Неполные уравнения плоскости. Уравнение плоскости в отрезках
Все уравнения плоскости, которые разобраны в следующих пунктах могут быть получены из общего уравнения плоскости, а также приведены к общему уравнению плоскости. Таким образом, когда говорят об уравнении плоскости, то имеют в виду общее уравнение плоскости, если не оговорено иное.
Уравнение плоскости в отрезках.
Уравнение плоскости вида , где a
, b
и c
– отличные от нуля действительные числа, называется уравнением плоскости в отрезках
.
Такое название не случайно. Абсолютные величины чисел a , b и c равны длинам отрезков, которые отсекает плоскость на координатных осях Ox , Oy и Oz соответственно, считая от начала координат. Знак чисел a , b и c показывает, в каком направлении (положительном или отрицательном) следует откладывать отрезки на координатных осях.
Для примера построим в прямоугольной системе координат Oxyz
плоскость, определенную уравнением плоскости в отрезках . Для этого отмечаем точку, удаленную на 5
единиц от начала координат в отрицательном направлении оси абсцисс, на 4
единицы в отрицательном направлении оси ординат и на 4
единицы в положительном направлении оси аппликат. Осталось соединить эти точки прямыми линиями. Плоскость полученного треугольника и есть плоскость, соответствующая уравнению плоскости в отрезках вида
.
![](https://i2.wp.com/cleverstudents.ru/line_and_plane/images/forms_of_equation_of_plane/pict001_.png)
Для получения более полной информации обращайтесь к статье уравнение плоскости в отрезках , там показано приведение уравнения плоскости в отрезках к общему уравнению плоскости, там же Вы также найдете подробные решения характерных примеров и задач.
Нормальное уравнение плоскости.
Общее уравнение плоскости вида называют нормальным уравнением плоскости
, если равна единице, то есть,
, и .
Часто можно видеть, что нормальное уравнение плоскости записывают в виде . Здесь - направляющие косинусы нормального вектора данной плоскости единичной длины, то есть , а p – неотрицательное число, равное расстоянию от начала координат до плоскости.
Нормальное уравнение плоскости в прямоугольной системе координат Oxyz
определяет плоскость, которая удалена от начала координат на расстояние p
в положительном направлении нормального вектора этой плоскости . Если p=0
, то плоскость проходит через начало координат.
Приведем пример нормального уравнения плоскости.
Пусть плоскость задана в прямоугольной системе координат Oxyz
общим уравнение плоскости вида . Это общее уравнение плоскости является нормальным уравнением плоскости. Действительно, и нормальный вектор этой плоскости
имеет длину равную единице, так как
.
Уравнение плоскости в нормальном виде позволяет находить расстояние от точки до плоскости .
Рекомендуем более детально разобраться с данным видом уравнения плоскости, посмотреть подробные решения характерных примеров и задач, а также научиться приводить общее уравнение плоскости к нормальному виду. Это Вы можете сделать, обратившись к статье .
Список литературы.
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.
- Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
- Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.
Уравнение поверхности в пространстве
Определение. Любое уравнение, связывающее координаты x, y, z любой точки поверхности является уравнением этой поверхности.
Общее уравнение плоскости
Определение. Плоскостью называется поверхность, все точки которой удовлетворяют общему уравнению:
Ax + By + Cz + D = 0,
где А, В, С - координаты вектора
вектор нормали к плоскости. Возможны следующие частные случаи:
А = 0 - плоскость параллельна оси Ох
В = 0 - плоскость параллельна оси Оу
С = 0 - плоскость параллельна оси Оz
D = 0 - плоскость проходит через начало координат
А = В = 0 - плоскость параллельна плоскости хОу
А = С = 0 - плоскость параллельна плоскости хОz
В = С = 0 - плоскость параллельна плоскости yOz
А = D = 0 - плоскость проходит через ось Ох
В = D = 0 - плоскость проходит через ось Оу
С = D = 0 - плоскость проходит через ось Oz
А = В = D = 0 - плоскость совпадает с плоскостью хОу
А = С = D = 0 - плоскость совпадает с плоскостью xOz
В = С = D = 0 - плоскость совпадает с плоскостью yOz
Уравнение плоскости, проходящей через три точки
![](https://i2.wp.com/studbooks.net/imag_/43/236970/image053.png)
Для того, чтобы через три какие- либо точки пространства можно было провести единственную плоскость, необходимо, чтобы эти точки не лежали на одной прямой. Рассмотрим точки М1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3) в общей декартовой системе координат. Для того, чтобы произвольная точка М(x, y, z) лежала в одной плоскости с точками М1, М2, М3 необходимо, чтобы векторы были компланарны.
![](https://i2.wp.com/studbooks.net/imag_/43/236970/image054.png)
Таким образом,
![](https://i2.wp.com/studbooks.net/imag_/43/236970/image055.png)
Уравнение плоскости, проходящей через три точки:
![](https://i1.wp.com/studbooks.net/imag_/43/236970/image056.png)
Уравнение плоскости по двум точкам и вектору, коллинеарному плоскости
Пусть заданы точки М1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2) и вектор.
Составим уравнение плоскости, проходящей через данные точки М1 и М2 и произвольную точку М(х, у, z) параллельно вектору.
![](https://i2.wp.com/studbooks.net/imag_/43/236970/image057.png)
Векторы и вектор должны быть компланарны, т.е.
![](https://i1.wp.com/studbooks.net/imag_/43/236970/image058.png)
Уравнение плоскости:
![](https://i2.wp.com/studbooks.net/imag_/43/236970/image059.png)
Уравнение плоскости по одной точке и двум векторам, коллинеарным плоскости
Пусть заданы два вектора и, коллинеарные плоскости. Тогда для произвольной точки М(х, у, z), принадлежащей плоскости, векторы должны быть компланарны. Уравнение плоскости:
![](https://i0.wp.com/studbooks.net/imag_/43/236970/image062.png)
Уравнение плоскости по точке и вектору нормали
Теорема. Если в пространстве задана точка М0(х0, у0, z0), то уравнение плоскости, проходящей через точку М0 перпендикулярно вектору нормали (A, B, C) имеет вид:
A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0.
Доказательство. Для произвольной точки М(х, у, z), принадлежащей плоскости, составим вектор. Т.к. вектор - вектор нормали, то он перпендикулярен плоскости, а, следовательно, перпендикулярен и вектору. Тогда скалярное произведение
Таким образом, получаем уравнение плоскости
Теорема доказана.
Рассмотрим
ПДСК {O,i
,j
,k
}
в пространстве R 3 .
Пусть
– некоторая плоскость и вектор
N
перпендикулярен .
Зафиксируем на плоскости
произвольную точку М 0
и возьмем текущую точку М пространства..
Обозначим `r
=
и`r
0
=
.
Тогда
=`r
–
`r
0 ,
а точка М
тогда и только тогда, когда векторы `
N
и
ортогональны. Последнее возможно, когда
N
.
= 0, т.е.N
.
(`r
–
`r
0)
= 0, (9)
это уравнение называется векторным уравнением плоскости. Вектор ` N называют нормальным вектором плоскости.
Если ` N =(А , В , С ), М 0 (х 0 , у 0 , z 0) , М(х , у , z ) , то уравнение (9) примет вид
А(х – х 0) + В(у – у 0) + С(z – z 0) = 0, (10).
Это уравнение называют уравнением плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору.
Как
известно, через три точки можно провести
единственную плоскость. Пусть М 1 (х
1 ,
у
1 ,
z
1),
М 3 (х
2 ,
у
2 ,
z
2),
М 3 (х
3 ,
у
3 ,
z
3).
Найдем уравнение этой плоскости. Согласно
векторному уравнению (9), чтобы записать
это уравнение, необходимо знать точку
плоскости и нормальный вектор. Точка у
нас есть (например М 1).
А в качестве нормального вектора подойдет
любой вектор, перпендикулярный этой
плоскости. Известно, что векторное
произведение двух векторов перпендикулярно
плоскости, в которой лежат эти векторы.
Следовательно, векторное произведение
векторов
и
можно
взять в качестве нормального вектора
плоскости :
`
N
=
Тогда уравнение плоскости в векторной форме имеет вид
.
(
)
=
.
.
= 0.
(заметим,
что получили условие компланарности
векторов,
,
).
Через координаты точек М 1 , М 2 , М 3 и М это уравнение запишется так
,
(11)
и называется уравнением плоскости, проходящей через три заданные точки М 1 (х 1 , у 1 , z 1), М 2 (х 2 , у 2 , z 2), М 3 (х 3 , у 3 , z 3).
Рассмотрим вновь уравнение (9), преобразуем его:
Ах + Ву + Cz +(–Ах 0 – Ву 0 – Cz 0) = 0 ,
Ах + Ву + Cz +D = 0, где D = (–Ах 0 – Ву 0 – Cz 0) .
Уравнение
Ах + Ву + Cz +D = 0, (12)
называется общим уравнением плоскости. Здесь векторN = (A , B , C ) – нормальный вектор плоскости (т.е. вектор, перпендикулярный плоскости). Справедлива теорема:
Теорема 4.2.
В пространстве R 3 всякая плоскость может быть описана линейным относительно переменных x y , z уравнением и наоборот, любое уравнение первой степени определяет некоторую плоскость.
Изучим расположение плоскости относительно системы координат по ее общему уравнению Ах + Ву + Cz +D = 0 .
Если коэффициент D = 0, то координаты точки О(0, 0, 0) удовлетворяют уравнению Ах + Ву + Cz = 0, значит, эта точка лежит на плоскости, т.е. плоскость с уравнением Ах + Ву + Cz = 0 проходит через начало координат.
Если в общем уравнении плоскости отсутствует одна из переменных (соответствующий коэффициент равен нулю), то плоскость параллельна одноименной оси координат. Например, уравнение Ах + Cz + D = 0 определяет плоскость, параллельную оси ОУ. Действительно, вектор нормали имеет координаты ` N = (А, 0, С) и легко проверить, что ` N j . Но если плоскость и вектор перпендикулярны одному и тому же вектору, то они параллельны. Плоскость с уравнением Ву + Cz = 0, в таком случае, проходит через ось ОХ (т.е. эта ось лежит на плоскости)
Отсутствие двух переменных в уравнении плоскости означает, что плоскость параллельна соответствующей координатной плоскости, например, уравнение вида Ах + D = 0 определяет плоскость, параллельную плоскости УОZ. Вектор нормали имеет координаты ` N = (А, 0, 0), он коллинеарен вектору i , и,следовательно, плоскость перпендикулярна вектору i , или параллельна плоскости УОZ.
Уравнения координатных плоскостей имеют вид: пл. ХОУ: z = 0, пл. XOZ: y = 0, пл. YOZ: x = 0.
Действительно, плоскость ХОУ проходит через начало координат (D = 0) и вектор k =(0, 0, 1) – ее нормальный вектор. Аналогично плоскости ХОZ и УОZ проходят через начало координат(D = 0) и векторы j =(0, 1, 0) и i = (1,0,0) – их нормали соответственно.
Если D0, то преобразуем общее уравнение так
Ах
+ Ву
+Сz
= –D
,
,
.
Обозначив
здесь
,
,
,
получим уравнение
,
(13)
которое называется уравнением плоскости в отрезках на осях . Здесь а , b , c – величины отрезков, отсекаемых плоскостью на осях координат (рис.). Это уравнение удобно использовать для построения плоскости в системе координат. Нетрудно убедиться, что точки (а , 0, 0), (0. b , 0), (0, 0, с ) лежат на плоскости. Прямые, проходящие через эти точки, называются следами плоскости на координатных плоскостях.
Например, построим плоскость
2х – 3у + 4z –12 = 0.
Приведем это уравнение к виду (13), получим
Для
построения плоскости в системе координат,
отметим на оси ОХ точку (6, 0, 0), на оси ОУ
точку (0, -4, 0), на оси ОZ –
(0, 0, 3), соединим их отрезками прямы (следы
плоскости). Полученный треугольник есть
часть искомой плоскости, заключенная
между осями координат.
Таким образом, чтобы найти уравнение плоскости , достаточно знать
Либо нормальный вектор этой плоскости и любую ее точку (уравнение (10));
Либо три точки, лежащие на плоскости (уравнение (11)).
Взаимное расположение плоскостей в пространстве удобно изучать с помощью соответствующих им векторов. Если – плоскость с нормальным вектором N, то
![](https://i2.wp.com/studfiles.net/html/2706/80/html_Jx2B9rkjV9.nAp3/img-tdoi7d.png)
.
Вывод формулы аналогичен тому, как это было проделано для прямой на плоскости. Провести его самостоятельно.
В декартовых координатах каждая плоскость определяется уравнением первой степени относительно неизвестных х, у и z и каждое уравнение первой степени с тремя неизвестными определяет плоскость.
Возьмем произвольный вектор с началом в точке . Выведем уравнение геометрического места точек М(x,y,z), для каждой из которых вектор
перпендикулярен вектору . Запишем условие перпендикулярности векторов:
Полученное уравнение линейное относительно x, y, z, следовательно, оно определяет плоскость, проходящую через точку перпендикулярно вектору . Вектор называют нормальным вектором плоскости. Раскрывая скобки в полученном уравнении плоскости и обозначая число
буквой D, представим его в виде:
Ax + By + Cz + D = 0. (13.2)
Это уравнение называют общим уравнением плоскости . А, В, С и D – коэффициенты уравнения, А 2 + В 2 + С 2 0.
1. Неполные уравнения плоскости.
Если в общем уравнении плоскости один, два или три коэффициента равны нулю, то уравнение плоскости называют неполным. Могут представиться следующие случаи:
1) D = 0 – плоскость проходит через начало координат;
2) А = 0 – плоскость параллельна оси Ох;
3) В = 0 – плоскость параллельна оси Оу;
4) С = 0 – плоскость параллельна оси Оz;
5) А = В = 0 – плоскость параллельна плоскости ХОY;
6) А = С = 0 – плоскость параллельна плоскости ХОZ;
7) В = С = 0 – плоскость параллельна плоскости YOZ;
8) А = D = 0 – плоскость проходит через ось Ох;
9) В = D = 0 – плоскость проходит через ось Оу;
10) С = D = 0 – плоскость проходит через ось Оz;
11) А = В = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью XOY;
12) А = С = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью XOZ;
13) С = В = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью YOZ.
2. Уравнение плоскости в отрезках.
Если в общем уравнении плоскости D 0, то его можно преобразовать к виду
, (13.3)
которое называют уравнением плоскости в отрезках. - определяют длины отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях.
3. Нормальное уравнение плоскости.
Уравнение
где - направляющие косинусы нормального вектора плоскости
, называют нормальным уравнением плоскости. Для приведения общего уравнение плоскости к нормальному виду его надо умножить на нормирующий множитель :
,
при этом знак перед корнем выбирают из условия .
Расстояние d от точки до плоскости определяют по формуле: .
4. Уравнение плоскости, проходящей через три точки
Возьмем произвольную точку плоскости М(x,y,z) и соединим точку М 1 с каждой из трех оставшихся. Получим три вектора . Для того, чтобы три вектора принадлежали одной плоскости, необходимо и достаточно, чтобы они были компланарны. Условием компланарности трех векторов служит равенство нулю их смешанного произведения, то есть .
Записывая это равенство через координаты точек, получим искомое уравнение:
. (13.5)
5. Угол между плоскостями.
Плоскости могут быть параллельны, совпадать или пересекаться, образуя двугранный угол . Пусть две плоскости заданы общими уравнениями и . Чтобы плоскости совпадали, нужно, чтобы координаты любой точки, удовлетворяющей первому уравнению, удовлетворяли бы и второму уравнению.
Это будет иметь место, если .
Если , то плоскости параллельны.
Угол , образованный двумя пересекающимися плоскостями, равен углу, образованному их нормальными векторами. Косинус угла между векторами определяется по формуле:
Если , то плоскости перпендикулярны.
Пример 21
. Составить уравнение плоскости, которая проходит через две точки и
перпендикулярно к плоскости .
Запишем искомое уравнение в общем виде: . Так как плоскость должна проходить через точки и , то координаты точек должны удовлетворять уравнению плоскости. Подставляя координаты точек и , получаем: и .
Из условия перпендикулярности плоскостей имеем: . Вектор
расположен в искомой плоскости и, следовательно, перпендикулярен нормальному вектору: .
по учебной дисциплине
МАТЕМАТИКА
Тема № 2. Основы аналитической геометрии
Занятие.Плоскость в пространстве
Введение
В лекции рассмотрим различные виды уравнения плоскости в пространстве, докажем, что уравнение первой степени определяет в пространстве плоскость, по уравнениям плоскостей научимся определять их взаимное расположение в пространстве.
1. Основные понятия
Определение. Пусть задана прямоугольная система координат, любая поверхность S и уравнение
F (x , y , z ) = 0 (1)
Будем говорить, что уравнение является (1) является уравнением поверхности S в заданной системе координат, если ему удовлетворяют координаты каждой точки этой поверхности и не удовлетворяют координаты никакой точки, которая не принадлежит этой поверхности. С точки зрения данного определения поверхность есть множество точек пространства R 3 .
Пример . Уравнение
x 2 + y 2 + z 2 = 5 2
поверхность, которая является сферой радиуса 5, с центром в точке 0(0,0,0).
2. Уравнения плоскости в пространстве
2.1. Общее уравнение плоскости
Определение. Плоскостью называется поверхность, вес точки которой удовлетворяют общему уравнению:
Ax + By + Cz + D = 0,
где А, В, С – координаты вектора – вектор нормали к плоскости.
Возможны следующие частные случаи:
А = 0 – плоскость параллельна оси Ох
В = 0 – плоскость параллельна оси Оу
С = 0 – плоскость параллельна оси Оz
D = 0 – плоскость проходит через начало координат
А = В = 0 – плоскость параллельна плоскости хОу
А = С = 0 – плоскость параллельна плоскости хОz
В = С = 0 – плоскость параллельна плоскости yOz
А = D = 0 – плоскость проходит через ось Ох
В = D = 0 – плоскость проходит через ось Оу
С = D = 0 – плоскость проходит через ось Oz
А = В = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью хОу
А = С = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью xOz
В = С = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью yOz
2.2. Уравнение плоскости, проходящей через три точки
Для того, чтобы через три какие- либо точки пространства можно было провести единственную плоскость, необходимо, чтобы эти точки не лежали на одной прямой.
Рассмотрим точки М 1 (x 1 , y 1 , z 1), M 2 (x 2 , y 2 , z 2), M 3 (x 3 , y 3 , z 3) в общей декартовой системе координат.
Для
того, чтобы произвольная точка М(x,
y,
z)
лежала в одной плоскости с точками М 1 ,
М 2 ,
М 3
необходимо, чтобы векторы
были компланарны.
()
= 0
Таким
образом,
Уравнение плоскости, проходящей через три точки:
2.3.Уравнение плоскости по двум точкам и вектору, коллинеарному плоскости.
Пусть
заданы точки М 1 (x 1 ,
y 1 ,
z 1),
M 2 (x 2 ,
y 2 ,
z 2)
и вектор
.
Составим
уравнение плоскости, проходящей через
данные точки М 1
и М 2
и произвольную точку М(х, у, z)
параллельно вектору
.
Векторы
и
вектор
должны быть компланарны, т.е.
()
= 0
Уравнение плоскости:
2.4.Уравнение плоскости по одной точке и двум векторам,
коллинеарным плоскости.
Пусть
заданы два вектора
и
,
коллинеарные плоскости. Тогда для
произвольной точки М(х,
у,
z
),
принадлежащей плоскости, векторы
должны быть компланарны.
Уравнение плоскости:
2.5.Уравнение плоскости по точке и вектору нормали.
Теорема.
Если в пространстве задана точка М
0
(х
0
,
у
0
,
z
0
),
то уравнение плоскости, проходящей
через точку М
0
перпендикулярно вектору нормали
(A
,
B
,
C
)
имеет вид:
A (x – x 0 ) + B (y – y 0 ) + C (z – z 0 ) = 0.
Доказательство.
Для произвольной точки М(х, у, z),
принадлежащей плоскости, составим
вектор
.
Т.к. вектор
- вектор нормали, то он перпендикулярен
плоскости, а, следовательно, перпендикулярен
и вектору
.
Тогда
скалярное
произведение
=
0.
Таким образом, получаем уравнение плоскости
Теорема доказана.
2.6.Уравнение плоскости в отрезках.
Если в общем уравнении Ах + Ву + С z + D = 0 поделить обе части на –D
,
заменив
,
получим уравнение плоскости в отрезках:
Числа a , b , c являются точками пересечения плоскости соответственно с осями х, у, z .
2.7.Расстояние от точки до плоскости.
Расстояние от произвольной точки М 0 (х 0 , у 0 , z 0) до плоскости Ах+Ву+С z + D =0 равно:
Пример. Найти уравнение плоскости, зная, что точка Р(4; –3; 12) – основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость.
Таким образом, A = 4/13; B = –3/13; C = 12/13, воспользуемся формулой:
A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.
Пример. Найти уравнение плоскости, проходящей через две точки P(2; 0; –1) и Q(1; –1; 3) перпендикулярно плоскости 3х + 2у – z + 5 = 0.
Вектор
нормали к плоскости 3х + 2у – z
+ 5 = 0
параллелен
искомой плоскости.
Получаем:
Пример. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки А(2, –1, 4) и В(3, 2, –1) перпендикулярно плоскости х + у + 2z – 3 = 0.
Искомое
уравнение плоскости имеет вид: Ax
+ By
+ Cz
+ D
= 0, вектор нормали к этой плоскости
(A,
B,
C).
Вектор
(1,
3, –5) принадлежит плоскости. Заданная
нам плоскость, перпендикулярная искомой
имеет вектор нормали
(1,
1, 2). Т.к. точки А и В принадлежат обеим
плоскостям, а плоскости взаимно
перпендикулярны, то
Таким
образом, вектор нормали
(11,
–7, –2). Т.к. точка А принадлежит искомой
плоскости, то ее координаты должны
удовлетворять уравнению этой плоскости,
т.е. 112
+ 71
– 24
+ D
= 0; D
= –21.
Итого, получаем уравнение плоскости: 11x – 7y – 2z – 21 = 0.
Пример. Найти уравнение плоскости, зная, что точка Р(4, -3, 12) – основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость.
Находим
координаты вектора нормали
=
(4, -3, 12). Искомое уравнение плоскости
имеет вид: 4x
– 3y
+ 12z
+ D
= 0. Для нахождения коэффициента D
подставим в уравнение координаты точки
Р:
16 + 9 + 144 + D = 0.
Итого, получаем искомое уравнение: 4x – 3y + 12z – 169 = 0
Пример. Даны координаты вершин пирамиды А 1 (1; 0; 3), A 2 (2; –1; 3), A 3 (2; 1; 1), A 4 (1; 2; 5).
Найти длину ребра А 1 А 2 .
Найти угол между ребрами А 1 А 2 и А 1 А 4 .
Найти угол между ребром А 1 А 4 и гранью А 1 А 2 А 3 .
Сначала
найдем вектор нормали к грани А 1 А 2 А 3
как векторное произведение векторов
и
.
=
(2–1;
1–0;
1–3)
= (1; 1; –2);
Найдем
угол между вектором нормали и вектором
.
–4
– 4 = –8.
Искомый угол между вектором и плоскостью будет равен = 90 0 – .
Найти площадь грани А 1 А 2 А 3 .
Найти объем пирамиды.
Найти уравнение плоскости А 1 А 2 А 3 .
Воспользуемся формулой уравнения плоскости, проходящей через три точки.
2 x + 2 y + 2 z – 8 = 0
x + y + z – 4 = 0;
3. Взаимное расположение плоскостей
Пусть заданы две плоскости
3.1. Угол между плоскостями
Угол между двумя плоскостями в пространстве связан с углом между нормалями к этим плоскостям 1 соотношением: = 1 или = 180 0 – 1 , т.е.
cos = cos 1 .
Определим угол 1 . Известно, что плоскости могут быть заданы соотношениями:
,
где
(A 1 ,
B 1 ,
C 1),
(A 2 ,
B 2 ,
C 2).
Угол между векторами нормали найдем из их скалярного произведения:
.
Таким образом, угол между плоскостями находится по формуле:
Выбор знака косинуса зависит от того, какой угол между плоскостями следует найти – острый, или смежный с ним тупой.
3.2. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.
На основе полученной выше формулы для нахождения угла между плоскостями можно найти условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.
Для того, чтобы плоскости были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы косинус угла между плоскостями равнялся нулю. Это условие выполняется, если:
Плоскости
параллельны, векторы нормалей коллинеарны:
.Это
условие выполняется, если:
.