Примери на факторинг полиноми. Како да се факторизира квадратен трином: Формула триномна равенка

Проширувањето на полиномите за да се добие производ понекогаш може да изгледа збунувачки. Но, не е толку тешко ако го разбирате процесот чекор по чекор. Написот детално опишува како да се факторизира квадратен трином.

Многу луѓе не разбираат како да факторизираат квадратен трином и зошто тоа е направено. На почетокот може да изгледа како залудна вежба. Но, во математиката ништо не се прави за ништо. Трансформацијата е неопходна за да се поедностави изразувањето и леснотијата на пресметување.

Полином од формата – ax²+bx+c, наречен квадратен трином.Терминот „а“ мора да биде негативен или позитивен. Во пракса, овој израз се нарекува квадратна равенка. Затоа, понекогаш тие велат поинаку: како да се прошири квадратната равенка.

Интересно!Полиномот се нарекува квадрат поради неговиот најголем степен, квадратот. И трином - поради 3-те компоненти.

Некои други видови полиноми:

• линеарен бином (6x+8);
• кубен квадрином (x³+4x²-2x+9).

Факторирање на квадратен трином

Прво, изразот е еднаков на нула, тогаш треба да ги најдете вредностите на корените x1 и x2. Може да нема корени, може да има еден или два корени. Присуството на корени го одредува дискриминаторот. Треба да ја знаете неговата формула напамет: D=b²-4ac.

Ако резултатот D е негативен, нема корени. Ако е позитивен, има два корени. Ако резултатот е нула, коренот е еден. Корените исто така се пресметуваат со помош на формулата.

Ако, при пресметување на дискриминаторот, резултатот е нула, можете да користите која било од формулите. Во пракса, формулата е едноставно скратена: -b / 2a.

Формулите за различни дискриминаторски вредности се различни.

Ако D е позитивен:

Ако D е нула:

Онлајн калкулатори

Има онлајн калкулатор на Интернет. Може да се користи за да се изврши факторизација. Некои ресурси даваат можност да се погледне решението чекор по чекор. Таквите услуги помагаат подобро да се разбере темата, но треба да се обидете добро да ја разберете.

Корисно видео: Факторирање на квадратен трином

Примери

Предлагаме да погледнеме едноставни примери за тоа како да се факторизира квадратна равенка.

Пример 1

Ова јасно покажува дека резултатот е два х бидејќи D е позитивен. Тие треба да се заменат во формулата. Ако корените се покажат негативни, знакот во формулата се менува на спротивен.

Ја знаеме формулата за факторинг на квадратен трином: a(x-x1)(x-x2). Вредностите ги ставаме во загради: (x+3)(x+2/3). Нема број пред термин во моќ. Тоа значи дека има еден таму, се спушта.

Пример 2

Овој пример јасно покажува како да се реши равенка која има еден корен.

Добиената вредност ја заменуваме:

Пример 3

Дадени: 5x²+3x+7

Прво, да ја пресметаме дискриминаторот, како и во претходните случаи.

D=9-4*5*7=9-140= -131.

Дискриминаторот е негативен, што значи дека нема корени.

По добивањето на резултатот, треба да ги отворите заградите и да го проверите резултатот. Треба да се појави оригиналниот трином.

Алтернативно решение

Некои луѓе никогаш не можеа да се дружат со дискриминаторот. Постои уште еден начин да се факторизира квадратен трином. За погодност, методот е прикажан со пример.

Дадени: x²+3x-10

Знаеме дека треба да добиеме 2 загради: (_)(_). Кога изразот изгледа вака: x²+bx+c, на почетокот на секоја заграда ставаме x: (x_)(x_). Преостанатите два броја се производот што дава „c“, односно во овој случај -10. Единствениот начин да дознаете кои се овие бројки е со селекција. Заменетите броеви мора да одговараат на преостанатиот член.

На пример, со множење на следните броеви се добива -10:

• -1, 10;
• -10, 1;
• -5, 2;
• -2, 5.

1. (x-1) (x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. бр.
2. (x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. бр.
3. (x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. бр.
4. (x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. Одговара.

Тоа значи дека трансформацијата на изразот x2+3x-10 изгледа вака: (x-2)(x+5).

Важно!Треба да внимавате да не ги помешате знаците.

Проширување на сложен трином

Ако „а“ е поголемо од еден, почнуваат тешкотии. Но, сè не е толку тешко како што изгледа.

За да се факторизира, прво треба да се види дали нешто може да се отфрли.

На пример, даден е изразот: 3x²+9x-30. Овде бројот 3 е изваден од загради:

3 (x²+3x-10). Резултатот е веќе добро познатиот трином. Одговорот изгледа вака: 3(x-2)(x+5)

Како да се разложи ако членот што е на квадрат е негативен? Во овој случај, бројот -1 се вади од загради. На пример: -x²-10x-8. Изразот тогаш ќе изгледа вака:

Шемата малку се разликува од претходната. Има само неколку нови работи. Да речеме дека изразот е даден: 2x²+7x+3. Одговорот е запишан и во 2 загради кои треба да се пополнат (_)(_). Во 2-та заграда се пишува x, а во 1-та што останува. Изгледа вака: (2x_)(x_). Во спротивно, претходната шема се повторува.

Бројот 3 е даден со броевите:

• -1, -3;
• -3, -1;
• 3, 1;
• 1, 3.

Ги решаваме равенките со замена на овие броеви. Последната опција е погодна. Тоа значи дека трансформацијата на изразот 2x²+7x+3 изгледа вака: (2x+1)(x+3).

Други случаи

Не е секогаш можно да се конвертира израз. Со вториот метод, не е потребно решавање на равенката. Но, можноста за трансформирање на термините во производ се проверува само преку дискриминаторот.

Вреди да се практикува решавање на квадратни равенки, така што при користење на формулите нема никакви тешкотии.

Корисно видео: факторинг на трином

Заклучок

Можете да го користите на кој било начин. Но, подобро е да ги вежбате и двете додека не станат автоматски. Исто така, учењето како добро да ги решаваат квадратните равенки и факторските полиноми е неопходно за оние кои планираат да го поврзат својот живот со математиката. На ова се изградени сите следни математички теми.

Во контакт со

Овој онлајн калкулатор е дизајниран да ја факторизира функцијата.

На пример, факторизирајте: x 2 /3-3x+12. Да го напишеме како x^2/3-3*x+12. Можете исто така да ја користите оваа услуга, каде што сите пресметки се зачувани во Word формат.

На пример, распаѓајте во термини. Да го запишеме како (1-x^2)/(x^3+x) . За да го видите напредокот на решението, кликнете Прикажи чекори. Ако треба да го добиете резултатот во Word формат, користете ја оваа услуга.

Забелешка: бројот „пи“ (π) се запишува како пи; квадратен корен како sqrt , на пример sqrt(3) , тангентата tg се пишува tan . За да го видите одговорот, видете Алтернатива.

1. Ако е даден едноставен израз, на пример, 8*d+12*c*d, тогаш факторингирањето на изразот значи претставување на изразот во форма на фактори. За да го направите ова, треба да најдете заеднички фактори. Да го напишеме овој израз како: 4*d*(2+3*c) .
2. Претставете го производот во форма на два биноми: x 2 + 21yz + 7xz + 3xy. Овде веќе треба да најдете неколку заеднички фактори: x(x+7z) + 3y(x + 7z). Вадиме (x+7z) и добиваме: (x+7z)(x + 3y) .

види исто така Поделба на полиноми со агол (прикажани се сите чекори на делење со колона)

Корисно при проучување на правилата за факторизација ќе биде скратени формули за множење, со чија помош ќе биде јасно како се отвораат загради со квадрат:

1. (a+b) 2 = (a+b)(a+b) = a 2 +2ab+b 2
2. (а-б) 2 = (а-б) (а-б) = а 2 -2аб+б 2
3. (a+b)(a-b) = a 2 - b 2
4. a 3 +b 3 = (a+b)(a 2 -ab+b 2)
5. a 3 -b 3 = (a-b)(a 2 +ab+b 2)
6. (a+b) 3 = (a+b)(a+b) 2 = a 3 +3a 2 b + 3ab 2 +b 3
7. (а-б) 3 = (а-б) (а-б) 2 = a 3 -3a 2 b + 3ab 2 -b 3

Методи на факторизација

1. Користење на скратени формули за множење.
2. Наоѓање заеднички фактор.

Факторирање на квадратен триномможе да биде корисно при решавање на неравенки од задача C3 или проблем со параметар C5. Исто така, многу проблеми со зборовите B13 ќе се решат многу побрзо ако ја знаете теоремата на Виета.

Оваа теорема, секако, може да се разгледува од перспектива на 8-мо одделение во кое се учи за прв пат. Но, нашата задача е добро да се подготвиме за Единствениот државен испит и да научиме да ги решаваме задачите на испитот што е можно поефикасно. Затоа, оваа лекција разгледува пристап малку поинаков од училишниот.

Формула за корените на равенката користејќи ја теоремата на ВиетаМногу луѓе знаат (или барем виделе):

$$x_1+x_2 = -\frac(b)(a), \quad x_1 x_2 = \frac(c)(a),$$

каде што `a, b` и `c` се коефициентите на квадратниот трином `ax^2+bx+c`.

За да научиме како лесно да ја користиме теоремата, ајде да разбереме од каде доаѓа (ова всушност ќе го олесни запомнувањето).

Да ја имаме равенката `ax^2+ bx+ c = 0`. За дополнителна погодност, поделете го со `a` и добијте `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = 0`. Оваа равенка се нарекува намалена квадратна равенка.

Важна идеја за лекција: секој квадратен полином што има корени може да се прошири во загради.Да претпоставиме дека нашата може да се претстави како `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = (x + k)(x+l)`, каде што `k` и ` l` - некои константи.

Ајде да видиме како се отвораат заградите:

$$(x + k)(x+l) = x^2 + kx+ lx+kl = x^2 +(k+l)x+kl.$$

Така, `k+l = \frac(b)(a), kl = \frac(c)(a)`.

Ова е малку поинакво од класичното толкување Теорема на Виета- во него ги бараме корените на равенката. Предлагам да барам услови за распаѓање на заградата- на овој начин не треба да се сеќавате на минусот од формулата (што значи `x_1+x_2 = -\frac(b)(a)`). Доволно е да изберете два такви броја, чиј збир е еднаков на просечниот коефициент, а производот е еднаков на слободниот член.

Ако ни треба решение на равенката, тогаш очигледно е: корените `x=-k` или `x=-l` (бидејќи во овие случаи една од заградите ќе биде нула, што значи дека целиот израз ќе биде нула ).

Ќе ви го покажам алгоритмот како пример: Како да се прошири квадратен полином во загради.

Пример еден. Алгоритам за факторинг на квадратен трином

Патеката што ја имаме е квадрантен трином `x^2+5x+4`.

Се намалува (коефициентот `x^2` е еднаков на еден). Тој има корени. (За да бидете сигурни, можете да ја процените дискриминаторот и да се уверите дека е поголема од нула.)

Понатамошни чекори (треба да ги научите со завршување на сите задачи за обука):

1. Пополнете го следниот запис: $$x^2+5x+4=(x \ldots)(x \ldots).$$ Наместо точки, оставете слободен простор, таму ќе додадеме соодветни броеви и знаци.
2. Разгледајте ги сите можни опции за разложување на бројот `4` во производ од два броја. Добиваме парови „кандидати“ за корените на равенката: `2, 2` и `1, 4`.
3. Дознајте од кој пар можете да го добиете просечниот коефициент. Очигледно е `1, 4`.
4. Напишете $$x^2+5x+4=(x \quad 4)(x \quad 1)$$.
5. Следниот чекор е да поставите знаци пред вметнати броеви.

   Како да разберете и засекогаш да запомните кои знаци треба да се појават пред броевите во загради? Обидете се да ги отворите (загради). Коефициентот пред `x` до првата моќност ќе биде `(± 4 ± 1)` (сеуште не ги знаеме знаците - треба да избереме), и треба да биде еднаков на `5`. Очигледно, ќе има два плуса $$x^2+5x+4=(x + 4)(x + 1)$$.

   Изведете ја оваа операција неколку пати (здраво, задачи за обука!) и никогаш повеќе нема да имате проблеми со ова.

Ако треба да ја решите равенката `x^2+5x+4`, тогаш сега да ја решите нема да биде тешко. Неговите корени се `-4, -1`.

Пример два. Факторизација на квадратен трином со коефициенти на различни знаци

Дозволете ни да ја решиме равенката `x^2-x-2=0`. Навистина, дискриминаторот е позитивен.

Го следиме алгоритмот.

1. $$x^2-x-2=(x \ldots) (x \ldots).$$
2. Постои само едно размножување на два во цели броеви: `2 · 1`.
3. Ја прескокнуваме поентата - нема од што да се избере.
4. $$x^2-x-2=(x \quad 2) (x \quad 1).$$
5. Производот на нашите броеви е негативен (`-2` е слободен член), што значи дека еден од нив ќе биде негативен, а другиот ќе биде позитивен.
   Бидејќи нивниот збир е еднаков на `-1` (коефициентот на `x`), тогаш `2` ќе биде негативен (интуитивното објаснување е дека два е поголем од двата броја, тој ќе „влече“ посилно во негативна насока). Добиваме $$x^2-x-2=(x - 2) (x + 1).$$

Трет пример. Факторирање на квадратен трином

Равенката е `x^2+5x -84 = 0`.

1. $$x+ 5x-84=(x \ldots) (x \ldots).$$
2. Разложување на 84 на цели броеви: `4 21, 6 14, 12 7, 2 42`.
3. Бидејќи ни треба разликата (или збирот) на броевите да биде 5, парот `7, 12` е соодветен.
4. $$x+ 5x-84=(x\quad 12) (x\quad 7).$$
5. $$x+ 5x-84=(x + 12) (x - 7).$$

Надеж, проширување на овој квадратен трином во заградиТоа е јасно.

Ако ви треба решение за равенка, тука е: `12, -7`.

Задачи за обука

Ви ставам на внимание неколку примери кои се лесни за се решаваат со помош на теоремата на Виета.(Примери земени од списанието „Математика“, 2002 г.)

1. `x^2+x-2=0`
2. `x^2-x-2=0`
3. `x^2+x-6=0`
4. `x^2-x-6=0`
5. `x^2+x-12=0`
6. `x^2-x-12=0`
7. `x^2+x-20=0`
8. `x^2-x-20=0`
9. `x^2+x-42=0`
10. `x^2-x-42=0`
11. `x^2+x-56=0`
12. `x^2-x-56=0`
13. `x^2+x-72=0`
14. `x^2-x-72=0`
15. `x^2+x-110=0`
16. `x^2-x-110=0`
17. `x^2+x-420=0`
18. `x^2-x-420=0`

Неколку години по пишувањето на статијата, се појави збирка од 150 задачи за проширување на квадратен полином користејќи ја теоремата на Виета.

Лајк и поставувај прашања во коментари!

Во оваа лекција ќе научиме како да ги факторизираме квадратните триноми во линеарни фактори. За да го направите ова, треба да ја запомниме теоремата на Виета и нејзиниот контраст. Оваа вештина ќе ни помогне брзо и удобно да ги прошириме квадратните триноми во линеарни фактори, а исто така ќе го поедностави намалувањето на дропките што се состојат од изрази.

Значи, да се вратиме на квадратната равенка, каде што .

Она што го имаме на левата страна се нарекува квадратен трином.

Теоремата е вистинита:Ако се корените на квадратен трином, тогаш идентитетот важи

Каде е водечкиот коефициент, се корените на равенката.

Значи, имаме квадратна равенка - квадратен трином, каде што корените на квадратната равенка се нарекуваат и корени на квадратниот трином. Според тоа, ако ги имаме корените на квадратен трином, тогаш овој трином може да се разложи на линеарни фактори.

Доказ:

Доказот за овој факт се врши со помош на теоремата на Виета, за која разговаравме во претходните лекции.

Да се ​​потсетиме што ни кажува теоремата на Виета:

Ако се корените на квадратен трином за кој , тогаш .

Од оваа теорема произлегува следнава изјава:

Гледаме дека, според теоремата на Виета, т.е., со замена на овие вредности во формулата погоре, го добиваме следниот израз

Q.E.D.

Потсетиме дека ја докажавме теоремата дека ако се корените на квадратен трином, тогаш проширувањето е валидно.

Сега да се потсетиме на пример на квадратна равенка, на која избравме корени користејќи ја теоремата на Виета. Од овој факт можеме да ја добиеме следната еднаквост благодарение на докажаната теорема:

Сега да ја провериме точноста на овој факт со едноставно отворање на заградите:

Гледаме дека правилно сме факторизирале, а секој трином, ако има корени, според оваа теорема може да се размножи во линеарни фактори според формулата

Сепак, да провериме дали таквата факторизација е можна за која било равенка:

Земете ја, на пример, равенката . Прво, да го провериме знакот за дискриминација

И се сеќаваме дека за да ја исполниме теоремата што ја научивме, D мора да биде поголемо од 0, така што во овој случај, факторизацијата според теоремата што ја научивме е невозможна.

Затоа, формулираме нова теорема: ако квадратниот трином нема корени, тогаш не може да се разложи на линеарни фактори.

Значи, ја разгледавме теоремата на Виета, можноста за разложување на квадратен трином на линеарни фактори, и сега ќе решиме неколку проблеми.

Задача бр. 1

Во оваа група всушност ќе го решиме проблемот обратно од поставената. Имавме равенка, а нејзините корени ги најдовме со факторингирање. Овде ќе го направиме спротивното. Да речеме дека имаме корени на квадратна равенка

Инверзниот проблем е овој: напишете квадратна равенка користејќи ги нејзините корени.

Постојат 2 начини да се реши овој проблем.

Бидејќи се корените на равенката, тогаш е квадратна равенка чии корени се дадени броеви. Сега да ги отвориме заградите и да провериме:

Ова беше првиот начин на кој создадовме квадратна равенка со дадени корени, која нема други корени, бидејќи секоја квадратна равенка има најмногу два корени.

Овој метод вклучува употреба на инверзната теорема Виета.

Ако се корените на равенката, тогаш тие го задоволуваат условот дека .

За намалената квадратна равенка , , т.е. во овој случај и .

Така, создадовме квадратна равенка која ги има дадените корени.

Задача бр. 2

Неопходно е да се намали фракцијата.

Имаме тројном во броителот и трином во именителот, а триномите може да се факторизираат или не. Ако и броителот и именителот се факторинг, тогаш меѓу нив може да има еднакви фактори кои можат да се намалат.

Пред сè, треба да го факторирате броителот.

Прво, треба да проверите дали оваа равенка може да се факторизира, ајде да ја најдеме дискриминаторот. Бидејќи , знакот зависи од производот (мора да биде помал од 0), во овој пример, т.е. дадената равенка има корени.

За да решиме, ја користиме теоремата на Виета:

Во овој случај, бидејќи се занимаваме со корени, ќе биде доста тешко едноставно да ги изберете корените. Но, гледаме дека коефициентите се избалансирани, односно, ако претпоставиме дека , и ја замениме оваа вредност во равенката, го добиваме следниот систем: , т.е. 5-5=0. Така, избравме еден од корените на оваа квадратна равенка.

Ќе го бараме вториот корен со замена на веќе познатото во системот на равенки, на пример, , т.е. .

Така, ги најдовме двата корени на квадратната равенка и можеме да ги замениме нивните вредности во оригиналната равенка за да ја факторинг:

Да се ​​потсетиме на првичниот проблем, требаше да ја намалиме дропот.

Ајде да се обидеме да го решиме проблемот со замена.

Неопходно е да не се заборави дека во овој случај именителот не може да биде еднаков на 0, т.е.

Ако овие услови се исполнети, тогаш ја намаливме оригиналната дропка на формата .

Задача бр. 3 (задача со параметар)

Во кои вредности на параметарот е збирот на корените на квадратната равенка

Ако корените на оваа равенка постојат, тогаш , прашање: кога.

Онлајн калкулатор.
Изолирање на квадрат на бином и факторингирање на квадратен трином.

Оние. проблемите се сведуваат на наоѓање на броевите \(p, q\) и \(n, m\)

Програмата не само што дава одговор на проблемот, туку го прикажува и процесот на решавање.

Оваа програма може да биде корисна за средношколците во општите училишта кога се подготвуваат за тестови и испити, кога го тестираат знаењето пред обединетиот државен испит, како и за родителите да го контролираат решавањето на многу проблеми по математика и алгебра. Или можеби е премногу скапо за вас да ангажирате учител или да купите нови учебници? Или само сакате да ја завршите домашната задача по математика или алгебра што е можно побрзо? Во овој случај, можете да ги користите и нашите програми со детални решенија.

На овој начин, можете да спроведете сопствена обука и/или обука на вашите помлади браќа или сестри, додека нивото на образование во областа на решавање проблеми се зголемува.

Доколку не сте запознаени со правилата за внесување на квадратен трином, ви препорачуваме да се запознаете со нив.

Правила за внесување квадратен полином

Секоја латинска буква може да дејствува како променлива.
На пример: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), итн.

Броевите може да се внесат како цели или фракциони броеви.
Покрај тоа, фракционите броеви можат да се внесат не само во форма на децимален, туку и во форма на обична дропка.

Правила за внесување децимални дропки.
Во децималните дропки, дробниот дел може да се одвои од целиот дел или со точка или со запирка.
На пример, можете да внесете децимални фракции вака: 2,5x - 3,5x^2

Правила за внесување обични дропки.
Само цел број може да дејствува како броител, именител и цел број на дропка.

Именителот не може да биде негативен.

При внесување на нумеричка дропка, броителот се одвојува од именителот со знак за делење: /
Целиот дел е одделен од дропот со знакот за амперсенд: &
Влез: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2
Резултат: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2\)

При внесување на израз можете да користите загради. Во овој случај при решавањето прво се поедноставува воведениот израз.
На пример: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

Пример за детално решение

Изолирање на квадрат на бином.$$ ax^2+bx+c \десно стрелка a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \десно)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \десно)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\лево (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \десно)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \десно)^2 \десно)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\лево(x+\frac(1)(2) \десно)^2-\frac(9)(2) $$ Одговор:$$2x^2+2x-4 = 2\лево(x+\frac(1)(2) \десно)^2-\frac(9)(2) $$ Факторизација.$$ ax^2+bx+c \десно стрелка a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\лево(x^2+x-2 \десно) = $$
$$ 2 \лево(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \десно) = $$ $$ 2 \лево(x \лево(x +2 \десно) -1 \лево(x +2 \десно ) \десно) = $$ $$ 2 \лево(x -1 \десно) \лево(x +2 \десно) $$ Одговор:$$2x^2+2x-4 = 2 \лево(x -1 \десно) \лево(x +2 \десно) $$

Откриено е дека некои скрипти неопходни за решавање на овој проблем не се вчитани и дека програмата може да не работи.
Можеби имате овозможено AdBlock.
Во овој случај, оневозможете го и освежете ја страницата.

Бидејќи Има многу луѓе кои се подготвени да го решат проблемот, вашето барање е на ред.
За неколку секунди решението ќе се појави подолу.
Ве молам почекајте сек...

Ако ти забележал грешка во решението, тогаш можете да напишете за ова во Формуларот за повратни информации.
Не заборавај посочете која задачавие одлучувате што внесете во полињата.

Нашите игри, загатки, емулатори:

Малку теорија.

Изолирање на квадрат на бином од квадратен трином

Ако квадратниот трином ax 2 +bx+c е претставен како a(x+p) 2 +q, каде што p и q се реални броеви, тогаш велиме дека од квадратен трином, квадратот на биномот е означен.

Од триномот 2x 2 +12x+14 го извлекуваме квадратот на биномот.

\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)

За да го направите ова, замислете 6x како производ од 2*3*x, а потоа додадете и одземете 3 2. Добиваме:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

Тоа. Ние извлечете го квадратниот бином од квадратниот трином, и покажа дека:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

Факторирање на квадратен трином

Ако квадратниот трином ax 2 +bx+c е претставен во форма a(x+n)(x+m), каде што n и m се реални броеви, тогаш се вели дека операцијата е извршена факторизација на квадратен трином.

Да покажеме со пример како се прави оваа трансформација.

Да го пресметаме квадратниот трином 2x 2 +4x-6.

Да го извадиме коефициентот a од загради, т.е. 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)

Ајде да го трансформираме изразот во загради.
За да го направите ова, замислете 2x како разлика 3x-1x, и -3 како -1*3. Добиваме:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

Тоа. Ние факторинг на квадратниот трином, и покажа дека:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

Забележете дека факторингирање на квадратен трином е можно само ако квадратната равенка што одговара на овој трином има корени.
Оние. во нашиот случај, можно е да се факторизира триномот 2x 2 +4x-6 ако квадратната равенка 2x 2 +4x-6 =0 има корени. Во процесот на факторизација, утврдивме дека равенката 2x 2 + 4x-6 = 0 има два корени 1 и -3, бидејќи со овие вредности равенката 2(x-1)(x+3)=0 се претвора во вистинска еднаквост.