Angular displacement, angular velocity, angular acceleration, ang kanilang koneksyon. Angular na displacement, angular velocity, angular acceleration, ang kanilang relasyon. Ano ang rotation angle vector

Mga anggulo ng Euler, anggulo ng eroplano (barko).

Ayon sa kaugalian, ang mga anggulo ng Euler ay ipinakilala bilang mga sumusunod. Ang paglipat mula sa posisyon ng sanggunian patungo sa aktwal na isa ay isinasagawa sa pamamagitan ng tatlong pagliko (Larawan 4.3):

1. Paikot-ikot sa isang anggulo pangunguna Sa kasong ito napupunta ito sa posisyon (c) .

2. Paikot-ikot sa isang anggulo nutation. Kung saan, . (4.10)

4. Paikot-ikot sa isang anggulo sariling (purong) pag-ikot

Para sa isang mas mahusay na pag-unawa, ang Fig. 4.4 ay nagpapakita ng isang tuktok at ang mga anggulo ng Euler na naglalarawan dito

1. Paikot-ikot sa isang anggulo yaw, kung saan

2. Paikutin sa pamamagitan ng isang pitch angle, habang (4.12)

3.I-rotate sa pamamagitan ng roll anggulo sa paligid

Ang pananalitang “maaaring magawa” ay hindi sinasadya; madaling maunawaan na posible ang iba pang mga opsyon, halimbawa, mga pag-ikot sa paligid ng mga nakapirming axes

1. Paikot-ikot sa isang anggulo gumulong(sa panganib na mabali ang kanyang mga pakpak)

2. Paikot-ikot sa isang anggulo pitch(pagtaas ng ilong) (4.13)

3. Paikot-ikot sa isang anggulo yaw

Gayunpaman, kailangan ding patunayan ang pagkakakilanlan ng (4.12) at (4.13).

Isulat natin ang halatang vector formula para sa position vector ng isang punto (Fig. 4.6) sa matrix form. Hanapin natin ang mga coordinate ng vector na may kaugnayan sa batayan ng sanggunian. Palawakin natin ang vector ayon sa aktwal na batayan at ipakilala ang isang "inilipat" na vector, ang mga coordinate kung saan sa batayan ng sanggunian ay katumbas ng mga coordinate ng vector sa aktwal na isa; sa madaling salita, ang isang vector ay "pinaikot" kasama ng katawan (Larawan 4.6).

Ipakilala natin ang rotation matrix at column,

Ang vector formula sa matrix notation ay may anyo

1. Ang rotation matrix ay orthogonal, i.e.

Ang patunay ng pahayag na ito ay formula (4.9)

Ang pagkalkula ng determinant ng produkto (4.15), nakuha namin at dahil sa reference na posisyon, pagkatapos ay (orthogonal matrice na may determinant na katumbas ng (+1) ay tinatawag na sa totoo lang orthogonal o rotation matrices). Kapag pinarami ng mga vector, ang rotation matrix ay hindi nagbabago ng alinman sa mga haba ng mga vectors o ang mga anggulo sa pagitan ng mga ito, i.e. sila talaga lumiliko.

2. Ang rotation matrix ay may isang eigen(fixed) vector, na tumutukoy sa rotation axis. Sa madaling salita, kailangang ipakita na ang sistema ng mga equation ay may natatanging solusyon. Isulat natin ang sistema sa anyong (. Ang determinant ng homogenous system na ito ay katumbas ng zero, dahil

samakatuwid, ang sistema ay may di-zero na solusyon. Sa pag-aakala na mayroong dalawang solusyon, agad kaming dumating sa konklusyon na ang isang patayo sa kanila ay isang solusyon din (ang mga anggulo sa pagitan ng mga vector ay hindi nagbabago), na nangangahulugang i.e. walang turn..

Matrix sa isang orthonormal na batayan

may hitsura.

2. Differentiating (4.15), nakukuha natin o, denoting – matrix iikot (Ingles: to spin - twirl). Kaya, ang spin matrix ay skew-symmetric: . Ang pag-multiply mula sa kanan sa, makuha namin ang Poisson formula para sa rotation matrix:

Dumating kami sa pinakamahirap na sandali sa loob ng balangkas ng paglalarawan ng matrix - ang pagtukoy ng angular velocity vector.

Maaari mong, siyempre, gawin ang karaniwang bagay (tingnan, halimbawa, ang pamamaraan at isulat: " Ipakilala natin ang notasyon para sa mga elemento ng skew-symmetric matrix S ayon sa pormula

Kung gagawa ka ng vector , kung gayon ang resulta ng pagpaparami ng isang matrix sa isang vector ay maaaring katawanin bilang isang produkto ng vector" Sa quote sa itaas - ang angular velocity vector.

Differentiating (4.14), nakakakuha tayo ng representasyon ng matrix ng pangunahing formula para sa kinematics ng isang matibay na katawan :

Ang diskarte sa matrix, habang maginhawa para sa mga kalkulasyon, ay hindi angkop para sa pag-aaral at pagkuha ng mga relasyon; Ang anumang formula na nakasulat sa vector at tensor language ay madaling maisulat sa matrix form, ngunit mahirap makakuha ng compact at expressive formula para ilarawan ang anumang pisikal na phenomenon sa matrix form.

Bilang karagdagan, hindi natin dapat kalimutan na ang mga elemento ng matrix ay ang mga coordinate (mga bahagi) ng tensor sa ilang batayan. Ang tensor mismo ay hindi nakasalalay sa pagpili ng batayan, ngunit ang mga bahagi nito ay nakasalalay. Para sa walang error na pag-record sa matrix form, kinakailangan na ang lahat ng mga vector at tensor na kasama sa expression ay nakasulat sa isang batayan, at ito ay hindi palaging maginhawa, dahil ang iba't ibang mga tensor ay may "simple" na form sa iba't ibang mga base, kaya kailangan mo upang muling kalkulahin ang mga matrice gamit ang mga transition matrice .

Sa isang bilog ito ay tinutukoy ng radius vector $ \overrightarrow (r)$ na iginuhit mula sa gitna ng bilog. Ang modulus ng radius vector ay katumbas ng radius ng bilog R (Larawan 1).

Figure 1. Radius vector, displacement, landas at anggulo ng pag-ikot kapag ang isang punto ay gumagalaw sa paligid ng isang bilog

Sa kasong ito, ang paggalaw ng isang katawan sa isang bilog ay maaaring malinaw na inilarawan gamit ang mga kinematic na katangian tulad ng anggulo ng pag-ikot, angular velocity at angular acceleration.

Sa oras na ∆t, ang katawan, na gumagalaw mula sa punto A hanggang sa punto B, ay gumagawa ng isang displacement $\tatsulok r$ katumbas ng chord AB, at sumasaklaw sa isang landas na katumbas ng haba ng arko l. Ang radius vector ay umiikot sa anggulo ∆$ \varphi $.

Ang anggulo ng pag-ikot ay maaaring mailalarawan ng vector ng angular displacement $d\overrightarrow((\mathbf \varphi ))$, ang magnitude nito ay katumbas ng anggulo ng pag-ikot ∆$ \varphi $, at ang direksyon ay tumutugma sa axis ng pag-ikot, at upang ang direksyon ng pag-ikot ay tumutugma sa right-hand screw rule ayon sa relatibong direksyon ng vector $d\overrightarrow((\mathbf \varphi ))$.

Ang vector na $d\overrightarrow((\mathbf \varphi ))$ ay tinatawag na axial vector (o pseudo-vector), habang ang displacement vector na $\triangle \overrightarrow(r)$ ay isang polar vector (kasama rin dito ang velocity at acceleration vectors) . Naiiba sila dahil ang polar vector, bilang karagdagan sa haba at direksyon, ay may application point (pol), at ang axial vector ay may haba at direksyon lamang (axis - axis sa Latin), ngunit walang application point. Ang mga vector ng ganitong uri ay kadalasang ginagamit sa pisika. Ang mga ito, halimbawa, ay kinabibilangan ng lahat ng mga vector na produkto ng vector ng dalawang polar vector.

Ang isang scalar na pisikal na dami, ayon sa bilang na katumbas ng ratio ng anggulo ng pag-ikot ng radius vector sa tagal ng panahon kung kailan nangyari ang pag-ikot na ito, ay tinatawag na average na angular velocity: $\left\langle \omega \right\rangle =\ frac(\triangle \varphi )(\triangle t)$. Ang SI unit ng angular velocity ay radian per second $(\frac (rad) (c))$.

Kahulugan

Ang angular na bilis ng pag-ikot ay isang vector na ayon sa numero ay katumbas ng unang derivative ng anggulo ng pag-ikot ng katawan na may paggalang sa oras at nakadirekta sa axis ng pag-ikot ayon sa tamang panuntunan ng turnilyo:

\[\overrightarrow((\mathbf \omega ))\left(t\right)=(\mathop(lim)_(\triangle t\to 0) \frac(\triangle (\mathbf \varphi ))(\triangle t)=\frac(d\overrightarrow((\mathbf \varphi )))(dt)\ )\]

Sa pare-parehong paggalaw sa isang bilog, ang angular velocity at ang magnitude ng linear velocity ay pare-pareho ang dami: $(\mathbf \omega )=const$; $v=const$.

Isinasaalang-alang na $\tatsulok \varphi =\frac(l)(R)$, nakuha namin ang formula para sa relasyon sa pagitan ng linear at angular na bilis: $\omega =\frac(l)(R\triangle t)=\frac( v)( R)$. Ang angular velocity ay nauugnay din sa normal na acceleration: $a_n=\frac(v^2)(R)=(\omega )^2R$

Sa hindi pare-parehong paggalaw sa paligid ng isang bilog, ang angular velocity vector ay isang vector function ng oras $\overrightarrow(\omega )\left(t\right)=(\overrightarrow(\omega ))_0+\overrightarrow(\varepsilon )\ kaliwa(t\kanan) t$, kung saan ang $(\overrightarrow((\mathbf \omega )))_0$ ay ang paunang angular velocity, $\overrightarrow((\mathbf \varepsilon ))\left(t\right)$ ay ang angular acceleration. Sa kaso ng pare-parehong variable na paggalaw, $\left|\overrightarrow((\mathbf \varepsilon ))\left(t\right)\right|=\varepsilon =const$, at $\left|\overrightarrow((\mathbf \omega ) )\left(t\right)\right|=\omega \left(t\right)=(\omega )_0+\varepsilon t$.

Ilarawan ang paggalaw ng umiikot na matibay na katawan sa mga kaso kung saan nagbabago ang angular velocity ayon sa mga graph 1 at 2, na ipinapakita sa Fig. 2.

Figure 2.

Ang pag-ikot ay nangyayari sa dalawang direksyon - clockwise at counterclockwise. Ang direksyon ng pag-ikot ay nauugnay sa pseudovector ng anggulo ng pag-ikot at angular na bilis. Isaalang-alang natin ang direksyon ng pag-ikot clockwise upang maging positibo.

Para sa motion 1, tumataas ang angular velocity, ngunit ang angular acceleration $\varepsilon $=d$\omega $/dt (derivative) ay bumababa, nananatiling positibo. Dahil dito, ang paggalaw na ito ay pinabilis sa clockwise na may bumababa na acceleration.

Para sa motion 2, bumababa ang angular velocity, pagkatapos ay umabot sa zero sa punto ng intersection sa abscissa axis, at pagkatapos ay nagiging negatibo at tumataas sa absolute value. Ang angular acceleration ay negatibo at bumababa sa magnitude. Kaya, sa una ang punto ay gumagalaw nang pakanan nang mabagal na may isang angular na acceleration na bumababa sa ganap na halaga, huminto at nagsimulang umikot nang mabilis na may isang acceleration na bumababa sa ganap na halaga.

Hanapin ang radius R ng umiikot na gulong kung alam na ang linear na bilis $v_1$ ng isang puntong nakahiga sa rim ay 2.5 beses na mas malaki kaysa sa linear na bilis $v_2$ ng isang puntong nakahiga sa layo $r = 5 cm$ mas malapit sa axis ng gulong.

Larawan 3.

$$R_2 = R_1 - 5$$ $$v_1 = 2.5v_2$$ $$R_1 = ?$$

Ang mga punto ay gumagalaw sa mga concentric na bilog, ang mga vector ng kanilang mga angular na bilis ay pantay, $\left|(\overrightarrow(\omega ))_1\right|=\left|(\overrightarrow(\omega ))_2\right|=\ omega $, samakatuwid, ay maaaring isulat sa scalar form:

Sagot: radius ng gulong R = 8.3 cm

Direksyon ang dami ng distorted crystalline rehas na bakal, may kondisyon disclination: torsion - ang anggulo ng pag-ikot ng isang bahagi ng kristal na may kaugnayan sa isa pa; pagbabago ng wedge sa anggulo ng pag-ikot a kapag nagbabago ang pagkakasunud-sunod ng axis ng symmetry. ... Gabay ng Teknikal na Tagasalin

Frank vector- ang itinuro na dami ng pagbaluktot ng kristal na sala-sala, dahil sa disklinasyon: pamamaluktot, ang anggulo ng pag-ikot ng isang bahagi ng kristal na may kaugnayan sa isa pa; pagbabago ng wedge sa anggulo ng pag-ikot a kapag nagbabago ang pagkakasunud-sunod ng axis ng symmetry. Tingnan mo…… Encyclopedic Dictionary of Metallurgy

Rotation matrix- Suriin ang impormasyon. Kinakailangang suriin ang katumpakan ng mga katotohanan at pagiging maaasahan ng impormasyong ipinakita sa artikulong ito. Dapat may paliwanag sa page ng usapan... Wikipedia

Kontroladong thrust vector- Thrust vector control (TCV) ng isang jet engine - paglihis ng engine jet stream mula sa direksyon na naaayon sa cruising mode. Sa kasalukuyan, ang thrust vector control ay pangunahing ibinibigay sa pamamagitan ng pag-ikot ng buong nozzle... ... Wikipedia

GYROSCOPE- isang aparato sa nabigasyon, ang pangunahing elemento kung saan ay isang mabilis na umiikot na rotor, na naayos upang ang axis ng pag-ikot nito ay maaaring paikutin. Tatlong antas ng kalayaan (mga palakol ng posibleng pag-ikot) ng gyroscope rotor ay ibinibigay ng dalawang frame... ... Collier's Encyclopedia

FARADAY EFFECT- isa sa mga epekto ng magnetooptics. Binubuo ito ng pag-ikot ng eroplano ng polariseysyon ng mga linearly polarized polarizer. liwanag na kumakalat sa ve sa kahabaan ng poste. mag. fields, kung saan ito matatagpuan sa rom. Natuklasan ni M. Faraday noong 1845 at ang unang patunay... ... Pisikal na encyclopedia

Pipeline ng graphics- Graphics pipeline, hardware at software complex para sa visualization ng three-dimensional na graphics. Mga Nilalaman 1 Mga Elemento ng isang three-dimensional na eksena 1.1 Hardware 1.2 Mga interface ng software ... Wikipedia

Magnetismo- Classical electrodynamics ... Wikipedia

GOST 22268-76: Geodesy. Mga Tuntunin at Kahulugan- Terminolohiya GOST 22268 76: Geodesy. Mga tuntunin at kahulugan orihinal na dokumento: 114. Balangkas NDP. Kroki D. Gelandeskizze Gelandekroki E. Outline Field sketch F. Croquis Schematic drawing of a terrain area Mga kahulugan ng termino mula sa iba't ibang dokumento ... Dictionary-reference na aklat ng mga tuntunin ng normatibo at teknikal na dokumentasyon

Sistema ng Oryentasyon ng Solar Panel- Ang estilo ng artikulong ito ay hindi ensiklopediko o lumalabag sa mga pamantayan ng wikang Ruso. Ang artikulo ay dapat na itama ayon sa mga tuntuning pangkakanyahan ng Wikipedia... Wikipedia

ANGULAR VELOCITY- dami ng vector na nagpapakilala sa bilis ng pag-ikot ng isang matibay na katawan. Kapag ang isang katawan ay umiikot nang pantay sa paligid ng isang nakapirming axis, ang V.s nito. w=Dj/Dt, kung saan ang Dj ay ang pagtaas sa anggulo ng pag-ikot j sa tagal ng panahon Dt, at sa pangkalahatang kaso w=dj/dt. Vector U....... Pisikal na encyclopedia

Ang mga paggalaw ng isang pinahabang katawan, ang mga sukat nito ay hindi maaaring pabayaan sa ilalim ng mga kondisyon ng problemang isinasaalang-alang. Isasaalang-alang namin ang katawan na hindi nababago, sa madaling salita, ganap na solid.

Ang kilusan kung saan anuman ang isang tuwid na linya na nauugnay sa isang gumagalaw na katawan ay nananatiling parallel sa sarili nito ay tinatawag progresibo.

Sa pamamagitan ng isang tuwid na linya na "mahigpit na konektado sa isang katawan" ang ibig naming sabihin ay isang tuwid na linya, ang distansya mula sa anumang punto kung saan sa anumang punto ng katawan ay nananatiling pare-pareho sa panahon ng paggalaw nito.

Ang paggalaw ng pagsasalin ng isang ganap na matibay na katawan ay maaaring mailalarawan sa pamamagitan ng paggalaw ng anumang punto ng katawan na ito, dahil sa panahon ng paggalaw ng pagsasalin ang lahat ng mga punto ng katawan ay gumagalaw na may parehong bilis at accelerations, at ang mga tilapon ng kanilang paggalaw ay magkatugma. Ang pagkakaroon ng pagtukoy sa paggalaw ng anumang punto ng isang matibay na katawan, sa parehong oras ay tutukuyin natin ang paggalaw ng lahat ng iba pang mga punto nito. Samakatuwid, kapag naglalarawan ng paggalaw ng pagsasalin, walang mga bagong problema ang lumitaw kung ihahambing sa kinematics ng isang materyal na punto. Ang isang halimbawa ng translational motion ay ipinapakita sa Fig. 2.20.

Fig.2.20. Pasulong na paggalaw ng katawan

Ang isang halimbawa ng translational motion ay ipinapakita sa sumusunod na figure:

Fig.2.21. patag na paggalaw ng katawan

Ang isa pang mahalagang espesyal na kaso ng paggalaw ng isang matibay na katawan ay ang paggalaw kung saan ang dalawang punto ng katawan ay nananatiling hindi gumagalaw.

Ang isang paggalaw kung saan ang dalawang punto ng katawan ay nananatiling hindi gumagalaw ay tinatawag pag-ikot sa paligid ng isang nakapirming axis.

Ang tuwid na linya na nagkokonekta sa mga puntong ito ay nakatigil din at tinatawag axis ng pag-ikot.

Fig.2.22. Matigas na pag-ikot ng katawan

Sa paggalaw na ito, ang lahat ng mga punto ng katawan ay gumagalaw sa mga bilog na matatagpuan sa mga eroplano na patayo sa axis ng pag-ikot. Ang mga sentro ng mga bilog ay namamalagi sa axis ng pag-ikot. Sa kasong ito, ang axis ng pag-ikot ay maaaring matatagpuan sa labas ng katawan.

Video 2.4. Mga paggalaw ng pagsasalin at pag-ikot.

Angular velocity, angular acceleration. Kapag ang isang katawan ay umiikot sa anumang axis, ang lahat ng mga punto nito ay naglalarawan ng mga bilog na may iba't ibang radii at, samakatuwid, ay may iba't ibang mga displacement, velocities at accelerations. Gayunpaman, posible na ilarawan ang paikot na paggalaw ng lahat ng mga punto ng katawan sa parehong paraan. Upang gawin ito, gumagamit sila ng iba pang (kumpara sa materyal na punto) mga kinematic na katangian ng paggalaw - anggulo ng pag-ikot, angular na bilis, anggular acceleration.

kanin. 2.23. Acceleration vector ng isang punto na gumagalaw sa isang bilog

Ang papel ng displacement sa rotational motion ay nilalaro ni maliit na vector ng pag-ikot, sa paligid ng axis ng pag-ikot 00" (Larawan 2.24.). Magiging pareho ito para sa anumang punto ganap na matigas na katawan(halimbawa, mga puntos 1, 2, 3 ).

kanin. 2.24. Pag-ikot ng isang ganap na matibay na katawan sa paligid ng isang nakapirming axis

Ang magnitude ng rotation vector ay katumbas ng magnitude ng rotation angle at ang anggulo ay sinusukat sa radians.

Ang vector ng infinitesimal na pag-ikot sa kahabaan ng axis ng pag-ikot ay nakadirekta patungo sa paggalaw ng kanang tornilyo (gimlet), na pinaikot sa parehong direksyon tulad ng katawan.

Video 2.5. Ang mga finite angular displacement ay hindi mga vector, dahil hindi sila nagdaragdag ayon sa parallelogram rule. Ang mga infinitesimal na angular displacement ay mga vector.

Tinatawag ang mga vector na ang mga direksyon ay nauugnay sa panuntunan ng gimlet ng ehe(mula sa English aksis- axis) sa kaibahan sa polar. vectors na ginamit natin kanina. Ang mga polar vector ay, halimbawa, ang radius vector, ang velocity vector, ang acceleration vector at ang force vector. Ang mga axial vector ay tinatawag ding mga pseudovector, dahil naiiba sila sa mga tunay na (polar) na vector sa kanilang pag-uugali sa panahon ng operasyon ng pagmuni-muni sa isang salamin (inversion o, ano ang pareho, paglipat mula sa isang kanang kamay patungo sa isang kaliwang kamay na coordinate system) . Maaari itong ipakita (ito ay gagawin sa ibang pagkakataon) na ang pagdaragdag ng mga vector ng infinitesimal na pag-ikot ay nangyayari sa parehong paraan tulad ng pagdaragdag ng mga tunay na vector, iyon ay, ayon sa parallelogram (tatsulok) na panuntunan. Samakatuwid, kung ang pagpapatakbo ng pagmuni-muni sa isang salamin ay hindi isinasaalang-alang, kung gayon ang pagkakaiba sa pagitan ng mga pseudo-vector at tunay na mga vector ay hindi nagpapakita ng sarili sa anumang paraan at maaari at dapat silang tratuhin tulad ng mga ordinaryong (totoong) vector.

Ang ratio ng vector ng isang infinitesimal na pag-ikot sa oras kung kailan naganap ang pag-ikot na ito

tinawag bilis ng pag-ikot ng anggular.

Ang pangunahing yunit ng pagsukat para sa angular velocity ay rad/s. Sa mga nakalimbag na publikasyon, para sa mga kadahilanang walang kinalaman sa pisika, madalas silang sumulat 1/s o s -1, na, mahigpit na pagsasalita, ay hindi totoo. Ang anggulo ay isang walang sukat na dami, ngunit ang mga yunit ng pagsukat nito ay magkaiba (degrees, puntos, grads...) at dapat silang ipahiwatig, hindi bababa sa upang maiwasan ang mga hindi pagkakaunawaan.

Video 2.6. Ang stroboscopic effect at ang paggamit nito para sa malayuang pagsukat ng angular velocity.

Angular velocity, tulad ng vector kung saan ito ay proporsyonal, ay isang axial vector. Kapag umiikot sa paligid hindi gumagalaw axis, ang angular velocity ay hindi nagbabago ng direksyon nito. Sa pare-parehong pag-ikot, ang magnitude nito ay nananatiling pare-pareho, kaya ang vector . Sa kaso ng sapat na katatagan sa oras ng angular velocity, ito ay maginhawa upang makilala ang pag-ikot sa pamamagitan ng panahon nito T :

Panahon ng pag-ikot- ito ang panahon kung saan ang katawan ay gumagawa ng isang rebolusyon (pag-ikot sa isang anggulo ng 2π) sa paligid ng axis ng pag-ikot.

Ang mga salitang "sapat na katatagan" ay malinaw na nangangahulugan na sa panahon (panahon ng isang rebolusyon) ang module ng angular velocity ay hindi gaanong nagbabago.

Madalas ding ginagamit bilang ng mga rebolusyon bawat yunit ng oras

Bukod dito, sa mga teknikal na aplikasyon (pangunahin ang lahat ng mga uri ng mga makina), kaugalian na tumagal ng hindi isang segundo, ngunit isang minuto bilang isang yunit ng oras. Iyon ay, ang angular na bilis ng pag-ikot ay ipinahiwatig sa mga rebolusyon bawat minuto. Tulad ng madali mong nakikita, ang relasyon sa pagitan ng (sa radians bawat segundo) at (sa mga rebolusyon bawat minuto) ay ang mga sumusunod

Ang direksyon ng angular velocity vector ay ipinapakita sa Fig. 2.25.

Sa pamamagitan ng pagkakatulad sa linear acceleration, ang angular acceleration ay ipinakilala bilang rate ng pagbabago ng angular velocity vector. Ang angular acceleration ay isa ring axial vector (pseudovector).

Ang angular acceleration ay isang axial vector na tinukoy bilang ang time derivative ng angular velocity

Kapag umiikot tungkol sa isang nakapirming axis, o mas pangkalahatan kapag umiikot tungkol sa isang axis na nananatiling parallel sa sarili nito, ang angular velocity vector ay nakadirekta din parallel sa axis ng pag-ikot. Sa pagtaas ng angular velocity || ang angular acceleration ay kasabay nito sa direksyon; kapag bumababa, ito ay nakadirekta sa tapat na direksyon. Binibigyang-diin namin na ito ay isang espesyal na kaso lamang ng invariance ng direksyon ng rotation axis; sa pangkalahatang kaso (pag-ikot sa paligid ng isang punto), ang rotation axis mismo ay umiikot at pagkatapos ay hindi tama ang nasa itaas.

Relasyon sa pagitan ng angular at linear velocities at accelerations. Ang bawat isa sa mga punto ng umiikot na katawan ay gumagalaw na may isang tiyak na linear na bilis, na nakadirekta nang tangential sa kaukulang bilog (tingnan ang Fig. 19). Hayaang umikot ang punto ng materyal sa paligid ng isang axis 00" kasama ang isang bilog na may radius R. Sa maikling panahon, maglalakbay ito sa isang landas na tumutugma sa anggulo ng pag-ikot. Pagkatapos

Ang paglipat sa limitasyon, makakakuha tayo ng isang expression para sa modulus ng linear velocity ng isang punto ng isang umiikot na katawan.

Pinapaalalahanan ka namin dito R- ang distansya mula sa itinuturing na punto ng katawan hanggang sa axis ng pag-ikot.

kanin. 2.26.

Dahil ang normal na acceleration ay

pagkatapos, isinasaalang-alang ang relasyon para sa angular at linear na bilis, nakuha namin

Ang normal na acceleration ng mga puntos sa isang umiikot na matibay na katawan ay madalas na tinatawag centripetal acceleration.

Ang pagkakaiba ng expression para sa may paggalang sa oras, nahanap namin

saan ang tangential acceleration ng isang punto na gumagalaw sa isang bilog na may radius R.

Kaya, ang parehong tangential at normal na mga acceleration ay tumataas nang linear sa pagtaas ng radius R- distansya mula sa axis ng pag-ikot. Ang kabuuang acceleration ay depende rin sa linearly R :

Halimbawa. Hanapin natin ang linear velocity at centripetal acceleration ng mga puntos na nasa ibabaw ng mundo sa ekwador at sa latitude ng Moscow ( = 56°). Alam natin ang panahon ng pag-ikot ng Earth sa paligid ng sarili nitong axis T = 24 na oras = 24x60x60 = 86,400 s. Mula dito makikita natin ang angular na bilis ng pag-ikot

Average na radius ng Earth

Ang distansya sa axis ng pag-ikot sa latitude ay katumbas ng

Mula dito nakita namin ang linear na bilis

at centripetal acceleration

Sa ekwador = 0, cos = 1, samakatuwid,

Sa latitude ng Moscow cos = cos 56° = 0.559 at makuha namin:

Nakikita namin na ang impluwensya ng pag-ikot ng Earth ay hindi masyadong malaki: ang ratio ng centripetal acceleration sa equator sa acceleration ng free fall ay katumbas ng

Gayunpaman, tulad ng makikita natin sa ibang pagkakataon, ang mga epekto ng pag-ikot ng Earth ay lubos na nakikita.

Relasyon sa pagitan ng linear at angular velocity vectors. Ang mga ugnayan sa pagitan ng angular at linear na bilis na nakuha sa itaas ay isinulat para sa mga module ng mga vector at . Upang isulat ang mga ugnayang ito sa anyo ng vector, ginagamit namin ang konsepto ng isang produkto ng vector.

Hayaan 0z- axis ng pag-ikot ng isang ganap na matibay na katawan (Larawan 2.28).

kanin. 2.28. Relasyon sa pagitan ng linear at angular velocity vectors

Dot A umiikot sa isang bilog na may radius R. R- distansya mula sa axis ng pag-ikot hanggang sa itinuturing na punto ng katawan. Kumuha tayo ng isang punto 0 para sa pinanggalingan. Pagkatapos

at mula noon

pagkatapos ay sa pamamagitan ng kahulugan ng produkto ng vector, para sa lahat ng mga punto ng katawan

Narito ang radius vector ng isang punto ng katawan, simula sa punto O, na nakahiga sa isang arbitrary na nakapirming lokasyon, kinakailangan sa axis ng pag-ikot

Ngunit sa ibang paraan

Ang unang termino ay katumbas ng zero, dahil ang vector product ng collinear vectors ay katumbas ng zero. Kaya naman,

nasaan ang vector R ay patayo sa axis ng pag-ikot at nakadirekta palayo dito, at ang module nito ay katumbas ng radius ng bilog kung saan gumagalaw ang materyal na punto at ang vector na ito ay nagsisimula sa gitna ng bilog na ito.

kanin. 2.29. Patungo sa pagpapasiya ng instantaneous axis ng pag-ikot

Ang normal (centripetal) acceleration ay maaari ding isulat sa vector form:

at ang tandang “–” ay nagpapahiwatig na ito ay nakadirekta patungo sa axis ng pag-ikot. Ang pagkakaiba ng relasyon para sa linear at angular velocity na may paggalang sa oras, nakita namin ang expression para sa kabuuang acceleration

Ang unang termino ay nakadirekta padaplis sa trajectory ng isang punto sa isang umiikot na katawan at ang module nito ay katumbas ng , dahil

Kung ikukumpara sa expression para sa tangential acceleration, napag-uusapan natin na ito ang tangential acceleration vector.

Samakatuwid, ang pangalawang termino ay kumakatawan sa normal na acceleration ng parehong punto:

Sa katunayan, ito ay nakadirekta kasama ang radius R sa axis ng pag-ikot at ang module nito ay katumbas ng

Samakatuwid, ang relasyong ito para sa normal na acceleration ay isa pang anyo ng pagsulat ng dating nakuhang formula.

karagdagang impormasyon

http://www.plib.ru/library/book/14978.html - Sivukhin D.V. Pangkalahatang kurso ng pisika, volume 1, Mechanics Ed. Science 1979 – pp. 242–243 (§46, talata 7): tinalakay ang medyo mahirap unawain na tanong ng kalikasan ng vector ng mga angular na pag-ikot ng isang matibay na katawan;

http://www.plib.ru/library/book/14978.html - Sivukhin D.V. Pangkalahatang kurso ng pisika, volume 1, Mechanics Ed. Science 1979 – pp. 233–242 (§45, §46 pp. 1–6): agarang aksis ng pag-ikot ng isang matibay na katawan, pagdaragdag ng mga pag-ikot;

http://kvant.mirror1.mccme.ru/1990/02/kinematika_basketbolnogo_brosk.html - "Kvant" magazine – kinematics ng basketball throw (R. Vinokur);

http://kvant.mirror1.mccme.ru/ - "Kvant" magazine, 2003, No. 6, – pp. 5–11, larangan ng agarang bilis ng isang matibay na katawan (S. Krotov);

Anggulo ng pag-ikot ng elementarya, angular na bilis

Figure 9. Elementary rotation angle ()

Ang mga pag-ikot ng elementarya (infinitesimal) ay itinuturing bilang mga vector. Ang magnitude ng vector ay katumbas ng anggulo ng pag-ikot, at ang direksyon nito ay tumutugma sa direksyon ng paggalaw ng pagsasalin ng dulo ng tornilyo, ang ulo nito ay umiikot sa direksyon ng paggalaw ng punto sa kahabaan ng bilog, i.e., sumusunod ito. ang right-hand screw rule.

Angular na bilis

Ang vector ay nakadirekta sa kahabaan ng axis ng pag-ikot ayon sa panuntunan ng kanang tornilyo, i.e. kapareho ng vector (tingnan ang Larawan 10).

Larawan 10.

Larawan 11

Isang vector quantity na tinutukoy ng unang derivative ng anggulo ng pag-ikot ng isang katawan na may kinalaman sa oras.

Komunikasyon sa pagitan ng linear at angular velocity modules

Larawan 12

Relasyon sa pagitan ng linear at angular velocity vectors

Ang posisyon ng puntong isinasaalang-alang ay tinukoy ng radius vector (iginuhit mula sa pinanggalingan 0 na nakahiga sa rotation axis). Ang cross product ay tumutugma sa direksyon sa vector at may modulus na katumbas ng

Ang yunit ng angular velocity ay .

Ang mga Pseudovectors (axial vectors) ay mga vector na ang mga direksyon ay nauugnay sa direksyon ng pag-ikot (halimbawa,). Ang mga vector na ito ay walang mga partikular na punto ng aplikasyon: maaari silang i-plot mula sa anumang punto sa rotation axis.

Pare-parehong paggalaw ng isang materyal na punto sa paligid ng isang bilog

Ang pare-parehong paggalaw sa kahabaan ng isang bilog ay isang paggalaw kung saan ang isang materyal na punto (katawan) ay dumadaan sa isang arko ng isang bilog na katumbas ng haba sa pantay na pagitan ng oras.

Angular na bilis

: (-- anggulo ng pag-ikot).

Ang panahon ng pag-ikot T ay ang oras kung saan ang isang materyal na punto ay gumagawa ng isang kumpletong rebolusyon sa paligid ng isang bilog, ibig sabihin, umiikot sa isang anggulo.

Dahil ito ay tumutugma sa tagal ng panahon, kung gayon.

Ang dalas ng pag-ikot ay ang bilang ng buong pag-ikot na ginawa ng isang materyal na punto sa panahon ng pare-parehong paggalaw nito sa paligid ng isang bilog, bawat yunit ng oras.

Larawan 13

Isang katangiang katangian ng pare-parehong pabilog na paggalaw

Uniform circular motion ay isang espesyal na kaso ng curvilinear motion. Ang pabilog na paggalaw na may pare-pareho ang bilis sa absolute value () ay pinabilis. Ito ay dahil sa ang katunayan na sa isang pare-pareho ang modulus ang direksyon ng bilis ay nagbabago sa lahat ng oras.

Pagpapabilis ng isang materyal na punto na gumagalaw nang pantay sa isang bilog

Ang tangential component ng acceleration kapag ang isang punto ay gumagalaw nang pantay sa paligid ng isang bilog ay zero.

Ang normal na bahagi ng acceleration (centripetal acceleration) ay nakadirekta sa radially patungo sa gitna ng bilog (tingnan ang Figure 13). Sa anumang punto sa bilog, ang normal na acceleration vector ay patayo sa velocity vector. Ang acceleration ng isang materyal na punto na gumagalaw nang pantay sa paligid ng isang bilog sa anumang punto ay centripetal.

Angular acceleration. Relasyon sa pagitan ng mga linear at angular na dami

Ang angular acceleration ay isang vector quantity na tinutukoy ng unang derivative ng angular velocity na may kinalaman sa oras.

Angular acceleration vector direksyon

Kapag ang isang katawan ay umiikot sa isang nakapirming axis, ang angular acceleration vector ay nakadirekta sa kahabaan ng rotation axis patungo sa vector ng elementarya na pagtaas ng angular velocity.

Kapag ang paggalaw ay pinabilis, ang vector ay codirectional sa vector, kapag ito ay mabagal, ito ay kabaligtaran nito. Ang Vector ay isang pseudo-vector.

Ang yunit ng angular acceleration ay .

Relasyon sa pagitan ng mga linear at angular na dami

(-- radius ng bilog; - linear velocity; - tangential acceleration; - normal acceleration; - angular velocity).