Оптическая сила сферического зеркала. Иллюзии от вогнутых и выпуклых зеркал

Оптика

Раздел физики, изучающий световые явления, выясняющий природу света, устанавливающий свойства света, закономерности его излучения, распространения и взаимодействия с веществом, называется оптикой.

Оптика подразделяется на следующие разделы; фотометрия, геометрическая оптика, физическая оптика.

Основы фотометрии

Свет - это электромагнитное излучение, воспринимаемое глазом.

Световой поток

Для оценки световой энергии по зрительному восприятию используют понятие светового потока. Энергию светового излучения можно оценить визуально (глазом) или фотоэлементом.

Световой поток характеризует (по зрительному ощущению) световую энергиюW , переносимую через какую-либо поверхность за времяt .

Световой поток - это мощность, оцениваемая визуально.

Точечный источник света

Равномерно излучает свет по всем направлениям. Размеры его много меньше расстояния, на котором оценивается его действие.

Телесный угол

.

Угол, существующий вокруг точки и опирающийся на всю площадь сферы (
), называют полным телесным углом:

Если
, то
1 ср.

Сила света

- энергетическая характеристика источника света.

Е
диница силы света в СИ - кандела (кд).

Единица светового потока

.

Выражается в люменах.

Полный световой поток

, так как
ср.

Освещенность (Е )

Скалярная физическая величина, измеряемая отношением светового потока к площади S равномерно освещенной поверхности:

.

Единица освещенности

В СИ выражается в люксах.

Д
ля измерения освещенности используется люксомер.

Законы освещенности

1. Освещенность поверхности лучами, падающими перпендикулярно, пропорциональна силе света I и обратно пропорциональна квадрату расстоянияr 2 от источника до освещенной поверхности:

E =I /r 2 .

2. Освещенность поверхности пропорциональна косинусу угла падения луча на эту поверхность.

3
.
.

Сравнение силы света двух источников

Для практического определения силы света источника используют фотометр, схема которого показана на рисунке.

Если E 1 =E 2 то при расстоянияхr 1 иr 2

,
.

Яркость

Характеризует световой поток, который излучается единицей площади в перпендикулярном направлении в пределах единичного телесного угла:

,

так как
,
, гдеS п - светящаяся поверхность. Единица яркости в СИ - нит: 1 нт = 1 кд/м 2 .

Геометрическая оптика

Геометрическая оптика изучает законы распространения световой энергии в прозрачных средах на основе представления о световом луче.

Прямолинейное распространение света происходит в однородной среде.

Световой луч - линия, указывающая направление распространения световой энергии.

П
рямолинейностью распространения света объясняется образование тени и полутени.

П
ри малых размерах источника (светящаяся точка) получается только тень.

При больших размерах источника света создаются нерезкие тени (тень и полутень).

С
корость света

Астрономический метод измерения скорости света

М
етод Ремера (1676). Когда Земля очень близко подошла к Юпитеру (на расстояниеL 1), промежуток времени между двумя появлениями спутникаU 0 оказался 42 ч 28 мин; когда же Земля удалилась от Юпитера на расстояниеL 2 , этот промежуток времени увеличился на 22 мин. Объяснение Ремера: увеличение промежутка времени идет за счет того, что свет проходит дополнительное расстояние Δl =L 2 –L 1 . Он определил, что скорость света:
= 300 000 км/с.

Лабораторный метод измерения скорости света

Метод Физо (1849):

= 313 000 км/с, гдеZ - количество зубьев;ω - угловая скорость,L - расстояние от зубчатого колеса до зеркала.

По современным данным, в вакууме c = (299792456,2 ± 0,8) м/с.

О
птические явления на границе раздело двух сред

Отражение и поглощение падающего на тело излучения зависит от рода вещества, состояния поверхности, состава излучения и угла падения.

О
тражение света

Диффузное, или рассеянное, отражение позволяет нам видеть тела.

Зеркальное отражение.

Законы отражения света

1. Луч падающий и луч отраженный лежат в одной плоскости с перпендикуляром к отражающей поверхности.

2. Угол отражения луча равен углу его падения (α =γ ). Световые лучи обладают свойством обратимости.

И
зображение в плоском зеркале

И
зображение любого предмета в плоском зеркале (мнимое и прямое) равно по размерам самому предмету и расположено относительно зеркала симметрично предмету.

Из множества лучей, падающих из точки S на зеркалоMN , выделим для простоты три луча:SO ,SO 1 ,SO 2 . Каждый луч отразится от зеркала под таким же углом, под каким падаем на зеркало. Если продолжить отраженные лучи за зеркалоMN , то они сойдутся в точкеS" . Глаз воспринимает их как бы исходящими из точкиS" и видит там точкуS .

Сферическое зеркало

С
ферическое зеркало представляет собой поверхность шарового сегмента, зеркально отражающего свет. Если отражение идет от внутренней поверхности сегмента, то зеркало вогнутое; если-от внешней, то зеркало выпуклое.

Вогнутое зеркало собирающее, выпуклое рассеивающее.

Центр О сферы -оптический центр зеркала. ВершинаС -полюс .

OB -OC -R - радиус кривизны сферического зеркала.

Любую прямую, проходящую через оптический центр, называют оптической осью. Оптическая ось, проходящая через полюс зеркала,- главная оптическая ось.

Диаметр КМ окружности, ограничивающей зеркало, называют отверстием зеркала.

Главный фокус сферического зеркала

Т
очкаФ , в которой пересекаются лучи, параллельные главной оптической оси, называется главным фокусом.

У вогнутого зеркала фокус действительный, у выпуклого мнимый, т. е. пересекаю!ся продолжении отраженных лучей.

ФС -фокусное расстояние F . У вогнутого оно +F , у выпуклого –F .

Плоскость ММ", проходящую через главный фокус зеркала перпендикулярно главной оптической оси, называют фокальной плоскостью.

Е
сли побочные оси составляют небольшой угол с главной оптической осью, то все фокусы зеркала располагаются в фокальной плоскости (для вогнутого и выпуклого зеркал).

Связь F с R

Л
учAA 1 , параллельный главной оптической оси зеркала, после отражения идет по путиА 1 Ф . Соединяем точкуA 1 , сО . Из законов отражения следует, что2=3. Так какA 1 A ||OC , то1 =2. Следовательно,1 =3 и ΔA 1 ФО равнобедренный, т.е.А 1 Ф =ФО ,А 1 Ф ≈СФ . ТочкаФ делитR , т.е. делитОС пополам:
. Из законов отражения следует, что луч падающий и луч отраженный в сферическом зеркале обладают обратимостью. Лучи, падающие на зеркало параллельно одной из его побочных оптических осей, после отражения собираются в фокусе зеркала.

Формулы сферического зеркала

- для вогнутого зеркала;

- для выпуклого зеркала, гдеd (на рис.SC ) - расстояние от предмета до зеркала,φ (на рис.S"C ) - расстояние от изображения до зеркала,F (на рис.FС ) - фокусное расстояние.

Оптическая сила сферического зеркала

,
,
, гдеR - радиус сферического зеркала.

Единица в СИ-диоптрия:
.

Линейное увеличение

, гдеh - высота предмета,H - высота изображения.

Построение изображения

Для построения изображения точки 1 пользуются любыми двумя из трех лучей. Луч 1 проводится параллельно главной оптической оси. После отражения от зеркала проходит через главный фокусФ .

Луч 2 проводится черезФ . После отражения от зеркала он идет параллельно главной оптической оси зеркала.

Луч 3 проводится через сферический центрО зеркала. После отражения он идет обратно к точкеА по той же прямой. В точке пересечения отраженных лучей от зеркала (1 ,2 ,3 ) получим изображение точкиА .

Примеры построения изображений предметов, создаваемых сферическими зеркалами

В
зависимости от расстоянияd , на котором находится предмет от зеркала, возможны следующие случаи построения для вогнутого зеркала:

при d = ∞ изображение оказывается действительным в виде точки в фокусе;

при 2F <d < ∞ изображение действительное, перевернутое, уменьшенное;

при d = 2F изображение действительное, перевернутое, равное предмету;

при F <d < 2F изображение действительное, перевернутое, увеличенное;

при d =F изображение не существует (в бесконечности);

при d <F изображение мнимое, прямое, увеличенное.

В выпуклом зеркале изображение всегда мнимое, уменьшенное, прямое.

Преломление

На границе раздела двух сред падающий световой поток делится на две части.

Датский астроном и математик В. Снелл до X. Гюйгенса и И. Ньютона в 1621 г. экспериментально открыл закон преломления света:

.

Абсолютный показатель преломления данной среды
.

Если
, то
.

Если
, то
.

Применим принцип Гюйгенса для вывода закона преломления света.

Р
аспространение падающих и преломленных лучей.MM" - граница раздела двух сред; лучиA 1 A иВ 1 В падающие лучи;AA 2 иBB 2 преломленные лучи;α - угол падения;β - угол преломления:

где – постоянная величина для двух сред.

Таким образом,

.
,
.

Преломление света подчиняется двум законам:

1. Луч падающий и луч преломленный лежат в одной той плоскости с перпендикуляром, восставленным в точке падения луча к поверхности раздела двух сред ;

2. Отношение синуса угла падения к синусу угла преломления для двух данных сред есть величина постоянная (для монохроматического света) .

П
олное отражение

П

ри дальнейшем увеличении угла падения преломленный луч исчезает, а яркость стекла на пути распространения отраженного луча становится та кой же, как и на пути падающего луча.

Предельный угол α пр для сред воздух - стекло:
,
,
,α пр = 42°

Для алмаза (n = 2,42)α пр = 25°, для сред вода (n 2 = 1,33) - стекло (n 2 = 1,5):

,
,α пр = 60°.

Угол падении, которому соответствует угол преломления 90°, называют предельным углом падения (α пр).

Световод - стеклянное волокно цилиндрической формы, покрытое оболочкой из прозрачного материала с показателем преломления меньше чем у волокна. За счет многократного полного отражения свет может быть направлен по изогнутому пути.

Поворотные и оборачивающие призмы применяют в перископах, биноклях, киноаппаратах, а также часто вместо зеркал.

Линзы

П
розрачное для света тело, ограниченное выпуклыми или вогнутыми преломляющими поверхностями, называется линзой.

Собирающие (положительные) линзы

Двояковыпуклые (1 ), гдеО 1 О 2 - главная оптическая ось,R 1 R 2 - радиусы кривизны поверхности, плоско-выпуклые (2 ), выпукло-вогнутые (3 ).

Рассеивающие (отрицательные)

Вогнуто-выпуклые (4 ), двояковогнутые (5 ), плоско-вогнутые (6 ).

Линзы, у которых середины толще, чем края, называют собирающими, а у которых толще края - рассеивающими.

Эти условия выполняются, если показатель преломления стекла, из которою изготовлена линза, больше показателя преломления среды, в которой используется линза

Главные фокусы и фокусное расстояние линзы

Точка F на главной оптической оси, в которой пересекаются после преломления лучи, параллельные этой оси, называется главным фокусом.

У собирающей линзы фокусы действительные, у рассеивающей мнимые, OF - фокусное расстояние. Его обозначают буквойF . У собирающей линзы +F , у рассеивающей -F .

Плоскость, которая перпендикулярна главной оптической оси линзы, а также проходи! через ее главный фокус, называется фокальной: М 1 М 2 иМ 3 М 4 .

П
обочный фокусF" - это точка на фокальной плоскостиМ 3 М 4 в которой собираются лучи, падающие на линзу параллельно побочной оси

Оптическая сила линзы
.

Единица оптической силы линзы в СИ - диоптрия.

Оптическая сила линзы определяется кривизной ее поверхности, а также показателем преломления ее вещества относительно окружающей среды:
, гдеR 1 иR 2 - радиусы сферических поверхностей линзы;n - относительный показатель преломления.

Вывод формулы тонкой линзы

И
з подобия треугольников, заштрихованных одинаково, следует

и

откуда
,df =dF +Ff ,

df =F (d +f ),
.

или

где d - расстояние предмета от линзы;f - расстояние от линзы до изображения;F - фокусное расстояние. Оптическая сила линзы равна:
.

При расчетах числовые значения действительных величин всегда подставляются со знаком «плюс», а мнимых - со знаком «минус».

Линейное увеличение

.

И
з подобия заштрихованных треугольников следует

,
.

Построение изображений светящейся точки, расположенной на главной оптической оси линзы

1
. В собирающей линзе точкаS находится между главным фокусом и точкойО , т.e.d <F . Проведем побочную осьOA параллельно произвольному лучуSA , а затем прямуюАА 1 до пересечения с главной оптической осью в точкеS 1 . Луч, идущий вдоль главной оси, проходит линзу не преломляясь, поэтому изображение точкиS будет находиться на главной оси в точке пересечения с прямойАА 1 .

2

. В рассеивающей линзе точкаS находится за главным фокусом, т. е.d >F . Так как все лучи после преломления в линзе сходятся в точкеS 1 то достаточно установить, где пересекутся два луча. Найдем ход произвольного лучаSA после линзы. Для этого из точкиО проведем побочную оптическую ось параллельно лучуSA . Она пересечет фокальную плоскость в точкеA 1 . Прямая, проведенная через точкиA иA 1 устанавливает ход луча SA после преломления в линзе. Продолжив прямуюAA 1 до пересечения с главной оптической осью, получим изображениеS 1 точкиS .

Собирающая линза

Точка находится на побочной оптической оси. Линза создает ее изображение на той же оси.

Изображение действительное.

Изображение мнимое (для собирающей линзы и рассеивающей).

И
зображение действительное, уменьшенное, перевернутое.

Изображение мнимое, прямое, увеличенное.

Рассеивающая линза

Рассеивающая линза всегда дает изображение мнимое, прямое, уменьшенное.

Глаз

Глаз - это 90% информации, система линз. Диаметр глаза ~ 23 мм.

С
остоит из склеры1 (защитная оболочка из эластичной ткани), роговицы2 , камеры3 (полость, заполненная прозрачной жидкостью), сосудистой оболочки4 , радужной оболочки5 , отверстия6 (зрачокd от 2 до 8 мм), хрусталика7 (n =1,44), мышц, изменяющих оптические свойства глаза8 , прозрачной студенистой массы9 (глазное дно), сетчатки10 (7 млн. колбочек, 130 млн. палочек, которые реагируют на свет разной частоты неодинаково), разветвлений зрительного нерва11 .

О
сновные свойства глаза

Аккомодация - свойство глаза, обеспечивающее четкое восприятие разноудаленных предметов. Изменяется главный фокус глаза от 16 до 13 мм. Оптическая сила глаза от 60 до 75 дптр.

Предельный угол зрения φ 0 =1´. С приближением предмета увеличивается угол зренияφ 0 , под которым мы видим две близкие точки предмета.

Адаптация - приспосабливаемое к различным условиям освещенности: d зр от 2 до 8 мм,S зр изменяется в 16 раз.

Поле зрения. По оси ОХ 150°, по осиOY 125°.

Спектральная чувствительность от 380 до 760 нм. Самая большая чувствительность λ = 555 нм (зеленый цвет).

О
строта зрения - свойство глаза раздельно различать две близкие точки.

Расстояние наилучшего зрения d 0 = 250мм. Дальние предметы глаз видит без напряжения.

Недостатки глаза

Г
лаз не может создать резкое изображение на сетчатке.

Дальнозоркость - дефект зрения, состоящий в том, что изображение предмета в ненапряженном состоянии глаза получается за сетчаткой.

При рассматривании близких предметов предел аккомодации исчерпывается при расстоянии больше 25 см. Исправляется ношением очков с собирающими линзами , гдеF г - фокусное расстояние глаза;F c - фокусное расстояние системы глаз - очки.

Б
лизорукость - дефектзрения , когда глаз в ненапряженном состоянии создает изображение удаленного предмета не на сетчатке, а перед ней т.е. не можем видеть удаленные предметы. Исправляется ношением очков с рассеивающими линзами

П
одбор очков

,
,
, гдеf - глубина глаза;d гл – расстояние, на которое видит глаз без очков;d 0 - 25 см – расстояние наилучшего зрения глаза;
.

Близорукость и дальнозоркость могут быть исправлены с по мощью современной хирургии по изменению формы роговицы или хрусталика

Оптические приборы

Лупа

Увеличить угол зрения можно, используя лупу, микроскоп:

Т
ак какОВ 2 =d 0 , aОВ 1 ≈F , то
.

Плоское зеркало не способно сфокусировать пучок лучей. Расходящийся пучок остается после отражения расходящимся. Сфокусировать отраженный пучок можно с помощью вогнутого сферического зеркала. Рассмотрим отражение луча в зеркале.

Источник s испускает луч, отраженный от зеркала и пересекающий оптическую ось в точке s’. Можно провести геометрические рассуждения, аналогичные преломлению луча на сферической поверхности и доказать, что положение изображения не будет зависеть от угла φ, то есть, параксиальный пучок, испущенный s, соберется в одной точке. Однако, мы не будем повторять эти рассуждения, а воспользуемся чисто математическим приемом. Как известно, угол преломления подчиняется закону Снеллиуса. Поскольку угол отраженного луча β 1 =-α (знак минус берется, так как угол откладывается от нормали в другую сторону), то закон Снеллиуса чисто формально можно применить и к отраженному лучу, если положить n=-1. Подчеркиваю, что этот прием чисто математический, никакого физического смысла этот показатель преломления не имеет.

Нами была получена формула . Полагая n 1 =1, n 2 =-1, получим . Эта формула справедлива как для вогнутого, так и для выпуклого зеркала.

Вогнутое зеркало. R<0. В этом случае . Если то s’<0. Это означает, что изображение получается слева. Расходящийся пучок лучей после отражения собирается слева от зеркала, получаем действительное изображение предмета. Если же то s’>0. Изображение получается справа от зеркала (за зеркалом). Это мнимое изображение, лучи после отражения не пересекаются. Ясно, что величина играет роль фокуса вогнутого зеркала. Если источник находится в нем, то испущенный им пучок преобразуется зеркалом в параллельный. Самостоятельно рассмотрите падение на вогнутое зеркало сходящегося пучка.

Выпуклое зеркало. R>0. В этом случае . При любом положительном s величина s’ всегда будет положительной. Это означает, что выпуклое зеркало всегда дает мнимое изображение. Оно находится за зеркалом. Расходящийся пучок лучей не может быть сфокусирован выпуклым зеркалом. Если на выпуклое зеркало падает параллельный пучок лучей, то есть s=+∞, то после отражения пучок будет расходиться из точки , лежащей за зеркалом справа. Это фокус выпуклого зеркала.

Поскольку для зеркала действительное изображение формируется по одну сторону с источником, а мнимое – по разные стороны с источником (это получается из-за того, что после отражения лучи меняет направление своего хода), для увеличения мы будем использовать формулу со знаком +. То есть, . Самостоятельно выясните, при каких положениях источника изображение будет увеличенным и уменьшенным.

Для геометрического построения изображений в зеркалах необходимо использовать «удобные» лучи.

Один из лучей – «фокальный», параллельный оптической оси луч отражается так, что отраженный луч (или его пунктирное продолжение) проходит через фокус. Другой луч – «полярный», он отражается в вершине (полюсе). Ясно, что углы падения и отражения равны, поэтому такой луч можно построить симметричным отображением падающего луча вниз. На рисунках показано построение изображений в вогнутом (A’ – действительное, B’ – мнимое) и выпуклом зеркалах. Кроме этих лучей можно использовать еще один луч, подумайте какой.

Замечу, что получение точечного изображения в зеркале возможно лишь при использовании параксиальных (приосевых) пучков лучей. Широкие пучки лучей приводят к таким же аберрациям, как и в линзах.

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный медицинский университет Федерального агентства по здравоохранению и социальному развитию»

(ГОУ ВПО СибГМУ Росздрава)

Кафедра___________________________

Утверждено

На заседании кафедры

Протокол №___от « «_______2009

Ст. преподаватель Колубаева Л.А.

ЛЕКЦИЯ №2

« Оптические системы»

Введение:

Используя законы геометрической оптики можно проектировать физический эксперимент. Получать изображения различных объектов, наблюдать которые невозможно, изменяя оптический ход лучей.

1.Оптические системы: отражательные и преломляющие

2.Сферические зеркала и их оптические характеристики.

3. Связь оптических и геометрических характеристик зеркал.

4.Зеркальное отражение, диффузное отражение

5.Построение изображений в зеркалах и их характеристика.

6.Формула зеркала и правило знаков. Увеличение изображений зеркалом

7.Линзы, оптические оси, фокусы, вершины, фокальные поверхности. Тонкие линзы, оптический центр.

8. Преломление на сферической поверхности.

Литература

1. Джанколи Д. Физика.Т.2; М. Мир, 1989г

2.Мякишев Т.Я. Физика, Оптика; М. Дрофа, 2002г

3.Савельев И.В. Курс общей физики т.3 М.изд. Дрофа,2003г.

Наглядные пособия

Компьютерные демонстрации

Презентации

Оптические системы

Тела или системы тел, преобразующие ход лучей света называются оптическими системами.

Если расходящийся пучок лучей преобразуется оптической системой в сходящийся пучок, изображение точки, получившееся в месте пересечения преобразованных лучей, называют действительным, а оптические системы – собирающими.

Если расходящийся пучок лучей, выходящий из светящейся точки, преобразуется оптической системой, так, что он остается расходящимся, изображение точки, получающееся на месте пересечения продолжений преобразованных лучей, называется мнимым, а система называется рассеивающей. Мнимые изображения представляют собой «оптические приведения», их невозможно наблюдать ни на каком экране, между тем как действительные изображения на самом деле существуют и легко наблюдаются.

Оптические системы, состоящие из зеркал – это отражательные системы.

Оптические системы, состоящие из линз – преломляющие системы. В практике используются сложные системы.

Лучевой метод нахождения расположения предмета.

Мы уже знаем, что в однородной прозрачной среде свет распространяется прямолинейно. Рассмотрим точечный источник света (точечным считается источник, размерами которого можно пренебречь по сравнению с расстояниями, на которых рассматривается его действие). Лучи света, исходящие из этого источника, направлены вдоль радиусов (см. рис.2.1а). Лучевой метод нахождения расположения предмета основывается на законе прямолинейного распространения света. Если известны направления нескольких лучей, выходящих из точечного источника, то всегда можно определить положение этого источника. Следует просто продолжить хотя бы два таких луча в направлении противоположном их распространению, до их пересечения. Точка их пересечения и является положением точечного источника (см. рис.2.1б).

Когда пучок расходящихся лучей попадает из источника в глаз, то хрусталик глаза автоматически меняет свою форму так, чтобы расходящиеся из точечного источника лучи собирались на сетчатке глаза, таким образом, мы получаем изображение точки. Этот процесс дает те же сведения, которые мы получаем, продолжая лучи до их пересечения.

Лучевой методнахождения расположения предмета используется при построении изображений.Изображением точечного источника называют точку, в которой пересекаются лучи или их продолжения от этого источника после прохождения ими оптической системы (зеркало, призма, линза)

Сферические зеркала и их оптические характеристики.

Вершина шарового сегмента О называется полюсом зеркала . Прямая линия, проходящая через оптический центр зеркала, называется его оптической осью. Оптическая ось, проходящая через полюс зеркала, называется главной, а прочие оптические оси побочными оптическими осями Согласно законам отражения, луч, падающей на сферическое зеркало, и луч, отраженный составляют с радиусом кривизны зеркала одинаковые углы и лежат с ним в одной плоскости. Главная оптическая ось выделена из всех других прямых, проходящих через оптический центр, только тем, что она является осью симметрии зеркала.

Вогнутое зеркало. Фокус .

Отражение параллельного пучка лучей от вогнутого сферического зеркала. Точки O – оптический центр, P – полюс, F – главный фокус зеркала; OP – главная оптическая ось, R – радиус кривизны зеркала.

Фокусом вогнутого зеркала называется точка, в которой пересекаются после отражения параллельные лучи, падающие на зеркало.

Фокус, лежащий на главной оптической оси, называется главным фокусом. Фокус, лежащий на побочной оси, называется побочным. Фокусы вогнутого зеркала действительные. Расстояние между полюсом и главным фокусом называется главным фокусным расстоянием F. Геометрическое место всех фокусов представляет часть сферической поверхности, называемую фокальной поверхностью.

Главный фокус выпуклого зеркала является мнимым. Если на выпуклое зеркало падает пучок лучей, параллельных главной оптической оси, то после отражения в фокусе пересекутся не сами лучи, а их продолжения (рис.2.4).

Главное фокусное расстояние сферического зеркала связано с радиусом кривизны.

Сферическое зеркало представляет собой сферический сегмент, зеркально отражающий свет. 

Сферические зеркала бывают вогнутые (рис. 16.13, а) - у них отражающее покрытие нанесено на внутреннюю поверхность, и выпуклые (рис. 16.13, б) - у них отражающее покрытие нанесено на внешнюю поверхность.

Геометрический центр О сферической поверхности зеркала радиусом R называется центром зеркала , а точка Р, являющаяся вершиной сферического сегмента - полюсом зеркала . Любая прямая (например, ОМ и ОР), проходящая через центр О зеркала, называется оптической осью . Оптическая ось ОР, проходящая через полюс зеркала, называется главной оптической осью , все остальные оси - побочными оптическими осями . Ясно, что любая оптическая ось в точке пересечения с поверхностью зеркала является нормалью к последней (любой радиус перпендикулярен к касательной к поверхности сферы). Точка F на главной оптической оси, через которую проходят после отражения от зеркала лучи (или их продолжения), падающие на зеркало параллельно главной оптической оси, называется фокусом зеркала . У вогнутого зеркала фокус действительный, у выпуклого зеркала фокус мнимый. Расстояние от фокуса сферического зеркала до его полюса PF называется фокусным расстоянием . Его принято обозначать также буквой F. Плоскость KL, проходящая через фокус перпендикулярно к главной оптической оси, называется фокальной плоскостью . В фокальной плоскости пересекаются после отражения от зеркала лучи (или их продолжения), падающие на зеркало параллельно какой-либо побочной оптической оси.

Определим положение фокуса сферического зеркала. Пусть на зеркало (рис. 16.14) падает луч NM, параллельный главной оптической оси. Отраженный от зеркала луч MF пройдет через фокус F. Луч NM составляет с радиусом ОМ угол \(~\alpha\). Угол отражения \(~\ang OMF=\alpha\) и \(~\ang MOF=\alpha\) как накрест лежащие при параллельных прямых MN и РО и секущей МО. Следовательно, \(~\Delta MOF\) - равнобедренный (FO = MF). Угол MFE = 2\(~\alpha\) (угол внешний по отношению к \(~\Delta MOF\)).

Будем рассматривать только так называемые параксиальные пучки, т.е. узкие пучки, составляющие с оптической осью зеркала очень малые углы (в широком пучке три луча, образующие значительные углы друг с другом, не пересекаются в одной точке). Тогда \(PE \ll R, EF \approx PF\) и \(tg \alpha \approx \sin \alpha = \alpha \).

Из \(~\Delta MOC\) \(\sin \alpha = \frac{h}{R} \Rightarrow \alpha \approx \frac{h}{R} \) Из \(~\Delta MEF\) \(tg 2 \alpha = \frac{h}{EF} \Rightarrow 2 \alpha \approx \frac{h}{PF}. \)

Отсюда \(2 \frac{h}{R}=\frac{h}{PF} \Rightarrow PF=\frac{R}{2}.\) Таким образом, точка F лежит на главной оптической оси и делит радиус зеркала ОР на две одинаковые части. Значит, фокусное расстояние \(F=\frac{F}{2}.\)

Аналогично можно доказать, что фокус выпуклого сферического зеркала лежит на главной оптической оси за зеркалом и удален от полюса зеркала на расстояние, равное половине радиуса зеркала. Фокусное расстояние выпуклого зеркала принято считать отрицательным (так как увыпуклого зеркала фокус мнимый), т.е. у выпуклого зеркала \(F=-\frac{F}{2}.\)

Формула сферического зеркала. Пусть точечный источник света S (рис. 16.15) расположен на главной оптической оси зеркала на расстоянии SP = d . Угол падения луча SM на поверхность зеркала \(~\ang SMO = \alpha\). Отраженный луч пересекает главную оптическую ось в точке S". Угол отражения \(\ang OMS" = \alpha\) (по закону отражения). Обозначим угол наклона падающего луча к главной оптической оси \(\ang MSO = \varphi\), угол наклона отраженного луча \(\ang MS"P = \gamma\), угол наклона радиуса \(\ang MOP = \beta,\) расстояние от точки М до главной оптической оси через ME = h.

Угол \(~\beta\) - внешний по отношению к \(\Delta OMS\). Поэтому \(\beta = \alpha + \varphi\).

Угол \(~\gamma\) - внешний по отношению к \(\Delta S"OM\). Поэтому \(~\gamma = \alpha + \beta\).

Из этих равенств получаем

\(\gamma + \varphi = 2 \beta\)

Из \(\Delta S"EM\) находим \(tg \gamma= \frac{h}{ES"} \approx \frac{h}{f}\). Из \(\Delta OME\) имеем \(tg \beta=\frac{h}{OE} \approx \frac{h}{R}.\)

Из \(\Delta SEM\) имеем \(tg \varphi= \frac{h}{SE} \approx \frac{h}{d}\)

Так как мы рассматриваем только параксиальные лучи, то тангенсы углов можно заменить значениями самих углов в радианах. 

Следовательно, \(\gamma = \frac{h}{f};\) \(\beta = \frac{h}{R};\) \(\varphi = \frac{h}{d}.\) Подставим в (16.1), получим \(\frac{h}{f} + \frac{h}{d} = 2 \frac{h}{R} \Rightarrow \frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{2}{R}. \)А так как \(F=\frac{R}{2},\) то можно записать

\(\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}\)

Это выражение называют формулой сферического зеркала. Формулу (16 2) можно применять и для выпуклых сферических зеркал, если использовать правило знаков: считать знаки величин d, f, R и F положительными, если эти расстояния измерены от полюса зеркала в ту сторону, откуда на зеркало падает свет от предмета, и отрицательными, если они отсчитаны от полюса за зеркало. Для выпуклых зеркал d>0, a R<0, F<0. Если изображение мнимое, то f<0.

Так как в формулу (16.1) не входят значения h и угла \(\varphi\), то это означает, что любой луч, выходящий из S, пройдет через точку S". Следовательно, точка S" является изображением точки S.

Литература

Аксенович Л. А. Физика в средней школе: Теория. Задания. Тесты: Учеб. пособие для учреждений, обеспечивающих получение общ. сред, образования / Л. А. Аксенович, Н.Н.Ракина, К. С. Фарино; Под ред. К. С. Фарино. - Мн.: Адукацыя i выхаванне, 2004. - С. 461-464.

Сферические зеркала подразделяются на выпуклые и вогнутые или соответственно отрицательные и положительные, которые разли­чаются между собой лишь знаком радиуса кривизны. Фокус вогнутого зеркала – действительный, а фокус выпуклого – мни­мый. Точка главного фокуса сферического зеркала расположена на середине между центром сферы и ее вершиной, т.е. при равенстве показателей преломления пространства предметов и пространства изображений: ƒ‌‌ = ƒ"= r/2 . Главные плоскости Н и Н" при этом совпадают и касательны к сферической поверхности. Построение изображения сферическим зеркалом можно выполнить графическим методом. Для такого построения изображения исполь­зуют лучи, ход которых заранее известен:

Луч, идущий в про­странстве предметов параллельно оптической оси;

Луч, про­ходящий через передний фокус;

Луч, направленный по радиусу кривизны.

Первый луч, отразившись от зеркала, пройдет через его фокус, второй – выйдет параллельно оптической оси, третий отразится в том же направлении.

Рассмотрим построение изображения предмета в вогнутом зеркале для нескольких вариантов положений предмета:

Вариант 1. При этом, как и для сферической линзы (случай 1), предмет бесконечно удален от сферического зеркала (находится на расстоянии намного большем, чем фокусное расстояние зеркала), т.е. а ® ¥ (рис. 11). В этом случае действительное изображение предмета в виде точки будет находится в главном фокусе зеркала. Покажем на этом же рисунке наличие продольной сферической аберрации в вогнутом зеркале, т.е. когда точки F 1 , F 2 , F 3 , F 4 являются фокусами лучей I, II, III, IV, а чем ближе луч к главной оптической оси зеркала, тем ближе его фокус к главному фокусу зеркала. При отсутствии сферической аберрации все лучи сойдутся в точке главного фокуса F.

Рис. 11. Построение изображения сферическим зеркалом при размещении предмета на расстоянии намного большем, чем фокусное расстояние а ® ∞.

Вариант 2. В этом случае предмет находится на конечном расстоянии от оптического центра О сферического зеркала (Рис. 12), т. е. 2f < a < ¥. Изображение предмета будет действительным, перевернутым, уменьшенным и находится между фокусом и оптическим центром зеркала.

Рис. 12. Построение изображения А"В" при размещении предмета АВ на расстоянии 2f < a < ¥.

Вариант 3. Предмет находится в точке оптического центра сферического зеркала (Рис. 13), т. е. a = 2f . Изображение предмета – действительное, перевернутое, равное предмету и находится также в оптическом центре зеркала.

Рис. 13. Построение изображения при размещении предмета АВ на расстоянии a = 2f .

Вариант 4. Предмет находится между оптическим центром вогнутого сферического зеркала и точкой главного фокуса (Рис. 14), т.е. f < a < 2f . Изображение предмета будет действительным, перевернутым, увеличенным и находится за оптическим центром зеркала.

Рис. 14. Построение изображения А"В" при размещении предмета АВ на расстоянии f < a < 2f .

Вариант 5. Предмет находится в точке фокуса сферического зеркала (Рис.15), т.е. a = f . Изображение предмета – перевернутое и находится в бесконечности.

Рис. 15. Построение изображения при размещении предмета АВ на расстоянии a = f .

Вариант 6. Предмет находится между главным фокусом и главной плоскостью сферического зеркала, т.е. a < f . Изображение предмета – мнимое, прямое, увеличенное.

Рис. 16. Построение изображения А"В" при размещении предмета АВ на расстоянии a < f .

Аналогично вогнутому зеркалу можно построить изображения предмета в выпуклом зеркале.

Рис. 17. При расположении предмета АВ перед зеркалом на любом расстоянии не равном нулю изображение А"В" получается мнимым и находится за зеркалом.

Рис. 18. Если предмет АВ находится в вершине зеркала, то изображение А"В" также будет в вершине (предмет находится в главной плоскости Н, следовательно, изоб­ражение будет в этой же плоскости, так как у зеркала главные плоскости Н и Н" совмещены).

Рис. 19. Предмет АВ - за зеркалом, между верши­ной и точкой F, изображение А"В" – перед зеркалом (в этом случае предмет - мнимый, а изображение - действительное).

Рис.20. Предмет АВ в точке главного фокуса F, изображение – в бесконечности.

Рис. 21. Предмет АВ за точ­кой главного фокуса F, изображение А"В" – за зеркалом (предмет и изображение мнимые).

Разновидностью сферических линз являются концентрические линзы, у которых центры кривизны поверхностей находятся в одной точке, и телескопические линзы (Рис. 22), преобразующие параллельные лучи, падающие на них, также в параллельные при их выходе из линзы.

Рис. 22. Разновидности телескопических линз.

Телескопическая двояковыпуклая линза переворачивает пучек лучей (простейшая система Кеплера), а выпукло-вогнутая телескопическая линза является простейшей системой Галилея, не переворачивающая пучек параллельных лучей. Для этих линз справедливы следующие соотношения:

ƒ" 1 = nr 1 / (n-1); ƒ" 2 = nr 2 / (n-1); ƒ" 1 - ƒ" 2 = d.

Мы рассмотрели оптическое действие отдельно для каждого элемента со сферическими поверхностями. Но еще есть волоконные, несферические, нецентрированные и растровые оптические элементы и системы, которые широко применятся в современных оптических и светотехнических приборах и о которых недостаточно информирован читатель. Мы постараемся восполнить этот пробел в следующей публикации.