Најдете го проучувањето на функцијата y 1 2 x. Проблеми од збирката на Кузњецов Л

Ако проблемот бара целосно проучување на функцијата f (x) = x 2 4 x 2 - 1 со конструкција на нејзиниот график, тогаш детално ќе го разгледаме овој принцип.

За да решите проблем од овој тип, треба да ги користите својствата и графиконите на основните елементарни функции. Алгоритмот за истражување ги вклучува следните чекори:

Наоѓање на доменот на дефиниција

Бидејќи се врши истражување на доменот на дефинирање на функцијата, неопходно е да се започне со овој чекор.

Пример 1

Дадениот пример вклучува наоѓање на нулите на именителот со цел да се исклучат од ODZ.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

Како резултат на тоа, можете да добиете корени, логаритми итн. Тогаш ODZ може да се бара корен од парен степен од типот g (x) 4 со неравенката g (x) ≥ 0, за логаритамот log a g (x) со неравенката g (x) > 0.

Проучување на границите на ОДЗ и наоѓање вертикални асимптоти

Постојат вертикални асимптоти на границите на функцијата, кога едностраните граници во таквите точки се бесконечни.

Пример 2

На пример, земете ги граничните точки еднакви на x = ± 1 2.

Тогаш е неопходно да се проучи функцијата за да се најде едностраната граница. Тогаш добиваме дека: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) · - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0 ) 2 = + ∞

Ова покажува дека едностраните граници се бесконечни, што значи дека правите x = ± 1 2 се вертикални асимптоти на графикот.

Проучување на функција и дали е парна или непарна

Кога условот y (- x) = y (x) е исполнет, функцијата се смета за парна. Ова сугерира дека графикот се наоѓа симетрично во однос на Oy. Кога условот y (- x) = - y (x) е исполнет, функцијата се смета за непарна. Ова значи дека симетријата е релативна со потеклото на координатите. Ако барем една неравенка не е исполнета, добиваме функција од општ облик.

Равенството y (- x) = y (x) покажува дека функцијата е парна. При конструирањето потребно е да се земе предвид дека ќе има симетрија во однос на Ој.

За да се реши неравенството, се користат интервали на зголемување и намалување со условите f " (x) ≥ 0 и f " (x) ≤ 0, соодветно.

Дефиниција 1

Стационарни точки- тоа се точките што го претвораат изводот на нула.

Критични точки- тоа се внатрешни точки од доменот на дефиниција каде што изводот на функцијата е еднаков на нула или не постои.

При донесување одлука, мора да се земат предвид следните забелешки:

• за постоечки интервали на зголемување и намалување на неравенки од формата f " (x) > 0, критичните точки не се вклучени во решението;
• точките во кои функцијата е дефинирана без конечен извод мора да бидат вклучени во интервалите на зголемување и намалување (на пример, y = x 3, каде што точката x = 0 ја прави функцијата дефинирана, изводот има вредност на бесконечност на ова точка, y " = 1 3 x 2 3, y "(0) = 1 0 = ∞, x = 0 е вклучена во растечкиот интервал);
• За да се избегнат несогласувања, се препорачува да се користи математичка литература препорачана од Министерството за образование.

Вклучување на критичните точки во интервали на зголемување и намалување доколку тие го задоволуваат доменот на дефинирање на функцијата.

Дефиниција 2

За одредувајќи ги интервалите на зголемување и намалување на функцијата, потребно е да се најдат:

• дериват;
• критични точки;
• поделете го доменот на дефиниција во интервали користејќи критични точки;
• определи го знакот на изводот на секој од интервалите, каде што + е зголемување и - е намалување.

Пример 3

Најдете го изводот на доменот на дефиниција f " (x) = x 2" (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1" (4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2.

Решение

За да го решите потребно е:

• најдете стационарни точки, овој пример има x = 0;
• најдете ги нулите на именителот, примерот ја зема вредноста нула при x = ± 1 2.

Поставуваме точки на бројната оска за да го одредиме изводот на секој интервал. За да го направите ова, доволно е да земете која било точка од интервалот и да ја извршите пресметката. Ако резултатот е позитивен, ние прикажуваме + на графиконот, што значи дека функцијата се зголемува и - значи дека се намалува.

На пример, f " (- 1) = - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 = 2 9 > 0, што значи дека првиот интервал лево има знак +. Размислете за бројната права.

Одговор:

• функцијата се зголемува на интервалот - ∞; - 1 2 и (- 1 2 ; 0 ] ;
• има намалување на интервалот [0; 1 2) и 1 2 ; + ∞ .

На дијаграмот, користејќи + и -, се прикажани позитивноста и негативноста на функцијата, а стрелките укажуваат на намалување и зголемување.

Екстремните точки на функцијата се точки каде што е дефинирана функцијата и преку кои изводот го менува знакот.

Пример 4

Ако земеме пример каде x = 0, тогаш вредноста на функцијата во неа е еднаква на f (0) = 0 2 4 · 0 2 - 1 = 0. Кога знакот на изводот се менува од + во - и поминува низ точката x = 0, тогаш точката со координати (0; 0) се смета за максимална точка. Кога знакот се менува од - во +, добиваме минимална точка.

Конвексноста и конкавноста се одредуваат со решавање на неравенки од формата f "" (x) ≥ 0 и f "" (x) ≤ 0. Поретко се користи името конвексност надолу наместо конкавност и конвексност нагоре наместо конвексност.

Дефиниција 3

За одредување на интервалите на конкавност и конвексностнеопходно:

• најдете го вториот извод;
• најдете ги нулите на втората изводна функција;
• поделете ја областа за дефиниција во интервали со точките што се појавуваат;
• определи го знакот на интервалот.

Пример 5

Најдете го вториот извод од доменот на дефиниција.

Решение

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2" (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Ги наоѓаме нулите на броителот и именителот, каде во нашиот пример имаме дека нулите на именителот x = ± 1 2

Сега треба да ги нацртате точките на бројната права и да го одредите знакот на вториот извод од секој интервал. Го добиваме тоа

Одговор:

• функцијата е конвексна од интервалот - 1 2 ; 12 ;
• функцијата е конкавна од интервалите - ∞ ; - 1 2 и 1 2; + ∞ .

Дефиниција 4

Точка на флексија– ова е точка од формата x 0 ; f (x 0) . Кога има тангента на графикот на функцијата, тогаш кога поминува низ x 0 функцијата го менува знакот на спротивното.

Со други зборови, ова е точка низ која поминува вториот извод и го менува знакот, а во самите точки тој е еднаков на нула или не постои. Сите точки се сметаат за домен на функцијата.

Во примерот, беше јасно дека нема точки на флексија, бидејќи вториот извод го менува знакот додека минува низ точките x = ± 1 2. Тие, пак, не се вклучени во опсегот на дефиницијата.

Наоѓање хоризонтални и коси асимптоти

Кога дефинирате функција на бесконечност, треба да барате хоризонтални и коси асимптоти.

Дефиниција 5

Коси асимптотисе прикажани со помош на прави линии дадени со равенката y = k x + b, каде k = lim x → ∞ f (x) x и b = lim x → ∞ f (x) - k x.

За k = 0 и b не еднакви на бесконечност, откриваме дека косата асимптота станува хоризонтална.

Со други зборови, асимптоти се сметаат за линии до кои графикот на функцијата се приближува во бесконечност. Ова го олеснува брзото градење на графикот на функции.

Ако нема асимптоти, но функцијата е дефинирана на двете бесконечности, потребно е да се пресмета границата на функцијата на овие бесконечности за да се разбере како ќе се однесува графикот на функцијата.

Пример 6

Да го разгледаме како пример тоа

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

е хоризонтална асимптота. Откако ќе ја испитате функцијата, можете да започнете да ја конструирате.

Пресметување на вредноста на функцијата во средни точки

За да се направи графикот попрецизен, се препорачува да се најдат неколку функционални вредности на средни точки.

Пример 7

Од примерот што го разгледавме, неопходно е да се најдат вредностите на функцијата во точките x = - 2, x = - 1, x = - 3 4, x = - 1 4. Бидејќи функцијата е рамна, добиваме дека вредностите се совпаѓаат со вредностите во овие точки, односно добиваме x = 2, x = 1, x = 3 4, x = 1 4.

Ајде да напишеме и да решиме:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08

За да се одредат максимумите и минимумите на функцијата, точките на флексија и средните точки, неопходно е да се конструираат асимптоти. За практично означување, се запишуваат интервали на зголемување, намалување, конвексност и конкавност. Ајде да ја погледнеме сликата подолу.

Потребно е да се исцртаат линии на графиконот низ означените точки, што ќе ви овозможи да им пристапите на асимптотите следејќи ги стрелките.

Ова го завршува целосното истражување на функцијата. Има случаи на конструирање на некои елементарни функции за кои се користат геометриски трансформации.

Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter

Веќе некое време, вградената база на податоци за сертификати на TheBat за SSL престана да работи правилно (не е јасно од која причина).

При проверка на објавата, се појавува грешка:

Непознат CA сертификат
Серверот не прикажа root сертификат во сесијата и соодветниот root сертификат не беше пронајден во адресарот.
Оваа врска не може да биде тајна. Ве молам
контактирајте со администраторот на вашиот сервер.

И ви се нуди избор на одговори - ДА / НЕ. И така секој пат кога ќе ја отстраните поштата.

Решение

Во овој случај, треба да го замените стандардот за имплементација на S/MIME и TLS со Microsoft CryptoAPI во поставките за TheBat!

Бидејќи требаше да ги комбинирам сите датотеки во една, прво ги конвертирав сите датотеки со документи во една единствена pdf датотека (со помош на програмата Acrobat), а потоа ја префрлив на fb2 преку онлајн конвертор. Можете исто така да конвертирате датотеки поединечно. Форматите можат да бидат апсолутно сите (извор) - doc, jpg, па дури и зип архива!

Името на страницата одговара на суштината :) Онлајн Фотошоп.

Ажурирање мај 2015 година

Најдов уште една одлична страница! Уште поудобно и пофункционално за создавање на комплетно прилагоден колаж! Ова е страницата http://www.fotor.com/ru/collage/. Уживајте во тоа за вашето здравје. И сам ќе го користам.

Во мојот живот наидов на проблемот со поправка на електричен шпорет. Веќе направив многу работи, научив многу, но некако имав малку врска со плочките. Беше неопходно да се заменат контактите на регулаторите и горилниците. Се појави прашањето - како да се одреди дијаметарот на горилникот на електричен шпорет?

Одговорот се покажа како едноставен. Не треба ништо да мерите, лесно можете да одредите со око каква големина ви треба.

Најмал горилник- ова е 145 милиметри (14,5 сантиметри)

Среден горилник- ова е 180 милиметри (18 сантиметри).

И конечно, најмногу голем горилник- ова е 225 милиметри (22,5 сантиметри).

Доволно е да ја одредите големината со око и да разберете кој дијаметар ви е потребен горилникот. Кога не го знаев ова, бев загрижен за овие димензии, не знаев како да мерам, на кој раб да навигирам итн. Сега сум мудар :) Се надевам дека ти помогнав и тебе!

Во мојот живот се соочив со таков проблем. Мислам дека не сум единствениот.

Како да се проучува функција и да се изгради нејзиниот график?

Се чини дека почнувам да го разбирам духовно проникливото лице на водачот на светскиот пролетаријат, автор на собрани дела во 55 тома... Долгото патување започна со основни информации за функции и графикони, а сега работата на трудоинтензивна тема завршува со логичен резултат - статија за целосно проучување на функцијата. Долгоочекуваната задача е формулирана на следниов начин:

Проучете ја функцијата користејќи методи на диференцијално пресметување и изградете го нејзиниот график врз основа на резултатите од студијата

Или накратко: испитајте ја функцијата и изградете графикон.

Зошто да истражувате?Во едноставни случаи, нема да ни биде тешко да ги разбереме елементарните функции, нацртајте графикон добиен со користење елементарни геометриски трансформациии така натаму. Сепак, својствата и графичките прикази на посложените функции се далеку од очигледни, поради што е потребна цела студија.

Главните чекори на решението се сумирани во референтниот материјал Шема за проучување на функции, ова е вашиот водич за делот. На куклите им треба чекор-по-чекор објаснување на темата, некои читатели не знаат од каде да почнат или како да го организираат своето истражување, а напредните студенти можеби ќе ги интересираат само неколку точки. Но, кој и да сте, драг посетител, предложеното резиме со совети за различни лекции брзо ќе ве ориентира и води во насока на интерес. Роботите леат солзи =) Прирачникот беше изложен во форма на pdf датотека и го зазеде вистинското место на страницата Математички формули и табели.

Навикнат сум да го разложувам истражувањето на функцијата на 5-6 точки:

6) Дополнителни поени и графикон врз основа на резултатите од истражувањето.

Во врска со финалната акција, мислам дека се е јасно на сите - ќе биде многу разочарувачки ако за неколку секунди се пречкрта и задачата се врати на ревизија. ПРАВИЛНИ И ТОЧНИ ЦРТАЊА е главниот резултат на решението! Веројатно ќе ги „прикрие“ аналитичките грешки, додека неточниот и/или невнимателен распоред ќе предизвика проблеми дури и со совршено спроведена студија.

Треба да се напомене дека во други извори бројот на истражувачки точки, редоследот на нивната имплементација и стилот на дизајн може значително да се разликуваат од шемата што ја предложив, но во повеќето случаи тоа е сосема доволно. Наједноставната верзија на проблемот се состои од само 2-3 фази и е формулирана вака: „истражете ја функцијата користејќи го изводот и изградете график“ или „истражете ја функцијата користејќи ги 1-виот и 2-от извод, изградете графикон“.

Секако, ако вашиот прирачник детално опишува друг алгоритам или вашиот наставник строго бара да се придржувате до неговите предавања, тогаш ќе мора да направите некои прилагодувања на решението. Не е потешко отколку да ја замените вилушката со моторна пила со лажица.

Ајде да ја провериме функцијата за парни/непарни:

Ова е проследено со шаблон одговор:
, што значи дека оваа функција не е парна или непарна.

Бидејќи функцијата е континуирана на , нема вертикални асимптоти.

Нема ниту коси асимптоти.

Забелешка : Ве потсетувам дека повисоко редослед на раст, отколку , затоа крајната граница е точно “ Плусбесконечност“.

Ајде да дознаеме како функцијата се однесува на бесконечност:

Со други зборови, ако одиме надесно, тогаш графикот оди бесконечно нагоре, ако одиме налево, тој оди бесконечно далеку надолу. Да, има и две ограничувања под еден запис. Ако имате потешкотии да ги дешифрирате знаците, посетете ја лекцијата за бесконечно мали функции.

Значи функцијата не е ограничен одозгораИ не е ограничен одоздола. Имајќи предвид дека немаме точки на прекин, станува јасно опсег на функции: – и секој реален број.

КОРИСНА ТЕХНИЧКА ТЕХНИКА

Секоја фаза од задачата носи нови информации за графикот на функцијата, затоа, за време на решението е погодно да се користи еден вид ЛАЈУТ. Ајде да нацртаме Декартов координатен систем на нацрт. Што е веќе познато со сигурност? Прво, графикот нема асимптоти, затоа, нема потреба да се цртаат прави линии. Второ, знаеме како функцијата се однесува во бесконечност. Според анализата, ја извлекуваме првата апроксимација:

Ве молиме имајте предвид дека поради континуитетфункција на и фактот дека графикот мора да ја премине оската барем еднаш. Или можеби има неколку точки на вкрстување?

3) Нули на функцијата и интервали на константен знак.

Прво, да ја најдеме точката на пресек на графикот со оската на ординатите. Едноставно е. Неопходно е да се пресмета вредноста на функцијата на:

Еден и пол надморска височина.

За да ги најдеме точките на пресек со оската (нули на функцијата), треба да ја решиме равенката и тука не чека непријатно изненадување:

На крајот демне слободен член, што ја прави задачата многу потешка.

Таквата равенка има барем еден реален корен, а најчесто овој корен е ирационален. Во најлошата бајка не чекаат трите прасиња. Равенката е решлива со користење на т.н Кардано формули, но оштетувањето на хартијата е споредливо со речиси целата студија. Во овој поглед, попаметно е да се обидете да изберете барем еден, или вербално или во нацрт. целинакорен. Ајде да провериме дали овие бројки се:
- не е соодветно;
- Ете го!

Среќа овде. Во случај на неуспех, можете исто така да тестирате, и ако овие бројки не се вклопуваат, тогаш се плашам дека има многу мали шанси за профитабилно решение на равенката. Тогаш е подобро целосно да се прескокне истражувачката точка - можеби нешто ќе стане појасно на последниот чекор, кога ќе се пробијат дополнителни точки. И ако коренот(ите) се јасно „лоши“, тогаш подобро е скромно да молчите за интервалите на постојаноста на знаците и да цртате повнимателно.

Сепак, имаме убав корен, па го делиме полиномот без остаток:

Алгоритмот за делење полином со полином е детално разгледан во првиот пример од лекцијата Комплексни граници.

Како резултат на тоа, левата страна на оригиналната равенка се распаѓа во производот:

И сега малку за здрав начин на живот. Јас, се разбира, го разбирам тоа квадратни равенкитреба да се решава секој ден, но денес ќе направиме исклучок: равенката има два вистински корени.

Дозволете ни да ги нацртаме пронајдените вредности на нумеричката линија И метод на интервалАјде да ги дефинираме знаците на функцијата:


og Така, на интервалите распоредот е лоциран
под х-оската и во интервалите – над оваа оска.

Наодите ни овозможуваат да го усовршиме нашиот распоред, а второто приближување на графикот изгледа вака:

Ве молиме имајте предвид дека функцијата мора да има најмалку еден максимум на интервал и најмалку еден минимум на интервал. Но, сè уште не знаеме колку пати, каде и кога ќе се заврти распоредот. Патем, функцијата може да има бесконечно многу крајности.

4) Зголемување, намалување и екстремност на функцијата.

Ајде да најдеме критични точки:

Оваа равенка има два реални корени. Да ги ставиме на бројната права и да ги одредиме знаците на изводот:


Затоа, функцијата се зголемува за и се намалува за.
Во моментот кога функцијата го достигнува својот максимум: .
Во моментот, функцијата достигнува минимум: .

Утврдените факти го водат нашиот шаблон во прилично ригидна рамка:

Непотребно е да се каже дека диференцијалното пресметување е моќна работа. Ајде конечно да ја разбереме формата на графикот:

5) Конвексност, конкавност и точки на флексија.

Ајде да ги најдеме критичните точки на вториот дериват:

Ајде да ги дефинираме знаците:


Графикот на функцијата е конвексен на и конкавен на . Да ја пресметаме ординатата на точката на флексија: .

Речиси сè стана јасно.

6) Останува да најдете дополнителни точки кои ќе ви помогнат попрецизно да изградите график и да извршите самотестирање. Во овој случај ги има малку, но нема да ги занемариме:

Ајде да го направиме цртежот:

Точката на флексија е означена со зелена боја, дополнителните точки се означени со крстови. Графикот на кубната функција е симетричен во однос на неговата точка на флексија, која секогаш се наоѓа строго во средината помеѓу максимумот и минимумот.

Како што напредуваше задачата, дадов три хипотетички привремени цртежи. Во пракса, доволно е да се нацрта координатен систем, да се означат пронајдените точки и по секоја точка на истражување ментално да се процени како би можел да изгледа графикот на функцијата. Нема да биде тешко за студентите со добро ниво на подготовка да спроведат таква анализа само во нивните глави без да користат нацрт.

За да го решите сами:

Пример 2

Истражете ја функцијата и изградете графикон.

Сè е побрзо и позабавно овде, приближен пример за конечниот дизајн на крајот од лекцијата.

Проучувањето на фракционите рационални функции открива многу тајни:

Пример 3

Користете диференцијални методи за пресметка за проучување на функција и, врз основа на резултатите од студијата, конструирајте го нејзиниот график.

Решение: првата фаза од студијата не се одликува со ништо извонредно, со исклучок на дупка во областа за дефиниција:

1) Функцијата е дефинирана и континуирана на целата бројна права освен точката, домен: .

, што значи дека оваа функција не е парна или непарна.

Очигледно е дека функцијата е непериодична.

Графикот на функцијата претставува две континуирани гранки лоцирани во левата и десната полурамнина - ова е можеби најважниот заклучок од точка 1.

2) Асимптоти, однесување на функција во бесконечност.

а) Користејќи еднострани граници, го испитуваме однесувањето на функцијата во близина на сомнителна точка, каде што јасно треба да има вертикална асимптота:

Навистина, функциите траат бескраен јазво точката
а правата линија (оската) е вертикална асимптотаграфички уметности .

б) Да провериме дали постојат коси асимптоти:

Да, тоа е директно коси асимптотаграфика ако .

Нема смисла да се анализираат границите, бидејќи веќе е јасно дека функцијата ја опфаќа својата коси асимптота не е ограничен одозгораИ не е ограничен одоздола.

Втората истражувачка точка даде многу важни информации за функцијата. Ајде да направиме груба скица:

Заклучокот бр. 1 се однесува на интервали на константен знак. При „минус бесконечност“ графикот на функцијата е јасно лоциран под оската x, а на „плус бесконечност“ е над оваа оска. Дополнително, едностраните граници ни кажаа дека и лево и десно од точката функцијата е исто така поголема од нула. Забележете дека во левата полурамнина графикот мора барем еднаш да ја премине оската x. Може да нема никакви нули од функцијата во десната полурамнина.

Заклучок бр. 2 е дека функцијата се зголемува на и лево од точката (оди „од дното кон врвот“). Десно од оваа точка, функцијата се намалува (оди „од врвот до дното“). Десната гранка на графикот секако мора да има барем еден минимум. На левата страна, екстремите не се загарантирани.

Заклучокот бр. 3 дава веродостојни информации за конкавноста на графикот во близина на точката. Сè уште не можеме да кажеме ништо за конвексност/конкавност во бесконечностите, бидејќи линијата може да се притисне кон нејзината асимптота и одозгора и одоздола. Општо земено, постои аналитички начин да се открие ова во моментов, но формата на графикот ќе стане појасна во подоцнежна фаза.

Зошто толку многу зборови? За да ги контролирате последователните истражувачки точки и да избегнете грешки! Понатамошните пресметки не треба да бидат во спротивност со изведените заклучоци.

3) Точки на пресек на графикот со координатните оски, интервали на константен знак на функцијата.

Графикот на функцијата не ја пресекува оската.

Користејќи го методот на интервал, ги одредуваме знаците:

, Ако ;
, Ако .

Резултатите од оваа точка се целосно конзистентни со Заклучокот бр. 1. По секоја фаза, погледнете го нацртот, ментално проверете го истражувањето и пополнете го графикот на функцијата.

Во примерот што се разгледува, броителот е поделен по член со именителот, што е многу корисно за диференцијација:

Всушност, ова е веќе направено при пронаоѓање на асимптоти.

- критична точка.

Ајде да ги дефинираме знаците:

се зголемува за и се намалува за

Во моментот, функцијата достигнува минимум: .

Исто така, немаше отстапувања со Заклучокот бр.2 и, најверојатно, сме на добар пат.

Ова значи дека графикот на функцијата е конкавен низ целиот домен на дефиниција.

Одлично - и не треба ништо да цртате.

Нема точки на флексија.

Конкавноста е конзистентна со Заклучокот бр. повисоконеговата коси асимптота.

6) Совесно ќе ја закачиме задачата со дополнителни поени. Ова е местото каде што ќе треба да работиме напорно, бидејќи знаеме само две точки од истражувањето.

И слика која многумина веројатно ја замислувале одамна:

За време на спроведувањето на задачата, треба внимателно да се осигурате дека нема противречности помеѓу фазите на истражувањето, но понекогаш ситуацијата е итна или дури и очајна слепа улица. Аналитиката „не се собира“ - тоа е сè. Во овој случај, препорачувам техника за итни случаи: наоѓаме што е можно повеќе точки што припаѓаат на графикот (колку што имаме трпение) и ги означуваме на координатната рамнина. Графичката анализа на пронајдените вредности во повеќето случаи ќе ви каже каде е вистината, а каде е лажна. Покрај тоа, графикот може да биде претходно изграден со помош на некоја програма, на пример, во Excel (се разбира, ова бара вештини).

Пример 4

Користете диференцијални методи за пресметка за проучување на функција и конструирање на нејзиниот график.

Ова е пример за да го решите сами. Во него, самоконтролата е засилена со паритет на функцијата - графикот е симетричен во однос на оската, а ако има нешто во вашето истражување што се коси со овој факт, побарајте грешка.

Парната или непарната функција може да се проучува само на , а потоа да се користи симетријата на графикот. Ова решение е оптимално, но, според мое мислење, изгледа многу необично. Лично, ја гледам целата бројна оска, но сепак наоѓам дополнителни точки само десно:

Пример 5

Направете целосна студија за функцијата и конструирајте ја нејзината графика.

Решение: работите станаа тешки:

1) Функцијата е дефинирана и непрекината на целата бројна права: .

Ова значи дека оваа функција е непарна, нејзиниот график е симетричен во однос на потеклото.

Очигледно е дека функцијата е непериодична.

2) Асимптоти, однесување на функција во бесконечност.

Бидејќи функцијата е континуирана на , нема вертикални асимптоти

За функција која содржи експонент, тоа е типично одвоипроучување на „плус“ и „минус на бесконечноста“, сепак, нашиот живот е олеснет со симетријата на графиконот - или има асимптота и лево и десно, или нема. Затоа, и двете бесконечни граници може да се запишат под еден запис. Во текот на растворот што го користиме Правилото на L'Hopital:

Правата линија (оската) е хоризонтална асимптота на графикот на .

Забележете како лукаво го избегнав целиот алгоритам за пронаоѓање на кос асимптота: границата е целосно легална и го разјаснува однесувањето на функцијата во бесконечност, а хоризонталната асимптота беше откриена „како во исто време“.

Од континуитетот на и постоењето на хоризонтална асимптота произлегува дека функцијата ограничени погореИ ограничени подолу.

3) Точки на пресек на графикот со координатните оски, интервали на константен знак.

Овде го скратуваме и решението:
Графикот поминува низ потеклото.

Нема други точки на пресек со координатните оски. Покрај тоа, интервалите на постојаноста на знакот се очигледни и оската не треба да се нацрта: , што значи дека знакот на функцијата зависи само од „x“:
, Ако ;
, Ако .

4) Зголемување, намалување, екстремност на функцијата.


– критични точки.

Точките се симетрични околу нула, како што треба да биде.

Да ги одредиме знаците на дериватот:


Функцијата се зголемува во интервал и се намалува во интервали

Во моментот кога функцијата го достигнува својот максимум: .

Поради имотот (необичноста на функцијата) не треба да се пресметува минимумот:

Бидејќи функцијата се намалува во текот на интервалот, тогаш, очигледно, графикот се наоѓа на „минус бесконечност“ поднегова асимптота. Во текот на интервалот, функцијата исто така се намалува, но тука е спротивното - откако ќе помине низ максималната точка, линијата се приближува до оската одозгора.

Од горенаведеното, исто така, произлегува дека графикот на функцијата е конвексен на „минус бесконечност“ и конкавен на „плус бесконечност“.

По оваа точка на проучување, беше нацртан опсегот на вредности на функции:

Доколку имате некакво погрешно разбирање за некои точки, уште еднаш ве повикувам да нацртате координатни оски во вашата тетратка и, со молив во рацете, повторно да го анализирате секој заклучок од задачата.

5) Конвексност, конкавност, свиоци на графикот.

– критични точки.

Симетријата на точките е зачувана и, најверојатно, не се лажеме.

Ајде да ги дефинираме знаците:


Графикот на функцијата е конвексен на и конкавна на .

Потврдена е конвексност/конкавност во екстремни интервали.

На сите критични точки има превиткувања во графикот. Ајде да ги најдеме ординатите на точките на флексија и повторно да го намалиме бројот на пресметки користејќи ја непарноста на функцијата:

Решавач Кузњецов.
III графикони

Задача 7. Направете целосна студија за функцијата и конструирајте ја нејзината графика.

        Пред да започнете со преземање на вашите опции, обидете се да го решите проблемот според примерот даден подолу за опцијата 3. Некои од опциите се архивирани во формат .rar

        7.3 Направете целосна студија за функцијата и нацртајте ја

Решение.

        1) Опсег на дефиниција:         или        , тоа е        .
.
Така:         .

        2) Нема точки на пресек со оската Ox. Навистина, равенката         нема решенија.
Нема точки на пресек со оската Oy, бидејќи        .

        3) Функцијата не е ниту парна ниту непарна. Нема симетрија околу оската на ординатите. Исто така, нема симетрија за потеклото. Бидејќи
.
Гледаме дека         и        .

        4) Функцијата е континуирана во доменот на дефиниција
.

; .

; .
Следствено, точката         е точка на дисконтинуитет од вториот вид (бесконечен дисконтинуитет).

5) Вертикални асимптоти:       

Ајде да ја најдеме косата асимптота        . Еве

;
.
Следствено, имаме хоризонтална асимптота: y=0. Нема коси асимптоти.

        6) Ајде да го најдеме првиот извод. Прв дериват:
.
И затоа
.
Ајде да најдеме неподвижни точки каде што изводот е еднаков на нула, т.е
.

        7) Да го најдеме вториот извод. Втор дериват:
.
И ова е лесно да се потврди, бидејќи