Formeln för att hitta arean av en triangel i form av sinus för en vinkel. Triangelareasats, sinus- och cosinussatser

Kan hittas genom att känna till basen och höjden. Hela enkelheten i schemat ligger i det faktum att höjden delar basen a i två delar a 1 och en 2, och triangeln själv i två räta trianglar, vars area erhålls och. Då kommer hela triangelns area att vara summan av de två angivna områdena, och om vi tar hälften av höjden ur konsolen, får vi totalt tillbaka basen:

En svårare metod för beräkningar är Heron-formeln, för vilken du behöver känna till alla tre sidorna. För den här formeln måste du först beräkna triangelns halvperimeter: Herons formel i sig antyder kvadratroten av halvperimetern, multiplicerad i sin tur med dess skillnad på varje sida.

Följande metod, även relevant för alla triangel, låter dig hitta triangelns area genom två sidor och vinkeln mellan dem. Beviset för detta följer av formeln med höjd - vi drar höjden till någon av de kända sidorna och genom sinus för vinkeln α får vi att h=a⋅sinα . För att beräkna arean, multiplicera halva höjden med den andra sidan.

Ett annat sätt är att hitta arean av en triangel med 2 vinklar och sidan mellan dem. Beviset för denna formel är ganska enkelt och kan tydligt ses från diagrammet.

Vi sänker höjden från toppen av det tredje hörnet till den kända sidan och kallar de resulterande segmenten respektive x. Det kan ses från räta trianglar att det första segmentet x är lika med produkten

Enkelt uttryckt är dessa grönsaker kokta i vatten enligt ett speciellt recept. Jag kommer att överväga två inledande komponenter (grönsakssallad och vatten) och det färdiga resultatet - borsjtj. Geometriskt kan detta representeras som en rektangel där ena sidan betecknar sallad, den andra sidan betecknar vatten. Summan av dessa två sidor kommer att beteckna borsjtj. Diagonalen och området för en sådan "borsjtj"-rektangel är rent matematiska begrepp och används aldrig i borsjtrecept.

Du hittar inget om linjära vinkelfunktioner i matteläroböcker. Men utan dem kan det inte finnas någon matematik. Matematikens lagar, liksom naturlagarna, fungerar oavsett om vi vet att de finns eller inte.

Linjära vinkelfunktioner är additionens lagar. Se hur algebra förvandlas till geometri och geometri förvandlas till trigonometri.

Är det möjligt att klara sig utan linjära vinkelfunktioner? Det kan du, för matematiker klarar sig fortfarande utan dem. Mathematikerns trick ligger i det faktum att de alltid bara berättar om de problem som de själva kan lösa, och aldrig berättar om de problem som de inte kan lösa. Ser. Om vi ​​vet resultatet av additionen och en term använder vi subtraktion för att hitta den andra termen. Allt. Vi känner inte till andra problem och vi kan inte lösa dem. Vad ska vi göra om vi bara vet resultatet av tillägget och inte känner till båda termerna? I detta fall måste resultatet av addition delas upp i två termer med hjälp av linjära vinkelfunktioner. Vidare väljer vi själva vad en term kan vara, och de linjära vinkelfunktionerna visar vad den andra termen ska vara för att resultatet av additionen ska bli precis vad vi behöver. Det kan finnas ett oändligt antal sådana termpar. I vardagen klarar vi oss väldigt bra utan att bryta ner summan, subtraktion räcker för oss. Men i vetenskapliga studier av naturlagarna kan expansionen av summan i termer vara mycket användbar.

En annan tilläggslag som matematiker inte gillar att prata om (ett annat knep) kräver att termerna har samma måttenhet. För sallad, vatten och borsjtj kan dessa vara vikt-, volym-, kostnads- eller måttenheter.

Figuren visar två skillnadsnivåer för matematik. Den första nivån är skillnaderna i fältet för siffror, som anges a, b, c. Detta är vad matematiker gör. Den andra nivån är skillnaderna i området för måttenheter, som visas inom hakparenteser och indikeras med bokstaven U. Detta är vad fysiker gör. Vi kan förstå den tredje nivån - skillnaderna i omfattningen av de beskrivna objekten. Olika objekt kan ha samma antal av samma måttenheter. Hur viktigt detta är kan vi se på exemplet med borsjtjtrigonometri. Om vi ​​lägger till subskript till samma notation för olika objekts måttenheter kan vi säga exakt vilken matematisk storhet som beskriver ett visst objekt och hur det förändras över tid eller i samband med våra handlingar. brev W Jag kommer att markera vattnet med bokstaven S Jag kommer att markera salladen med bokstaven B- borsch. Så här skulle de linjära vinkelfunktionerna för borsjtj se ut.

Om vi ​​tar en del av vattnet och en del av salladen blir de tillsammans till en portion borsjtj. Här föreslår jag att du tar en liten paus från borsjtj och minns din avlägsna barndom. Kommer du ihåg hur vi fick lära oss att sätta ihop kaniner och ankor? Det var nödvändigt att ta reda på hur många djur som skulle visa sig. Vad fick vi då lära oss att göra? Vi fick lära oss att skilja enheter från siffror och lägga till siffror. Ja, vilket nummer som helst kan läggas till vilket annat nummer som helst. Detta är en direkt väg till modern matematiks autism - vi förstår inte vad, det är inte klart varför, och vi förstår mycket dåligt hur detta förhåller sig till verkligheten, på grund av de tre skillnadsnivåerna opererar matematiker bara en. Det blir mer korrekt att lära sig hur man går från en måttenhet till en annan.

Och kaniner och ankor och små djur kan räknas i bitar. En gemensam måttenhet för olika objekt gör att vi kan lägga ihop dem. Detta är en barnversion av problemet. Låt oss titta på ett liknande problem för vuxna. Vad får du när du lägger till kaniner och pengar? Det finns två möjliga lösningar här.

Första alternativet. Vi bestämmer marknadsvärdet på kaninerna och lägger till det till de tillgängliga kontanterna. Vi fick det totala värdet av vår förmögenhet i form av pengar.

Andra alternativet. Du kan lägga till antalet kaniner till antalet sedlar vi har. Vi kommer att få mängden lös egendom i bitar.

Som du kan se tillåter samma tilläggslag dig att få olika resultat. Allt beror på vad vi exakt vill veta.

Men tillbaka till vår borsjtj. Nu kan vi se vad som kommer att hända för olika värden på vinkeln för de linjära vinkelfunktionerna.

Vinkeln är noll. Vi har sallad men inget vatten. Vi kan inte laga borsjtj. Mängden borsjtj är också noll. Detta betyder inte alls att noll borsjtj är lika med noll vatten. Noll borsch kan också vara på noll sallad (rät vinkel).

För mig personligen är detta det viktigaste matematiska beviset på det faktum att . Noll ändrar inte numret när det läggs till. Detta beror på att addition i sig är omöjligt om det bara finns en term och den andra termen saknas. Du kan relatera till detta som du vill, men kom ihåg - alla matematiska operationer med noll uppfanns av matematiker själva, så kasta bort din logik och dumt fylla på definitionerna som uppfunnits av matematiker: "division med noll är omöjlig", "vilket tal multiplicerat med noll". är lika med noll", "bakom nollpunkten" och annat nonsens. Det räcker att komma ihåg en gång att noll inte är ett tal, och du kommer aldrig att ha en fråga om noll är ett naturligt tal eller inte, eftersom en sådan fråga i allmänhet förlorar all betydelse: hur kan man betrakta ett tal som det som inte är ett tal . Det är som att fråga vilken färg man ska tillskriva en osynlig färg. Att lägga till noll till ett tal är som att måla med färg som inte finns. De viftade med en torr pensel och säger till alla att "vi har målat". Men jag avviker lite.

Vinkeln är större än noll men mindre än fyrtiofem grader. Vi har mycket sallad, men lite vatten. Som ett resultat får vi en tjock borsjtj.

Vinkeln är fyrtiofem grader. Vi har lika mycket vatten och sallad. Det här är den perfekta borsjten (må kockarna förlåta mig, det är bara matematik).

Vinkeln är större än fyrtiofem grader men mindre än nittio grader. Vi har mycket vatten och lite sallad. Få flytande borsjtj.

Rätt vinkel. Vi har vatten. Bara minnen finns kvar av salladen, då vi fortsätter att mäta vinkeln från linjen som en gång markerade salladen. Vi kan inte laga borsjtj. Mängden borsjtj är noll. I så fall, håll ut och drick vatten medan det finns)))

Här. Något som det här. Jag kan berätta andra historier här som kommer att vara mer än lämpliga här.

De två vännerna hade sina andelar i den gemensamma verksamheten. Efter mordet på en av dem gick allt till den andre.

Framväxten av matematik på vår planet.

Alla dessa berättelser berättas på matematikens språk med hjälp av linjära vinkelfunktioner. En annan gång kommer jag att visa dig den verkliga platsen för dessa funktioner i matematikens struktur. Under tiden, låt oss återgå till borsjtjs trigonometri och överväga projektioner.

Lördagen den 26 oktober 2019

Jag såg en intressant video om Grandis rad Ett minus ett plus ett minus ett - Numberphile. Matematiker ljuger. De gjorde inget jämställdhetstest i sina resonemang.

Detta resonerar med mitt resonemang om .

Låt oss ta en närmare titt på tecknen på att matematiker lurar oss. Allra i början av resonemanget säger matematiker att summan av sekvensen BERÖR på om antalet element i den är jämnt eller inte. Detta är ett objektivt ETABLERAT FAKTUM. Vad händer sen?

Därefter subtraherar matematiker sekvensen från enhet. Vad leder detta till? Detta leder till en förändring av antalet element i sekvensen - ett jämnt tal ändras till ett udda tal, ett udda tal ändras till ett jämnt tal. När allt kommer omkring har vi lagt till ett element lika med ett till sekvensen. Trots all yttre likhet är sekvensen före transformationen inte lika med sekvensen efter transformationen. Även om vi talar om en oändlig sekvens måste vi komma ihåg att en oändlig sekvens med ett udda antal element inte är lika med en oändlig sekvens med ett jämnt antal element.

Genom att sätta ett likhetstecken mellan två sekvenser olika i antalet element, hävdar matematiker att summan av sekvensen INTE BERÖR på antalet element i sekvensen, vilket motsäger ett objektivt ETABLISTERAT FAKTA. Ytterligare resonemang om summan av en oändlig sekvens är falsk, eftersom den bygger på en falsk likhet.

Om du ser att matematiker placerar parenteser under bevisförloppet, arrangerar om elementen i ett matematiskt uttryck, lägger till eller tar bort något, var mycket försiktig, troligtvis försöker de lura dig. Liksom korttrollare avleder matematiker din uppmärksamhet med olika manipulationer av uttrycket för att så småningom ge dig ett falskt resultat. Om du inte kan upprepa korttricket utan att känna till fuskets hemlighet, är allt mycket enklare i matematik: du misstänker inte ens något om fusk, men genom att upprepa alla manipulationer med ett matematiskt uttryck kan du övertyga andra om korrektheten av resultatet, precis som när har övertygat dig.

Fråga från publiken: Och oändlighet (som antalet element i sekvensen S), är det jämnt eller udda? Hur kan du ändra pariteten för något som inte har någon paritet?

Infinity för matematiker är som Himmelriket för präster - ingen har någonsin varit där, men alla vet exakt hur allt fungerar där))) Jag håller med, efter döden kommer du att vara absolut likgiltig om du levde ett jämnt eller udda antal dagar , men ... Lägger du bara till en dag i början av ditt liv, kommer vi att få en helt annan person: hans efternamn, förnamn och patronym är exakt samma, bara födelsedatumet är helt annorlunda - han föddes en dagen före dig.

Och nu till saken))) Antag att en finit sekvens som har paritet förlorar denna paritet när den går till oändlighet. Då måste alla ändliga segment av en oändlig sekvens också förlora paritet. Vi observerar inte detta. Det faktum att vi inte kan säga säkert om antalet element i en oändlig sekvens är jämnt eller udda betyder inte alls att pariteten har försvunnit. Paritet, om den existerar, kan inte försvinna i det oändliga utan ett spår, som i hylsan på ett skarpare kort. Det finns en mycket bra analogi för detta fall.

Har du någonsin frågat en gök som sitter i en klocka i vilken riktning klockans visare roterar? För henne roterar pilen i motsatt riktning mot vad vi kallar "medurs". Det kan låta paradoxalt, men rotationsriktningen beror enbart på vilken sida vi observerar rotationen från. Och så har vi ett hjul som roterar. Vi kan inte säga i vilken riktning rotationen sker, eftersom vi kan observera den både från ena sidan av rotationsplanet och från den andra. Vi kan bara vittna om att det finns rotation. Komplett analogi med pariteten för en oändlig sekvens S.

Låt oss nu lägga till ett andra roterande hjul, vars rotationsplan är parallellt med rotationsplanet för det första roterande hjulet. Vi kan fortfarande inte säga exakt vilken riktning dessa hjul snurrar, men vi kan säga med absolut säkerhet om båda hjulen snurrar i samma riktning eller i motsatta riktningar. Jämför två oändliga sekvenser S och 1-S, Jag visade med hjälp av matematik att dessa sekvenser har olika paritet och att sätta ett likhetstecken mellan dem är ett misstag. Personligen tror jag på matematik, jag litar inte på matematiker))) Förresten, för att helt förstå geometrin för transformationer av oändliga sekvenser, är det nödvändigt att introducera konceptet "samtidighet". Detta kommer att behöva ritas.

Onsdagen den 7 augusti 2019

När vi avslutar samtalet om måste vi överväga en oändlig uppsättning. Gav in att begreppet "oändlighet" verkar på matematiker, som en boa constrictor på en kanin. Oändlighetens darrande fasa berövar matematiker sunt förnuft. Här är ett exempel:

Den ursprungliga källan finns. Alfa betecknar ett reellt tal. Likhetstecknet i uttrycken ovan indikerar att om du lägger till ett tal eller oändlighet till oändlighet kommer ingenting att förändras, resultatet blir samma oändlighet. Om vi ​​tar en oändlig uppsättning naturliga tal som exempel, kan de övervägda exemplen representeras enligt följande:

För att visuellt bevisa sin sak har matematiker kommit på många olika metoder. Personligen ser jag på alla dessa metoder som shamanernas danser med tamburiner. I huvudsak kommer de alla till att antingen är några av rummen inte upptagna och nya gäster bosatts i dem, eller att några av besökarna kastas ut i korridoren för att ge plats åt gästerna (mycket mänskligt). Jag presenterade min syn på sådana beslut i form av en fantastisk berättelse om blondinen. Vad bygger mitt resonemang på? Att flytta ett oändligt antal besökare tar oändligt lång tid. Efter att vi har lämnat det första gästrummet kommer en av besökarna alltid att gå längs korridoren från sitt rum till nästa till tidens slut. Naturligtvis kan tidsfaktorn ignoreras dumt, men detta kommer redan från kategorin "lagen är inte skriven för dårar." Allt beror på vad vi gör: att anpassa verkligheten till matematiska teorier eller vice versa.

Vad är ett "oändligt hotell"? En infinity inn är ett värdshus som alltid har hur många lediga platser som helst, oavsett hur många rum som är upptagna. Om alla rum i den ändlösa korridoren "för besökare" är upptagna, finns det ytterligare en oändlig hall med rum för "gäster". Det kommer att finnas ett oändligt antal sådana korridorer. Samtidigt har det "oändliga hotellet" ett oändligt antal våningar i ett oändligt antal byggnader på ett oändligt antal planeter i ett oändligt antal universum skapade av ett oändligt antal gudar. Matematiker, å andra sidan, klarar inte av att gå ifrån banala vardagsproblem: Gud-Allah-Buddha är alltid bara en, hotellet är ett, korridoren är bara en. Så matematiker försöker jonglera med serienumren på hotellrum och övertyga oss om att det är möjligt att "knuffa de opåverkade".

Jag kommer att visa logiken i mitt resonemang för dig med exemplet med en oändlig uppsättning naturliga tal. Först måste du svara på en mycket enkel fråga: hur många uppsättningar naturliga tal finns - en eller många? Det finns inget korrekt svar på denna fråga, eftersom vi själva uppfann siffror, finns det inga siffror i naturen. Ja, naturen vet hur man räknar perfekt, men för detta använder hon andra matematiska verktyg som inte är bekanta för oss. Som naturen tänker ska jag berätta en annan gång. Sedan vi uppfann talen kommer vi själva att bestämma hur många uppsättningar av naturliga tal som finns. Överväg båda alternativen, som det anstår en riktig vetenskapsman.

Alternativ ett. "Låt oss ges" en enda uppsättning naturliga tal, som ligger lugnt på en hylla. Vi tar detta set från hyllan. Det är det, det finns inga andra naturliga tal kvar på hyllan och det finns ingenstans att ta dem. Vi kan inte lägga till en till denna uppsättning, eftersom vi redan har den. Tänk om du verkligen vill? Inga problem. Vi kan ta en enhet från den uppsättning vi redan har tagit och lämna tillbaka den till hyllan. Efter det kan vi ta en enhet från hyllan och lägga till det vi har kvar. Som ett resultat får vi återigen en oändlig uppsättning naturliga tal. Du kan skriva alla våra manipulationer så här:

Jag har skrivit ner operationerna i algebraisk notation och i mängdteorinotation, och listat elementen i mängden i detalj. Underskriften indikerar att vi har en och enda uppsättning naturliga tal. Det visar sig att uppsättningen av naturliga tal kommer att förbli oförändrad endast om ett subtraheras från det och samma läggs till.

Alternativ två. Vi har många olika oändliga uppsättningar av naturliga tal på hyllan. Jag betonar - OLIKA, trots att de är praktiskt taget omöjliga att särskilja. Vi tar ett av dessa set. Sedan tar vi en från en annan uppsättning naturliga tal och lägger till den till den uppsättning vi redan har tagit. Vi kan till och med lägga till två uppsättningar naturliga tal. Här är vad vi får:

Undertexterna "ett" och "två" indikerar att dessa element tillhörde olika uppsättningar. Ja, om du lägger till en till en oändlig uppsättning blir resultatet också en oändlig uppsättning, men det blir inte samma sak som originaluppsättningen. Om ytterligare en oändlig mängd läggs till en oändlig mängd, blir resultatet en ny oändlig mängd som består av elementen i de två första uppsättningarna.

Mängden naturliga tal används för att räkna på samma sätt som en linjal för mätningar. Föreställ dig nu att du har lagt till en centimeter till linjalen. Detta kommer redan att vara en annan rad, inte lika med originalet.

Du kan acceptera eller inte acceptera mitt resonemang - det här är din egen sak. Men om du någonsin stöter på matematiska problem, fundera på om du är på väg mot falska resonemang, upptrampade av generationer av matematiker. När allt kommer omkring bildar matematikklasser först och främst en stabil stereotyp av tänkande i oss, och först då lägger de mentala förmågor till oss (eller vice versa, de berövar oss fritt tänkande).

pozg.ru

Söndagen den 4 augusti 2019

Jag skrev ett efterskrift till en artikel om och såg denna underbara text på Wikipedia:

Vi läser: "... den rika teoretiska grunden för babylonisk matematik hade inte en holistisk karaktär och reducerades till en uppsättning olika tekniker, utan ett gemensamt system och bevisbas."

Wow! Hur smarta vi är och hur väl vi kan se andras brister. Är det svagt för oss att se på modern matematik i samma sammanhang? Lite omskrivning av texten ovan fick jag personligen följande:

Den rika teoretiska grunden för modern matematik har inte en holistisk karaktär och reduceras till en uppsättning disparata avsnitt, utan ett gemensamt system och bevisbas.

Jag ska inte gå långt för att bekräfta mina ord - den har ett språk och konventioner som skiljer sig från språket och konventionerna i många andra grenar av matematiken. Samma namn inom olika grenar av matematiken kan ha olika betydelser. Jag vill ägna en hel cykel av publikationer åt den moderna matematikens mest uppenbara misstag. Ses snart.

Lördagen den 3 augusti 2019

Hur delar man upp en uppsättning i delmängder? För att göra detta måste du ange en ny måttenhet, som finns i några av elementen i den valda uppsättningen. Tänk på ett exempel.

Må vi ha många MEN bestående av fyra personer. Denna uppsättning är bildad på basis av "människor" Låt oss beteckna elementen i denna uppsättning genom bokstaven a, kommer prenumerationen med ett nummer att indikera ordningsnumret för varje person i denna uppsättning. Låt oss introducera en ny måttenhet "sexuell egenskap" och beteckna den med bokstaven b. Eftersom sexuella egenskaper är inneboende hos alla människor, multiplicerar vi varje element i setet MEN på kön b. Lägg märke till att vår uppsättning "människor" nu har blivit uppsättningen "människor med kön". Efter det kan vi dela upp de sexuella egenskaperna i manliga bm och kvinnors bw könsegenskaper. Nu kan vi tillämpa ett matematiskt filter: vi väljer en av dessa sexuella egenskaper, det spelar ingen roll vilken som är man eller kvinna. Om det finns i en person multiplicerar vi det med ett, om det inte finns något sådant tecken multiplicerar vi det med noll. Och så tillämpar vi den vanliga skolmatematiken. Se vad som hände.

Efter multiplikation, reduktioner och omarrangemang fick vi två delmängder: den manliga delmängden bm och en undergrupp av kvinnor bw. Ungefär på samma sätt som matematiker resonerar när de tillämpar mängdlära i praktiken. Men de släpper inte in oss på detaljerna, utan ger oss det färdiga resultatet – "mycket människor består av en delmängd av män och en delmängd av kvinnor." Naturligtvis kan du ha en fråga, hur korrekt tillämpad matematik i ovanstående transformationer? Jag vågar försäkra dig om att omvandlingarna faktiskt görs korrekt, det räcker med att känna till den matematiska motiveringen av aritmetik, boolesk algebra och andra delar av matematiken. Vad det är? Någon annan gång ska jag berätta om det.

När det gäller superset är det möjligt att kombinera två uppsättningar till en superset genom att välja en måttenhet som finns i elementen i dessa två uppsättningar.

Som du kan se gör måttenheter och vanlig matematik mängdlära till ett minne blott. Ett tecken på att allt inte är bra med mängdlära är att matematiker har kommit på ett eget språk och notation för mängdlära. Matematikerna gjorde vad shamanerna en gång gjorde. Endast shamaner vet hur man "korrekt" tillämpar sin "kunskap". Denna "kunskap" lär de oss.

Avslutningsvis vill jag visa dig hur matematiker manipulerar
Låt oss säga att Akilles springer tio gånger snabbare än sköldpaddan och är tusen steg bakom den. Under tiden som Akilles springer denna sträcka, kryper sköldpaddan hundra steg åt samma håll. När Akilles har sprungit hundra steg kommer sköldpaddan att krypa ytterligare tio steg, och så vidare. Processen kommer att fortsätta på obestämd tid, Achilles kommer aldrig ikapp sköldpaddan.

Detta resonemang blev en logisk chock för alla efterföljande generationer. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert... Alla ansåg de på ett eller annat sätt Zenons aporier. Chocken var så stark att " ... diskussionerna fortsätter för närvarande, det vetenskapliga samfundet har ännu inte lyckats komma till en gemensam åsikt om essensen av paradoxer ... matematisk analys, mängdteori, nya fysiska och filosofiska tillvägagångssätt var involverade i studien av frågan ; ingen av dem blev en universellt accepterad lösning på problemet ..."[Wikipedia," Zenos Aporias "]. Alla förstår att de blir lurade, men ingen förstår vad bedrägeriet är.

Ur matematikens synvinkel visade Zeno i sin aporia tydligt övergången från värdet till. Denna övergång innebär att tillämpa istället för konstanter. Såvitt jag förstår har den matematiska apparaten för att tillämpa variabla måttenheter antingen inte utvecklats ännu, eller så har den inte tillämpats på Zenos aporia. Tillämpningen av vår vanliga logik leder oss in i en fälla. Vi, genom tänkandets tröghet, tillämpar konstanta tidsenheter på det ömsesidiga. Ur fysisk synvinkel ser det ut som att tiden saktar ner till helt stopp i det ögonblick då Akilles kommer ikapp sköldpaddan. Om tiden stannar kan Akilles inte längre köra om sköldpaddan.

Vänder vi på logiken vi är vana vid faller allt på plats. Akilles springer i konstant hastighet. Varje efterföljande segment av dess väg är tio gånger kortare än den föregående. Följaktligen är tiden för att övervinna det tio gånger mindre än den föregående. Om vi ​​tillämpar begreppet "oändlighet" i den här situationen, så skulle det vara korrekt att säga "Akilles kommer oändligt snabbt att gå om sköldpaddan."

Hur undviker man denna logiska fälla? Förbli i konstanta tidsenheter och byt inte till ömsesidiga värden. På Zenos språk ser det ut så här:

Under den tid det tar Akilles att springa tusen steg, kryper sköldpaddan hundra steg åt samma håll. Under nästa tidsintervall, lika med det första, kommer Akilles att springa ytterligare tusen steg, och sköldpaddan kommer att krypa hundra steg. Nu är Akilles åttahundra steg före sköldpaddan.

Detta tillvägagångssätt beskriver verkligheten adekvat utan några logiska paradoxer. Men detta är inte en fullständig lösning på problemet. Einsteins uttalande om ljusets hastighets oöverstiglighet är mycket lik Zenons aporia "Akilles och sköldpaddan". Vi har ännu inte studerat, omprövat och löst detta problem. Och lösningen måste sökas inte i oändligt stora antal, utan i måttenheter.

En annan intressant aporia av Zeno berättar om en flygande pil:

En flygande pil är orörlig, eftersom den vid varje tidpunkt är i vila, och eftersom den är i vila vid varje ögonblick av tid, är den alltid i vila.

I denna aporia övervinns den logiska paradoxen väldigt enkelt - det räcker för att klargöra att den flygande pilen vid varje ögonblick vilar på olika punkter i rymden, vilket i själva verket är rörelse. Det finns en annan punkt att notera här. Från ett fotografi av en bil på vägen är det omöjligt att avgöra vare sig rörelsen eller avståndet till den. För att fastställa faktumet av bilens rörelse behövs två fotografier tagna från samma punkt vid olika tidpunkter, men de kan inte användas för att bestämma avståndet. För att bestämma avståndet till bilen behöver du två fotografier tagna från olika punkter i rymden samtidigt, men du kan inte bestämma rörelsen från dem (naturligtvis behöver du fortfarande ytterligare data för beräkningar, trigonometri hjälper dig). Det jag särskilt vill poängtera är att två punkter i tid och två punkter i rummet är två olika saker som inte ska blandas ihop då de ger olika möjligheter till utforskande.
Jag kommer att visa processen med ett exempel. Vi väljer "röd fast i en finne" - det här är vår "helhet". Samtidigt ser vi att dessa saker är med båge, och det finns utan båge. Efter det väljer vi en del av "helheten" och bildar en uppsättning "med en båge". Detta är hur shamaner livnär sig genom att binda sin uppsättningsteori till verkligheten.

Låt oss nu göra ett litet trick. Låt oss ta "fast i en finne med en rosett" och förena dessa "hela" efter färg, välj röda element. Vi fick mycket "rött". Nu en knepig fråga: är de mottagna seten "med båge" och "röda" samma set eller två olika set? Bara shamaner vet svaret. Mer exakt, de själva vet ingenting, men som de säger, så är det.

Detta enkla exempel visar att mängdlära är helt värdelös när det kommer till verkligheten. Vad är hemligheten? Vi bildade en uppsättning av "röd solid pimply med en rosett". Formningen skedde enligt fyra olika måttenheter: färg (röd), styrka (fast), grovhet (i en bula), dekorationer (med rosett). Endast en uppsättning måttenheter gör det möjligt att adekvat beskriva verkliga objekt på matematikens språk. Så här ser det ut.

Bokstaven "a" med olika index betecknar olika måttenheter. Inom parentes markeras måttenheter, enligt vilka "hela" tilldelas i det preliminära skedet. Måttenheten, enligt vilken uppsättningen bildas, tas ur parentes. Den sista raden visar det slutliga resultatet - en del av uppsättningen. Som du kan se, om vi använder enheter för att bilda en uppsättning, beror resultatet inte på ordningen på våra handlingar. Och det här är matematik, och inte shamanernas danser med tamburiner. Shamaner kan "intuitivt" komma till samma resultat och argumentera för det med "självklarhet", eftersom måttenheter inte ingår i deras "vetenskapliga" arsenal.

Med hjälp av måttenheter är det mycket enkelt att bryta en eller kombinera flera uppsättningar till en superset. Låt oss ta en närmare titt på algebra för denna process.

Om problemet ges längden på två sidor av en triangel och vinkeln mellan dem, kan du använda formeln för arean av triangeln genom sinus.

Ett exempel på att beräkna arean av en triangel med sinus. Givet sidorna a = 3, b = 4 och vinkeln γ= 30°. Sinus för en vinkel på 30° är 0,5

Arean av triangeln kommer att vara 3 kvm. centimeter.

Arean blir lika med halva kvadraten på sidan multiplicerat med bråket. I dess täljare är produkten av sinusen för de intilliggande vinklarna, och i nämnaren är sinusen för den motsatta vinkeln. Nu beräknar vi arean med följande formler:

Till exempel, givet en triangel med sidan a=3 och vinklarna γ=60°, β=60°. Beräkna den tredje vinkeln:
Ersätter data i formeln
Vi får att arean av triangeln är 3,87 kvadratmeter. centimeter.

II. Arean av en triangel i form av cosinus

För att hitta arean av en triangel måste du veta längden på alla sidor. Genom cosinussatsen kan du hitta okända sidor och först då använda .
Enligt cosinuslagen är kvadraten på den okända sidan i en triangel lika med summan av kvadraterna på de återstående sidorna minus två gånger produkten av dessa sidor med cosinus av vinkeln mellan dem.

Från satsen härleder vi formler för att hitta längden på den okända sidan:

Genom att veta hur man hittar den saknade sidan, med två sidor och en vinkel mellan dem, kan du enkelt beräkna arean. Formeln för arean av en triangel i form av cosinus hjälper dig att snabbt och enkelt hitta en lösning på olika problem.

Ett exempel på att beräkna formeln för arean av en triangel genom cosinus
Givet en triangel med kända sidor a = 3, b = 4 och vinkeln γ= 45°. Låt oss hitta den saknade delen först. Med. Med cosinus 45°=0,7. För att göra detta, ersätter vi data i ekvationen härledd från cosinussatsen.
Nu använder vi formeln, vi hittar

Triangelareasats

Sats 1

Arean av en triangel är hälften av produkten av två sidor gånger sinus för vinkeln mellan dessa sidor.

Bevis.

Låt oss ges en godtycklig triangel $ABC$. Låt oss beteckna längderna på sidorna i denna triangel som $BC=a$, $AC=b$. Låt oss introducera ett kartesiskt koordinatsystem, så att punkten $C=(0,0)$, punkten $B$ ligger på den högra halvaxeln $Ox$, och punkten $A$ ligger i den första koordinatkvadranten. Rita höjden $h$ från punkten $A$ (Fig. 1).

Figur 1. Illustration av sats 1

Höjden $h$ är därför lika med ordinatan för punkten $A$

Sinussats

Sats 2

Sidorna i en triangel är proportionella mot sinusen i de motsatta vinklarna.

Bevis.

Låt oss ges en godtycklig triangel $ABC$. Låt oss beteckna längderna på sidorna i denna triangel som $BC=a$, $AC=b,$ $AC=c$ (Fig. 2).

Figur 2.

Låt oss bevisa det

Genom sats 1 har vi

Att likställa dem i par, det får vi

Cosinussats

Sats 3

Kvadraten på en sida i en triangel är lika med summan av kvadraterna på de andra två sidorna av triangeln utan att dubbla produkten av dessa sidor gånger cosinus för vinkeln mellan dessa sidor.

Bevis.

Låt oss ges en godtycklig triangel $ABC$. Ange längderna på dess sidor som $BC=a$, $AC=b,$ $AB=c$. Låt oss introducera ett kartesiskt koordinatsystem så att punkten $A=(0,0)$, punkten $B$ ligger på den positiva halvaxeln $Ox$, och punkten $C$ ligger i den första koordinatkvadranten (fig. 3).

Figur 3

Låt oss bevisa det

I det här koordinatsystemet får vi det

Hitta längden på sidan $BC$ med hjälp av formeln för avståndet mellan punkter

Ett exempel på ett problem som använder dessa satser

Exempel 1

Bevisa att diametern på den omskrivna cirkeln i en godtycklig triangel är lika med förhållandet mellan valfri sida av triangeln och sinus för vinkeln mitt emot denna sida.

Lösning.

Låt oss ges en godtycklig triangel $ABC$. $R$ - radien för den omskrivna cirkeln. Rita diametern $BD$ (Fig. 4).

Area av en triangel - formler och exempel på problemlösning

Nedan finns formler för att hitta arean av en godtycklig triangel som är lämpliga för att hitta arean av vilken triangel som helst, oavsett dess egenskaper, vinklar eller dimensioner. Formlerna presenteras i form av en bild, här är förklaringar för tillämpningen eller motivering av deras riktighet. En separat figur visar också överensstämmelsen mellan bokstavssymbolerna i formlerna och de grafiska symbolerna i ritningen.

Notera . Om triangeln har speciella egenskaper (likbent, rektangulär, liksidig), kan du använda formlerna nedan, samt ytterligare speciella formler som endast är sanna för trianglar med dessa egenskaper:

• "Formler för arean av en liksidig triangel"

Formler för triangelarea

Förklaringar till formler:
a, b, c- längderna på sidorna i triangeln vars area vi vill hitta
r- radien för cirkeln inskriven i triangeln
R- radien för den omskrivna cirkeln runt triangeln
h- triangelns höjd, sänkt åt sidan
sid- halvperimeter av en triangel, 1/2 summan av dess sidor (omkrets)
α - vinkeln motsatt sida a av triangeln
β - vinkeln motsatt sida b av triangeln
γ - vinkeln motsatt sida c av triangeln
h a, h b , h c- triangelns höjd, sänkt till sidan a, b, c

Observera att den angivna notationen motsvarar figuren ovan, så att när du löser ett verkligt problem i geometri skulle det vara visuellt lättare för dig att ersätta de korrekta värdena på rätt ställen i formeln.

• Arean av triangeln är hälften av produkten av höjden på en triangel och längden på sidan på vilken denna höjd sänks(Formel 1). Riktigheten av denna formel kan förstås logiskt. Höjden sänkt till basen kommer att dela en godtycklig triangel i två rektangulära. Om vi ​​kompletterar var och en av dem till en rektangel med dimensionerna b och h, kommer uppenbarligen arean av dessa trianglar att vara lika med exakt hälften av rektangelns area (Spr = bh)
• Arean av triangeln är hälften av produkten av dess två sidor och sinus av vinkeln mellan dem(Formel 2) (se ett exempel på att lösa ett problem med denna formel nedan). Trots att det verkar annorlunda än det föregående kan det lätt omvandlas till det. Om vi ​​sänker höjden från vinkel B till sida b, visar det sig att produkten av sida a och sinus av vinkeln γ, enligt egenskaperna hos sinus i en rätvinklig triangel, är lika med höjden av triangeln ritad av oss, vilket ger oss den föregående formeln
• Arean av en godtycklig triangel kan hittas genom arbete halva radien av en cirkel som är inskriven i den med summan av längderna på alla dess sidor(Formel 3), med andra ord, du måste multiplicera triangelns halva omkrets med radien på den inskrivna cirkeln (det är lättare att komma ihåg på detta sätt)
• Arean av en godtycklig triangel kan hittas genom att dividera produkten av alla dess sidor med 4 radier av cirkeln omskriven runt den (formel 4)
• Formel 5 är att hitta arean av en triangel i termer av längden på dess sidor och dess halvomkrets (halva summan av alla dess sidor)
• Herons formel(6) är en representation av samma formel utan att använda begreppet en semiperimeter, endast genom sidornas längder
• Arean av en godtycklig triangel är lika med produkten av kvadraten på sidan av triangeln och sinusen för vinklarna intill denna sida dividerat med den dubbla sinusen för vinkeln motsatt denna sida (Formel 7)
• Arean av en godtycklig triangel kan hittas som produkten av två kvadrater av en cirkel omskrivna runt den och sinusen för var och en av dess vinklar. (Formel 8)
• Om längden på en sida och storleken på de två vinklarna intill den är kända, kan arean av triangeln hittas som kvadraten på denna sida, dividerat med den dubbla summan av cotangenserna för dessa vinklar (Formel 9)
• Om bara längden på var och en av höjderna i en triangel är känd (formel 10), så är arean av en sådan triangel omvänt proportionell mot längden på dessa höjder, som med Herons formel
• Formel 11 låter dig räkna arean av en triangel enligt koordinaterna för dess hörn, som ges som (x;y) värden för var och en av hörnen. Observera att det resulterande värdet måste tas modulo, eftersom koordinaterna för enskilda (eller till och med alla) hörn kan vara i området för negativa värden

Notera. Följande är exempel på att lösa problem i geometri för att hitta arean av en triangel. Om du behöver lösa ett problem inom geometri, liknande det som inte finns här - skriv om det i forumet. I lösningar kan funktionen sqrt() användas istället för "kvadratrot"-symbolen, där sqrt är kvadratrotssymbolen, och det radikala uttrycket anges inom parentes.Ibland kan symbolen användas för enkla radikala uttryck √

En uppgift. Hitta arean som ges två sidor och vinkeln mellan dem

Triangelns sidor är 5 och 6 cm. Vinkeln mellan dem är 60 grader. Hitta arean av en triangel.

Lösning.

För att lösa detta problem använder vi formel nummer två från den teoretiska delen av lektionen.
Arean av en triangel kan hittas genom längden av två sidor och sinus för vinkeln mellan dem och kommer att vara lika med
S=1/2 ab sin y

Eftersom vi har all nödvändig data för lösningen (enligt formeln), kan vi bara ersätta värdena från problemformuleringen i formeln:
S=1/2*5*6*sin60

I värdetabellen för trigonometriska funktioner hittar vi och ersätter i uttrycket värdet på sinus 60 grader. Det kommer att vara lika med roten av tre och två.
S = 15 √3 / 2

Svar: 7,5 √3 (beroende på lärarens krav är det förmodligen möjligt att lämna 15 √3/2)

En uppgift. Hitta arean av en liksidig triangel

Hitta arean av en liksidig triangel med en sida på 3 cm.

Lösning .

Arean av en triangel kan hittas med Herons formel:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Eftersom a \u003d b \u003d c kommer formeln för arean av en liksidig triangel att ha formen:

S = √3 / 4 * a2

S = √3 / 4 * 3 2

Svar: 9 √3 / 4.

En uppgift. Ändring i area vid ändring av längden på sidorna

Hur många gånger kommer arean av en triangel att öka om sidorna fyrdubblas?

Lösning.

Eftersom dimensionerna på triangelns sidor är okända för oss, för att lösa problemet kommer vi att anta att längderna på sidorna är lika med godtyckliga tal a, b, c. Sedan, för att svara på frågan om problemet, hittar vi arean av denna triangel, och sedan hittar vi arean av en triangel vars sidor är fyra gånger större. Förhållandet mellan arean av dessa trianglar kommer att ge oss svaret på problemet.

Därefter ger vi en textförklaring av lösningen av problemet i steg. Men i slutet presenteras samma lösning i en grafisk form som är mer bekväm för uppfattningen. De som vill kan genast släppa lösningen.

För att lösa använder vi Heron-formeln (se ovan i den teoretiska delen av lektionen). Det ser ut så här:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(se första raden på bilden nedan)

Längden på sidorna i en godtycklig triangel ges av variablerna a, b, c.
Om sidorna ökas med 4 gånger, kommer arean av den nya triangeln c att vara:

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(se den andra raden i bilden nedan)

Som du kan se är 4 en gemensam faktor som kan placeras inom parentes av alla fyra uttryck enligt matematikens allmänna regler.
Sedan

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - på bildens tredje rad
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - fjärde raden

Från talet 256 är kvadratroten perfekt extraherad, så vi tar ut den under roten
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(se den femte raden i figuren nedan)

För att svara på frågan som ställs i problemet räcker det för oss att dela arean av den resulterande triangeln med arean av den ursprungliga.
Vi bestämmer ytkvoterna genom att dela upp uttrycken i varandra och reducera den resulterande fraktionen.