Sammanfattning av lektionen om geometri "cylinder, dess element". Geometri referens abstrakt på ämnet "cylinder" Oregelbunden cylinder

Cylinder

Def. En cylinder är en kropp som består av två cirklar i linje

parallell translation och alla segment som förbinder motsvarande punkter

dessa cirklar.

Cirklarna kallas cylinderns baser, och segmenten som förbinder motsvarande punkter i cirklarna i dessa cirklar kallas cylinderns generatorer (fig. 1)

ris. 1 fig. 2 fig. 3 fig. fyra

Cylinderegenskaper:

1) Cylinderns baser är lika och ligger i parallella plan.

2) Cylinderns generatorer är lika och parallella.

Def. En cylinders radie är radien för dess bas.

Def. Höjden på en cylinder är avståndet mellan planen på dess baser.

Def. Sektionen av en cylinder av ett plan som passerar genom cylinderns axel kallas en axiell sektion.

Den axiella sektionen av cylindern är en rektangel med sidorna 2R och l(i en rak cylinder l= H) fig. 2

Cylinderns tvärsnitt, parallellt med dess axel, är rektanglar (fig. 3).

Sektion av en cylinder med ett plan parallellt med baserna - en cirkel lika med baserna (fig. 4)

Ytan på en cylinder.

Cylinderns sidoyta är sammansatt av generatorer.

En cylinders hela yta består av baserna och sidoytan.

S full = 2 S huvud + S sida ; S huvud = P ∙ R 2 ; S sida = 2 P ∙ R ∙NS full = 2PR ∙(R + H)

Praktisk del:

№1. Cylinderns radie är 3 cm och dess höjd är 5 cm. Hitta arean av den axiella sektionen och arean av halv-

cylinderns yta.

№2. Diagonalen för cylinderns axiella sektion lutar mot basens plan i en vinkel
och är lika med 20 cm. Hitta arean på cylinderns sidoyta.

№3. Cylinderns radie är 2 cm och dess höjd är 3 cm. Hitta diagonalen för cylinderns axiella sektion.

№4. Diagonalen för cylinderns axiella sektion, lika med
, bildar en vinkel med basens plan
. Hitta cylinderns laterala yta.

№5. Cylinderns laterala yta är 15 . Hitta arean för den axiella sektionen.

№6. Hitta cylinderns höjd om dess basarea är 1 och S-sidan =
.

№7. Diagonalen för cylinderns axiella sektion har en längd av 8 cm och lutar mot basens plan i en vinkel
. Hitta cylinderns totala yta.

En cylindrisk skorsten med en diameter på 65cm har en höjd på 18m. Hur mycket tenn behövs för att göra det om 10 % av materialet går åt på niten?

Lektionsämne: Cylinder, dess element.

Syftet med lektionen:

Konsolidering av elevernas kunskaper om rotationskroppen - cylindern (cylinderelement, formler för arean av cylinderns laterala och hela yta).

Elevens mål: kunna lösa typiska uppgifter för en cylinder i UNT-uppgifter.

Lektionens mål:

1. att bilda färdigheter för att lösa typiska problem;

2. utveckla rumsliga representationer på exemplet med runda kroppar;

3. fortsätt bildandet av logiska och grafiska färdigheter.

Lektionstyp: kombinerat.

Lär ut metoder: verbal, praktisk aktivitet, arbete med en bok, problematisk.

Utrustning: tavla, bord nummer 3, en uppsättning modeller.

Under lektionerna

1. Organisatoriskt ögonblick:

1. målsättning

2. psykologisk attityd.

2. Förverkligande av grundläggande kunskaper.

1) Arbeta med kort.

Eleverna uppmanas att fylla i ett arbetsblad.

Det är möjligt att arbeta med kopiering (i detta fall överlämnas en kopia till läraren och den andra eleven kontrollerar under det fortsatta arbetet i lektionen).

Kort.

1. Rita cylinderns huvudelement på ritningen.

2

.Avbilda a) cylinderns axiella sektion; b) sektion av cylindern genom ett plan som går vinkelrätt mot cylinderns axel; c) sektion av cylindern genom ett plan parallellt med cylinderns axel. Vilken siffra erhålls i varje fall?

3. Skriv ner formlerna för att beräkna ytan på en cylinder.

Vad kan hittas av dessa formler? Vad bör man veta i dessa fall?

Eleverna lämnar in arbetsblad.

3. Muntligt arbete med modeller. (för att generalisera kunskap och kontrollera utfört arbete)

1) Vilken form kallas en cylinder?

Cylinder - Det här är en geometrisk kropp som består av två lika cirklar placerade i parallella plan och en uppsättning segment som förbinder motsvarande punkter i dessa cirklar.

2) Varför kallas en cylinder en rotationskropp?

En cylinder kan erhållas genom att rotera en rektangel runt en av dess sidor.

3) Vilka typer av cylindrar finns det?

Lutande cylindrar, raka cylindrar, cylindriska ytor.

4) Namnge elementen i cylindern.

Cylinderbaser - lika cirklar placerade i parallella plan.

Cylinderhöjd - detta är avståndet mellan planen på dess baser.

Cylinderradie är radien för dess bas.

Cylinderaxel är en rät linje som går genom mitten av cylinderns bas (cylinderns axel är cylinderns rotationsaxel).

Cylindergeneratris - detta är ett segment som förbinder cirkelpunkten för den övre basen med motsvarande punkt i cirkeln för den nedre basen. Alla generatorer är parallella med rotationsaxeln och har samma längd, lika med cylinderns höjd.

Generatrisen av cylindern under rotation runt axeln bildas lateral (cylindrisk) yta av en cylinder .

5) Vad är ett cylindersvep?

6) Hur hittar man den laterala ytan på en cylinder?

S b = H · C = 2 π RH

7) Hur hittar man den totala ytan på en cylinder?

S P = S b + 2 S = 2 π R (R + H ).

8) Vilka är huvudtyperna av sektioner av cylindern. Vilken siffra erhålls i varje fall?

Axiella sektionen av cylindern - sektion av cylindern genom ett plan som går genom cylinderns axel (cylinderns axiella sektion är cylinderns symmetriplan). Alla axiella sektioner av cylindern är lika rektanglar.

tvärsnitt plan parallellt med cylinderns axel. Sektionen är en rektangel.

Plansektion vinkelrätt mot cylinderns axel. Cirklar i tvärsnitt, lika med basen.

9) Ge exempel på användning av cylindrar.

Cylindrisk gastronomi. Cylindrisk arkitektur. Faraos cylindrar (studentföreställning 1-2 minuter).

4. Fixering av materialet. Problemlösning.

På Eleverna ser en lista med uppgifter för klassarbete. Om så önskas har eleverna möjlighet att bestämma sig före betyget.

№ 2 . Cylinderns axiella sektion är en kvadrat vars diagonal är 20 cm Hitta: a) cylinderns höjd; b) Alltså cylinder.

№3 Arean av cylinderns axiella sektion är 10 m 2 och basytan är 5 m 2. Hitta cylinderns höjd.

№4 Ändarna av segmentet AB ligger på olika baser av cylindern. Cylinderns radie är r, hans höga - h, är avståndet mellan den räta linjen AB och cylinderns axel d. Hitta: a) höjd if r = 10, d= 8, AB = 13.

№5* Två sekantplan dras genom cylinderns generatris AA 1, varav ett passerar genom cylinderns axel. Hitta förhållandet mellan cylinderns tvärsnittsareor med dessa plan om vinkeln mellan dem är lika med j.

Plan g, parallellt med cylinderns axel, skär av bågen A från basens omkrets m D med gradmått a . Cylinderns radie är a, höjden är h, är avståndet mellan cylinderns OO 1 axel och planet g lika med d.

Vad har du lärt dig?

Hur är ditt humör i slutet av lektionen?

Kan du förklara lösningen på dessa problem för en klasskamrat som missade lektionen idag?

Cylinder (cirkulär cylinder) - en kropp som består av två cirklar, kombinerade av parallell överföring, och alla segment som förbinder motsvarande punkter i dessa cirklar. Cirklarna kallas cylinderns baser, och segmenten som förbinder motsvarande punkter i cirklarnas cirklar kallas cylinderns generatorer.

Cylinderns baser är lika och ligger i parallella plan, och cylinderns generatorer är parallella och lika. Ytan på en cylinder består av baser och en sidoyta. Den laterala ytan bildas av generatorer.

En cylinder kallas rak om dess generatorer är vinkelräta mot basens plan. En cylinder kan betraktas som en kropp som erhålls genom att rotera en rektangel runt en av dess sidor som en axel. Det finns andra typer av cylinder - elliptiska, hyperboliska, paraboliska. Ett prisma betraktas också som en slags cylinder.

Figur 2 visar en lutande cylinder. Cirklar med centrum O och O 1 är dess baser.

En cylinders radie är radien för dess bas. Cylinderns höjd är avståndet mellan basernas plan. En cylinders axel är en rät linje som går genom mitten av baserna. Den är parallell med generatorerna. Sektionen av en cylinder av ett plan som passerar genom cylinderns axel kallas en axiell sektion. Planet som passerar genom generatrisen av en rak cylinder och vinkelrätt mot den axiella sektionen som dras genom denna generatris kallas cylinderns tangentplan.

Ett plan vinkelrätt mot cylinderns axel skär dess laterala yta längs en cirkel som är lika med basens omkrets.

Ett prisma inskrivet i en cylinder är ett prisma vars baser är lika polygoner inskrivna i cylinderns baser. Dess laterala kanter är generatriser för cylindern. Ett prisma sägs vara omskrivet nära en cylinder om dess baser är lika med polygoner omskrivna nära cylinderns baser. Planen på dess ytor berör cylinderns sidoyta.

Arean av cylinderns laterala yta kan beräknas genom att multiplicera längden på generatrisen med omkretsen av cylinderns sektion med ett plan vinkelrätt mot generatrisen.

Den laterala ytan av en höger cylinder kan hittas från dess utveckling. Utvecklingen av cylindern är en rektangel med höjden h och längden P, som är lika med basens omkrets. Därför är arean av cylinderns laterala yta lika med arean för dess utveckling och beräknas med formeln:

I synnerhet för en höger cirkulär cylinder:

P = 2πR och Sb = 2πRh.

Den totala ytan av en cylinder är lika med summan av ytorna på dess laterala yta och dess baser.

För en rak cirkulär cylinder:

Sp = 2πRh + 2πR2 = 2πR(h + R)

Det finns två formler för att hitta volymen av en lutande cylinder.

Du kan hitta volymen genom att multiplicera längden på generatrisen med cylinderns tvärsnittsarea med ett plan vinkelrätt mot generatrisen.

Volymen av en lutande cylinder är lika med produkten av basens yta och höjden (avståndet mellan planen där baserna ligger):

V = Sh = S l sin α,

där l är längden på generatrisen och α är vinkeln mellan generatrisen och basens plan. För en rak cylinder h = l.

Formeln för att hitta volymen av en cirkulär cylinder är följande:

V \u003d π R 2 h \u003d π (d 2 / 4) h,

där d är basens diameter.

webbplats, med hel eller delvis kopiering av materialet, krävs en länk till källan.

En cylindrisk yta bildas genom att flytta en rät linje parallellt med sig själv. Punkten på den räta linjen, som väljs, rör sig längs den givna plankurvan - guide. Denna linje kallas generatris av en cylindrisk yta.

Hetero cylinderär en cylinder där generatorerna är vinkelräta mot basen. Om cylinderns generatorer inte är vinkelräta mot basen, kommer detta att vara det lutande cylinder.

cirkulär cylinder- en cylinder vars bas är en cirkel.

rund cylinder- en cylinder som är både rak och cirkulär.

Rak cirkulär cylinder bestäms av basens radie R och genererar L, vilket är lika med cylinderns höjd H.

Ett prisma är ett specialfall av en cylinder.

Formler för att hitta element i en cylinder.

Sidoyta av en höger cirkulär cylinder:

S-sidan = 2πRH

Total yta av en rät cirkulär cylinder:

S=Ssida+ 2Shuvud = 2 π R(H+R)

Volym av en rak cirkulär cylinder:

V = S huvud H = πR 2 H

En rak cirkulär cylinder med en avfasad bas eller en kort avfasad cylinder definieras av basens radie R, minsta höjd h1 och maximal höjd h2.

Sidoyta på den avfasade cylindern:

S-sida \u003d πR (h 1 + h 2)

Arean av baserna på en avfasad cylinder.

En cylinder är en geometrisk kropp som begränsas av två parallella plan och en cylindrisk yta. I artikeln kommer vi att prata om hur man hittar arean av en cylinder och med hjälp av formeln kommer vi att lösa flera problem till exempel.

En cylinder har tre ytor: en topp, en botten och en sidoyta.

Toppen och botten av cylindern är cirklar och är lätta att identifiera.

Det är känt att arean av en cirkel är lika med πr 2 . Därför kommer formeln för arean av två cirklar (topp och botten av cylindern) att se ut som πr 2 + πr 2 = 2πr 2 .

Den tredje sidoytan på cylindern är cylinderns krökta vägg. För att bättre representera denna yta, låt oss försöka omvandla den för att få en igenkännbar form. Föreställ dig att en cylinder är en vanlig plåtburk som inte har topplock och botten. Låt oss göra ett vertikalt snitt på sidoväggen från toppen till botten av burken (steg 1 i figuren) och försöka öppna (räta ut) den resulterande figuren så mycket som möjligt (steg 2).

Efter den fullständiga avslöjandet av den resulterande burken kommer vi att se en välbekant figur (steg 3), detta är en rektangel. Arean av en rektangel är lätt att beräkna. Men innan dess, låt oss återvända ett ögonblick till den ursprungliga cylindern. Spetsen på den ursprungliga cylindern är en cirkel, och vi vet att en cirkels omkrets beräknas med formeln: L = 2πr. Det är markerat med rött i figuren.

När cylinderns sidovägg är helt expanderad ser vi att omkretsen blir längden på den resulterande rektangeln. Sidorna på denna rektangel kommer att vara omkretsen (L = 2πr) och cylinderns höjd (h). Arean av en rektangel är lika med produkten av dess sidor - S = längd x bredd = L x h = 2πr x h = 2πrh. Som ett resultat har vi fått en formel för att beräkna den laterala ytarean av en cylinder.

Formeln för arean av den laterala ytan av en cylinder
S sida = 2prh

Hela ytan av en cylinder

Slutligen, om vi summerar arean av alla tre ytorna, får vi formeln för den totala ytarean av en cylinder. Ytan på cylindern är lika med arean av cylinderns topp + arean av cylinderns bas + arean av cylinderns sidoyta eller S = πr 2 + πr2 + 2πrh = 2πr2 + 2πrh. Ibland skrivs detta uttryck av den identiska formeln 2πr (r + h).

Formeln för den totala ytan av en cylinder
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r är cylinderns radie, h är cylinderns höjd

Exempel på beräkning av ytan på en cylinder

För att förstå formlerna ovan, låt oss försöka beräkna ytan på en cylinder med hjälp av exempel.

1. Radien på cylinderns bas är 2, höjden är 3. Bestäm arean på cylinderns sidoyta.

Den totala ytan beräknas med formeln: S-sidan. = 2prh

S sida = 2 * 3,14 * 2 * 34,6 . Totalt antal mottagna betyg: 990.