Меры оценки разнообразия признака в совокупности и типичности средних величин. Средние величины

В процессе обработки и обобщения статистических данных возникает необходимость определения средних величин. Как правило, индивидуальные значения одного и того же признака у разных единиц совокупности неодинаковы.

Средняя величина – обобщающая характеристика изучаемого признака в исследуемой совокупности. Она отражает его типичный уровень в расчете на единицу совокупности в конкретных условиях места и времени.

Например, при изучении доходов рабочих предприятия обобщающей характеристикой служит средний доход одного рабочего. Для его определения общую сумму средств, направленных на потребление, в виде заработной платы, социальных и трудовых льгот, материальной помощи, дивидендов по акциям и процентов по вкладам в имущество предприятия за рассматриваемый период (год, квартал, месяц) делят на численность рабочих предприятия. Средний доход характеризует то общее, что свойственно всей совокупности рабочих предприятия, т.е. уровень дохода массы рабочих в конкретных условиях функционирования данного предприятия в рассматриваемом периоде.

Средняя, рассчитанная по совокупности в целом, называется общей средней.

Средние, исчисленные для каждой группы, называются групповыми средними.

Чем больше единиц совокупности, по которым рассчитывается средняя, тем она устойчивее, т.е. точнее. Расчет средней величины включает две операции:

I– суммирование данных по всем единицам (обобщение данных);

II – деление суммированных данных на число единиц совокупности.

– средняя величина для признака; n – количество единиц совокупности;

х i – индивидуальное значение признака каждой единицы совокупности.

Сущность средней величины определяет её особую значимость в условиях рыночной экономики. Средняя величина через единичное и случайное позволяет выявить общее и необходимое, выявить тенденцию закономерности экономического развития.

Степенные средние :

ü средняя арифметическая;

ü средняя геометрическая;

ü средняя гармоническая;

ü средняя квадратическая;

ü средняя хронологическая.

Структурные средние: мода и медиана.

Выбор того или иного вида средней производится в зависимости от цели исследования, экономической сущности усредняемого показателя и характера имеющихся исходных данных. Только тогда, когда средняя применима правильно, получают величины, имеющие реальный экономический смысл.

Средняя арифметическая – наиболее распространённый вид средней.

Под средней арифметической понимается такое значение признака, которое имела бы каждая единица совокупности, если бы общий итог всех значений признака был распределён равномерно между всеми единицами совокупности.

Она исчисляется в тех случаях, когда объём осредняемого признака образуется как сумма его значений у отдельных единиц изучаемой статистической совокупности. В зависимости от характера исходных данных средняя арифметическая определяется следующим образом:

Простая арифметическая средняя исчисляется путем деления суммы значений на их количество.

Пример : Заработная плата за январь у 3-х рабочих одного цеха составила: 6500, 4955, 5323 рубля. Средняя з/плата за месяц составляет: руб.

Пример: Вычислить средний стаж десяти работников торгового предприятия. Одиночное значение признака (лет): 6,5,4,3,3,4,5,4,5,4.

= (6+5+4+3+3+4+5+4+5+4) : 10 = 43: 10 = 4,3 года.

Как видим, средняя арифметическая может оказаться дробным числом, если даже индивидуальные значения признака заданы только целыми числами. Это вытекает из сущности средней арифметической, которая есть величина абстрактная (теоретическая), т.е. она может принимать такое числовое значение, которое не встречается в представленной совокупности индивидуальных значений признака.

Средняя арифметическая взвешенная

Часто приходится рассчитывать среднее значение признака по ряду распределения, когда одно и то же значение признака встречается несколько раз. Объединив данные по величине признака (т.е. сгруппировав) и подсчитав число случаев повторения каждого из них, мы получим следующий вариационный ряд.

Следовательно, для исчисления взвешенной средней выполняются следующие последовательные операции: умножение каждого варианта на его частоту, суммирование полученных произведений, деление полученной суммы на сумму частот.

Средняя арифметическая взвешенная учитывает различное значение отдельных вариантов в пределах совокупности. Поэтому она должна употребляться во всех тех случаях, когда варианты имеют различную численность. Употребление простой средней в этих случаях недопустимо, так как оно неизбежно приводит к искажению статистических показателей.

Арифметическая средняя как бы распределяет поровну между отдельными объектами общую величину признака, в действительности варьирующую у каждого из них.

Иногда вычисление средних величин приходится производить и по данным, сгруппированным в виде интервальных рядов распределения, когда варианты признака, из которых исчисляется средняя, представлены в виде интервалов (от – до). Для вычисления средней величины надо в каждом варианте определить серединное значение х, после чего произвести взвешивание обычным порядком х у

В закрытом интервале серединное значение определяется как полусумма значений нижней и верхней границ.

Задача исчисления средней по величинам интервального ряда осложняется тем, что неизвестны крайние границы начального и конечного интервалов. В этом случае предполагается, что расстояние между границами данного интервала такое же, как и в соседнем интервале.

Необходимо отметить, что, хотя мы и используем для расчета средней из интервального ряда формулу средней арифметической взвешенной, исчисленная средняя не является точной величиной, так как в результате умножения средних значений групп на их численность, мы не получим действительного значения. Степень расхождения зависит от ряда причин: 1 – число вариант. Чем больше число вариант, тем вероятнее, что середина интервала будет мало отличаться от групповой средней. Если же на каждую группу приходится малое число единиц, групповые средние могут находиться не только в середине, но и в близи верхней, либо нижней границы интервала.

Пример, требуется вычислить средний стаж работы 12 работников рекламного агентства. При этом известны индивидуальные значения признака (стажа) в годах: 6,5,4,3,3,5,5,6,3,7,4,5.

Объединив данные по величине признака и подсчитав число случаев повторения каждого из них, проведём расчет среднего стажа по сгруппированным данным с помощью формулы средней взвешенной арифметической.

X = (3*3+4*2+5*4+6*2+7*1) : 12 = 56 : 12 = 4,7 года.

В практике статистической обработки материала возникают различные задачи, имеющие особенности в изучении явлений и требующие применения различных средних в их решении. Учитывая, что статистические средние всегда выражают качественные свойства изучаемых общественных процессов и явлений, важно правильно выбрать форму средней, исходя из взаимосвязи явлений и их признаков.

Свойства средней арифметической:

Средняя арифметическая обладает рядом свойств, знание которых необходимо для понимания сущности средних, а также для упрощения их вычисления.

1. Средняя арифметическая суммы варьирующих величин равна сумме средних арифметических величин:

Если x i = y i + z i то

Это правило показывает, в каких случаях можно суммировать средние величины. Если, например, выпускаемые изделия состоят из двух деталей y и z и на изготовление каждой из них расходуется в среднем у = 3 ч, z = 5 ч, то средние затраты времени на изготовление одного изделия (х ), будут равны: 3+5 = 8 ч, т.е. х = у + z..

2. Алгебраическая сумма отклонений индивидуальных значений варьирующего признака от средней равна нулю, так как сумма отклонений в одну сторону погашается суммой отклонений в другую сторону, т.е.

, потому что

Это правило показывает, что средняя является равнодействующей.

3. Если все варианты ряда уменьшить или увеличить на одно и то же число а, то средняя уменьшится или увеличится на это же число а:

4. Если все варианты ряда уменьшить или увеличить в А раз, то средняя также соответственно уменьшится или соответственно увеличится в А раз:

5. Если все частоты ряда разделить или умножить на одно и то же число d, то средняя не изменится:

Это свойство показывает, что средняя зависит не от размеров весов, а от соотношения между ними. Следовательно, в качестве весов могут выступать не только абсолютные, но и относительные величины.

Средняя хронологическая

Иногда, при анализе социально-экономических показателей, необходимо определить среднюю величину, если имеются данные равностоящего моментного ряда динамики. Например, среднемесячный запас товаров; среднесписочную численность продавцов за квартал, за полугодие, если известна численность продавцов на начало месяца; или определить среднегодовую численность населения территории, то используют среднюю хронологическую.

Х=( х 1 + х 2 +х 3 +…+х n -1 + х n) : (n-1)

Х – индивидуальное значение признака каждой единицы совокупности;

n – число единиц совокупности.

Средняя гармоническая

Средняя гармоническая – это величина обратная средней арифметической. Когда статистическая информация не содержит частот по отдельным вариантам совокупности, а представлена как их произведение, применяется формула средней гармонической взвешенной.

Средняя в такой форме называется средней гармонической взвешенной и обозначается х гар м.взв . Следовательно, средняя гармоническая тождественна средней арифметической. Она применяется тогда, когда неизвестны действительные веса, а известно произведение f x = z

В тех случаях, когда произведения f х одинаковы или равны единице (m=1), применяется средняя гармоническая простая, вычисляемая по формуле

где х - отдельные варианты; п - их число.

Средняя геометрическая

Этой средней удобно пользоваться, когда уделяется внимание не абсолютным разностям, а отношениям двух чисел. Поэтому средняя геометрическая используется в расчетах среднегодовых темпов роста

или

Это формула средней геометрической, которую можно сформулировать следующим образом:

Средняя геометрическаяравна корню степени п из произведения коэффициентов роста, характеризующих отношение величины каждого последующего периода к величине предыдущего.

Геометрическая средняя величина дает наиболее правильный ответ по содержанию результат осреднения, если задача состоит в нахождении такого значения признака, который качественно был бы равноудалён как от максимального, так и от минимального значения признака.

Пример, В результате инфляции за первый год цена товара возросла в два раза к предыдущему; за второй год – ещё в три раза к уровню предыдущего года. Ясно, что за два года цена выросла в 6 раз. Рассчитать средний темп роста цены за год?

В расчете среднего темпа роста арифметическая средняя – непригодна. Геометрическая средняя даёт правильный ответ.

Х = х 1 *х 2 = 2*3 = 6 = 2,45 раза.

Средняя квадратическая

Похожая информация.

Средние величины

В процессе обработки и обобщения статистических данных возникает необходимость определения средних величин. Средней величиной в статистике называется обобщающий показатель, характеризующий типичный уровень явления в конкретных условиях места и времени, отражающий величину варьирующего признака в расчете на единицу качественно однородной совокупности.

Важнейшее свойство средней величины заключается в том, что она отражает то общее, что присуще всем единицам исследуемой совокупности. Значения признака отдельных единиц совокупности могут колебаться в ту или иную сторону под влиянием множества факторов, среди которых как основные, так и случайные. При исчислении средних в силу действия закона больших чисел случайности взаимопогашаются, уравновешиваются, поэтому можно абстрагироваться от несущественных особенностей явления, от количественных значений признака в каждом конкретном случае. В способности абстрагироваться от случайности отдельных значений, колебаний и заключена научная ценность средних как обобщающих характеристик совокупностей. Так там, где возникает потребность обобщения, расчет таких характеристик приводит к замене множества различных индивидуальных значений признака средним показателем, характеризующим всю совокупность явлений, что позволяет выявить закономерности, присущие массовым общественным явлениям. Типичность средней непосредственным образом связана с однородностью статистической совокупности. Средняя величина только тогда будет отражать типичный уровень признака, когда она рассчитана по качественно однородной совокупности.

Каждая средняя характеризует изучаемую совокупность по какому-либо одному признаку, но для характеристики любой совокупности, описания ее типических черт и качественных особенностей нужна система средних показателей.

Выбор вида средней определяется экономическим содержанием определенного показателя и исходных данных. В каждом конкретном случае применяется одна из средних величин: арифметическая, гармоническая, геометрическая, квадратическая, кубическая и т.д. Перечисленные средние относятся к классу степенных средних и объединяются общей формулой (при разных значениях ш):

где * - среднее значение исследуемого явления; ш - показатель степени средней; х - текущее значение признака; п - число признаков.

В зависимости от значения показателя степени ш различают следующие виды степенных средних:

при ш = - 1 - средняя гармоническая х гар;
при ш = 0 - средняя геометрическая х г ;
при ш =1 - средняя арифметическая х ;
при ш =2 - средняя квадратическая х кв ;
при ш =3 - средняя кубическая х куб .

Это свойство степенных средних возрастает с повышением показателя степени определяющей функции и называется в статистике правилом мажорантности средних.

Наиболее распространенным видом является средняя арифметическая. Средней арифметической величиной называется такое значение признака в расчете на единицу совокупности, при вычислении которого общий объем признака в совокупности сохраняется неизменным. Она применяется в тех случаях, когда объем варьирующего признака для всей совокупности является суммой значении признаков отдельных ее единиц. Чтобы исчислить среднюю арифметическую, нужно сумму всех значений признаков разделить на их число.

Средняя арифметическая применяется в форме простой средней и взвешенной средней. Исходной, определяющей формой служит простая средняя.

Средняя арифметическая простая равна простой сумме отдельных значений осредняемого признака, деленной на общее число этих значений (она применяется в тех случаях, когда имеются несгруппиро- ванные индивидуальные значения признака):

где - индивидуальные значения варьирующего признака;

п - число единиц совокупности.

Средняя из вариантов, которые повторяются различное число раз, или имеют различный вес, называется взвешенной. В качестве весов выступают численности единиц разных группах совокупности (в группу объединяют одинаковые варианты). Средняя арифметическая

взвешенная - средняя сгруппированных величин Х 1 ,Х 2 ,Х 3 ...Х П - вычисляется по формуле:

где - веса (частоты повторения одинаковых признаков);

- сумма произведений величины признаков на их частоты;

- общая численность единиц совокупности.

Вычисление средней арифметической часто сопряжено с большими затратами времени и труда. Однако в ряде случаев процедуру расчета средней можно упростить и облегчить, если воспользоваться ее свойствами. К основным свойствам относится:

1. Если все индивидуальные значения признака уменьшить или увеличить в i раз, то среднее значение нового признака соответственно уменьшится или увеличится в i раз.
2. Если все варианты признака уменьшить или увеличить на число А, то средняя арифметическая соответственно уменьшится или увеличится на это же число А.
3. Если веса всех вариантов уменьшить или увеличить в К раз, то средняя арифметическая не изменится.

В качестве весов средней вместо абсолютных показателей можно использовать удельные веса в общем итоге. Тем самым достигается упрощение расчетов средней.

При расчете статистических показателей помимо средней арифметической могут использоваться и другие виды средних. Однако в каждом конкретном случае в зависимости от характера имеющихся данных существует только одно истинное среднее значение показателя, являющееся следствием реализации его исходного соотношения.

Отметим, что средняя арифметическая применяется в тех случаях, когда известны варианты варьирующего признака х и их частоты f, когда статистическая информация не содержит частот f по отдельным вариантам х совокупности, а представлена как их произведением xf ,

применяется формула средней гармонической. Она используется, когда известен числитель исходного соотношения средней, но неизвестен его знаменатель.

Средняя геометрическая применяется в тех случаях, когда индивидуальные значения признака представляют собой относительные величины динамики, построенные в виде цепных величин, как отношение к предыдущему уровню каждого уровня в ряду динамики, т.е. характеризует средний коэффициент роста.

Средняя геометрическая исчисляется извлечением корня степени п из произведений отдельных значений - вариантов признака х:

где п - число вариантов;

П - знак произведения.

Наиболее широкое применение средняя геометрическая получила для определения средних темпов изменения в рядах динамики, а также в рядах распределения.

В ряде случаев в экономической практике возникает потребность расчета среднего размера признака, выраженного в квадратных и кубических единицах измерения. Тогда применяется средняя квадратическая и средняя кубическая.

Формулы для расчета средней квадратической:

Средняя квадратическая простая является квадратным корнем из частного от деления суммы квадратов отдельных значений признака на их число:

Средняя квадратическая взвешенная:

Формулы для расчета средней кубической аналогичны:

Средняя кубическая простая:

Средняя кубическая взвешенная:

Средняя квадратическая и кубическая имеют ограниченное применение в практике статистики. Широко используется статистика средней квадратической.

Наиболее часто используемыми в экономической практике структурными средними являются мода и медиана. Модой распределения (°) называется такая величина изучаемого признака, которая в

данной совокупности встречается наиболее часто, т.е. один из вариантов признака повторяется чаще, чем все другие.

Рассмотрим определение моды по несгруппированным данным. Например: 10 студентов имеют следующие экзаменационные оценки: 5, 4, 3, 4, 5, 5, 3, 4, 4, 4. Так как в данной группе больше всего студентов получили 4, то это значение и будет модальным.

Для упорядоченного дискретного ряда распределения мода, являющаяся характеристикой вариационного ряда, определяется по частотам вариантов и соответствует варианту с наибольшей частотой.

Модальный интервал в случае интервального распределения с равными интервалами определяется по наибольшей частоте; с неравными интервалами - по наибольшей плотности, а определение моды требует проведения расчетов на основе следующей формуле:

где х т0 - нижняя граница модального интервала;

i m0 - величина модального интервала;

fmo ~ частота модального интервала;

fmo-i - частота интервала, предшествующего модальному;

fmo+i ~ частота интервала, следующего за модальным.

Медиана - вариант, который находится в середине вариационного ряда. Медиана делит ряд на две равные части. Чтобы найти медиану, необходимо отыскать значение признака, которое находится в середине упорядоченного ряда. В ранжированных рядах несгруппирован- ных данных нахождение медианы сводится к отысканию порядкового номера медианы.

Значение медианы для нечетного объема вычисляется по формуле:

где п - число членов ряда.

В интервальном ряду распределения сразу можно указать только интервал, в котором будет находиться медиана. Для определения ее величины используется специальная формула:

где х ие - нижняя граница интервала, который содержит медиану; i ие - медианный интервал;

- половина от общего числа наблюдений;

F m _ 1 - накопленная частота в интервале, предшествующему медианному;

fме " числ0 наблюдений в медианном интервале.

Таким образом, мода и медиана являются дополнительными к средней характеристиками совокупности и используются в математической статистике для анализа формы рядов распределения.

Контрольные вопросы и задания

1. Назовите виды статистических показателей. Приведите примеры.
2. Что понимается под абсолютными статистическими величинами и каково их значение? Приведите примеры абсолютных величин.
3. Всегда ли для анализа изучаемого явления достаточно одних абсолютных показателей?
4. Что называется относительными показателями?
5. Каковы основные условия правильного расчета относительной величины?
6. Какие виды относительных величин Вы знаете? Приведите примеры.
7. Дайте определение средней величины.
8. Какие виды средних величин применяются в статистике? Какие виды средних величин используются чаще всего?
9. Как исчисляется средняя арифметическая простая и в каких случаях она применяется?
10. Как исчисляется средняя арифметическая взвешенная и в каких случаях она применяется?
11. Как исчисляется средняя арифметическая из вариационного

12. Каковы основные свойства средней арифметической?
13. Для чего служит средняя гармоническая? Чем она отличается от средней арифметической?

Относительные величины структуры - это отношение между размерами части и целого. Они характеризуют состав, структуру совокупности. Форма представления - удельный вес или проценты. Сумма относительных величин структуры равняется 1 или 100%. Разницу между соответствующими долями двух совокупностей называют процентным пунктом.

Абсолютными величинами в статистике называются численности единиц и суммы по группам и в целом по совокупности, которые являются непосредственным результатом сводки и группировки данных.

Абсолютные величины - это именованные числа, то есть они имеют свои единицы измерения (например, штуки, тонны, гривны). В составе абсолютных показателей выделяют показатели численности совокупности (численность предприятий) и объема признаков (продукция, прибыль). Различают три группы измерителей признаков - натуральные, трудовые и стоимостные .

Натуральные измерители отражают присущие явлениям физические свойства (меры веса, длины, времени). Иногда используют комбинированные единицы измерения, которые представляют собой произведение величин разной размерности (производство электроэнергии в кВт-часах).

Не всегда абсолютные величины можно получить непосредственно суммируя значения признака у отдельных единиц. В этом случае отдельные слагаемые, входящие в абсолютную величину, приводят к соизмеримому выражению. Для этого часто используют условно-натуральные измерители . Так, например, при расчете количества потребленного топлива, разные его виды в соответствии с их теплотворной способностью выражают в единицах условного топлива, теплотворная способность которого 7000 кал/кг.

Трудовые измерители (человеко-час, человеко-смена) используются при измерении затрат труда на производство продукции или на выполнение отдельных работ, для определения производительности труда, а также для измерения трудовых ресурсов.

Стоимостные измерители дают возможность обобщить и сопоставить разнообразные явления. Их используют при определении таких важнейших показателей, как товарооборот, прибыль, капитальные вложения.

Зачастую абсолютная величина показателя рассчитывается по определенному правилу на основании других показателей. Например, валовая прибыль рассчитывается как разница между валовым доходом и валовыми издержками.

Многие абсолютные величины представляются в форме баланса, который предусматривает расчет показателя по двум разделам: по источникам формирования (приходная часть баланса) и по направлениям использования (расходная часть). Возможно представление абсолютных показателей и в динамической балансовой форме. Например, прирост количества единиц оборудования на предприятии за год можно представить как разность числа единиц оборудования на конец и начало года, а можно - как разность между числом единиц вновь введенного и выбывшего оборудования.

Глава 4.3. Относительные величины.

Относительные величины отображают количественные отношения социально-экономических явлений. Алгебраическая форма их - это частное от деления двух одноименных или разноименных величин. Знаменатель отношения рассматривается как база сравнения или основа относительной величины.

Базой сравнения могут быть 100, 1000, 10 000 или 100 000 единиц. Тогда относительная величина будет выражена соответственно в процентах (%), в промилле (%о), продецимилле (%оо), просантимилле (%ооо).

Применяют различные по содержанию и природе относительные величины.

Отношение между разноименными абсолютными величинами дает относительную величину интенсивности . Это именованная величина, в которой объединяются единицы измерения числителя и знаменателя. Например, производство продукции на душу населения. Относительные величины интенсивности характеризуют степень распространения или развития явления в определенной среде. В их состав также входят демографические коэффициенты (рождаемости, смертности, интенсивности миграционных потоков), которые исчисляются отношением числа событий (смерть, рождение)за определенный промежуток времени к средней численности населения за тот же период.

Сравнение одноименных величин позволяет выделить следующие виды относительных величин: структуры, координации, динамики, планового задания, выполнения плана, сравнения характеристик объектов.

Относительные величины координации - это соотношения между отдельными частями целого или отношения отдельных частей совокупности к одной из них, принятой за базу сравнения. Пример, число городских жителей, приходящихся на 100 сельских; число женщин, приходящихся на 100 мужчин. Эти величины выражаются в процентах, промилле или кратных отношениях (например, на 100 мужчин приходится 114 женщин).

Для оценки интенсивности развития используют относительную величину динамики , которая исчисляется отношением уровней изучаемого явления за два периода.

Относительные величины сравнения исчисляются как отношения одноименных показателей, характеризующих разные объекты или территории и имеющих одинаковую временную определенность.

Некоторые процессы планируются и для показателей, которые их отражают, устанавливают плановые задания. Путем сравнения плановых и фактических значений показателей исчисляют относительные величины: планового задания и выполнения плана .

Если обозначить фактический уровень текущего периода y1 , базового y0 и плановый уровень yпл , то относительную величину:

Кд= y1 / y0 ,

2) планового задания

Кпз =yпл / y0,

3) выполнения плана

Квп =y1 / yпл .

Глава 4.4. Виды и формы средних величин.

Средней величиной называется статистический показатель, который дает обобщенную характеристику варьирующего признака однородных единиц совокупности в конкретных условиях места и времени. Величина средней дает характеристику всей совокупности и характеризует ее в отношении одного, данного признака.

Средняя величина отражает то общее, что присуще всем единицам исследуемой совокупности.

Так, например, средняя заработная плата дает обобщающую количественную характеристику состояния оплаты труда рассматриваемой совокупности работников.

Сущность средней заключается в том, что в ней взаимопогашаются случайные отклонения значений признака и учитываются изменения, вызванные основным фактором.

Статистическая обработка методом средних величин заключается в замене индивидуальных значений варьирующего признака некоторой уравновешенной средней величиной Х.

Например, индивидуальная выработка у 5 операционистов коммерческого банка за день составила 136, 140, 154 и 162 операции. Чтобы получить среднее число операций за день, выполненных одним операционистом, необходимо сложить эти индивидуальные показатели и полученную сумму разделить на количество операционистов:

Как видно из приведенного примера, среднее число операций не совпадает ни с одним из индивидуальных, так как ни один операционист не сделал 150 операций. Но если мы представим себе, что каждый операционист сделал по 150 операций, то их общая сумма не изменится, а будет также равна 750. Таким образом, мы пришли к основному свойству средних величин: сумма индивидуальных значений признака равна сумме средних величин.

Это свойство еще раз подчеркивает, что средняя величина является обобщающей характеристикой всей статистической совокупности.

Средние величины делятся на два больших класса:

Степенные средние:

Арифметическая

Гармоническая

Геометрическая

Квадратическая

Структурные средние:

Мода

Медиана

Самым распространенным видом средней является средняя арифметическая:

Средняя арифметическая простая

Средняя арифметическая взвешенная

Средняя арифметическая для интервального ряда.

Простая среднеарифметическая величина представляет собой среднее слагаемое, при определении которого общий объем данного признака в совокупности данных поровну распределяется между всеми единицами, входящими в данную.

Так, среднегодовая выработка продукции на одного работающего - это такая величина объема продукции, которая приходилась бы на каждого работника, если бы весь объем выпущенной продукции в одинаковой степени распределялся между всеми сотрудниками организации. Среднеарифметическая простая величина исчисляется по формуле.

Наиболее распространённой формой статистических показателей является средняя величина, представляющая собой обобщенную количественную характеристику признака в статистической совокупности в конкретных условиях места и времени. Показатель в форме средней величины выражает типичные черты и дает обобщающую характеристику однотипных явлений по одному из варьирующих признаков. Широкое применение средних объясняется тем, что они имеют ряд положительных свойств, делающих их незаменимым инструментом анализа явлений и процессов в экономике.

Важнейшее свойство средней величины заключается в том, что она отражает то общее, что присуще всем единицам исследуемой совокупности. Значения признака отдельных единиц совокупности колеблются в ту или иную сторону под влиянием множества факторов, среди которых могут быть как основные, так и случайные. Например, курс акций корпорации в основном определяется финансовыми результатами ее деятельности. В то же время, в отдельные дни и на отдельных биржах эти акции в силу сложившихся обстоятельств могут продаваться по более высокому или заниженному курсу. Сущность средней в том и заключается, что в ней взаимопогашаются отклонения значений признака отдельных единиц совокупности, обусловленные действием случайных факторов, и учитываются изменения, вызванные действием основных факторов. Это позволяет средней отражать типичный уровень признака и абстрагироваться от индивидуальных особенностей отдельных единиц.

Типичность средней непосредственным образом связана с однородностью совокупности. Средняя величина только тогда будет отражать типичный уровень признака, когда она рассчитана по качественно однородной совокупности. Так, если мы рассчитаем средний курс по акциям всех предприятий, реализуемых в данный день на данной бирже, то получим фиктивную среднюю. Это будет объясняться тем, что используемая для расчета совокупность является крайне неоднородной. В этом и подобных случаях метод средних используется в сочетании с методом группировок: если совокупность неоднородна – общие средние должны быть заменены или дополнены групповыми средними, т.е. средними, рассчитанными по качественно однородным группам.

В теории средних используются следующие условные обозначения.

1.Признак, по которому определяется среднее, называется осредняемым признаком и обозначается .

2.Величина осредняемого признака у каждой единицы совокупности называется его индивидуальным значением и обозначается .

3.Повторяемость индивидуальных значений называется частотой и обозначается f .

4. Суммарное значение признака обозначается W .

Всякий количественный признак статистической совокупности имеет одно единственное среднее значение. Оно может быть рассчитано различными способами в зависимости от формы выражения осредняемого признака (абсолютной, относительной и средней) и имеющейся информации. В зависимости от степени k получаются различные виды средних.

1.Средняя арифметическая простая – наиболее распространенный вид средней

k =1

2.Средняя арифметическая взвешенная – используется в том случае, если известны индивидуальные значения признака и их частоты f . Каждый вариант «взвешивают» по своей частоте, т.е. умножают на нее. Частоты f при этом называют статистическими весами или просто весами средней .

Пример. По имеющимся данным рассчитаем средний стаж работы сотрудников

3.Средняя гармоническая простая используется в том случае, если необходимо чтобы при осреднении оставалась неизменной сумма величин, обратных индивидуальным значениям признака.

где – сумма обратных значений признака.

Пример . Автомобиль с грузом от предприятия до склада ехал со скоростью 40 км/ч, а обратно порожняком со скоростью 60км/ч. Какова средняя скорость автомобиля за обе поездки?

Пусть расстояние перевозки составило S км. Никакой роли при расчете средней скорости S не играет. При замене индивидуальных значений скорости на среднюю величину необходимо, чтобы неизменной величиной оставалось время, затраченное на обе поездки, иначе средняя скорость может оказаться любой – от скорости черепахи до скорости света. Время поездок равно . Итак,

Сократив все члены равенства на S, получим т.е. выполняется условие гармонической средней. Подставляя и , получаем

Арифметическая средняя 50 км/ч неверна, т.к. приводит к другому времени движения, чем на самом деле. Если расстояние равно 96 км, то реальное время движения составит

В статистической практике чаще применяется средняя гармоническая взвешенная.

4.Средняя гармоническая взвешенная используется, если известны индивидуальные значения признака и суммарные значения признака.

Пример

5.Средняя агрегатная используется, если известны суммарные значения признака и их частоты.

Пример . Определить среднюю стоимость продукции, если известно

6.Средняя квадратическая применяется для расчета среднеквадратического отклонения, являющегося показателем вариации, а также в технике

k =2

Средняя квадратическая взвешенная

7.Средняя геометрическая используется для расчета среднего темпа роста по цепной схеме k= 0

При k= 1 получаем арифметическую среднюю, при k= 2 – квадратическую, при k= 3 – кубическую, при k= 0 – геометрическую, при k= -1 – гармоническую среднюю. Чем выше показатель степени k , тем больше значение средней величины. Если все исходные значения признака равны, то и все средние равны const. Итак, имеем следующее соотношение, которое называется правилом мажорантности средних :

Пользуясь этим правилом, статистика может в зависимости от настроения и желания ее «знатока» либо «утопить», либо «выручить» студента, получившего в сессию оценки 2 и 5. Каков его средний бал?

Если судить по средней арифметической, то средний бал равен 3,5. Но если декан желает «утопить» несчастного и вычислит среднюю гармоническую то студент остается в среднем двоечником, не дотянувшим до тройки.

Однако студенческий совет может возразить декану и представить среднюю кубическую величину . Студент уже выглядит «хорошистом» и даже претендует на стипендию.

Структурные средние – мода и медиана – в отличие от степенных средних, которые в значительной степени являются абстрактной характеристикой совокупности, выступают как конкретные величины, совпадающие со вполне определенными вариантами совокупности. Это делает их незаменимыми при решении практических задач.

Мода – это наиболее часто встречающееся значение признака у единиц данной совокупности. Для дискретного ряда распределения мода определяется без расчета, путем просматривания столбца частот, и соответствует значению признака с наибольшей частотой. Из примера №1 наибольшая частота f=20 , что соответствует 4 тарифному разряду, следовательно M o =4.

Для интервального ряда распределения мода определяется по формуле

где – нижняя граница модального интервала;

– величина модального интервала;

– частоты интервала соответственно предшествующего модальному, модального и следующего за модальным.

Модальному соответствует интервал с наибольшей частотой.

Рассчитаем моду для примера № 2. Модальному соответствует интервал 130-140. Для него , = 140-130=10, =20,

Чаще всего норма выработки работников составляет 134%, чаще всего план перевыполняется на 34%.

Медиана – значение признака, который лежит в середине ранжированного ряда и делит его пополам. Ранжированный ряд – ряд, расположенный в порядке возрастания или убывания признака. Для дискретных вариационных рядов медиана не рассчитывается, а определяется путем просмотра ряда. Например, для пяти работников дневная норма выработки деталей составляет соответственно 10, 12, 15, 16 и 18 шт. М е является выработка третьего работника и равна 15 деталям. При четном количестве значений признака за медиану принимается полусумма значений признака, занимающих срединное значение. Н-р, при 10 значениях полусумма 5-го и 6-го значений признака.

Для интервального ряда медиана определяется по формуле

где – нижняя граница медианного интервала;

– величина медианного интервала;

– полусумма объема вариационного ряда;

– накопленная частота интервала, предшествующего медианному;

– частота медианного интервала.

Медианным называется интервал, соответствующий половине объема ряда. Для того, найти медианный интервал, необходимо накапливать частоты до тех пор, пока не будет найден интервал, содержащий в себе половину объема ряда.

Рассчитаем медиану для примера № 2. Медианный интервал 120-130, т.к. соответствующая ему накопленная частота содержит в себе половину объема ряда. Для него

– Половина работников выполняет норму выработки меньше, чем 129%, а другая половина рабочих выполняет норму выработки больше, чем 129%.

Введение 3
1. Понятие средней величины 4
2. Виды средних и способы их вычисления 8
3. Структурные средние 13
4. Показатели вариации 16
Заключение 21
Список литературы 22

Введение

Средние величины используются на этапе обработки и обобщения полученных первичных статистических данных. Потребность определения средних величин связана с тем, что у различных единиц исследуемых совокупностей индивидуальные значения одного и того же признака, как правило, неодинаковы.
Средней величиной называют показатель, который характеризует обобщенное значение признака или группы признаков в исследуемой совокупности.
Если исследуется совокупность с качественно однородными признаками, то средняя величина выступает здесь как типическая средняя. Например, для групп работников определенной отрасли с фиксированным уровнем дохода определяется типическая средняя расходов на предметы первой необходимости, т.е. типическая средняя обобщает качественно однородные значения признака в данной совокупности, каковым является доля расходов у работников данной группы на товары первой необходимости.
При исследовании совокупности с качественно разнородными признаками на первый план может выступить нетипичность средних показателей. Такими, к примеру, являются средние показатели произведенного национального дохода на душу населения (разные возрастные группы), средние показатели урожайности зерновых культур по всей территории России, средние показатели рождаемости населения по всем регионам страны, средние температуры за определенный период и т.д. Здесь средние величины обобщают качественно разнородные значения признаков или системных пространственных совокупностей или динамических совокупностей, протяженных во времени. Такие средние величины называют системными средними.
1. Понятие средней величины

Как правило, многие признаки единиц статистических совокупностей различны по своему значению, например, заработная плата рабочих одной профессии какого-либо предприятия не одинакова за один и тот же период времени, различны урожайность сельскохозяйственных культур в хозяйствах района и цены на рынке на одинаковую продукцию и т.д. Поэтому, чтобы определить значение признака, характерное для всей изучаемой совокупности единиц, прибегают к расчету средних величин .
Средней величиной в статистике называется обобщающий показатель, характеризующий типичный уровень явления в конкретных условиях места и времени, отражающий величину варьирующего признака в расчете на единицу качественно однородной совокупности. В экономической практике используется широкий круг показателей, вычисленных в виде средних величин.
Например, обобщающим показателем доходов рабочих акционерного общества (АО) служит средний доход одного рабочего, определяемый отношением фонда заработной платы и выплат социального характера за рассматриваемый период (год, квартал, месяц) к численности рабочих АО. Для лиц с достаточно однородным уровнем доходов, например, работников бюджетной сферы и пенсионеров по старости (исключая имеющих льготы и дополнительные доходы) можно определить типичные доли расходов на покупку предметов питания. Так можно говорить о средней продолжительности рабочего дня, среднем тарифном разряде рабочих, среднем уровне производительности труда и т.д.
Вычисление среднего - один из распространенных приемов обобщения; средний показатель отражает то общее, что характерно (типично) для всех единиц изучаемой совокупности, в то же время он игнорирует различия отдельных единиц. В каждом явлении и его развитии имеет место сочетание случайности и необходимости. При исчислении средних в силу действия закона больших чисел случайности взаимопогашаются, уравновешиваются, поэтому можно абстрагироваться от несущественных особенностей явления, от количественных значений признака в каждом конкретном случае. В способности абстрагироваться от случайности отдельных значений, колебаний и заключена научная ценность средних как обобщающих характеристик совокупностей .
Там, где возникает потребность обобщения, расчет таких характеристик приводит к замене множества различных индивидуальных значений признака средним показателем, характеризующим всю совокупность явлений, что позволяет выявить закономерности, присущие массовым общественным явлениям, незаметные в единичных явлениях.
Средняя отражает характерный, типичный, реальный уровень изучаемых явлений, характеризует эти уровни и их изменения во времени и в пространстве.
Средняя - это сводная характеристика закономерностей процесса в тех условиях, в которых он протекает.
Анализ средних выявляет, например, закономерности изменения производительности труда, заработной платы рабочих отдельного предприятия на определенном этапе его экономического развития, изменения климата в конкретном пункте земного шара на основе многолетних наблюдений средней температуры воздуха и др.
Однако для того, чтобы средний показатель был действительно типизирующим, он должен определяться не для любых совокупностей, а только для совокупностей, состоящих из качественно однородных единиц. Это является основным условием научно обоснованного использования средних.
Средние, полученные для неоднородных совокупностей, будут искажать характер изучаемого общественного явления, фальсифицировать его, или будут бессмысленными. Так, если рассчитать средний уровень доходов служащих какого-либо района, то получится фиктивный средний показатель, поскольку для его исчисления использована неоднородная совокупность, включающая в себя служащих предприятий различных типов (государственных, совместных, арендных, акционерных), а также органов государственного управления, сферы науки, культуры, образования и т.п. В таких случаях метод средних используется в сочетании с методом группировок, позволяющим выделить однородные группы, по которым и исчисляются типические групповые средние.
Групповые средние позволяют избежать "огульных" средних, обеспечивают сравнение уровней отдельных групп с общим уровнем по совокупности, выявление имеющихся различий и т.д.
Однако нельзя сводить роль средних только к характеристике типических значений признаков в однородных по данному признаку совокупностях. На практике современная статистика использует так называемые системные средние, обобщающие неоднородные явления (характеристики государства, единой народнохозяйственной системы: например, средний национальный доход" на душу населения, средняя урожайность зерновых по всей стране, средний реальный доход на душу населения, среднее потребление продуктов питания на душу населения, производительность общественного труда).
В современных условиях развития рыночных отношений в экономике средние служат инструментом изучения объективных закономерностей социально-экономических явлений. Однако в экономическом анализе нельзя ограничиваться лишь средними показателями, так как за общими благоприятными средними могут скрываться и крупные серьезные недостатки в деятельности отдельных хозяйствующих субъектов, и ростки нового, прогрессивного. Так, например, распределение населения по доходу позволяет выявлять формирование новых социальных групп. Поэтому наряду со средними статистическими данными необходимо учитывать особенности отдельных единиц совокупности.
Средняя должна исчисляться для совокупности, состоящей из достаточно большого числа единиц, так как в этом случае согласно закону больших чисел взаимопогашаются случайные, индивидуальные различия между единицами, и они не оказывают существенного влияния на среднее значение, что способствует проявлению основного, существенного, присущего всей массе. Если основываться на среднем из небольшой группы данных, то можно сделать неправильные выводы, поскольку такой средний показатель будет отражать значительное влияние индивидуальных особенностей, т.е. случайных моментов, не характерных для изучаемой совокупности в целом.
Каждая средняя характеризует изучаемую совокупность по какому-либо одному признаку, но для характеристики любой совокупности, описания ее типических черт и качественных особенностей нужна система средних показателей. Поэтому в практике отечественной статистики для изучения социально-экономических явлений, как правило, исчисляется система средних показателей. Так, например, показатели средней заработной платы оцениваются совместно с показателями средней выработки, фондовооруженности и энерговооруженности труда, степенью механизации и автоматизации работ и др.
Средняя должна вычисляться с учетом экономического содержания исследуемого показателя. Поэтому для конкретного показателя, используемого в социально-экономическом анализе, можно исчислить только одно истинное значение средней на базе научного способа расчета.

Остановимся на некоторых общих принципах применения средних величин.
1. Средняя должна определяться для совокупностей, состоящих из качественно однородных единиц.
2. Средняя должна исчисляться для совокупности, состоящей из достаточно большого числа единиц.
3. Средняя должна рассчитываться для совокупности, единицы которой находятся в нормальном, естественном состоянии.
4. Средняя должна вычисляться с учетом экономического содержания исследуемого показателя.

2. Виды средних и способы их вычисления

Рассмотрим теперь виды средних величин, особенности их исчисления и области применения. Средние величины делятся на два больших класса: степенные средние, структурные средние.
К степенным средним относятся такие наиболее известные и часто применяемые виды, как средняя геометрическая, средняя арифметическая и средняя квадратическая.
В качестве структурных средних рассматриваются мода и медиана.

СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ

Степенные средние: Структурные средние:
гармоническая
арифметическая
кубическая
геометрическая
квадратическая мода
медиана
квартиль
дециль

Остановимся на степенных средних. Степенные средние в зависимости от представления исходных данных могут быть простыми и взвешенными. Простая средняя считается по не сгруппированным данным и имеет следующий общий вид:
,
где Xi – варианта (значение) осредняемого признака;

n – число вариант.
Взвешенная средняя считается по сгруппированным данным и имеет общий вид
,
где Xi – варианта (значение) осредняемого признака или серединное значение интервала, в котором измеряется варианта;
m – показатель степени средней;
fi – частота, показывающая, сколько раз встречается i-e значение осредняемого признака.
Приведем в качестве примера расчет среднего возраста студентов в группе из 20 человек:
№ п/п
Возраст
(лет) № п/п Возраст
(лет) № п/п Возраст
(лет) № п/п Возраст
(лет)
1
2
3
4
5 18
18
19
20
19 6
7
8
9
10 20
19
19
19
20 11
12
13
14
15 22
19
19
20
20 16
17
18
19
20 21
19
19
19
19

Средний возраст рассчитаем по формуле простой средней:

Сгруппируем исходные данные. Получим следующий ряд распределения:

Возраст, Х лет 18 19 20 21 22 Всего
Число студентов 2 11 5 1 1 20

В результате группировки получаем новый показатель – частоту, указывающую число студентов в возрасте Х лет. Следовательно, средний возраст студентов группы будет рассчитываться по формуле взвешенной средней:

Общие формулы расчета степенных средних имеют показатель степени (m). В зависимости от того, какое значение он принимает, различают следующие виды степенных средних:
средняя гармоническая, если m = -1;
средняя геометрическая, если m –> 0;
средняя арифметическая, если m = 1;
средняя квадратическая, если m = 2;
средняя кубическая, если m = 3.
Если рассчитать все виды средних для одних и тех же исходных данных, то значения их окажутся неодинаковыми. Здесь действует правило мажорантности средних: с увеличением показателя степени m увеличивается и соответствующая средняя величина:

В статистической практике чаще, чем остальные виды средних взвешенных, используются средние арифметические и средние гармонические взвешенные.
Таблица 1
Виды степенных средних

Вид степенной
средней Показатель
степени (m) Формула расчета
Простая Взвешенная
Гармоническая -1

Геометрическая 0

Арифметическая 1

Квадратическая 2

Кубическая 3

Средняя гармоническая имеет более сложную конструкцию, чем средняя арифметическая. Среднюю гармоническую применяют для расчетов тогда, когда в качестве весов используются не единицы совокупности – носители признака, а произведения этих единиц на значения признака (т.е. m = Xf). К средней гармонической простой следует прибегать в случаях определения, например, средних затрат труда, времени, материалов на единицу продукции, на одну деталь по двум (трем, четырем и т.д.) предприятиям, рабочим, занятым изготовлением одного и того же вида продукции, одной и той же детали, изделия.
Главное требование к формуле расчета среднего значения заключается в том, чтобы все этапы расчета имели реальное содержательное обоснование; полученное среднее значение должно заменить индивидуальные значения признака у каждого объекта без нарушения связи индивидуальных и сводных показателей. Иначе говоря, средняя величина должна исчисляться так, чтобы при замене каждого индивидуального значения осредняемого показателя его средней величиной оставался без изменения некоторый итоговый сводный показатель, связанный тем или другим образом с осредняемым. Этот итоговый показатель называется определяющим, поскольку характер его взаимосвязи с индивидуальными значениями определяет конкретную формулу расчета средней величины. Покажем это правило на примере средней геометрической.
Формула средней геометрической

используется чаще всего при расчете среднего значения по индивидуальным относительным величинам динамики.
Средняя геометрическая применяется, если задана последовательность цепных относительных величин динамики, указывающих, например, на рост объема производства по сравнению с уровнем предыдущего года: i1, i2, i3,..., in. Очевидно, что объем производства в последнем году определяется начальным его уровнем (q0) и последующим наращиванием по годам:
qn=q0× i1× i2×...×in.
Приняв qn в качестве определяющего показателя и заменяя индивидуальные значения показателей динамики средними, приходим к соотношению

3. Структурные средние

Особый вид средних величин – структурные средние – применяется для изучения внутреннего строения рядов распределения значений признака, а также для оценки средней величины (степенного типа), если по имеющимся статистическим данным ее расчет не может быть выполнен (например, если бы в рассмотренном примере отсутствовали данные и об объеме производства, и о сумме затрат по группам предприятий).
В качестве структурных средних чаще всего используют показатели моды – наиболее часто повторяющегося значения признака – и медианы – величины признака, которая делит упорядоченную последовательность его значений на две равные по численности части. В итоге у одной половины единиц совокупности значение признака не превышает медианного уровня, а у другой – не меньше его.
Если изучаемый признак имеет дискретные значения, то особых сложностей при расчете моды и медианы не бывает. Если же данные о значениях признака Х представлены в виде упорядоченных интервалов его изменения (интервальных рядов), расчет моды и медианы несколько усложняется. Поскольку медианное значение делит всю совокупность на две равные по численности части, оно оказывается в каком-то из интервалов признака X. С помощью интерполяции в этом медианном интервале находят значение медианы:
,
где XMe – нижняя граница медианного интервала;
hMe – его величина;
(Sum m)/2 – половина от общего числа наблюдений или половина объема того показателя, который используется в качестве взвешивающего в формулах расчета средней величины (в абсолютном или относительном выражении);
SMe-1 – сумма наблюдений (или объема взвешивающего признака), накопленная до начала медианного интервала;
mMe – число наблюдений или объем взвешивающего признака в медианном интервале (также в абсолютном либо относительном выражении).
В данном примере могут быть получены даже три медианных значения – исходя из признаков количества предприятий, объема продукции и общей суммы затрат на производство:

Таким образом, у половины предприятий уровень себестоимость единицы продукции превышает 125,19 тыс. руб., половина всего объема продукции производится с уровнем затрат на изделие больше 124,79 тыс. руб. и 50 % общей суммы затрат образуется при уровне себестоимости одного изделия выше 125,07 тыс. руб. Заметим также, что наблюдается некоторая тенденция к росту себестоимости, так как Ме2 = 124,79 тыс. руб., а средний уровень равен 123,15 тыс. руб.
При расчете модального значения признака по данным интервального ряда надо обращать внимание на то, чтобы интервалы были одинаковыми, поскольку от этого зависит показатель повторяемости значений признака X. Для интервального ряда с равными интервалами величина моды определяется как
,
где ХMo – нижнее значение модального интервала;
mMo – число наблюдений или объем взвешивающего признака в модальном интервале (в абсолютном либо относительном выражении);
mMo-1 – то же для интервала, предшествующего модальному;
mMo+1 – то же для интервала, следующего за модальным;
h – величина интервала изменения признака в группах.
Для нашего примера можно рассчитать три модальных значения исходя из признаков числа предприятий, объема продукции и суммы затрат. Во всех трех случаях модальный интервал один и тот же, так как для одного и того же интервала оказываются наибольшими и число предприятий, и объем продукции, и общая сумма затрат на производство:

Таким образом, чаще всего встречаются предприятия с уровнем себестоимости 126,75 тыс. руб., чаще всего выпускается продукция с уровнем затрат 126,69 тыс. руб., и чаще всего затраты на производство объясняются уровнем себестоимости в 123,73 тыс. руб.

4. Показатели вариации

Конкретные условия, в которых находится каждый из изучаемых объектов, а также особенности их собственного развития (социальные, экономические и пр.) выражаются соответствующими числовыми уровнями статистических показателей. Таким образом, вариация, т.е. несовпадение уровней одного и того же показателя у разных объектов, имеет объективный характер и помогает познать сущность изучаемого явления.
Для измерения вариации в статистике применяют несколько способов.
Наиболее простым является расчет показателя размаха вариации Н как разницы между максимальным (Xmax) и минимальным (Xmin) наблюдаемыми значениями признака:
H=Xmax - Xmin.
Однако размах вариации показывает лишь крайние значения признака. Повторяемость промежуточных значений здесь не учитывается.
Более строгими характеристиками являются показатели колеблемости относительно среднего уровня признака. Простейший показатель такого типа – среднее линейное отклонение Л как среднее арифметическое значение абсолютных отклонений признака от его среднего уровня:

При повторяемости отдельных значений Х используют формулу средней арифметической взвешенной:

(Напомним, что алгебраическая сумма отклонений от среднего уровня равна нулю.)
Показатель среднего линейного отклонения нашел широкое применение на практике. С его помощью анализируются, например, состав работающих, ритмичность производства, равномерность поставок материалов, разрабатываются системы материального стимулирования. Но, к сожалению, этот показатель усложняет расчеты вероятностного типа, затрудняет применение методов математической статистики. Поэтому в статистических научных исследованиях для измерения вариации чаще всего применяют показатель дисперсии.
Дисперсия признака (s2) определяется на основе квадратической степенной средней:
.
Показатель s, равный, называется средним квадратическим отклонением.
В общей теории статистики показатель дисперсии является оценкой одноименного показателя теории вероятностей и (как сумма квадратов отклонений) оценкой дисперсии в математической статистике, что позволяет использовать положения этих теоретических дисциплин для анализа социально-экономических процессов.
Если вариация оценивается по небольшому числу наблюдений, взятых из неограниченной генеральной совокупности, то и среднее значение признака определяется с некоторой погрешностью. Расчетная величина дисперсии оказывается смещенной в сторону уменьшения. Для получения несмещенной оценки выборочную дисперсию, полученную по приведенным ранее формулам, надо умножить на величину n / (n - 1). В итоге при малом числе наблюдений (< 30) дисперсию признака рекомендуется вычислять по формуле
.
Обычно уже при n > (15÷20) расхождение смещенной и несмещенной оценок становится несущественным. По этой же причине обычно не учитывают смещенность и в формуле сложения дисперсий.
Если из генеральной совокупности сделать несколько выборок и каждый раз при этом определять среднее значение признака, то возникает задача оценки колеблемости средних. Оценить дисперсию среднего значения можно и на основе всего одного выборочного наблюдения по формуле
,
где n – объем выборки; s2 – дисперсия признака, рассчитанная по данным выборки.
Величина носит название средней ошибки выборки и является характеристикой отклонения выборочного среднего значения признака Х от его истинной средней величины. Показатель средней ошибки используется при оценке достоверности результатов выборочного наблюдения.
Показатели относительного рассеивания. Для характеристики меры колеблемости изучаемого признака исчисляются показатели колеблемости в относительных величинах. Они позволяют сравнивать характер рассеивания в различных распределениях (различные единицы наблюдения одного и того же признака в двух совокупностях, при различных значениях средних, при сравнении разноименных совокупностей). Расчет показателей меры относительного рассеивания осуществляют как отношение абсолютного показателя рассеивания к средней арифметической, умножаемое на 100%.
1. Коэффициентом осцилляции отражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней
.
2. Относительное линейное отключение характеризует долю усредненного значения признака абсолютных отклонений от средней величины
.
3. Коэффициент вариации:

является наиболее распространенным показателем колеблемости, используемым для оценки типичности средних величин.
В статистике совокупности, имеющие коэффициент вариации больше 30–35 %, принято считать неоднородными.
У такого способа оценки вариации есть и существенный недостаток. Действительно, пусть, например, исходная совокупность рабочих, имеющих средний стаж 15 лет, со средним квадратическим отклонением s = 10 лет, «состарилась» еще на 15 лет. Теперь = 30 лет, а среднеквадратическое отклонение по-прежнему равно 10. Совокупность, ранее бывшая неоднородной (10/15 × 100 = 66,7%), со временем оказывается, таким образом, вполне однородной (10/30 × 100 = 33,3 %).

Заключение

Средняя величина – это обобщающий показатель, характеризующий типический уровень явления. Он выражает величину признака, отнесенную к единице совокупности.
Средняя всегда обобщает количественную вариацию признака, т.е. в средних величинах погашаются индивидуальные различия единиц совокупности, обусловленные случайными обстоятельствами. В отличие от средней абсолютная величина, характеризующая уровень признака отдельной единицы совокупности, не позволяет сравнивать значения признака у единиц, относящихся к разным совокупностям.
Для того, чтобы средний показатель был действительно типизирующим, он должен рассчитываться с учетом определенных принципов.
Таким образом, значение средних величин состоит в их обобщающей функции. Средняя величина заменяет большое число индивидуальных значений признака, обнаруживая общие свойства, присущие всем единицам совокупности. Это, в свою очередь, позволяет избежать случайных причин и выявить общие закономерности, обусловленные общими причинами.

Список литературы

1. Григорьева Р.П. Статистика. – М.: Изд-во Михайлова, 2008. – 366c.
2. Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики. – М.: Финансы и статистика, 2004. – 298с.
3. Золотарев А.А.Статистика. – М.: Владос, 2008. – 378с.
4. Макроэкономическая статистика. – М.: Дело, 2009. – 452с.
5. Сиденко А.В. Статистика. – М.: Финансы и статистика, 2004. – 502с.
6. Статистика. Курс лекций. Л.П. Харченко, В.Г. Ионин и др. Новосибирск, НГАЭиУ, 2007. – 228с.
7. Теория статистики / Под ред. Р.А.Шмойловой. – М.: Финансы и статистика, 2009. – 318с.
8. Ячиков Р.А. Теория статистики. – М.: Финансы и статистика, 2008. – 484с.

Контрольные работы в Магнитогорске, контрольную работу купить, курсовые работы по праву, купить курсовую работу по праву, курсовые работы в РАНХиГС, курсовые работы по праву в РАНХиГС, дипломные работы по праву в Магнитогорске, дипломы по праву в МИЭП, дипломы и курсовые работы в ВГУ, контрольные работы в СГА, магистерские диссертации по праву в Челгу.