을 얻을 확률은 얼마나 됩니까? 총 1,000개의 티켓이 유통에 참여하고 있으며 그 중 하나는 500루블의 상금을 받고, 그 중 10개는 각각 100루블을 갖고, 50개는 20루블의 상금을 받고, 100개는 5개의 상금을 받습니다. 확률 문제는 행운의 가능성을 찾는 데 기반을 두고 있습니다. 이제 우리는 위 작업에 대한 솔루션을 함께 분석하겠습니다.

문자 A를 사용하여 500루블의 승리를 나타내면 A를 얻을 확률은 0.001이 됩니다. 우리는 이것을 어떻게 얻었습니까? "행운의" 티켓 수를 총 수로 나누면 됩니다(이 경우: 1/1000).

B는 100루블의 승리이며 확률은 0.01입니다. 이제 이전 작업과 동일한 원칙에 따라 작업했습니다(10/1000).

C - 상금은 20루블입니다. 확률은 0.05와 같습니다.

남은 티켓에는 관심이 없습니다. 상금이 조건에 명시된 금액보다 적기 때문입니다. 네 번째 공리를 적용해 보겠습니다. 최소 20루블을 얻을 확률은 P(A)+P(B)+P(C)입니다. 문자 P는 특정 이벤트가 발생할 확률을 나타내며 이전 작업에서 이미 찾았습니다. 남은 것은 필요한 데이터를 합산하는 것 뿐이며, 우리가 얻는 답은 0.061입니다. 이 숫자는 작업 질문에 대한 답변이 될 것입니다.

카드덱

확률 이론의 문제는 더 복잡할 수 있습니다. 예를 들어 다음 작업을 살펴보겠습니다. 당신 앞에는 36장의 카드로 구성된 덱이 있습니다. 당신의 임무는 스택을 섞지 않고 두 장의 카드를 연속으로 뽑는 것입니다. 첫 번째와 두 번째 카드는 에이스여야 하며 모양은 중요하지 않습니다.

먼저 첫 번째 카드가 에이스가 될 확률을 찾아보겠습니다. 이를 위해 4를 36으로 나눕니다. 그들은 그것을 옆으로 치워두었습니다. 두 번째 카드를 꺼내면 3/5의 확률로 에이스가 될 것입니다. 두 번째 이벤트의 확률은 우리가 먼저 뽑은 카드에 따라 달라지며, 그것이 에이스인지 아닌지 궁금합니다. 따라서 사건 B는 사건 A에 의존합니다.

다음 단계는 동시 발생 확률, 즉 A와 B를 곱하는 것입니다. 그 곱은 다음과 같이 구됩니다. 한 사건의 확률에 다른 사건의 조건부 확률을 곱합니다. 이벤트가 발생했습니다. 즉, 첫 번째 카드로 에이스를 뽑았습니다.

모든 것을 명확하게 하기 위해 이벤트와 같은 요소를 지정해 보겠습니다. 이벤트 A가 발생했다고 가정하여 계산됩니다. 이는 다음과 같이 계산됩니다: P(B/A).

계속해서 문제를 해결해 봅시다. P(A * B) = P(A) * P(B/A) 또는 P(A * B) = P(B) * P(A/B). 확률은 (4/36) * ((3/35)/(4/36)과 같습니다. 가장 가까운 100분의 1까지 반올림하여 계산합니다. 0.11 * (0.09/0.11) = 0.11 * 0, 82 = 0.09. 연속으로 두 개의 에이스를 뽑을 확률은 9/100입니다. 값이 매우 작으므로 이벤트가 발생할 확률도 매우 작습니다.

잊어버린 번호

우리는 확률 이론으로 연구되는 작업의 몇 가지 변형을 더 분석할 것을 제안합니다. 이 기사에서 그 중 일부를 해결하는 예를 이미 보았습니다. 다음 문제를 해결해 봅시다: 소년은 친구 전화번호의 마지막 숫자를 잊어버렸지만 전화가 매우 중요했기 때문에 모든 것에 하나씩 전화를 걸기 시작했습니다. . 우리는 그가 세 번 이하로 콜할 확률을 계산해야 합니다. 확률 이론의 규칙, 법칙 및 공리를 알면 문제에 대한 해결책이 가장 간단합니다.

해결책을 보기 전에 먼저 스스로 해결해 보세요. 우리는 마지막 숫자가 0부터 9까지, 즉 총 10개의 값이 될 수 있다는 것을 알고 있습니다. 올바른 것을 얻을 확률은 1/10입니다.

다음으로, 사건의 출처에 대한 옵션을 고려해야 합니다. 소년이 올바르게 추측하고 즉시 올바른 것을 입력했다고 가정하면 그러한 사건이 발생할 확률은 1/10입니다. 두 번째 옵션: 첫 번째 호출이 실패하고 두 번째 호출이 목표에 도달했습니다. 그러한 사건의 확률을 계산해 봅시다. 9/10에 1/9를 곱하면 결과적으로 1/10도 얻습니다. 세 번째 옵션: 첫 번째와 두 번째 전화는 잘못된 주소로 걸려온 것으로 밝혀졌고, 세 번째 전화에서만 소년이 원하는 곳에 도착했습니다. 우리는 그러한 사건의 확률을 계산합니다: 9/10에 8/9와 1/8을 곱하여 1/10이 됩니다. 문제의 조건에 따른 다른 옵션에는 관심이 없으므로 얻은 결과만 더하면 결국 3/10이 됩니다. 답: 소년이 세 번 이하로 전화할 확률은 0.3입니다.

숫자가 적힌 카드

당신 앞에는 9개의 카드가 있으며, 각 카드에는 1부터 9까지의 숫자가 적혀 있으며 숫자는 반복되지 않습니다. 그것들을 상자에 넣고 잘 섞었습니다. 확률을 계산해야 합니다.

• 짝수가 나타날 것입니다;
• 두 자리.

솔루션으로 넘어가기 전에 m은 성공한 사례의 수이고 n은 총 옵션 수라고 규정해 보겠습니다. 숫자가 짝수일 확률을 찾아봅시다. 4개의 짝수가 있다는 것을 계산하는 것은 어렵지 않을 것입니다. 이것이 우리의 m이 될 것이며 총 9개의 가능한 옵션이 있습니다, 즉 m=9입니다. 그러면 확률은 0.44 또는 4/9입니다.

두 번째 경우를 고려해 보겠습니다. 옵션 수는 9개이고 성공적인 결과는 전혀 없습니다. 즉, m은 0입니다. 뽑은 카드에 두 자리 숫자가 포함될 확률도 0이다.

확률이론과 수리통계

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모든 전공의 2학년 학생을 대상으로

고등수학과

입문부분

친애하는 학생 여러분!

VZFEI 2학년 학생들을 위한 "확률 이론 및 수리 통계" 분야에 대한 N.Sh. Kremer 교수의 복습(입문) 강의를 여러분께 소개합니다.

강의는 토론한다 작업경제학 대학에서 확률론과 수리통계학을 공부하고 그녀의 장소현대 경제학자를 양성하는 시스템에서 조직 독립적인컴퓨터 기반 교육 시스템(CTS)과 전통적인 교과서를 사용한 학생 과제가 제공됩니다. 주요 조항 개요이 과정과 연구에 대한 방법론적 권장 사항이 포함됩니다.

경제학 대학에서 공부하는 수학 분야 중에서 확률론과 수리통계학은 특별한 위치를 차지합니다. 첫째, 통계학의 이론적 기초이다. 둘째, 확률론과 수리통계학의 방법을 직접 연구에 활용한다. 대량 집계관찰된 현상, 관찰 결과를 처리하고 무작위 현상의 패턴을 식별합니다. 마지막으로 확률이론과 수학적 통계는 방법론적으로 중요한 의미를 갖는다. 인지 과정, 일반적인 패턴을 식별할 때 연구하다프로세스는 논리적인 역할을 합니다. 기초귀납적-연역적 추론.

각 2학년 학생은 "확률 이론 및 수리 통계" 분야에서 다음 세트(사례)를 가져야 합니다.

1. 개요 오리엔테이션 강의이 분야에서는.

2. 교과서 N.Sh. Kremer "확률 이론 및 수학적 통계" - M.: UNITY - DANA, 2007(이하 간단히 "교과서"라고 부르겠습니다).

3. 교육 및 방법론 매뉴얼“확률이론과 수리통계” / ed. N.Sh. 크레머. – M.: 대학 교과서, 2005(이하 “설명서”라 함).

4. 컴퓨터 교육 프로그램해당 분야에 대한 COPR(이하 “컴퓨터 프로그램”이라 함).

연구소 홈페이지 '기업자원' 페이지에는 KOPR2 컴퓨터 프로그램의 온라인 버전, 개요 오리엔테이션 강의, 전자 매뉴얼 버전이 게시되어 있다. 또한, 컴퓨터 프로그램과 매뉴얼이 제공됩니다. CD - ROM 아 2학년 학생이군요. 따라서 “종이 형식”의 경우 학생은 교과서만 있으면 됩니다.

지정된 세트(케이스)에 포함된 각 교육 자료의 목적을 설명하겠습니다.

교과서에는해당 분야의 교육 자료의 주요 조항이 제시되며 충분히 많은 수의 해결된 문제가 설명됩니다.

안에 이익교육 자료의 독립적 학습을 위한 방법론적 권장 사항이 제공되고, 과정의 가장 중요한 개념과 일반적인 작업이 강조 표시되고, 이 분야의 자체 테스트를 위한 시험 문제가 제공되며, 학생이 완료해야 하는 홈 테스트 옵션 및 방법론이 제공됩니다. 구현 지침이 제공됩니다.

컴퓨터 프로그램모드에서 코스를 마스터하는 데 최대한의 도움을 제공하도록 설계되었습니다. 대화교실에서의 훈련 부족과 교사와의 적절한 접촉 부족을 최대한 보상하기 위해 학생과 함께 프로그램을 진행하십시오.

원격 학습 시스템을 통해 공부하는 학생에게 가장 중요하고 결정적인 중요성은 독립적인 업무 조직.

이 학문을 공부하기 시작할 때 이 개요(입문) 강의를 끝까지 읽으세요. 이를 통해 "확률 이론 및 수리 통계" 과정에서 사용되는 기본 개념 및 방법과 VZFEI 학생의 교육 수준 요구 사항에 대한 일반적인 아이디어를 얻을 수 있습니다.

각 주제를 공부하기 전에 매뉴얼에서 이 주제를 연구하기 위한 지침을 읽으십시오.여기에서 귀하가 공부하게 될 이 주제에 관한 교육적 질문 목록을 찾을 수 있습니다. 어떤 개념, 정의, 정리, 문제가 먼저 공부하고 숙지해야 하는 가장 중요한지 알아보세요.

그럼 공부를 진행하세요 기본 교육 자료받은 방법 론적 권장 사항에 따라 교과서에 따라. 주요 정의, 정리 설명, 증명 다이어그램, 공식 및 일반적인 문제에 대한 솔루션에 대해 별도의 노트북에 메모하는 것이 좋습니다. 과정의 각 부분(확률 이론 및 수학적 통계)에 대한 특수 표에 공식을 작성하는 것이 좋습니다. 메모, 특히 공식 표를 정기적으로 사용하면 암기가 촉진됩니다.

교과서의 각 주제에 대한 기본 교육 자료를 학습한 후에만 컴퓨터 교육 프로그램(KOPR2)을 사용하여 해당 주제를 학습할 수 있습니다.

각 주제에 대한 컴퓨터 프로그램의 구조에 주의하세요. 주제 이름 뒤에는 학습해야 할 단락과 페이지 수를 나타내는 교과서 주제의 주요 교육 질문 목록이 있습니다. (각 주제에 대한 질문 목록이 매뉴얼에도 제공되어 있음을 기억하십시오).

그런 다음 이 주제(또는 이 주제의 개별 단락)에 대한 참고 자료가 기본 정의, 정리, 속성 및 특성, 공식 등 간단한 형식으로 제공됩니다. 주제를 공부하는 동안 현재 필요한 참고 자료(이 주제 또는 이전 주제에 대한)의 일부를 화면에 표시할 수도 있습니다.

그런 다음 교육 자료와 물론 표준 작업( 예),모드에서 솔루션이 고려됩니다. 대화학생과 함께하는 프로그램. 여러 예제의 기능은 학생의 요청에 따라 화면에 올바른 해결 단계를 표시하는 것으로 제한됩니다. 동시에, 대부분의 사례를 검토하는 과정에서 이런저런 성격의 질문을 받게 될 것입니다. 일부 질문에 대한 답변은 키보드를 사용하여 입력해야 합니다. 수치 답변,다른 사람에게 - 정답(또는 답)을 선택하세요여러 제안에서.

입력한 답에 따라 프로그램은 정확성을 확인하거나 필요한 이론적 원리가 포함된 힌트를 읽은 후 다시 올바른 답과 답을 제공하도록 제안합니다. 많은 작업에는 해결 시도 횟수에 제한이 있습니다(이 제한을 초과하는 경우 올바른 해결 진행 상황이 반드시 화면에 표시됩니다). 실패한 답변 시도가 반복될수록 힌트에 포함된 정보의 양이 늘어나는 예도 있습니다.

솔루션에 대한 자세한 분석과 함께 제공되는 교육 자료 및 예제의 이론적 조항을 숙지한 후 각 주제의 일반적인 문제를 해결하는 기술을 통합하기 위해 자제력 연습을 완료해야 합니다. 자기 통제 과제에는 학생과의 대화 요소도 포함됩니다. 풀이를 마친 후에는 정답을 보고 자신이 제시한 답과 비교할 수 있습니다.

각 주제에 대한 작업이 끝나면 제어 작업을 완료해야 합니다. 정답은 귀하에게 표시되지 않으며 귀하의 답변은 교사-컨설턴트(튜터)가 나중에 검토할 수 있도록 컴퓨터의 하드 드라이브에 기록됩니다.

주제 1~7을 공부한 후 3번 가정 시험을 완료해야 하고, 주제 8~11을 공부한 후 4번 가정 시험을 완료해야 합니다. 이러한 시험의 변형은 매뉴얼(전자 버전)에 나와 있습니다. 실행되는 옵션의 번호는 개인 파일번호(성적부, 학생증) 마지막 숫자와 일치해야 합니다. 각 시험마다 인터뷰를 거쳐야 하며, 이 과정에서 문제 해결 능력과 시험 주제에 대한 기본 개념(정의, 정리(증명 없음), 공식 등)에 대한 지식을 입증해야 합니다. 학문 연구는 코스 시험으로 끝납니다.

확률 이론은 무작위 현상의 패턴을 연구하는 수학 과학입니다.

연구를 위해 제공되는 학문은 "확률 이론"과 "수학적 통계"의 두 섹션으로 구성됩니다.

확률이론과 수리통계

1. 이론적 부분

1 무작위 변수 시퀀스와 확률 분포의 수렴

확률 이론에서는 다양한 유형의 확률 변수 수렴을 다루어야 합니다. 수렴의 다음과 같은 주요 유형을 고려해 봅시다: 확률, 확률 1, 차수 p, 분포.

,... 어떤 확률 공간(, Ф, P)에 정의된 확률 변수라고 가정합니다.

정의 1. 일련의 무작위 변수 ...는 임의의 > 0인 경우 확률이 무작위 변수(기호:)로 수렴한다고 말합니다.

정의 2. 일련의 확률 변수 ...는 다음과 같은 경우 확률 1(거의 확실하게, 거의 모든 곳에서)으로 확률 변수로 수렴한다고 합니다.

저것들. ()가 ()로 수렴하지 않는 결과 집합의 확률이 0인 경우입니다.

이러한 유형의 수렴은 다음과 같이 표시됩니다: , 또는 또는.

정의 3. 일련의 확률 변수 ...를 p, 0 차의 평균 수렴이라고 합니다.< p < , если

정의 4. 일련의 확률 변수...는 유계 연속 함수의 경우 분포에서 확률 변수(기호:)로 수렴한다고 합니다.

확률 변수 분포의 수렴은 분포 함수의 수렴 측면에서만 정의됩니다. 그러므로 확률변수가 서로 다른 확률 공간에 지정되어 있는 경우에도 이러한 유형의 수렴에 대해 이야기하는 것이 합리적입니다.

정리 1.

a) (P-a.s.)를 위해서는 > 0에 대해 필요하고 충분합니다.

) 시퀀스 ()는 0보다 큰 경우에만 확률이 1인 기본입니다.

증거.

a) A = (: |- | ), A = A라고 가정합니다. 그러면

따라서 진술 a)는 다음과 같은 일련의 함의의 결과입니다.

P(: )= 0 P() = 0 = 0 P(A) = 0, m 1 P(A) = 0, > 0 P() 0, n 0, > 0 P( ) 0,

n 0, > 0.) = (: ), = 로 표시하겠습니다. 그러면 (:(())는 기본이 아님) = 그리고 a)에서와 같은 방식으로 (:(())는 기본이 아님) = 0 P( ) 0, n이 표시됩니다.

정리가 입증되었습니다.

정리 2. (거의 확실한 수렴에 대한 코시 기준)

일련의 확률 변수()가 확률 1(일부 확률 변수)로 수렴하려면 기본 확률이 1인 것이 필요하고 충분합니다.

증거.

그렇다면 +

이는 정리 조건의 필요성을 따릅니다.

이제 시퀀스 ()가 확률 1의 기본이 되도록 합니다. L = (: (()) 기본이 아님)을 표시하겠습니다. 그러면 모든 수열에 대해 ()가 기본이고 수열에 대한 코시 기준에 따라 ()가 존재합니다. 넣어보자

이 정의된 함수는 확률 변수입니다.

정리가 입증되었습니다.

2 특성함수의 방법

특성 함수 방법은 확률 이론 분석 장치의 주요 도구 중 하나입니다. (실수 값을 취하는) 확률 변수와 함께, 특성 함수 이론은 복소수 확률 변수의 사용을 요구합니다.

확률 변수와 관련된 많은 정의와 속성은 복잡한 경우로 쉽게 전환됩니다. 따라서 수학적 기대값 M ?복소수 확률변수 ?=?+?? 수학적 기대값 M이 결정되면 확실한 것으로 간주됩니다. ?그들을 ?. 이 경우 정의에 따라 M이라고 가정합니다. ?= 남 ? + ?중 ?. 무작위 요소의 독립성의 정의로부터 복소수 수량은 다음과 같습니다. ?1 =?1+??1 , ?2=?2+??2확률 변수 쌍이 독립인 경우에만 독립입니다( ?1 , ?1) 그리고 ( ?2 , ?2) 또는 동일한 의미로 독립적입니다. ?-대수 F ?1, ?1 및 F ?2, ?2.

L공간과 함께 2유한한 초 모멘트를 갖는 실제 확률 변수, 복소수 값 확률 변수의 힐베르트 공간을 도입할 수 있습니다. ?=?+?? M과 함께 | ?|2?|2= ?2+?2, 그리고 스칼라 곱( ?1 , ?2)=M ?1?2¯ , 어디 ?2¯ - 복소공액확률변수.

대수 연산에서 벡터 Rn은 대수 열로 처리됩니다.

행 벡터로는 a* - (a1,a2,…,an)이 있습니다. Rn이면 스칼라 곱(a,b)은 수량으로 이해됩니다. 분명하다

aRn이고 R=||rij||인 경우 는 nхn 차의 행렬이고, 그러면

정의 1. F = F(x1,....,xn) - (, ())의 n차원 분포 함수라고 합니다. 그 특징적인 기능을 함수라고합니다.

정의 2 . 만약에? =(?1,…,?n)은 값이 in인 확률 공간에서 정의된 랜덤 벡터이며, 그 특성 함수를 함수라고 합니다.

F는 어디에 있나요? = F?(х1,….,хn) - 벡터 분포 함수?=(?1,…, ?n).

분포 함수 F(x)가 밀도 f = f(x)를 갖는다면,

이 경우 특성 함수는 함수 f(x)의 푸리에 변환에 지나지 않습니다.

(3)으로부터 랜덤 벡터의 특성 함수 ??(t)는 다음과 같이 정의될 수도 있습니다.

특성함수의 기본 성질(n=1인 경우)

하자? = ?(?) - 확률변수, F? =F? (x)는 분포 함수이고 특성 함수입니다.

그렇다면 주목해야합니다.

물론,

여기서 우리는 독립(제한된) 무작위 변수의 곱에 대한 수학적 기대값이 해당 수학적 기대값의 곱과 동일하다는 사실을 활용했습니다.

특성 (6)은 특성 함수 방법을 통해 독립 확률 변수의 합에 대한 극한 정리를 증명할 때 핵심입니다. 이와 관련하여 분포 함수는 훨씬 더 복잡한 방식으로 개별 항의 분포 함수를 통해 표현됩니다. 즉, 여기서 * 기호는 분포의 컨볼루션을 의미합니다.

의 각 분포 함수는 이 함수를 분포 함수로 갖는 확률 변수와 연관될 수 있습니다. 따라서 특성함수의 속성을 제시할 때 확률변수의 특성함수만을 고려하는 것으로 제한할 수 있다.

정리 1.하자? - 분포 함수 F=F(x)를 갖는 확률 변수 및 - 특성 함수.

다음 속성이 발생합니다.

)는 균일하게 연속적입니다.

)는 F의 분포가 대칭인 경우에만 실수 값 함수입니다.

) 어떤 n에 대해서라면? 1, 그러면 모든 파생상품이 있고

) 존재하고 유한하다면,

) 모든 n에 대해 볼까요? 1과

그러면 모두 |t|

다음 정리는 특성 함수가 분포 함수를 고유하게 결정한다는 것을 보여줍니다.

정리 2(고유성). F와 G를 동일한 특성 함수를 갖는 두 개의 분포 함수로 설정합니다.

정리는 분포 함수 F = F(x)가 그 특성 함수로부터 고유하게 복원될 수 있다고 말합니다. 다음 정리는 의 관점에서 함수 F를 명시적으로 표현합니다.

정리 3(일반화 공식). F = F(x)를 분포 함수로 하고 그 특성 함수로 둡니다.

a) 임의의 두 점 a, b에 대해 (a< b), где функция F = F(х) непрерывна,

) 그러면 분포 함수 F(x)가 밀도 f(x)를 가지면,

정리 4. 랜덤 벡터의 구성 요소가 독립적이려면 해당 특성 함수가 구성 요소의 특성 함수의 곱인 것이 필요하고 충분합니다.

보흐너-킨친 정리 . 연속함수라고 합시다. 특성이 되려면 음이 아닌 유한함수, 즉 실수 t1, ... , tn 및 모든 복소수에 대해 필요하고 충분합니다.

정리 5. 확률변수의 특성함수라 하자.

a) 일부의 경우 확률 변수는 단계가 있는 격자입니다.

) 두 개의 서로 다른 점에 대해 무리수는 어디에 있습니까? 그러면 그것은 무작위 변수입니까? 퇴화되었습니다 :

여기서 a는 상수입니다.

c) 그렇다면 그것은 확률변수인가? 퇴화하다.

1.3 독립적인 동일 분포 확률 변수에 대한 중심 극한 정리

()를 독립적이고 동일하게 분포된 확률 변수의 시퀀스로 둡니다. 기대값 M= a, 분산 D= , S = , Ф(х)는 모수가 (0,1)인 정규 법칙의 분포 함수입니다. 또 다른 확률 변수 시퀀스를 소개하겠습니다.

정리. 0이면<<, то при n P(< x) Ф(х) равномерно относительно х ().

이 경우 시퀀스 ()를 점근적 정규라고 합니다.

M = 1이라는 사실과 연속성 정리에 따르면 임의의 연속 경계 f에 대한 약한 수렴 FM f() Mf()와 함께 임의의 연속 f에 대한 수렴 M f() Mf()도 존재합니다. , 즉 |f(x)|< c(1+|x|) при каком-нибудь.

증거.

여기서 균일한 수렴은 Ф(x)의 약한 수렴과 연속성의 결과입니다. 또한 일반성을 잃지 않고 a = 0이라고 가정할 수 있습니다. 그렇지 않으면 수열()을 고려할 수 있고 수열()은 변경되지 않기 때문입니다. 따라서 필요한 수렴을 증명하려면 a = 0일 때 (t) e를 보여주는 것으로 충분합니다.

(t) = , 여기서 =(t)입니다.

M이 존재하므로 분해가 존재하고 유효합니다.

따라서 n에 대해

정리가 입증되었습니다.

1.4 수학적 통계의 주요 작업, 간략한 설명

대량 무작위 현상을 지배하는 패턴의 확립은 관찰 결과인 통계 데이터 연구를 기반으로 합니다. 수학적 통계의 첫 번째 임무는 통계 정보를 수집하고 그룹화하는 방법을 나타내는 것입니다. 수리통계의 두 번째 과제는 연구 목적에 따라 통계 데이터를 분석하는 방법을 개발하는 것입니다.

수학적 통계 문제를 해결할 때 두 가지 정보 소스가 있습니다. 첫 번째이자 가장 명확한(명시적) 것은 스칼라 또는 벡터 확률 변수의 일부 일반 모집단에서 얻은 표본 형태의 관찰(실험) 결과입니다. 이 경우 샘플 크기 n은 고정되거나 실험 중에 증가할 수 있습니다(즉, 소위 순차 통계 분석 절차를 사용할 수 있습니다).

두 번째 소스는 현재까지 축적된 연구 대상 객체의 관심 속성에 대한 모든 선험적 정보입니다. 공식적으로는 문제 해결 시 선택되는 초기 통계 모델에 선험적 정보의 양이 반영됩니다. 그러나 실험 결과를 기반으로 사건의 확률에 대한 일반적인 의미에서 대략적인 결정에 대해 말할 필요는 없습니다. 수량을 대략적으로 결정한다는 것은 일반적으로 오류가 발생하지 않는 오류 한계를 표시할 수 있음을 의미합니다. 개별 실험 결과의 무작위성으로 인해 이벤트의 빈도는 실험 수에 관계없이 무작위입니다. 개별 실험 결과의 무작위성으로 인해 빈도는 사건의 확률에서 크게 벗어날 수 있습니다. 따라서 사건의 알려지지 않은 확률을 수많은 실험에 걸쳐 이 사건의 빈도로 정의함으로써 오류의 한계를 표시할 수 없으며 오류가 이러한 한계를 초과하지 않는다고 보장할 수 없습니다. 따라서 수학적 통계에서 우리는 일반적으로 알 수 없는 수량의 대략적인 값이 아니라 적절한 값, 추정값에 대해 이야기합니다.

알 수 없는 매개변수를 추정하는 문제는 모집단 분포 함수가 매개변수까지 알려진 경우에 발생합니다. 이 경우, 고려된 무작위 샘플 구현 xn에 대한 샘플 값이 매개변수의 대략적인 값으로 간주될 수 있는 통계를 찾는 것이 필요합니다. 임의의 실현 xn에 대한 표본 값이 알 수 없는 매개변수의 대략적인 값으로 취해진 통계를 점 추정 또는 간단히 추정이라고 하며 점 추정의 값입니다. 점 추정치는 표본 값이 모수의 실제 값과 일치하도록 매우 구체적인 요구 사항을 충족해야 합니다.

고려 중인 문제를 해결하기 위한 또 다른 접근 방식도 가능합니다. 그러한 통계를 찾고 확률을 가지고? 다음과 같은 부등식이 성립합니다:

이 경우 간격 추정에 대해 이야기합니다. 간격

신뢰계수를 갖는 신뢰구간을 신뢰구간이라고 합니다.

실험 결과를 바탕으로 하나 이상의 통계적 특성을 평가하면 다음과 같은 의문이 생깁니다. 미지의 특성이 실험 데이터를 사용한 평가 결과 얻은 값과 정확히 일치한다는 가정(가설)이 얼마나 일관성이 있습니까? 이것이 수학적 통계에서 두 번째로 중요한 문제, 즉 가설 테스트 문제가 발생하는 방식입니다.

어떤 의미에서 통계적 가설을 검정하는 문제는 매개변수 추정 문제의 반대입니다. 매개변수를 추정할 때 우리는 그 실제 값에 대해 아무것도 모릅니다. 통계적 가설을 검정할 때에는 어떤 이유에서인지 그 값을 알고 있다고 가정하고, 실험 결과를 바탕으로 이 가정을 검증할 필요가 있습니다.

수학적 통계의 많은 문제에서 무작위 변수의 시퀀스가 ​​​​어떤 의미에서 어떤 한계 (무작위 변수 또는 상수)로 수렴되는지 고려됩니다.

따라서 수학적 통계의 주요 임무는 추정치를 찾고 평가되는 특성에 대한 근사치의 정확성을 연구하는 방법을 개발하고 가설을 테스트하는 방법을 개발하는 것입니다.

5 통계적 가설 검증: 기본 개념

통계적 가설을 검증하기 위한 합리적인 방법을 개발하는 작업은 수리통계의 주요 작업 중 하나입니다. 통계적 가설(또는 간단히 가설)은 실험에서 관찰된 무작위 변수 분포의 유형이나 속성에 대한 설명입니다.

일반 모집단의 무작위 표본을 구현한 표본이 있다고 가정해 보겠습니다. 분포 밀도는 알 수 없는 매개변수에 따라 달라집니다.

매개변수의 알 수 없는 참값에 관한 통계적 가설을 모수적 가설이라고 합니다. 게다가 가 스칼라라면 단일 매개변수 가설을 말하는 것이고, 벡터라면 다중 매개변수 가설을 말하는 것입니다.

통계적 가설이 다음과 같은 형식을 갖는 경우 단순이라고 합니다.

지정된 매개변수 값은 어디에 있습니까?

통계적 가설이 다음과 같은 형식을 갖는 경우 복잡하다고 합니다.

두 개 이상의 요소로 구성된 매개변수 값 집합은 어디에 있습니까?

다음 형식의 두 가지 간단한 통계 가설을 테스트하는 경우

두 개의 주어진 (다른) 매개변수 값이 있는 경우 첫 번째 가설을 일반적으로 주요 가설이라고 하고 두 번째 가설을 대립 가설 또는 경쟁 가설이라고 합니다.

가설 검정을 위한 기준 또는 통계적 기준은 표본 데이터를 기반으로 첫 번째 가설 또는 두 번째 가설의 타당성에 대한 결정이 내려지는 규칙입니다.

기준은 무작위 표본의 표본 공간의 하위 집합인 임계 집합을 사용하여 지정됩니다. 결정은 다음과 같이 이루어집니다.

) 표본이 임계 집합에 속하면 주 가설을 기각하고 대립 가설을 받아들입니다.

) 표본이 임계 집합에 속하지 않으면(즉, 표본 공간에 대한 집합의 보완에 속함) 대립 가설이 거부되고 주 가설이 수락됩니다.

기준을 사용할 때 다음과 같은 유형의 오류가 발생할 수 있습니다.

1) 가설이 참일 때 그것을 받아들인다 - 첫 번째 종류의 오류;

)가설이 참인데 이를 받아들이는 것은 제2종 오류이다.

첫 번째 및 두 번째 유형의 오류를 범할 확률은 다음과 같이 표시됩니다.

가설이 참일 경우 사건의 확률은 어디에 있습니까? 표시된 확률은 무작위 표본의 분포 밀도 함수를 사용하여 계산됩니다.

제1종 오류를 범할 확률을 기준 유의 수준이라고도 합니다.

주 가설이 참일 때 기각할 확률과 동일한 값을 검정력이라고 합니다.

1.6 독립성 기준

2차원 분포의 표본((XY), ..., (XY))이 있습니다.

가설 H를 테스트하는 데 필요한 알 수 없는 분포 함수를 갖는 L: , 일부 1차원 분포 함수는 어디에 있습니까?

가설 H에 대한 간단한 적합도 검정은 방법론을 기반으로 구성될 수 있습니다. 이 기술은 유한한 수의 결과를 갖는 이산형 모델에 사용되므로 확률 변수가 문자로 표시할 일부 값의 유한한 수 s와 두 번째 구성요소인 k 값을 취한다는 데 동의합니다. 원본 모델의 구조가 다른 경우 확률 변수의 가능한 값은 사전에 첫 번째 구성 요소와 두 번째 구성 요소로 별도로 그룹화됩니다. 이 경우 집합은 s 간격으로 나누어지고, 값은 k 간격으로 설정되며, 값 자체는 N=sk 직사각형으로 설정됩니다.

쌍의 관측치 수(데이터가 그룹화되어 있는 경우 직사각형에 속하는 샘플 요소의 수)로 표시하겠습니다. 관찰 결과를 두 부호의 분할표 형식으로 정리하는 것이 편리합니다(표 1.1). 응용에서 는 일반적으로 관찰 결과를 분류하는 두 가지 기준을 의미합니다.

P, i=1,…,s, j=1,…,k라고 합니다. 그러면 독립 가설은 다음과 같은 s+k 상수가 있다는 것을 의미합니다.

표 1.1

합집합 . . .. . .. . . . . .. . .. . . . . . . . . . . . . . .합집합 . . .N

따라서 가설 H는 지정된 특정 구조를 갖는 결과의 확률을 갖는 다항식 법칙에 따라 빈도(수는 N = sk)가 분포된다는 진술로 귀결됩니다(결과 p의 확률 벡터는 값에 의해 결정됨). r = s + 알 수 없는 매개변수의 k-2.

이 가설을 테스트하기 위해 고려 중인 계획을 결정하는 알 수 없는 매개변수에 대한 최대 우도 추정치를 찾을 것입니다. 귀무가설이 참인 경우 우도 함수는 L(p)= 형식을 가지며 여기서 승수 c는 알 수 없는 매개변수에 의존하지 않습니다. 여기에서 무한 승수의 라그랑주 방법을 사용하여 필요한 추정치가 다음과 같은 형식을 갖는다는 것을 얻습니다.

그러므로 통계

L() at, 극한 분포의 자유도는 N-1-r=sk-1-(s+k-2)=(s-1)(k-1)과 같기 때문입니다.

따라서 n이 충분히 큰 경우 다음 가설 테스트 규칙을 사용할 수 있습니다. 실제 데이터에서 계산된 t 통계 값이 부등식을 충족하는 경우에만 가설 H가 기각됩니다.

이 기준은 점근적으로(at) 주어진 유의 수준을 가지며 독립 기준이라고 합니다.

2. 실무부분

1 융합 유형의 문제에 대한 해결책

1. 수렴이 확률의 수렴을 거의 확실하게 의미함을 증명하십시오. 그 반대가 사실이 아님을 보여주는 테스트 예를 제공하십시오.

해결책. 일련의 확률 변수가 거의 확실하게 확률 변수 x로 수렴한다고 가정합니다. 그럼 누구에게나? > 0

그때부터

그리고 xn이 x로 수렴하면 확률적으로 xn이 x로 수렴한다는 것이 거의 확실해집니다. 이 경우

그러나 그 반대의 진술은 사실이 아닙니다. x에서 0과 동일한 분포 함수 F(x)를 갖는 일련의 독립 확률 변수를 가정해 보겠습니다. 0이고 x > 0이면 같습니다. 시퀀스를 고려하세요.

이 시퀀스는 확률이 0으로 수렴합니다.

고정된 항목이 0이 되는 경향이 있습니까? 그리고. 그러나 0으로의 수렴은 거의 발생하지 않을 것이 거의 확실합니다. 정말

즉, 확률이 1이고 n에 대해 ?를 초과하는 시퀀스에서 실현이 있을 것입니다.

수량 xn에 부과된 몇 가지 추가 조건이 있는 경우 확률의 수렴은 거의 확실하게 수렴을 의미합니다.

xn을 단조 수열이라고 하자. 이 경우 xn이 x로 수렴할 확률은 확률 1로 xn이 x로 수렴함을 증명하십시오.

해결책. 즉, xn을 단조 감소 수열로 둡니다. 추론을 단순화하기 위해 모든 n에 대해 x º 0, xn ³ 0이라고 가정합니다. xn이 확률적으로 x로 수렴한다고 가정하면 수렴이 거의 발생하지 않습니다. 그렇다면 그것은 존재하는가? > 0, 모든 n에 대해

그러나 말한 것은 또한 모든 n에 대해 다음을 의미합니다.

이는 확률적으로 xn이 x로 수렴하는 것과 모순됩니다. 따라서 확률적으로 x에 수렴하는 단조 수열 xn의 경우 확률 1에도 수렴합니다(거의 확실함).

시퀀스 xn이 확률적으로 x로 수렴되도록 합니다. 이 수열에서 확률 1로 x에 수렴하는 수열을 분리하는 것이 가능함을 증명하십시오.

해결책. 양수의 수열을 이라고 하고, 과 를 일련의 양수라고 합시다. 일련의 인덱스 n1을 구성해 봅시다.

그 다음 시리즈

시리즈가 수렴되므로 어떤 것이 있습니까? > 0이면 계열의 나머지 부분이 0이 되는 경향이 있습니다. 하지만 그러면 0이 되는 경향이 있고

모든 양의 순서의 평균 수렴은 확률의 수렴을 의미함을 증명하십시오. 그 반대가 사실이 아님을 보여주는 예를 들어보세요.

해결책. 시퀀스 xn이 평균 차수 p > 0인 값 x로 수렴한다고 가정합니다.

일반화된 체비쇼프 부등식을 사용해 보겠습니다. 임의적인가요? > 0 및 p > 0

이를 지시하고 고려하여 우리는 다음을 얻습니다.

즉, xn은 확률적으로 x로 수렴됩니다.

그러나 확률의 수렴은 평균 차수 p > 0의 수렴을 수반하지 않습니다. 이는 다음 예에서 설명됩니다. 확률 공간 áW, F, Rñ을 생각해 보세요. 여기서 F = B는 Borel s-대수이고 R은 Lebesgue 측정값입니다.

일련의 확률 변수를 다음과 같이 정의해 보겠습니다.

시퀀스 xn은 확률적으로 0으로 수렴합니다.

그러나 p > 0인 경우

즉, 평균적으로 수렴되지 않습니다.

n 모두에 대해 무엇을 볼까요? 이 경우 xn이 평균 제곱에서 x로 수렴함을 증명하십시오.

해결책. 참고하세요... 견적을 받아보겠습니다. 확률변수를 생각해 봅시다. 하자? - 임의의 양수. 그런 다음 at과 at.

그렇다면, 그리고. 따라서, . 때문에? 임의로 작고, 그 다음에는 평균 제곱에 있습니다.

확률적으로 xn이 x로 수렴하면 약한 수렴이 발생함을 증명하십시오. 그 반대가 사실이 아님을 보여주는 테스트 예를 제공하십시오.

해결책. 연속성의 지점인 각 지점 x(약한 수렴의 필요충분조건)가 값 xn의 분포 함수이고 - x 값인 경우를 증명해 보겠습니다.

x를 함수 F의 연속점으로 둡니다. 그렇다면 부등식 중 적어도 하나는 참입니다. 그 다음에

마찬가지로, 부등식 또는 및 중 적어도 하나에 대해

그렇다면 원하는만큼 작은가요? > 0 모든 n > N에 대해 N이 존재합니다.

반면에 x가 연속점이라면 이런 것을 찾는 것이 가능할까요? > 0, 임의로 작은 경우

그럼 원하는 만큼 작게 하시겠습니까? 그리고 n >N에 대해 N이 존재합니다.

아니면 뭐가 똑같나요?

이는 수렴이 연속성의 모든 지점에서 발생함을 의미합니다. 결과적으로 확률의 수렴으로 인해 약한 수렴이 발생합니다.

일반적으로 말하면 그 반대의 진술은 성립하지 않습니다. 이를 검증하기 위해 확률이 1인 상수와 같지 않고 동일한 분포 함수 F(x)를 갖는 일련의 확률 변수를 취하겠습니다. 우리는 모든 양 n에 대해 와 독립이라고 가정합니다. 당연히 수열의 모든 구성원이 동일한 분포 함수를 갖기 때문에 약한 수렴이 발생합니다. 고려하다:

|가치의 독립성과 동일한 분배로부터 다음이 도출됩니다.

충분히 작은 τ에 대해 0이 아닌 F(x)와 같은 비퇴화 확률 변수의 모든 분포 함수 중에서 선택하겠습니다. 그러면 n이 무제한으로 증가해도 0이 되는 경향이 없으며 확률의 수렴이 일어나지 않습니다.

7. 확률이 1인 상수가 있는 약한 수렴이 있다고 가정합니다. 이 경우 확률적으로 로 수렴함을 증명하십시오.

해결책. 확률 1이 a와 같다고 가정합니다. 그렇다면 약한 수렴은 모든 것에 대한 수렴을 의미합니다. 그 이후로 at과 at. 즉, at과 at입니다. 누구에게나 그럴까요? > 0 확률

0에 경향이 있습니다. 그것은 다음을 의미합니다

확률적으로 0으로 수렴하는 경향이 있습니다.

2.2 중앙난방센터 문제점 해결

x=에서 감마 함수 Г(x)의 값은 몬테카를로 방법으로 계산됩니다. 0.95의 확률로 계산의 상대 오류가 1% 미만이 될 것으로 예상할 수 있도록 필요한 최소 테스트 수를 찾아보겠습니다.

정확성을 위해 우리는

다음과 같이 알려져 있습니다.

(1)을 변경하면 유한 간격에 걸쳐 적분에 도달합니다.

그러므로 우리와 함께

보시다시피, 와 가 균일하게 분포되어 있는 형태로 표현될 수 있습니다. 통계적 테스트를 수행해 보겠습니다. 그런 다음 통계적 유사성은 수량입니다.

여기서 는 균일한 분포를 갖는 독립 확률 변수입니다. 여기서

CLT로부터 그것은 매개변수에 대해 점근적으로 정규적이라는 것을 따릅니다.

이는 계산의 상대 오류를 확률적으로 보장하는 최소 테스트 수가 동일하지 않다는 것을 의미합니다.

수학적 기대값이 4이고 분산이 1.8인 2000개의 독립적인 동일 분포 확률 변수 시퀀스가 ​​고려됩니다. 이들 양의 산술 평균은 확률 변수입니다. 확률 변수가 구간(3.94; 4.12)의 값을 가질 확률을 결정합니다.

M=a=4 및 D==1.8인 동일한 분포를 갖는 독립 확률 변수의 시퀀스라고 가정합니다. 그러면 CLT는 시퀀스()에 적용 가능합니다. 임의의 값

간격()에서 값을 취할 확률:

n=2000, 3.94 및 4.12에 대해 우리는 다음을 얻습니다.

3 독립성 기준을 사용한 가설 검정

연구 결과, 밝은 눈의 아버지 중 782명이 밝은 눈의 아들을 낳았고, 밝은 눈의 아버지 중 89명이 검은 눈의 아들을 낳은 것으로 나타났다. 50명의 검은 눈을 가진 아버지에게는 검은 눈의 아들이 있고, 79명의 검은 눈을 가진 아버지에게는 밝은 눈의 아들이 있습니다. 아버지의 눈 색깔과 아들의 눈 색깔 사이에 관계가 있나요? 신뢰 수준을 0.99로 설정합니다.

표 2.1

아이들아버지Sum밝은 눈검은 눈밝은 눈78279861검은 눈8950139Sum8711291000

H: 아이들의 눈 색깔과 아버지의 눈 색깔 사이에는 아무런 관계가 없습니다.

H: 아이들의 눈 색깔과 아버지의 눈 색깔 사이에는 연관성이 있습니다.

s=k=2 =90.6052(자유도 1)

계산은 Mathematica 6에서 이루어졌습니다.

>이므로 유의수준에서 아버지와 자녀의 눈 색깔 사이에 관계가 없다는 가설 H는 기각되고 대립가설 H는 채택되어야 한다.

적용 방법에 따라 약의 효과가 달라진다고 합니다. 표에 제시된 데이터를 사용하여 이 진술을 확인하십시오. 2.2 신뢰 수준을 0.95로 설정합니다.

표 2.2

결과 적용방법 ABC 불리함 111716 호의적 202319

해결책.

이 문제를 해결하기 위해 두 가지 특성의 분할표를 사용합니다.

표 2.3

결과 적용방법 금액 ABC 불리 11171644 우호 20231962 금액 314035106

H: 약물의 효과는 투여 방법에 좌우되지 않습니다.

H: 약물의 효과는 적용 방법에 따라 다릅니다.

통계는 다음 공식을 사용하여 계산됩니다.

s=2, k=3, =0.734626(자유도 2).

Mathematica 6에서 계산

배포 테이블에서 우리는 그것을 발견합니다.

왜냐하면< , то гипотезу H, про отсутствия зависимости действия лекарств от способа применения, при уровне значимости, следует принять.

결론

이 논문에서는 "독립성 기준" 섹션과 "확률 이론의 극한 정리", "확률 이론 및 수리 통계" 과정의 이론적 계산을 제시합니다. 작업 중에 독립성 기준이 실제로 테스트되었습니다. 또한, 주어진 독립 확률 변수 시퀀스에 대해 중심 극한 정리가 충족되는지 확인했습니다.

이 작업은 확률 이론의 이러한 섹션에 대한 지식을 향상시키고, 문학 출처를 사용하고, 독립성 기준을 확인하는 기술을 확고히 익히는 데 도움이 되었습니다.

확률적 통계가설 정리

링크 목록

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