Ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya sa isang eroplano. Paano mahahanap ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya? Hanapin ang distansya mula sa punto M hanggang sa isang linya: formula Distansya mula sa isang punto patungo sa isang vector sa isang eroplano

Ang artikulong ito ay nagsasalita tungkol sa paksa « distansya mula sa punto hanggang linya », ang mga kahulugan ng distansya mula sa isang punto patungo sa isang linya ay isinasaalang-alang na may mga nakalarawang halimbawa sa pamamagitan ng paraan ng mga coordinate. Ang bawat bloke ng teorya sa dulo ay nagpakita ng mga halimbawa ng paglutas ng mga katulad na problema.

Ang distansya mula sa isang punto patungo sa isang linya ay matatagpuan sa pamamagitan ng pagtukoy ng distansya mula sa isang punto patungo sa isang punto. Isaalang-alang natin nang mas detalyado.

Hayaang magkaroon ng isang linya a at isang punto M 1 na hindi kabilang sa ibinigay na linya. Gumuhit ng isang linya sa pamamagitan nito na nakabara patayo sa linya a. Kunin ang punto ng intersection ng mga linya bilang H 1. Nakukuha namin na ang M 1 H 1 ay isang patayo, na ibinaba mula sa puntong M 1 hanggang sa linya a.

Kahulugan 1

Distansya mula sa punto M 1 hanggang sa tuwid na linya a tinatawag na distansya sa pagitan ng mga puntos na M 1 at H 1 .

May mga talaan ng kahulugan na may pigura ng haba ng patayo.

Kahulugan 2

Distansya mula sa punto hanggang linya ay ang haba ng patayo na iginuhit mula sa isang ibinigay na punto hanggang sa isang ibinigay na linya.

Ang mga kahulugan ay katumbas. Isaalang-alang ang figure sa ibaba.

Ito ay kilala na ang distansya mula sa isang punto sa isang tuwid na linya ay ang pinakamaliit sa lahat ng posible. Tingnan natin ito sa isang halimbawa.

Kung kukunin natin ang puntong Q na nakahiga sa linya a, hindi tumutugma sa puntong M 1, kung gayon makuha natin na ang segment M 1 Q ay tinatawag na pahilig, na ibinaba mula sa M 1 hanggang sa linya a. Kinakailangang ipahiwatig na ang patayo mula sa puntong M 1 ay mas mababa kaysa sa anumang iba pang pahilig na iginuhit mula sa punto hanggang sa tuwid na linya.

Upang patunayan ito, isaalang-alang ang tatsulok na M 1 Q 1 H 1 , kung saan ang M 1 Q 1 ay ang hypotenuse. Ito ay kilala na ang haba nito ay palaging mas malaki kaysa sa haba ng alinman sa mga binti. Kaya, mayroon tayong M 1 H 1< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Ang paunang data para sa paghahanap mula sa isang punto hanggang sa isang tuwid na linya ay nagbibigay-daan sa paggamit ng ilang mga pamamaraan ng solusyon: sa pamamagitan ng Pythagorean theorem, mga kahulugan ng sine, cosine, tangent ng isang anggulo, at iba pa. Karamihan sa mga gawain ng ganitong uri ay nalutas sa paaralan sa mga aralin sa geometry.

Kapag, kapag hinahanap ang distansya mula sa isang punto patungo sa isang linya, maaari kang magpasok ng isang hugis-parihaba na sistema ng coordinate, pagkatapos ay ginagamit ang paraan ng coordinate. Sa talatang ito, isinasaalang-alang namin ang pangunahing dalawang pamamaraan para sa paghahanap ng nais na distansya mula sa isang naibigay na punto.

Ang unang paraan ay nagsasangkot ng paghahanap ng distansya bilang isang patayo na iginuhit mula sa M 1 hanggang sa linya a. Ang pangalawang paraan ay gumagamit ng normal na equation ng tuwid na linya a upang mahanap ang kinakailangang distansya.

Kung mayroong isang punto sa eroplano na may mga coordinate M 1 (x 1, y 1) na matatagpuan sa isang rectangular coordinate system, isang tuwid na linya a, at kailangan mong hanapin ang distansya M 1 H 1, maaari mong kalkulahin sa dalawang paraan. Isaalang-alang natin sila.

Unang paraan

Kung mayroong mga coordinate ng punto H 1 na katumbas ng x 2, y 2, kung gayon ang distansya mula sa punto hanggang sa linya ay kinakalkula mula sa mga coordinate mula sa formula M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

Ngayon ay magpatuloy tayo sa paghahanap ng mga coordinate ng punto H 1.

Ito ay kilala na ang isang tuwid na linya sa O x y ay tumutugma sa equation ng isang tuwid na linya sa isang eroplano. Gumawa tayo ng paraan upang tukuyin ang isang tuwid na linya a sa pamamagitan ng pagsulat ng isang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya o isang equation na may slope. Binubuo namin ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa punto M 1 patayo sa isang ibinigay na linya a. Tukuyin natin ang linya sa pamamagitan ng beech b . Ang H 1 ay ang punto ng intersection ng mga linya a at b, kaya upang matukoy ang mga coordinate, dapat mong gamitin ang artikulo, na tumatalakay sa mga coordinate ng mga punto ng intersection ng dalawang linya.

Makikita na ang algorithm para sa paghahanap ng distansya mula sa isang naibigay na punto M 1 (x 1, y 1) hanggang sa tuwid na linya a ay isinasagawa ayon sa mga puntos:

Kahulugan 3

paghahanap ng pangkalahatang equation ng tuwid na linya a , pagkakaroon ng anyo A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0, o isang equation na may koepisyent ng slope, na may anyo na y \u003d k 1 x + b 1;
pagkuha ng pangkalahatang equation ng linya b, na may anyo A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0 o isang equation na may slope y \u003d k 2 x + b 2 kung ang linya b ay nag-intersect sa punto M 1 at patayo sa ibinigay na linya a;
pagpapasiya ng mga coordinate x 2, y 2 ng punto H 1, na siyang intersection point ng a at b, para dito, ang sistema ng mga linear na equation ay nalulutas A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 o y = k 1 x + b 1 y = k 2 x + b 2 ;
pagkalkula ng kinakailangang distansya mula sa isang punto patungo sa isang tuwid na linya, gamit ang formula M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

Pangalawang paraan

Ang theorem ay maaaring makatulong sa pagsagot sa tanong ng paghahanap ng distansya mula sa isang naibigay na punto sa isang ibinigay na linya sa isang eroplano.

Teorama

Ang isang rectangular coordinate system ay may O x y na may punto M 1 (x 1, y 1), kung saan ang isang tuwid na linya ay iginuhit a sa eroplano, na ibinigay ng normal na equation ng eroplano, na may anyong cos α x + cos β y - p \u003d 0, katumbas ng modulo ang halaga na nakuha sa kaliwang bahagi ng normal na straight line equation, na kinakalkula sa x = x 1, y = y 1, ay nangangahulugan na M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p.

Patunay

Ang linyang a ay tumutugma sa normal na equation ng eroplano, na may anyong cos α x + cos β y - p = 0, pagkatapos n → = (cos α , cos β) ay itinuturing na isang normal na vector ng linya a sa isang distansya mula sa pinanggalingan hanggang sa linya a na may mga p unit . Kinakailangan na ilarawan ang lahat ng data sa figure, magdagdag ng isang punto na may mga coordinate M 1 (x 1, y 1) , kung saan ang radius vector ng punto M 1 - O M 1 → = (x 1 , y 1) . Ito ay kinakailangan upang gumuhit ng isang tuwid na linya mula sa isang punto patungo sa isang tuwid na linya, na ating tutukuyin ng M 1 H 1 . Kinakailangang ipakita ang mga projection M 2 at H 2 ng mga puntos na M 1 at H 2 sa isang tuwid na linya na dumadaan sa punto O na may nakadirekta na vector ng form n → = (cos α , cos β) , at ang numerical projection ng vector ay ide-denote bilang O M 1 → = (x 1 , y 1) sa direksyon n → = (cos α , cos β) bilang n p n → O M 1 → .

Ang mga pagkakaiba-iba ay depende sa lokasyon ng punto M 1 mismo. Isaalang-alang ang figure sa ibaba.

Inaayos namin ang mga resulta gamit ang formula M 1 H 1 = n p n → O M → 1 - p . Pagkatapos ay dinadala namin ang pagkakapantay-pantay sa form na ito M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p upang makuha ang n p n → O M → 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 .

Ang scalar product ng mga vectors ay nagreresulta sa isang transformed formula ng form n → , O M → 1 = n → n p n → O M 1 → = 1 n p n → O M 1 → = n p n → O M 1 → , na isang produkto sa coordinate form ng anyo n → , O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Kaya naman, nakuha natin na n p n → O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Kasunod nito na M 1 H 1 = n p n → O M 1 → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p . Ang teorama ay napatunayan.

Nakukuha namin na upang mahanap ang distansya mula sa puntong M 1 (x 1, y 1) hanggang sa tuwid na linya a sa eroplano, maraming mga aksyon ang dapat gawin:

Kahulugan 4

pagkuha ng normal na equation ng linyang a cos α · x + cos β · y - p = 0, sa kondisyon na wala ito sa gawain;
pagkalkula ng expression na cos α · x 1 + cos β · y 1 - p , kung saan ang resultang halaga ay tumatagal ng M 1 H 1 .

Ilapat natin ang mga pamamaraang ito upang malutas ang mga problema sa paghahanap ng distansya mula sa isang punto patungo sa isang eroplano.

Halimbawa 1

Hanapin ang distansya mula sa puntong may mga coordinate M 1 (- 1 , 2) hanggang sa linyang 4 x - 3 y + 35 = 0 .

Solusyon

Gamitin natin ang unang paraan upang malutas.

Upang gawin ito, kailangan mong hanapin ang pangkalahatang equation ng linya b, na dumadaan sa isang ibinigay na punto M 1 (- 1 , 2) patayo sa linya 4 x - 3 y + 35 = 0 . Ito ay makikita mula sa kondisyon na ang linya b ay patayo sa linya a, kung gayon ang vector ng direksyon nito ay may mga coordinate na katumbas ng (4, - 3) . Kaya, mayroon kaming pagkakataon na isulat ang canonical equation ng linya b sa eroplano, dahil may mga coordinate ng punto M 1, ay kabilang sa linya b. Tukuyin natin ang mga coordinate ng nagdidirekta na vector ng tuwid na linya b . Nakukuha natin na x - (- 1) 4 = y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 = y - 2-3 . Ang resultang canonical equation ay dapat i-convert sa pangkalahatan. Pagkatapos makuha namin iyon

x + 1 4 = y - 2 - 3 ⇔ - 3 (x + 1) = 4 (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 = 0

Hanapin natin ang mga coordinate ng mga punto ng intersection ng mga linya, na kukunin natin bilang pagtatalaga H 1. Ang mga pagbabago ay ganito ang hitsura:

4 x - 3 y + 35 = 0 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 3 4 y - 35 4 + 4 y - 5 = 0 ⇔ ⇔ x = 3 4 y - 35 4 y = 5 ⇔ x = 3 4 5 - 35 4 y = 5 ⇔ x = - 5 y = 5

Mula sa itaas, mayroon tayong mga coordinate ng puntong H 1 ay (- 5; 5) .

Kinakailangang kalkulahin ang distansya mula sa puntong M 1 hanggang sa tuwid na linya a. Mayroon kaming mga coordinate ng mga puntos na M 1 (- 1, 2) at H 1 (- 5, 5), pagkatapos ay pinapalitan namin sa formula para sa paghahanap ng distansya at nakuha namin iyon

M 1 H 1 \u003d (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 \u003d 25 \u003d 5

Ang pangalawang solusyon.

Upang malutas sa ibang paraan, kinakailangan upang makuha ang normal na equation ng isang tuwid na linya. Kinakalkula namin ang halaga ng normalizing factor at i-multiply ang magkabilang panig ng equation 4 x - 3 y + 35 = 0 . Mula dito nakuha natin na ang normalizing factor ay - 1 4 2 + (- 3) 2 = - 1 5 , at ang normal na equation ay magiging sa anyo - 1 5 4 x - 3 y + 35 = - 1 5 0 ⇔ - 4 5 x + 3 5 y - 7 = 0 .

Ayon sa algorithm ng pagkalkula, kinakailangan upang makuha ang normal na equation ng isang tuwid na linya at kalkulahin ito sa mga halaga x = - 1 , y = 2 . Pagkatapos makuha namin iyon

4 5 - 1 + 3 5 2 - 7 = - 5

Mula dito nakuha natin na ang distansya mula sa puntong M 1 (- 1 , 2) hanggang sa ibinigay na tuwid na linya 4 x - 3 y + 35 = 0 ay may halaga - 5 = 5 .

Sagot: 5 .

Makikita na sa pamamaraang ito ay mahalaga na gamitin ang normal na equation ng isang tuwid na linya, dahil ang pamamaraang ito ay ang pinakamaikling. Ngunit ang unang paraan ay maginhawa dahil ito ay pare-pareho at lohikal, kahit na mayroon itong higit pang mga kalkulasyon.

Halimbawa 2

Sa eroplano mayroong isang hugis-parihaba na coordinate system O x y na may punto M 1 (8, 0) at isang tuwid na linya y = 1 2 x + 1. Hanapin ang distansya mula sa isang naibigay na punto hanggang sa isang tuwid na linya.

Solusyon

Ang solusyon sa unang paraan ay nagpapahiwatig ng pagbawas ng isang ibinigay na equation na may isang slope coefficient sa isang pangkalahatang equation. Upang gawing simple, maaari mong gawin ito sa ibang paraan.

Kung ang produkto ng mga slope ng mga patayong linya ay - 1 , kung gayon ang slope ng linya na patayo sa ibinigay na y = 1 2 x + 1 ay 2 . Ngayon makuha namin ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang punto na may mga coordinate M 1 (8, 0) . Mayroon tayong y - 0 = - 2 (x - 8) ⇔ y = - 2 x + 16 .

Nagpapatuloy kami sa paghahanap ng mga coordinate ng punto H 1, iyon ay, ang mga intersection point y \u003d - 2 x + 16 at y \u003d 1 2 x + 1. Bumubuo kami ng isang sistema ng mga equation at makakuha ng:

y = 1 2 x + 1 y = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 1 2 x + 1 = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 x = 6 ⇔ ⇔ y = 1 2 6 + 1 x \u003d 6 \u003d y \u003d 4 x \u003d 6 ⇒ H 1 (6, 4)

Kasunod nito na ang distansya mula sa puntong may mga coordinate M 1 (8 , 0) hanggang sa linyang y = 1 2 x + 1 ay katumbas ng distansya mula sa simula at dulong punto na may mga coordinate M 1 (8 , 0) at H 1 (6 , 4) . Kalkulahin natin at kunin na M 1 H 1 = 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 = 2 5 .

Ang solusyon sa pangalawang paraan ay ang pagpasa mula sa equation na may koepisyent sa normal nitong anyo. Iyon ay, nakukuha namin ang y \u003d 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 \u003d 0, kung gayon ang halaga ng normalizing factor ay magiging - 1 1 2 2 + (- 1) 2 \u003d - 2 5 . Kasunod nito na ang normal na equation ng isang tuwid na linya ay nasa anyo - 2 5 1 2 x - y + 1 = - 2 5 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 . Kalkulahin natin mula sa puntong M 1 8 , 0 hanggang sa isang tuwid na linya ng anyong - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 . Nakukuha namin:

M 1 H 1 \u003d - 1 5 8 + 2 5 0 - 2 5 \u003d - 10 5 \u003d 2 5

Sagot: 2 5 .

Halimbawa 3

Kinakailangang kalkulahin ang distansya mula sa punto na may mga coordinate M 1 (- 2 , 4) hanggang sa mga tuwid na linya 2 x - 3 = 0 at y + 1 = 0 .

Solusyon

Nakukuha namin ang equation ng normal na anyo ng tuwid na linya 2 x - 3 = 0:

2 x - 3 = 0 ⇔ 1 2 2 x - 3 = 1 2 0 ⇔ x - 3 2 = 0

Pagkatapos ay magpatuloy kami upang kalkulahin ang distansya mula sa puntong M 1 - 2, 4 hanggang sa tuwid na linya x - 3 2 = 0. Nakukuha namin:

M 1 H 1 = - 2 - 3 2 = 3 1 2

Ang straight line equation na y + 1 = 0 ay may normalizing factor na may halaga na -1. Nangangahulugan ito na ang equation ay kukuha ng anyo - y - 1 = 0 . Nagpapatuloy kami upang kalkulahin ang distansya mula sa puntong M 1 (- 2 , 4) hanggang sa tuwid na linya - y - 1 = 0 . Nakukuha namin na ito ay katumbas ng - 4 - 1 = 5.

Sagot: 3 1 2 at 5 .

Isaalang-alang natin nang detalyado ang pagpapasiya ng distansya mula sa isang naibigay na punto ng eroplano hanggang sa mga coordinate axes O x at O y.

Sa isang rectangular coordinate system, ang axis O y ay may equation ng isang tuwid na linya, na hindi kumpleto at may anyo na x \u003d 0, at O x - y \u003d 0. Ang mga equation ay normal para sa mga coordinate axes, pagkatapos ay kinakailangan upang mahanap ang distansya mula sa punto na may mga coordinate M 1 x 1 , y 1 hanggang sa mga tuwid na linya. Ginagawa ito batay sa mga formula M 1 H 1 = x 1 at M 1 H 1 = y 1 . Isaalang-alang ang figure sa ibaba.

Halimbawa 4

Hanapin ang distansya mula sa puntong M 1 (6, - 7) hanggang sa mga linya ng coordinate na matatagpuan sa O x y plane.

Solusyon

Dahil ang equation na y \u003d 0 ay tumutukoy sa linyang O x, mahahanap mo ang distansya mula sa M 1 na may ibinigay na mga coordinate sa linyang ito gamit ang formula. Nakukuha natin na 6 = 6 .

Dahil ang equation x \u003d 0 ay tumutukoy sa linya O y, mahahanap mo ang distansya mula M 1 hanggang sa linyang ito gamit ang formula. Pagkatapos ay makuha natin iyon - 7 = 7 .

Sagot: ang distansya mula M 1 hanggang O x ay may halaga na 6, at mula M 1 hanggang O y ay may halaga na 7.

Kapag sa tatlong-dimensional na espasyo mayroon tayong isang punto na may mga coordinate M 1 (x 1, y 1, z 1), kinakailangan upang mahanap ang distansya mula sa puntong A hanggang sa linya a.

Isaalang-alang ang dalawang paraan na nagbibigay-daan sa iyong kalkulahin ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang tuwid na linya na matatagpuan sa kalawakan. Isinasaalang-alang ng unang kaso ang distansya mula sa puntong M 1 hanggang sa linya, kung saan ang punto sa linya ay tinatawag na H 1 at ang base ng patayo na iginuhit mula sa puntong M 1 hanggang sa linya a. Ang pangalawang kaso ay nagmumungkahi na ang mga punto ng eroplanong ito ay dapat hanapin bilang taas ng paralelogram.

Unang paraan

Mula sa kahulugan, mayroon kaming ang distansya mula sa puntong M 1 na matatagpuan sa tuwid na linya a ay ang haba ng patayo M 1 H 1, pagkatapos ay nakuha namin iyon sa natagpuang mga coordinate ng punto H 1, pagkatapos ay nakita namin ang distansya sa pagitan ng M 1 (x 1, y 1, z 1 ) at H 1 (x 1, y 1, z 1) batay sa formula M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 .

Nakukuha namin na ang buong solusyon ay napupunta sa paghahanap ng mga coordinate ng base ng patayo na iginuhit mula sa M 1 hanggang sa linya a. Ginagawa ito bilang mga sumusunod: Ang H 1 ay ang punto kung saan ang linyang a ay bumalandra sa eroplano na dumadaan sa ibinigay na punto.

Nangangahulugan ito na ang algorithm para sa pagtukoy ng distansya mula sa puntong M 1 (x 1, y 1, z 1) hanggang sa tuwid na linya ng espasyo ay nagpapahiwatig ng ilang puntos:

Kahulugan 5

pagguhit ng equation ng eroplano χ bilang isang equation ng eroplano na dumadaan sa isang naibigay na punto na patayo sa linya;
pagpapasiya ng mga coordinate (x 2 , y 2 , z 2) na kabilang sa punto H 1 na siyang punto ng intersection ng linya a at ng eroplano χ;
pagkalkula ng distansya mula sa isang punto patungo sa isang linya gamit ang formula M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 .

Pangalawang paraan

Mula sa kondisyon na mayroon tayong linya a, pagkatapos ay matutukoy natin ang direksyon ng vector a → = a x, a y, a z na may mga coordinate x 3, y 3, z 3 at isang tiyak na punto M 3 na kabilang sa linya a. Dahil sa mga coordinate ng mga puntos na M 1 (x 1 , y 1) at M 3 x 3 , y 3 , z 3 , M 3 M 1 → ay maaaring kalkulahin:

M 3 M 1 → = (x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3)

Kinakailangang ipagpaliban ang mga vectors a → \u003d a x, a y, a z at M 3 M 1 → \u003d x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 mula sa puntong M 3, kumonekta at kumuha isang paralelogram na pigura. Ang M 1 H 1 ay ang taas ng paralelogram.

Isaalang-alang ang figure sa ibaba.

Mayroon kaming na ang taas M 1 H 1 ay ang nais na distansya, pagkatapos ay kailangan mong hanapin ito gamit ang formula. Ibig sabihin, hinahanap namin ang M 1 H 1 .

Tukuyin ang lugar ng parallelogram sa pamamagitan ng titik S, ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula gamit ang vector a → = (a x , a y , a z) at M 3 M 1 → = x 1 - x 3 . y 1 - y 3 , z 1 - z 3 . Ang pormula ng lugar ay may anyong S = a → × M 3 M 1 → . Gayundin, ang lugar ng figure ay katumbas ng produkto ng mga haba ng mga gilid nito at ang taas, nakuha namin na S \u003d a → M 1 H 1 na may → \u003d a x 2 + a y 2 + a z 2, na siyang haba ng vector a → \u003d (a x, a y, a z) , na katumbas ng gilid ng parallelogram. Samakatuwid, ang M 1 H 1 ay ang distansya mula sa punto hanggang sa linya. Ito ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Upang mahanap ang distansya mula sa isang punto na may mga coordinate M 1 (x 1, y 1, z 1) sa isang tuwid na linya a sa espasyo, kailangan mong magsagawa ng ilang mga punto ng algorithm:

Kahulugan 6

pagpapasiya ng vector ng direksyon ng tuwid na linya a - a → = (a x , a y , a z) ;
pagkalkula ng haba ng vector ng direksyon a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 ;
pagkuha ng mga coordinate x 3 , y 3 , z 3 na kabilang sa punto M 3 na matatagpuan sa linya a;
pagkalkula ng mga coordinate ng vector M 3 M 1 → ;
paghahanap ng cross product ng mga vectors a → (a x, a y, a z) at M 3 M 1 → = x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 bilang a → × M 3 M 1 → = i → j → k → a x a y a z x 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3 upang makuha ang haba ayon sa formula a → × M 3 M 1 → ;
pagkalkula ng distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Paglutas ng mga problema sa paghahanap ng distansya mula sa isang naibigay na punto hanggang sa isang tuwid na linya sa espasyo

Halimbawa 5

Hanapin ang distansya mula sa punto na may mga coordinate M 1 2 , - 4 , - 1 hanggang sa linyang x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 .

Solusyon

Ang unang paraan ay nagsisimula sa pagsulat ng equation ng eroplano χ na dumadaan sa M 1 at patayo sa isang naibigay na punto. Nakakakuha kami ng expression tulad ng:

2 (x - 2) - 1 (y - (- 4)) + 5 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

Kinakailangang hanapin ang mga coordinate ng punto H 1, na siyang punto ng intersection sa eroplano χ sa tuwid na linya na ibinigay ng kondisyon. Kinakailangang lumipat mula sa canonical form hanggang sa intersecting. Pagkatapos ay nakakakuha kami ng isang sistema ng mga equation ng form:

x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ⇔ - 1 (x + 1) = 2 y 5 (x + 1) = 2 (z + 5) 5 y = - 1 (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

Kinakailangang kalkulahin ang system x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = - 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3 sa pamamagitan ng paraan ng Cramer, pagkatapos ay makuha natin iyon:

∆ = 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 = - 60 ∆ x = - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 = - 60 ⇔ x = ∆ x ∆ = - 60 - 60 = 1 ∆ y = 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 = 60 ⇒ y = ∆ y ∆ = 60 - 60 = - 1 ∆ z = 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 = 0 ⇒ z = ∆ z ∆ 60 = 0

Kaya mayroon tayong H 1 (1, - 1, 0) .

M 1 H 1 \u003d 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 \u003d 11

Ang pangalawang paraan ay dapat magsimula sa pamamagitan ng paghahanap ng mga coordinate sa canonical equation. Upang gawin ito, bigyang-pansin ang mga denominador ng fraction. Pagkatapos ang a → = 2 , - 1 , 5 ay ang vector ng direksyon ng linyang x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 . Kinakailangang kalkulahin ang haba gamit ang formula a → = 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 30.

Malinaw na ang linyang x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ay nagsasalubong sa puntong M 3 (- 1 , 0 , - 5), kaya mayroon tayong vector na may pinagmulang M 3 (- 1 , 0). , - 5) at ang dulo nito sa puntong M 1 2 , - 4 , - 1 ay M 3 M 1 → = 3 , - 4 , 4 . Hanapin ang produkto ng vector a → = (2, - 1, 5) at M 3 M 1 → = (3, - 4, 4) .

Nakakakuha tayo ng expression ng form a → × M 3 M 1 → = i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 = - 4 i → + 15 j → - 8 k → + 20 i → - 8 j → = 16 i → + 7 j → - 5 k →

makuha natin na ang haba ng cross product ay isang → × M 3 M 1 → = 16 2 + 7 2 + - 5 2 = 330 .

Mayroon kaming lahat ng data upang magamit ang formula para sa pagkalkula ng distansya mula sa isang punto para sa isang tuwid na linya, kaya inilapat namin ito at makuha ang:

M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → = 330 30 = 11

Sagot: 11 .

Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

Formula para sa pagkalkula ng distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya sa isang eroplano

Kung ang equation ng linyang Ax + By + C = 0 ay ibinigay, kung gayon ang distansya mula sa puntong M(M x , M y) sa linya ay matatagpuan gamit ang sumusunod na formula

Mga halimbawa ng mga gawain para sa pagkalkula ng distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya sa isang eroplano

Halimbawa 1

Hanapin ang distansya sa pagitan ng linya 3x + 4y - 6 = 0 at ang puntong M(-1, 3).

Solusyon. Palitan sa formula ang mga coefficient ng linya at ang mga coordinate ng punto

Sagot: ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya ay 0.6.

equation ng isang eroplanong dumadaan sa mga puntos na patayo sa isang vectorPangkalahatang equation ng isang eroplano

Ang isang non-zero vector na patayo sa isang naibigay na eroplano ay tinatawag normal na vector (o, sa madaling salita, normal ) para sa eroplanong ito.

Ipasok ang coordinate space (sa isang rectangular coordinate system) na ibinigay:

isang tuldok ;

b) isang non-zero vector (Larawan 4.8, a).

Kinakailangang sumulat ng isang equation para sa isang eroplanong dumadaan sa isang punto patayo sa vector Katapusan ng patunay.

Isaalang-alang natin ngayon ang iba't ibang uri ng mga equation ng isang tuwid na linya sa isang eroplano.

1) Pangkalahatang equation ng eroplanoP .

Mula sa derivation ng equation ito ay sumusunod na sa parehong oras A, B at C hindi katumbas ng 0 (ipaliwanag kung bakit).

Ang punto ay kabilang sa eroplano P lamang kung ang mga coordinate nito ay nakakatugon sa equation ng eroplano. Depende sa coefficients A, B, C at D eroplano P sumasakop sa isang posisyon o iba pa.

- ang eroplano ay dumadaan sa pinagmulan ng coordinate system, - ang eroplano ay hindi dumaan sa pinagmulan ng coordinate system,

- ang eroplano ay parallel sa axis X,

- ang eroplano ay parallel sa axis Y,

- ang eroplano ay hindi parallel sa axis Y,

- ang eroplano ay parallel sa axis Z,

- ang eroplano ay hindi parallel sa axis Z.

Patunayan ang mga pahayag na ito sa iyong sarili.

Ang equation (6) ay madaling hinango mula sa equation (5). Sa katunayan, hayaan ang punto ay nasa eroplano P. Pagkatapos ang mga coordinate nito ay nagbibigay-kasiyahan sa equation Ang pagbabawas ng equation (7) mula sa equation (5) at pag-grupo ng mga termino, makakakuha tayo ng equation (6). Isaalang-alang ngayon ang dalawang vector na may mga coordinate, ayon sa pagkakabanggit. Ito ay sumusunod mula sa formula (6) na ang kanilang scalar product ay katumbas ng zero. Samakatuwid, ang vector ay patayo sa vector Ang simula at dulo ng huling vector ay ayon sa pagkakabanggit sa mga puntong kabilang sa eroplano. P. Samakatuwid, ang vector ay patayo sa eroplano P. Distansya mula sa punto hanggang sa eroplano P, na ang pangkalahatang equation ay ay tinutukoy ng formula Ang patunay ng formula na ito ay ganap na katulad ng patunay ng formula para sa distansya sa pagitan ng isang punto at isang linya (tingnan ang Fig. 2).
kanin. 2. Sa derivation ng formula para sa distansya sa pagitan ng isang eroplano at isang tuwid na linya.

Ang layo talaga d sa pagitan ng isang linya at isang eroplano ay

kung saan ang isang punto na nakahiga sa isang eroplano. Mula dito, tulad ng sa lecture No. 11, ang formula sa itaas ay nakuha. Dalawang eroplano ay parallel kung ang kanilang mga normal na vectors ay parallel. Mula dito nakuha natin ang kondisyon ng parallelism ng dalawang eroplano - mga coefficient ng pangkalahatang equation ng mga eroplano. Ang dalawang eroplano ay patayo kung ang kanilang mga normal na vector ay patayo, kaya't makuha natin ang kondisyon ng perpendicularity ng dalawang eroplano kung ang kanilang mga pangkalahatang equation ay kilala

Sulok f sa pagitan ng dalawang eroplano ay katumbas ng anggulo sa pagitan ng kanilang mga normal na vectors (tingnan ang Fig. 3) at samakatuwid ay maaaring kalkulahin mula sa formula
Pagtukoy ng anggulo sa pagitan ng mga eroplano.

(11)

Distansya mula sa isang punto patungo sa isang eroplano at kung paano ito mahahanap

Distansya mula sa punto hanggang eroplano ay ang haba ng patayo na bumaba mula sa isang punto patungo sa eroplanong ito. Mayroong hindi bababa sa dalawang paraan upang mahanap ang distansya mula sa isang punto patungo sa isang eroplano: geometriko at algebraic.

Gamit ang geometric na pamamaraan kailangan mo munang maunawaan kung paano matatagpuan ang patayo mula sa isang punto patungo sa isang eroplano: marahil ito ay namamalagi sa ilang maginhawang eroplano, ito ay isang taas sa ilang maginhawang (o hindi kaya) tatsulok, o marahil ang patayo na ito ay karaniwang isang taas sa ilang pyramid .

Pagkatapos ng una at pinakamahirap na yugtong ito, nahahati ang problema sa ilang partikular na problema sa planimetric (marahil sa iba't ibang eroplano).

Gamit ang algebraic na paraan upang mahanap ang distansya mula sa isang punto patungo sa isang eroplano, kailangan mong magpasok ng isang coordinate system, hanapin ang mga coordinate ng punto at ang equation ng eroplano, at pagkatapos ay ilapat ang formula para sa distansya mula sa punto hanggang sa eroplano.

Isaalang-alang ang aplikasyon ng mga nasuri na pamamaraan para sa paghahanap ng distansya mula sa isang naibigay na punto hanggang sa isang tuwid na linya sa isang eroplano kapag nilulutas ang isang halimbawa.

Hanapin ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya:

Una, lutasin natin ang problema sa unang paraan.

Sa kondisyon ng problema, binibigyan tayo ng pangkalahatang equation ng tuwid na linya a ng form:

Hanapin natin ang pangkalahatang equation ng linya b, na dumadaan sa isang naibigay na punto na patayo sa linya:

Dahil ang linya b ay patayo sa linya a, ang vector ng direksyon ng linya b ay ang normal na vector ng ibinigay na linya:

ibig sabihin, ang vector ng direksyon ng linya b ay may mga coordinate. Ngayon ay maaari nating isulat ang canonical equation ng tuwid na linya b sa eroplano, dahil alam natin ang mga coordinate ng punto M 1 kung saan dumadaan ang tuwid na linya b, at ang mga coordinate ng nagdidirekta na vector ng tuwid na linya b:

Mula sa nakuha na canonical equation ng tuwid na linya b, pumasa kami sa pangkalahatang equation ng tuwid na linya:

Ngayon hanapin natin ang mga coordinate ng punto ng intersection ng mga linya a at b (ipahiwatig natin ito H 1) sa pamamagitan ng paglutas ng sistema ng mga equation na binubuo ng mga pangkalahatang equation ng mga linya a at b (kung kinakailangan, sumangguni sa mga sistema ng paglutas ng artikulo ng mga linear na equation):

Kaya, ang punto H 1 ay may mga coordinate.

Ito ay nananatiling kalkulahin ang nais na distansya mula sa puntong M 1 hanggang sa tuwid na linya a bilang distansya sa pagitan ng mga punto at:

Ang pangalawang paraan upang malutas ang problema.

Nakukuha namin ang normal na equation ng ibinigay na linya. Upang gawin ito, kinakalkula namin ang halaga ng normalizing factor at i-multiply ang parehong bahagi ng orihinal na pangkalahatang equation ng tuwid na linya nito:

(Napag-usapan namin ito sa seksyon sa pagdadala ng pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya sa normal na anyo).

Ang normalizing factor ay katumbas ng

pagkatapos ang normal na equation ng tuwid na linya ay may anyo:

Ngayon kinuha namin ang expression sa kaliwang bahagi ng nagreresultang normal na equation ng tuwid na linya, at kalkulahin ang halaga nito para sa:

Ang nais na distansya mula sa isang naibigay na punto sa isang ibinigay na tuwid na linya:

ay katumbas ng ganap na halaga ng natanggap na halaga, iyon ay, limang ().

distansya mula sa punto hanggang linya:

Malinaw, ang bentahe ng paraan ng paghahanap ng distansya mula sa isang punto patungo sa isang tuwid na linya sa isang eroplano, batay sa paggamit ng normal na equation ng isang tuwid na linya, ay isang medyo mas maliit na halaga ng computational work. Sa turn, ang unang paraan upang mahanap ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya ay madaling maunawaan at nakikilala sa pamamagitan ng pagkakapare-pareho at lohika.

Ang isang hugis-parihaba na coordinate system Oxy ay naayos sa eroplano, isang punto at isang tuwid na linya ay ibinibigay:

Hanapin ang distansya mula sa isang ibinigay na punto sa isang ibinigay na linya.

Unang paraan.

Maaari kang pumunta mula sa isang ibinigay na equation ng isang tuwid na linya na may slope patungo sa pangkalahatang equation ng tuwid na linya na ito at magpatuloy sa parehong paraan tulad ng sa halimbawang tinalakay sa itaas.

Ngunit maaari mong gawin ito nang iba.

Alam namin na ang produkto ng mga slope ng mga patayong linya ay katumbas ng 1 (tingnan ang artikulong patayo na mga linya, perpendicularity ng mga linya). Samakatuwid, ang slope ng isang linya na patayo sa isang ibinigay na linya:

ay katumbas ng 2. Pagkatapos ang equation ng isang tuwid na linya patayo sa isang ibinigay na tuwid na linya at dumadaan sa isang punto ay may anyo:

Ngayon hanapin natin ang mga coordinate ng punto H 1 - ang punto ng intersection ng mga linya:

Kaya, ang nais na distansya mula sa isang punto hanggang sa isang tuwid na linya:

katumbas ng distansya sa pagitan ng mga puntos at:

Ang pangalawang paraan.

Lumipat tayo mula sa ibinigay na equation ng isang tuwid na linya na may slope patungo sa normal na equation ng tuwid na linyang ito:

ang normalizing factor ay katumbas ng:

samakatuwid, ang normal na equation ng isang tuwid na linya ay may anyo:

Ngayon kinakalkula namin ang kinakailangang distansya mula sa punto hanggang sa linya:

Kalkulahin ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya:

at sa tuwid na linya:

Nakukuha namin ang normal na equation ng tuwid na linya:

Ngayon kalkulahin ang distansya mula sa punto hanggang sa linya:

Normalizing factor para sa isang straight line equation:

ay katumbas ng 1. Pagkatapos ang normal na equation ng linyang ito ay may anyo:

Ngayon ay maaari nating kalkulahin ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya:

ito ay katumbas.

Sagot: at 5.

Sa konklusyon, hiwalay nating isasaalang-alang kung paano matatagpuan ang distansya mula sa isang naibigay na punto ng eroplano hanggang sa mga linya ng coordinate na Ox at Oy.

Sa rectangular coordinate system na Oxy, ang coordinate line Oy ay ibinibigay ng hindi kumpletong pangkalahatang equation ng linya x=0, at ang coordinate line Ox ay ibinibigay ng equation na y=0. Ang mga equation na ito ay mga normal na equation ng mga linyang Oy at Ox, samakatuwid, ang distansya mula sa isang punto hanggang sa mga linyang ito ay kinakalkula ng mga formula:

ayon sa pagkakabanggit.

Larawan 5

Isang rectangular coordinate system na Oxy ang ipinakilala sa eroplano. Hanapin ang mga distansya mula sa punto hanggang sa mga linya ng coordinate.

Ang distansya mula sa ibinigay na punto M 1 hanggang sa coordinate line Ox (ito ay ibinigay ng equation y=0) ay katumbas ng module ng ordinate ng point M 1, iyon ay, .

Ang distansya mula sa ibinigay na punto M 1 hanggang sa coordinate line Oy (ito ay tumutugma sa equation x=0) ay katumbas ng absolute value ng abscissa ng point M 1: .

Sagot: ang distansya mula sa puntong M 1 hanggang sa linyang Ox ay 6, at ang distansya mula sa ibinigay na punto hanggang sa linya ng coordinate Oy ay pantay.

Paraan ng coordinate (distansya sa pagitan ng isang punto at isang eroplano, sa pagitan ng mga tuwid na linya)

Ang distansya sa pagitan ng isang punto at isang eroplano.

Ang distansya sa pagitan ng isang punto at isang linya.

Ang distansya sa pagitan ng dalawang linya.

Ang unang kapaki-pakinabang na bagay na dapat malaman ay kung paano hanapin ang distansya mula sa isang punto patungo sa isang eroplano:

Mga Halaga A, B, C, D - mga coefficient ng eroplano

x, y, z - mga coordinate ng punto

Isang gawain. Hanapin ang distansya sa pagitan ng puntong A = (3; 7; −2) at ng eroplanong 4x + 3y + 13z - 20 = 0.

Ang lahat ay ibinigay, maaari mong agad na palitan ang mga halaga sa equation:

Isang gawain. Hanapin ang distansya mula sa puntong K = (1; −2; 7) hanggang sa linyang dumadaan sa mga puntong V = (8; 6; −13) at T = (−1; −6; 7).

Nakahanap kami ng isang straight line vector.
Kinakalkula namin ang vector na dumadaan sa nais na punto at anumang punto sa linya.
Itinakda namin ang matrix at hanapin ang determinant para sa dalawang nakuhang vectors sa 1st at 2nd paragraph.
Nakukuha natin ang distansya kapag hinati natin ang square root ng kabuuan ng mga parisukat ng mga coefficient ng matrix sa haba ng vector na tumutukoy sa linya(Sa tingin ko ito ay hindi malinaw, kaya lumipat tayo sa isang tiyak na halimbawa).

1) TV = (8−(−1); 6−(−6); -13-7) = (9; 12; −20)

2) Nahanap namin ang vector sa pamamagitan ng mga puntos na K at T, bagaman posible rin ito sa pamamagitan ng K at V o anumang iba pang punto sa linyang ito.

TK = (1−(−1); −2−(−6); 7-7) = (2; 4; 0)

3) Makakakuha ka ng isang matrix na walang coefficient D (dito ito ay hindi kailangan para sa solusyon):

4) Ang eroplano ay lumabas na may mga coefficient A = 80, B = 40, C = 12,

x, y, z - mga coordinate ng straight line vector, sa kasong ito, ang vector TV ay may mga coordinate (9; 12; −20)

Isang gawain. Hanapin ang distansya sa pagitan ng linyang dumadaan sa mga puntong E = (1; 0; −2), G = (2; 2; −1), at ang linyang dumadaan sa mga puntong M = (4; −1; 4), L = ( −2;3;0).

Itinakda namin ang mga vector ng parehong linya.
Nahanap namin ang vector sa pamamagitan ng pagkuha ng isang punto mula sa bawat linya.
Nagsusulat kami ng matrix ng 3 vectors (dalawang linya mula sa 1st point, isang linya mula sa 2nd) at hanapin ang numerical determinant nito.
Itinakda namin ang matrix ng unang dalawang vectors (sa hakbang 1). Itinakda namin ang unang linya bilang x, y, z.
Nakukuha namin ang distansya kapag hinati namin ang nagresultang halaga mula sa point 3 modulo sa square root ng kabuuan ng mga parisukat ng point 4.

Lumipat tayo sa mga numero.

Hayaang maayos ang isang rectangular coordinate system sa three-dimensional na espasyo Oxyz, ibinigay na punto , linya a at ito ay kinakailangan upang mahanap ang distansya mula sa punto PERO sa tuwid a.

Magpapakita kami ng dalawang paraan upang makalkula ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya sa espasyo. Sa unang kaso, ang paghahanap ng distansya mula sa isang punto M 1 sa tuwid a bumaba sa paghahanap ng distansya mula sa isang punto M 1 sa punto H 1 , saan H 1 - ang base ng patayo ay bumaba mula sa punto M 1 direkta a. Sa pangalawang kaso, ang distansya mula sa isang punto patungo sa isang eroplano ay makikita bilang taas ng isang paralelogram.

Kaya simulan na natin.

Ang unang paraan upang mahanap ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya a sa espasyo.

Dahil, sa pamamagitan ng kahulugan, ang distansya mula sa isang punto M 1 sa tuwid a ay ang haba ng patayo M 1 H 1 , pagkatapos, sa pagtukoy ng mga coordinate ng punto H 1 , maaari nating kalkulahin ang nais na distansya bilang distansya sa pagitan ng mga punto at ayon sa pormula.

Kaya, ang problema ay nabawasan sa paghahanap ng mga coordinate ng base ng patayo na itinayo mula sa punto M 1 sa isang tuwid na linya a. Ito ay sapat na madaling gawin: tuldok H 1 ay ang punto ng intersection ng linya a na may eroplanong dumadaan sa isang punto M 1 patayo sa linya a.

Dahil dito, isang algorithm na nagbibigay-daan sa iyo upang matukoy ang distansya mula sa isang punto sa tuwida sa kalawakan, ay:

Ang pangalawang paraan, na nagbibigay-daan sa iyo upang mahanap ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya a sa espasyo.

Dahil sa kondisyon ng problema ay binibigyan tayo ng isang tuwid na linya a, pagkatapos ay matutukoy natin ang vector ng direksyon nito at mga coordinate ng ilang punto M 3 nakahiga sa isang tuwid na linya a. Pagkatapos, ayon sa mga coordinate ng mga puntos at maaari nating kalkulahin ang mga coordinate ng isang vector:

Itabi ang mga vector at mula sa punto M 3 at bumuo ng paralelogram sa mga ito. Gumuhit ng taas sa paralelogram na ito M 1 H 1 .

Halatang ang taas M 1 H 1 ang itinayong paralelogram ay katumbas ng nais na distansya mula sa punto M 1 sa tuwid a. Hanapin natin .

Sa isang banda, ang lugar ng paralelogram (tinutukoy namin ito S) ay matatagpuan sa pamamagitan ng produkto ng vector ng mga vector at ayon sa pormula . Sa kabilang banda, ang lugar ng isang paralelogram ay katumbas ng produkto ng haba ng gilid nito at taas, iyon ay, , saan - haba ng vector , katumbas ng haba ng gilid ng paralelogram na isinasaalang-alang. Samakatuwid, ang distansya mula sa ibinigay na punto M 1 sa isang ibinigay na linya a ay matatagpuan mula sa pagkakapantay-pantay paano .

Kaya, upang mahanap ang distansya mula sa isang punto sa tuwida kailangan sa kalawakan

Paglutas ng mga problema sa paghahanap ng distansya mula sa isang naibigay na punto hanggang sa isang tuwid na linya sa espasyo.

Isaalang-alang natin ang isang halimbawang solusyon.

Halimbawa.

Hanapin ang distansya mula sa isang punto sa tuwid .

Solusyon.

Unang paraan.

Isulat natin ang equation ng eroplanong dumadaan sa punto M 1 patayo sa isang ibinigay na linya:

Hanapin ang mga coordinate ng isang punto H 1 - mga punto ng intersection ng eroplano at ang ibinigay na linya. Upang gawin ito, ginagawa namin ang paglipat mula sa mga canonical equation ng tuwid na linya patungo sa mga equation ng dalawang intersecting na eroplano.

pagkatapos nito malulutas namin ang sistema ng mga linear equation Pamamaraan ng Cramer:

Sa ganitong paraan, .

Ito ay nananatiling kalkulahin ang kinakailangang distansya mula sa punto hanggang sa linya bilang ang distansya sa pagitan ng mga punto at: .

Ang pangalawang paraan.

Ang mga numero sa mga denominador ng mga fraction sa canonical equation ng tuwid na linya ay ang kaukulang mga coordinate ng nagdidirekta na vector ng tuwid na linya na ito, iyon ay, - tuwid na vector ng direksyon . Kalkulahin natin ang haba nito: .

Malinaw na ang tuwid na linya dumadaan sa isang punto , pagkatapos ay ang vector na may pinanggalingan sa punto at nagtatapos sa isang punto meron . Hanapin ang cross product ng mga vectors at :
kung gayon ang haba ng cross product na ito ay .

Ngayon ay mayroon na kaming lahat ng data upang magamit ang formula para sa pagkalkula ng distansya mula sa isang naibigay na punto patungo sa isang naibigay na eroplano: .

Sagot:

Mutual na pag-aayos ng mga linya sa espasyo