Растојанието помеѓу две точки по географски координати. Одредување на растојанието помеѓу две точки само со помош на longlat координати

Нека е даден правоаголен координатен систем.

Теорема 1.1.За било кои две точки M 1 (x 1;y 1) и M 2 (x 2;y 2) од рамнината, растојанието d меѓу нив се изразува со формулата

Доказ.Да ги отфрлиме перпендикуларите M 1 B и M 2 A од точките M 1 и M 2, соодветно

на оската Oy и Ox и означете ја со K точката на пресек на правите M 1 B и M 2 A (сл. 1.4). Можни се следниве случаи:

1) Точките M 1, M 2 и K се различни. Очигледно, точката К има координати (x 2; y 1). Лесно е да се види дека M 1 K = ôx 2 – x 1 ô, M 2 K = ôу 2 – y 1 ô. Бидејќи ∆M 1 KM 2 е правоаголен, тогаш според Питагоровата теорема d = M 1 M 2 = = .

2) Точката K се совпаѓа со точката M 2, но е различна од точката M 1 (сл. 1.5). Во овој случај, y 2 = y 1

и d = M 1 M 2 = M 1 K = ôx 2 – x 1 ô= =

3) Точката К се совпаѓа со точката М 1, но е различна од точката М 2. Во овој случај x 2 = x 1 и d =

M 1 M 2 = KM 2 = ôу 2 - y 1 ô= = .

4) Точката М 2 се совпаѓа со точката М 1. Тогаш x 1 = x 2, y 1 = y 2 и

d = M 1 M 2 = O = .

Поделба на сегмент во овој поглед.

Нека е дадена произволна отсечка M 1 M 2 на рамнината и нека M ─ која било точка од ова

сегмент различен од точката M 2 (сл. 1.6). Бројот l, дефиниран со еднаквоста l = , повикан став,во која точка M ја дели отсечката M 1 M 2.

Теорема 1.2.Ако точка M(x;y) ја дели отсечката M 1 M 2 во однос на l, тогаш координатите на оваа точка се одредуваат со формулите

x = , y = , (4)

каде што (x 1;y 1) ─ координати на точката M 1, (x 2;y 2) ─ координати на точката M 2.

Доказ.Да ја докажеме првата од формулите (4). На сличен начин се докажува и втората формула. Постојат два можни случаи.

x = x 1 = = = .

2) Правата линија M 1 M 2 не е нормална на оската Ox (сл. 1.6). Да ги спуштиме перпендикуларите од точките M 1, M, M 2 на оската Ox и да ги означиме точките на нивното пресекување со оската Ox како P 1, P, P 2, соодветно. По теоремата за пропорционални отсечки = l.

Бидејќи P 1 P = ôx – x 1 ô, PP 2 = ôx 2 – xô и броевите (x – x 1) и (x 2 – x) имаат ист знак (на x 1< х 2 они положительны, а при х 1 >x 2 се негативни), тогаш

x – x 1 = l(x 2 – x), x + lx = x 1 + lx 2,

x = .

Заклучок 1.2.1.Ако M 1 (x 1;y 1) и M 2 (x 2;y 2) се две произволни точки и точката M(x;y) е средината на отсечката M 1 M 2, тогаш

x = , y = (5)

Доказ.Бидејќи M 1 M = M 2 M, тогаш l = 1 и користејќи формули (4) ги добиваме формулите (5).

Плоштина на триаголник.

Теорема 1.3.За сите точки A(x 1;y 1), B(x 2;y 2) и C(x 3;y 3) кои не лежат на истото

права линија, плоштината S на триаголникот ABC се изразува со формулата

S = ô(x 2 – x 1)(y 3 – y 1) – (x 3 – x 1)(y 2 – y 1)ô (6)

Доказ.Плоштина ∆ ABC прикажана на сл. 1.7, ние пресметуваме на следниов начин

S ABC = S ADEC + S BCEF – S ABFD .

Ја пресметуваме областа на трапезоидите:

S ADEC =
,

S BCEF =

Сега имаме

S ABC = ((x 3 – x 1) (y 3 + y 1) + (x 3 – x 2) (y 3 + y 2) - (x 2 – -x 1) (y 1 + y 2)) = (x 3 y 3 – x 1 y 3 + x 3 y 1 – x 1 y 1 + + x 2 y 3 – -x 3 y 3 + x 2 y 2 – x 3 y 2 – x 2 y 1 + x 1 y 1 – x 2 y 2 + x 1 y 2) = (x 3 y 1 – x 3 y 2 + x 1 y 2 – x 2 y 1 + x 2 y 3 –

X 1 y 3) = (x 3 (y 1 – y 2) + x 1 y 2 – x 1 y 1 + x 1 y 1 – x 2 y 1 + y 3 (x 2 – x 1)) = (x 1 (y 2 – y 1) – x 3 (y 2 – y 1) + +y 1 (x 1 – x 2) – y 3 (x 1 – x 2)) = ((x 1 – x 3)( y 2 – y 1) + (x 1 – x 2) (y 1 – y 3)) = ((x 2 – x 1) (y 3 – y 1) –

- (x 3 – x 1) (y 2 – y 1)).

За друга локација ∆ ABC, формулата (6) се докажува на сличен начин, но може да испадне со знак „-“. Затоа во формулата (6) го ставаат знакот за модул.

Предавање 2.

Равенка на права линија на рамнина: равенка на права линија со главен коефициент, општа равенка на права линија, равенка на права линија во отсечки, равенка на права линија што минува низ две точки. Аголот помеѓу прави, условите на паралелизам и нормалност на прави на рамнина.

2.1. Нека се дадени правоаголен координатен систем и некоја права L на рамнината.

Дефиниција 2.1.Равенката од формата F(x;y) = 0, која ги поврзува променливите x и y, се вика линиска равенка Л(во даден координатен систем), ако оваа равенка е задоволена со координатите на која било точка што лежи на правата L, а не со координатите на која било точка што не лежи на оваа права.

Примери на равенки на прави на рамнина.

1) Размислете за права линија паралелна со оската Oy на правоаголниот координатен систем (сл. 2.1). Да ја означиме со буквата А пресечната точка на оваа права со оската Ox, (a;o) ─ нејзината или-

Дината. Равенката x = a е равенката на дадената права. Навистина, оваа равенка е задоволена со координатите на која било точка M(a;y) од оваа права и не е задоволена со координатите на која било точка што не лежи на правата. Ако a = 0, тогаш правата линија се совпаѓа со оската Oy, која ја има равенката x = 0.

2) Равенката x - y = 0 го дефинира множеството точки на рамнината што ги сочинуваат симетралите на I и III координатните агли.

3) Равенката x 2 - y 2 = 0 ─ е равенка на две симетрали на координатни агли.

4) Равенката x 2 + y 2 = 0 дефинира една точка O(0;0) на рамнината.

5) Равенка x 2 + y 2 = 25 ─ равенка на круг со радиус 5 со центар на почетокот.

Математика

§2. Координати на точка на рамнината

3. Растојание помеѓу две точки.

Јас и ти сега можеме да зборуваме за точките на јазикот на броевите. На пример, повеќе не треба да објаснуваме: земете точка која е три единици десно од оската и пет единици под оската. Доволно е да се каже едноставно: земете ја поентата.

Веќе рековме дека ова создава одредени предности. Значи, можеме да пренесеме цртеж составен од точки со телеграф, да го пренесеме на компјутер, кој воопшто не ги разбира цртежите, но добро ги разбира бројките.

Во претходниот пасус, дефиниравме неколку групи точки на рамнината користејќи врски помеѓу броевите. Сега ајде да се обидеме доследно да преведуваме други геометриски концепти и факти на јазикот на броевите.

Ќе започнеме со едноставна и вообичаена задача.

Најдете го растојанието помеѓу две точки на рамнината.

Решение:
Како и секогаш, претпоставуваме дека точките се дадени по нивните координати, а потоа нашата задача е да најдеме правило според кое можеме да го пресметаме растојанието помеѓу точките, знаејќи ги нивните координати. При изведувањето на ова правило, се разбира, дозволено е да се прибегне кон цртеж, но самото правило не треба да содржи никакви референци за цртежот, туку треба само да покаже какви дејства и по кој редослед мора да се извршат на дадените броеви - координатите. од точките - за да се добие саканиот број - растојанието помеѓу точките.

Можеби некои читатели ќе го сметаат овој пристап кон решавање на проблемот чуден и пресилен. Што е поедноставно, ќе речат, бодовите се дадени, макар и по координати. Нацртајте ги овие точки, земете линијар и измерете го растојанието меѓу нив.

Овој метод понекогаш не е толку лош. Сепак, замислете повторно дека имате работа со компјутер. Таа нема линијар и не црта, но може да брои толку брзо што воопшто не и претставува проблем. Забележете дека нашиот проблем е формулиран така што правилото за пресметување на растојанието помеѓу две точки се состои од команди што може да ги изврши машината.

Подобро е прво да се реши проблемот поставен за посебниот случај кога една од овие точки лежи на потеклото на координатите. Започнете со неколку нумерички примери: најдете го растојанието од потеклото на точките; И .

Забелешка. Користете ја Питагоровата теорема.

Сега напишете општа формула за да го пресметате растојанието на точка од потеклото.

Растојанието на точка од потеклото се одредува со формулата:

Очигледно, правилото изразено со оваа формула ги задоволува условите наведени погоре. Конкретно, може да се користи во пресметки на машини кои можат да множат броеви, да ги собираат и да извлекуваат квадратни корени.

Сега да го решиме општиот проблем

Дадени две точки на рамнина, пронајдете го растојанието меѓу нив.

Решение:
Да ги означиме со , , , проекциите на точките и на координатните оски.

Да ја означиме точката на пресек на правите со буквата . Од правоаголен триаголник користејќи ја Питагоровата теорема добиваме:

Но, должината на сегментот е еднаква на должината на сегментот. Точките и , лежат на оската и имаат координати и , соодветно. Според формулата добиена во став 3 од став 2, растојанието меѓу нив е еднакво на .

Расправајќи слично, откриваме дека должината на отсечката е еднаква на . Заменувајќи ги пронајдените вредности и во формулата што ја добиваме.

Во оваа статија ќе ги разгледаме начините за одредување на растојанието од точка до точка теоретски и користејќи го примерот на конкретни задачи. За почеток, да воведеме неколку дефиниции.

Дефиниција 1

Растојание помеѓу точкитее должината на сегментот што ги поврзува, на постоечката скала. Потребно е да се постави скала за да се има единица должина за мерење. Затоа, во основа проблемот со наоѓање на растојанието помеѓу точките се решава со користење на нивните координати на координатна линија, во координатна рамнина или тродимензионален простор.

Почетен податок: координатна права О x и произволна точка А што лежи на неа Секоја точка на правата има еден реален број: нека биде одреден број за точката А x A,тоа е и координата на точката А.

Генерално, можеме да кажеме дека должината на одреден сегмент се оценува во споредба со отсечка земена како единица должина на дадена скала.

Ако точката А одговара на цел број реален број, со последователно одложување од точката O до точка по права линија O A отсечки - единици за должина, можеме да ја одредиме должината на отсечката O A од вкупниот број на издвоени единечни отсечки.

На пример, точката А одговара на бројот 3 - за да стигнете до неа од точката О, ќе треба да отпуштите три единечни сегменти. Ако точката А има координата - 4, единечните отсечки се поставени на сличен начин, но во различна, негативна насока. Така, во првиот случај, растојанието O A е еднакво на 3; во вториот случај O A = 4.

Ако точката А има рационален број како координата, тогаш од почеток (точка О) исцртуваме цел број на единечни отсечки, а потоа неговиот неопходен дел. Но, геометриски не е секогаш можно да се направи мерење. На пример, се чини дека е тешко да се нацрта дропката 4 111 на координатната линија.

Користејќи го горенаведениот метод, сосема е невозможно да се нацрта ирационален број на права линија. На пример, кога координатата на точката А е 11. Во овој случај, можно е да се свртиме кон апстракција: ако дадената координата на точката А е поголема од нула, тогаш O A = x A (бројот се зема како растојание); ако координатата е помала од нула, тогаш O A = - x A . Општо земено, овие изјави се вистинити за секој реален број x A.

Да резимираме: растојанието од потеклото до точката што одговара на реален број на координатната линија е еднакво на:

• 0 ако точката се совпаѓа со потеклото;

• x A, ако x A > 0;

• - x A ако x A< 0 .

Во овој случај, очигледно е дека должината на самата отсечка не може да биде негативна, затоа, користејќи го знакот на модул, растојанието од точката О до точката А го запишуваме со координатата x А: O A = x A

Следната изјава ќе биде точна: растојанието од една до друга точка ќе биде еднакво на модулот на координатната разлика.Оние. за точките A и B кои лежат на иста координатна права за која било локација и имаат соодветни координати x АИ x B: A B = x B - x A.

Почетни податоци: точките A и B лежат на рамнина во правоаголен координатен систем O x y со дадени координати: A (x A, y A) и B (x B, y B).

Да нацртаме нормални низ точките A и B до координатните оски O x и O y и како резултат да ги добиеме проекционите точки: A x, A y, B x, B y. Врз основа на локацијата на точките А и Б, тогаш се можни следните опции:

Ако точките А и Б се совпаѓаат, тогаш растојанието меѓу нив е нула;

Ако точките A и B лежат на права линија нормална на оската O x (оска на апсциса), тогаш точките се совпаѓаат и | A B | = | A y B y | . Бидејќи растојанието помеѓу точките е еднакво на модулот на разликата на нивните координати, тогаш A y B y = y B - y A, и, според тоа, A B = A y B y = y B - y A.

Ако точките A и B лежат на права линија нормална на оската O y (ординатна оска) - по аналогија со претходниот став: A B = A x B x = x B - x A

Ако точките А и Б не лежат на права линија нормална на една од координатните оски, ќе го најдеме растојанието меѓу нив со изведување на формулата за пресметка:

Гледаме дека триаголникот A B C е правоаголен по конструкција. Во овој случај, A C = A x B x и B C = A y B y. Користејќи ја Питагоровата теорема, ја создаваме еднаквоста: A B 2 = A C 2 + B C 2 ⇔ A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 , а потоа ја трансформираме: A B = A x B x 2 + A y B y 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Да извлечеме заклучок од добиениот резултат: растојанието од точката А до точката Б на рамнината се одредува со пресметка користејќи ја формулата користејќи ги координатите на овие точки

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Резултирачката формула ги потврдува и претходно формираните изјави за случаи на совпаѓање на точки или ситуации кога точките лежат на прави линии нормално на оските. Значи, ако точките A и B се совпаднат, ќе биде точно следната еднаквост: A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + 0 2 = 0

За ситуација кога точките A и B лежат на права линија нормална на оската x:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + (y B - y A) 2 = y B - y A

За случајот кога точките A и B лежат на права линија нормална на оската на ординатите:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = (x B - x A) 2 + 0 2 = x B - x A

Почетен податок: правоаголен координатен систем O x y z со произволни точки што лежат на него со дадени координати A (x A, y A, z A) и B (x B, y B, z B). Неопходно е да се одреди растојанието помеѓу овие точки.

Да го разгледаме општиот случај кога точките A и B не лежат во рамнина паралелна на една од координатните рамнини. Да нацртаме рамнини нормални на координатните оски низ точките A и B и да ги добиеме соодветните проекциони точки: A x , A y , A z , B x , B y , B z

Растојанието помеѓу точките А и Б е дијагоналата на добиениот паралелепипед. Според конструкцијата на мерењата на овој паралелепипед: A x B x , A y B y и A z B z

Од курсот по геометрија знаеме дека квадратот на дијагоналата на паралелепипед е еднаков на збирот на квадратите на неговите димензии. Врз основа на ова тврдење, ја добиваме еднаквоста: A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2

Користејќи ги заклучоците добиени претходно, го пишуваме следново:

A x B x = x B - x A, A y B y = y B - y A, A z B z = z B - z A

Ајде да го трансформираме изразот:

A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 + z B - z A 2 = = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 + z B - z A 2

Конечно формула за одредување на растојанието помеѓу точките во просторотќе изгледа вака:

A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Добиената формула важи и за случаи кога:

Точките се совпаѓаат;

Тие лежат на една координатна оска или права линија паралелна на една од координатните оски.

Примери за решавање проблеми за наоѓање на растојанието помеѓу точките

Почетни податоци: дадени се координатна права и точки што лежат на неа со дадени координати A (1 - 2) и B (11 + 2). Неопходно е да се најде растојанието од почетната точка О до точката А и помеѓу точките А и Б.

Решение

1. Растојанието од референтната точка до точката е еднакво на модулот на координатата на оваа точка, соодветно O A = 1 - 2 = 2 - 1
2. Растојанието помеѓу точките A и B го дефинираме како модул на разликата помеѓу координатите на овие точки: A B = 11 + 2 - (1 - 2) = 10 + 2 2

Одговор: O A = 2 - 1, A B = 10 + 2 2

Пример 2

Почетни податоци: се дадени правоаголен координатен систем и две точки што лежат на него A (1, - 1) и B (λ + 1, 3). λ е некој реален број. Неопходно е да се најдат сите вредности на овој број на кои растојанието A B ќе биде еднакво на 5.

Решение

За да го пронајдете растојанието помеѓу точките A и B, мора да ја користите формулата A B = (x B - x A) 2 + y B - y A 2

Заменувајќи ги реалните координатни вредности, добиваме: A B = (λ + 1 - 1) 2 + (3 - (- 1)) 2 = λ 2 + 16

Го користиме и постоечкиот услов дека A B = 5 и тогаш еднаквоста ќе биде вистина:

λ 2 + 16 = 5 λ 2 + 16 = 25 λ = ± 3

Одговор: A B = 5 ако λ = ± 3.

Пример 3

Почетни податоци: тродимензионален простор е наведен во правоаголниот координатен систем O x y z и точките A (1, 2, 3) и B - 7, - 2, 4 што лежат во него.

Решение

За да го решиме проблемот, ја користиме формулата A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Заменувајќи ги реалните вредности, добиваме: A B = (- 7 - 1) 2 + (- 2 - 2) 2 + (4 - 3) 2 = 81 = 9

Одговор: | A B | = 9

Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter

Растојанието помеѓу две точки на рамнина.
Координатни системи

Секоја точка А на рамнината се карактеризира со нејзините координати (x, y). Тие се совпаѓаат со координатите на векторот 0А, излегувајќи од точката 0 - потеклото на координатите.

Нека A и B се произволни точки на рамнината со координати (x 1 y 1) и (x 2, y 2), соодветно.

Тогаш векторот AB очигледно има координати (x 2 - x 1, y 2 - y 1). Познато е дека квадратот на должината на векторот е еднаков на збирот на квадратите на неговите координати. Според тоа, растојанието d помеѓу точките A и B, или, што е исто, должината на векторот AB, се одредува од условот

d 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

d = \/ (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2

Резултирачката формула ви овозможува да го пронајдете растојанието помеѓу било кои две точки на рамнината, ако се познати само координатите на овие точки

Секогаш кога зборуваме за координатите на одредена точка на рамнината, мислиме на добро дефиниран координатен систем x0y. Општо земено, координатниот систем на рамнина може да се избере на различни начини. Значи, наместо x0y координатен систем, можете да го земете во предвид координатен систем x“0y, кој се добива со ротирање на старите координатни оски околу почетната точка 0 спротивно од стрелките на часовникотстрелките на аголот α .

Ако одредена точка на рамнината во координатниот систем x0y имала координати (x, y), тогаш во новиот координатен систем x"0y" ќе има различни координати (x, y").

Како пример, земете ја точката М, која се наоѓа на оската 0x и е одвоена од точката 0 на растојание од 1.

Очигледно, во координатниот систем x0y оваа точка има координати (cos α , грев α ), а во координатен систем x"0y" координатите се (1,0).

Координатите на кои било две точки на рамнината А и Б зависат од тоа како координатниот систем е наведен во оваа рамнина. Но, растојанието помеѓу овие точки не зависи од методот на одредување на координатниот систем. Оваа важна околност значително ќе ја искористиме во следниот пасус.

Вежби

I. Најдете ги растојанијата помеѓу точките на рамнината со координати:

1) (3.5) и (3.4); 3) (0,5) и (5, 0); 5) (-3,4) и (9, -17);

2) (2, 1) и (- 5, 1); 4) (0, 7) и (3,3); 6) (8, 21) и (1, -3).

II. Најдете го периметарот на триаголник чии страни се дадени со равенките:

x + y - 1 = 0, 2x - y - 2 = 0 и y = 1.

III. Во координатен систем x0y, точките M и N имаат координати (1, 0) и (0,1), соодветно. Најдете ги координатите на овие точки во новиот координатен систем, кој се добива со ротирање на старите оски околу почетната точка за агол од 30° спротивно од стрелките на часовникот.

IV. Во x0y координатен систем, точките M и N имаат координати (2, 0) и (\ / 3/2, - 1/2) соодветно. Најдете ги координатите на овие точки во новиот координатен систем, кој се добива со ротирање на старите оски околу почетната точка за агол од 30° во насока на стрелките на часовникот.

Решавањето проблеми по математика е често придружено со многу потешкотии за учениците. Да му се помогне на студентот да се справи со овие тешкотии, како и да го научи да го применува своето постојно теоретско знаење при решавање на конкретни проблеми во сите делови од предметот „Математика“ е главната цел на нашата страница.

Кога започнуваат да решаваат проблеми на темата, учениците треба да бидат способни да конструираат точка на рамнина користејќи ги нејзините координати, како и да ги пронајдат координатите на дадена точка.

Пресметувањето на растојанието помеѓу две точки A(x A; y A) и B(x B; y B) земени на рамнина се врши со помош на формулата d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2), каде што d е должината на отсечката што ги поврзува овие точки на рамнината.

Ако еден од краевите на отсечката се совпаѓа со потеклото на координатите, а другиот има координати M(x M; y M), тогаш формулата за пресметување d ќе ја има формата OM = √(x M 2 + y M 2 ).

1. Пресметување на растојанието помеѓу две точки врз основа на дадените координати на овие точки

Пример 1.

Најдете ја должината на отсечката што ги поврзува точките A(2; -5) и B(-4; 3) на координатната рамнина (сл. 1).

Решение.

Во изјавата за проблемот се наведува: x A = 2; x B = -4; y A = -5 и y B = 3. Најдете d.

Применувајќи ја формулата d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2), добиваме:

d = AB = √((2 – (-4)) 2 + (-5 – 3) 2) = 10.

2. Пресметување на координатите на точка која е еднакво оддалечена од три дадени точки

Пример 2.

Најдете ги координатите на точката O 1, која е еднакво оддалечена од три точки A(7; -1) и B(-2; 2) и C(-1; -5).

Решение.

Од формулацијата на проблемските услови произлегува дека O 1 A = O 1 B = O 1 C. Нека саканата точка O 1 има координати (a; b). Користејќи ја формулата d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) наоѓаме:

O 1 A = √((a – 7) 2 + (b + 1) 2);

O 1 B = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2);

O 1 C = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Ајде да создадеме систем од две равенки:

(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2),
(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

По квадратурата на левата и десната страна на равенките, пишуваме:

((а – 7) 2 + (б + 1) 2 = (а + 2) 2 + (б – 2) 2,
((а – 7) 2 + (б + 1) 2 = (а + 1) 2 + (б + 5) 2.

Поедноставувајќи, ајде да пишуваме

(-3а + б + 7 = 0,
(-2a – b + 3 = 0.

Откако го решивме системот, добиваме: a = 2; b = -1.

Точката O 1 (2; -1) е еднакво оддалечена од трите точки наведени во условот што не лежат на иста права линија. Оваа точка е центар на круг што минува низ три дадени точки (сл. 2).

3. Пресметување на апсцисата (ординатата) на точка која лежи на оската на апсцисата (ординатата) и е на дадено растојание од дадена точка

Пример 3.

Растојанието од точката B(-5; 6) до точката A што лежи на оската Ox е 10. Најдете ја точката А.

Решение.

Од формулацијата на проблемските услови произлегува дека ординатата на точката А е еднаква на нула и AB = 10.

Означувајќи ја апсцисата на точката A со a, пишуваме A(a; 0).

AB = √((a + 5) 2 + (0 – 6) 2) = √((a + 5) 2 + 36).

Ја добиваме равенката √((a + 5) 2 + 36) = 10. Поедноставувајќи ја, имаме

a 2 + 10a – 39 = 0.

Корените на оваа равенка се 1 = -13; и 2 = 3.

Добиваме два поени А 1 (-13; 0) и А 2 (3; 0).

Испитување:

A 1 B = √((-13 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.

A 2 B = √((3 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.

Двете добиени поени се погодни според условите на проблемот (сл. 3).

4. Пресметување на апсцисата (ординатата) на точка која лежи на оската на апсцисата (ординатата) и е на исто растојание од две дадени точки

Пример 4.

Најдете точка на оската Oy што е на исто растојание од точките A (6, 12) и B (-8, 10).

Решение.

Нека координатите на точката што ја бараат условите на задачата, која лежи на оската Oy, се O 1 (0; b) (во точката што лежи на оската Oy, апсцисата е нула). Од условот произлегува дека O 1 A = O 1 B.

Користејќи ја формулата d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) наоѓаме:

O 1 A = √((0 – 6) 2 + (b – 12) 2) = √(36 + (b – 12) 2);

O 1 B = √((a + 8) 2 + (b – 10) 2) = √(64 + (b – 10) 2).

Ја имаме равенката √(36 + (b – 12) 2) = √(64 + (b – 10) 2) или 36 + (b – 12) 2 = 64 + (b – 10) 2.

По поедноставувањето добиваме: b – 4 = 0, b = 4.

Точка O 1 (0; 4) се бара од условите на проблемот (сл. 4).

5. Пресметување на координатите на точка која се наоѓа на исто растојание од координатните оски и некоја дадена точка

Пример 5.

Најдете ја точката М која се наоѓа на координатната рамнина на исто растојание од координатните оски и од точката A(-2; 1).

Решение.

Потребната точка М, како точката A(-2; 1), се наоѓа во вториот координатен агол, бидејќи е еднакво оддалечена од точките A, P 1 и P 2 (сл. 5). Растојанието на точката М од координатните оски се исти, затоа, нејзините координати ќе бидат (-a; a), каде што a > 0.

Од условите на задачата произлегува дека MA = MR 1 = MR 2, MR 1 = a; MP 2 = |-a|,

тие. |-а| = а.

Користејќи ја формулата d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) наоѓаме:

MA = √((-а + 2) 2 + (а – 1) 2).

Ајде да направиме равенка:

√((-а + 2) 2 + (а – 1) 2) = а.

По квадратурата и поедноставувањето имаме: a 2 – 6a + 5 = 0. Решете ја равенката, најдете a 1 = 1; и 2 = 5.

Добиваме две точки M 1 (-1; 1) и M 2 (-5; 5) кои ги задоволуваат условите на проблемот.

6. Пресметување на координатите на точка која се наоѓа на исто одредено растојание од оската на апсцисата (ординатата) и од дадената точка

Пример 6.

Најдете точка M таква што нејзиното растојание од оската на ординатите и од точката A(8; 6) е еднакво на 5.

Решение.

Од условите на задачата произлегува дека MA = 5, а апсцисата на точката M е еднаква на 5. Нека ординатата на точката M е еднаква на b, тогаш M(5; b) (сл. 6).

Според формулата d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) имаме:

MA = √((5 – 8) 2 + (b – 6) 2).

Ајде да направиме равенка:

√((5 – 8) 2 + (b – 6) 2) = 5. Поедноставувајќи го, добиваме: b 2 – 12b + 20 = 0. Корените на оваа равенка се b 1 = 2; b 2 = 10. Следствено, постојат две точки кои ги задоволуваат условите на проблемот: M 1 (5; 2) и M 2 (5; 10).

Познато е дека на многу студенти, кога самостојно решаваат проблеми, им се потребни постојани консултации за техниките и методите за нивно решавање. Честопати, ученикот не може да најде начин да реши проблем без помош од наставник. Ученикот може да ги добие потребните совети за решавање проблеми на нашата веб-страница.

Сè уште имате прашања? Не знаете како да го најдете растојанието помеѓу две точки на авион?
За да добиете помош од учител, регистрирајте се.
Првата лекција е бесплатна!

веб-страница, при копирање на материјалот целосно или делумно, потребна е врска до оригиналниот извор.