Линейные системы n го порядка. Линейные диф

Каким бы лёгким ни казался окружающий нас воздух, он не невесом. При нормальной комнатной температуре один метр кубический окружающей нас смеси газов имеет массу более килограмма. А учитывая высоту земной атмосферы 118 километров (правда, 80% всей её массы сосредоточены в пятнадцатикилометровом нижнем слое), имеем весьма значительное давление у поверхности планеты. Приблизительно на каждый квадратный сантиметр поверхности "давит" около одного килограмма. Не так уж и мало.

Что такое давление

Земная атмосфера чрезвычайно нестатична. Потоки тёплого воздуха, поднимаясь вверх, выдавливают ближе к поверхности остывшие, более плотные, массы газов и водяного пара. Так как нагрев различных участков Земли не одинаков, поднятие в стратосферу одних воздушных масс вызывает приток на их место других, из нижних слоёв. Таким образом, над конкретной точкой земной поверхности в данный момент времени всегда находятся воздушные массы разной температуры, влажности и состава, что вызывает, естественно, и постоянное изменение атмосферного давления.

Так что же измеряет барометр-анероид и какова природа давления? Всё дело в том, что молекулы газа - весьма подвижные частицы. Они находятся в постоянном хаотическом движении (его принято называть "броуновским" по фамилии открывателя данного явления).

На рисунке показано некое ограниченное пространство, внутри которого присутствуют молекулы газа. Они не находятся в состоянии покоя. Двигаясь, отскакивая друг от друга они бомбардируют стенки и дно цилиндра, поршень. Если повысить температуру внутри цилиндра, частички газа ускорятся, их удары станут сильнее - давление возрастёт. Можно сжать газ, приложив усилие к поршню, - расстояние между молекулами станет меньше, их столкновения как друг с другом, так и о стенки цилиндра чаще - снова рост давления.

В чём измеряют давление

В международной системе единиц давление принято измерять в паскалях. Один паскаль - это такое давление, при котором на один квадратный метр поверхности воздействует сила, равная одному ньютону.

Один паскаль - достаточно маленькое давление, гораздо меньше кровяного давления человека или, скажем, давления в шинах автомобилей. Поэтому указанная физическая величина чаще используется с приставкой «мега» (умножить на миллион). Так, к примеру, нормальное давление атмосферы у поверхности Земли равно 0,1 МПа или 100 000 Па.

В технике чаще используют другую величину для обозначения давления, более понятную, а именно - килограммы силы на сантиметр квадратный. В названии этой величины вполне читается и заключённый в ней смысл - сколько килограммов давит на один квадратный сантиметр поверхности.

Самыми первыми устройствами для измерения давления (до того как был изобретён барометр-анероид), были приборы, использующие вес ртути. Поэтому ещё одной единицей измерения, с успехом применяющейся до сих пор, являются миллиметры ртутного столба.

Устройства для измерения давления

Давление бывает истинным и относительным (избыточным). Для измерения истинного давления служит барометр-анероид. Избыточное давление (именно оно интересует автолюбителей, измеряющих давление в шинах) показывает, насколько давление в сосуде превышает давление окружающего воздуха, и измеряется относительно несложно. Механическое устройство сравнивает давление внутри и снаружи. Истинное же давление измерить сложнее, так как сравнивать можно только с глубоким вакуумом. Первыми устройствами такого рода были ртутные барометры. Стеклянная трубка примерно метровой длины наполнялась ртутью, переворачивалась в сосуд, содержащий так же ртуть.

Жидкий металл под собственным весом двигался вниз, над ним образовывался вакуум, давление измерялось разницей уровней ртути в сосуде и в стеклянной трубке. Нормальным принято считать давление 760 мм ртутного столба.

Очевидно, что использование такого прибора не всегда удобно из-за его громоздкости, а также из-за ядовитости паров ртути. Прекрасным изобретением стал барометр-анероид метеорологический, в котором специальный механизм «сравнивает» атмосферное давление с нулевым (глубокий вакуум), которое создаётся в специальном герметичном металлическом сосуде.

БАММ

Барометр-анероид мембранный метеорологический - именно так расшифровывается название наиболее распространённого в мире прибора для измерения давления. Прибор состоит из нескольких мембранных камер, собранных в пакет. Из них откачан воздух.

Так как давление внутри камер нулевое, атмосферное давление, изменяясь, сжимает их или же наоборот - позволяет расшириться за счёт упругости металла. Самые незначительные измерения толщины мембран улавливаются чувствительной стрелкой. Барометр-анероид БАММ, в отличие от древнего ртутного собрата, совершенно безопасен и гораздо удобнее в использовании.

Сам себе метеоролог

Люди, страдающие высоким или низким артериальным давлением, гипертоники, другие метеозависимые граждане, а также любители рыбной ловли чаще всего интересуются атмосферным давлением. Информация, поступающая из СМИ, имеет общий характер, поэтому куда лучше иметь собственный барометр-анероид, цена которого 5-7 тысяч рублей. Такой барометр, как правило, размещают в квартире на видном месте. Он классно смотрится на стене в кабинете охотника или рыбака между трофеями.

Кроме системы «анероид» в настоящее время широко используются электронные варианты, использующие пьезо-эффект. Цена на такой прибор на порядок ниже (может стоить меньше тысячи рублей). Его удобнее носить в рюкзаке, рыболовном ящике -это настоящая метеостанция в кармане.

В 1643 г. по предложению итальянского физика Эванджелисты Торричелли (1бб8-1647) был произведен следующий опыт. Стеклянную трубку длины около 1 м, запаянную с одного конца, наполняют ртутью. Отверстие трубки закрывают пальцем, чтобы ртуть не вылилась, и трубку опускают в вертикальном положении отверстием вниз в сосуд с ртутью. Если теперь отнять палец от отверстия трубки, то столб ртути упадет до высоты около 760 мм над уровнем ртути в сосуде (рис. 290).

Рис. 290. Трубка Торричелли

Пользуясь рассуждениями предыдущего параграфа, легко объяснить этот опыт. На свободную поверхность ртути в сосуде действует атмосферное давление. Так как после опускания ртути в трубке над ртутью остается пустота, то давление столба ртути, создаваемое внутри трубки на уровне поверхности ртути в сосуде, должно равняться атмосферному давлению. Поэтому взятая в миллиметрах высота столба над свободной поверхностью ртути прямо измеряет давление атмосферы в миллиметрах ртутного столба. Таким образом, трубка Торричелли может служить для измерения давления атмосферы. Она играет роль «барометра». Практически конструкция ртутного барометра более сложна (рис. 291).

Рис. 291. Ртутный барометр

Рис. 292. При наклонении трубки Торричелли уровень ртути остается на одной и той же высоте

Итак, опыт показывает, что атмосферное давление составляет около 760 мм.рт.ст. Так как (§ 154), то атмосферное давление равно .

Таким образом, атмосферное давление равно давлению столба воды высоты больше 10 м.

Пространство над столбом ртути в трубке в опыте Торричелли называют торричеллиевой пустотой. Конечно, это не абсолютная пустота: в этом пространстве имеется пар ртути; своим давлением он немного понижает столб ртути в трубке. Однако практически этим можно пренебречь, так как давление пара ртути при комнатной температуре ничтожно. Будем придавать трубке в опыте Торричелли различные наклоны (рис. 292). Мы увидим, что конец столба ртути при изменении наклона остается на той же высоте над свободной поверхностью ртути, хотя длина столба становится при наклоне больше. Это объясняется тем, что, как мы уже знаем, давление зависит лишь от высоты столба жидкости, отсчитанной по вертикали. При достаточном наклоне трубки ртуть заполняет ее всю; это указывает на отсутствие воздуха в трубке. При изменении атмосферного давления меняется и высота столба ртути в трубке. При увеличении давления столбик удлиняется - «барометр поднимается». При уменьшении давления «барометр падает» - столб ртути уменьшает свою высоту.

Давление атмосферы можно измерять таким же мембранным манометром, каким мы пользовались для жидкостей (рис. 293). Для повышения точности измерения из коробки 1 манометра выкачивается часть воздуха; мембрана 2 оттягивается наружу пружиной 3. Мембрана обычно делается волнистой для повышения ее гибкости. Мембранные манометры для измерения атмосферного давления называют барометрами-анероидами (рис. 294). Анероиды градуируются и выверяются по ртутному барометру. Они менее надежны, чем ртутный барометр, так как имеют пружины и мембраны, которые с течением времени могут вытягиваться или изменять свою упругость. Зато анероид - прибор гораздо более удобный в обращении, чем ртутный барометр, содержащий жидкость. Поэтому анероиды получили очень большое распространение в тех случаях, когда не требуется очень большой точности. При достаточно частой сверке с ртутным барометром они дают надежные показания.

Рис. 293. Схема устройства мембранного манометра для газов

Рис. 294. Барометр-анероид

174.1. Как нужно изменить шкалу барометрической трубки, наклоненной под углом к вертикали, чтобы отсчет можно было производить в миллиметрах ртутного столба? Какой длины нужно взять трубку?

174.2. Цилиндрический сосуд массы 10 кг, площадь основания которого равна , накрывается крышкой. При выкачивании воздуха из сосуда крышка прижимается к сосуду атмосферным давлением. Если воздух откачай до давления 50 мм.рт.ст., то какой массы груз нужно привесить к сосуду, чтобы оторвать его от крышки?

n -го порядка

Теорема . Если y 0 - решение однородного уравнения L[y]=0 , y 1 - решение соответствующего неоднородного уравнения L[y] = f(x) , то сумма y 0 +y 1 является решением этого неоднородного уравнения.

Структура общего решения неоднородного уравнения определяется следующей теоремой.

Теорема . Если Y - частное решение уравнения L[y] = f(x) с непрерывными коэффициентами, - общее решение соответствующего однородного уравнения L[y] = 0 , то общее решение данного неоднородного уравнения определяется формулой

Замечание . Чтобы записать общее решение линейного неоднородного уравнения, необходимо найти какое-нибудь частное решение этого уравнения и общее решение соответствующего однородного уравнения.

Линейные неоднородные уравнения n

Рассмотрим линейное неоднородное уравнение n -го порядка с постоянными коэффициентами

где a 1 , a 2 , …, a n - действительные числа. Запишем соответствующее однородное уравнение

Общее решение неоднородного уравнения определяется формулой

Общее решение однородного уравнения y 0 находить умеем, частное решение Y может быть найдено методом неопределенных коэффициентов в следующих простейших случаях:

В общем случае применяется метод вариации произвольных постоянных.

Метод вариации произвольных постоянных

Рассмотрим линейное неоднородное уравнение n -го порядка с переменными коэффициентами

Если нахождение частного решения этого уравнения оказывается затруднительным, но известно общее решение соответствующего однородного уравнения, то общее решение неоднородного уравнения можно найти методом вариации произвольных постоянных .

Пусть соответствующее однородное уравнение

имеет общее решение

Общее решение неоднородного уравнения будем искать в виде

где y 1 =y 1 (x) , y 2 =y 2 (x) , …, y n =y n (x) - линейно-независимые решения однородного уравнения, входящие в его общее решение, а C 1 (x) , C 2 (x) , …, C n (x) - неизвестные функции. Чтобы найти эти функции, подчиним их некоторым условиям.

Найдем производную

Потребуем, чтобы сумма во второй скобке равнялась нулю, то есть

Найдем вторую производную

и потребуем, чтобы

Продолжая аналогичный процесс, получим

В этом случае нельзя требовать, чтобы сумма во второй скобке обратилась в нуль, так как функции C 1 (x) , C 2 (x) , …, C n (x) уже подчинены n-1 условиям, а нужно еще удовлетворить исходному неоднородному уравнению.