Mga panuntunan para sa derivative ng isang kumplikadong function. Mga kumplikadong derivative

Derivation ng formula para sa derivative ng isang power function (x sa kapangyarihan ng a). Ang mga derivatives mula sa mga ugat ng x ay isinasaalang-alang. Formula para sa derivative ng mas mataas na order na power function. Mga halimbawa ng pagkalkula ng mga derivatives.

Tingnan din: Power function at mga ugat, formula at graph
Mga Graph ng Power Function

Mga pangunahing formula

Ang derivative ng x sa kapangyarihan ng a ay katumbas ng isang beses x sa kapangyarihan ng isang minus one:
(1) .

Ang derivative ng nth root ng x sa mth power ay:
(2) .

Derivation ng formula para sa derivative ng isang power function

Case x > 0

Isaalang-alang ang isang power function ng variable x na may exponent a:
(3) .
Narito ang isang arbitrary na tunay na numero. Isaalang-alang muna natin ang kaso.

Upang mahanap ang derivative ng function (3), ginagamit namin ang mga katangian ng isang power function at ibahin ito sa sumusunod na anyo:
.

Ngayon nakita namin ang derivative gamit ang:
;
.
Dito .

Ang formula (1) ay napatunayan na.

Derivation ng formula para sa derivative ng isang ugat ng degree n ng x hanggang sa degree ng m

Ngayon isaalang-alang ang isang function na ang ugat ng sumusunod na form:
(4) .

Upang mahanap ang derivative, binabago namin ang ugat sa isang power function:
.
Ang paghahambing sa formula (3) ay nakikita natin iyon
.
Pagkatapos
.

Gamit ang formula (1) nakita natin ang derivative:
(1) ;
;
(2) .

Sa pagsasagawa, hindi na kailangang isaulo ang formula (2). Ito ay mas maginhawa upang unang baguhin ang mga ugat sa mga function ng kapangyarihan, at pagkatapos ay hanapin ang kanilang mga derivatives gamit ang formula (1) (tingnan ang mga halimbawa sa dulo ng pahina).

Kaso x = 0

Kung , kung gayon ang power function ay tinukoy para sa halaga ng variable x = 0 . Hanapin natin ang derivative ng function (3) sa x = 0 . Upang gawin ito, ginagamit namin ang kahulugan ng isang derivative:
.

Palitan natin ang x = 0 :
.
Sa kasong ito, ang ibig sabihin ng derivative ay ang kanang-kamay na limitasyon kung saan .

Kaya natagpuan namin:
.
Mula dito ay malinaw na para sa , .
Sa , .
Sa , .
Ang resultang ito ay nakuha rin mula sa formula (1):
(1) .
Samakatuwid, ang formula (1) ay wasto din para sa x = 0 .

Kaso x< 0

Isaalang-alang muli ang function (3):
(3) .
Para sa ilang mga halaga ng pare-pareho ang a, ito ay tinukoy din para sa mga negatibong halaga ng variable na x. Ibig sabihin, hayaan ang isang maging isang makatwirang numero. Pagkatapos ay maaari itong katawanin bilang isang hindi mababawasang bahagi:
,
kung saan ang m at n ay mga integer na walang karaniwang divisor.

Kung ang n ay kakaiba, kung gayon ang power function ay tinukoy din para sa mga negatibong halaga ng variable na x. Halimbawa, kapag n = 3 at m = 1 mayroon kaming cube root ng x:
.
Tinukoy din ito para sa mga negatibong halaga ng variable na x.

Hanapin natin ang derivative ng power function (3) para sa at para sa mga makatwirang halaga ng pare-parehong a kung saan ito ay tinukoy. Upang gawin ito, katawanin natin ang x sa sumusunod na anyo:
.
tapos ,
.
Nahanap namin ang derivative sa pamamagitan ng paglalagay ng constant sa labas ng sign ng derivative at paglalapat ng panuntunan para sa pagkakaiba ng isang kumplikadong function:

.
Dito . Pero
.
Simula noon
.
Pagkatapos
.
Ibig sabihin, ang formula (1) ay may bisa din para sa:
(1) .

Higher order derivatives

Ngayon, hanapin natin ang mas mataas na pagkakasunud-sunod ng mga derivatives ng power function
(3) .
Natagpuan na namin ang unang order derivative:
.

Ang pagkuha ng pare-parehong a sa labas ng sign ng derivative, makikita natin ang second-order derivative:
.
Katulad nito, nakakahanap kami ng mga derivatives ng ikatlo at ikaapat na order:
;

.

Mula dito ay malinaw na derivative ng arbitrary nth order ay may sumusunod na anyo:
.

pansinin mo yan kung ang a ay isang natural na numero, kung gayon ang nth derivative ay pare-pareho:
.
Pagkatapos ang lahat ng kasunod na derivatives ay katumbas ng zero:
,
sa .

Mga halimbawa ng pagkalkula ng mga derivatives

Halimbawa

Hanapin ang derivative ng function:
.

I-convert natin ang mga ugat sa kapangyarihan:
;
.
Pagkatapos ang orihinal na pag-andar ay tumatagal ng form:
.

Paghahanap ng mga derivatives ng mga kapangyarihan:
;
.
Ang derivative ng pare-pareho ay zero:
.

Kung saan sinuri namin ang pinakasimpleng mga derivatives, at naging pamilyar din sa mga patakaran ng pagkita ng kaibhan at ilang mga teknikal na pamamaraan para sa paghahanap ng mga derivatives. Kaya, kung hindi ka masyadong mahusay sa mga derivatives ng mga function o ilang mga punto sa artikulong ito ay hindi lubos na malinaw, pagkatapos ay basahin muna ang aralin sa itaas. Mangyaring makakuha ng isang seryosong kalagayan - ang materyal ay hindi simple, ngunit susubukan ko pa ring ipakita ito nang simple at malinaw.

Sa pagsasagawa, kailangan mong harapin ang derivative ng isang kumplikadong function nang napakadalas, sasabihin ko pa nga, halos palagi, kapag binigyan ka ng mga gawain upang makahanap ng mga derivatives.

Tinitingnan namin ang talahanayan sa panuntunan (No. 5) para sa pagkakaiba ng isang kumplikadong function:

Alamin natin ito. Una sa lahat, bigyang pansin natin ang entry. Narito mayroon kaming dalawang function - at , at ang function, sa matalinghagang pagsasalita, ay naka-nest sa loob ng function . Ang isang function ng ganitong uri (kapag ang isang function ay nested sa loob ng isa pa) ay tinatawag na isang kumplikadong function.

Tatawagin ko ang function panlabas na pag-andar, at ang function – panloob (o nested) function.

! Ang mga kahulugang ito ay hindi teoretikal at hindi dapat lumabas sa panghuling disenyo ng mga takdang-aralin. Gumagamit ako ng mga impormal na expression na "panlabas na pag-andar", "panloob" na pag-andar para lang gawing mas madali para sa iyo na maunawaan ang materyal.

Upang linawin ang sitwasyon, isaalang-alang:

Halimbawa 1

Hanapin ang derivative ng isang function

Sa ilalim ng sine mayroon kaming hindi lamang titik na "X", ngunit isang buong expression, kaya ang paghahanap ng derivative kaagad mula sa talahanayan ay hindi gagana. Napansin din namin na imposibleng ilapat ang unang apat na panuntunan dito, tila may pagkakaiba, ngunit ang katotohanan ay ang sine ay hindi maaaring "punit sa piraso":

Sa halimbawang ito, malinaw na malinaw mula sa aking mga paliwanag na ang isang function ay isang kumplikadong function, at ang polynomial ay isang panloob na function (pag-embed), at isang panlabas na function.

Unang hakbang ang kailangan mong gawin kapag naghahanap ng derivative ng isang kumplikadong function ay ang maunawaan kung aling function ang panloob at kung alin ang panlabas.

Sa kaso ng mga simpleng halimbawa, tila malinaw na ang isang polynomial ay naka-embed sa ilalim ng sine. Pero paano kung hindi halata ang lahat? Paano tumpak na matukoy kung aling pag-andar ang panlabas at alin ang panloob? Upang gawin ito, iminumungkahi ko ang paggamit ng sumusunod na pamamaraan, na maaaring gawin sa pag-iisip o sa isang draft.

Isipin natin na kailangan nating kalkulahin ang halaga ng expression sa sa isang calculator (sa halip na isa ay maaaring mayroong anumang numero).

Ano ang una nating kalkulahin? Una sa lahat kakailanganin mong gawin ang sumusunod na aksyon: , samakatuwid ang polynomial ay magiging isang panloob na function:

Pangalawa ay kailangang matagpuan, kaya ang sine - ay magiging isang panlabas na function:

Pagkatapos nating UBOS NA na may panloob at panlabas na mga pag-andar, oras na upang ilapat ang panuntunan ng pagkita ng kaibahan ng mga kumplikadong pag-andar .

Simulan na natin ang pagpapasya. Mula sa aralin Paano mahahanap ang derivative? naaalala namin na ang disenyo ng isang solusyon sa anumang derivative ay palaging nagsisimula tulad nito - isinasama namin ang expression sa mga bracket at naglalagay ng isang stroke sa kanang tuktok:

Sa simula nakita natin ang derivative ng external function (sine), tingnan ang table ng derivatives ng elementary functions at mapansin na . Ang lahat ng mga formula ng talahanayan ay naaangkop din kung ang "x" ay papalitan ng isang kumplikadong expression, sa kasong ito:

Mangyaring tandaan na ang panloob na function ay hindi nagbago, hindi namin ito ginagalaw.

Well, medyo obvious naman yun

Ang resulta ng paglalapat ng formula sa huling anyo nito ay ganito ang hitsura:

Ang pare-parehong kadahilanan ay karaniwang inilalagay sa simula ng expression:

Kung mayroong anumang hindi pagkakaunawaan, isulat ang solusyon sa papel at basahin muli ang mga paliwanag.

Halimbawa 2

Hanapin ang derivative ng isang function

Halimbawa 3

Hanapin ang derivative ng isang function

Gaya ng nakasanayan, isinusulat namin:

Alamin natin kung saan tayo may panlabas na function at kung saan tayo may panloob. Upang gawin ito, sinusubukan namin (sa isip o sa isang draft) na kalkulahin ang halaga ng expression sa . Ano ang dapat mong gawin muna? Una sa lahat, kailangan mong kalkulahin kung ano ang katumbas ng base: samakatuwid, ang polynomial ay ang panloob na function:

At pagkatapos lamang ay ginanap ang exponentiation, samakatuwid, ang power function ay isang panlabas na function:

Ayon sa formula , kailangan mo munang hanapin ang derivative ng panlabas na function, sa kasong ito, ang degree. Hinahanap namin ang kinakailangang formula sa talahanayan: . Ulitin namin muli: anumang tabular formula ay may bisa hindi lamang para sa "X", ngunit para din sa isang kumplikadong expression. Kaya, ang resulta ng paglalapat ng panuntunan para sa pagkakaiba ng isang kumplikadong function susunod:

Muli kong binibigyang-diin na kapag kinuha natin ang derivative ng panlabas na pag-andar, ang ating panloob na pag-andar ay hindi nagbabago:

Ngayon ang natitira na lang ay maghanap ng napakasimpleng derivative ng internal function at i-tweak ang resulta ng kaunti:

Halimbawa 4

Hanapin ang derivative ng isang function

Ito ay isang halimbawa para malutas mo nang mag-isa (sagutin sa katapusan ng aralin).

Upang pagsamahin ang iyong pag-unawa sa derivative ng isang kumplikadong function, magbibigay ako ng isang halimbawa nang walang mga komento, subukang malaman ito sa iyong sarili, dahilan kung saan ang panlabas at kung saan ang panloob na pag-andar, bakit ang mga gawain ay nalutas sa ganitong paraan?

Halimbawa 5

a) Hanapin ang derivative ng function

b) Hanapin ang derivative ng function

Halimbawa 6

Hanapin ang derivative ng isang function

Dito mayroon tayong ugat, at upang maiba ang ugat, dapat itong ilarawan bilang isang kapangyarihan. Kaya, dinadala muna namin ang function sa form na naaangkop para sa pagkita ng kaibhan:

Kapag pinag-aaralan ang function, nakarating tayo sa konklusyon na ang kabuuan ng tatlong termino ay isang panloob na function, at ang pagtaas sa isang kapangyarihan ay isang panlabas na function. Inilalapat namin ang panuntunan ng pagkita ng kaibahan ng mga kumplikadong pag-andar :

Muli naming kinakatawan ang antas bilang isang radikal (ugat), at para sa hinango ng panloob na pag-andar ay inilalapat namin ang isang simpleng panuntunan para sa pagkakaiba-iba ng kabuuan:

handa na. Maaari mo ring bawasan ang expression sa isang common denominator sa mga bracket at isulat ang lahat bilang isang fraction. Maganda ito, siyempre, ngunit kapag nakakuha ka ng masalimuot na mahabang derivatives, mas mahusay na huwag gawin ito (madaling malito, gumawa ng hindi kinakailangang pagkakamali, at magiging abala para sa guro na suriin).

Halimbawa 7

Hanapin ang derivative ng isang function

Ito ay isang halimbawa para malutas mo nang mag-isa (sagutin sa katapusan ng aralin).

Ito ay kagiliw-giliw na tandaan na kung minsan sa halip na ang panuntunan para sa pagkakaiba-iba ng isang kumplikadong function, maaari mong gamitin ang panuntunan para sa pagkakaiba-iba ng isang kusyente , ngunit ang ganitong solusyon ay magmumukhang hindi pangkaraniwang perwisyo. Narito ang isang tipikal na halimbawa:

Halimbawa 8

Hanapin ang derivative ng isang function

Dito maaari mong gamitin ang panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng quotient , ngunit ito ay higit na kumikita upang mahanap ang derivative sa pamamagitan ng panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng isang kumplikadong function:

Inihahanda namin ang function para sa pagkita ng kaibhan - inililipat namin ang minus mula sa derivative sign, at itinaas ang cosine sa numerator:

Ang cosine ay isang panloob na pag-andar, ang exponentiation ay isang panlabas na pag-andar.
Gamitin natin ang ating panuntunan :

Hinahanap namin ang derivative ng internal function at i-reset ang cosine pabalik pababa:

handa na. Sa halimbawang isinasaalang-alang, mahalagang huwag malito sa mga palatandaan. Sa pamamagitan ng paraan, subukang lutasin ito gamit ang panuntunan , dapat magkatugma ang mga sagot.

Halimbawa 9

Hanapin ang derivative ng isang function

Ito ay isang halimbawa para malutas mo nang mag-isa (sagutin sa katapusan ng aralin).

Sa ngayon ay tiningnan namin ang mga kaso kung saan mayroon lamang kaming isang pugad sa isang kumplikadong function. Sa mga praktikal na gawain, madalas kang makakahanap ng mga derivatives, kung saan, tulad ng mga nesting doll, isa sa loob ng isa, 3 o kahit 4-5 na function ay nakapugad nang sabay-sabay.

Halimbawa 10

Hanapin ang derivative ng isang function

Unawain natin ang mga attachment ng function na ito. Subukan nating kalkulahin ang expression gamit ang pang-eksperimentong halaga. Paano tayo mabibilang sa isang calculator?

Una kailangan mong hanapin ang , na nangangahulugang ang arcsine ay ang pinakamalalim na pag-embed:

Ang arcsine na ito ng isa ay dapat na kuwadrado:

At sa wakas, itinaas namin ang pito sa isang kapangyarihan:

Ibig sabihin, sa halimbawang ito mayroon tayong tatlong magkakaibang function at dalawang embeddings, habang ang pinakaloob na function ay ang arcsine, at ang pinakalabas na function ay ang exponential function.

Simulan na natin ang pagpapasya

Ayon sa tuntunin Una kailangan mong kunin ang derivative ng panlabas na function. Tinitingnan namin ang talahanayan ng mga derivatives at hinahanap ang derivative ng exponential function: Ang pagkakaiba lamang ay sa halip na "x" mayroon kaming isang kumplikadong expression, na hindi binabalewala ang bisa ng formula na ito. Kaya, ang resulta ng paglalapat ng panuntunan para sa pagkakaiba-iba ng isang kumplikadong function susunod.

Kung susundin mo ang kahulugan, kung gayon ang derivative ng isang function sa isang punto ay ang limitasyon ng ratio ng pagtaas ng function na Δ y sa argumentong pagtaas Δ x:

Tila malinaw na ang lahat. Ngunit subukang gamitin ang formula na ito upang kalkulahin, sabihin, ang derivative ng function f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x kasalanan x. Kung gagawin mo ang lahat sa pamamagitan ng kahulugan, pagkatapos pagkatapos ng ilang mga pahina ng mga kalkulasyon ay matutulog ka lang. Samakatuwid, may mga mas simple at mas epektibong paraan.

Upang magsimula sa, tandaan namin na mula sa buong iba't ibang mga pag-andar maaari naming makilala ang tinatawag na elementarya na mga pag-andar. Ang mga ito ay medyo simpleng mga expression, ang mga derivatives na kung saan ay matagal nang kinakalkula at na-tabulate. Ang ganitong mga function ay medyo madaling matandaan - kasama ang kanilang mga derivatives.

Mga derivatives ng elementary functions

Ang mga elementary function ay ang lahat ng nakalista sa ibaba. Ang mga derivatives ng mga function na ito ay dapat na kilala sa puso. Bukod dito, hindi mahirap kabisaduhin ang mga ito - kaya't sila ay elementarya.

Kaya, ang mga derivatives ng elementarya na pag-andar:

Kung ang isang elementary function ay pinarami ng isang arbitrary na pare-pareho, kung gayon ang derivative ng bagong function ay madaling kalkulahin:

(C · f)’ = C · f ’.

Sa pangkalahatan, ang mga constant ay maaaring alisin sa tanda ng derivative. Halimbawa:

(2x 3)’ = 2 · ( x 3)’ = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Malinaw, ang mga elementary function ay maaaring idagdag sa bawat isa, multiply, hinati - at marami pang iba. Ito ay kung paano lilitaw ang mga bagong function, hindi na partikular na elementarya, ngunit naiiba din ayon sa ilang mga patakaran. Ang mga patakarang ito ay tinalakay sa ibaba.

Derivative ng kabuuan at pagkakaiba

Hayaang ibigay ang mga function f(x) At g(x), ang mga derivatives nito ay alam natin. Halimbawa, maaari mong kunin ang mga elementary function na tinalakay sa itaas. Pagkatapos ay mahahanap mo ang derivative ng kabuuan at pagkakaiba ng mga function na ito:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Kaya, ang derivative ng kabuuan (difference) ng dalawang function ay katumbas ng sum (difference) ng mga derivatives. Baka marami pang terms. Halimbawa, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Sa mahigpit na pagsasalita, walang konsepto ng "pagbabawas" sa algebra. Mayroong isang konsepto ng "negatibong elemento". Samakatuwid ang pagkakaiba f − g maaaring isulat muli bilang kabuuan f+ (−1) g, at pagkatapos ay isang formula na lang ang natitira - ang derivative ng kabuuan.

f(x) = x 2 + kasalanan x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Function f(x) ay ang kabuuan ng dalawang elementarya na pag-andar, samakatuwid:

f ’(x) = (x 2 + kasalanan x)’ = (x 2)’ + (kasalanan x)’ = 2x+ cos x;

Pareho kaming nangangatuwiran para sa pag-andar g(x). Tanging mayroon nang tatlong termino (mula sa punto ng view ng algebra):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Sagot:
f ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Derivative ng produkto

Ang matematika ay isang lohikal na agham, kaya maraming tao ang naniniwala na kung ang derivative ng isang sum ay katumbas ng sum ng derivatives, kung gayon ang derivative ng produkto strike">katumbas ng produkto ng mga derivatives. Ngunit sirain mo! Ang derivative ng isang produkto ay kinakalkula gamit ang isang ganap na naiibang formula. Namely:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Ang formula ay simple, ngunit ito ay madalas na nakalimutan. At hindi lamang mga mag-aaral, kundi pati na rin ang mga mag-aaral. Ang resulta ay hindi wastong nalutas ang mga problema.

Gawain. Maghanap ng mga derivatives ng mga function: f(x) = x 3 cos x; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Function f(x) ay ang produkto ng dalawang elementarya na pag-andar, kaya ang lahat ay simple:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3) dahil x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (− kasalanan x) = x 2 (3cos x − x kasalanan x)

Function g(x) ang unang multiplier ay medyo mas kumplikado, ngunit ang pangkalahatang pamamaraan ay hindi nagbabago. Malinaw, ang unang kadahilanan ng pag-andar g(x) ay isang polynomial at ang derivative nito ay ang derivative ng sum. Meron kami:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)’ · e x + (x 2 + 7x− 7) · ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Sagot:
f ’(x) = x 2 (3cos x − x kasalanan x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Pakitandaan na sa huling hakbang ang derivative ay factorized. Pormal, hindi ito kailangang gawin, ngunit karamihan sa mga derivatives ay hindi kinakalkula sa kanilang sarili, ngunit upang suriin ang function. Nangangahulugan ito na ang karagdagang derivative ay itutumbas sa zero, ang mga palatandaan nito ay matutukoy, at iba pa. Para sa ganoong kaso, mas mainam na magkaroon ng expression na factorized.

Kung may dalawang function f(x) At g(x), at g(x) ≠ 0 sa set na interesado kami, maaari naming tukuyin ang isang bagong function h(x) = f(x)/g(x). Para sa naturang function maaari mo ring mahanap ang derivative:

Hindi mahina, ha? Saan nagmula ang minus? Bakit g 2? At ganito! Ito ay isa sa mga pinaka-kumplikadong formula - hindi mo maiisip ito nang walang bote. Samakatuwid, mas mahusay na pag-aralan ito na may mga tiyak na halimbawa.

Gawain. Maghanap ng mga derivatives ng mga function:

Ang numerator at denominator ng bawat fraction ay naglalaman ng mga elementary function, kaya ang kailangan lang natin ay ang formula para sa derivative ng quotient:

Ayon sa tradisyon, i-factorize natin ang numerator - ito ay lubos na magpapasimple sa sagot:

Ang isang kumplikadong function ay hindi nangangahulugang isang kalahating kilometrong haba na formula. Halimbawa, ito ay sapat na upang kunin ang function f(x) = kasalanan x at palitan ang variable x, sabihin, sa x 2 + ln x. Ito ay gagana f(x) = kasalanan ( x 2 + ln x) - ito ay isang kumplikadong function. Mayroon din itong derivative, ngunit hindi ito posibleng mahanap gamit ang mga panuntunang tinalakay sa itaas.

Anong gagawin ko? Sa ganitong mga kaso, ang pagpapalit ng variable at formula para sa derivative ng isang kumplikadong function ay nakakatulong:

f ’(x) = f ’(t) · t', Kung x ay pinalitan ng t(x).

Bilang isang tuntunin, ang sitwasyon na may pag-unawa sa formula na ito ay mas malungkot kaysa sa derivative ng quotient. Samakatuwid, mas mainam din na ipaliwanag ito gamit ang mga partikular na halimbawa, na may detalyadong paglalarawan ng bawat hakbang.

Gawain. Maghanap ng mga derivatives ng mga function: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = kasalanan ( x 2 + ln x)

Tandaan na kung sa function f(x) sa halip na expression 2 x+ 3 ay magiging madali x, pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang elementarya function f(x) = e x. Samakatuwid, gumawa kami ng kapalit: hayaan 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Hinahanap namin ang derivative ng isang kumplikadong function gamit ang formula:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

At ngayon - pansin! Ginagawa namin ang reverse replacement: t = 2x+ 3. Nakukuha namin ang:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Ngayon tingnan natin ang function g(x). Malinaw na kailangan itong palitan x 2 + ln x = t. Meron kami:

g ’(x) = g ’(t) · t’ = (kasalanan t)’ · t' = kasi t · t ’

Baliktad na kapalit: t = x 2 + ln x. Pagkatapos:

g ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x)’ = cos ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).

Iyon lang! Tulad ng makikita mula sa huling expression, ang buong problema ay nabawasan sa pagkalkula ng derivative sum.

Sagot:
f ’(x) = 2 · e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) dahil ( x 2 + ln x).

Kadalasan sa aking mga aralin, sa halip na ang terminong "derivative," ginagamit ko ang salitang "prime." Halimbawa, ang stroke ng kabuuan ay katumbas ng kabuuan ng mga stroke. Mas malinaw ba iyon? Well, mabuti iyon.

Kaya, ang pagkalkula ng derivative ay bumababa sa pag-alis ng parehong mga stroke ayon sa mga patakarang tinalakay sa itaas. Bilang huling halimbawa, bumalik tayo sa derivative power na may rational exponent:

(x n)’ = n · x n − 1

Iilan lang ang nakakaalam niyan sa role n maaaring isang fractional number. Halimbawa, ang ugat ay x 0.5. Paano kung may magarbong bagay sa ilalim ng ugat? Muli, ang resulta ay magiging isang kumplikadong pag-andar - gusto nilang magbigay ng gayong mga konstruksyon sa mga pagsusulit at pagsusulit.

Gawain. Hanapin ang derivative ng function:

Una, muling isulat natin ang ugat bilang isang kapangyarihan na may makatwirang exponent:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Ngayon gumawa kami ng kapalit: hayaan x 2 + 8x − 7 = t. Nahanap namin ang derivative gamit ang formula:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0.5)’ · t’ = 0.5 · t−0.5 · t ’.

Gawin natin ang reverse replacement: t = x 2 + 8x− 7. Mayroon kaming:

f ’(x) = 0.5 · ( x 2 + 8x− 7) −0.5 · ( x 2 + 8x− 7)’ = 0.5 · (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Sa wakas, bumalik sa mga ugat:

Ang mga halimbawa ay ibinigay ng pagkalkula ng mga derivative gamit ang formula para sa derivative ng isang kumplikadong function.

Tingnan din: Patunay ng formula para sa derivative ng isang kumplikadong function

Mga pangunahing formula

Dito nagbibigay kami ng mga halimbawa ng pagkalkula ng mga derivatives ng mga sumusunod na function:
; ; ; ; .

Kung ang isang function ay maaaring katawanin bilang isang kumplikadong function sa sumusunod na anyo:
,
pagkatapos ang derivative nito ay tinutukoy ng formula:
.
Sa mga halimbawa sa ibaba, isusulat namin ang formula na ito tulad ng sumusunod:
.
saan .
Dito, ang mga subscript o , na matatagpuan sa ilalim ng derivative sign, ay tumutukoy sa mga variable kung saan isinasagawa ang pagkakaiba.

Karaniwan, sa mga talahanayan ng mga derivatives, ang mga derivatives ng mga function mula sa variable na x ay ibinibigay. Gayunpaman, ang x ay isang pormal na parameter. Ang variable na x ay maaaring mapalitan ng anumang iba pang variable. Samakatuwid, kapag iniiba ang isang function mula sa isang variable, binabago lang namin, sa talahanayan ng mga derivatives, ang variable na x sa variable na u.

Mga simpleng halimbawa

Halimbawa 1

Hanapin ang derivative ng isang kumplikadong function
.

Isulat natin ang ibinigay na function sa katumbas na anyo:
.
Sa talahanayan ng mga derivatives makikita natin:
;
.

Ayon sa formula para sa derivative ng isang kumplikadong function, mayroon kaming:
.
Dito .

Halimbawa 2

Hanapin ang derivative
.

Kinukuha namin ang pare-parehong 5 mula sa derivative sign at mula sa talahanayan ng mga derivatives nakita namin:
.

.
Dito .

Halimbawa 3

Hanapin ang derivative
.

Kumuha kami ng isang pare-pareho -1 para sa tanda ng derivative at mula sa talahanayan ng mga derivatives makikita natin:
;
Mula sa talahanayan ng mga derivatives makikita natin:
.

Inilapat namin ang formula para sa derivative ng isang kumplikadong function:
.
Dito .

Mas kumplikadong mga halimbawa

Sa mas kumplikadong mga halimbawa, inilalapat namin ang panuntunan para sa pagkakaiba-iba ng isang kumplikadong function nang maraming beses. Sa kasong ito, kinakalkula namin ang derivative mula sa dulo. Iyon ay, hinahati namin ang function sa mga bahaging bahagi nito at hanapin ang mga derivatives ng pinakasimpleng bahagi na ginagamit talahanayan ng mga derivatives. Ginagamit din namin mga panuntunan para sa pagkakaiba-iba ng mga kabuuan, mga produkto at fraction. Pagkatapos ay gumawa kami ng mga pamalit at inilapat ang formula para sa derivative ng isang kumplikadong function.

Halimbawa 4

Hanapin ang derivative
.

Piliin natin ang pinakasimpleng bahagi ng formula at hanapin ang derivative nito. .

.
Dito ginamit namin ang notasyon
.

Nahanap namin ang derivative ng susunod na bahagi ng orihinal na function gamit ang mga resulta na nakuha. Inilapat namin ang panuntunan para sa pagkakaiba-iba ng kabuuan:
.

Muli naming inilalapat ang panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng mga kumplikadong pag-andar.

.
Dito .

Halimbawa 5

Hanapin ang derivative ng function
.

Piliin natin ang pinakasimpleng bahagi ng formula at hanapin ang derivative nito mula sa talahanayan ng mga derivatives. .

Inilalapat namin ang panuntunan ng pagkita ng kaibahan ng mga kumplikadong pag-andar.
.
Dito
.

Ibahin natin ang susunod na bahagi gamit ang mga resultang nakuha.
.
Dito
.

Ibahin natin ang susunod na bahagi.

.
Dito
.

Ngayon nakita namin ang derivative ng nais na function.

.
Dito
.

Pagkatapos ng paunang paghahanda ng artilerya, ang mga halimbawa na may 3-4-5 na mga pugad ng mga function ay hindi gaanong nakakatakot. Ang sumusunod na dalawang halimbawa ay maaaring mukhang kumplikado sa ilan, ngunit kung naiintindihan mo ang mga ito (may magdurusa), kung gayon halos lahat ng iba pa sa differential calculus ay magmumukhang biro ng isang bata.

Halimbawa 2

Hanapin ang derivative ng isang function

Tulad ng nabanggit na, kapag naghahanap ng derivative ng isang kumplikadong function, una sa lahat, ito ay kinakailangan Tama UNAWAIN ang iyong mga pamumuhunan. Sa mga kaso kung saan may mga pagdududa, ipinaaalala ko sa iyo ang isang kapaki-pakinabang na pamamaraan: kinukuha namin ang pang-eksperimentong halaga ng "x", halimbawa, at subukan (sa isip o sa isang draft) na palitan ang halagang ito sa "kakila-kilabot na expression".

1) Una kailangan nating kalkulahin ang expression, na nangangahulugang ang kabuuan ay ang pinakamalalim na pag-embed.

2) Pagkatapos ay kailangan mong kalkulahin ang logarithm:

4) Pagkatapos ay i-cube ang cosine:

5) Sa ikalimang hakbang ang pagkakaiba:

6) At sa wakas, ang pinakalabas na function ay ang square root:

Formula para sa pagkakaiba ng isang kumplikadong function ay inilapat sa reverse order, mula sa pinakalabas na function hanggang sa pinakaloob. Nagpasya kami:

Tila walang mga pagkakamali:

1) Kunin ang derivative ng square root.

2) Kunin ang derivative ng pagkakaiba gamit ang panuntunan

3) Ang derivative ng isang triple ay zero. Sa pangalawang termino ay kinukuha namin ang derivative ng degree (cube).

4) Kunin ang derivative ng cosine.

6) At sa wakas, kinukuha namin ang derivative ng pinakamalalim na pag-embed.

Maaaring mukhang napakahirap, ngunit hindi ito ang pinaka-brutal na halimbawa. Kunin, halimbawa, ang koleksyon ni Kuznetsov at mapapahalagahan mo ang lahat ng kagandahan at pagiging simple ng nasuri na hinalaw. Napansin ko na gusto nilang magbigay ng katulad na bagay sa isang pagsusulit upang suriin kung naiintindihan ng isang mag-aaral kung paano hanapin ang derivative ng isang kumplikadong function o hindi naiintindihan.

Ang sumusunod na halimbawa ay para sa iyo upang malutas sa iyong sarili.

Halimbawa 3

Hanapin ang derivative ng isang function

Hint: Inilapat muna namin ang mga panuntunan sa linearity at ang panuntunan sa pagkakaiba-iba ng produkto

Buong solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.

Panahon na upang lumipat sa isang bagay na mas maliit at mas maganda.
Ito ay hindi pangkaraniwan para sa isang halimbawa upang ipakita ang produkto ng hindi dalawa, ngunit tatlong mga function. Paano mahahanap ang derivative ng produkto ng tatlong mga kadahilanan?

Halimbawa 4

Hanapin ang derivative ng isang function

Una nating tingnan, posible bang gawing produkto ng dalawang function ang produkto ng tatlong function? Halimbawa, kung mayroon kaming dalawang polynomial sa produkto, maaari naming buksan ang mga bracket. Ngunit sa halimbawang isinasaalang-alang, ang lahat ng mga pag-andar ay iba: degree, exponent at logarithm.

Sa ganitong mga kaso ito ay kinakailangan sunud-sunod ilapat ang panuntunan sa pagkakaiba-iba ng produkto dalawang beses

Ang lansihin ay na sa pamamagitan ng "y" ay tinutukoy namin ang produkto ng dalawang function: , at sa pamamagitan ng "ve" ay tinutukoy namin ang logarithm: . Bakit ito magagawa? Talaga ba - hindi ito produkto ng dalawang salik at hindi gumagana ang panuntunan?! Walang kumplikado:

Ngayon ay nananatili itong ilapat ang panuntunan sa pangalawang pagkakataon sa bracket:

Maaari ka ring mapilipit at maglagay ng isang bagay mula sa mga bracket, ngunit sa kasong ito, mas mahusay na iwanan ang sagot nang eksakto sa form na ito - mas madaling suriin.

Ang itinuturing na halimbawa ay maaaring malutas sa pangalawang paraan:

Ang parehong mga solusyon ay ganap na katumbas.

Halimbawa 5

Hanapin ang derivative ng isang function

Ito ay isang halimbawa para sa isang independiyenteng solusyon; sa sample ito ay nalutas gamit ang unang paraan.

Tingnan natin ang mga katulad na halimbawa na may mga fraction.

Halimbawa 6

Hanapin ang derivative ng isang function

Mayroong ilang mga paraan na maaari mong puntahan dito:

O tulad nito:

Ngunit ang solusyon ay isusulat nang mas compact kung gagamitin muna natin ang panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng quotient , pagkuha para sa buong numerator:

Sa prinsipyo, ang halimbawa ay nalutas, at kung ito ay naiwan na, hindi ito magiging isang pagkakamali. Ngunit kung mayroon kang oras, palaging ipinapayong tingnan ang isang draft upang makita kung ang sagot ay maaaring pasimplehin?

Bawasan natin ang pagpapahayag ng numerator sa isang karaniwang denominador at alisin ang tatlong palapag na istraktura ng fraction.:

Ang kawalan ng mga karagdagang pagpapasimple ay mayroong panganib na magkamali hindi kapag naghahanap ng hinalaw, ngunit sa panahon ng mga pagbabago sa paaralan. Sa kabilang banda, madalas na tinatanggihan ng mga guro ang takdang-aralin at hinihiling na "iisipan" ang hinalaw.

Isang mas simpleng halimbawa upang malutas nang mag-isa:

Halimbawa 7

Hanapin ang derivative ng isang function

Patuloy naming pinagkadalubhasaan ang mga pamamaraan ng paghahanap ng derivative, at ngayon ay isasaalang-alang namin ang isang tipikal na kaso kapag ang "kakila-kilabot" na logarithm ay iminungkahi para sa pagkita ng kaibhan