Смысл дисперсии случайной величины. Дисперсия и стандартное отклонение
Для сгруппированных данных остаточная дисперсия - средняя из внутригрупповых дисперсий:Где σ 2 j - внутригрупповая дисперсия j -й группы.
Для не сгруппированных данных
остаточная дисперсия
– мера точности аппроксимации, т.е. приближения линии регрессии к исходным данным:
где y(t) – прогноз по уравнению тренда; y t – исходный ряд динамики; n – количество точек; p – число коэффициентов уравнения регрессии (количество объясняющих переменных).
В этом примере она называется несмещенная оценка дисперсии
.
Пример №1 . Распределение рабочих трех предприятий одного объединения по тарифным разрядам характеризуется следующими данными:
Тарифный разряд рабочего | Численность рабочих на предприятии | ||
предприятие 1 | предприятие 2 | предприятие 3 | |
1 | 50 | 20 | 40 |
2 | 100 | 80 | 60 |
3 | 150 | 150 | 200 |
4 | 350 | 300 | 400 |
5 | 200 | 150 | 250 |
6 | 150 | 100 | 150 |
Определить:
1. дисперсию по каждому предприятию (внутригрупповые дисперсии);
2. среднюю из внутригрупповых дисперсий;
3. межгрупповую дисперсию ;
4. общую дисперсию.
Решение.
Прежде чем приступить к решению задачи необходимо выяснить, какой признак является результативным, а какой – факторным. В рассматриваемом примере результативным признаком является «Тарифный разряд», а факторным признаком – «Номер (название) предприятия».
Тогда имеем три группы (предприятия), для которых необходимо рассчитать групповую среднюю и внутригрупповые дисперсии :
Предприятие | Групповая средняя, | Внутригрупповая дисперсия, |
1 | 4 | 1,8 |
Средняя из внутригрупповых дисперсий (остаточная дисперсия ) рассчитаем по формуле:
где можно рассчитать:
![](https://i1.wp.com/semestr.ru/images/math/group/a7_image007.png)
либо:
тогда:
Общая дисперсия будет равна: s 2 = 1,6 + 0 = 1,6.
Общую дисперсию также можно рассчитать и по одной из следующих двух формул:
При решении практических задач часто приходится иметь дело с признаком, принимающим только два альтернативных значения. В этом случае говорят не о весе того или иного значения признака, а о его доле в совокупности. Если долю единиц совокупности, обладающих изучаемым признаком, обозначить через «р
», а не обладающих – через «q
», то дисперсию можно рассчитать по формуле:
s 2 = p×q
Пример №2 . По данным о выработке шести рабочих бригады определить межгрупповую дисперсию и оценить влияние рабочей смены на их производительность труда, если общая дисперсия равна 12,2 .
№ рабочего бригады | Выработка рабочего, шт. | |
в I смену | во II смену | |
1 | 18 | 13 |
2 | 19 | 14 |
3 | 22 | 15 |
4 | 20 | 17 |
5 | 24 | 16 |
6 | 23 | 15 |
Решение . Исходные данные
X | f 1 | f 2 | f 3 | f 4 | f 5 | f 6 | Итого |
1 | 18 | 19 | 22 | 20 | 24 | 23 | 126 |
2 | 13 | 14 | 15 | 17 | 16 | 15 | 90 |
Итого | 31 | 33 | 37 | 37 | 40 | 38 |
Тогда имеем 6 группы, для которых необходимо рассчитать групповую среднюю и внутригрупповые дисперсии.
1. Находим средние значения каждой группы .
2. Находим среднее квадратическое каждой группы .
Результаты расчета сведем в таблицу:
Номер группы | Групповая средняя | Внутригрупповая дисперсия |
1 | 1.42 | 0.24 |
2 | 1.42 | 0.24 |
3 | 1.41 | 0.24 |
4 | 1.46 | 0.25 |
5 | 1.4 | 0.24 |
6 | 1.39 | 0.24 |
3. Внутригрупповая дисперсия характеризует изменение (вариацию) изучаемого (результативного) признака в пределах группы под действием на него всех факторов, кроме фактора, положенного в основание группировки:
Среднюю из внутригрупповых дисперсий рассчитаем по формуле:
4. Межгрупповая дисперсия характеризует изменение (вариацию) изучаемого (результативного) признака под действием на него фактора (факторного признака), положенного в основание группировки.
Межгрупповую дисперсию определим как:
где
Тогда
Общая дисперсия характеризует изменение (вариацию) изучаемого (результативного) признака под действием на него всех без исключения факторов (факторных признаков). По условию задачи она равна 12.2 .
Эмпирическое корреляционное отношение измеряет, какую часть общей колеблемости результативного признака вызывает изучаемый фактор. Это отношение факторной дисперсии к общей дисперсии:
Определяем эмпирическое корреляционное отношение:
Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока:
0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 В нашем примере связь между признаком Y фактором X слабая
Коэффициент детерминации.
Определим коэффициент детерминации:
Таким образом, на 0.67% вариация обусловлена различиями между признаками, а на 99.37% – другими факторами.
Вывод : в данном случае выработка рабочих не зависит от работы в конкретную смену, т..е. влияние рабочей смены на их производительность труда не значительное и обусловлено другими факторами.
Пример №3 . На основе данных о средней заработной плате и квадратах отклонений от её величины по двум группам рабочих найти общую дисперсию, применив правило сложения дисперсий:
Решение:Средняя из внутригрупповых дисперсий
![](https://i2.wp.com/semestr.ru/images/math/group/total-variance-image001.gif)
Межгрупповую дисперсию определим как:
![](https://i2.wp.com/semestr.ru/images/math/group/total-variance-image002.gif)
Общая дисперсия будет равна: 480 + 13824 = 14304
Наряду с изучением вариации признака по всей по всей совокупности в целом часто бывает необходимо проследить количественные изменения признака по группам, на которые разделяется совокупность, а также и между группами. Такое изучение вариации достигается посредством вычисления и анализа различных видов дисперсии.
Выделяют дисперсию общую, межгрупповую и внутригрупповую
.
Общая дисперсия σ 2
измеряет вариацию признака по всей совокупности под влиянием всех факторов, обусловивших эту вариацию, .
Межгрупповая дисперсия (δ) характеризует систематическую вариацию, т.е. различия в величине изучаемого признака, возникающие под влиянием признака-фактора, положенного в основание группировки. Она рассчитывается по формуле:
.
Внутригрупповая дисперсия (σ)
отражает случайную вариацию, т.е. часть вариации, происходящую под влиянием неучтенных факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в основание группировки. Она вычисляется по формуле:
.
Средняя из внутригрупповых дисперсий
: .
Существует закон, связывающий 3 вида дисперсии. Общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых и межгрупповой дисперсии: .
Данное соотношение называют правилом сложения дисперсий
.
В анализе широко используется показатель, представляющий собой долю межгрупповой дисперсии в общей дисперсии. Он носит название эмпирического коэффициента детерминации (η 2):
.
Корень квадратный из эмпирического коэффициента детерминации носит название эмпирического корреляционного отношения (η)
:
.
Оно характеризует влияние признака, положенного в основание группировки, на вариацию результативного признака. Эмпирическое корреляционное отношение изменяется в пределах от 0 до 1.
Покажем его практическое использование на следующем примере (табл. 1).
Пример №1 . Таблица 1 - Производительность труда двух групп рабочих одного из цехов НПО «Циклон»
Рассчитаем общую и групповые средние и дисперсии:Исходные данные для вычисления средней из внутригрупповых и межгрупповой дисперсии представлены в табл. 2.
Таблица 2
Расчет и δ 2 по двум группам рабочих.
Группы рабочих | Численность рабочих, чел. | Средняя, дет./смен. | Дисперсия |
Прошедшие техническое обучение | 5 | 95 | 42,0 |
Не прошедшие техническое обучение | 5 | 81 | 231,2 |
Все рабочие | 10 | 88 | 185,6 |
![](https://i2.wp.com/semestr.ru/images/math/group/h2_image043.gif)
Межгрупповая дисперсия
Общая дисперсия:
Таким образом, эмпирическое корреляционное соотношение: .
Наряду с вариацией количественных признаков может наблюдаться и вариация качественных признаков. Такое изучение вариации достигается посредством вычисления следующих видов дисперсий:
Внутригрупповая дисперсия доли определяется по формуле
где n i – численность единиц в отдельных группах.Доля изучаемого признака во всей совокупности, которая определяется по формуле:
Три вида дисперсии связаны между собой следующим образом:
![](https://i0.wp.com/semestr.ru/images/math/group/h2_image051.gif)
Это соотношение дисперсий называется теоремой сложения дисперсий доли признака.
Вычислим в MS EXCEL дисперсию и стандартное отклонение выборки. Также вычислим дисперсию случайной величины, если известно ее распределение.
Сначала рассмотрим дисперсию , затем стандартное отклонение .
Дисперсия выборки
Дисперсия выборки (выборочная дисперсия, sample variance ) характеризует разброс значений в массиве относительно .
Все 3 формулы математически эквивалентны.
Из первой формулы видно, что дисперсия выборки это сумма квадратов отклонений каждого значения в массиве от среднего , деленная на размер выборки минус 1.
дисперсии выборки используется функция ДИСП() , англ. название VAR, т.е. VARiance. С версии MS EXCEL 2010 рекомендуется использовать ее аналог ДИСП.В() , англ. название VARS, т.е. Sample VARiance. Кроме того, начиная с версии MS EXCEL 2010 присутствует функция ДИСП.Г(), англ. название VARP, т.е. Population VARiance, которая вычисляет дисперсию для генеральной совокупности . Все отличие сводится к знаменателю: вместо n-1 как у ДИСП.В() , у ДИСП.Г() в знаменателе просто n. До MS EXCEL 2010 для вычисления дисперсии генеральной совокупности использовалась функция ДИСПР() .
Дисперсию выборки
=КВАДРОТКЛ(Выборка)/(СЧЁТ(Выборка)-1)
=(СУММКВ(Выборка)-СЧЁТ(Выборка)*СРЗНАЧ(Выборка)^2)/ (СЧЁТ(Выборка)-1)
– обычная формула
=СУММ((Выборка -СРЗНАЧ(Выборка))^2)/ (СЧЁТ(Выборка)-1
) –
Дисперсия выборки равна 0, только в том случае, если все значения равны между собой и, соответственно, равны среднему значению . Обычно, чем больше величина дисперсии , тем больше разброс значений в массиве.
Дисперсия выборки является точечной оценкой дисперсии распределения случайной величины, из которой была сделана выборка . О построении доверительных интервалов при оценке дисперсии можно прочитать в статье .
Дисперсия случайной величины
Чтобы вычислить дисперсию случайной величины, необходимо знать ее .
Для дисперсии случайной величины Х часто используют обозначение Var(Х). Дисперсия равна квадрата отклонения от среднего E(X): Var(Х)=E[(X-E(X)) 2 ]
дисперсия вычисляется по формуле:
где x i – значение, которое может принимать случайная величина, а μ – среднее значение (), р(x) – вероятность, что случайная величина примет значение х.
Если случайная величина имеет , то дисперсия вычисляется по формуле:
Размерность дисперсии соответствует квадрату единицы измерения исходных значений. Например, если значения в выборке представляют собой измерения веса детали (в кг), то размерность дисперсии будет кг 2 . Это бывает сложно интерпретировать, поэтому для характеристики разброса значений чаще используют величину равную квадратному корню из дисперсии – стандартное отклонение .
Некоторые свойства дисперсии :
Var(Х+a)=Var(Х), где Х - случайная величина, а - константа.
Var(aХ)=a 2 Var(X)
Var(Х)=E[(X-E(X)) 2 ]=E=E(X 2)-E(2*X*E(X))+(E(X)) 2 =E(X 2)-2*E(X)*E(X)+(E(X)) 2 =E(X 2)-(E(X)) 2
Это свойство дисперсии используется в статье про линейную регрессию .
Var(Х+Y)=Var(Х) + Var(Y) + 2*Cov(Х;Y), где Х и Y - случайные величины, Cov(Х;Y) - ковариация этих случайных величин.
Если случайные величины независимы (independent), то их ковариация равна 0, и, следовательно, Var(Х+Y)=Var(Х)+Var(Y). Это свойство дисперсии используется при выводе .
Покажем, что для независимых величин Var(Х-Y)=Var(Х+Y). Действительно, Var(Х-Y)= Var(Х-Y)= Var(Х+(-Y))= Var(Х)+Var(-Y)= Var(Х)+Var(-Y)= Var(Х)+(-1) 2 Var(Y)= Var(Х)+Var(Y)= Var(Х+Y). Это свойство дисперсии используется для построения .
Стандартное отклонение выборки
Стандартное отклонение выборки - это мера того, насколько широко разбросаны значения в выборке относительно их .
По определению, стандартное отклонение равно квадратному корню из дисперсии :
Стандартное отклонение не учитывает величину значений в выборке , а только степень рассеивания значений вокруг их среднего . Чтобы проиллюстрировать это приведем пример.
Вычислим стандартное отклонение для 2-х выборок: (1; 5; 9) и (1001; 1005; 1009). В обоих случаях, s=4. Очевидно, что отношение величины стандартного отклонения к значениям массива у выборок существенно отличается. Для таких случаев используется Коэффициент вариации (Coefficient of Variation, CV) - отношение Стандартного отклонения к среднему арифметическому , выраженного в процентах.
В MS EXCEL 2007 и более ранних версиях для вычисления Стандартного отклонения выборки используется функция =СТАНДОТКЛОН() , англ. название STDEV, т.е. STandard DEViation. С версии MS EXCEL 2010 рекомендуется использовать ее аналог =СТАНДОТКЛОН.В() , англ. название STDEV.S, т.е. Sample STandard DEViation.
Кроме того, начиная с версии MS EXCEL 2010 присутствует функция СТАНДОТКЛОН.Г() , англ. название STDEV.P, т.е. Population STandard DEViation, которая вычисляет стандартное отклонение для генеральной совокупности . Все отличие сводится к знаменателю: вместо n-1 как у СТАНДОТКЛОН.В() , у СТАНДОТКЛОН.Г() в знаменателе просто n.
Стандартное отклонение
можно также вычислить непосредственно по нижеуказанным формулам (см. файл примера
)
=КОРЕНЬ(КВАДРОТКЛ(Выборка)/(СЧЁТ(Выборка)-1))
=КОРЕНЬ((СУММКВ(Выборка)-СЧЁТ(Выборка)*СРЗНАЧ(Выборка)^2)/(СЧЁТ(Выборка)-1))
Другие меры разброса
Функция КВАДРОТКЛ() вычисляет сумму квадратов отклонений значений от их среднего . Эта функция вернет тот же результат, что и формула =ДИСП.Г(Выборка )*СЧЁТ(Выборка ) , где Выборка - ссылка на диапазон, содержащий массив значений выборки (). Вычисления в функции КВАДРОТКЛ() производятся по формуле:
Функция СРОТКЛ() является также мерой разброса множества данных. Функция СРОТКЛ() вычисляет среднее абсолютных значений отклонений значений от среднего . Эта функция вернет тот же результат, что и формула =СУММПРОИЗВ(ABS(Выборка-СРЗНАЧ(Выборка)))/СЧЁТ(Выборка) , где Выборка - ссылка на диапазон, содержащий массив значений выборки.
Вычисления в функции СРОТКЛ () производятся по формуле:
Среди множества показателей, которые применяются в статистике, нужно выделить расчет дисперсии. Следует отметить, что выполнение вручную данного вычисления – довольно утомительное занятие. К счастью, в приложении Excel имеются функции, позволяющие автоматизировать процедуру расчета. Выясним алгоритм работы с этими инструментами.
Дисперсия – это показатель вариации, который представляет собой средний квадрат отклонений от математического ожидания. Таким образом, он выражает разброс чисел относительно среднего значения. Вычисление дисперсии может проводиться как по генеральной совокупности, так и по выборочной.
Способ 1: расчет по генеральной совокупности
Для расчета данного показателя в Excel по генеральной совокупности применяется функция ДИСП.Г . Синтаксис этого выражения имеет следующий вид:
ДИСП.Г(Число1;Число2;…)
Всего может быть применено от 1 до 255 аргументов. В качестве аргументов могут выступать, как числовые значения, так и ссылки на ячейки, в которых они содержатся.
Посмотрим, как вычислить это значение для диапазона с числовыми данными.
![](https://i0.wp.com/lumpics.ru/wp-content/uploads/2017/03/Perehod-k-masteru-funktsiy-v-Microsoft-Excel.png)
Способ 2: расчет по выборке
В отличие от вычисления значения по генеральной совокупности, в расчете по выборке в знаменателе указывается не общее количество чисел, а на одно меньше. Это делается в целях коррекции погрешности. Эксель учитывает данный нюанс в специальной функции, которая предназначена для данного вида вычисления – ДИСП.В. Её синтаксис представлен следующей формулой:
ДИСП.В(Число1;Число2;…)
Количество аргументов, как и в предыдущей функции, тоже может колебаться от 1 до 255.
![](https://i1.wp.com/lumpics.ru/wp-content/uploads/2017/03/Peremeshhenie-k-masteru-funktsiy-v-Microsoft-Excel.png)
Как видим, программа Эксель способна в значительной мере облегчить расчет дисперсии. Эта статистическая величина может быть рассчитана приложением, как по генеральной совокупности, так и по выборке. При этом все действия пользователя фактически сводятся только к указанию диапазона обрабатываемых чисел, а основную работу Excel делает сам. Безусловно, это сэкономит значительное количество времени пользователей.
Вариационный размах (или размах вариации) - это разница между максимальным и минимальным значениями признака:
В нашем примере размах вариации сменной выработки рабочих составляет: в первой бригаде R=105-95=10 дет., во второй бригаде R=125-75=50 дет. (в 5 раз больше). Это говорит о том, что выработка 1-й бригады более «устойчива», но резервов роста выработки больше у второй бригады, т.к. в случае достижения всеми рабочими максимальной для этой бригады выработки, ею может быть изготовлено 3*125=375 деталей, а в 1-й бригаде только 105*3=315 деталей.
Если крайние значения признака не типичны для совокупности, то используют квартильный или децильный размахи. Квартильный размах RQ= Q3-Q1 охватывает 50% объема совокупности, децильный размах первый RD1 = D9-D1охватывает 80% данных, второй децильный размах RD2= D8-D2 – 60 %.
Недостатком показателя вариационного размаха является, но что его величина не отражает все колебания признака.
Простейшим обобщающим показателем, отражающим все колебания признака, является среднее линейное отклонение
, представляющее собой среднюю арифметическую абсолютных отклонений отдельных вариант от их средней величины:
,
для сгруппированных данных ,
где хi – значение признака в дискретном ряду или середина интервала в интервальном распределении.
В вышеприведенных формулах разности в числителе взяты по модулю, иначе, согласно свойству средней арифметической, числитель всегда будет равен нулю. Поэтому среднее линейное отклонение в статистической практике применяют редко, только в тех случаях, когда суммирование показателей без учета знака имеет экономический смысл. С его помощью, например, анализируется состав работающих, рентабельность производства, оборот внешней торговли.
Дисперсия признака
– это средний квадрат отклонений вариант от их средней величины:
простая дисперсия,
взвешенная дисперсия.
Формулу для расчета дисперсии можно упростить:
Таким образом, дисперсия равна разности средней из квадратов вариант и квадрата средней из вариант совокупности:.
Однако, вследствие суммирования квадратов отклонений дисперсия дает искаженное представление об отклонениях, поэтому ее на основе рассчитывают среднее квадратическое отклонение
, которое показывает, на сколько в среднем отклоняются конкретные варианты признака от их среднего значения. Вычисляется путем извлечения квадратного корня из дисперсии:
для несгруппированных данных,
для вариационного ряда
Чем меньше значение дисперсии и среднего квадратического отклонения, тем однороднее совокупность, тем более надежной (типичной) будет средняя величина.
Среднее линейное и среднее квадратичное отклонение - именованные числа, т. е. выражаются в единицах измерения признака, идентичны по содержанию и близки по значению.
Рассчитывать абсолютные показатели вариации рекомендуется с помощью таблиц.
Таблица 3 – Расчет характеристик вариации (на примере срока данных о сменной выработке рабочих бригады)
Число рабочих, |
Середина интервала, |
Расчетные значения |
|||||
Итого: |
Среднесменная выработка рабочих:
Среднее линейное отклонение:
Дисперсия выработки:
Среднее квадратическое отклонение выработки отдельных рабочих от средней выработки:
.
1 Расчет дисперсии способом моментов
Вычисление дисперсий связано с громоздкими расчетами (особенно если средняя величина выражена большим числом с несколькими десятичными знаками). Расчеты можно упростить, если использовать упрощенную формулу и свойства дисперсии.
Дисперсия обладает следующими свойствами:
- если все значения признака уменьшить или увеличить на одну и ту же величину А, то дисперсия от этого не уменьшится:
,
, то или
Используя свойства дисперсии и сначала уменьшив все варианты совокупности на величину А, а затем разделив на величину интервала h, получим формулу вычисления дисперсии в вариационных рядах с равными интервалами способом моментов:
,
где – дисперсия, исчисленная по способу моментов;
h – величина интервала вариационного ряда;
– новые (преобразованные) значения вариант;
А– постоянная величина, в качестве которой используют середину интервала, обладающего наибольшей частотой; либо вариант, имеющий наибольшую частоту; – квадрат момента первого порядка;
– момент второго порядка.
Выполним расчет дисперсии способом моментов на основе данных о сменной выработке рабочих бригады.
Таблица 4 – Расчет дисперсии по способу моментов
Группы рабочих по выработке, шт. |
Число рабочих, |
Середина интервала, |
Расчетные значения |
||
Порядок расчета:
- рассчитываем дисперсию:
2 Расчет дисперсии альтернативного признака
Среди признаков, изучаемых статистикой, есть и такие, которым свойственны лишь два взаимно исключающих значения. Это альтернативные признаки. Им придается соответственно два количественных значения: варианты 1 и 0. Частостью варианты 1, которая обозначается p, является доля единиц, обладающих данным признаком. Разность 1-р=q является частостью варианты 0. Таким образом,
хi |
|
Средняя арифметическая альтернативного признака, т. к. p+q=1.
Дисперсия альтернативного признака
, т.к. 1-р=q
Таким образом, дисперсия альтернативного признака равна произведению доли единиц, обладающих данным признаком, и доли единиц, не обладающих этим признаком.
Если значения 1 и 0 встречаются одинаково часто, т. е. p=q, дисперсия достигает своего максимума pq=0,25.
Дисперсия альтернативного признака используется в выборочных обследованиях, например, качества продукции.
3 Межгрупповая дисперсия. Правило сложения дисперсий
Дисперсия, в отличие от других характеристик вариации, является аддитивной величиной. То есть в совокупности, которая разделена на группы по факторному признаку х, дисперсия результативного признака y может быть разложена на дисперсию в каждой группе (внутригрупповую) и дисперсию между группами (межгрупповую). Тогда, наряду с изучением вариации признака по всей совокупности в целом, становится возможным изучение вариации в каждой группе, а также между этими группами.
Общая дисперсия
измеряет вариацию признака у
по всей совокупности под влиянием всех факторов, вызвавших эту вариацию (отклонения). Она равна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака у
от общей средней и может быть вычислена как простая или взвешенная дисперсия.
Межгрупповая дисперсия
характеризует вариацию результативного признака у
, вызванную влиянием признака-фактора х
, положенного в основу группировки. Она характеризует вариацию групповых средних и равна среднему квадрату отклонений групповых средних от общей средней : ,
где – средняя арифметическая i-той группы;
– численность единиц в i-той группе (частота i-той группы);
– общая средняя совокупности.
Внутригрупповая дисперсия
отражает случайную вариацию, т. е. ту часть вариации, которая вызвана влиянием неучтенных факторов и не зависит от признака-фактора, положенного в основу группировки. Она характеризует вариацию индивидуальных значений относительно групповых средних, равна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака у
внутри группы от средней арифметической этой группы (групповой средней) и вычисляется как простая или взвешенная дисперсия для каждой группы: или
,
где – число единиц в группе.
На основании внутригрупповых дисперсий по каждой группе можно определить общую среднюю из внутригрупповых дисперсий
:
.
Взаимосвязь между тремя дисперсиями получила название правила сложения дисперсий
, согласно которому общая дисперсия равна сумме межгрупповой дисперсии и средней из внутригрупповых дисперсий:
Пример
. При изучении влияния тарифного разряда (квалификации) рабочих на уровень производительности их труда получены следующие данные.
Таблица 5 – Распределение рабочих по среднечасовой выработке.
№ п/п |
Рабочие 4-го разряда |
Рабочие 5-го разряда |
|||||
Выработка |
Выработка |
||||||
1 |
7 |
7-10=-3 |
9 |
1 |
14 |
14-15=-1 |
1 |
В данном примере рабочие разделены на две группы по факторному признаку х
– квалификации, которая характеризуется их разрядом. Результативный признак – выработка – варьируется как под его влиянием (межгрупповая вариация), так и за счет других случайных факторов (внутригрупповая вариация). Задача заключается в измерении этих вариаций с помощью трех дисперсий: общей, межгрупповой и внутригрупповой.
Эмпирический коэффициент детерминации показывает долю вариации результативного признака у
под влиянием факторного признака х
. Остальная часть общей вариации у
вызвана изменением прочих факторов.
В примере эмпирический коэффициент детерминации равен: или 66,7 %,
Это означает, что на 66,7% вариация производительности труда рабочих обусловлена различиями в квалификации, а на 33,3% – влиянием прочих факторов.
Эмпирическое корреляционное отношение
показывает тесноту связи между группировочным и результативными признаками. Рассчитывается как корень квадратный из эмпирического коэффициента детерминации:
Эмпирическое корреляционное отношение , как и , может принимать значения от 0 до 1.
Если связь отсутствует, то =0. В этом случае =0, то есть групповые средние равны между собой и межгрупповой вариации нет. Значит группировочный признак – фактор не влияет на образование общей вариации.
Если связь функциональная, то =1. В этом случае дисперсия групповых средних равна общей дисперсии (), то есть внутригрупповой вариации нет. Это означает, что группировочный признак полностью определяет вариацию изучаемого результативного признака.
Чем ближе значение корреляционного отношения к единице, тем теснее, ближе к функциональной зависимости связь между признаками.
Для качественной оценки тесноты связи между признаками пользуются соотношениями Чэддока.
В примере , что свидетельствует о тесной связи между производительностью труда рабочих и их квалификацией.