Неоднородные линейные системы уравнений с постоянными коэффициентами. Как решить систему дифференциальных уравнений? Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
Неоднородные линейные дифференциальные уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение, частное решение для правой части вида eat * (f(t)*cos(bt) + g(t)*sin(bt)), где f(t), g(t) - многочлены
Решить уравнение
Ищем общее решение соответствующего исходному однородного уравнения.
Характеристическое уравнение имеет вид:
Его решение:
есть пара простых комплексно-сопряженных корней. Тогда общее решение однородного уравнения:
Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде:
Для нахождения неизвестных функций решаем систему:
![](https://i2.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/110521/image151.png)
В нашем случае система принимает вид:
![](https://i2.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/110521/image152.png)
Решаем эту систему:
![](https://i0.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/110521/image153.png)
Находим неизвестные функции:
Тогда частное решение неоднородного уравнения имеет вид:
Общее решение неоднородного уравнения:
Системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Автономная система обыкновенных дифференциальных уравнений. Положения равновесия, точки покоя
Если состояние динамического процесса описывается более чем одним числом, то в этом случае фазовое пространство становится многомерным, а динамический процесс описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений.
Пусть -точка фазового n-мерного пространства. Тогда, для большого числа динамических систем верно, что скорость изменения состояния зависит от состояния и времени t. Отсюда получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка.
![](https://i0.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/110521/image159.png)
где - вектор скорости изменения состояния;
Некоторые функции от состояния и времени t.
Первая часть системы дифференциальных уравнений определяет скорость изменения состояния.
Система уравнений (1) может быть записана в матричном виде. Пусть x - вектор-столбец неизвестных и f(x,t) - вектор-столбец функция.
![](https://i2.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/110521/image161.png)
Тогда система (1) записывается в виде:
Введем понятия решения систем дифференцированных уравнений (1) или (2)
Множество из n функций называется решением дифференциального уравнения (1), если при подстановке их в дифференциальное уравнение оно превращается в тождество.
Общим решением системы (1) называется такое решение, которое охватывает все возможные решения системы (1).
Общее решение системы (1) будет зависеть от n производных постоянных
![](https://i2.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/110521/image163.png)
При некоторых условиях аналогичных условиям для уравнения первого порядка может быть сформулирована теорема существования и единственности решения.
Если при система находится в состоянии
то существует единственное решение
проходящее в момент через точку т.е.
![](https://i1.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/110521/image166.png)
Определение.
Система дифференциальных уравнений (1) или (2) называется автономной, если правые части системы не зависят от времени t т.е. скорость изменения состояния определяется только состоянием x.
В матричном виде система имеет вид
где, f(x) - n-мерная вектор-функция состояния x.
В развернутом виде автономная система имеет вид:
![](https://i2.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/110521/image170.png)
![](https://i0.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/110521/image171.png)
Приравняем первые части системы (8) к нулю. Найдем значение переменных удовлетворяющих системе из уравнений:
![](https://i0.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/110521/image172.png)
Система (9) из n уравнений для n неизвестных может иметь одно или несколько решений или не иметь решений (быть неразрешимой).
![](https://i0.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/110521/image173.png)
Пусть существует решение системы и пусть - одно из этих решений. Это набор из n-чисел для которых верно (9). С механической точки зрения это означает, что в этой точке скорость изменения состояния равна нулю, т.е. если система находится в этой точке, то она будет находиться в этой точке вечно.
С другой стороны, если подставить в систему дифференциальное уравнение (8) (10), то получится тождество. Это означает, что (10) является решением системы дифференциальных уравнений (8).
![](https://i0.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/110521/image174.png)
Тогда - называются положением равновесия или точкой покоя системы дифференциальных уравнений (8).
Системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений 1-го порядка с постоянными коэффициентами отличаются от однородных уравнений присутствием в правой части хотя бы одного уравнения функции от независимой переменной . Как и в случае однородных уравнений, применение к неоднородным уравнениям общей теоремы о существовании и единственности решений не представляет большого труда.
§ 1. Общие сведения.
Пусть имеем систему
линейных неоднородных дифференциальных
уравнений 1-го порядка, содержащую
уравнений:
(1)
где коэффициенты
– действительныепостоянные
числа; функции
,
,…,
,
заданы ихотя бы одна
из них не равна нулю; функции
,
,…,
–
искомые функции переменной
.
Если все функции
,
,…,
– состоят из сумм и произведений функций:
–многочлен степени
;
- число
– действительное число; (2)
,
- число
– действительное число.
то поиск частного
решения проводится, как и в случае одного
уравнения-
го порядка с постоянными коэффициентами,методом неопределённых
коэффициентов
, но с некоторыми
изменениями. Если правые части уравнений
системы произвольные функции
,
,…,
,
то применяют методвариации
произвольных постоянных
.
1.1. Теорема о существовании и единственности решения системы уравнений.
В Главе 11 представлена общая теорема о существовании и единственности решения для системы, имеющей нормальную форму записи. Нетрудно заметить, что для системы линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами (1) требования теоремы выполняются!
1.2. Запись общего решения системы линейных неоднородных уравнений.
Если известно общее решение однородной системы уравнений, соответствующей системе (1) и некоторое частное решение неоднородной системы (1), то общее решение неоднородной системы записывают в виде:
==
+=
+
=
∙
+
∙
+...+
∙
+, (3)
где обозначено:
− общее решение заданной системы
уравнений (1);
− общее решение соответствующей
однородной системы и
− частное решение заданной системы
уравнений (1), соответственно. Выражение
=
+
напоминает теорему о форме записи общего
решения линейного неоднородного
уравнения
-
го порядка с постоянными коэффициентами.
Её доказательство так же просто.
§ 2. Решение системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений со специальной правой частью.
Для моделирования общего алгоритма решения системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами рассмотрим систему, содержащую только три уравнения для функций x ,y ,z :
(4)
где функции
,
,
– непрерывные функции переменной
,
заданы в соответствии с правилом (4) ихотя бы одна
из
них не равна нулю. Функции
,
,
– искомые решения.
Общий алгоритм решения неоднородного уравнения:
1
*
.
Записываем соответствующую неоднородной
системе уравнений (4) однородную систему
(без функций ,
,
):
(5)
и находим её решение (в соответствии с представленными в Главе 12 методами).
2
*
.
Находим частное решение системы (4)
однородную систему, учитывая конкретный
набор функций ,
,
.
3
*
.
Записываем общее решение системы (4) в
виде:=+
. (6)
4 * . Находим решение системы (4), удовлетворяющее заданным начальным условиям.
Записанный алгоритм
содержит величины:
,
,
,
вычисление которых зависит и от набора
функций:
,
,
,
и от особенностей заданной системы (4).
Не станем записывать общих формул,
которые охватили бы самый общий набор
функций
,
,
и получающихся выражений для вычисления
функций:
,
,
.
Правила решения системы (4) вполне понятны
из рассмотрения конкретных Примеров!
Пример 13
–01
Решение :
1). Найдем
характеристические корни соответствующей
однородной системы (то есть без функции
=
):
=
= 0, откуда получаем:
=
–
3;
=
2.
=
+
,
(1.1)
где
=
∙
=
∙
,
=
∙
=
∙
, (2.1)
2). Для определения
векторов
,
составим систему уравнений:
(3.1)
Для характеристического
корня
=–
3
система (3.1) имеет решение:
=
.
Для корня
=
2
система (3.1) имеет решение:
=
.
Замечание : Решение системы (3.1) проводится по известным правилам из курса Линейная алгебра.
3). С учетом полученных
векторов
,
запишем общее решение однородной системы
дифференциальных уравнений:
=
∙
∙
+
∙
∙
. (4.1)
4). Так как функция:
=
–
многочлен 1-й степени и образующее
число
=
не совпадает с характеристическими
корнями:
и
=
,
ее производные:
=
(5.1)
Подставляя выражения (5.1) в заданную систему уравнений, получаем систему тождеств:
(6.1)
Приравнивая коэффициенты при t 0 иt 1 , получаем систему алгебраических уравнений:
при
:
при
:
, (7.1)
откуда: a
=–
,b
=–
,c
=–
,
d
=–
.
5). Запишем общее решение заданной неоднородной системы:
=
+
=
∙
∙
+
∙
∙
+
.
(8.1)
Ответ
:
общее решение системы: =
∙
∙
+
∙
∙
+
.
Пример 13
–02
:
Решить систему нелинейных уравнений:
Решение :
1). Найдем
характеристические корни соответствующей
однородной системы (т.е. без функции
=
).
Запишем характеристическое уравнение:
=
=0,
откуда получаем:
=
,
=
.
В этом случае общее решение однородной
системы будем искать в виде:
=
+
,
(1.2)
где
=
∙
=
∙
,
=
∙
=
∙
. (2.2)
2). Для определения
векторов
,
составим систему уравнений:
(3.2)
3). Для корня
система (3.2) имеет решение:
=
.
Тогда можно записать:
=
∙e
(1– i
) t
=
=
. (4.2)
4). Для корня
система (3.2) имеет решение:
=
.
Аналогично получаем:
=
∙e
(1+ i
) t
=
=
. (5.2)
то есть решения
и
(согласно выражениям (4.2) и (5.2))
комплексно-сопряженные.
=
,
=
(6.2)
6). С учетом выражений
(6.2) запишем общее решение однородной
системы дифференциальных уравнений:
=
∙
+
∙
. (7.2)
7). Так как функция:
=
– имеет специальный вид, ее образующее
число
не совпадает с характеристическими
корнями
и
,
то частное решение заданной системы
будем искать в виде:
=
,
ее производные:
=
. (8.2)
8). Подставляя (8.2) в заданную систему, получаем систему тождеств:
откуда следует:
=–1,
=0. (9.2)
=
+
=
∙
+
∙
∙
+
∙
=
∙
.
(10.2)
Ответ
:Общее решение:=
∙
.
Пример 13
–03
:
Решить систему нелинейных уравнений:
Решение :
При решении данного Примера воспользуемся теоремой о суперпозиции применения функций правой части и запишем две системы, эквивалентные данной, то есть позволяющие получить общее решение исходной системы:
образующее
число:
=
, (1a
)
образующее
число:
=
, (1b)
1). Найдем
характеристические корни соответствующей
однородной системы уравнений (то есть
без функции
и
):
=0,
откуда получаем:
=
=2
– корень кратности
=2.
В этом случае общее решение однородной
системы будем искать в виде:
,
и производные:
(2.3)
2). Подставляем
(2.3) в однородную систему уравнений для
заданной системы и получаем
тождества: (3.3)
3). Приравнивая в (3) коэффициенты при t 0 иt 1 , получаем систему алгебраических уравнений:
при
:
при
:
, (4.3)
откуда:
=
,
=
–
,
=
=
.
Замечание : решение системы (4.3) проводится по известным правилам из курса Линейная алгебра.
4). Итак, общее решение однородной системы уравнений получено:
(5.3)
5). Частное решение
заданной системы уравнений, учитывая
системы (1a
) и (1b),
запишем в виде:, (6.3)
6). Найдем частное
решение неоднородной системы уравнений
(1a
), учитывая совпадение
числа=
с кратным характеристическим корнем:
, (7.3)
7). Подставим в (1a ) выражение (7) и его производную: получим систему тождеств:
Из тождества найдем
неопределенные коэффициенты, приравнивая
коэффициенты при одинаковых степенях
:
при
:
при
:
(8.3)
при
:
при
:
откуда получаем:
,
=
=
,
=
=
.
Учитывая выражение (7), получим частное
решение для системы (1a
):
. (9.3)
8). Найдем частное
решение неоднородной системы уравнений
(1b
), учитывая, что число=
не совпадает с характеристическим
корнем:
. (10.3)
9). Подставим в (1b ) выражение (10.3) и его производную: получим систему тождеств:
откуда: a
=–3,
b
=–2. (11.3)
10). Учитывая выражение (10.3), получим частное решение для системы (1b ):
. (12.3)
11). Учитывая (9.3) и (12.3), частное решение заданной системы уравнений принимает вид:
, (13.3)
12). Запишем общее решение заданной неоднородной системы:
.
(14.3)
Замечание
:
выражение (14) получено с «поглощением»
числаm
константой.
Ответ
:Общее решение:=
∙
.
Пример 13
–04
:
Решить систему нелинейных уравнений:
Решение :
1). Найдем
характеристические корни соответствующей
однородной системы уравнений (то есть
без функций
=
и
=
):
=
=0,
откуда получаем:
=
–
i
;
=i
.
В этом случае общее решение однородной
системы будем искать в виде:
где
=
∙
=
∙
,
=
∙
=
∙
. (2.4)
2). Для определения
векторов
,
составим систему уравнений:
(3.4)
3). Для
=
–
i
система (3.4) имеет решение:
=
.
Тогда можно записать:
=
∙
=
=
. (4.4)
4). Для
=i
система (3.4) имеет решение:
=
.
Аналогично получаем:
=
∙
=
=
, (5.4)
то есть решения
и
(согласно выражениям (4.4) и (5.4))
комплексно-сопряженные.
5). В качестве
частных решений системы уравнений берем
отдельно мнимую и действительную части.
Получаем: =
,
=
. (6.4)
6). С учетом выражений
(6.4) запишем общее решение однородной
системы дифференциальных уравнений:
=
+
.
(7.4)
7). Так как функция:
=
и
=
– имеют специальный вид и общее образующее
число
,
причем совпадает с характеристическими
корнями
и
,
то частное решение заданной системы
будем искать в виде:
=
. (8.4)
8). Подставляя (8.4) в заданную систему, получаем систему тождеств:
Приравнивая
коэффициенты при подобных членах
тождеств (9.4), получим алгебраическую
систему уравнений, решением которой
является:
=
–1,
=
0,
=
1.
Тогда выражение (8.4) можно записать в
виде:
=
(10.4)
9). Запишем общее решение заданной неоднородной системы:
=
+
=.
(11.4)
Ответ
:Общее решение:=.
Общее решение неоднородной системы есть сумма общего решения однородной системы и некоторого частного решения неоднородной системы.
Для нахождения общего решения неоднородной системы можно применить метод Лагранжа вариации произвольных постоянных.
Рассмотрим линейную однородную систему обыкновенных дифференциальных уравнений вида
которая в векторной форме записывается в виде
Матрица Φ , столбцами которой являются n линейно независимых на решений Y1(x), Y2(x), ..., Yn(x) однородной линейной системы Y" = A(x)Y называется фундаментальной матрицей решений системы:
Фундаментальная матрица решений однородной линейной системы Y" = A(x)Y удовлетворяет матричному уравнению Φ" = A(x)Φ.
Напомним, что определитель Вронского линейно независимых на решений Y1(x), Y2(x), ..., Yn(x) отличен от нуля на .
Рассмотрим линейную систему дифференциальных уравнений n-го порядка:
Линейная система устойчива по Ляпунову при t ≥ t0, если каждое её решение x = φ(t) устойчиво по Ляпунову при t ≥ t0.
Линейная система асимптотически устойчива по Ляпунову при t → ∞ , если каждое её решение x = φ(t) устойчиво по Ляпунову при t → ∞ .
Решения линейной системы либо все одновременно устойчивы, либо все неустойчивы. Справедливы следующие утверждения.
Теорема об устойчивости решений линейной системы дифференциальных уравнений. Пусть в неоднородной линейной системе x" = A(t)x + b(t) матрица A(t) и вектор-функция b(t) непрерывны на промежутке }