Lim x ay may posibilidad na 3 x. Mga limitasyon

Mga pag-andar sa elementarya at ang kanilang mga graph.

Ang mga pangunahing pag-andar ng elementarya ay: power function, exponential function, logarithmic function, trigonometric function at inverse trigonometric function, pati na rin ang polynomial at rational function, na siyang ratio ng dalawang polynomial.

Kasama rin sa mga elementary function ang mga function na nakuha mula sa elementarya sa pamamagitan ng paglalapat ng pangunahing apat na arithmetic operations at pagbuo ng complex function.

Mga graph ng elementarya function

	Tuwid na linya- graph ng isang linear function y = ax + b. Ang function na y monotonically tumataas para sa isang > 0 at bumababa para sa a< 0. При b = 0 прямая линия проходит через начало координат т. 0 (y = ax - прямая пропорциональность)
	Parabola- graph ng quadratic trinomial function y = ax 2 + bx + c. Mayroon itong patayong axis ng simetrya. Kung a > 0, may pinakamababa kung a< 0 - максимум. Точки пересечения (если они есть) с осью абсцисс - корни соответствующего квадратного уравнения ax 2 + bx +c =0
	Hyperbola- graph ng function. Kapag a > O ito ay matatagpuan sa I at III quarters, kapag a< 0 - во II и IV. Асимптоты - оси координат. Ось симметрии - прямая у = х(а >0) o y - - x(a< 0).
	Exponential function. Exhibitor(exponential function sa base e) y = e x. (Ibang spelling y = exp(x)). Ang Asymptote ay ang abscissa axis.
	Logarithmic function y = log a x(a > 0)
	y = sinx. Sine wave- periodic function na may period T = 2π

Limitasyon sa pag-andar.

Ang function na y=f(x) ay may numerong A bilang limitasyon dahil ang x ay may posibilidad na a, kung para sa alinmang numero ε › 0 mayroong numerong δ › 0 na ganoon | y – A | ‹ ε kung |x - a| ‹ δ,

o lim y = A

Pagpapatuloy ng pag-andar.

Ang function na y=f(x) ay tuloy-tuloy sa puntong x = a kung lim f(x) = f(a), i.e.

ang limitasyon ng isang function sa isang punto x = a ay katumbas ng halaga ng function sa isang naibigay na punto.

Paghahanap ng mga limitasyon ng mga function.

Mga pangunahing teorema sa mga limitasyon ng mga pag-andar.

1. Ang limitasyon ng isang pare-parehong halaga ay katumbas ng pare-parehong halaga na ito:

2. Ang limitasyon ng isang algebraic sum ay katumbas ng algebraic sum ng mga limitasyon ng mga function na ito:

lim (f + g - h) = lim f + lim g - lim h

3. Ang limitasyon ng produkto ng ilang mga function ay katumbas ng produkto ng mga limitasyon ng mga function na ito:

lim (f * g* h) = lim f * lim g * lim h

4. Ang limitasyon ng quotient ng dalawang function ay katumbas ng quotient ng mga limitasyon ng mga function na ito kung ang limitasyon ng denominator ay hindi katumbas ng 0:

lim------- = ----------

Ang unang kapansin-pansing limitasyon: lim --------- = 1

Pangalawang kapansin-pansing limitasyon: lim (1 + 1/x) x = e (e = 2, 718281..)

Mga halimbawa ng paghahanap ng mga limitasyon ng mga function.

5.1. Halimbawa:

Ang anumang limitasyon ay binubuo ng tatlong bahagi:

1) Ang kilalang icon ng limitasyon.

2) Mga entry sa ilalim ng icon ng limitasyon. Ang entry ay nagbabasa ng "X tends to one." Kadalasan ito ay x, bagama't sa halip na "x" ay maaaring mayroong anumang iba pang variable. Sa lugar ng isa ay maaaring mayroong ganap na anumang numero, pati na rin ang infinity 0 o .

3) Mga function sa ilalim ng limit sign, sa kasong ito .

Ang pag-record mismo ganito ang mababasa: "ang limitasyon ng isang function habang ang x ay may kaugaliang pagkakaisa."

Isang napakahalagang tanong - ano ang ibig sabihin ng expression na "x"? nagsusumikap sa isa"? Ang ekspresyong "x" nagsusumikap sa isa" ay dapat na maunawaan bilang mga sumusunod: "x" ay patuloy na tumatagal sa mga halaga na lumalapit sa pagkakaisa na walang katapusan na malapit at halos kasabay nito.

Paano malutas ang halimbawa sa itaas? Batay sa itaas, kailangan mo lamang na palitan ang isa sa function sa ilalim ng limit sign:

Kaya ang unang tuntunin : Kapag binigyan ng limitasyon, isaksak mo muna ang numero sa function.

5.2. Halimbawa na may infinity:

Alamin natin kung ano ito? Ito ang kaso kapag tumataas ito nang walang limitasyon.

Kaya: kung , pagkatapos ay ang function may posibilidad na minus infinity:

Ayon sa aming unang panuntunan, sa halip na "X" ay pinapalitan namin ang function infinity at makukuha natin ang sagot.

5.3. Isa pang halimbawa na may infinity:

Muli ay nagsisimula kaming tumaas hanggang sa kawalang-hanggan, at tingnan ang pag-uugali ng pag-andar.
Konklusyon: ang pag-andar ay tumataas nang walang limitasyon

5.4. Isang serye ng mga halimbawa:

Subukang suriin sa isip ang mga sumusunod na halimbawa at lutasin ang pinakasimpleng uri ng mga limitasyon:

, , , , , , , , ,

Ano ang kailangan mong tandaan at maunawaan mula sa itaas?

Kapag binigyan ng anumang limitasyon, isaksak muna ang numero sa function. Kasabay nito, dapat mong maunawaan at agad na malutas ang pinakasimpleng mga limitasyon, tulad ng , , atbp.

6. Mga limitasyon na may hindi tiyak na uri at isang paraan para sa paglutas ng mga ito.

Ngayon ay isasaalang-alang natin ang pangkat ng mga limitasyon kapag , at ang function ay isang fraction na ang numerator at denominator ay naglalaman ng mga polynomial.

6.1. Halimbawa:

Kalkulahin ang limitasyon

Ayon sa aming panuntunan, sinusubukan naming palitan ang infinity sa function. Ano ang makukuha natin sa tuktok? Infinity. At ano ang nangyayari sa ibaba? Pati infinity. Kaya, mayroon tayong tinatawag na species uncertainty. Maaaring isipin ng isa na = 1, at handa na ang sagot, ngunit sa pangkalahatang kaso hindi ito ang lahat ng kaso, at kailangan mong mag-aplay ng ilang diskarte sa solusyon, na isasaalang-alang natin ngayon.

Paano malutas ang mga limitasyon ng ganitong uri?

Una, tingnan natin ang numerator at hanapin ang pinakamataas na kapangyarihan:

Ang nangungunang kapangyarihan sa numerator ay dalawa.

Ngayon ay tinitingnan natin ang denominator at hinahanap din ito sa pinakamataas na kapangyarihan:

Ang pinakamataas na antas ng denominator ay dalawa.

Pagkatapos ay pipiliin natin ang pinakamataas na kapangyarihan ng numerator at denominator: sa halimbawang ito, pareho sila at katumbas ng dalawa.

Kaya, ang paraan ng solusyon ay ang mga sumusunod: upang ipakita ang kawalan ng katiyakan kailangan mong hatiin ang numerator at denominator sa sa senior degree.

Kaya, ang sagot ay hindi 1.

Halimbawa

Hanapin ang limitasyon

Muli sa numerator at denominator ay makikita natin sa pinakamataas na antas:

Pinakamataas na degree sa numerator: 3

Pinakamataas na degree sa denominator: 4

Pumili pinakadakila halaga, sa kasong ito apat.
Ayon sa aming algorithm, upang ipakita ang kawalan ng katiyakan, hinahati namin ang numerator at denominator sa pamamagitan ng .

Halimbawa

Hanapin ang limitasyon

Pinakamataas na antas ng "X" sa numerator: 2

Pinakamataas na antas ng "X" sa denominator: 1 (maaaring isulat bilang)
Upang ipakita ang kawalan ng katiyakan, kinakailangang hatiin ang numerator at denominator sa . Ang huling solusyon ay maaaring magmukhang ganito:

Hatiin ang numerator at denominator sa pamamagitan ng

Para sa mga gustong malaman kung paano maghanap ng mga limitasyon, sa artikulong ito sasabihin namin sa iyo ang tungkol dito. Hindi natin susuriin ang teorya; karaniwang ibinibigay ito ng mga guro sa mga lektura. Kaya ang "boring theory" ay dapat na isulat sa iyong mga notebook. Kung hindi ito ang kaso, maaari mong basahin ang mga aklat-aralin na kinuha mula sa library ng institusyong pang-edukasyon o mula sa iba pang mga mapagkukunan sa Internet.

Kaya, ang konsepto ng limitasyon ay lubos na mahalaga sa pag-aaral ng mas mataas na matematika, lalo na kapag nakatagpo ka ng integral calculus at naiintindihan ang koneksyon sa pagitan ng limit at integral. Ang kasalukuyang materyal ay titingnan ang mga simpleng halimbawa, pati na rin ang mga paraan upang malutas ang mga ito.

Mga halimbawa ng solusyon

Ano ang gagawin sa kawalan ng katiyakan ng form: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

Itulak natin ang limitasyon sa huling dalawang halimbawa sa infinity at isaalang-alang ang kawalan ng katiyakan: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

Algorithm para sa pagkalkula ng mga limitasyon

Kaya, maikling buod natin ang mga halimbawa at lumikha ng isang algorithm para sa paglutas ng mga limitasyon:

1. Palitan ang point x sa expression na sumusunod sa limit sign. Kung ang isang tiyak na numero o infinity ay nakuha, pagkatapos ang limitasyon ay ganap na malulutas. Kung hindi, mayroon kaming kawalan ng katiyakan: "zero na hinati ng zero" o "infinity na hinati ng infinity" at magpatuloy sa mga susunod na hakbang ng mga tagubilin.
2. Upang maalis ang kawalan ng katiyakan ng "zero na hinati ng zero," kailangan mong i-factor ang numerator at denominator. Bawasan ang mga katulad. Palitan ang point x sa expression sa ilalim ng limit sign.
3. Kung ang kawalan ng katiyakan ay "infinity na hinati ng infinity," pagkatapos ay ilalabas natin ang numerator at ang denominator x sa pinakamataas na antas. Pinaikli namin ang mga X. Pinapalitan namin ang mga halaga ng x mula sa ilalim ng limitasyon sa natitirang expression.

Sa artikulong ito, natutunan mo ang mga pangunahing kaalaman sa paglutas ng mga limitasyon, na kadalasang ginagamit sa kursong Calculus. Siyempre, hindi ito lahat ng mga uri ng problema na inaalok ng mga tagasuri, ngunit ang pinakasimpleng mga limitasyon lamang. Pag-uusapan natin ang iba pang uri ng mga takdang-aralin sa mga artikulo sa hinaharap, ngunit kailangan mo munang matutunan ang araling ito upang sumulong. Talakayin natin kung ano ang gagawin kung may mga ugat, degree, pag-aralan ang infinitesimal equivalent function, kapansin-pansing limitasyon, L'Hopital's rule.

Kung hindi mo maisip ang mga limitasyon sa iyong sarili, huwag mag-panic. Kami ay palaging masaya na tumulong!

Function y = f (x) ay isang batas (panuntunan) ayon sa kung saan ang bawat elemento x ng set X ay nauugnay sa isa at isa lamang elemento y ng set Y.

Elemento x ∈ X tinawag argumento ng function o malayang baryabol.
Elemento y ∈ Y tinawag halaga ng function o dependent variable.

Ang set X ay tinatawag domain ng function.
Set ng mga elemento y ∈ Y, na may mga preimage sa set X, ay tinatawag lugar o hanay ng mga halaga ng function.

Ang aktwal na function ay tinatawag limitado mula sa itaas (mula sa ibaba), kung mayroong numerong M na ang hindi pagkakapantay-pantay ay nananatili para sa lahat:
.
Tinatawag ang function ng numero limitado, kung mayroong isang numerong M para sa lahat:
.

Nangungunang gilid o eksaktong upper bound Ang isang tunay na function ay tinatawag na pinakamaliit na numero na naglilimita sa hanay ng mga halaga nito mula sa itaas. Iyon ay, ito ay isang numero s kung saan, para sa lahat at para sa alinman, mayroong isang argumento na ang halaga ng paggana ay lumampas sa s′: .
Ang itaas na hangganan ng isang function ay maaaring tukuyin bilang mga sumusunod:
.

Kanya-kanya babang dulo o eksaktong mas mababang limitasyon Ang isang tunay na function ay tinatawag na pinakamalaking numero na naglilimita sa hanay ng mga halaga nito mula sa ibaba. Ibig sabihin, ito ay isang numero i kung saan, para sa lahat at para sa alinman, mayroong isang argumento na ang halaga ng function ay mas mababa sa i′: .
Ang infimum ng isang function ay maaaring tukuyin bilang mga sumusunod:
.

Pagtukoy sa limitasyon ng isang function

Pagpapasiya ng limitasyon ng isang function ayon sa Cauchy

May hangganang limitasyon ng paggana sa mga dulong punto

Hayaang tukuyin ang function sa ilang kapitbahayan ng end point, kasama ang posibleng pagbubukod sa mismong punto. sa isang punto, kung para sa alinman ay mayroong ganoong bagay, depende sa , na para sa lahat ng x kung saan , ang hindi pagkakapantay-pantay ay nagtataglay
.
Ang limitasyon ng isang function ay tinutukoy bilang mga sumusunod:
.
O sa .

Gamit ang mga lohikal na simbolo ng pagkakaroon at pagiging pangkalahatan, ang kahulugan ng limitasyon ng isang function ay maaaring isulat bilang mga sumusunod:
.

One-sided na mga limitasyon.
Kaliwang limitasyon sa isang punto (kaliwang panig na limitasyon):
.
Kanang limitasyon sa isang punto (limit sa kanang kamay):
.
Ang kaliwa at kanang mga limitasyon ay madalas na tinutukoy bilang mga sumusunod:
; .

May hangganan na mga limitasyon ng isang function sa mga punto sa infinity

Ang mga limitasyon sa mga punto sa infinity ay tinutukoy sa katulad na paraan.
.
.
.
Sila ay madalas na tinutukoy bilang:
; ; .

Gamit ang konsepto ng neighborhood ng isang punto

Kung ipinakilala natin ang konsepto ng isang nabutas na kapitbahayan ng isang punto, maaari tayong magbigay ng pinag-isang kahulugan ng may hangganan na limitasyon ng isang function sa may hangganan at walang katapusan na malalayong mga punto:
.
Dito para sa mga endpoint
; ;
.
Ang anumang kapitbahayan ng mga punto sa infinity ay nabutas:
; ; .

Walang-hanggan na Mga Limitasyon sa Pag-andar

Kahulugan
Hayaang tukuyin ang function sa ilang nabutas na kapitbahayan ng isang punto (finite o infinity). Limitasyon ng tungkulin f (x) bilang x → x 0 katumbas ng infinity, kung para sa anumang arbitraryong malaking bilang na M > 0 , mayroong isang numero δ M > 0 , depende sa M, na para sa lahat ng x na kabilang sa nabutas na δ M - kapitbahayan ng punto: , ang sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay ay mayroong:
.
Ang walang katapusang limitasyon ay tinutukoy bilang mga sumusunod:
.
O sa .

Gamit ang mga lohikal na simbolo ng pag-iral at pagiging pangkalahatan, ang kahulugan ng walang katapusang limitasyon ng isang function ay maaaring isulat tulad ng sumusunod:
.

Maaari mo ring ipakilala ang mga kahulugan ng walang katapusang limitasyon ng ilang partikular na palatandaan na katumbas ng at :
.
.

Pangkalahatang kahulugan ng limitasyon ng isang function

Gamit ang konsepto ng isang kapitbahayan ng isang punto, maaari tayong magbigay ng pangkalahatang kahulugan ng may hangganan at walang katapusan na limitasyon ng isang function, na naaangkop sa parehong may hangganan (two-sided at one-sided) at walang katapusan na malayong mga punto:
.

Pagpapasiya ng limitasyon ng isang function ayon kay Heine

Hayaang tukuyin ang function sa ilang set X:.
Ang numero a ay tinatawag na limitasyon ng function sa punto:
,
kung para sa anumang sequence na nagtatagpo sa x 0 :
,
na ang mga elemento ay kabilang sa set X: ,
.

Isulat natin ang kahulugang ito gamit ang mga lohikal na simbolo ng pagkakaroon at pagiging pangkalahatan:
.

Kung kukunin natin ang kaliwang panig na kapitbahayan ng puntong x bilang isang set X 0 , pagkatapos ay makuha namin ang kahulugan ng kaliwang limitasyon. Kung ito ay kanang kamay, pagkatapos ay makukuha natin ang kahulugan ng tamang limitasyon. Kung gagawin natin ang kapitbahayan ng isang punto sa infinity bilang isang set X, makukuha natin ang kahulugan ng limitasyon ng isang function sa infinity.

Teorama
Ang mga kahulugan ng Cauchy at Heine ng limitasyon ng isang function ay katumbas.
Patunay

Mga katangian at teorema ng limitasyon ng isang function

Dagdag pa, ipinapalagay namin na ang mga function na isinasaalang-alang ay tinukoy sa kaukulang kapitbahayan ng punto, na isang may hangganan na numero o isa sa mga simbolo: . Maaari rin itong maging one-sided limit point, ibig sabihin, may form o . Ang kapitbahayan ay may dalawang panig para sa isang dalawang panig na limitasyon at isang panig para sa isang panig na limitasyon.

Mga pangunahing katangian

Kung ang mga halaga ng function f (x) baguhin (o gawing hindi natukoy) ang isang may hangganang bilang ng mga puntos x 1, x 2, x 3, ... x n, kung gayon ang pagbabagong ito ay hindi makakaapekto sa pagkakaroon at halaga ng limitasyon ng function sa isang arbitrary point x 0 .

Kung mayroong isang may hangganang limitasyon, pagkatapos ay mayroong isang butas na kapitbahayan ng puntong x 0 , kung saan ang function f (x) limitado:
.

Hayaang ang function ay nasa point x 0 may hangganan na hindi zero na limitasyon:
.
Pagkatapos, para sa anumang bilang na c mula sa pagitan , mayroong isang butas na kapitbahayan ng puntong x 0 , para saan ,
, Kung ;
, Kung .

Kung, sa ilang nabutas na kapitbahayan ng punto, , ay isang pare-pareho, kung gayon .

Kung may mga limitasyon at at sa ilang nabutas na kapitbahayan ng puntong x 0
,
Yung .

Kung , at sa ilang kapitbahayan ng punto
,
Yung .
Sa partikular, kung sa ilang kapitbahayan ng isang punto
,
pagkatapos kung , pagkatapos at ;
kung , pagkatapos at .

Kung sa ilang nabutas na kapitbahayan ng isang punto x 0 :
,
at may mga may hangganan (o walang katapusan ng isang tiyak na tanda) pantay na mga limitasyon:
, Iyon
.

Ang mga patunay ng mga pangunahing katangian ay ibinigay sa pahina
"Mga pangunahing katangian ng mga limitasyon ng isang function."

Arithmetic properties ng limitasyon ng isang function

Hayaan ang mga function at tukuyin sa ilang mga butas na kapitbahayan ng punto. At magkaroon ng mga limitasyon:
At .
At hayaang ang C ay isang pare-pareho, iyon ay, isang ibinigay na numero. Pagkatapos
;
;
;
, Kung .

Kung, kung gayon.

Ang mga patunay ng arithmetic properties ay ibinigay sa pahina
"Arithmetic properties ng mga limitasyon ng isang function".

Cauchy criterion para sa pagkakaroon ng limitasyon ng isang function

Teorama
Para sa isang function na tinukoy sa ilang nabutas na kapitbahayan ng isang may hangganan o sa infinity point x 0 , ay may hangganan sa puntong ito, ito ay kinakailangan at sapat na para sa anumang ε > 0 nagkaroon ng isang butas na kapitbahayan ng puntong x 0 , na para sa anumang mga punto at mula sa kapitbahayan na ito, ang mga sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay ay mayroong:
.

Limitasyon ng isang kumplikadong function

Theorem sa limitasyon ng isang kumplikadong function
Hayaang magkaroon ng limitasyon ang function at imapa ang isang nabutas na kapitbahayan ng isang punto sa isang nabutas na kapitbahayan ng isang punto. Hayaang tukuyin ang function sa kapitbahayan na ito at magkaroon ng limitasyon dito.
Narito ang pangwakas o walang katapusan na malayong mga punto: . Ang mga kapitbahayan at ang mga kaukulang limitasyon ng mga ito ay maaaring maging dalawang panig o isang panig.
Pagkatapos ay mayroong limitasyon ng isang kumplikadong function at ito ay katumbas ng:
.

Ang limit theorem ng isang kumplikadong function ay inilalapat kapag ang function ay hindi tinukoy sa isang punto o may isang halaga na naiiba mula sa limitasyon. Upang mailapat ang theorem na ito, dapat mayroong isang butas na kapitbahayan ng punto kung saan ang hanay ng mga halaga ng function ay hindi naglalaman ng punto:
.

Kung tuloy-tuloy ang function sa point , maaaring ilapat ang limit sign sa argument ng tuluy-tuloy na function:
.
Ang sumusunod ay isang teorama na naaayon sa kasong ito.

Theorem sa limitasyon ng isang tuluy-tuloy na function ng isang function
Hayaang magkaroon ng limitasyon ng function g (t) bilang t → t 0 , at ito ay katumbas ng x 0 :
.
Narito ang punto t 0 maaaring may hangganan o walang katapusan ang layo: .
At hayaan ang function f (x) ay tuloy-tuloy sa punto x 0 .
Pagkatapos ay mayroong limitasyon ng kumplikadong function f (g(t)), at ito ay katumbas ng f (x0):
.

Ang mga patunay ng theorems ay ibinigay sa pahina
"Limit at pagpapatuloy ng isang kumplikadong function".

Infinitesimal at walang katapusang malalaking function

Infinitesimal function

Kahulugan
Ang isang function ay sinasabing infinitesimal kung
.

Kabuuan, pagkakaiba at produkto ng isang may hangganang bilang ng mga infinitesimal function sa ay isang infinitesimal function sa .

Produkto ng isang function bounded sa ilang butas na kapitbahayan ng punto , sa isang infinitesimal sa ay isang infinitesimal function sa .

Upang ang isang function ay magkaroon ng isang may hangganang limitasyon, ito ay kinakailangan at sapat na iyon
,
kung saan ay isang infinitesimal function sa .

"Properties ng infinitesimal functions".

Walang katapusang malalaking pag-andar

Kahulugan
Ang isang function ay sinasabing walang hanggan malaki kung
.

Ang kabuuan o pagkakaiba ng isang bounded function, sa ilang nabutas na kapitbahayan ng point , at isang walang katapusang malaking function sa ay isang walang katapusang malaking function sa .

Kung ang function ay walang hanggan malaki para sa , at ang function ay nakatali sa ilang butas na kapitbahayan ng punto, kung gayon
.

Kung ang function , sa ilang butas na kapitbahayan ng punto , ay nakakatugon sa hindi pagkakapantay-pantay:
,
at ang function ay infinitesimal sa:
, at (sa ilang nabutas na kapitbahayan ng punto), pagkatapos
.

Ang mga patunay ng mga ari-arian ay ipinakita sa seksyon
"Mga katangian ng walang katapusang malalaking pag-andar".

Relasyon sa pagitan ng walang katapusan na malaki at infinitesimal na mga function

Mula sa dalawang nakaraang pag-aari ay sumusunod sa koneksyon sa pagitan ng walang hanggan na malaki at infinitesimal na mga function.

Kung ang isang function ay walang katapusan na malaki sa , kung gayon ang function ay infinitesimal sa .

Kung ang isang function ay infinitesimal para sa , at , kung gayon ang function ay walang katapusan na malaki para sa .

Ang relasyon sa pagitan ng isang infinitesimal at isang walang katapusang malaking function ay maaaring ipahayag sa simbolikong paraan:
, .

Kung ang isang infinitesimal function ay may isang tiyak na sign sa , ibig sabihin, ito ay positibo (o negatibo) sa ilang butas na kapitbahayan ng punto , kung gayon ang katotohanang ito ay maaaring ipahayag bilang mga sumusunod:
.
Sa parehong paraan, kung ang isang walang katapusang malaking function ay may isang tiyak na sign sa , pagkatapos ay isusulat nila:
.

Pagkatapos ang simbolikong koneksyon sa pagitan ng walang hanggan maliit at walang hanggan na malalaking pag-andar ay maaaring dagdagan ng mga sumusunod na relasyon:
, ,
, .

Ang mga karagdagang formula na nauugnay sa mga simbolo ng infinity ay matatagpuan sa pahina
"Mga puntos sa infinity at ang kanilang mga pag-aari."

Mga limitasyon ng monotonic function

Kahulugan
Ang isang function na tinukoy sa ilang hanay ng mga tunay na numero X ay tinatawag mahigpit na tumataas, kung para sa lahat na mayroong sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay:
.
Alinsunod dito, para sa mahigpit na bumababa gumagana ang sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay:
.
Para sa hindi bumababa:
.
Para sa hindi tumataas:
.

Kasunod nito na ang isang mahigpit na pagtaas ng function ay hindi rin bumababa. Ang isang mahigpit na pagpapababa ng function ay hindi rin tumataas.

Tinatawag ang function monotonous, kung ito ay hindi bumababa o hindi tumataas.

Teorama
Hayaang hindi bumaba ang function sa pagitan kung saan .
Kung ito ay bounded sa itaas ng bilang M: at pagkatapos ay mayroong isang may hangganan limitasyon. Kung hindi limitado mula sa itaas, kung gayon .
Kung ito ay nililimitahan mula sa ibaba ng bilang na m: kung gayon ay may hangganang limitasyon. Kung hindi limitado mula sa ibaba, kung gayon .

Kung ang mga punto a at b ay nasa infinity, kung gayon sa mga expression ang mga palatandaan ng limitasyon ay nangangahulugan na .
Ang teorama na ito ay maaaring mabalangkas nang mas compact.

Hayaang hindi bumaba ang function sa pagitan kung saan . Pagkatapos ay mayroong isang panig na mga limitasyon sa mga punto a at b:
;
.

Isang katulad na theorem para sa isang hindi tumataas na function.

Hayaang hindi tumaas ang function sa pagitan kung saan . Pagkatapos ay mayroong isang panig na mga limitasyon:
;
.

Ang patunay ng theorem ay ipinakita sa pahina
"Mga limitasyon ng monotonic function".

Mga sanggunian:
L.D. Kudryavtsev. Kurso ng pagsusuri sa matematika. Tomo 1. Moscow, 2003.
CM. Nikolsky. Kurso ng pagsusuri sa matematika. Tomo 1. Moscow, 1983.

Mga konsepto ng mga limitasyon ng mga pagkakasunud-sunod at pag-andar. Kapag kinakailangan upang mahanap ang limitasyon ng isang pagkakasunod-sunod, ito ay nakasulat bilang mga sumusunod: lim xn=a. Sa ganoong pagkakasunod-sunod ng mga sequence, ang xn ay may gawi sa a at n ay may gawi sa infinity. Ang sequence ay karaniwang kinakatawan bilang isang serye, halimbawa:
x1, x2, x3...,xm,...,xn... .
Ang mga pagkakasunud-sunod ay nahahati sa pagtaas at pagbaba. Halimbawa:
xn=n^2 - pagtaas ng pagkakasunod-sunod
yn=1/n - pagkakasunud-sunod
Kaya, halimbawa, ang limitasyon ng sequence xn=1/n^ :
lim 1/n^2=0

x→∞
Ang limitasyong ito ay katumbas ng zero, dahil ang n→∞, at ang sequence na 1/n^2 ay nagiging zero.

Karaniwan, ang isang variable na dami x ay may posibilidad sa isang may hangganang limitasyon a, at ang x ay patuloy na lumalapit sa a, at ang dami a ay pare-pareho. Ito ay nakasulat bilang mga sumusunod: limx =a, habang ang n ay maaari ding maging zero o infinity. May mga walang katapusang function, kung saan ang limitasyon ay may posibilidad na infinity. Sa ibang mga kaso, kapag, halimbawa, ang pag-andar ay nagpapabagal sa isang tren, posible ang tungkol sa limitasyon na may posibilidad na maging zero.
Ang mga limitasyon ay may ilang mga katangian. Karaniwan, ang anumang function ay may isang limitasyon lamang. Ito ang pangunahing pag-aari ng limitasyon. Ang iba ay nakalista sa ibaba:
* Ang limitasyon ng halaga ay katumbas ng kabuuan ng mga limitasyon:
lim(x+y)=lim x+lim y
* Ang limitasyon ng produkto ay katumbas ng produkto ng mga limitasyon:
lim(xy)=lim x*lim y
* Ang limitasyon ng quotient ay katumbas ng quotient ng mga limitasyon:
lim(x/y)=lim x/lim y
* Ang pare-parehong kadahilanan ay kinukuha sa labas ng limit sign:
lim(Cx)=C lim x
Dahil sa isang function na 1 /x kung saan ang x →∞, ang limitasyon nito ay zero. Kung x→0, ang limitasyon ng naturang function ay ∞.
Para sa trigonometriko function mayroong ilan sa mga panuntunang ito. Dahil ang function na sin x ay palaging may posibilidad na magkaisa kapag ito ay lumalapit sa zero, ang pagkakakilanlan ay humahawak para dito:
lim sin x/x=1

Sa isang bilang ng mga function mayroong mga function, kapag kinakalkula ang mga limitasyon kung saan ang kawalan ng katiyakan ay lumitaw - isang sitwasyon kung saan ang limitasyon ay hindi maaaring kalkulahin. Ang tanging paraan sa sitwasyong ito ay ang L'Hopital. Mayroong dalawang uri ng kawalan ng katiyakan:
* kawalan ng katiyakan ng form 0/0
* kawalan ng katiyakan ng form ∞/∞
Halimbawa, ibinibigay ang limitasyon ng sumusunod na anyo: lim f(x)/l(x), at f(x0)=l(x0)=0. Sa kasong ito, lumitaw ang isang kawalan ng katiyakan ng form 0/0. Upang malutas ang naturang problema, ang parehong mga pag-andar ay naiiba, pagkatapos ay natagpuan ang limitasyon ng resulta. Para sa mga kawalan ng katiyakan ng uri 0/0, ang limitasyon ay:
lim f(x)/l(x)=lim f"(x)/l"(x) (sa x→0)
Ang parehong panuntunan ay totoo rin para sa mga kawalan ng katiyakan ng uri ng ∞/∞. Ngunit sa kasong ito ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ay totoo: f(x)=l(x)=∞
Gamit ang panuntunan ng L'Hopital, mahahanap mo ang mga halaga ng anumang mga limitasyon kung saan lumilitaw ang mga kawalan ng katiyakan. Isang paunang kinakailangan para sa

dami - walang mga error kapag naghahanap ng mga derivatives. Kaya, halimbawa, ang derivative ng function (x^2)" ay katumbas ng 2x. Mula dito maaari nating tapusin na:
f"(x)=nx^(n-1)

Ang teorya ng mga limitasyon ay isa sa mga sangay ng mathematical analysis. Ang tanong ng paglutas ng mga limitasyon ay medyo malawak, dahil mayroong dose-dosenang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga limitasyon ng iba't ibang uri. Mayroong dose-dosenang mga nuances at trick na nagbibigay-daan sa iyo upang malutas ito o ang limitasyong iyon. Gayunpaman, susubukan pa rin naming maunawaan ang mga pangunahing uri ng mga limitasyon na madalas na nakatagpo sa pagsasanay.

Magsimula tayo sa mismong konsepto ng limitasyon. Ngunit una, isang maikling makasaysayang background. Nabuhay noong ika-19 na siglo ang isang Pranses, si Augustin Louis Cauchy, na naglatag ng mga pundasyon ng mathematical analysis at nagbigay ng mahigpit na mga kahulugan, ang kahulugan ng isang limitasyon, sa partikular. Dapat sabihin na ang parehong Cauchy ay, ay, at magiging sa mga bangungot ng lahat ng mga mag-aaral ng pisika at matematika, dahil pinatunayan niya ang isang malaking bilang ng mga theorems ng mathematical analysis, at ang bawat theorem ay mas kasuklam-suklam kaysa sa iba. Kaugnay nito, hindi namin isasaalang-alang ang isang mahigpit na kahulugan ng limitasyon, ngunit susubukan naming gawin ang dalawang bagay:

1. Unawain kung ano ang limitasyon.
2. Matutong lutasin ang mga pangunahing uri ng mga limitasyon.

Humihingi ako ng paumanhin para sa ilang mga hindi siyentipikong paliwanag, mahalaga na ang materyal ay naiintindihan kahit sa isang tsarera, na, sa katunayan, ay ang gawain ng proyekto.

Kaya ano ang limitasyon?

At isang halimbawa lang kung bakit magshaggy lola....

Ang anumang limitasyon ay binubuo ng tatlong bahagi:

1) Ang kilalang icon ng limitasyon.
2) Mga entry sa ilalim ng icon ng limitasyon, sa kasong ito . Ang entry ay nagbabasa ng "X tends to one." Kadalasan - eksakto, bagaman sa halip na "X" sa pagsasanay mayroong iba pang mga variable. Sa mga praktikal na gawain, ang lugar ng isa ay maaaring maging ganap na anumang numero, pati na rin ang infinity ().
3) Mga function sa ilalim ng limit sign, sa kasong ito .

Ang pag-record mismo ganito ang mababasa: "ang limitasyon ng isang function habang ang x ay may kaugaliang pagkakaisa."

Tingnan natin ang susunod na mahalagang tanong - ano ang ibig sabihin ng expression na "x"? nagsusumikap sa isa"? At ano ang ibig sabihin ng "pagsusumikap"?
Ang konsepto ng limitasyon ay isang konsepto, kumbaga, pabago-bago. Bumuo tayo ng isang pagkakasunud-sunod: una , pagkatapos , , …, , ….
Ibig sabihin, ang ekspresyong “x nagsusumikap sa isa" ay dapat na maunawaan bilang mga sumusunod: "x" ay patuloy na tumatagal sa mga halaga na lumalapit sa pagkakaisa na walang katapusan na malapit at halos kasabay nito.

Paano malutas ang halimbawa sa itaas? Batay sa itaas, kailangan mo lamang na palitan ang isa sa function sa ilalim ng limit sign:

Kaya, ang unang panuntunan: Kapag binigyan ng anumang limitasyon, susubukan lang muna naming isaksak ang numero sa function.

Isinaalang-alang namin ang pinakasimpleng limitasyon, ngunit nangyayari rin ang mga ito sa pagsasanay, at hindi gaanong bihira!

Halimbawa na may infinity:

Alamin natin kung ano ito? Ito ang kaso kapag tumataas ito nang walang limitasyon, iyon ay: una, pagkatapos, pagkatapos, pagkatapos, at iba pa ad infinitum.

Ano ang mangyayari sa function sa oras na ito?
, , , …

Kaya: kung , kung gayon ang function ay may posibilidad na minus infinity:

Sa halos pagsasalita, ayon sa aming unang panuntunan, sa halip na "X" ay pinapalitan namin ang infinity sa function at makuha ang sagot.

Isa pang halimbawa na may infinity:

Muli tayong magsisimulang tumaas hanggang sa kawalang-hanggan, at tingnan ang pag-uugali ng pag-andar:

Konklusyon: kapag ang pag-andar ay tumaas nang walang limitasyon:

At isa pang serye ng mga halimbawa:

Pakisubukang pag-aralan ang mga sumusunod para sa iyong sarili at tandaan ang pinakasimpleng uri ng mga limitasyon:

, , , , , , , , ,
Kung mayroon kang mga pagdududa kahit saan, maaari kang pumili ng isang calculator at magsanay ng kaunti.
Kung sakaling , subukang buuin ang sequence , , . Kung , kung gayon , , .

Tandaan: sa mahigpit na pagsasalita, ang diskarte na ito sa pagbuo ng mga pagkakasunud-sunod ng ilang mga numero ay hindi tama, ngunit para sa pag-unawa sa pinakasimpleng mga halimbawa ito ay lubos na angkop.

Bigyang-pansin din ang sumusunod na bagay. Kahit na ang isang limitasyon ay ibinigay na may malaking numero sa itaas, o kahit na may isang milyon: , kung gayon ang lahat ay pareho , dahil maaga o huli ang "X" ay magkakaroon ng napakalaking halaga na ang isang milyon kumpara sa kanila ay magiging isang tunay na mikrobyo.

Ano ang kailangan mong tandaan at maunawaan mula sa itaas?

1) Kapag binigyan ng anumang limitasyon, susubukan lang muna nating palitan ang numero sa function.

2) Dapat mong maunawaan at agad na lutasin ang pinakasimpleng mga limitasyon, tulad ng , , atbp.

Ngayon ay isasaalang-alang natin ang pangkat ng mga limitasyon kapag , at ang function ay isang fraction na ang numerator at denominator ay naglalaman ng mga polynomial.

Halimbawa:

Kalkulahin ang limitasyon

Ayon sa aming panuntunan, susubukan naming palitan ang infinity sa function. Ano ang makukuha natin sa tuktok? Infinity. At ano ang nangyayari sa ibaba? Pati infinity. Kaya, mayroon tayong tinatawag na species uncertainty. Maaaring isipin ng isa na , at handa na ang sagot, ngunit sa pangkalahatang kaso hindi ito ang lahat ng kaso, at kinakailangan na mag-aplay ng ilang diskarte sa solusyon, na isasaalang-alang natin ngayon.

Paano malutas ang mga limitasyon ng ganitong uri?

Una, tingnan natin ang numerator at hanapin ang pinakamataas na kapangyarihan:

Ang nangungunang kapangyarihan sa numerator ay dalawa.

Ngayon ay tinitingnan natin ang denominator at hinahanap din ito sa pinakamataas na kapangyarihan:

Ang pinakamataas na antas ng denominator ay dalawa.

Pagkatapos ay pipiliin natin ang pinakamataas na kapangyarihan ng numerator at denominator: sa halimbawang ito, pareho sila at katumbas ng dalawa.

Kaya, ang paraan ng solusyon ay ang mga sumusunod: upang maihayag ang kawalan ng katiyakan, kinakailangan na hatiin ang numerator at denominator sa pinakamataas na kapangyarihan.

Narito ito, ang sagot, at hindi infinity sa lahat.

Ano ang pangunahing mahalaga sa disenyo ng isang desisyon?

Una, ipinapahiwatig namin ang kawalan ng katiyakan, kung mayroon man.

Pangalawa, ipinapayong matakpan ang solusyon para sa mga intermediate na paliwanag. Karaniwan kong ginagamit ang tanda, wala itong anumang kahulugan sa matematika, ngunit nangangahulugan na ang solusyon ay nagambala para sa isang intermediate na paliwanag.

Pangatlo, sa limitasyon ay ipinapayong markahan kung ano ang pupunta kung saan. Kapag ang gawain ay iginuhit sa pamamagitan ng kamay, mas maginhawang gawin ito sa ganitong paraan:

Mas mainam na gumamit ng simpleng lapis para sa mga tala.

Siyempre, hindi mo kailangang gawin ang alinman sa mga ito, ngunit pagkatapos, marahil, ituturo ng guro ang mga pagkukulang sa solusyon o magsimulang magtanong ng mga karagdagang katanungan tungkol sa takdang-aralin. Kailangan mo ba ito?

Halimbawa 2

Hanapin ang limitasyon
Muli sa numerator at denominator ay makikita natin sa pinakamataas na antas:

Pinakamataas na degree sa numerator: 3
Pinakamataas na degree sa denominator: 4
Pumili pinakadakila halaga, sa kasong ito apat.
Ayon sa aming algorithm, upang ipakita ang kawalan ng katiyakan, hinahati namin ang numerator at denominator sa pamamagitan ng .
Maaaring ganito ang hitsura ng kumpletong takdang-aralin:

Hatiin ang numerator at denominator sa pamamagitan ng

Halimbawa 3

Hanapin ang limitasyon
Pinakamataas na antas ng "X" sa numerator: 2
Pinakamataas na antas ng "X" sa denominator: 1 (maaaring isulat bilang)
Upang ipakita ang kawalan ng katiyakan, kinakailangang hatiin ang numerator at denominator sa . Ang huling solusyon ay maaaring magmukhang ganito:

Hatiin ang numerator at denominator sa pamamagitan ng

Ang notasyon ay hindi nangangahulugang paghahati sa zero (hindi mo maaaring hatiin sa zero), ngunit paghahati sa isang infinitesimal na numero.

Kaya, sa pamamagitan ng pagtuklas ng kawalan ng katiyakan ng mga species, maaari nating magawa huling numero, zero o infinity.

Mga limitasyon na may kawalan ng katiyakan ng uri at pamamaraan para sa paglutas ng mga ito

Ang susunod na pangkat ng mga limitasyon ay medyo katulad ng mga limitasyon na isinasaalang-alang lamang: ang numerator at denominator ay naglalaman ng mga polynomial, ngunit ang "x" ay hindi na may posibilidad na infinity, ngunit sa may hangganang bilang.

Halimbawa 4

Lutasin ang limitasyon
Una, subukan nating palitan ang -1 sa fraction:

Sa kasong ito, ang tinatawag na kawalan ng katiyakan ay nakuha.

Pangkalahatang tuntunin: kung ang numerator at denominator ay naglalaman ng mga polynomial, at walang katiyakan ang form , pagkatapos ay ibunyag ito kailangan mong i-factor ang numerator at denominator.

Upang gawin ito, kadalasan kailangan mong lutasin ang isang quadratic equation at/o gumamit ng mga pinaikling formula ng multiplikasyon. Kung ang mga bagay na ito ay nakalimutan, pagkatapos ay bisitahin ang pahina Mga formula at talahanayan ng matematika at basahin ang materyal sa pagtuturo Mainit na mga formula para sa kursong matematika sa paaralan. Sa pamamagitan ng paraan, pinakamahusay na i-print ito, kinakailangan ito nang madalas, at mas mahusay na hinihigop ang impormasyon mula sa papel.

Kaya, lutasin natin ang ating limitasyon

I-factor ang numerator at denominator

Upang mai-factor ang numerator, kailangan mong lutasin ang quadratic equation:

Una ay nakita natin ang discriminant:

At ang parisukat na ugat nito: .

Kung malaki ang discriminant, halimbawa 361, gumagamit kami ng calculator; ang function ng pag-extract ng square root ay nasa pinakasimpleng calculator.

! Kung ang ugat ay hindi nakuha sa kabuuan nito (isang fractional na numero na may kuwit ang nakuha), malamang na mali ang pagkalkula ng discriminant o nagkaroon ng typo sa gawain.

Susunod na hinahanap namin ang mga ugat:

kaya:

Lahat. Ang numerator ay factorized.

Denominator. Ang denominator ay ang pinakasimpleng kadahilanan, at walang paraan upang pasimplehin ito.

Malinaw, maaari itong paikliin sa:

Ngayon ay pinapalitan namin ang -1 sa expression na nananatili sa ilalim ng limit sign:

Naturally, sa isang pagsubok, pagsubok, o pagsusulit, ang solusyon ay hindi kailanman inilalarawan sa ganoong detalye. Sa huling bersyon, ang disenyo ay dapat magmukhang ganito:

I-factorize natin ang numerator.

Halimbawa 5

Kalkulahin ang limitasyon

Una, ang "tapusin" na bersyon ng solusyon

I-factor natin ang numerator at denominator.

Numerator:
Denominator:



,

Ano ang mahalaga sa halimbawang ito?
Una, kailangan mong magkaroon ng isang mahusay na pag-unawa sa kung paano ipinahayag ang numerator, una ay kinuha namin ang 2 mula sa mga bracket, at pagkatapos ay ginamit ang formula para sa pagkakaiba ng mga parisukat. Ito ang formula na kailangan mong malaman at makita.