Историја на развојот на теоријата на веројатност. Предмет

Либерт Елена

Возбудата и желбата да се збогатат дадоа поттик за појавата на нова исклучително важна математичка дисциплина: теоријата на веројатност. Во развојот на нејзините темели учествуваа математичари од таков раст како Паскал, Фермат и Хајгенс.

Преземи:

Преглед:

Средно училиште МБОУ бр. 8, Јарцево, Смоленск

Математички проект:

„Историјата на појавата на теоријата на веројатност“

Подготви: ученик од 11 одделение

средно училиште бр.8 Либерт Елена

Раководител: наставник по математика

Борисенкова Олга Владимировна

Г.Јарцево, 2015 г

Историја на појавата на теоријата на веројатност………………………………………………………………………………..

Средновековна Европа и почетокот на модерните времиња………………………….4

17 век: Паскал, Фермат, Хајгенс………………………………………….5

XVIII век………………………………………………………………………….7

XIX век. Општи трендови и критика……………………………………..7

Примена на теоријата на веројатност во 19-20 век…………………………..…8

Астрономија……………………………………………………….8
Физика…………………………………………………………………9
Биометрика………………………………………………………………9
Земјоделство…………………………………………………..9
Индустрија………………………………………………………………………..10
Медицина…………………………………………………………………………………………………….
Биоинформатика……………………………………………………………….
Економика и банкарство……………………………………….11

Историја на појавата на теоријата на веројатност

Еден француски благородник, извесен Monsieur de Mere, бил коцкар со коцки и страсно сакал да се збогати. Потроши многу време откривајќи ја тајната на коцките. Тој измислил различни опции за играта, претпоставувајќи дека на тој начин ќе стекне големо богатство. Така, на пример, тој предложи да се фрли една матрица 4 пати по ред и го убеди својот партнер дека барем еднаш ќе се појави шестка. Ако во 4 фрлања не излезе шестка, тогаш противникот победи.

Во тоа време, гранката на математиката која денес ја нарекуваме теорија на веројатност сè уште не постоела, и затоа, за да се увери дали неговите претпоставки се точни, г-дин Мере се обратил кон својот пријател, познатиот математичар и филозоф Б. со барање да проучи две познати прашања, од кои првото се обиде сам да го реши. Прашањата беа:

Колку пати мора да се фрлат две коцки, така што бројот на фрлени две шестки одеднаш е повеќе од половина од вкупниот број фрлања?

Како прилично да се подели облогот за пари на двајца играчи ако поради некоја причина ја прекинале играта предвреме?

Паскал не само што се заинтересирал за ова, туку и напишал писмо до познатиот математичар П. Фермат, што го испровоцирало да ги проучува општите закони на коцките и веројатноста за победа.

Така, возбудата и жедта да се збогатат дадоа поттик за појавата на нова исклучително значајна математичка дисциплина: теоријата на веројатност. Математичари од таков калибар како Паскал и Фермат, Хајгенс (1629-1695), кој ја напишал расправата „За пресметките во коцкањето“, Јакоб Бернули (1654-1705), Моивр (1667-1754), Лаплас (1749-1827), Гаус (1777-1855) и Поасон (1781-1840). Во денешно време, теоријата на веројатност се користи во речиси сите гранки на знаење: статистика, прогнозери (временска прогноза), биологија, економија, технологија, градежништво итн.

Средновековна Европа и почетокот на модерното време

Првите проблеми од веројатност се појавија во разни игри на среќа - коцки, карти итн. Францускиот канон Ричард де Фурнивал од 13 век правилно ги пресметал сите можни збирови на поени по фрлањето три коцки и го посочил бројот на начини на кои секоја од овие може да се добијат суми. Овој број начини може да се смета како прва нумеричка мерка за очекуваноста на некој настан, слично на веројатноста. Пред Четиривалот, а понекогаш и по него, оваа мерка честопати се пресметуваше погрешно, имајќи предвид, на пример, дека збировите од 3 и 4 поени се подеднакво веројатни, бидејќи и двете може да се добијат „само на еден начин“: со резултатите од фрлањето „ три еден“ и „два со две единици“ соодветно. Притоа, не беше земено предвид дека трите всушност се добиваат само на еден начин: ~1+1+1, а два со две се добиваат на три начини: ~1+1+2;\; 1+2+1;\;2+ 1+1, така што овие настани не се подеднакво веројатни. Слични грешки постојано се случувале во подоцнежната историја на науката.

Обемната математичка енциклопедија „Збир на аритметика, геометрија, односи и пропорции“ од Италијанецот Лука Пачиоли (1494) содржи оригинални проблеми на тема: како да се подели облогот помеѓу двајца играчи ако серијата игри се прекинат рано. Пример за таков проблем: играта оди до 60 поени, победникот го добива целиот облог од 22 дукати, за време на играта првиот играч постигна 50 поени, вториот - 30, а потоа играта мораше да се прекине; оригиналниот облог мора да се подели праведно. Решението зависи од тоа што се подразбира под „фер“ поделба; Самиот Пачиоли предложи поделба пропорционално на освоените бодови (55/4 и 33/4 дукати); подоцна беше утврдено дека неговата одлука е погрешна.

Распределба на збирот на поени по фрлање две коцки

Главниот алгебарист од 16 век, Џероламо Кардано, посвети значителна монографија на анализата на играта „Книгата на играта на коцки“ (1526 година, објавена постхумно). Кардано изврши целосна и без грешки комбинаторна анализа за вредностите на збирот на поени и за различни настани ја посочи очекуваната вредност на процентот на „поволни“ настани: на пример, при фрлање три коцки, процентот на случаи во кои вредностите на сите 3 коцки се совпаѓаат е еднаква на 6/216 или 1/36. Кардано даде остроумна забелешка: вистинскиот број на проучувани настани може, со мал број игри, многу да се разликува од теоретскиот, но колку повеќе игри во серијата, толку е помал делот од оваа разлика. Во суштина, Кардано се приближи до концептот на веројатност:

Значи, постои едно општо правило за пресметување: треба да го земете предвид вкупниот број на можни капки и бројот на начини на кои овие капки може да се појават, а потоа да го пронајдете односот на последниот број со бројот на преостанати можни капки .

Друг италијански алгебарист, Николо Тартаља, го критикуваше пристапот на Пачиоли за решавање на проблемот со поделбата на облогот: на крајот на краиштата, ако некој од играчите сè уште не постигнал ниту еден поен, тогаш алгоритмот на Пачиоли му го дава целиот облог на неговиот противник, но тоа тешко може да се нарече фер, бидејќи се уште има некои шанси за освојување на заостанатите. Кардано и Тартаља предложија свои (различни) методи на поделба, но подоцна овие методи се сметаа за неуспешни.

Галилео Галилеј, исто така, ја проучувал оваа тема, пишувајќи трактат „За приносот на поени во игра со коцки“ (1718, објавен постхумно). Презентацијата на теоријата на играта на Галилео се одликува со неговата исцрпна комплетност и јасност. Во својата главна книга „Дијалог за двата главни системи на светот, Птолемеј и Коперник“, Галилео, исто така, ја посочил можноста за проценка на грешката на астрономските и другите мерења и изјавил дека малите грешки во мерењето се поверојатни отколку големите. отстапувањата во двете насоки се подеднакво веројатни, а просечниот резултат треба да биде блиску до вистинската вредност на измерената величина. Овие квалитативни размислувања станаа првото предвидување за нормална дистрибуција на грешки.

17 век: Паскал, Фермат, Хајгенс

Во 17 век почна да се формира јасно разбирање на проблемите на теоријата на веројатност и се појавија првите математички (комбинаторни) методи за решавање на веројатност. Основачи на математичката теорија на веројатност биле Блез Паскал и Пјер Ферма.

Пред ова, аматерскиот математичар Шевалие де Мере му се обратил на Паскал за таканаречениот „проблем со поени“: колку пати треба да фрлите две коцки за да се обложите дека ќе добиете две шестки барем еднаш во исто време за да бидете профитабилни ? Паскал и Ферма влегоа во кореспонденција меѓу себе во врска со овој проблем и поврзаните прашања (1654). Како дел од оваа кореспонденција, научниците разговараа за голем број проблеми поврзани со веројатните пресметки; особено се разгледуваше стариот проблем на поделба на облогот и двајцата научници дојдоа до одлука дека е неопходно да се поделат облогот според преостанатите шанси за победа. Паскал му ја посочил на Де Мере грешката што ја направил при решавањето на „проблемот со поени“: додека Де Мере погрешно ги идентификувал подеднакво веројатните настани, добивајќи одговор: 24 фрлања, Паскал го дал точниот одговор: 25 фрлања.

Паскал во своите дела далеку ја унапредил употребата на комбинаторни методи, кои ги систематизирал во својата книга „Трактат за аритметичкиот триаголник“ (1665). Врз основа на веројатен пристап, Паскал дури тврдеше (во постхумно објавените белешки) дека да се биде верник е попрофитабилно отколку да се биде атеист.

Хајгенс првпат го употребил терминот „вредност“, а терминот „очекување“ се појавил за прв пат кога Ван Шутен ја превел расправата на Хајгенс на латински и станал општо прифатен во науката.

Книгата содржи голем број проблеми, некои со решенија, други „за независно решение“. Од второто, „проблемот со уништување на играчот“ предизвика особен интерес и жива дискусија. Во малку генерализирана форма, тој е формулиран на следниов начин: играчите А и Б имаат монети a и b, соодветно, една монета се добива во секоја игра, веројатноста А да победи во секоја игра е p, треба да ја пронајдете веројатноста за неговата целосна пропаст. Целосно општо решение за „проблемот со урнатините“ беше дадено од Абрахам де Моивр половина век подоцна (1711). Во денешно време, веројатностата шема на „проблемот со урнатини“ се користи за решавање на многу проблеми со случајно одење.

Хајгенс, исто така, го анализирал проблемот со поделбата на облогот, давајќи го неговото конечно решение: облогот мора да се подели пропорционално на веројатностите за победа кога играта продолжува. Тој, исто така, беше пионер во примената на веројатните методи во демографската статистика и покажа како да се пресмета просечниот животен век.

Публикациите на англиските статистичари Џон Граунт (1662) и Вилијам Пети (1676, 1683) датираат од истиот период. Имајќи обработени податоци повеќе од еден век, тие покажаа дека многу демографски карактеристики на населението во Лондон, и покрај случајните флуктуации, се доста стабилни - на пример, односот на бројот на новородени момчиња и девојчиња ретко отстапува од пропорцијата од 14 до 13. , а има и мали флуктуации во процентот на смртни случаи од специфични случајни причини. Овие податоци ја подготвија научната заедница да прифати нови идеи.

Граунт исто така беше првиот што составил табели за смртност - табели за веројатноста за смрт во функција на возраста. Прашањата за теоријата на веројатност и нејзината примена во демографската статистика беа разгледани и од Јохан Хад и Јан де Вит во Холандија, кои во 1671 година, исто така, составија табели за смртност и ги користеа за пресметување на големината на доживотните ануитети. Овој опсег на прашања беше подетално наведен во 1693 година од Едмунд Хали.

XVIII век

Расправите на Пјер де Монмор, „Искуство во проучувањето на коцкањето“, кои се појавија на почетокот на 18 век (објавено во 1708 година и повторно објавено со додатоци во 1713 година) и „Уметноста на претпоставките“ на Јакоб Бернули (објавена по смртта на научникот, во истата 1713 година) беа засновани на книгата на Хајгенс). Последново беше особено важно за теоријата на веројатност.

19ти век

Општи трендови и критики

Во 19 век, бројот на трудови за теоријата на веројатност продолжи да расте, па дури имаше обиди кои ја компромитираат науката да ги прошири своите методи далеку над разумните граници - на пример, во областа на моралот, психологијата, спроведувањето на законот, па дури и теологијата. . Посебно, велшкиот филозоф Ричард Прајс, а по него и Лаплас, сметале дека е можно да се пресмета веројатноста за претстојното изгрејсонце користејќи ги формулите на Бајс, Поасон, се обидел да спроведе веројатна анализа на правичноста на судските пресуди и веродостојноста на сведочењето на сведоците. Филозофот Ј. Оваа и другите проценки укажуваат на недоволна строгост во оправдувањето на теоријата на веројатност.

Во меѓувреме, математичкиот апарат на теоријата на веројатност продолжи да се подобрува. Главната област на нејзината примена во тоа време беше математичката обработка на резултатите од набљудувањето кои содржат случајни грешки, како и пресметките на ризиците во осигурителната дејност и други статистички параметри. Меѓу главните применети проблеми на теоријата на веројатност и математичката статистика од 19 век се следниве:

најдете ја веројатноста дека збирот на независни случајни променливи со ист (познат) закон за распределба е во одредени граници. Овој проблем беше од особено значење за теоријата на мерните грешки, пред се за проценка на грешката на набљудувањата;

утврдување на статистичката значајност на разликата помеѓу случајни вредности или серии од такви вредности. Пример: споредување на резултатите од нов и стар тип на лек за да се одлучи дали новиот лек е навистина подобар;

проучување на влијанието на даден фактор врз случајна променлива (факторска анализа).

До средината на 19 век, се формираше веројатноста за артилериско гаѓање. Повеќето големи европски земји имаат основано национални статистички организации. На крајот на векот, полето на примена на веројатните методи започна успешно да се шири во физиката, биологијата, економијата и социологијата.

Примена на теоријата на веројатност во 19-20 век.

Во 19 и 20 век, теоријата на веројатност навлегува прво во науката (астрономија, физика, биологија), потоа во пракса (земјоделство, индустрија, медицина) и на крајот, по пронаоѓањето на компјутерите, во секојдневниот живот на секој човек кој користи модерна средства за примање и пренесување информации. Ајде да ја следиме апликацијата во различни области.

1.Астрономија.

За употреба во астрономијата беше развиен познатиот „метод на најмали квадрати“ (Legendre 1805, Gauss 1815). Главниот проблем за кој првично се користеше беше пресметувањето на орбитите на кометите, што требаше да се направи од мал број набљудувања. Јасно е дека сигурното одредување на видот на орбитата (елипса или хипербола) и прецизното пресметување на нејзините параметри е тешко, бидејќи орбитата се набљудува само на мала област. Методот се покажа како ефективен, универзален и предизвика жестока дебата за приоритетот. Почна да се користи во геодезијата и картографијата. Сега кога уметноста на рачни пресметки е изгубена, тешко е да се замисли дека при мапирањето на светските океани во 1880-тите во Англија, систем од приближно 6.000 равенки со неколку стотици непознати бил нумерички решен со помош на методот на најмали квадрати.

2.Физика.

Во втората половина на 19 век, статистичката механика беше развиена во делата на Максвел, Болцман и Гибс, кои ја опишаа состојбата на ретки системи кои содржат огромен број честички (од редот на бројот на Авогадро). Ако порано концептот на дистрибуција на случајна променлива првенствено беше поврзан со распределбата на мерните грешки, сега се дистрибуираат различни количини - брзина, енергија, должина на слободна патека.

3.Биометрика.

Во 1870-1900 година, белгискиот Кетелет и Англичаните Френсис Галтон и Карл Пирсон основаа нова научна насока - биометрика, во која за прв пат систематски и квантитативно почнаа да се проучуваат неодредената варијабилност на живите организми и наследството на квантитативните карактеристики. Во научната циркулација беа воведени нови концепти - регресија и корелација.

Така, до почетокот на 20 век, главните примени на теоријата на веројатност беа поврзани со научните истражувања. Вовед во пракса - земјоделство, индустрија, медицина - се случи во 20 век.

4. Земјоделство.

На почетокот на 20 век во Англија беше поставена задача квантитативно да се спореди ефективноста на различни земјоделски методи. За да се реши овој проблем, беше развиена теоријата на експериментален дизајн и анализа на варијансата. Главната заслуга за развојот на оваа чисто практична употреба на статистиката му припаѓа на Сер Роналд Фишер, астроном по обука, а подоцна и фармер, статистичар, генетичар и претседател на англиското кралско друштво. Современа математичка статистика, погодна за широка употреба во пракса, беше развиена во Англија (Карл Пирсон, Студент, Фишер). Студентот беше првиот што го реши проблемот со проценка на непознат параметар на дистрибуција без користење на Бајсовиот пристап.

5. Индустрија.

Воведување на методи на статистичка контрола во производството (Shewhart контролни графикони). Намалување на потребниот број тестови за квалитет на производот. Математичките методи се покажаа толку важни што почнаа да се класифицираат. Така, книгата што опишува нова техника што овозможи да се намали бројот на тестови („Секвенцијална анализа“ од Волд) беше објавена дури по завршувањето на Втората светска војна во 1947 година.

6. Медицина.

Широката употреба на статистички методи во медицината започна релативно неодамна (втората половина на 20 век). Развојот на ефективни методи на лекување (антибиотици, инсулин, ефективна анестезија, вештачка циркулација) бараше сигурни методи за проценка на нивната ефикасност. Се појави нов концепт „Медицина заснована на докази“. Почна да се развива поформален, квантитативен пристап кон лекувањето на многу болести - воведување протоколи, упатства.

Од средината на 1980-тите, се појави нов и најважен фактор кој ги револуционизира сите примени на теоријата на веројатност - можноста за широка употреба на брзи и достапни компјутери. Можете да ја почувствувате големината на револуцијата што се случи ако земете во предвид дека еден модерен персонален компјутер ги надминува по брзина и меморија сите компјутери во СССР и САД кои беа достапни до 1968 година, време кога проектите поврзани со изградбата на нуклеарни електрани, летови до Месечината, создавање на термонуклеарна бомба. Сега, преку директно експериментирање, можно е да се добијат резултати кои претходно биле недостапни - размислување незамисливо.

7.Биоинформатика.

Од 1980-тите, бројот на познати секвенци на протеини и нуклеинска киселина рапидно се зголеми. Обемот на акумулираните информации е таков што само компјутерската анализа на овие податоци може да ги реши проблемите на екстракција на информации.

8. Економија и банкарство.

Теоријата на ризик е широко користена. Теоријата на ризик е теорија на одлучување во услови на веројатна несигурност. Од математичка гледна точка, тоа е гранка на теоријата на веројатност, а примените на теоријата на ризик се речиси неограничени. Најнапредната област за финансиска примена е: банкарство и осигурување, управување со пазарни и кредитни ризици, инвестиции, деловни ризици, телекомуникации. Се развиваат и нефинансиски апликации поврзани со закани по здравјето, животната средина, ризиците од несреќи и еколошки катастрофи и други области.

Испратете ја вашата добра работа во базата на знаење е едноставна. Користете ја формата подолу

Студентите, дипломираните студенти, младите научници кои ја користат базата на знаење во нивните студии и работа ќе ви бидат многу благодарни.

Слични документи

Појавата и развојот на теоријата на веројатност и нејзините примени. Решавање на класичните парадокси на коцки и „коцкање“. Парадоксот на Бернули и Бертрандовиот закон за големи броеви, родендени и подароци. Проучување на парадокси од книгата на G. Székely.

тест, додаден на 29.05.2016 година

Суштината и предметот на теоријата на веројатност, која ги рефлектира моделите својствени за случајни феномени од масовна природа. Нејзиното проучување на моделите на масовни хомогени случајни феномени. Опис на најпопуларните експерименти во теоријата на веројатност.

презентација, додадена 17.08.2015

Суштината на концептот на „комбинаторика“. Историски информации од историјата на развојот на науката. Правило за сума и производ, поставеност и пермутација. Општ приказ на формулата за пресметување на бројот на комбинации со повторувања. Пример за решавање проблеми во теоријата на веројатност.

тест, додаден на 30.01.2014 година

Теоријата на веројатност како математичка наука која ги проучува обрасците во масовни хомогени случаи, појави и процеси, предметот, основните поими и елементарните настани. Одредување на веројатноста за настан. Анализа на главните теореми на теоријата на веројатност.

мамење лист, додаде 12/24/2010

Појавата на теоријата на веројатност како наука, придонесот на странските научници и математичкото училиште во Санкт Петербург во нејзиниот развој. Концептот на статистичка веројатност на настан, пресметка на најверојатниот број на појави на настан. Суштината на локалната теорема на Лаплас.

презентација, додадена на 19.07.2015 година

Принципи за решавање проблеми во главните делови на теоријата на веројатност: случајни настани и нивна допуштеност, неволни величини, распределби и нумерички карактеристики на степенување, основни гранични теореми за збирови на независни веројатни величини.

тест, додаден 12/03/2010

Предноста на користењето на Бернулиевата формула, нејзиното место во теоријата на веројатност и примената во независните тестови. Историска скица на животот и делото на швајцарскиот математичар Јакоб Бернули, неговите достигнувања во областа на диференцијалното сметање.

презентација, додадена на 11.12.2012 година

Истражување на J. Cardano и N. Tartaglia во областа на решавање на примарни проблеми на теоријата на веројатност. Придонесот на Паскал и Ферма во развојот на теоријата на веројатност. Дело од Х. Хајгенс. Први студии за демографија. Формирање на концептот на геометриска веројатност.

работа на курсот, додадена на 24.11.2010 година

Дефиниција.Теоријата на веројатност е наука која ги проучува обрасците во случајни појави.

Дефиниција.Случаен феномен е феномен кој, кога се тестира постојано, секој пат се јавува различно.

Дефиниција.Искуството е човечка активност или процес, тестови.

Дефиниција.Настанот е резултат на искуство.

Дефиниција.Предмет на теоријата на веројатност се случајни појави и специфични обрасци на масовни случајни појави.

Класификација на настани:

Настанот се вика сигурен , ако како резултат на експериментот тоа дефинитивно ќе се случи.

Пример.Училишната лекција дефинитивно ќе заврши.

Настанот се вика невозможно , ако под дадени услови тоа никогаш нема да се случи.

Пример.Ако нема електрична струја во колото, светилката нема да светне.

Настанот се вика случајно или невозможно , ако како резултат на искуство може или не може да се појави.

Пример.Настан - полагање испит.

Настанот се вика подеднакво можно , ако условите за изглед се исти и нема причина да се тврди дека како резултат на искуство еден од нив има поголеми шанси да се појави од другиот.

Пример.Изглед на грб или опашка при фрлање паричка.

Настаните се нарекуваат зглоб , доколку појавата на едниот од нив не ја исклучува можноста за појава на другиот.

Пример.Кога се пука, промашувањето и прегазувањето се заеднички настани.

Настанот се вика некомпатибилни , доколку појавата на едната ја исклучува можноста за појава на другата.

Пример.Со еден шут, погодокот и промашувањето не се симултани настани.

Се нарекуваат два некомпатибилни настани спротивно , ако како резултат на експериментот дефинитивно ќе се појави еден од нив.

Пример.При полагање на испит, настаните „положен испит“ и „пад на испитот“ се нарекуваат спротивно.

Ознака: - нормален настан, - спротивен настан.

Се формираат неколку настани комплетна група на некомпатибилни настани , ако само еден од нив се појави како резултат на експериментот.

Пример.При полагање на испит, можно е: „пад на испитот“, „положен со „3““, „положен со „4“ - комплетна група на некомпатибилни настани.

Правила за сума и производи.

Дефиниција.Збирот на два производа а И б јавете се на настанот в , кој се состои во појава на настан а или настани б или и двете во исто време.

Збирот на настани се нарекува комбинирање на настани (појавување на барем еден од настаните).

Ако значењето на проблемот е очигледно што треба да се појави а ИЛИ б , потоа велат дека ја наоѓаат сумата.

Дефиниција.Со продуцирање настани а И б јавете се на настанот в , кој се состои од истовремена појава на настани а И б .

Производот е пресек на два настани.

Ако проблемот вели дека тие наоѓаат а И б , што значи дека ја наоѓаат работата.

Пример.Со два истрели:

ако е потребно барем еднаш да се најде хит, тогаш пронајдете ја сумата.
ако е неопходно двапати да се најде хит, тогаш пронајдете го производот.

Веројатност. Својство на веројатност.

Дефиниција.Фреквенцијата на настанот е број еднаков на односот на бројот на експерименти во кои настанот се случил со бројот на сите извршени експерименти.

Означување: r() – фреквенција на настанот.

Пример.Ако фрлите паричка 15 пати, а грбот излезе 10 пати, тогаш зачестеноста на изгледот на грбот е: r()=.

Дефиниција.Со бескрајно голем број експерименти, фреквенцијата на настанот станува еднаква на веројатноста за настанот.

Дефиниција на класична веројатност. Веројатноста за настан е односот на бројот на случаи поволни за појава на овој настан со бројот на сите единствено можни и подеднакво можни случаи.

Ознака: , каде што P – веројатност,

m – бројот на случаи поволни за настанување на настанот.

n е вкупниот број на единствено можни и подеднакво можни случаи.

Пример. На натпреварот во трчање учествуваат 60 ученици CHIEP. Секој од нив има број. Најдете ја веројатноста дека бројот на ученикот кој победил на трката не го содржи бројот 5.

Својства на веројатност:

вредноста на веројатноста не е негативна и лежи помеѓу вредностите 0 и 1.
веројатноста е 0 ако и само ако е веројатност за невозможен настан.
веројатноста е еднаква на 1 ако и само ако е веројатноста за одреден настан.
веројатноста за истиот настан е непроменлива, не зависи од бројот на извршени експерименти и се менува само кога ќе се променат условите на експериментот.

Дефиниција на геометриска веројатност. Геометриска веројатност е односот на делот од регионот во кој треба да се најде избрана точка во целиот регион во кој е подеднакво можен удар во дадена точка.

Површината може да биде мерка за површина, должина или волумен.

Пример.Најдете ја веројатноста одредена точка да падне на дел долг 10 km, доколку е неопходно таа да падне во близина на краевите на сегментот, не подалеку од 1 km од секој.

Коментар.

Ако мерките на доменот s и S имаат различни мерни единици според условите на проблемот, тогаш за да се реши потребно е на s и S да се даде една димензија.

Соединение. Елементи на комбинаторика.

Дефиниција.Асоцијациите на елементи од различни групи кои се разликуваат по редоследот на елементите или барем еден елемент се нарекуваат соединенија.

Врските се:

Сместување

Комбинација

Преуредувања

Дефиниција.Распоредот на n – елементи m пати по секој е врска што се разликува едни од други за најмалку еден елемент и редоследот на распоредот на елементите.

Дефиниција.Комбинации од n елементи од m се нарекуваат соединение кое се состои од исти елементи, кои се разликуваат во најмалку еден елемент.

Дефиниција.Пермутациите на n елементи се соединенија составени од исти елементи, кои се разликуваат едни од други само по редоследот на распоредот на елементите.

Пример.

1) на колку начини можете да формирате конвој од 5 автомобили?

2) на колку начини може да се назначат 3 дежурни во паралелка, ако во класот има вкупно 25 лица?

Бидејќи редоследот на елементите не е важен и групите на соединенија се разликуваат по бројот на елементи, го пресметуваме бројот на комбинации од 25 елементи од 3.

начини.

3) На колку начини можете да направите 4-цифрен број од броевите 1,2,3,4,5,6. Затоа, бидејќи врските се разликуваат по редоследот на распоредот и најмалку еден елемент, тогаш го пресметуваме распоредот на 6 елементи од 4.

Пример за употреба на елементи на комбинаторика и пресметување на веројатноста.

Во серија од n производи, m се неисправни. Ние по случаен избор избираме l-производи. Најдете ја веројатноста дека меѓу нив ќе има точно k бракови.

Пример.

Во магацинот на продавницата беа донесени 10 фрижидери, од кои 4-3-коморни, останатите - 2-коморни.

Најдете ја веројатноста дека меѓу 5 случајно избрани ридови, 3 ќе имаат 3 комори.

Основни теореми на теоријата на веројатност.

Теорема 1.

Веројатноста за збир од 2 некомпатибилни настани е еднаква на збирот на веројатностите на овие настани.

Последица.

1) ако некој настан формира целосна група на некомпатибилни настани, тогаш збирот на нивните веројатности е еднаков на 1.

2) збирот на веројатностите на 2 спротивни настани е еднаков на 1.

Теорема 2.

Веројатноста на производот од 2 независни настани е еднаква на производот на нивните веројатности.

Дефиниција.Настанот А се вели дека е независен од настанот Б ако веројатноста за појава на настанот А не зависи од тоа дали настанот Б се случува или не.

Дефиниција. 2 настани се нарекуваат независни ако веројатноста за појава на еден од нив зависи од појавата или непојавувањето на вториот.

Дефиниција.Веројатноста за настанот Б пресметана со оглед на тоа дека настанот А се случил се нарекува условна веројатност.

Теорема 3.

Веројатноста на производот од 2 независни настани е еднаква на веројатноста за појава на еден настан со условната веројатност на вториот, со оглед на тоа што се случил првиот настан.

Пример.

Во библиотеката има 12 учебници по математика. Од нив, 2 се учебници по елементарна математика, 5 по теорија на веројатност, а останатите по виша математика. По случаен избор избираме 2 учебници. Најдете ја веројатноста дека и двајцата се појавуваат во основната математика.

Теорема 4. Веројатност некој настан да се случи барем еднаш.

Веројатноста за појава на барем еден од настаните што формира целосна група на некомпатибилни настани е еднаква на разликата помеѓу првиот и производот на веројатностите на настани спротивни на дадените настани.

Нека тогаш

Последица.

Ако веројатноста за појава на секој од настаните е иста и еднаква на p, тогаш веројатноста да се случи барем еден од овие настани е еднаква на

N е бројот на извршени експерименти.

Пример.

Истрели 3 истрели во целта. Веројатноста за удар на првиот истрел е 0,7, на вториот – 0,8, на третиот – 0,9. најдете ја веројатноста дека со три независни истрели во целта ќе има:

А) 0 погодоци;

Б) 1 удар;

Б) 2 удари;

Г) 3 удари;

Г) барем еден удар.

Теорема 5. Формула за вкупна веројатност.

Нека настанот А се случи заедно со една од хипотезите, тогаш веројатноста дека настанот А се случил се наоѓа со формулата:

И . Да го доведеме до заеднички именител.

Тоа. Поверојатно е да се победи еден натпревар од 2 против рамноправен противник отколку да се победи во 2 од 4.

ВОВЕД 3 ГЛАВА 1. Веројатност 5 1.1. КОНЦЕПТ НА ВЕРОЈАТНОСТ 5 1.2. ВЕРОЈАТНОСТИ И СЛУЧАЈНИ ПРОМЕНЛИВИ 7 ГЛАВА 2. ПРИМЕНА НА ТЕОРИЈАТА НА ВЕРОЈАТНОСТИ ВО ПРИМЕНЕТА ИНФОРМАТИЧКА НАУКА 10 2.1. ВЕРОЈАТЕН ПРИСТАП 10 2.2. ВЕРОЈАТЕН ИЛИ СОДРЖИЕН ПРИСТАП 11 2.3. АЛФАБЕТСКИ ПРИСТАП КОН МЕРЕЊЕТО НА ИНФОРМАЦИИТЕ 12

Вовед

Применетата компјутерска наука не може да постои одвоено од другите науки, таа создава нови информатички техники и технологии кои се користат за решавање на различни проблеми во различни области на науката, технологијата и во секојдневниот живот. Главните насоки на развој на применетата компјутерска наука се теоретски, технички и применети компјутерски науки. Применетата информатика развива општи теории за пребарување, обработка и складирање на информации, разјаснување на законите за создавање и трансформација на информации, употреба во различни области на нашата активност, проучување на односот помеѓу човекот и компјутерот и формирањето на информатичките технологии. Применетата компјутерска наука е област на националната економија која вклучува автоматизирани системи за обработка на информации, формирање на најновата генерација на компјутерска технологија, еластични технолошки системи, роботи, вештачка интелигенција итн. Применетата компјутерска наука формира бази на знаење за компјутерски науки, развива рационални методи за автоматизирање на производството, теоретски основи за дизајн, воспоставување врска помеѓу науката и производството итн. Компјутерската наука сега се смета за катализатор за научниот и технолошкиот напредок, го промовира активирањето на човечкиот фактор , и ги пополнува сите области на човековата активност со информации. Релевантноста на избраната тема лежи во фактот што теоријата на веројатност се користи во различни области на технологијата и природните науки: во компјутерската наука, теоријата на доверливост, теоријата на редици, теоретската физика и во другите теоретски и применети науки. Ако не ја знаете теоријата на веројатност, не можете да изградите толку важни теоретски курсеви како „Теорија на контрола“, „Истражување на операции“, „Математичко моделирање“. Теоријата на веројатност е широко користена во пракса. Многу случајни променливи, како што се грешки во мерењето, абење на делови од различни механизми, димензионални отстапувања од стандардните, се предмет на нормална дистрибуција. Во теоријата на доверливост, нормалната распределба се користи при проценка на веродостојноста на предметите кои се предмет на стареење и абење, и секако, неусогласеност, т.е. при проценка на постепените неуспеси. Цел на работата: да се разгледа примената на теоријата на веројатност во применетата компјутерска наука. Теоријата на веројатност се смета за многу моќна алатка за решавање на применети проблеми и мултифункционален јазик на науката, но и објект на општата култура. Теоријата на информации е основа на компјутерската наука, а во исто време, една од главните области на техничката кибернетика.

Заклучок

Значи, откако ја анализиравме теоријата на веројатност, нејзината хроника, состојба и можности, можеме да кажеме дека појавата на овој концепт не беше случаен феномен во науката, туку беше неопходност за последователно формирање на технологијата и кибернетиката. Бидејќи софтверската контрола што веќе постои не е способна да му помогне на човекот да развие кибернетски машини кои размислуваат како личност без помош од други. И теоријата на веројатност директно придонесува за појавата на вештачката интелигенција. „Контролната процедура, каде што тие се одвиваат - во живи организми, машини или општество, се спроведува според одредени закони“, велат од кибернетиката. Ова значи дека процедурите кои не се целосно разбрани, кои се случуваат во човечкиот мозок и му овозможуваат еластично да се прилагоди на променливата атмосфера, може да се играат вештачки во најсложените автоматски уреди. Важна дефиниција за математиката е дефиницијата на функција, но отсекогаш се зборувало за функција со една вредност, која поврзува една вредност на функцијата со една вредност на аргументот и функционалната врска меѓу нив е добро дефинирана. Но, во реалноста, се случуваат неволни појави, а многу настани имаат неспецифични односи. Наоѓањето обрасци во случајните појави е задача на теориите на веројатност. Теоријата на веројатност е алатка за проучување на невидливи и повеќевредни односи помеѓу различни појави во бројни области на науката, технологијата и економијата. Теоријата на веројатност овозможува правилно да се пресметаат флуктуациите на побарувачката, понудата, цените и другите економски показатели. Теоријата на веројатност е дел од основната наука како статистиката и применетата компјутерска наука. Бидејќи без теоријата на веројатност, повеќе од една апликативна програма, и компјутерот како целина, не можат да работат. И во теоријата на игри тоа е исто така фундаментално.

Библиографија

1. Белјаев Ју.К. и Ношко В.П. „Основни концепти и задачи на математичката статистика“. - М.: Издавачка куќа на Московскиот државен универзитет, CheRo, 2012. 2. В.Е. Гмурман „Теорија на веројатност и математичка статистика. - М.: Виша школа, 2015. 3. Korn G., Korn T. „Прирачник по математика за научници и инженери. - Санкт Петербург: Издавачка куќа Лан, 2013 година. 4. Пехелецки И.Д. „Учебник по математика за студенти“ - М. „Предавања по виша математика за хуманисти“. - Издавачка куќа на Санкт Петербург на Државниот универзитет во Санкт Петербург. 2013 година; 6. Гнеденко Б.В. и Хинчин А.Ја „Елементарен вовед во теоријата на веројатност“ 3. изд., М. - Ленинград, 2012 година. 7. Гнеденко Б.В. 8. Feller V. „Вовед во теоријата на веројатност и нејзината примена“ (Дискретни распределби), транс. од англиски јазик, 2. ed., vol 1-2, M., 2012. 9. Bernstein S. N. “Theory of Probability” 4th ed., M. - L., 2014. 10. Gmurman, Vladimir Efimovich. Теорија на веројатност и математичка статистика: учебник за универзитети / В. Е. Гмурман.-Ед. 12-ти, ревидиран - М.: Виша школа, 2009. - 478 стр.

Ажурирано на 09.12.2009 година

Кратка екскурзија во историјата на примената на теоријата на веројатност во пракса.

До крајот на 18 век, применетата статистика, без која државното сметководство и контрола е незамисливо, па затоа постоеше долго време, беше од елементарна, чисто аритметичка природа. Теоријата на веројатност остана чисто академска дисциплина, а нејзините релативно сложени „апликации“ вклучуваат само коцкање. Подобрувањата во технологијата за производство на коцки во 18 век го стимулираат развојот на теоријата на веројатност. Играчите, несвесно, почнаа масовно да вршат репродуктивни експерименти, бидејќи коцките станаа исти, стандардни. Така се појави пример за она што подоцна ќе се нарече „статистички експеримент“ - експеримент што може да се повтори неограничен број пати под исти услови.

Во 19 и 20 век, теоријата на веројатност навлегува прво во науката (астрономија, физика, биологија), потоа во пракса (земјоделство, индустрија, медицина) и на крајот, по пронаоѓањето на компјутерите, во секојдневниот живот на секој човек кој користи модерна средства за примање и пренесување на информации Ајде да ги следиме главните фази.

1.Астрономија.

За употреба во астрономијата беше развиен познатиот „метод на најмали квадрати“ (Legendre 1805, Гаус 1815 година Главниот проблем за кој првично се користеше беше пресметувањето на орбитите на кометите, што требаше да се направи од мала). број на набљудувања. Јасно е дека сигурното одредување на видот на орбитата (елипса или хипербола) и прецизното пресметување на нејзините параметри е тешко, бидејќи орбитата се набљудува само на мала област. Методот се покажа како ефективен, универзален и предизвика жестока дебата за приоритетот. Почна да се користи во геодезијата и картографијата. Сега кога уметноста на рачни пресметки е изгубена, тешко е да се замисли дека при мапирањето на светските океани во 1880-тите во Англија, систем од приближно 6.000 равенки со неколку стотици непознати бил нумерички решен со помош на методот на најмали квадрати.

3.Биометрика.

4. Земјоделство.

На почетокот на 20 век во Англија беше поставена задача квантитативно да се спореди ефективноста на различни земјоделски методи. За да се реши овој проблем, беше развиена теоријата на експериментален дизајн и анализа на варијансата. Главната заслуга за развојот на оваа чисто практична употреба на статистиката му припаѓа на Сер Роналд Фишер, астроном(!) по обука, а подоцна и фармер, статистичар, генетичар и претседател на англиското кралско друштво. Современа математичка статистика, погодна за широка употреба во пракса, беше развиена во Англија (Карл Пирсон, Студент, Фишер). Студентот беше првиот што го реши проблемот со проценка на непознат параметар на дистрибуција без користење на Бајсовиот пристап.

5. Индустрија. Воведување на методи на статистичка контрола во производството (Shewhart контролни графикони). Намалување на потребниот број тестови за квалитет на производот. Математичките методи се покажаа толку важни што почнаа да се класифицираат. Така, книгата што опишува нова техника што овозможи да се намали бројот на тестови („Секвенцијална анализа“ од Волд) беше објавена дури по завршувањето на Втората светска војна во 1947 година.

6. Медицина. Широката употреба на статистички методи во медицината започна релативно неодамна (втората половина на 20 век). Развојот на ефективни методи на лекување (антибиотици, инсулин, ефективна анестезија, вештачка циркулација) бараше сигурни методи за проценка на нивната ефикасност. Се појави нов концепт „Медицина заснована на докази“. Почна да се развива поформален, квантитативен пристап кон лекувањето на многу болести - воведување протоколи, упатства.

Од средината на 1980-тите, се појави нов и најважен фактор кој ги револуционизира сите примени на теоријата на веројатност - можноста за широка употреба на брзи и достапни компјутери. Можете да ја почувствувате големината на револуцијата што се случи ако земете во предвид дека еден (!) модерен персонален компјутер ги надминува по брзина и меморија сите (!) компјутери во СССР и САД кои беа достапни до 1968 година, времето кога проектите поврзани за изградба на нуклеарни централи веќе беа извршени , летови до Месечината, создавање на термонуклеарна бомба. Сега, користејќи директно експериментирање, можно е да се добијат резултати кои претходно беа недостапни - размислувајќи за незамисливо.

7.Биоинформатика. Од 1980-тите, бројот на познати секвенци на протеини и нуклеинска киселина рапидно се зголеми. Обемот на акумулираните информации е таков што само компјутерската анализа на овие податоци може да ги реши проблемите на екстракција на информации.

8.Препознавање на модели.