Hitta studien av funktionen y 1 2 x. Problem från samlingen av Kuznetsov L

Om det i uppgiften är nödvändigt att utföra en fullständig studie av funktionen f (x) \u003d x 2 4 x 2 - 1 med konstruktionen av dess graf, kommer vi att överväga denna princip i detalj.

För att lösa ett problem av denna typ bör man använda egenskaperna och graferna för de huvudsakliga elementära funktionerna. Forskningsalgoritmen inkluderar följande steg:

Att hitta definitionsdomänen

Eftersom forskning bedrivs på funktionens domän är det nödvändigt att börja med detta steg.

Exempel 1

Det givna exemplet involverar att hitta nollorna i nämnaren för att utesluta dem från DPV.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

Som ett resultat kan du få rötter, logaritmer och så vidare. Sedan kan ODZ sökas efter roten av en jämn grad av typen g (x) 4 med olikheten g (x) ≥ 0 , för logaritmen log a g (x) med olikheten g (x) > 0 .

Undersökning av ODZ-gränser och hitta vertikala asymptoter

Det finns vertikala asymptoter på funktionens gränser, när de ensidiga gränserna vid sådana punkter är oändliga.

Exempel 2

Tänk till exempel att gränspunkterna är lika med x = ± 1 2 .

Sedan är det nödvändigt att studera funktionen för att hitta den ensidiga gränsen. Då får vi det: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0) 2 = + ∞

Detta visar att de ensidiga gränserna är oändliga, vilket betyder att linjerna x = ± 1 2 är grafens vertikala asymptoter.

Undersökning av funktionen och för jämn eller udda

När villkoret y (- x) = y (x) är uppfyllt, anses funktionen vara jämn. Detta tyder på att grafen är placerad symmetriskt med avseende på O y. När villkoret y (- x) = - y (x) är uppfyllt anses funktionen vara udda. Detta betyder att symmetrin går med avseende på koordinaternas ursprung. Om åtminstone en olikhet misslyckas får vi en funktion av allmän form.

Uppfyllelsen av likheten y (- x) = y (x) indikerar att funktionen är jämn. Vid konstruktion är det nödvändigt att ta hänsyn till att det kommer att finnas symmetri med avseende på O y.

För att lösa olikheten används intervall för ökning och minskning med villkoren f "(x) ≥ 0 respektive f" (x) ≤ 0.

Definition 1

Stationära punkterär punkter som vänder derivatan till noll.

Kritiska punkterär inre punkter från domänen där derivatan av funktionen är lika med noll eller inte existerar.

När du fattar ett beslut bör följande punkter beaktas:

• för de befintliga intervallen för ökning och minskning av olikheten i formen f "(x) > 0, är ​​de kritiska punkterna inte inkluderade i lösningen;
• punkter där funktionen definieras utan en finit derivata måste inkluderas i intervallen för ökning och minskning (till exempel y \u003d x 3, där punkten x \u003d 0 gör funktionen definierad, derivatan har värdet oändligt vid denna tidpunkt ingår y " \u003d 1 3 x 2 3 , y " (0) = 1 0 = ∞ , x = 0 i ökningsintervallet);
• för att undvika meningsskiljaktigheter rekommenderas att använda matematisk litteratur, som rekommenderas av utbildningsministeriet.

Införandet av kritiska punkter i intervallen för ökande och minskande i händelse av att de uppfyller funktionens domän.

Definition 2

För bestämma intervallen för ökning och minskning av funktionen, är det nödvändigt att hitta:

• derivat;
• kritiska punkter;
• bryta definitionsdomänen med hjälp av kritiska punkter i intervall;
• bestäm tecknet för derivatan vid vart och ett av intervallen, där + är en ökning och - är en minskning.

Exempel 3

Hitta derivatan på domänen f "(x) = x 2" (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 "(4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 .

Lösning

För att lösa behöver du:

• hitta stationära punkter, detta exempel har x = 0 ;
• hitta nollorna i nämnaren, exemplet tar värdet noll vid x = ± 1 2 .

Vi exponerar punkter på den numeriska axeln för att bestämma derivatan för varje intervall. För att göra detta räcker det att ta vilken punkt som helst från intervallet och göra en beräkning. Om resultatet är positivt ritar vi + på grafen, vilket betyder en ökning av funktionen, och - betyder dess minskning.

Till exempel, f "(- 1) \u003d - 2 (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 \u003d 2 9\u003e 0, vilket betyder att det första intervallet till vänster har ett +-tecken. Tänk på siffran linje.

Svar:

• det finns en ökning av funktionen på intervallet - ∞; -12 och (-12; 0];
• det finns en minskning av intervallet [0; 12) och 12; +∞ .

I diagrammet, med hjälp av + och -, visas funktionens positivitet och negativitet, och pilarna indikerar minskande och ökande.

En funktions extrema punkter är de punkter där funktionen är definierad och genom vilka derivatan byter tecken.

Exempel 4

Om vi ​​betraktar ett exempel där x \u003d 0, är ​​värdet på funktionen i den f (0) \u003d 0 2 4 0 2 - 1 \u003d 0. När tecknet för derivatan ändras från + till - och passerar genom punkten x \u003d 0, anses punkten med koordinater (0; 0) vara den maximala punkten. När tecknet ändras från - till + får vi minimipunkten.

Konvexitet och konkavitet bestäms genom att lösa olikheter av formen f "" (x) ≥ 0 och f "" (x) ≤ 0 . Mer sällan använder de namnet bula ner istället för konkavitet och bula upp istället för bula.

Definition 3

För bestämning av luckorna i konkavitet och konvexitet nödvändig:

• hitta den andra derivatan;
• hitta nollorna för funktionen av andraderivatan;
• bryta definitionsdomänen med de punkter som visas i intervall;
• bestämma tecknet på gapet.

Exempel 5

Hitta andraderivatan från definitionsdomänen.

Lösning

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Vi hittar nollorna för täljaren och nämnaren, där vi, med vårt exempel, har att nollorna för nämnaren x = ± 1 2

Nu måste du sätta punkter på tallinjen och bestämma tecknet för den andra derivatan från varje intervall. Det förstår vi

Svar:

• funktionen är konvex från intervallet - 1 2 ; 12;
• funktionen är konkav från mellanrummen - ∞; - 12 och 12; +∞ .

Definition 4

böjningspunktär en punkt av formen x 0 ; f(x0) . När den har en tangent till grafen för funktionen, när den passerar genom x 0, ändrar funktionen tecken till det motsatta.

Med andra ord, detta är en sådan punkt genom vilken andraderivatan passerar och byter tecken, och vid själva punkterna är lika med noll eller existerar inte. Alla punkter anses vara funktionens domän.

I exemplet sågs det att det inte finns några böjningspunkter, eftersom andraderivatan ändrar tecken medan den passerar genom punkterna x = ± 1 2 . De ingår i sin tur inte i definitionsdomänen.

Hitta horisontella och sneda asymptoter

När man definierar en funktion i oändligheten måste man leta efter horisontella och sneda asymptoter.

Definition 5

Sned asymptoter ritas med linjer som ges av ekvationen y = k x + b, där k = lim x → ∞ f (x) x och b = lim x → ∞ f (x) - k x .

För k = 0 och b inte lika med oändlighet, finner vi att den sneda asymptoten blir horisontell.

Med andra ord, asymptoterna är de linjer som grafen för funktionen närmar sig i oändligheten. Detta bidrar till en snabb konstruktion av grafen för funktionen.

Om det inte finns några asymptoter, men funktionen är definierad vid båda oändligheterna, är det nödvändigt att beräkna gränsen för funktionen vid dessa oändligheter för att förstå hur grafen för funktionen kommer att bete sig.

Exempel 6

Som ett exempel, tänk på det

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

är en horisontell asymptot. Efter att ha undersökt funktionen kan du börja bygga den.

Beräkna värdet av en funktion vid mellanliggande punkter

För att göra plottningen mest exakt, rekommenderas det att hitta flera värden för funktionen vid mellanliggande punkter.

Exempel 7

Från exemplet vi har övervägt är det nödvändigt att hitta funktionens värden vid punkterna x \u003d - 2, x \u003d - 1, x \u003d - 3 4, x \u003d - 1 4. Eftersom funktionen är jämn får vi att värdena sammanfaller med värdena vid dessa punkter, det vill säga vi får x \u003d 2, x \u003d 1, x \u003d 3 4, x \u003d 1 4.

Låt oss skriva och lösa:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08

För att bestämma maxima och minima för funktionen, böjningspunkter, mellanpunkter, är det nödvändigt att bygga asymptoter. För bekväm beteckning är intervall för ökning, minskning, konvexitet, konkavitet fixerade. Betrakta figuren nedan.

Det är nödvändigt att rita graflinjer genom de markerade punkterna, vilket gör att du kan komma närmare asymptoterna genom att följa pilarna.

Detta avslutar den fullständiga studien av funktionen. Det finns fall av att konstruera några elementära funktioner för vilka geometriska transformationer används.

Om du märker ett fel i texten, markera det och tryck på Ctrl+Enter

Sedan en tid tillbaka, i TheBat (det är inte klart av vilken anledning), har den inbyggda certifikatdatabasen för SSL slutat fungera korrekt.

När du kollar inlägget dyker ett fel upp:

Okänt CA-certifikat
Servern presenterade inget rotcertifikat i sessionen och motsvarande rotcertifikat hittades inte i adressboken.
Denna anslutning kan inte vara hemlig. Snälla du
kontakta din serveradministratör.

Och det erbjuds ett urval av svar - JA / NEJ. Och så varje gång du skjuter post.

Lösning

I det här fallet måste du ersätta S/MIME- och TLS-implementeringsstandarden med Microsoft CryptoAPI i TheBat!

Eftersom jag behövde slå samman alla filer till en, konverterade jag först alla doc-filer till en enda pdf-fil (med Acrobat-programmet) och överförde den sedan till fb2 via en online-konverterare. Du kan också konvertera filer individuellt. Format kan vara absolut alla (källa) och doc, och jpg, och till och med zip-arkiv!

Namnet på webbplatsen motsvarar essensen:) Online Photoshop.

Uppdatering maj 2015

Jag hittade en annan bra sida! Ännu mer bekvämt och funktionellt för att skapa ett helt godtyckligt collage! Den här webbplatsen är http://www.fotor.com/ru/collage/ . Använd på hälsan. Och jag kommer att använda den själv.

Inför livet med reparation av elektriska spisar. Jag har redan gjort många saker, lärt mig mycket, men på något sätt hade jag lite med kakel att göra. Det var nödvändigt att byta ut kontakterna på regulatorerna och brännarna. Frågan uppstod - hur man bestämmer diametern på brännaren på den elektriska spisen?

Svaret visade sig vara enkelt. Inget behov av att mäta något, du kan lugnt avgöra med ögat vilken storlek du behöver.

Den minsta brännarenär 145 millimeter (14,5 centimeter)

Medium brännareär 180 millimeter (18 centimeter).

Och till sist det mesta stor brännareär 225 millimeter (22,5 centimeter).

Det räcker att bestämma storleken med ögat och förstå vilken diameter du behöver en brännare. När jag inte visste detta svävade jag i höjden med dessa storlekar, jag visste inte hur jag skulle mäta, vilken kant jag skulle navigera osv. Nu är jag klok :) Hoppas det hjälpte dig också!

I mitt liv ställdes jag inför ett sådant problem. Jag tror att jag inte är den enda.

Hur undersöker man en funktion och ritar dess graf?

Det verkar som att jag börjar förstå det själfulla ansiktet hos ledaren för världsproletariatet, författaren till samlade verk i 55 volymer ... Den långa resan började med elementär information om funktioner och grafer, och nu slutar arbetet med ett mödosamt ämne med ett naturligt resultat - en artikel om hela funktionsstudien. Den efterlängtade uppgiften är formulerad enligt följande:

Undersök funktionen med metoder för differentialkalkyl och, baserat på resultaten av studien, bygg dess graf

Eller kort och gott: undersök funktionen och rita upp den.

Varför utforska? I enkla fall kommer det inte att vara svårt för oss att ta itu med elementära funktioner, rita en graf som erhålls med hjälp av elementära geometriska transformationer etc. Mer komplexa funktioners egenskaper och grafiska representationer är dock långt ifrån självklara, varför en hel studie behövs.

Huvudstegen i lösningen sammanfattas i referensmaterialet Funktionsstudieschema, detta är din avsnittsguide. Dummies behöver en steg-för-steg-förklaring av ämnet, vissa läsare vet inte var de ska börja och hur de ska organisera studien, och avancerade studenter kanske bara är intresserade av några få punkter. Men vem du än är, kära besökare, kommer den föreslagna sammanfattningen med pekare till olika lektioner att orientera och leda dig i intresseriktningen på kortast möjliga tid. Robotarna fäller en tår =) Manualen gjordes upp i form av en pdf-fil och tog sin rätta plats på sidan Matematiska formler och tabeller.

Jag brukade dela upp studien av funktionen i 5-6 punkter:

6) Ytterligare poäng och graf baserat på studiens resultat.

När det gäller den slutliga åtgärden tror jag att alla förstår allt - det kommer att vara en stor besvikelse om den inom några sekunder stryks över och uppgiften returneras för revision. EN KORREKT OCH KORREKT RITNING är huvudresultatet av lösningen! Det är mycket sannolikt att "dölja" analytiska förbiser, medan ett felaktigt och/eller slarvigt schema kommer att orsaka problem även med en perfekt genomförd studie.

Det bör noteras att i andra källor kan antalet forskningsobjekt, ordningen för deras genomförande och designstilen skilja sig avsevärt från det schema som jag föreslagit, men i de flesta fall är det tillräckligt. Den enklaste versionen av problemet består av endast 2-3 steg och är formulerad ungefär så här: "utforska funktionen med derivatan och plot" eller "utforska funktionen med 1:a och 2:a derivatan, plot".

Naturligtvis, om en annan algoritm analyseras i detalj i din träningsmanual eller din lärare strikt kräver att du följer hans föreläsningar, måste du göra några justeringar av lösningen. Inte svårare än att ersätta en gaffel med en motorsågssked.

Låt oss kontrollera funktionen för jämn/udda:

Detta följs av en mall för att avsluta prenumerationen:
, så den här funktionen är varken jämn eller udda.

Eftersom funktionen är kontinuerlig på finns det inga vertikala asymptoter.

Det finns inga sneda asymptoter heller.

Notera : Jag påminner dig om att ju högre tillväxtordningän , så den slutliga gränsen är exakt " ett plus oändlighet."

Låt oss ta reda på hur funktionen beter sig i oändligheten:

Med andra ord, om vi går till höger, så går grafen oändligt långt upp, om vi går till vänster, oändligt långt ner. Ja, det finns också två gränser under en enda post. Om du har svårt att tyda tecknen, besök gärna lektionen om infinitesimala funktioner.

Funktionen alltså inte begränsat från ovan och inte begränsat underifrån. Med tanke på att vi inte har brytpunkter blir det tydligt och funktionsområde: är också vilket reellt tal som helst.

ANVÄNDBAR TEKNIK

Varje uppgiftssteg ger ny information om grafen för funktionen, så under lösningen är det bekvämt att använda en slags LAYOUT. Låt oss rita ett kartesiskt koordinatsystem på utkastet. Vad är säkert känt? För det första har grafen inga asymptoter, därför finns det inget behov av att rita raka linjer. För det andra vet vi hur funktionen beter sig i oändligheten. Enligt analysen ritar vi den första approximationen:

Observera att i praktiken kontinuitet funktion på och det faktum att , grafen måste korsa axeln minst en gång. Eller finns det kanske flera skärningspunkter?

3) Nollor för funktionen och intervallen för konstanttecken.

Hitta först skärningspunkten för grafen med y-axeln. Det är enkelt. Det är nödvändigt att beräkna värdet på funktionen när:

Hälften över havet.

För att hitta skärningspunkterna med axeln (funktionens nollor) måste du lösa ekvationen, och här väntar oss en obehaglig överraskning:

På slutet lurar en gratis medlem, vilket avsevärt komplicerar uppgiften.

En sådan ekvation har åtminstone en verklig rot, och oftast är denna rot irrationell. I den värsta sagan väntar tre små grisar på oss. Ekvationen är lösbar med hjälp av den sk Cardanos formler, men pappersskador är jämförbara med nästan hela studien. I detta avseende är det klokare muntligt eller på ett utkast att försöka plocka upp åtminstone en hela rot. Låt oss kontrollera om dessa siffror är:
- passar inte;
- det finns!

Det är tur här. Vid misslyckande kan du också testa och, och om dessa siffror inte stämmer, då är jag rädd att det finns väldigt få chanser för en lönsam lösning på ekvationen. Då är det bättre att skippa forskningspunkten helt – kanske blir något tydligare i det sista steget, när ytterligare poäng slår igenom. Och om roten (rötterna) är tydligt "dåliga", är det bättre att vara blygsamt tyst om intervallen för konstanta tecken och att mer exakt slutföra ritningen.

Men vi har en vacker rot, så vi delar polynomet för ingen återstod:

Algoritmen för att dividera ett polynom med ett polynom diskuteras i detalj i lektionens första exempel. Komplexa gränser.

Som ett resultat, den vänstra sidan av den ursprungliga ekvationen expanderar till en produkt:

Och nu lite om en hälsosam livsstil. Självklart förstår jag det Kvadratisk ekvation måste lösas varje dag, men idag gör vi ett undantag: ekvationen har två riktiga rötter.

På tallinjen plottar vi de hittade värdena och intervallmetod definiera tecknen för funktionen:


og Alltså på intervallerna diagram ligger
under x-axeln och med intervaller - ovanför denna axel.

Resultaten gör att vi kan förfina vår layout, och den andra approximationen av grafen ser ut så här:

Observera att funktionen måste ha minst ett maximum på intervallet och minst ett minimum på intervallet. Men vi vet inte hur många gånger, var och när schemat kommer att "slingra runt". En funktion kan förresten ha oändligt många ytterligheter.

4) Ökning, minskning och extrema av funktionen.

Låt oss hitta de kritiska punkterna:

Denna ekvation har två reella rötter. Låt oss sätta dem på tallinjen och bestämma tecknen för derivatan:


Därför ökar funktionen med och minskar med .
Vid den punkt som funktionen når sitt maximum: .
När funktionen når sitt minimum: .

De etablerade fakta driver vår mall in i en ganska stel ram:

Onödigt att säga att differentialkalkyl är en kraftfull sak. Låt oss slutligen ta itu med formen på grafen:

5) Konvexitet, konkavitet och böjningspunkter.

Hitta de kritiska punkterna för andraderivatan:

Låt oss definiera tecken:


Funktionsgrafen är konvex på och konkav på . Låt oss beräkna ordinatan för böjningspunkten: .

Nästan allt klarnade.

6) Det återstår att hitta ytterligare punkter som hjälper till att mer exakt bygga en graf och utföra ett självtest. I det här fallet är de få, men vi kommer inte att försumma:

Låt oss utföra ritningen:

Böjningspunkten är markerad med grönt, ytterligare punkter markeras med kryss. Grafen för en kubisk funktion är symmetrisk kring dess böjningspunkt, som alltid ligger exakt i mitten mellan maximum och minimum.

Under uppdragets gång gav jag tre hypotetiska mellanritningar. I praktiken räcker det att rita ett koordinatsystem, markera de hittade punkterna och efter varje punkt i studien, mentalt räkna ut hur grafen för funktionen kan se ut. Det kommer inte att vara svårt för elever med god förberedelse att utföra en sådan analys enbart i sina tankar utan att involvera ett utkast.

För en fristående lösning:

Exempel 2

Utforska funktionen och bygg en graf.

Allt är snabbare och roligare här, ett ungefärligt exempel på avslutning i slutet av lektionen.

Många hemligheter avslöjas genom studiet av fraktionerade rationella funktioner:

Exempel 3

Med hjälp av differentialkalkylens metoder, undersök funktionen och, utifrån studiens resultat, konstruera dess graf.

Lösning: det första steget av studien skiljer sig inte i något anmärkningsvärt, med undantag för ett hål i definitionsområdet:

1) Funktionen är definierad och kontinuerlig på hela tallinjen förutom punkten , domän: .

, så den här funktionen är varken jämn eller udda.

Uppenbarligen är funktionen icke-periodisk.

Funktionens graf består av två kontinuerliga grenar placerade i vänster och höger halvplan - detta är kanske den viktigaste slutsatsen av första stycket.

2) Asymptoter, beteendet hos en funktion i oändligheten.

a) Med hjälp av ensidiga gränser studerar vi beteendet hos funktionen nära den misstänkta punkten, där den vertikala asymptoten tydligt måste vara:

Faktum är att funktionerna består oändlig lucka vid punkten
och den räta linjen (axeln) är vertikal asymptot grafisk konst .

b) Kontrollera om sneda asymptoter finns:

Ja, linjen är sned asymptot grafik om .

Det är ingen mening att analysera gränserna, eftersom det redan är klart att funktionen i en omfamning med sin sneda asymptot inte begränsat från ovan och inte begränsat underifrån.

Den andra punkten i studien gav mycket viktig information om funktionen. Låt oss göra en grov skiss:

Slutsats nr 1 gäller intervall för teckenkonstans. Vid "minus oändlighet" är grafen för funktionen unikt placerad under x-axeln, och vid "plus oändlighet" är den ovanför denna axel. Dessutom sa ensidiga gränser för oss att både till vänster och till höger om punkten är funktionen också större än noll. Observera att i det vänstra halvplanet måste grafen korsa x-axeln minst en gång. I det högra halvplanet kanske det inte finns några nollor i funktionen.

Slutsats nr 2 är att funktionen ökar på och till vänster om punkten (går "från botten till toppen"). Till höger om denna punkt minskar funktionen (går "från topp till botten"). Den högra grenen av grafen måste säkert ha minst ett minimum. Till vänster är extremer inte garanterade.

Slutsats nr 3 ger tillförlitlig information om grafens konkavitet i närheten av punkten. Vi kan ännu inte säga något om konvexitet/konkavitet i oändligheten, eftersom linjen kan pressas mot sin asymptot både uppifrån och underifrån. Generellt sett finns det ett analytiskt sätt att reda ut detta just nu, men formen på diagrammet "för ingenting" kommer att bli tydligare i ett senare skede.

Varför så många ord? För att kontrollera efterföljande forskningspunkter och undvika misstag! Ytterligare beräkningar bör inte motsäga de slutsatser som dragits.

3) Skärningspunkter för grafen med koordinataxlarna, intervall av konstant tecken för funktionen.

Funktionens graf korsar inte axeln.

Med hjälp av intervallmetoden bestämmer vi tecknen:

, om ;
, om .

Resultaten av paragrafen överensstämmer helt med slutsats nr 1. Efter varje steg, titta på utkastet, hänvisa mentalt till studien och rita färdigt grafen för funktionen.

I det här exemplet delas täljaren term för term med nämnaren, vilket är mycket fördelaktigt för differentiering:

Egentligen har detta redan gjorts när man hittade asymptoter.

- kritisk punkt.

Låt oss definiera tecken:

ökar med och minskar till

När funktionen når sitt minimum: .

Det fanns heller inga avvikelser med slutsats nr 2, och med största sannolikhet är vi på rätt väg.

Detta innebär att grafen för funktionen är konkav över hela definitionsdomänen.

Utmärkt - och du behöver inte rita något.

Det finns inga böjningspunkter.

Konkaviteten överensstämmer med slutsats nr 3, dessutom indikerar den att vid oändligheten (både där och där) är grafen för funktionen placerad ovan dess sneda asymptot.

6) Vi kommer samvetsgrant att fästa uppgiften med ytterligare poäng. Här måste vi jobba hårt, för vi vet bara två punkter från studien.

Och en bild som förmodligen många har presenterat länge:

Under uppdragets gång måste man se till att det inte finns några motsättningar mellan studiestadierna, men ibland är situationen akut eller till och med desperat återvändsgränd. Här "konvergerar inte analysen" - och det är allt. I det här fallet rekommenderar jag en nödteknik: vi hittar så många punkter som hör till grafen som möjligt (hur mycket tålamod är tillräckligt) och markerar dem på koordinatplanet. Grafisk analys av de hittade värdena kommer i de flesta fall att berätta var är sanningen och var är lögnen. Dessutom kan grafen förbyggas med hjälp av något program, till exempel i samma Excel (det är klart att detta kräver kompetens).

Exempel 4

Med hjälp av differentialkalkylens metoder, undersök funktionen och bygg dess graf.

Detta är ett gör-det-själv-exempel. I den förstärks självkontrollen av funktionens jämnhet - grafen är symmetrisk kring axeln, och om något i din studie motsäger detta faktum, leta efter ett fel.

En jämn eller udda funktion kan endast undersökas för , och då kan grafens symmetri användas. Denna lösning är optimal, men den ser, enligt min mening, väldigt ovanlig ut. Personligen överväger jag hela den numeriska axeln, men jag hittar fortfarande ytterligare punkter bara till höger:

Exempel 5

Gör en fullständig studie av funktionen och rita dess graf.

Lösning: rusade hårt:

1) Funktionen är definierad och kontinuerlig på hela den reella linjen: .

Detta betyder att denna funktion är udda, dess graf är symmetrisk med avseende på origo.

Uppenbarligen är funktionen icke-periodisk.

2) Asymptoter, beteendet hos en funktion i oändligheten.

Eftersom funktionen är kontinuerlig på finns det inga vertikala asymptoter

För en funktion som innehåller en exponent, vanligtvis separat studiet av "plus" och "minus oändlighet", men vårt liv underlättas bara av symmetrin i grafen - antingen finns det en asymptot till vänster och till höger, eller så är den inte det. Därför kan båda oändliga gränserna ordnas under en enda post. Under lösningen använder vi L'Hopitals regel:

Den räta linjen (axeln) är den horisontella asymptoten i grafen vid .

Var uppmärksam på hur jag på ett skickligt sätt undvek hela algoritmen för att hitta den sneda asymptoten: gränsen är ganska laglig och klargör beteendet hos funktionen i oändligheten, och den horisontella asymptoten hittades "som om samtidigt."

Det följer av kontinuiteten på och förekomsten av en horisontell asymptot att funktionen begränsad från ovan och begränsad underifrån.

3) Skärningspunkter för grafen med koordinataxlarna, konstansintervall.

Här förkortar vi också lösningen:
Grafen går genom origo.

Det finns inga andra skärningspunkter med koordinataxlarna. Dessutom är konstansintervallen uppenbara, och axeln kan inte ritas: , vilket betyder att tecknet för funktionen bara beror på "x":
, om ;
, om .

4) Ökande, minskande, extrema av funktionen.


är kritiska punkter.

Punkterna är symmetriska ungefär noll, som sig bör.

Låt oss definiera tecknen för derivatan:


Funktionen ökar med intervallet och minskar med intervallerna

Vid den punkt som funktionen når sitt maximum: .

På grund av fastigheten (märkligt med funktionen) minimum kan utelämnas:

Eftersom funktionen minskar på intervallet är grafen uppenbarligen placerad vid "minus oändlighet" under med sin asymptot. På intervallet minskar också funktionen, men här är det motsatta - efter att ha passerat maxpunkten närmar sig linjen axeln ovanifrån.

Det följer också av ovanstående att grafen för funktionen är konvex vid "minus oändlighet" och konkav vid "plus oändlighet".

Efter denna punkt i studien ritades också området för funktionens värden:

Om du har en missuppfattning om några punkter, uppmanar jag dig än en gång att rita koordinataxlar i din anteckningsbok och, med en penna i händerna, analysera varje slutsats av uppgiften på nytt.

5) Konvexitet, konkavitet, böjningar av grafen.

är kritiska punkter.

Punkternas symmetri är bevarad, och troligen har vi inte fel.

Låt oss definiera tecken:


Grafen för funktionen är konvex på och konkav på .

Konvexitet/konkavitet vid extrema intervall bekräftades.

På alla kritiska punkter finns det böjningar i grafen. Låt oss hitta ordinaterna för böjningspunkterna, samtidigt som vi minskar antalet beräkningar, genom att använda funktionens uddahet:

Reshebnik Kuznetsov.
III Grafer

Uppgift 7. Gör en fullständig studie av funktionen och bygg dess graf.

        Innan du börjar ladda ner dina alternativ, försök att lösa problemet enligt exemplet nedan för alternativ 3. Vissa av alternativen är arkiverade i .rar-format

        7.3 Gör en fullständig studie av funktionen och rita upp den

Lösning.

        1) Omfattning:         eller        , dvs.        .
.
Alltså:         .

        2) Det finns inga skärningspunkter med Ox-axeln. Faktum är att ekvationen           har inga lösningar.
Det finns inga skärningspunkter med Oy-axeln eftersom          .

        3) Funktionen är varken jämn eller udda. Det finns ingen symmetri kring y-axeln. Det finns ingen symmetri om ursprunget heller. Därför att
.
Vi ser att           och          .

        4) Funktionen är kontinuerlig i domänen
.

; .

; .
Därför är punkten         en diskontinuitetspunkt av det andra slaget (oändlig diskontinuitet).

5) Vertikala asymptoter:       

Hitta den sneda asymptoten          . Här

;
.
Därför har vi en horisontell asymptot: y=0. Det finns inga sneda asymptoter.

        6) Hitta den första derivatan. Första derivatan:
.
Och det är varför
.
Låt oss hitta stationära punkter där derivatan är lika med noll, det vill säga
.

        7) Hitta andraderivatan. Andra derivatan:
.
Och detta är lätt att verifiera, eftersom