Exempel på faktoreringspolynom. Hur man faktorisera en kvadratisk trinomial: formel trinomial ekvation

Att expandera polynom för att få en produkt kan ibland verka förvirrande. Men det är inte så svårt om du förstår processen steg för steg. Artikeln beskriver i detalj hur man faktoriserar ett kvadratiskt trinomium.

Många människor förstår inte hur man faktorisera ett kvadratiskt trinomium, och varför detta görs. Till en början kan det verka som en meningslös övning. Men i matematik görs ingenting för ingenting. Omvandlingen är nödvändig för att förenkla uttrycket och beräkningen.

Ett polynom av formen – ax²+bx+c, kallas ett kvadratiskt trinomium. Termen "a" måste vara negativ eller positiv. I praktiken kallas detta uttryck för en andragradsekvation. Därför säger de det ibland annorlunda: hur man utökar en andragradsekvation.

Intressant! Ett polynom kallas en kvadrat på grund av dess största grad, kvadraten. Och en trinomial - på grund av de 3 komponenterna.

Några andra typer av polynom:

• linjär binomial (6x+8);
• kubiskt kvadrinom (x³+4x²-2x+9).

Faktorering av ett kvadratiskt trinomium

Först är uttrycket lika med noll, sedan måste du hitta värdena för rötterna x1 och x2. Det kanske inte finns några rötter, det kan finnas en eller två rötter. Förekomsten av rötter bestäms av diskriminanten. Du måste kunna dess formel utantill: D=b²-4ac.

Om resultatet D är negativt finns det inga rötter. Om det är positivt, finns det två rötter. Om resultatet är noll är roten ett. Rötterna beräknas också med hjälp av formeln.

Om resultatet är noll vid beräkning av diskriminanten kan du använda någon av formlerna. I praktiken är formeln helt enkelt förkortad: -b / 2a.

Formlerna för olika diskriminerande värden är olika.

Om D är positivt:

Om D är noll:

Miniräknare online

Det finns en online-kalkylator på Internet. Den kan användas för att utföra faktorisering. Vissa resurser ger möjlighet att se lösningen steg för steg. Sådana tjänster hjälper till att bättre förstå ämnet, men du måste försöka förstå det väl.

Användbar video: Faktorisering av ett kvadratiskt trinomium

Exempel

Vi föreslår att vi tittar på enkla exempel på hur man faktorisera en andragradsekvation.

Exempel 1

Detta visar tydligt att resultatet är två x eftersom D är positivt. De måste ersättas i formeln. Om rötterna visar sig vara negativa ändras tecknet i formeln till det motsatta.

Vi känner till formeln för faktorisering av ett kvadratiskt trinomium: a(x-x1)(x-x2). Vi sätter värdena inom parentes: (x+3)(x+2/3). Det finns inget tal före en term i en potens. Det betyder att det finns en där, den går ner.

Exempel 2

Detta exempel visar tydligt hur man löser en ekvation som har en rot.

Vi ersätter det resulterande värdet:

Exempel 3

Givet: 5x²+3x+7

Låt oss först beräkna diskriminanten, som i tidigare fall.

D=9-4*5*7=9-140= -131.

Diskriminanten är negativ, vilket betyder att det inte finns några rötter.

Efter att ha mottagit resultatet bör du öppna fästena och kontrollera resultatet. Det ursprungliga trinomialet ska visas.

Alternativ lösning

Vissa människor kunde aldrig bli vänner med diskriminatorn. Det finns ett annat sätt att faktorisera ett kvadratiskt trinomium. För enkelhetens skull visas metoden med ett exempel.

Givet: x²+3x-10

Vi vet att vi borde få 2 parenteser: (_)(_). När uttrycket ser ut så här: x²+bx+c sätter vi i början av varje parentes x: (x_)(x_). De återstående två siffrorna är produkten som ger "c", dvs i detta fall -10. Det enda sättet att ta reda på vilka siffror det är är genom urval. De ersatta talen måste motsvara den återstående termen.

Till exempel, multiplicera följande tal ger -10:

• -1, 10;
• -10, 1;
• -5, 2;
• -2, 5.

1. (x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. Nej.
2. (x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. Nej.
3. (x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. Nej.
4. (x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. Passar.

Det betyder att omvandlingen av uttrycket x2+3x-10 ser ut så här: (x-2)(x+5).

Viktig! Du bör vara försiktig så att du inte förväxlar tecknen.

Expansion av ett komplext trinomium

Om "a" är större än ett börjar svårigheterna. Men allt är inte så svårt som det verkar.

För att faktorisera måste du först se om något kan tas bort.

Till exempel, givet uttrycket: 3x²+9x-30. Här tas siffran 3 ur parentes:

3(x²+3x-10). Resultatet är det redan välkända trinomialet. Svaret ser ut så här: 3(x-2)(x+5)

Hur bryts ner om termen som står i kvadraten är negativ? I det här fallet tas siffran -1 ut från parentes. Till exempel: -x²-10x-8. Uttrycket kommer då att se ut så här:

Systemet skiljer sig lite från det tidigare. Det finns bara några nya saker. Låt oss säga att uttrycket är givet: 2x²+7x+3. Svaret skrivs också inom 2 parenteser som måste fyllas i (_)(_). I 2:a parentes skrivs x, och i 1:a vad som är kvar. Det ser ut så här: (2x_)(x_). Annars upprepas det tidigare schemat.

Siffran 3 ges av siffrorna:

• -1, -3;
• -3, -1;
• 3, 1;
• 1, 3.

Vi löser ekvationer genom att ersätta dessa tal. Det sista alternativet är lämpligt. Det betyder att transformationen av uttrycket 2x²+7x+3 ser ut så här: (2x+1)(x+3).

Andra fall

Det är inte alltid möjligt att konvertera ett uttryck. Med den andra metoden krävs inte att lösa ekvationen. Men möjligheten att omvandla termer till en produkt kontrolleras endast genom diskriminanten.

Det är värt att öva på att lösa andragradsekvationer så att det inte finns några svårigheter när man använder formlerna.

Användbar video: faktorisering av ett trinomial

Slutsats

Du kan använda den på vilket sätt som helst. Men det är bättre att träna båda tills de blir automatiska. Det är också nödvändigt att lära sig hur man löser andragradsekvationer och faktorpolynom för dem som planerar att koppla ihop sina liv med matematik. Alla följande matematiska ämnen bygger på detta.

I kontakt med

Denna online-kalkylator är utformad för att faktorisera en funktion.

Faktorisera till exempel: x 2 /3-3x+12. Låt oss skriva det som x^2/3-3*x+12. Du kan också använda denna tjänst, där alla beräkningar sparas i Word-format.

Till exempel, dekomponera i termer. Låt oss skriva det som (1-x^2)/(x^3+x) . Klicka på Visa steg för att se lösningens framsteg. Om du behöver få resultatet i Word-format, använd den här tjänsten.

Notera: talet "pi" (π) skrivs som pi; kvadratrot som sqrt , till exempel sqrt(3) , tangent tg skrivs tan . För att se svaret, se Alternativ.

1. Om ett enkelt uttryck ges, till exempel 8*d+12*c*d, betyder faktorisering av uttrycket att uttrycket representeras i form av faktorer. För att göra detta måste du hitta gemensamma faktorer. Låt oss skriva detta uttryck som: 4*d*(2+3*c) .
2. Presentera produkten i form av två binomialer: x 2 + 21yz + 7xz + 3xy. Här behöver du redan hitta flera vanliga faktorer: x(x+7z) + 3y(x + 7z). Vi tar ut (x+7z) och får: (x+7z)(x + 3y) .

se även Division av polynom med ett hörn (alla steg för division med en kolumn visas)

Användbart när man studerar reglerna för faktorisering kommer att vara förkortade multiplikationsformler, med hjälp av vilken det blir tydligt hur man öppnar parentes med en fyrkant:

1. (a+b) 2 = (a+b)(a+b) = a 2 +2ab+b 2
2. (a-b) 2 = (a-b)(a-b) = a 2 -2ab+b 2
3. (a+b)(a-b) = a 2 - b 2
4. a 3 + b 3 = (a+b)(a 2 -ab+b 2)
5. a 3 -b 3 = (a-b)(a 2 +ab+b 2)
6. (a+b) 3 = (a+b)(a+b) 2 = a 3 +3a 2 b + 3ab 2 +b 3
7. (a-b) 3 = (a-b)(a-b) 2 = a 3 -3a 2 b + 3ab 2 -b 3

Faktoriseringsmetoder

1. Använda förkortade multiplikationsformler.
2. Att hitta en gemensam faktor.

Faktorering av ett kvadratiskt trinomium kan vara användbart när man löser ojämlikheter från problem C3 eller problem med parameter C5. Dessutom kommer många B13-ordproblem att lösas mycket snabbare om du känner till Vietas teorem.

Denna sats kan naturligtvis betraktas ur 8:e årskursens perspektiv, där den lärs ut för första gången. Men vår uppgift är att förbereda oss väl för Unified State Exam och lära oss att lösa tentamensuppgifter så effektivt som möjligt. Därför överväger den här lektionen ett tillvägagångssätt som skiljer sig något från skolans.

Formel för rötterna till ekvationen med hjälp av Vietas sats Många vet (eller har åtminstone sett):

$$x_1+x_2 = -\frac(b)(a), \quad x_1 x_2 = \frac(c)(a),$$

där `a, b` och `c` är koefficienterna för det kvadratiska trinomialet `ax^2+bx+c`.

För att lära oss hur man enkelt använder teoremet, låt oss förstå var det kommer ifrån (detta kommer faktiskt att göra det lättare att komma ihåg).

Låt oss ha ekvationen `ax^2+ bx+ c = 0`. För ytterligare bekvämlighet, dividera det med `a` och få `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = 0`. En sådan ekvation kallas en reducerad andragradsekvation.

Viktig lektionsidé: vilket kvadratiskt polynom som helst som har rötter kan expanderas till parenteser. Låt oss anta att vår kan representeras som `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = (x + k)(x+l)`, där `k` och ` l` - några konstanter.

Låt oss se hur parenteserna öppnas:

$$(x + k)(x+l) = x^2 + kx+ lx+kl = x^2 +(k+l)x+kl.$$

Således, `k+l = \frac(b)(a), kl = \frac(c)(a)`.

Detta skiljer sig något från den klassiska tolkningen Vietas sats- i den letar vi efter ekvationens rötter. Jag föreslår att leta efter villkor för konsolnedbrytning- På så sätt behöver du inte komma ihåg minus från formeln (vilket betyder `x_1+x_2 = -\frac(b)(a)`). Det räcker att välja två sådana tal, vars summa är lika med medelkoefficienten, och produkten är lika med den fria termen.

Om vi ​​behöver en lösning på ekvationen är det uppenbart: rötterna `x=-k` eller `x=-l` (eftersom i dessa fall en av parenteserna kommer att vara noll, vilket betyder att hela uttrycket kommer att vara noll ).

Jag ska visa dig algoritmen som ett exempel: Hur man expanderar ett kvadratiskt polynom i parentes.

Exempel ett. Algoritm för faktorisering av ett kvadratiskt trinomium

Sökvägen vi har är en kvadranttrinomial `x^2+5x+4`.

Den reduceras (koefficienten för `x^2` är lika med en). Han har rötter. (För att vara säker kan du uppskatta diskriminanten och se till att den är större än noll.)

Ytterligare steg (du måste lära dig dem genom att slutföra alla träningsuppgifter):

1. Fyll i följande inmatning: $$x^2+5x+4=(x \ldots)(x \ldots).$$ Istället för prickar, lämna ledigt utrymme, vi lägger till lämpliga siffror och tecken där.
2. Tänk på alla möjliga alternativ för att dekomponera talet "4" till produkten av två tal. Vi får par av "kandidater" för rötterna till ekvationen: `2, 2` och `1, 4`.
3. Ta reda på vilket par du kan få medelkoefficienten från. Uppenbarligen är det `1, 4`.
4. Skriv $$x^2+5x+4=(x \quad 4)(x \quad 1)$$.
5. Nästa steg är att placera skyltar framför de infogade siffrorna.

   Hur kan man förstå och för alltid komma ihåg vilka tecken som ska visas före siffrorna inom parentes? Försök att öppna dem (parenteser). Koefficienten före "x" till den första potensen kommer att vara "(± 4 ± 1)" (vi känner inte till tecknen ännu - vi måste välja), och den bör vara lika med "5". Uppenbarligen kommer det att finnas två plus $$x^2+5x+4=(x + 4)(x + 1)$$.

   Utför denna operation flera gånger (hej, träningsuppgifter!) och du kommer aldrig att ha några fler problem med detta.

Om du behöver lösa ekvationen `x^2+5x+4` blir det inte svårt att lösa den nu. Dess rötter är `-4, -1`.

Exempel två. Faktorisering av ett kvadratiskt trinomium med koefficienter för olika tecken

Låt oss behöva lösa ekvationen `x^2-x-2=0`. Direkt är diskriminanten positiv.

Vi följer algoritmen.

1. $$x^2-x-2=(x \ldots) (x \ldots).$$
2. Det finns bara en faktorisering av två till heltalsfaktorer: `2 · 1`.
3. Vi hoppar över poängen – det finns inget att välja på.
4. $$x^2-x-2=(x \quad 2) (x \quad 1).$$
5. Produkten av våra tal är negativ (`-2` är den fria termen), vilket betyder att en av dem kommer att vara negativ och den andra kommer att vara positiv.
   Eftersom deras summa är lika med `-1` (koefficienten för `x`), kommer `2` att vara negativ (den intuitiva förklaringen är att två är det största av de två talen, det kommer att "dra" starkare i negativ riktning). Vi får $$x^2-x-2=(x - 2) (x + 1).$$

Tredje exemplet. Faktorering av ett kvadratiskt trinomium

Ekvationen är `x^2+5x -84 = 0`.

1. $$x+ 5x-84=(x \ldots) (x \ldots).$$
2. Nedbrytning av 84 till heltalsfaktorer: `4 21, 6 14, 12 7, 2 42`.
3. Eftersom vi behöver skillnaden (eller summan) av talen för att vara 5, är paret `7, 12` lämpligt.
4. $$x+ 5x-84=(x\quad 12) (x\quad 7).$$
5. $$x+ 5x-84=(x + 12) (x - 7).$$

Hoppas, expansion av detta kvadratiska trinomial inom parentes Kusten är klar.

Om du behöver en lösning på en ekvation, här är den: `12, -7`.

Utbildningsuppgifter

Jag uppmärksammar dig på några exempel som är lätta att göra löses med hjälp av Vietas sats.(Exempel hämtade från tidningen "Mathematics", 2002.)

1. "x^2+x-2=0".
2. `x^2-x-2=0`
3. "x^2+x-6=0".
4. `x^2-x-6=0`
5. "x^2+x-12=0".
6. `x^2-x-12=0`
7. `x^2+x-20=0`
8. `x^2-x-20=0`
9. `x^2+x-42=0`
10. `x^2-x-42=0`
11. `x^2+x-56=0`
12. `x^2-x-56=0`
13. `x^2+x-72=0`
14. `x^2-x-72=0`
15. "x^2+x-110=0".
16. `x^2-x-110=0`
17. `x^2+x-420=0`
18. `x^2-x-420=0`

Ett par år efter att artikeln skrevs dök det upp en samling med 150 uppgifter för att expandera ett kvadratiskt polynom med hjälp av Vietas teorem.

Gilla och ställ frågor i kommentarerna!

I den här lektionen kommer vi att lära oss att faktorisera kvadratiska trinomial till linjära faktorer. För att göra detta måste vi komma ihåg Vietas teorem och dess motsats. Denna färdighet kommer att hjälpa oss att snabbt och bekvämt expandera kvadratiska trinomial till linjära faktorer, och kommer också att förenkla reduktionen av fraktioner som består av uttryck.

Så låt oss gå tillbaka till andragradsekvationen, där .

Det vi har på vänster sida kallas ett kvadratiskt trinomium.

Teoremet är sant: Om är rötterna till ett kvadratiskt trinomium, så gäller identiteten

Var är den ledande koefficienten, är rötterna till ekvationen.

Så vi har en andragradsekvation - en andragradskrinomial, där rötterna till andragradsekvationen också kallas rötter till andragradskrinomialet. Därför, om vi har rötterna till ett kvadratiskt trinomium, kan detta trinomium delas upp i linjära faktorer.

Bevis:

Beviset för detta faktum utförs med hjälp av Vietas teorem, som vi diskuterade i tidigare lektioner.

Låt oss komma ihåg vad Vietas teorem säger:

Om är rötterna till ett kvadratiskt trinomium för vilket , då .

Följande påstående följer av detta teorem:

Vi ser att vi, enligt Vietas sats, det vill säga genom att ersätta dessa värden i formeln ovan, får vi följande uttryck

Q.E.D.

Kom ihåg att vi bevisade satsen att om är rötterna till ett kvadratiskt trinomium, så är expansionen giltig.

Låt oss nu komma ihåg ett exempel på en andragradsekvation, till vilken vi valde rötter med hjälp av Vietas teorem. Från detta faktum kan vi erhålla följande likhet tack vare det beprövade teoremet:

Låt oss nu kontrollera riktigheten av detta faktum genom att helt enkelt öppna parenteserna:

Vi ser att vi faktoriserat korrekt, och vilket trinomium som helst, om det har rötter, kan faktoriseras enligt denna sats till linjära faktorer enligt formeln

Men låt oss kontrollera om sådan faktorisering är möjlig för någon ekvation:

Ta till exempel ekvationen. Låt oss först kontrollera diskriminantskylten

Och vi kommer ihåg att för att uppfylla satsen vi lärde oss måste D vara större än 0, så i det här fallet är faktorisering enligt satsen vi lärt oss omöjlig.

Därför formulerar vi ett nytt teorem: om ett kvadratiskt trinomium inte har några rötter, kan det inte brytas upp i linjära faktorer.

Så vi har tittat på Vietas sats, möjligheten att bryta ned ett kvadratiskt trinomium i linjära faktorer, och nu ska vi lösa flera problem.

Uppgift nr 1

I denna grupp kommer vi faktiskt att lösa problemet omvänt till det som ställs. Vi hade en ekvation, och vi hittade dess rötter genom att faktorisera den. Här kommer vi att göra tvärtom. Låt oss säga att vi har rötterna till en andragradsekvation

Det omvända problemet är detta: skriv en andragradsekvation med dess rötter.

Det finns 2 sätt att lösa detta problem.

Sedan är rötterna till ekvationen, alltså är en andragradsekvation vars rötter är givna tal. Låt oss nu öppna parenteserna och kontrollera:

Detta var det första sättet på vilket vi skapade en andragradsekvation med givna rötter, som inte har några andra rötter, eftersom varje andragradsekvation har högst två rötter.

Denna metod involverar användningen av den omvända Vieta-satsen.

Om är ekvationens rötter, så uppfyller de villkoret att .

För den reducerade andragradsekvationen , , dvs i det här fallet, och .

Således har vi skapat en andragradsekvation som har de givna rötterna.

Uppgift nr 2

Det är nödvändigt att minska fraktionen.

Vi har ett trinomial i täljaren och ett trinomial i nämnaren, och trinomialen kan eller kanske inte faktoriseras. Om både täljaren och nämnaren faktoriseras, kan det finnas lika faktorer som kan reduceras bland dem.

Först och främst måste du faktorisera täljaren.

Först måste du kontrollera om denna ekvation kan faktoriseras, låt oss hitta diskriminanten. Eftersom , tecknet beror på produkten (måste vara mindre än 0), i detta exempel, dvs. den givna ekvationen har rötter.

För att lösa använder vi Vietas teorem:

I det här fallet, eftersom vi har att göra med rötter, kommer det att vara ganska svårt att helt enkelt välja rötterna. Men vi ser att koefficienterna är balanserade, det vill säga om vi antar att , och ersätter detta värde i ekvationen, får vi följande system: , dvs 5-5=0. Således har vi valt en av rötterna till denna andragradsekvation.

Vi kommer att leta efter den andra roten genom att ersätta det som redan är känt i ekvationssystemet, till exempel, d.v.s. .

Således har vi hittat båda rötterna till andragradsekvationen och kan ersätta deras värden i den ursprungliga ekvationen för att faktorisera den:

Låt oss komma ihåg det ursprungliga problemet, vi behövde minska bråkdelen .

Låt oss försöka lösa problemet genom att ersätta .

Det är nödvändigt att inte glömma att i detta fall kan nämnaren inte vara lika med 0, dvs.

Om dessa villkor är uppfyllda har vi reducerat den ursprungliga bråkdelen till formen .

Uppgift nr 3 (uppgift med en parameter)

Vid vilka värden på parametern är summan av rötterna till andragradsekvationen

Om rötterna till denna ekvation finns, då , fråga: när.

Kalkylator online.
Isolera kvadraten på ett binomial och faktorisera ett kvadratiskt trinomium.

De där. problemen går ut på att hitta talen \(p, q\) och \(n, m\)

Programmet ger inte bara svaret på problemet, utan visar också lösningsprocessen.

Det här programmet kan vara användbart för gymnasieelever i allmänna skolor när de förbereder sig för prov och prov, när de testar kunskap inför Unified State Exam och för föräldrar att kontrollera lösningen av många problem i matematik och algebra. Eller kanske det är för dyrt för dig att anlita en handledare eller köpa nya läroböcker? Eller vill du bara få dina matte- eller algebraläxor gjorda så snabbt som möjligt? I det här fallet kan du även använda våra program med detaljerade lösningar.

På så sätt kan du bedriva egen träning och/eller träning av dina yngre bröder eller systrar samtidigt som utbildningsnivån inom problemlösningsområdet ökar.

Om du inte är bekant med reglerna för att skriva in ett kvadratiskt trinomium rekommenderar vi att du bekantar dig med dem.

Regler för inmatning av ett kvadratiskt polynom

Vilken latinsk bokstav som helst kan fungera som en variabel.
Till exempel: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), etc.

Tal kan anges som heltal eller bråktal.
Dessutom kan bråktal anges inte bara i form av en decimal utan också i form av en vanlig bråkdel.

Regler för inmatning av decimalbråk.
I decimalbråk kan bråkdelen separeras från hela delen med antingen punkt eller kommatecken.
Du kan till exempel ange decimalbråk så här: 2,5x - 3,5x^2

Regler för inmatning av vanliga bråk.
Endast ett heltal kan fungera som täljare, nämnare och heltalsdel av ett bråk.

Nämnaren kan inte vara negativ.

När du anger ett numeriskt bråk, separeras täljaren från nämnaren med ett divisionstecken: /
Hela delen separeras från bråket med et-tecken: &
Ingång: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2
Resultat: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2\)

När du anger ett uttryck du kan använda parenteser. I det här fallet, vid lösning, förenklas först det introducerade uttrycket.
Till exempel: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

Exempel på en detaljerad lösning

Isolera kvadraten av en binomial.$$ ax^2+bx+c \högerpil a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \right)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\vänster (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \right)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \right)^2 \right)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ Svar:$$2x^2+2x-4 = 2\vänster(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ Faktorisering.$$ ax^2+bx+c \högerpil a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\vänster(x^2+x-2 \höger) = $$
$$ 2 \left(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \right) = $$ $$ 2 \left(x \left(x +2 \right) -1 \left(x +2 \right) ) \right) = $$ $$ 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$ Svar:$$2x^2+2x-4 = 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$

Det upptäcktes att vissa skript som behövs för att lösa detta problem inte laddades och programmet kanske inte fungerar.
Du kan ha AdBlock aktiverat.
I det här fallet inaktiverar du den och uppdaterar sidan.

Därför att Det finns många människor som är villiga att lösa problemet, din förfrågan har ställts i kö.
Om några sekunder kommer lösningen att dyka upp nedan.
Vänta sek...

Om du upptäckte ett fel i lösningen, då kan du skriva om detta i Feedbackformuläret.
Glöm inte ange vilken uppgift du bestämmer vad ange i fälten.

Våra spel, pussel, emulatorer:

Lite teori.

Isolera kvadraten av en binomial från en kvadratisk trinomial

Om kvadrattrinomialet ax 2 +bx+c representeras som a(x+p) 2 +q, där p och q är reella tal, så säger vi att från kvadrattrinomial är kvadraten på binomialen markerad.

Från trinomialet 2x 2 +12x+14 extraherar vi kvadraten på binomialet.

\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)

För att göra detta, föreställ dig 6x som en produkt av 2*3*x och addera och subtrahera sedan 3 2. Vi får:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

Den där. Vi extrahera kvadratbinomialet från kvadrattrinomialet, och visade att:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

Faktorering av ett kvadratiskt trinomium

Om den kvadratiska trinomialen ax 2 +bx+c representeras i formen a(x+n)(x+m), där n och m är reella tal, sägs operationen ha utförts faktorisering av ett kvadratiskt trinomium.

Låt oss visa med ett exempel hur denna transformation går till.

Låt oss faktorisera det kvadratiska trinomiet 2x 2 +4x-6.

Låt oss ta koefficienten a utanför parentes, dvs. 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)

Låt oss omvandla uttrycket inom parentes.
För att göra detta, föreställ dig 2x som skillnaden 3x-1x och -3 som -1*3. Vi får:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

Den där. Vi faktoriserade det kvadratiska trinomialet, och visade att:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

Observera att faktorisering av ett kvadratiskt trinomium endast är möjligt om den andragradsekvation som motsvarar detta trinomium har rötter.
De där. i vårt fall är det möjligt att faktorisera trinomialet 2x 2 +4x-6 om andragradsekvationen 2x 2 +4x-6 =0 har rötter. I faktoriseringsprocessen fastställde vi att ekvationen 2x 2 + 4x-6 = 0 har två rötter 1 och -3, eftersom med dessa värden förvandlas ekvationen 2(x-1)(x+3)=0 till en sann likhet.