Lösning av övningar på ämnet reduktion av bråk. Bråkreduktion
Lektionens framsteg (28.09.16)
Ämne: bråkreduktion
Mål: härleda en regel för att reducera bråk, med hjälp av tals delbarhetstecken och den grundläggande egenskapen för ett bråk, och kunna tillämpa den i praktiken.
Uppgifter:
4. Att forma förmågan att arbeta individuellt, i par, att argumentera och försvara sin åsikt
Jag organisatoriska ögonblick
God morgon killar! Jag är glad att se dig på gott humör. Vi har många gäster idag. Vi ska försöka visa våra kunskaper och färdigheter.
II Aktualisering av kunskap
1. Vad kallas divisor för talet a?
2. Vad kallas GCD för talen a och b?
3. Vilka tal kallas relativt primtal?
5. Tecken på delbarhet med 2, 5, 10, 3, 9.
6. Formulera huvudegenskapen för ett bråk.
7. Nämn några bråk som är lika med data:
Använd den grundläggande egenskapen för en bråkdel, utför en grafisk diktering.
Svaret "ja" motsvarar +, svaret "nej" motsvarar -.
+ - - + + - - +
Ömsesidig kontroll
Kriterier
8 uppgifter 3 poäng
6-7 uppgifter 2 poäng
4-5 uppgifter 1 poäng
mindre än 4 uppgifter 0 poäng
III Primär uppfattning om utbildningsmaterial
Pooltanken är fylld med två rör. Ett rör fyllspoolen på en timme, och den andra. Vilket rör låter mer vatten passera?
En uppgift
I t. - pool per timme
II t. - pool per timme
Vem rör passerar mer vatten?
Vad handlar uppgiften om?
Hur många rör fyller poolen?
Vad säger problemet om rör?
Vad ska hittas?
Vad behöver du veta för detta?
Två elever vid tavlan
= = (b) på en timme piper jag
2) = = (b) i en timme II trumpet
Svar: II-röret passerar mer vatten.
– Skulle vi kunna jämföra två bråk samtidigt ... utan transformationer?
Vad sägs om att jämföra två bråk med samma nämnare?
– Hur fick vi bråk lika med dem, men med samma nämnare?
Vilken egendom användes till detta?
IV Definition av ämnet för lektionen
– Så, vi har tillämpat huvudegenskapen för ett bråk, vi har ersatt bråk med lika genom att dividera täljaren och nämnaren med samma tal.
Resultatet är ett bråk vars värde är lika med det givna bråket, men med en mindre täljare och nämnare
En sådan omvandling kallas…. BRÖKNING MINSKA
- Ämne av vår lektion "Reduktion av bråkdelar". Skriv ner det i din anteckningsbok.
– En berättelse om tillämpningen av begreppet "förkortning".
V Att sätta målet för lektionen
– Försök nu formulera syftet med vår lektion, vad vi ska lära känna och vad vi ska lära oss på lektionen.
Vi sätter oss själva framför mål:
Lär sig att reducera bråk med hjälp av siffrors delbarhetstecken och bråkets grundläggande egenskap.
Uppgifter
1. Formulera regeln för reducering av bråk
2. Introducera begreppet en irreducerbar bråkdel
3. Lär dig att omsätta dessa regler i praktiken
– Hur fick du svaret?
– Låt oss försöka formulera en regel tillsammans, vad är reduktion av bråk och hur man minskar bråk.
- Bra gjort!
- Öppna nu läroboken på sidan 39, läs regeln (skriv den i en anteckningsbok)
VI Testa elevernas förståelse för nytt material
= = förklarar läraren
Vi härleder bråkreduktionsalgoritmen: 12/18
Låt oss nu omsätta vår nya kunskap i praktiken. För att minska bråkdelar, kommentera, arbetar vi enligt alternativen:
– Vi ska lösa uppgiften på egen hand, två personer går till styrelsen och ska klara uppgiften i styrelsen, sedan ska vi kolla upp allt tillsammans.
____________________________________________________________________________
- Titta på bilden, minska andelen om möjligt:
I vilken av dessa bråk finns täljaren och nämnaren för bråket med primtal?
Vad är GCD för täljaren och nämnaren i detta fall?
– Det stämmer, 1. Det betyder att dessa tal inte har gemensamma divisorer, förutom 1, och en sådan bråkdel kan inte reduceras. Det är vad det heter - irreducible.
- Försök formulera definitionen av en irreducerbar bråkdel.
(Om täljaren och nämnaren för ett bråk är coprimtal, är deras gcd 1 och ett sådant bråk är irreducerbart.)
VII Konsolidering
Test, självbedömning, kriterier
VIII Sammanfattning av lektionen
Vår lektion närmar sig sitt slut, det är dags att inventera.
Skriv ner dina läxor:
Vad innebär det att minska en bråkdel?
Vad förändras när en bråkdel reduceras?
Vilken fraktion kallas irreducerbar?
- Ge dig själv ett betyg på lektionen.
IX Reflektion
Vad pratade vi om idag?
Vad är vårt mål idag?
Har vi uppnått detta mål?
Var allt klart?
Lektionen över! Ni är alla fantastiska! Tack för ditt arbete!
Förhandsvisning:
För att använda förhandsgranskningen av presentationer, skapa ett Google-konto (konto) och logga in: https://accounts.google.com
Bildtexter:
Introspektion av lektionen Minskning av bråk årskurs 6
Lektionsämne: Att reducera bråk Syftet med lektionen: att härleda en regel för att reducera bråk med hjälp av bråkets grundläggande egenskap och tecken på delbarhet av tal
Uppgifter: formulera regeln för att reducera bråk, introducera begreppet en irreducerbar bråkdel, lära sig att tillämpa dessa regler i praktiken
Stadier av lektionen Planerade resultat Organisatoriskt ögonblick Skapa en gynnsam psykologisk stämning Förverkligande av kunskap Eleverna kan svara på frågorna, känna till reglerna för den grundläggande egenskapen för ett bråk, vet hur man tillämpar det. Bestämma ämnet för lektionen Interaktion med läraren under ett samtal som genomförs i frontalläget, när man löser ett problem som skapar en problemsituation som leder till ett nytt ämne. Att sätta målet för lektionen Eleverna formulerar målet för lektionen, förstår den praktiska betydelsen av materialet som studeras
Lektionens skeden Planerade resultat Initial uppfattning och assimilering av nytt läromedel Säkerställande av uppfattning, förståelse och primär memorering av det studerade materialet Kontrollera elevernas förståelse för nytt material Identifiering av kvaliteten och nivån av assimilering av material Införande av nytt material i systemet för tidigare förvärvade kunskaper Eleverna kan reducera bråk med nytt material
Lektionens skeden Förväntade resultat Konsolidering av nytt material Vet hur man minskar bråkdelar Läxor Säkerställa att barn förstår syftet, innehållet och metoderna för att göra läxor Lektionssammanfattning Reflektion av aktiviteter Ge en kvalitativ bedömning av klassens och enskilda elevers arbete.
Tack för din uppmärksamhet!
För att uttrycka en del som en bråkdel av helheten måste du dividera delen med helheten.
Uppgift 1. Det är 30 elever i klassen, fyra saknas. Hur stor andel av eleverna saknas?
Lösning:
Svar: det finns inga elever i klassen.
Hitta en bråkdel från ett tal
För att lösa problem där det krävs att hitta en del av en helhet, gäller följande regel:
Om en del av helheten uttrycks som ett bråktal, kan du för att hitta denna del dividera hela med bråkets nämnare och multiplicera resultatet med dess täljare.
Uppgift 1. Det fanns 600 rubel, detta belopp användes. Hur mycket pengar har du spenderat?
Lösning: för att hitta från 600 rubel måste du dela upp detta belopp i 4 delar, därigenom kommer vi att ta reda på hur mycket pengar som är en fjärdedel:
600: 4 = 150 (sid.)
Svar: spenderade 150 rubel.
Uppgift 2. Det var 1000 rubel, detta belopp spenderades. Hur mycket pengar har spenderats?
Lösning: Från problemets tillstånd vet vi att 1000 rubel består av fem lika delar. Först hittar vi hur många rubel som är en femtedel av 1000, och sedan tar vi reda på hur många rubel som är två femtedelar:
1) 1000: 5 = 200 (s.) - en femtedel.
2) 200 2 \u003d 400 (s.) - två femtedelar.
Dessa två åtgärder kan kombineras: 1000: 5 2 = 400 (sid).
Svar: 400 rubel spenderades.
Det andra sättet att hitta en del av en helhet:
För att hitta en del av en helhet kan du multiplicera helheten med en bråkdel som uttrycker den delen av helheten.
Uppgift 3. Enligt kooperativets stadga, för att rapporteringsmötet ska vara giltigt, måste det närvaras av minst medlemmar i organisationen. Kooperativet har 120 medlemmar. Med vilken sammansättning kan rapporteringsmötet hållas?
Lösning: 
Svar: rapporteringsmötet kan hållas om det finns 80 medlemmar i organisationen.
Hitta ett tal genom dess bråktal
För att lösa problem där det krävs att hitta helheten genom sin del, gäller följande regel:
Om en del av det önskade heltal uttrycks som ett bråktal, kan du för att hitta detta heltal dividera denna del med bråkets täljare och multiplicera resultatet med dess nämnare.
Uppgift 1. Vi spenderade 50 rubel, detta uppgick till det ursprungliga beloppet. Hitta den ursprungliga summan pengar.
Lösning: från beskrivningen av problemet ser vi att 50 rubel är 6 gånger mindre än det ursprungliga beloppet, det vill säga det initiala beloppet är 6 gånger mer än 50 rubel. För att hitta detta belopp måste du multiplicera 50 med 6:
50 6 = 300 (r.)
Svar: det ursprungliga beloppet är 300 rubel.
Uppgift 2. Vi spenderade 600 rubel, detta uppgick till den ursprungliga summan pengar. Hitta det ursprungliga beloppet.
Lösning: vi kommer att anta att det önskade antalet består av tre tredjedelar. Enligt villkor är två tredjedelar av antalet lika med 600 rubel. Först hittar vi en tredjedel av det ursprungliga beloppet, och sedan hur många rubel är tre tredjedelar (initial belopp):
1) 600: 2 3 = 900 (sid.)
Svar: det ursprungliga beloppet är 900 rubel.
Det andra sättet att hitta helheten efter sin del:
För att hitta en helhet med värdet av dess del kan du dividera detta värde med en bråkdel som uttrycker denna del.
Uppgift 3. Linjesegmentet AB, lika med 42 cm, är segmentets längd CD. Hitta längden på ett segment CD.
Lösning: 
Svar: segmentets längd CD 70 cm
Uppgift 4. Vattenmeloner fördes till affären. Före lunch sålde butiken, efter lunch - tog med vattenmeloner, och det återstår att sälja 80 vattenmeloner. Hur många vattenmeloner togs med till butiken totalt?
Lösning: först tar vi reda på vilken del av de importerade vattenmelonerna som är talet 80. För att göra detta tar vi det totala antalet importerade vattenmeloner som en enhet och subtraherar från det antalet vattenmeloner som vi lyckades sälja (sälja):
Och så lärde vi oss att 80 vattenmeloner är från det totala antalet vattenmeloner som tagits med. Nu kommer vi att ta reda på hur många vattenmeloner av den totala mängden är, och sedan hur många vattenmeloner det är (antalet vattenmeloner som tas med):
2) 80: 4 15 = 300 (vattenmeloner)
Svar: totalt togs 300 vattenmeloner till butiken.
Klass: 6
Lektionstyp: lektion av upprepning, generalisering och systematisering av kunskap.
Lektionens mål:
Den här lektionen är den sista i ämnet "Reduktion av bråkdelar" och syftar till att uppnå följande mål:
Kognitiv:
- att systematisera kunskap om ämnet "reduktion av bråkdelar";
- att uppnå färdigheten att reducera bråk av varje elev i klassen;
- kontrollera tillgängligheten för ovanstående färdighet;
- upprepa ämnet "hastighet, tid, distans" i uppgiftsmaterialet
- upprepa omvandlingen av massenheter, tid, längd.
- upprepa begreppen rät och rak vinkel
- att av eleverna tillämpa kunskap om reduktion av bråk i standard- och icke-standardsituationer.
Utvecklande:
- utveckling av matematiskt tal ("Jag reducerar med en faktor ...", "täljaren och nämnaren delas med ..."), kulturen att läsa bråk;
- bildandet av förmågan att bygga analogier.
Utbildare:
- utveckling av koncentration och noggrannhet;
- utveckla förmågan att lyssna på andra och samtidigt förmågan att försvara sin synvinkel.
Lektionsutrustning: dator, multimediaprojektor, skärm;
För att öka intresset för ämnet förbereddes lektionen med hjälp av IKT i form av en Power Point-presentation.
Lektionens struktur:
- Organisatoriskt ögonblick, samling anteckningsböcker med läxor (2 min.)
- Presentation av ämnet och syftet med lektionen (1 min.)
- Muntligt arbete (6 min.)
- Generalisering och systematisering av kunskap om ämnet och deras tillämpning i en standardsituation och en icke-standardsituation (13 min.)
- Matediktat (13 min.)
- Upprepning av material 5 celler. (7 min.)
- Sammanfattning av lektionen (2 min.)
- Ställa in läxor (1 min.)
Under lektionerna
Lektionen förbereds i form av en Powerpresentation punkt (Ansökan)
I. Organisatoriskt ögonblick.Ämnet för lektionen.
II. Verbal räkning
- Maskinskrivaren avslutade jobbet på 7 dagar. Hur mycket av jobbet kommer hon att slutföra på 1 dag? (1/7)
- Turisterna gick från basen till sjön i 4 timmar med en hastighet av 6 km/h.
a) Vad är avståndet från basen till sjön? (24 km)
b) Med vilken hastighet gick de tillbaka om återresan tog 3 timmar? (8 km/h) - Enligt lärobok nr 253 (a, b) (författare N.Ya. Vilenkin).
Obs: Det enkla beräkningsmaterialet för muntlig räkning gör att du bättre kan koncentrera dig på kärnan i frågorna och snabbt gå vidare till att konsolidera det studerade materialet om ämnet "bråkreduktion".
III. Upprepning av det studerade materialet
Oberoende lösning med online självtest på dator.
IV. Dynamisk paus
V. Matematisk diktering
Minska andelen:
Vilken andel
- ett ton är två centner (en kilometer är tvåhundra meter)
- en timme är tio minuter (en minut är femton sekunder)
- en rät vinkel är trettio grader (en rät vinkel är trettio grader)
Är påståendet sant:
VI. Upprepning av materialet i 5:e klass. Arbetar med en uppgift från läroboken.
nr 267(1). Styrelsearbete.
- Läs uppgiften.
- Gör en kort anteckning.
- Hur hittar man hastigheten mot strömmen?
- Hur snabbt rörde sig flotten?
- Vad är känt om vägen som gick dit och vägen tillbaka?
- Vad kan man lära sig med en åtgärd?
(24-3)*3=63 (km) väglängd
63:3=21 (h) flottens restid
Svar: klockan 21
VII. Lektionsresultat.
- Vad är huvudegenskapen för ett bråk?
- Vad innebär det att minska en bråkdel?
- Ge exempel på reducerbara och irreducerbara bråk.
VIII. Läxa
nr 266; 270; 274(b); 267(2).
Bibliografi:
- MOSKVA UTBILDNINGSINSTITUTET MOSKVA INSTITUTET FÖR ÖPPEN UTBILDNING
UNDERVISNING I MATEMATIK LÄSÅRET 2009/2010
Redigerad av I.V. Jasjtjenko, A.V. Semenov. Moskva. MIOO. JSC "Moskva läroböcker", 2009. - N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov, A.S. Chesnokov, S.I. Schwarzburd. Matematik årskurs 6, lärobok, del 1. JSC "Moscow textbooks", 2006.
- V.V. Vygovskaya. Pourochnye utveckling i matematik årskurs 6. Moskva, Wako, 2009.
- IN OCH. Zhokhov. Matematiska diktat 6:e klass, Moskva, "Rosmen", 2003.
Den här artikeln fortsätter temat för omvandlingen av algebraiska bråk: överväg en sådan åtgärd som minskningen av algebraiska bråk. Låt oss definiera själva termen, formulera förkortningsregeln och analysera praktiska exempel.
Betydelse av algebraisk bråkförkortning
I materialen på den vanliga fraktionen övervägde vi dess reduktion. Vi har definierat reduktionen av ett gemensamt bråk som att dividera dess täljare och nämnare med en gemensam faktor.
Att reducera en algebraisk bråkdel är en liknande operation.
Definition 1
Algebraisk bråkreduktionär divisionen av dess täljare och nämnare med en gemensam faktor. I det här fallet, till skillnad från reduktionen av ett vanligt bråk (endast ett tal kan vara en gemensam nämnare), kan ett polynom, i synnerhet ett monom eller ett tal, fungera som en gemensam faktor för täljaren och nämnaren för en algebraisk bråkdel.
Till exempel kan den algebraiska bråkdelen 3 x 2 + 6 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 reduceras med talet 3, som ett resultat får vi: x 2 + 2 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 . Vi kan reducera samma bråkdel med variabeln x, och detta ger oss uttrycket 3 x + 6 y 6 x 2 y + 12 x y 2 . Det är också möjligt att reducera en given fraktion med ett monomial 3 x eller något av polynomen x + 2 år, 3 x + 6 y , x 2 + 2 x y eller 3 x 2 + 6 x y.
Det slutliga målet med att reducera en algebraisk bråkdel är en bråkdel av en enklare form, i bästa fall en irreducerbar bråkdel.
Är alla algebraiska bråk föremål för reduktion?
Återigen, från materialen på vanliga fraktioner vet vi att det finns reducerbara och irreducerbara fraktioner. Irreducible - det här är bråk som inte har gemensamma faktorer för täljaren och nämnaren, förutom 1.
Med algebraiska bråk är allt sig likt: de har eller kanske inte har gemensamma faktorer för täljaren och nämnaren. Närvaron av vanliga faktorer gör att du kan förenkla den ursprungliga fraktionen genom reduktion. När det inte finns några gemensamma faktorer är det omöjligt att optimera en given fraktion med reduktionsmetoden.
I allmänna fall, för en viss typ av fraktion, är det ganska svårt att förstå om det är föremål för reduktion. Naturligtvis, i vissa fall är närvaron av en gemensam faktor för täljaren och nämnaren uppenbar. Till exempel, i den algebraiska bråkdelen 3 · x 2 3 · y är det ganska tydligt att den gemensamma faktorn är talet 3 .
I ett bråk - x · y 5 · x · y · z 3 förstår vi också omedelbart att det är möjligt att reducera det med x, eller y, eller med x · y. Och ändå är exempel på algebraiska bråk mycket vanligare, när den gemensamma faktorn för täljaren och nämnaren inte är så lätt att se, och ännu oftare - den är helt enkelt frånvarande.
Till exempel kan vi minska bråkdelen x 3 - 1 x 2 - 1 med x - 1, medan den angivna gemensamma faktorn inte finns i posten. Men bråket x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 x + 4 kan inte reduceras, eftersom täljaren och nämnaren inte har en gemensam faktor.
Frågan om att ta reda på sammandragbarheten av en algebraisk bråkdel är alltså inte så enkel, och det är ofta lättare att arbeta med en bråkdel av en given form än att försöka ta reda på om den är sammandragbar. I det här fallet sker sådana transformationer som i vissa fall tillåter oss att bestämma den gemensamma faktorn för täljaren och nämnaren eller dra slutsatsen att bråket är irreducerbart. Vi kommer att analysera denna fråga i detalj i nästa stycke i artikeln.
Algebraisk bråkreduktionsregel
Algebraisk bråkreduktionsregel består av två på varandra följande steg:
- hitta de gemensamma faktorerna för täljaren och nämnaren;
- i fallet att hitta sådana, genomförandet av den direkta åtgärden att minska fraktionen.
Den bekvämaste metoden för att hitta gemensamma nämnare är att faktorisera polynomen som finns i täljaren och nämnaren för en given algebraisk bråkdel. Detta gör att du omedelbart visuellt kan se närvaron eller frånvaron av vanliga faktorer.
Själva åtgärden att reducera en algebraisk bråkdel baseras på huvudegenskapen hos en algebraisk bråkdel, uttryckt med likheten undefined , där a , b , c är några polynom och b och c är icke-noll. Det första steget är att reducera bråket till formen a c b c , där vi omedelbart märker den gemensamma faktorn c . Det andra steget är att utföra reduktionen, d.v.s. övergång till en bråkdel av formen a b .
Typiska exempel
Trots vissa självklarheter, låt oss förtydliga det speciella fallet när täljaren och nämnaren för en algebraisk bråkdel är lika. Liknande fraktioner är identiskt lika med 1 på hela ODZ av variablerna i denna fraktion:
55 = 1; - 2 3 - 2 3 = 1; x x = 1; - 3, 2 x 3 - 3, 2 x 3 = 1; 1 2 x - x 2 y 1 2 x - x 2 y;
Eftersom vanliga bråk är ett specialfall av algebraiska bråk, låt oss komma ihåg hur de reduceras. De naturliga talen som skrivs i täljaren och nämnaren delas upp i primtalsfaktorer, sedan reduceras de gemensamma faktorerna (om några).
Till exempel, 24 1260 = 2 2 2 3 2 2 3 3 5 7 = 2 3 5 7 = 2 105
Produkten av enkla identiska faktorer kan skrivas som grader, och i processen med bråkreduktion, använd egenskapen att dividera grader med samma baser. Då skulle ovanstående lösning vara:
24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 5 7 = 2 105
(täljare och nämnare dividerat med en gemensam faktor 2 2 3). Eller, för tydlighetens skull, baserat på egenskaperna för multiplikation och division, kommer vi att ge lösningen följande form:
24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 2 2 3 3 2 1 5 7 = 2 1 1 3 1 35 = 2 105
I analogi utförs reduktionen av algebraiska fraktioner, där täljaren och nämnaren har monomer med heltalskoefficienter.
Exempel 1
Givet en algebraisk bråkdel - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z . Det måste minskas.
Lösning
Det är möjligt att skriva täljaren och nämnaren för ett givet bråk som en produkt av primtalsfaktorer och variabler, och sedan reducera:
27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 3 a a a a a a b b c z 2 3 a a b b c c c c c c c z = = - 3 3 a a a 2 c c c c c c c c = - 9 a 3 2 c 6
Ett mer rationellt sätt skulle dock vara att skriva lösningen som ett uttryck med krafter:
27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 a 5 b 2 c z 2 3 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 2 3 a 5 a 2 b 2 b 2 c c 7 z z = = - 3 3 - 1 2 a 5 - 2 1 1 1 c 7 - 1 1 = - 3 2 a 3 2 c 6 = - 9 a 3 2 c 6 .
Svar:- 27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 9 a 3 2 c 6
När det finns bråktalskoefficienter i täljaren och nämnaren för ett algebraiskt bråk, finns det två möjliga sätt att göra ytterligare åtgärder: antingen dela dessa bråktalskoefficienter separat, eller först göra dig av med bråkkoefficienterna genom att multiplicera täljaren och nämnaren med något naturligt tal . Den sista omvandlingen utförs på grund av huvudegenskapen hos en algebraisk bråkdel (du kan läsa om den i artikeln "Reducera en algebraisk bråkdel till en ny nämnare").
Exempel 2
Givet en bråkdel 2 5 x 0 , 3 x 3 . Det måste minskas.
Lösning
Det är möjligt att minska fraktionen på detta sätt:
2 5 x 0, 3 x 3 = 2 5 3 10 x x 3 = 4 3 1 x 2 = 4 3 x 2
Låt oss försöka lösa problemet annorlunda, efter att tidigare ha blivit av med bråkkoefficienter - vi multiplicerar täljaren och nämnaren med den minsta gemensamma multipeln av nämnarna för dessa koefficienter, d.v.s. per LCM(5; 10) = 10. Då får vi:
2 5 x 0, 3 x 3 = 10 2 5 x 10 0, 3 x 3 = 4 x 3 x 3 = 4 3 x 2.
Svar: 2 5 x 0, 3 x 3 = 4 3 x 2
När vi reducerar allmänna algebraiska bråk, där täljare och nämnare kan vara både monomer och polynom, är ett problem möjligt när den gemensamma faktorn inte alltid är omedelbart synlig. Eller mer än så, det finns helt enkelt inte. Sedan, för att bestämma den gemensamma faktorn eller fixa det faktum att den saknas, faktoriseras täljaren och nämnaren för den algebraiska bråkdelen.
Exempel 3
Givet ett rationellt bråktal 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 . Den måste kortas ned.
Lösning
Låt oss faktorisera polynomen i täljaren och nämnaren. Låt oss göra parenteserna:
2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49)
Vi ser att uttrycket inom parentes kan konverteras med hjälp av de förkortade multiplikationsformlerna:
2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7)
Man ser tydligt att det är möjligt att minska fraktionen med en gemensam faktor b 2 (a + 7). Låt oss göra en minskning:
2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b
Vi skriver en kort lösning utan förklaring som en kedja av jämlikheter:
2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b
Svar: 2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 a + 14 a b - 7 b.
Det händer att de gemensamma faktorerna döljs av numeriska koefficienter. Då, när du reducerar bråk, är det optimalt att ta ut de numeriska faktorerna med högre potenser av täljaren och nämnaren.
Exempel 4
Givet en algebraisk bråkdel 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 . Den bör minskas om möjligt.
Lösning
Vid första anblicken har täljaren och nämnaren ingen gemensam nämnare. Men låt oss försöka konvertera det givna bråket. Låt oss ta ut faktorn x i täljaren:
1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2
Nu kan du se en viss likhet mellan uttrycket inom parentes och uttrycket i nämnaren på grund av x 2 y . Låt oss ta ut de numeriska koefficienterna vid högre potenser för dessa polynom:
x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x - 2 7 - 7 2 1 5 + x 2 y 5 x 2 y - 1 5 3 1 2 = = - 2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10
Nu blir den gemensamma multiplikatorn synlig, vi genomför reduktionen:
2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10 = - 2 7 x 5 = - 2 35 x
Svar: 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = - 2 35 x .
Låt oss betona att förmågan att reducera rationella bråk beror på förmågan att faktorisera polynom.
Om du märker ett fel i texten, markera det och tryck på Ctrl+Enter
Minskningen av bråk är ett ganska svårt ämne för matematik i årskurs 6, så det är värt att demontera det i etapper. För att undvika misstag är det bättre att göra de första minskningarna på samma sätt, i etapper. Låt oss ge en algoritm för att undvika misstag och lära oss att snabbt och enkelt minska eventuella bråkdelar.
Bråkreduktionsalgoritm.
Först måste det sägas att själva reduktionen av fraktioner är möjlig tack vare en av definitionerna av en fraktion.
En bråkdel är en ofullständig divisionsoperation. Det betyder att vilket bråk som helst alltid kan ersättas med ett privat bråk. Att ersätta med en bråkdel behövs för att bibehålla noggrannheten i beräkningarna.
Låt oss se hur den detaljerade förkortningen ser ut med ett exempel:
$$(25\över(40))=25:40=(5*5):(5*8)=5:8 $$
För att inte måla det här uttrycket varje gång kan du använda regeln för att reducera bråk: om du multiplicerar eller dividerar nämnaren med samma tal, ändras inte värdet på bråket.
Låt oss nu skriva själva algoritmen. För att minska en bråkdel:
- Uttryck täljaren och nämnaren som primtalsfaktorer.
- Ta bort var och en av de lika primtalsfaktorerna.
- Multiplicera de återstående siffrorna och skriv resultatet.
Istället för att skriva täljaren och nämnaren som faktorer kan du helt enkelt hitta gcd för täljaren och nämnaren. Detta kommer att vara det högsta möjliga antalet som båda värdena kan delas med.
Det finns ingen speciell formel för att reducera någon bråkdel, men du kan använda reglerna som ges i denna algoritm.
Hur hittar man NOD?
Låt oss komma ihåg hur NOD är placerad:
- Det första steget är att faktorisera antalet till primtalsfaktorer.
- Expansionen letar efter vanliga primtal och skriver ut dem i ett separat uttryck.
- Det resulterande värdet är GCD.
Låt oss ta ett exempel.
Det är nödvändigt att hitta GCD för nummer 150 och 294.
Exempel
Här är ett exempel på bråkreduktion. För att göra detta, förenkla bråket $(513216\över(145152))$. För exemplet väljs stora tal medvetet för att visa hur det största antalet kan bli litet till följd av förenkling.
Vi kommer inte att leta efter GCD, vi kommer att dekomponera tal i primtal och hitta gemensamma värden.
513216:2=256608 - först och främst är talet delbart med 2. För att talet ska vara delbart med två måste antalet enheter vara jämnt.
256608:2=128304 - division med 2 fortsätter tills den sista siffran i talet inte längre är jämn. Efter det försöker vi dividera talet med 3 och andra primtal. Alla primtal finns i tabellen över primtal.
Låt oss skriva ner nedbrytningsresultatet: 513216=2*2*2*2*2*2*3*3*3*3*3*3*11 - totalt fick vi 6 siffror 3, 6 siffror 2 och siffran 11 På samma sätt bryter vi ner 145152 .
Låt oss skriva resultatet:
145152=2*2*2*2*2*2*2*2*3*3*3*3*7 - totalt 8 nummer 2, 4 nummer 3 och ett nummer 7.
I båda talen måste du minska 6 nummer 2 och 4 nummer 3. Låt oss skriva den resulterande täljaren. Siffrorna kommer att finnas kvar i den: 2 nummer 3 och nummer 11
Låt oss skriva ner den resulterande nämnaren. Siffror kommer att finnas kvar i den: 2 nummer två och nummer 7
Resultatet av minskningen är en bråkdel:
$(99\över(28))$ - om så önskas kan du välja en heltalsdel. Men om detta inte krävs i tillståndet av problemet, är det tillåtet att lämna svaret i det här formuläret.
Vad har vi lärt oss?
Vi pratade om att minska bråk. Lärde mig varför reduktion är möjlig. Vi kom på hur man klipper ordentligt. Algoritmen för reduktion och två sätt att utföra operationen gavs. Betrakta exemplet med att reducera bråk.
Ämnesquiz
Artikelbetyg
Genomsnittligt betyg: 4.5. Totalt antal mottagna betyg: 74.
