Практическая работа: Преобразование графиков функций. Производная Геометрический смысл производной

Производной функции $y = f(x)$ в данной точке $х_0$ называют предел отношения приращения функции к соответствующему приращению его аргумента при условии, что последнее стремится к нулю:

$f"(x_0)={lim}↙{△x→0}{△f(x_0)}/{△x}$

Дифференцированием называют операцию нахождения производной.

Таблица производных некоторых элементарных функций

Основные правила дифференцирования

1. Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных

$(f(x) ± g(x))"= f"(x)±g"(x)$

Найти производную функции $f(x)=3x^5-cosx+{1}/{x}$

Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных.

$f"(x) = (3x^5)"-(cos x)" + ({1}/{x})" = 15x^4 + sinx - {1}/{x^2}$

2. Производная произведения

$(f(x) · g(x))"= f"(x) · g(x)+ f(x) · g(x)"$

Найти производную $f(x)=4x·cosx$

$f"(x)=(4x)"·cosx+4x·(cosx)"=4·cosx-4x·sinx$

3. Производная частного

$({f(x)}/{g(x)})"={f"(x)·g(x)-f(x)·g(x)"}/{g^2(x)}$

Найти производную $f(x)={5x^5}/{e^x}$

$f"(x)={(5x^5)"·e^x-5x^5·(e^x)"}/{(e^x)^2}={25x^4·e^x-5x^5·e^x}/{(e^x)^2}$

4. Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции

$f(g(x))"=f"(g(x))·g"(x)$

$f"(x)=cos"(5x)·(5x)"=-sin(5x)·5= -5sin(5x)$

Физический смысл производной

Если материальная точка движется прямолинейно и ее координата изменяется в зависимости от времени по закону $x(t)$, то мгновенная скорость данной точки равна производной функции.

Точка движется по координатной прямой согласно закону $x(t)= 1,5t^2-3t + 7$, где $x(t)$ - координата в момент времени $t$. В какой момент времени скорость точки будет равна $12$?

1. Скорость – это производная от $x(t)$, поэтому найдем производную заданной функции

$v(t) = x"(t) = 1,5·2t -3 = 3t -3$

2. Чтобы найти, в какой момент времени $t$ скорость была равна $12$, составим и решим уравнение:

Геометрический смысл производной

Напомним, что уравнение прямой, не параллельной осям координат, можно записать в виде $y = kx + b$, где $k$ – угловой коэффициент прямой. Коэффициент $k$ равен тангенсу угла наклона между прямой и положительным направлением оси $Ох$.

Производная функции $f(x)$ в точке $х_0$ равна угловому коэффициенту $k$ касательной к графику в данной точке:

Следовательно, можем составить общее равенство:

$f"(x_0) = k = tgα$

На рисунке касательная к функции $f(x)$ возрастает, следовательно, коэффициент $k > 0$. Так как $k > 0$, то $f"(x_0) = tgα > 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением $Ох$ острый.

На рисунке касательная к функции $f(x)$ убывает, следовательно, коэффициент $k < 0$, следовательно, $f"(x_0) = tgα < 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением оси $Ох$ тупой.

На рисунке касательная к функции $f(x)$ параллельна оси $Ох$, следовательно, коэффициент $k = 0$, следовательно, $f"(x_0) = tg α = 0$. Точка $x_0$, в которой $f "(x_0) = 0$, называется экстремумом .

На рисунке изображён график функции $y=f(x)$ и касательная к этому графику, проведённая в точке с абсциссой $x_0$. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.

Касательная к графику возрастает, следовательно, $f"(x_0) = tg α > 0$

Для того, чтобы найти $f"(x_0)$, найдем тангенс угла наклона между касательной и положительным направлением оси $Ох$. Для этого достроим касательную до треугольника $АВС$.

Найдем тангенс угла $ВАС$. (Тангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.)

$tg BAC = {BC}/{AC} = {3}/{12}= {1}/{4}=0,25$

$f"(x_0) = tg ВАС = 0,25$

Ответ: $0,25$

Производная так же применяется для нахождения промежутков возрастания и убывания функции:

Если $f"(x) > 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ возрастает на этом промежутке.

Если $f"(x) < 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.

На рисунке изображен график функции $y = f(x)$. Найдите среди точек $х_1,х_2,х_3…х_7$ те точки, в которых производная функции отрицательна.

В ответ запишите количество данных точек.

В задании №13 ЕГЭ по математике базового уровня придется продемонстрировать умения и знания одного из понятий поведения функции: производных в точке или скоростей возрастания или убывания. Теория к этому заданию будет добавлена чуть позже, но это не помешает нам подробно разобрать несколько типовых вариантов.

Разбор типовых вариантов заданий №14 ЕГЭ по математике базового уровня

Вариант 14МБ1

На графике изображена зависимость температуры от времени в процессе разогрева двигателя легкового автомобиля. На горизонтальной оси отмечено время в минутах, прошедшее с момента запуска двигателя; на вертикальной оси – температура двигателя в градусах Цельсия.

Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу времени характеристику процесса разогрева двигателя на этом интервале.

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

Алгоритм выполнения:

1. Выбрать интервал времени, на котором температура падала.
2. Приложить линейку к 30°С и определить интервал времени, на котором температура была ниже 30°С.

Решение:

Выберем интервал времени, на котором температура падала. Этот участок видно не вооруженным глазом, он начинается в 8 мин от момента запуска двигателя.

Приложим линейку к 30°С и определить интервал времени, на котором температура была ниже 30°С.

Ниже линейки окажется участок, соответствующий интервалу времени 0 – 1 мин.

С помощью карандаша и линейки найдем на каком интервале времени температура находилась в пределах от 40°С до 80°С.

Опустим из точек, соответствующих 40°С и 80°С перпендикуляры на график, а из полученных точек опустим перпендикуляры на ось времени.

Видим, что этому температурному интервалу соответствует интервал времени 3 – 6,5 мин. То есть из приведенных в условии 3 – 6 мин.

Методом исключения выберем недостающий вариант ответа.

Вариант 14МБ2

Решение:

Проанализируем график функции А. Если Функция возрастает, то производная положительна и наоборот. Производная функции равна нулю в точках экстремума.

Сначала функция А возрастает, т.е. производная положительна. Этому соответствуют графики производных 2 и 3. В точке максимума функции x=-2, то есть в данной точке производная должна быть равна нулю. Этому условию соответствует график под номером 3.

Сначала функция Б убывает, т.е. производная отрицательна. Этому соответствуют графики производных 1 и 4. Точка максимума функции x=-2, то есть в данной точке производная должна быть равна нулю. Этому условию соответствует график под номером 4.

Сначала функция В возрастает, т.е. производная положительна. Этому соответствуют графики производных 2 и 3. Точка максимума функции x = 1, то есть в данной точке производная должна быть равна нулю. Этому условию соответствует график под номером 2.

Методом исключения можем определить, что графику функции Г соответствует график производной под номером 1.

Ответ: 3421.

Вариант 14МБ3

Алгоритм выполнения для каждой из функций:

1. Определить промежутки возрастания и убывания функций.
2. Определить точки максимума и точки минимума функций.
3. Сделать выводы, поставить в соответствие предложенные графики.

Решение:

Проанализируем график функции А.

Если функция возрастает, то производная положительна и наоборот. Производная функции равна нулю в точках экстремума.

Точка экстремума – это точка, в которой достигается максимальное или минимальное значение функции.

Сначала функция А возрастает, т.е. производная положительна. Этому соответствуют графики производных 3 и 4. В точке максимума функции x=0, то есть в данной точке производная должна быть равна нулю. Этому условию соответствует график под номером 4.

Проанализируем график функции Б.

Сначала функция Б убывает, т.е. производная отрицательна. Этому соответствуют графики производных 1 и 2. Точка минимума функции x=-1, то есть в данной точке производная должна быть равна нулю. Этому условию соответствует график под номером 2.

Проанализируем график функции В.

Сначала функция В убывает, т.е. производная отрицательна. Этому соответствуют графики производных 1 и 2. Точка минимума функции x = 0, то есть в данной точке производная должна быть равна нулю. Этому условию соответствует график под номером 1.

Методом исключения можем определить, что графику функции Г соответствует график производной под номером 3.

Ответ: 4213.

Вариант 14МБ4

На рисунке изображен график функции и касательные, проведённые к нему в точках с абсциссами А, В, С и D. В правом столбце указаны значения производной в точках А, В, С и D. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке значение производной функции в ней.

ТОЧКИ
А
В
С
D

ЗНАЧЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
1) –4
2) 3
3) 2/3
4) -1/2

Вспомним, что означает производная, а именно ее значение в точке — значение функции производной в точке равно тангенсу угла наклона (коэффициенту) касательной.

В ответах у нас есть два положительных, и два отрицательных варианта. Как мы помним, если коэффициент прямой (графика y = kx+ b ) положительный — то прямая возрастает, если же он отрицательный — то прямая убывает.

Возрастающих прямых у нас две — в точке A и D. Теперь вспомним, что же означает значение коэффициента k?

Коэффициент k показывает, насколько быстро возрастает или убывает функция (на самом деле коэффициент k сам является производной функции y = kx+ b).

Поэтому k = 2/3 соответствует более пологой прямой — D, а k = 3 — A.

Аналогично и в случае с отрицательными значениями: точке B соответствует более крутая прямая с k = — 4, а точке С — -1/2.

Вариант 14МБ5

На рисунке точками показаны объемы месячных продаж обогревателей в магазине бытовой техники. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали – количество проданных обогревателей. Для наглядности точки соединены линией.

Пользуясь рисунком, поставьте в соответствие каждому из указанных периодов времени характеристику продаж обогревателей .

Алгоритм выполнения

Анализируем части графика, соответствующие разным временам года. Формулируем ситуации, отображенные на графике. Находим для них наиболее подходящие варианты ответов.

Решение:

Зимой кол-во продаж превысило 120 шт./мес., причем оно все время увеличивалось. Эта ситуация соответствует варианту ответа №3. Т.е. получаем: А–3 .

Весной продажи постепенно упали со 120 обогревателей за месяц до 50. Наиболее приближенным к этой формулировке является вариант №2. Имеем: Б–2 .

Летом кол-во продаж не менялась и была минимальной. 2-я часть этой формулировки не отражена в ответах, а для первой подходит только №4. Отсюда имеем: В–4 .

Осенью продажи росли, однако их кол-во ни в одном из месяцев не превысило 100 штук. Эта ситуация описана в варианте №1. Получаем: Г–1 .

Вариант 14МБ6

На графике изображена зависимость скорости движения рейсового автобуса от времени. На вертикальной оси отмечена скорость автобуса в км/ч, на горизонтальной – время в минутах, прошедшее с начала движения автобуса.

Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу времени характеристику движения автобуса на этом интервале.

Алгоритм выполнения

1. Определяем цену деления на горизонтальной и на вертикальной шкале.
2. Анализируем по очереди предложенные утверждения 1–4 из правой колонки («Характеристики»). Сопоставляем их с временными интервалами из левой колонки таблицы, находим пары «буква–число» для ответа.

Решение:

Цена деления горизонтальной шкалы составляет 1 с, вертикальной – 20 км/ч.

1. Когда автобус делает остановку, его скорость равна 0. Нулевую скорость в течение 2 минут подряд автобус имел только с 9-й по 11-ю минуту. Это время попадает в интервал 8–12 мин. Значит, имеем пару для ответа: Б–1 .
2. Скорость 20 км/ч и больше автобус имел в течение нескольких временных промежутков. Причем вариант А здесь не подходит, т.к., к примеру, на 7-й минуте скорость составляла 60 км/ч, вариант Б – потому что он уже применен, вариант Г – потому что в начале и конце промежутка автобус имел нулевую скорость. В данном случае подходит вариант В (12–16 мин); на этом промежутке автобус начинает движение со скоростью 40 км/ч, далее ускоряется до 100 км/м и потом постепенно снижает скорость до 20 км/ч. Итак, имеем: В–2 .
3. Здесь установлено ограничение для скорости. При этом варианты Б и В мы не рассматриваем. Оставшиеся же интервалы А и Г подходят оба. Поэтому правильно будет рассмотреть сначала 4-й вариант, а потом снова вернуться в 3-му.
4. Из двух оставшихся интервалов для характеристики №4 подходит только 4–8 мин, поскольку на этом промежутке остановка была (на 6-й минуте). На промежутке 18–22 мин остановок не было. Получаем: А–4 . Отсюда следует, что для характеристики №3 нужно взять интервал Г, т.е. получается пара Г–3 .

Вариант 14МБ7

На рисунке точками показан прирост населения Китая в период с 2004 по 2013 год. По горизонтали указывается год, по вертикали – прирост населения в процентах (увеличение численности населения относительно прошлого года). Для наглядности точки соединены линией.

Пользуясь рисунком, поставьте в соответствие каждому из указанных периодов времени характеристику прироста населения Китая в этот период .

Алгоритм выполнения

1. Определяем цену деления вертикальной шкалы рисунка. Находится она как разница пары соседних значений шкалы, деленная на 2 (т.к. между двумя соседними значениями имеется 2 деления).
2. Анализируем последовательно приведенные в условии характеристики 1–4 (левая табличная колонка). Сопоставляем каждую из них с конкретным периодом времени (правая табличная колонка).

Решение:

Цена деления вертикальной шкалы составляет 0,01%.

1. Падение прироста непрерывно продолжалось с 2004 по 2010 год. В 2010–2011 годах прирост был стабильно минимальным, и начиная с 2012 года оно начал увеличиваться. Т.е. остановка прироста произошла в 2010 году. Этот год находится в периоде 2009–2011 гг. Соответственно, имеем: В–1 .
2. Наибольшим падением прироста следует считать самую «круто» падающую линию графика на рисунке. Она приходится на период 2006–2007 гг. и составляет 0,04%, за год (0,59–0,56=0,04% в 2006 г. и 0,56–0,52=0,04% в 2007 г.). Отсюда получаем: А–2 .
3. Указанный в характеристике №3 прирост начался с 2007 года, продолжился в 2008 г. и завершился в 2009 году. Это соответствует периоду времени Б, т.е. имеем: Б–3 .
4. Прирост населения начал увеличиваться после 2011 г., т.е. в 2012–2013 гг. Поэтому получаем: Г–4 .

Вариант 14МБ8

На рисунке изображены график функции и касательные, проведенные к нему в точках с абсциссами А,В,С и D.

В правом столбце указаны значения производной функции в точках А, В, С и D. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке значение производной функции в ней.

Алгоритм выполнения

1. Рассматриваем пару касательных, имеющих острый угол с положит.направлением оси абсцисс. Сравниваем их, находим соответствие среди пары соответствующих значений производных.
2. Рассматриваем пару касательных, образующих с положит.направлением оси абсцисс тупой угол. Сравниваем их по модулю, определяем соответствие их значениям производных среди двух оставшихся в правой колонке.

Решение:

Острый угол с положит.направлением оси абсцисс образуют производные в т.В и т.С. Эти производные имеют положит.значения. Поэтому выбирать тут следует между значениями №№1 и 3. Применяя правило о том, что если угол меньше 45 0 , то производная меньше 1, а если больше, то больше 1, делаем вывод: в т.В производная по модулю больше 1, в т.С – меньше 1. Это означает, что можно составить пары для ответа: В–3 и С–1 .

Производные в т.А и т.D образуют с положит.направлением оси абсцисс тупой угол. И тут применяем то же правило, немного перефразировав его: чем больше касательная в точке «прижата» к линии оси абсцисс (к отрицат. ее направлению), тем больше она по модулю. Тогда получаем: производная в т.А по модулю меньше, чем производная в т.D. Отсюда имеем пары для ответа: А–2 и D–4 .

Вариант 14МБ9

На рисунке точками показана среднесуточная температура воздуха в Москве в январе 2011 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали – температура в градусах Цельсия. Для наглядности точки соединены линией.

Пользуясь рисунком, поставьте в соответствие каждому из указанных периодов времени характеристику изменения температуры .

Алгоритм выполнения

Анализируем последовательно характеристики 1–4 (правая колонка), используя график на рисунке. Ставим каждой из них в соответствие конкретный временной период (левая колонка).

Решение:

1. Рост температуры наблюдался только в конце периода 22–28 января. Здесь 27 и 28 числа она повышалась соответственно на 1 и на 2 градуса. В конце периода 1–7 января температура была стабильной (–10 градусов), в конце 8–14 и 15–21 января понижалась (с –1 до –2 и с –11 до –12 градусов соответственно). Поэтому получаем: Г–1 .
2. Поскольку каждый временной период охватывает 7 дней, то анализировать нужно температуру, начиная с 4-го дня каждого периода. Неизменной в течение 3–4 дней температура была только с 4 по 7 января. Поэтому получаем ответ: А–2 .
3. Месячный минимум температуры наблюдался 17 января. Это число входит в период 15–21 января. Отсюда имеем пару: В–3 .
4. Температурный максимум пришелся 10 января и составил +1 градус. Эта дата попадает в период 8–14 января. Значит, имеем: Б–4.

Вариант 14МБ10

Алгоритм выполнения

1. Значение функции в точке положительно, если эта точка расположена выше оси Ох.
2. Производная в точке больше нуля, если касательная к этой точке образует острый угол с положительным направлением оси Ох.

Решение:

Точка А. Она находится ниже оси Ох, значит значение функции в ней отрицательно. Если провести в ней касательную, то угол между нею и положит.направлением Ох составит около 90 0 , т.е. образует острый угол. Значит, в данном случае подходит характеристика №3. Т.е. имеем: А–3 .

Точка Б. Она находится над осью Ох, т.е. точка имеет положит.значение функции. Касательная в этой точке будет довольно близко «прилегать» к оси абсцисс, образуя тупой угол (немногим меньше 180 0) с положительным ее направлением. Соответственно, производная в этой точке отрицательна. Т.о., здесь подходит характеристика 1. Получаем ответ: В–1 .

Точка С. Точка расположена ниже оси Ох, касательная в ней образует большой тупой угол с положит.направлением оси абсцисс. Т.е. в т.С значение и функции, и производной отрицательно, что соответствует характеристике №2. Ответ: С–2 .

Точка D. Точка находится выше оси Ох, а касательная в ней образует с положит.направлением оси острый угол. Это говорит о том, что как значение функции, так и значение производной здесь больше нуля. Ответ: D–4 .

Вариант 14МБ11

На рисунке точками показаны объемы месячных продаж холодильников в магазине бытовой техники. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали – количество проданных холодильников. Для наглядности точки соединены линией.

Пользуясь рисунком, поставьте в соответствие каждому из указанных периодов времени характеристику продаж холодильников .

Прямая y=3x+2 является касательной к графику функции y=-12x^2+bx-10. Найдите b , учитывая, что абсцисса точки касания меньше нуля.

Решение

Пусть x_0 — абсцисса точки на графике функции y=-12x^2+bx-10, через которую проходит касательная к этому графику.

Значение производной в точке x_0 равно угловому коэффициенту касательной, то есть y"(x_0)=-24x_0+b=3. С другой стороны, точка касания принадлежит одновременно и графику функции и касательной, то есть -12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. Получаем систему уравнений \begin{cases} -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end{cases}

Решая эту систему, получим x_0^2=1, значит либо x_0=-1, либо x_0=1. Согласно условию абсцисса точки касания меньше нуля, поэтому x_0=-1, тогда b=3+24x_0=-21.

Ответ

Условие

На рисунке изображён график функции y=f(x) (являющийся ломаной линией, составленной из трёх прямолинейных отрезков). Пользуясь рисунком, вычислите F(9)-F(5), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).

Решение

По формуле Ньютона-Лейбница разность F(9)-F(5), где F(x) — одна из первообразных функции f(x), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=f(x), прямыми y=0, x=9 и x=5. По графику определяем, что указанная криволинейная трапеция является трапецией с основаниями, равными 4 и 3 и высотой 3 .

Её площадь равна \frac{4+3}{2}\cdot 3=10,5.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Условие

На рисунке изображён график y=f"(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-4; 10). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

Решение

Как известно, функция f(x) убывает на тех промежутках, в каждой точке которых производная f"(x) меньше нуля. Учитывая, что надо находить длину наибольшего из них естественно по рисунку выделяются три таких промежутка: (-4; -2); (0; 3); (5; 9).

Длина наибольшего из них — (5; 9) равна 4.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Условие

На рисунке изображён график y=f"(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-8; 7). Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих промежутку [-6; -2].

Решение

Из графика видно, что производная f"(x) функции f(x) меняет знак с плюса на минус (именно в таких точках будет максимум) ровно в одной точке (между -5 и -4 ) из промежутка [-6; -2]. Поэтому на промежутке [-6; -2] ровно одна точка максимума.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Условие

На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (-2; 8). Определите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0 .

Решение

Равенство нулю производной в точке означает, что касательная к графику функции, проведённая в этой точке, параллельна оси Ox. Поэтому находим такие точки, в которых касательная к графику функции параллельна оси Ox. На данном графике такими точками являются точки экстремума (точки максимума или минимума). Как видим, точек экстремума 5 .

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Условие

Прямая y=-3x+4 параллельна касательной к графику функции y=-x^2+5x-7. Найдите абсциссу точки касания.

Решение

Угловой коэффициент прямой к графику функции y=-x^2+5x-7 в произвольной точке x_0 равен y"(x_0). Но y"=-2x+5, значит, y"(x_0)=-2x_0+5. Угловой коэффициент прямой y=-3x+4, указанной в условии, равен -3. Параллельные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты. Поэтому находим такое значение x_0, что =-2x_0 +5=-3.

Получаем: x_0 = 4.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Условие

На рисунке изображён график функции y=f(x) и отмечены точки -6, -1, 1, 4 на оси абсцисс. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Тип урока: повторение и обобщение.

Форма урока: урок-консультация.

Цели урока:

• обучающая : повторить и обобщить теоретические знания по темам: “Геометрический смысл производной” и “Применение производной к исследованию функций”; рассмотреть все типы задач В8, встречающиеся на ЕГЭ по математике; предоставить обучающимся возможность проверить свои знания при самостоятельном решении задач; научить заполнять экзаменационный бланк ответов;
• развивающая : способствовать развитию общения как метода научного познания, смысловой памяти и произвольного внимания; формированию таких ключевых компетенций, как сравнение, сопоставление, классификация объектов, определение адекватных способов решения учебной задачи на основе заданных алгоритмов, способность самостоятельно действовать в ситуации неопределённости, контролировать и оценивать свою деятельность, находить и устранять причины возникших трудностей;
• воспитательная : развивать у обучающихся коммуникативные компетенции (культуру общения, умение работать в группах); способствовать развитию потребности к самообразованию.

Технологии: развивающего обучения, ИКТ.

Методы обучения: словесный, наглядный, практический, проблемный.

Формы работы: индивидуальная, фронтальная, групповая.

Учебно-методическое обеспечение:

1. Алгебра и начала математического анализа.11 класс: учеб. Для общеобразоват. Учреждений: базовый и профил. уровни / (Ю. М. Колягин, М.В.Ткачёва, Н. Е. Фёдорова, М. И. Шабунин); под редакцией А. Б. Жижченко. – 4-е изд. – М. : Просвещение, 2011.

2. ЕГЭ: 3000 задач с ответами по математике. Все задания группы В / А.Л. Семёнов, И.В. Ященко и др. ; под редакцией А.Л. Семёнова, И.В. Ященко. – М.: Издательство “Экзамен”, 2011.

3. Открытый банк заданий.

Оборудование и материалы для урока: проектор, экран, ПК для каждого ученика с установленной на него презентацией, для всех обучающихся распечатка памятки (Приложение 1) и оценочный лист (Приложение 2) .

Предварительная подготовка к уроку: в качестве домашнего задания обучающимся предлагается повторить по учебнику теоретический материал по темам: “Геометрический смысл производной”, “Применение производной к исследованию функций”; класс разбивается на группы (по 4 человека), в каждой из которых обучающиеся разных уровней.

Пояснение к уроку: данный урок проводится в 11 классе на этапе повторения и подготовки к ЕГЭ. Урок нацелен на повторение и обобщение теоретического материала, на применение его при решении экзаменационных задач. Продолжительность урока - 1,5 часа.

Данный урок не прикреплён к учебнику, поэтому может проводиться при работе по любому УМК. Также этот урок можно разбить на два отдельных и провести их как итоговые уроки по рассматриваемым темам.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Постановка целей урок.

III. Повторение по теме “Геометрический смысл производной”.

Устная фронтальная работа с использованием проектора (слайды №3-7)

Работа в группах: решение задач с подсказками, ответами, с консультацией учителя (слайды №8-17)

IV. Самостоятельная работа 1.

Обучающиеся работают индивидуально на ПК (слайды№18-26), свои ответы заносят в оценочный лист. Если необходимо, можно взять консультацию учителя, но в этом случае ученик потеряет 0,5 балла. Если ученик справится с работой раньше, то он может выбрать для решения дополнительные задания из сборника , стр.242, 306-324 (дополнительные задания оцениваются отдельно).

V. Взаимопроверка.

Обучающиеся обмениваются оценочными листами, проверяют работу товарища, выставляют баллы (слайд №27)

VI. Коррекция знаний.

VII. Повторение по теме “Применение производной к исследованию функций”

Устная фронтальная работа с использованием проектора (слайды №28-30)

Работа в группах: решение задач с подсказками, ответами, с консультацией учителя (слайды № 31-33)

VIII. Самостоятельная работа 2.

Обучающиеся работают индивидуально на ПК (слайды №34-46), свои ответы заносят в бланк ответов. Если необходимо, можно взять консультацию учителя, но в этом случае ученик потеряет 0,5 балла. Если ученик справится с работой раньше, то он может выбрать для решения дополнительные задания из сборника , стр.243-305 (дополнительные задания оцениваются отдельно).

IX. Взаимопроверка.

Обучающиеся обмениваются оценочными листами, проверяют работу товарища, выставляют баллы (слайд № 47).

X. Коррекция знаний.

Обучающиеся снова работают в своих группах, обсуждают решение, исправляют ошибки.

XI. Подведение итогов.

Каждый ученик подсчитывает свои баллы и выставляет в оценочный лист оценку.

Обучающиеся сдают учителю оценочный лист и решение дополнительных задач.

Каждый ученик получает памятку (слайд №53-54).

XII. Рефлексия.

Обучающимся предлагается оценить свои знания, выбрав одну из фраз:

• У меня всё получилось!!!
• Надо решить ещё пару примеров.
• Ну кто придумал эту математику!

XIII. Домашнее задание.

Для домашней работы учащимся предлагается выбрать для решения задания из сборника , стр. 242-334, а также из открытого банка заданий.

Для начала попробуй найти область определения функции:

Справился? Сравним​ ответы:

Все верно? Молодец!

Теперь попробуем найти область значений функции:

Нашел? Сравниваем:

Сошлось? Молодец!

Еще раз поработаем с графиками, только теперь чуть-чуть посложнее - найти и область определения функции, и область значений функции.

Как найти и область определения и область значений функции (продвинутый вариант)

Вот что получилось:

С графиками, я думаю, ты разобрался. Теперь попробуем в соответствии с формулами найти область определения функции (если ты не знаешь как это сделать, прочитай раздел про ):

Справился? Сверим ответы :

1. , так как подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю.
2. , так как на ноль делить нельзя и подкоренное выражение не может быть отрицательным.
3. , так как, соответственно при всех.
4. , так как на ноль делить нельзя.

Однако, у нас остался еще один не разобранный момент…

Еще раз повторю определение и сделаю на нем акцент:

Заметил? Слово «единственный» - это очень-очень важный элемент нашего определения. Постараюсь объяснить тебе на пальцах.

Допустим, у нас есть функция, заданная прямой. . При, мы подставляем данное значение в наше «правило» и получаем, что. Одному значению соответствует одно значение. Мы даже можем составить таблицу различных значений и построить график данной функции, чтобы убедится в этом.

«Смотри! - скажешь ты, -« » встречается два раза!» Так быть может парабола не является функцией? Нет, является!

То, что « » встречается два раза далеко не повод обвинять параболу в неоднозначности!

Дело в том, что, при расчёте для, мы получили один игрек. И при расчёте с мы получили один игрек. Так что все верно, парабола является функцией. Посмотри на график:

Разобрался? Если нет, вот тебе жизненный пример сооовсем далекий от математики!

Допустим, у нас есть группа абитуриентов, познакомившихся при подаче документов, каждый из которых в разговоре рассказал, где он живет:

Согласись, вполне реально, что несколько ребят живут в одном городе, но невозможно, чтобы один человек жил в нескольких городах одновременно. Это как бы логичное представление нашей «параболы» - нескольким разным икс соответствует один и тот же игрек.

Теперь придумаем пример, когда зависимость не будет функцией. Допустим, эти же ребята рассказывали, на какие специальности они подали документы:

Здесь у нас совершенно другая ситуация: один человек может спокойно подать документы как на одно, так и на несколько направлений. То есть одному элементу множества ставится в соответствие несколько элементов множества. Соответственно, это не функция.

Проверим твои знания на практике.

Определи по рисункам, что является функцией, а что нет:

Разобрался? А вот и ответы :

• Функцией является - В,Е.
• Функцией не является - А, Б, Г, Д.

Ты спросишь почему? Да вот почему:

На всех рисунках кроме В) и Е) на один приходится несколько!

Уверена, теперь, ты с легкостью отличишь функцию от не функции, скажешь, что такое аргумент и что такое зависимая переменная, а так же определишь область допустимых значений аргумента и область определения функции. Приступаем к следующему разделу - как задать функцию?

Способы задания функции

Как ты думаешь, что означают слова «задать функцию» ? Правильно, это значит объяснить всем желающим, о какой функции в данном случае идет речь. Причем объяснить так, чтобы каждый понял тебя правильно и нарисованные людьми по твоему объяснению графики функций были одинаковы.

Как это можно сделать? Как задать функцию? Самый простой способ, который уже не раз применялся в этой статье - с помощью формулы. Мы пишем формулу, и, подставляя в нее значение, высчитываем значение. А как ты помнишь, формула - это закон, правило, по которому нам и другому человеку становится ясно, как икс превращается в игрек.

Обычно, именно так и делают - в заданиях мы видим уже готовые функции, заданные формулами, однако, существуют и другие способы задать функцию, про которые все забывают, в связи с чем вопрос «как еще можно задать функцию?» ставит в тупик. Разберемся во всем по порядку, а начнем с аналитического способа.

Аналитический способ задания функции

Аналитический способ это и есть задание функции с помощью формулы. Это самый универсальный и исчерпывающий и однозначный способ. Если у тебя есть формула, то ты знаешь о функции абсолютно все - ты можешь составить по ней табличку значений, можешь построить график, определить, где функция возрастает, а где убывает, в общем, исследовать ее по полной программе.

Рассмотрим функцию. Чему равно?

«Что это значит?» - спросишь ты. Сейчас объясню.

Напомню, что в записи выражение в скобках называется аргументом. И этот аргумент может быть любым выражением, не обязательно просто. Соответственно, каким бы ни был аргумент (выражение в скобках), мы его запишем вместо в выражении.

В нашем примере получится так:

Рассмотрим еще задание, связанное с аналитическим способом задания функции, которое будет у тебя на экзамене.

Найдите значение выражения, при.

Уверена, что сначала, ты испугался, увидев такое выражение, но в нем нет абсолютно ничего страшного!

Все как и в прошлом примере: каким бы ни был аргумент (выражение в скобках), мы его запишем вместо в выражении. Например, для функции.

Что же нужно сделать в нашем примере? Вместо надо написать, а вместо - :

сократить получившееся выражение:

Вот и все!

Самостоятельная работа

Теперь попробуй самостоятельно найти значение следующих выражений:

1. , если
2. , если

Справился? Сравним наши ответы: Мы привыкли, что функция имеет вид

Даже в наших примерах мы задаем функцию именно таким образом, однако аналитически можно задать функцию в неявном виде, например.

Попробуй построить эту функцию самостоятельно.

Справился?

Вот как строила ее я.

Какое уравнение мы в итоге вывели?

Правильно! Линейное, а это значит, что графиком будет прямая линия. Сделаем табличку, чтобы определить, какие точки принадлежат нашей прямой:

Вот как раз то, о чем мы говорили… Одному соответствует несколько.

Попробуем нарисовать то, что получилось:

Является ли то, что у нас получилось функцией?

Правильно, нет! Почему? Попробуй ответить на этот вопрос с помощью рисунка. Что у тебя вышло?

«Потому что одному значению соответствует несколько значений!»

Какой вывод мы можем из этого сделать?

Правильно, функция не всегда может быть выражена явно, и не всегда то, что «замаскировано» под функцию является функцией!

Табличный способ задания функции

Как следует из названия, этот способ представляет собой простую табличку. Да, да. Наподобие той, которой мы с тобой уже составляли. Например:

Здесь ты сразу подметил закономерность - игрек в три раза больше чем икс. А теперь задание на «очень хорошо подумать»: как ты считаешь, равносильная ли функция, заданная в виде таблицы, функции?

Не будем долго рассуждать, а будем рисовать!

Итак. Рисуем функцию, заданную обоями способами:

Видишь разницу? Дело совсем не в отмеченных точках! Присмотрись внимательнее:

Теперь увидел? Когда мы задаем функцию табличным способом, мы на графике отражаем только те точки, которые есть у нас в таблице и линия (как в нашем случае) проходит только через них. Когда мы задаем функцию аналитическим способом, мы можем взять любые точки, и наша функция ими не ограничивается. Вот такая вот особенность. Запоминай!

Графический способ построения функции

Графический способ построения функции не менее удобен. Мы рисуем нашу функцию, а другой заинтересованный человек может найти чему равен игрек при определенном икс и так далее. Графический и аналитический способы одни из самых распространенных.

Однако, здесь нужно помнить о чем мы с тобой говорили в самом начале - не каждая «загогулина» нарисованная в системе координат является функцией! Вспомнил? На всякий случай скопирую тебе сюда определение, что функцией является:

Как правило, люди обычно называют именно те три способа задания функции, которые мы разобрали - аналитический (с помощью формулы), табличный и графический, напрочь забывая о том, что функцию можно словесно описать. Как это? Да очень просто!

Словесное описание функции

Как же описать функцию словесно? Возьмем наш недавний пример - . Данную функцию можно описать «каждому действительному значению икс соответствует его утроенное значение». Вот и все. Ничего сложного. Ты, конечно, возразишь - «есть настолько сложные функции, которые словесно задать просто невозможно!» Да, есть и такие, но есть функции, которые описать словесно легче, чем задать формулой. Например: «каждому натуральному значению икс соответствует разница между цифрами, из которых он состоит, при этом за уменьшаемое берется наибольшее цифра, содержащиеся в записи числа». Теперь рассмотрим, как наше словесное описание функции реализуется на практике:

Наибольшая цифра в данном числе - , соответственно, - уменьшаемое, тогда:

Основные виды функций

Теперь перейдем к самому интересному - рассмотрим основные виды функций, с которыми ты работал/работаешь и будешь работать в курсе школьной и институтской математики, то есть познакомимся с ними, так сказать и дадим им краткую характеристику. Более подробно про каждую функцию читай в соответствующем разделе.

Линейная функция

Функция вида, где, - действительные числа.

Графиком данной функции служит прямая, поэтому построение линейной функции сводится к нахождению координат двух точек.

Положение прямой на координатной плоскости зависит от углового коэффициента.

Область определения функции (aka область допустимых значений аргумента) - .

Область значений - .

Квадратичная функция

Функция вида, где

Графиком функции является парабола, при ветви параболы направлены вниз, при — вверх.

Многие свойства квадратичной функции зависят от значения дискриминанта. Дискриминант вычисляется по формуле

Положение параболы на координатной плоскости относительно значения и коэффициента показаны на рисунке:

Область определения

Область значений зависит от экстремума данной функции (точки вершины параболы) и коэффициента (направления ветвей параболы)

Обратная пропорциональность

Функция, задаваемая формулой, где

Число называется коэффициентом обратной пропорциональности. В зависимости от того, какое значение, ветви гиперболы находятся в разных квадратах:

Область определения - .

Область значений - .

КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

1. Функцией называется правило, по которому каждому элементу множества ставится в соответствие единственный элемент множества.

• - это формула, обозначающая функцию, то есть зависимость одной переменной от другой;
• - переменная величина, или, аргумент;
• - зависимая величина - изменяется при изменении аргумента, то есть согласно какой-либо определенной формуле, отражающей зависимость одной величины от другой.

2. Допустимые значения аргумента , или область определения функции - это то, что связано с возможными, при которых функция имеет смысл.

3. Область значений функции - это то, какие значения принимает, при допустимых значениях.

4. Существует 4 способа задания функции:

• аналитический (с помощью формул);
• табличный;
• графический
• словесное описание.

5. Основные виды функций:

• : , где, - действительные числа;
• : , где;
• : , где.