Equation direktang online calculator. Ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang ibinigay na mga punto, mga halimbawa, mga solusyon

Hayaang dumaan ang tuwid na linya sa mga puntos na M 1 (x 1; y 1) at M 2 (x 2; y 2). Ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa punto M 1 ay may anyo y- y 1 \u003d k (x - x 1), (10.6)

saan k - hindi pa rin alam na koepisyent.

Dahil ang tuwid na linya ay dumadaan sa puntong M 2 (x 2 y 2), kung gayon ang mga coordinate ng puntong ito ay dapat matugunan ang equation (10.6): y 2 -y 1 \u003d k (x 2 -x 1).

Mula dito makikita natin ang Pagpapalit sa nahanap na halaga k sa equation (10.6), nakuha namin ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa mga puntos na M 1 at M 2:

Ipinapalagay na sa equation na ito x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Kung x 1 \u003d x 2, kung gayon ang tuwid na linya na dumadaan sa mga puntos na M 1 (x 1, y I) at M 2 (x 2, y 2) ay kahanay sa y-axis. Ang equation nito ay x = x 1 .

Kung y 2 \u003d y I, kung gayon ang equation ng tuwid na linya ay maaaring isulat bilang y \u003d y 1, ang tuwid na linya M 1 M 2 ay kahanay sa x-axis.

Equation ng isang tuwid na linya sa mga segment

Hayaang magsalubong ang tuwid na linya sa axis ng Ox sa puntong M 1 (a; 0), at sa axis ng Oy - sa puntong M 2 (0; b). Ang equation ay kukuha ng anyo:
mga.
. Ang equation na ito ay tinatawag ang equation ng isang tuwid na linya sa mga segment, dahil ang mga numerong a at b ay nagpapahiwatig kung aling mga segment ang pinuputol ng tuwid na linya sa mga coordinate axes.

Equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang naibigay na punto na patayo sa isang naibigay na vector

Hanapin natin ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang ibinigay na punto Mo (x O; y o) patayo sa isang ibinigay na di-zero na vector n = (A; B).

Kumuha ng arbitrary point M(x; y) sa tuwid na linya at isaalang-alang ang vector M 0 M (x - x 0; y - y o) (tingnan ang Fig. 1). Dahil ang mga vectors n at M o M ay patayo, ang kanilang scalar product ay katumbas ng zero: iyon ay,

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

Ang equation (10.8) ay tinatawag equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang ibinigay na punto na patayo sa isang naibigay na vector .

Ang vector n = (A; B) patayo sa linya ay tinatawag na normal normal na vector ng linyang ito .

Ang equation (10.8) ay maaaring muling isulat bilang Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

kung saan ang A at B ay ang mga coordinate ng normal na vector, C \u003d -Ax o - Vu o - libreng miyembro. Equation (10.9) ay ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya(tingnan ang Fig.2).

Fig.1 Fig.2

Canonical equation ng tuwid na linya

saan
ay ang mga coordinate ng punto kung saan dumadaan ang linya, at
- vector ng direksyon.

Mga kurba ng pangalawang order na Circle

Ang isang bilog ay ang hanay ng lahat ng mga punto ng isang eroplano na katumbas ng layo mula sa isang naibigay na punto, na tinatawag na sentro.

Canonical equation ng isang bilog ng radius R nakasentro sa isang punto
:

Sa partikular, kung ang sentro ng stake ay tumutugma sa pinagmulan, ang equation ay magiging ganito:

Ellipse

Ang isang ellipse ay isang hanay ng mga punto sa isang eroplano, ang kabuuan ng mga distansya mula sa bawat isa sa kanila hanggang sa dalawang ibinigay na mga punto at , na tinatawag na foci, ay isang pare-parehong halaga
, mas malaki kaysa sa distansya sa pagitan ng foci
.

Ang canonical equation ng isang ellipse na ang foci ay nasa axis ng Ox at ang pinagmulan ay nasa gitna sa pagitan ng foci ay may anyo
G de a ang haba ng pangunahing semiaxis; b ay ang haba ng minor semiaxis (Larawan 2).

Relasyon sa pagitan ng mga parameter ng ellipse
at ay ipinahayag ng ratio:

(4)

Ellipse eccentricitytinatawag na ratio ng interfocal distance2ssa pangunahing axis2a:

Mga punong-guro ellipse ay tinatawag na mga tuwid na linya parallel sa y-axis, na nasa layo mula sa axis na ito. Mga equation ng Directtrix:
.

Kung sa ellipse equation
, pagkatapos ay ang foci ng ellipse ay nasa y-axis.

Kaya,

Ipinagpapatuloy ng artikulong ito ang paksa ng equation ng isang tuwid na linya sa isang eroplano: isaalang-alang ang ganitong uri ng equation bilang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya. Tukuyin natin ang isang teorama at ibigay ang patunay nito; Alamin natin kung ano ang isang hindi kumpletong pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya at kung paano gumawa ng mga paglipat mula sa isang pangkalahatang equation sa iba pang mga uri ng mga equation ng isang tuwid na linya. Pagsasama-samahin natin ang buong teorya gamit ang mga ilustrasyon at paglutas ng mga praktikal na problema.

Hayaang magbigay ng rectangular coordinate system O x y sa eroplano.

Teorama 1

Anumang equation ng unang degree, na may anyo na A x + B y + C \u003d 0, kung saan ang A, B, C ay ilang mga tunay na numero (A at B ay hindi katumbas ng zero sa parehong oras) ay tumutukoy sa isang tuwid na linya sa isang rectangular coordinate system sa isang eroplano. Kaugnay nito, ang anumang linya sa isang rectangular coordinate system sa eroplano ay tinutukoy ng isang equation na may anyo na A x + B y + C = 0 para sa isang tiyak na hanay ng mga halaga A, B, C.

Patunay

Ang teorama na ito ay binubuo ng dalawang puntos, patunayan namin ang bawat isa sa kanila.

Patunayan natin na ang equation na A x + B y + C = 0 ay tumutukoy sa isang linya sa eroplano.

Hayaang magkaroon ng ilang punto M 0 (x 0 , y 0) na ang mga coordinate ay tumutugma sa equation na A x + B y + C = 0 . Kaya: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Ibawas mula sa kaliwa at kanang bahagi ng mga equation A x + B y + C \u003d 0 ang kaliwa at kanang bahagi ng equation A x 0 + B y 0 + C \u003d 0, nakakakuha kami ng bagong equation na mukhang A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . Ito ay katumbas ng A x + B y + C = 0 .

Ang resultang equation A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ay isang kinakailangan at sapat na kondisyon para sa perpendicularity ng mga vectors n → = (A, B) at M 0 M → = (x - x 0, y - y 0 ) . Kaya, ang hanay ng mga puntos na M (x, y) ay tumutukoy sa isang rectangular coordinate system ng isang tuwid na linya na patayo sa direksyon ng vector n → = (A, B) . Maaari nating ipagpalagay na hindi ito ganoon, ngunit ang mga vectors n → = (A, B) at M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) ay hindi magiging patayo, at ang pagkakapantay-pantay A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 ay hindi magiging totoo.

Samakatuwid, ang equation A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 ay tumutukoy sa ilang linya sa isang rectangular coordinate system sa eroplano, at samakatuwid ang katumbas na equation A x + B y + C \u003d 0 ay tumutukoy ang parehong linya. Sa gayon ay napatunayan natin ang unang bahagi ng teorama.

Patunayan natin na ang anumang tuwid na linya sa isang rectangular coordinate system sa isang eroplano ay maaaring ibigay sa pamamagitan ng isang equation ng unang degree na A x + B y + C = 0 .

Magtakda tayo ng isang tuwid na linya a sa isang rectangular coordinate system sa eroplano; punto M 0 (x 0 , y 0) kung saan dumadaan ang linyang ito, gayundin ang normal na vector ng linyang ito n → = (A , B) .

Hayaang mayroon ding ilang punto M (x , y) - isang lumulutang na punto ng linya. Sa kasong ito, ang mga vectors n → = (A , B) at M 0 M → = (x - x 0 , y - y 0) ay patayo sa isa't isa, at ang kanilang scalar product ay zero:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

Isulat muli natin ang equation A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 , tukuyin ang C: C = - A x 0 - B y 0 at sa wakas ay makuha ang equation A x + B y + C = 0 .

Kaya, napatunayan na natin ang ikalawang bahagi ng theorem, at napatunayan na natin ang buong theorem sa kabuuan.

Kahulugan 1

Isang equation na mukhang A x + B y + C = 0 - ito ay pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya sa isang eroplano sa isang rectangular coordinate systemO x y .

Batay sa napatunayang teorama, maaari nating tapusin na ang isang tuwid na linya na ibinigay sa isang eroplano sa isang nakapirming rectangular coordinate system at ang pangkalahatang equation nito ay hindi mapaghihiwalay na magkakaugnay. Sa madaling salita, ang orihinal na linya ay tumutugma sa pangkalahatang equation nito; ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya ay tumutugma sa isang ibinigay na tuwid na linya.

Sumusunod din ito mula sa patunay ng theorem na ang mga coefficient A at B para sa mga variable na x at y ay ang mga coordinate ng normal na vector ng tuwid na linya, na ibinibigay ng pangkalahatang equation ng tuwid na linya A x + B y + C = 0 .

Isaalang-alang ang isang tiyak na halimbawa ng pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya.

Hayaang ibigay ang equation na 2 x + 3 y - 2 = 0, na tumutugma sa isang tuwid na linya sa isang ibinigay na rectangular coordinate system. Ang normal na vector ng linyang ito ay ang vector n → = (2 , 3) . Gumuhit ng isang tuwid na linya sa pagguhit.

Ang mga sumusunod ay maaari ding pagtalunan: ang tuwid na linya na nakikita natin sa pagguhit ay tinutukoy ng pangkalahatang equation 2 x + 3 y - 2 = 0, dahil ang mga coordinate ng lahat ng mga punto ng isang naibigay na tuwid na linya ay tumutugma sa equation na ito.

Makukuha natin ang equation na λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 sa pamamagitan ng pagpaparami ng magkabilang panig ng pangkalahatang straight line equation sa isang non-zero number na λ. Ang resultang equation ay katumbas ng orihinal na pangkalahatang equation, samakatuwid, ilalarawan nito ang parehong linya sa eroplano.

Kahulugan 2

Kumpletuhin ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya- tulad ng isang pangkalahatang equation ng linya A x + B y + C \u003d 0, kung saan ang mga numero A, B, C ay hindi zero. Kung hindi, ang equation ay hindi kumpleto.

Suriin natin ang lahat ng mga pagkakaiba-iba ng hindi kumpletong pangkalahatang equation ng tuwid na linya.

Kapag A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0, ang pangkalahatang equation ay magiging B y + C \u003d 0. Ang ganitong hindi kumpletong pangkalahatang equation ay tumutukoy sa isang tuwid na linya sa isang hugis-parihaba na coordinate system O x y na kahanay sa O x axis, dahil para sa anumang tunay na halaga ng x, ang variable na y ay kukuha sa halaga - C B . Sa madaling salita, ang pangkalahatang equation ng linya A x + B y + C \u003d 0, kapag ang A \u003d 0, B ≠ 0, ay tumutukoy sa locus ng mga puntos (x, y) na ang mga coordinate ay katumbas ng parehong numero - C B .
Kung A \u003d 0, B ≠ 0, C \u003d 0, ang pangkalahatang equation ay magiging y \u003d 0. Ang ganitong hindi kumpletong equation ay tumutukoy sa x-axis O x .
Kapag A ≠ 0, B \u003d 0, C ≠ 0, nakakakuha kami ng hindi kumpletong pangkalahatang equation A x + C \u003d 0, na tumutukoy sa isang tuwid na linya na kahanay sa y-axis.
Hayaan ang A ≠ 0, B \u003d 0, C \u003d 0, kung gayon ang hindi kumpletong pangkalahatang equation ay kukuha ng form x \u003d 0, at ito ang equation ng coordinate line O y.
Sa wakas, kapag ang A ≠ 0, B ≠ 0, C \u003d 0, ang hindi kumpletong pangkalahatang equation ay nasa anyo na A x + B y \u003d 0. At ang equation na ito ay naglalarawan ng isang tuwid na linya na dumadaan sa pinagmulan. Sa katunayan, ang pares ng mga numero (0 , 0) ay tumutugma sa pagkakapantay-pantay A x + B y = 0 , dahil A · 0 + B · 0 = 0 .

Ilarawan natin nang grapiko ang lahat ng nasa itaas na uri ng hindi kumpletong pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya.

Halimbawa 1

Alam na ang ibinigay na tuwid na linya ay kahanay sa y-axis at dumadaan sa puntong 2 7 , - 11 . Kinakailangang isulat ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya.

Solusyon

Ang isang tuwid na linya na kahanay sa y-axis ay ibinibigay ng isang equation ng form A x + C \u003d 0, kung saan A ≠ 0. Tinutukoy din ng kundisyon ang mga coordinate ng punto kung saan dumadaan ang linya, at ang mga coordinate ng puntong ito ay tumutugma sa mga kondisyon ng hindi kumpletong pangkalahatang equation A x + C = 0 , i.e. tama ang pagkakapantay-pantay:

A 2 7 + C = 0

Posibleng matukoy ang C mula dito sa pamamagitan ng pagbibigay sa A ng ilang di-zero na halaga, halimbawa, A = 7 . Sa kasong ito, makakakuha tayo ng: 7 2 7 + C \u003d 0 ⇔ C \u003d - 2. Alam natin ang parehong coefficients A at C, palitan ang mga ito sa equation A x + C = 0 at makuha ang kinakailangang equation ng linya: 7 x - 2 = 0

Sagot: 7 x - 2 = 0

Halimbawa 2

Ang pagguhit ay nagpapakita ng isang tuwid na linya, ito ay kinakailangan upang isulat ang equation nito.

Solusyon

Ang ibinigay na pagguhit ay nagpapahintulot sa amin na madaling kunin ang paunang data para sa paglutas ng problema. Nakikita natin sa pagguhit na ang ibinigay na linya ay kahanay sa O x axis at dumadaan sa punto (0 , 3).

Ang tuwid na linya, na kahanay sa abscissa, ay tinutukoy ng hindi kumpletong pangkalahatang equation B y + С = 0. Hanapin ang mga halaga ng B at C. Ang mga coordinate ng punto (0, 3), dahil ang ibinigay na tuwid na linya ay dumaan dito, ay masisiyahan ang equation ng tuwid na linya B y + С = 0, kung gayon ang pagkakapantay-pantay ay wasto: В · 3 + С = 0. Itakda natin ang B sa ilang halaga maliban sa zero. Sabihin nating B \u003d 1, sa kasong ito, mula sa pagkakapantay-pantay B · 3 + C \u003d 0 mahahanap natin ang C: C \u003d - 3. Gamit ang kilalang mga halaga ng B at C, nakuha namin ang kinakailangang equation ng tuwid na linya: y - 3 = 0.

Sagot: y - 3 = 0 .

Pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang ibinigay na punto ng eroplano

Hayaang dumaan ang ibinigay na linya sa puntong M 0 (x 0, y 0), pagkatapos ang mga coordinate nito ay tumutugma sa pangkalahatang equation ng linya, i.e. ang pagkakapantay-pantay ay totoo: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Ibawas ang kaliwa at kanang bahagi ng equation na ito mula sa kaliwa at kanang bahagi ng pangkalahatang kumpletong equation ng tuwid na linya. Nakukuha namin ang: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C \u003d 0, ang equation na ito ay katumbas ng orihinal na pangkalahatan, dumadaan sa puntong M 0 (x 0, y 0) at may normal na vector n → \u003d (A, B) .

Ang resulta na aming nakuha ay ginagawang posible na isulat ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya para sa mga kilalang coordinate ng normal na vector ng tuwid na linya at ang mga coordinate ng isang tiyak na punto ng tuwid na linya na ito.

Halimbawa 3

Ibinigay ang isang punto M 0 (- 3, 4) kung saan dumadaan ang linya, at ang normal na vector ng linyang ito n → = (1 , - 2) . Kinakailangang isulat ang equation ng isang tuwid na linya.

Solusyon

Ang mga paunang kondisyon ay nagpapahintulot sa amin na makuha ang kinakailangang data para sa pag-compile ng equation: A \u003d 1, B \u003d - 2, x 0 \u003d - 3, y 0 \u003d 4. Pagkatapos:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

Ang problema ay maaaring malutas sa ibang paraan. Ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya ay may anyong A x + B y + C = 0 . Ang ibinigay na normal na vector ay nagbibigay-daan sa iyo upang makuha ang mga halaga ng mga coefficient A at B , pagkatapos:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

Ngayon hanapin natin ang halaga ng C, gamit ang puntong M 0 (- 3, 4) na ibinigay ng kondisyon ng problema, kung saan dumadaan ang linya. Ang mga coordinate ng puntong ito ay tumutugma sa equation x - 2 · y + C = 0 , i.e. - 3 - 2 4 + C \u003d 0. Kaya C = 11. Ang kinakailangang straight line equation ay nasa anyong: x - 2 · y + 11 = 0 .

Sagot: x - 2 y + 11 = 0 .

Halimbawa 4

Ibinigay ang isang linya 2 3 x - y - 1 2 = 0 at isang punto M 0 na nakahiga sa linyang ito. Tanging ang abscissa ng puntong ito ay kilala, at ito ay katumbas ng - 3. Ito ay kinakailangan upang matukoy ang ordinate ng ibinigay na punto.

Solusyon

Itakda natin ang pagtatalaga ng mga coordinate ng punto M 0 bilang x 0 at y 0 . Ang paunang data ay nagpapahiwatig na x 0 \u003d - 3. Dahil ang punto ay kabilang sa isang naibigay na linya, kung gayon ang mga coordinate nito ay tumutugma sa pangkalahatang equation ng linyang ito. Pagkatapos ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ay magiging totoo:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

Tukuyin ang y 0: 2 3 (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

Sagot: - 5 2

Ang paglipat mula sa pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya patungo sa iba pang mga uri ng mga equation ng isang tuwid na linya at vice versa

Tulad ng alam natin, may ilang uri ng equation ng parehong tuwid na linya sa eroplano. Ang pagpili ng uri ng equation ay depende sa mga kondisyon ng problema; posible na piliin ang isa na mas maginhawa para sa solusyon nito. Ito ay kung saan ang kakayahan ng pag-convert ng isang equation ng isang uri sa isang equation ng isa pang uri ay dumating sa napaka-madaling gamitin.

Una, isaalang-alang ang paglipat mula sa pangkalahatang equation ng anyong A x + B y + C = 0 patungo sa canonical equation x - x 1 a x = y - y 1 a y .

Kung A ≠ 0, pagkatapos ay ililipat namin ang terminong B y sa kanang bahagi ng pangkalahatang equation. Sa kaliwang bahagi, kinuha namin ang A mula sa mga bracket. Bilang resulta, nakukuha natin ang: A x + C A = - B y .

Ang pagkakapantay-pantay na ito ay maaaring isulat bilang isang proporsyon: x + C A - B = y A .

Kung B ≠ 0, iniiwan lamang namin ang terminong A x sa kaliwang bahagi ng pangkalahatang equation, inililipat namin ang iba sa kanang bahagi, nakukuha namin: A x \u003d - B y - C. Inalis namin ang - B mula sa mga bracket, pagkatapos ay: A x \u003d - B y + C B.

Isulat muli natin ang pagkakapantay-pantay bilang isang proporsyon: x - B = y + C B A .

Siyempre, hindi na kailangang kabisaduhin ang mga resultang formula. Sapat na malaman ang algorithm ng mga aksyon sa panahon ng paglipat mula sa pangkalahatang equation hanggang sa canonical.

Halimbawa 5

Ang pangkalahatang equation ng linya 3 y - 4 = 0 ay ibinigay. Kailangan itong i-convert sa isang canonical equation.

Solusyon

Isinulat namin ang orihinal na equation bilang 3 y - 4 = 0 . Susunod, kumilos kami ayon sa algorithm: ang terminong 0 x ay nananatili sa kaliwang bahagi; at sa kanang bahagi ay inilabas namin - 3 sa mga bracket; makuha natin ang: 0 x = - 3 y - 4 3 .

Isulat natin ang resultang pagkakapantay-pantay bilang isang proporsyon: x - 3 = y - 4 3 0 . Kaya, nakuha namin ang isang equation ng canonical form.

Sagot: x - 3 = y - 4 3 0.

Upang baguhin ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya sa mga parametric, una, ang paglipat sa canonical form ay isinasagawa, at pagkatapos ay ang paglipat mula sa canonical equation ng tuwid na linya sa parametric equation.

Halimbawa 6

Ang tuwid na linya ay ibinibigay ng equation na 2 x - 5 y - 1 = 0 . Isulat ang mga parametric equation ng linyang ito.

Solusyon

Gawin natin ang paglipat mula sa pangkalahatang equation patungo sa kanonikal:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Ngayon kunin natin ang parehong bahagi ng resultang canonical equation na katumbas ng λ, pagkatapos:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Sagot:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Ang pangkalahatang equation ay maaaring ma-convert sa isang straight line equation na may slope y = k x + b, ngunit kapag B ≠ 0 lamang. Para sa paglipat sa kaliwang bahagi, iniiwan namin ang terminong B y , ang natitira ay inililipat sa kanan. Nakukuha namin ang: B y = - A x - C . Hatiin natin ang parehong bahagi ng resultang pagkakapantay-pantay sa B , na iba sa zero: y = - A B x - C B .

Halimbawa 7

Ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya ay ibinigay: 2 x + 7 y = 0 . Kailangan mong i-convert ang equation na iyon sa isang slope equation.

Solusyon

Gawin natin ang mga kinakailangang aksyon ayon sa algorithm:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

Sagot: y = - 2 7 x .

Mula sa pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya, sapat na upang makakuha lamang ng isang equation sa mga segment ng form x a + y b \u003d 1. Upang makagawa ng gayong paglipat, inilipat namin ang numero C sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay, hatiin ang parehong bahagi ng nagresultang pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng - С at, sa wakas, ilipat ang mga koepisyent para sa mga variable na x at y sa mga denominador:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

Halimbawa 8

Kinakailangang i-convert ang pangkalahatang equation ng tuwid na linya x - 7 y + 1 2 = 0 sa equation ng isang tuwid na linya sa mga segment.

Solusyon

Ilipat natin ang 1 2 sa kanang bahagi: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Hatiin sa -1/2 magkabilang panig ng equation: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

Sagot: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

Sa pangkalahatan, madali din ang reverse transition: mula sa iba pang uri ng equation hanggang sa pangkalahatan.

Ang equation ng isang tuwid na linya sa mga segment at ang equation na may slope ay madaling ma-convert sa isang pangkalahatan sa pamamagitan lamang ng pagkolekta ng lahat ng mga termino sa kaliwang bahagi ng equation:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Ang canonical equation ay na-convert sa pangkalahatan ayon sa sumusunod na scheme:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Upang pumasa mula sa parametric, una ang paglipat sa canonical ay isinasagawa, at pagkatapos ay sa pangkalahatan:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

Halimbawa 9

Ang mga parametric equation ng tuwid na linya x = - 1 + 2 · λ y = 4 ay ibinigay. Kinakailangang isulat ang pangkalahatang equation ng linyang ito.

Solusyon

Gawin natin ang paglipat mula sa mga parametric equation patungo sa canonical:

x = - 1 + 2 λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 λ y = 4 + 0 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Lumipat tayo mula sa canonical hanggang sa pangkalahatan:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

Sagot: y - 4 = 0

Halimbawa 10

Ang equation ng isang tuwid na linya sa mga segment x 3 + y 1 2 = 1 ay ibinigay. Kinakailangang isagawa ang paglipat sa pangkalahatang anyo ng equation.

Solusyon:

Isulat na lang natin ang equation sa kinakailangang form:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

Sagot: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .

Pagguhit ng isang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya

Sa itaas, sinabi namin na ang pangkalahatang equation ay maaaring isulat sa mga kilalang coordinate ng normal na vector at mga coordinate ng punto kung saan dumadaan ang linya. Ang nasabing tuwid na linya ay tinukoy ng equation na A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . Sa parehong lugar sinuri namin ang kaukulang halimbawa.

Ngayon tingnan natin ang mas kumplikadong mga halimbawa kung saan, una, kinakailangan upang matukoy ang mga coordinate ng normal na vector.

Halimbawa 11

Ibinigay ang isang linyang parallel sa linyang 2 x - 3 y + 3 3 = 0 . Kilala rin ang puntong M 0 (4 , 1) kung saan dumadaan ang ibinigay na linya. Kinakailangang isulat ang equation ng isang tuwid na linya.

Solusyon

Ang mga paunang kondisyon ay nagsasabi sa amin na ang mga linya ay parallel, samantalang, bilang isang normal na vector ng linya na ang equation ay kailangang isulat, kinuha namin ang nagdidirekta na vector ng linya n → \u003d (2, - 3) : 2 x - 3 y + 3 3 \u003d 0. Ngayon alam na natin ang lahat ng kinakailangang data upang mabuo ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

Sagot: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

Halimbawa 12

Ang ibinigay na linya ay dumadaan sa pinanggalingan patayo sa linyang x - 2 3 = y + 4 5 . Kinakailangang isulat ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya.

Solusyon

Ang normal na vector ng ibinigay na linya ay ang directing vector ng linya x - 2 3 = y + 4 5 .

Pagkatapos n → = (3 , 5) . Ang tuwid na linya ay dumadaan sa pinanggalingan, i.e. sa pamamagitan ng puntong O (0, 0) . Buuin natin ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Sagot: 3 x + 5 y = 0 .

Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

Natanggap ang artikulong ito equation ng isang linya na dumadaan sa dalawang ibinigay na puntos sa isang hugis-parihaba na Cartesian coordinate system sa eroplano, pati na rin ang mga equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang ibinigay na mga punto sa isang rectangular coordinate system sa tatlong-dimensional na espasyo. Pagkatapos ng pagtatanghal ng teorya, ang mga solusyon ng mga tipikal na halimbawa at mga problema ay ipinapakita kung saan kinakailangan na bumuo ng mga equation ng isang tuwid na linya ng iba't ibang uri, kapag ang mga coordinate ng dalawang punto ng tuwid na linya na ito ay kilala.

Pag-navigate sa pahina.

Equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang ibinigay na punto sa isang eroplano.

Bago natin makuha ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang ibinigay na mga punto sa isang rectangular coordinate system sa isang eroplano, alalahanin natin ang ilang mga katotohanan.

Ang isa sa mga axiom ng geometry ay nagsasabi na sa pamamagitan ng dalawang di-nagkataon na mga punto sa isang eroplano, ang isa ay maaaring gumuhit ng isang solong tuwid na linya. Sa madaling salita, sa pamamagitan ng pagtukoy ng dalawang punto sa eroplano, natatangi nating tinutukoy ang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang puntong ito (kung kinakailangan, sumangguni sa seksyon kung paano tukuyin ang isang tuwid na linya sa eroplano).

Hayaang ayusin si Oxy sa eroplano. Sa coordinate system na ito, ang anumang tuwid na linya ay tumutugma sa ilang equation ng isang tuwid na linya sa isang eroplano. Ang vector ng direksyon ng linya ay inextricably naka-link sa parehong linya. Ang kaalamang ito ay sapat na upang bumuo ng equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang ibinigay na mga punto.

Bumuo tayo ng kondisyon ng problema: buuin ang equation ng tuwid na linya a , na sa hugis-parihaba Cartesian coordinate system Oxy ay dumadaan sa dalawang hindi magkatugmang punto at .

Ipakita natin ang pinakasimple at pinaka-unibersal na solusyon sa problemang ito.

Alam namin na ang canonical equation ng isang linya sa eroplano ng form tumutukoy sa isang tuwid na linya sa Oxy rectangular coordinate system na dumadaan sa punto at may vector ng direksyon.

Isulat natin ang canonical equation ng tuwid na linyang a na dumadaan sa dalawang ibinigay na puntos at .

Malinaw, ang nagdidirekta na vector ng tuwid na linya a, na dumadaan sa mga puntos na M 1 at M 2, ay isang vector, mayroon itong mga coordinate (kung kinakailangan, tingnan ang artikulo). Kaya, mayroon kaming lahat ng kinakailangang data upang isulat ang canonical equation ng tuwid na linya a - ang mga coordinate ng vector ng direksyon nito at ang mga coordinate ng puntong nakahiga dito (at ). parang (o ).

Maaari din nating isulat ang mga parametric equation ng isang tuwid na linya sa isang eroplanong dumadaan sa dalawang puntos at . Magkamukha sila o .

Tingnan natin ang isang halimbawang solusyon.

Halimbawa.

Isulat ang equation para sa isang linya na dumadaan sa dalawang ibinigay na puntos. .

Solusyon.

Nalaman namin na ang canonical equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang puntos na may mga coordinate at may anyo .

Mula sa kalagayan ng problemang mayroon tayo . I-substitute ang mga datos na ito sa equation . Nakukuha namin .

Sagot:

Kung hindi natin kailangan ang isang canonical equation ng isang tuwid na linya at hindi parametric equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang ibinigay na mga punto, ngunit isang equation ng isang tuwid na linya ng ibang uri, kung gayon mula sa canonical na equation ng isang tuwid na linya ang isa ay palaging darating. dito.

Halimbawa.

Bumuo ng pangkalahatang equation ng tuwid na linya, na sa hugis-parihaba na coordinate system Oxy sa eroplano ay dumadaan sa dalawang puntos at.

Solusyon.

Una, isinulat namin ang canonical equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang ibinigay na puntos. Parang . Ngayon dinadala namin ang nagresultang equation sa kinakailangang form: .

Sagot:

Dito, maaari mong tapusin ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang ibinigay na mga punto sa isang rectangular coordinate system sa isang eroplano. Ngunit nais kong ipaalala sa iyo kung paano namin nalutas ang gayong problema sa mataas na paaralan sa mga aralin sa algebra.

Sa paaralan, alam lang namin ang equation ng isang tuwid na linya na may slope ng form. Hanapin natin ang halaga ng slope coefficient k at ang numero b , kung saan ang equation ay tumutukoy sa rectangular coordinate system Oxy sa eroplano ng isang tuwid na linya na dumadaan sa mga puntos at sa . (Kung x 1 \u003d x 2, kung gayon ang slope ng tuwid na linya ay walang hanggan, at ang tuwid na linya M 1 M 2 ay tumutukoy sa pangkalahatang hindi kumpletong equation ng tuwid na linya ng form na x-x 1 \u003d 0).

Dahil ang mga puntos na M 1 at M 2 ay nasa isang tuwid na linya, ang mga coordinate ng mga puntong ito ay nakakatugon sa equation ng isang tuwid na linya, iyon ay, ang mga pagkakapantay-pantay at wasto. Paglutas ng isang sistema ng mga equation ng anyo na may paggalang sa hindi kilalang mga variable k at b , nakita namin o . Para sa mga halagang ito ng k at b, ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang puntos at kinuha ang anyo o .

Ang pagsasaulo ng mga formula na ito ay hindi makatwiran; kapag nilutas ang mga halimbawa, mas madaling ulitin ang ipinahiwatig na mga aksyon.

Halimbawa.

Isulat ang equation ng isang tuwid na linya na may slope kung ang tuwid na linya na ito ay dumaan sa mga puntos at .

Solusyon.

Sa pangkalahatang kaso, ang equation ng isang tuwid na linya na may slope ay may anyo . Hanapin ang k at b kung saan ang equation ay tumutugma sa isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang puntos at .

Dahil ang mga puntos na M 1 at M 2 ay nasa isang tuwid na linya, kung gayon ang kanilang mga coordinate ay nakakatugon sa equation ng isang tuwid na linya, iyon ay, ang mga pagkakapantay-pantay ay totoo at . Ang mga halaga ng k at b ay matatagpuan bilang isang solusyon sa sistema ng mga equation (sumangguni sa artikulo kung kinakailangan):

Ito ay nananatiling palitan ang mga nahanap na halaga at sa equation. Kaya, ang nais na equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang puntos at may anyo .

Napakalaki ng trabaho, tama?

Mas madaling isulat ang canonical equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang puntos at , mayroon itong anyo , at mula dito pumunta sa equation ng isang tuwid na linya na may slope: .

Sagot:

Mga equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang ibinigay na mga punto sa tatlong-dimensional na espasyo.

Hayaang ayusin ang isang parihabang coordinate system na Oxyz sa tatlong-dimensional na espasyo, at dalawang hindi magkatugmang puntos ang ibigay at kung saan dumadaan ang tuwid na linyang M 1 M 2. Nakukuha namin ang mga equation ng linyang ito.

Alam namin na ang mga canonical equation ng isang linya sa espasyo ng form at parametric equation ng isang tuwid na linya sa espasyo ng form tukuyin ang isang tuwid na linya sa Oxyz rectangular coordinate system na dumadaan sa punto na may mga coordinate at may vector ng direksyon .

Ang nagdidirekta na vector ng linyang M 1 M 2 ay ang vector , at ang linyang ito ay dumadaan sa punto (at ), pagkatapos ay ang mga canonical equation ng linyang ito ay may anyo (o ), at ang mga parametric equation - (o ).

Kung kailangan mong magtakda ng isang tuwid na linya M 1 M 2 gamit ang mga equation ng dalawang intersecting na eroplano, dapat mo munang buuin ang mga canonical equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang puntos. at , at mula sa mga equation na ito upang makuha ang nais na mga equation ng mga eroplano.

Bibliograpiya.

Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometry. Baitang 7 - 9: isang aklat-aralin para sa mga institusyong pang-edukasyon.
Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometry. Teksbuk para sa 10-11 baitang ng mataas na paaralan.
Pogorelov A.V., Geometry. Teksbuk para sa mga baitang 7-11 ng mga institusyong pang-edukasyon.
Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Mas Mataas na Matematika. Unang Volume: Mga Elemento ng Linear Algebra at Analytic Geometry.
Ilyin V.A., Poznyak E.G. Analytic geometry.

Mga katangian ng isang tuwid na linya sa Euclidean geometry.

Mayroong walang katapusang maraming mga linya na maaaring iguhit sa anumang punto.

Sa pamamagitan ng alinmang dalawang di-nagtutugmang punto, mayroon lamang isang tuwid na linya.

Dalawang di-nagkataon na linya sa eroplano ay maaaring mag-intersect sa isang punto, o ay

parallel (sumusunod mula sa nauna).

Sa three-dimensional na espasyo, mayroong tatlong opsyon para sa relatibong posisyon ng dalawang linya:

nagsalubong ang mga linya;

tuwid na mga linya ay parallel;

nagsalubong ang mga tuwid na linya.

Diretso linya- algebraic curve ng unang order: sa Cartesian coordinate system, isang tuwid na linya

ay ibinigay sa eroplano sa pamamagitan ng isang equation ng unang degree (linear equation).

Pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya.

Kahulugan. Anumang linya sa eroplano ay maaaring ibigay ng isang first order equation

Ah + Wu + C = 0,

at pare-pareho A, B hindi katumbas ng zero sa parehong oras. Tinatawag itong first order equation pangkalahatan

straight line equation. Depende sa mga halaga ng mga constants A, B at MULA SA Posible ang mga sumusunod na espesyal na kaso:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- ang linya ay dumadaan sa pinanggalingan

. A = 0, B ≠0, C ≠0 ( Ni + C = 0)- tuwid na linya parallel sa axis Oh

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C = 0)- tuwid na linya parallel sa axis OU

. B = C = 0, A ≠ 0- ang linya ay tumutugma sa axis OU

. A = C = 0, B ≠ 0- ang linya ay tumutugma sa axis Oh

Ang equation ng isang tuwid na linya ay maaaring kinakatawan sa iba't ibang anyo depende sa anumang ibinigay

paunang kondisyon.

Equation ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng isang punto at isang normal na vector.

Kahulugan. Sa isang Cartesian rectangular coordinate system, isang vector na may mga bahagi (A, B)

patayo sa linya na ibinigay ng equation

Ah + Wu + C = 0.

Halimbawa. Hanapin ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang punto A(1, 2) patayo sa vector (3, -1).

Solusyon. Buuin natin sa A \u003d 3 at B \u003d -1 ang equation ng tuwid na linya: 3x - y + C \u003d 0. Upang mahanap ang coefficient C

pinapalitan namin ang mga coordinate ng ibinigay na punto A sa resultang expression. Nakukuha namin ang: 3 - 2 + C = 0, samakatuwid

C = -1. Kabuuan: ang nais na equation: 3x - y - 1 \u003d 0.

Equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang puntos.

Hayaang magbigay ng dalawang puntos sa espasyo M 1 (x 1 , y 1 , z 1) at M2 (x 2, y 2 , z 2), pagkatapos straight line equation,

dumaan sa mga puntong ito:

Kung ang alinman sa mga denominator ay katumbas ng zero, ang katumbas na numerator ay dapat itakda na katumbas ng zero. Sa

eroplano, ang equation ng isang tuwid na linya na nakasulat sa itaas ay pinasimple:

kung x 1 ≠ x 2 at x = x 1, kung x 1 = x 2 .

Maliit na bahagi = k tinawag salik ng slope tuwid.

Halimbawa. Hanapin ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa mga puntos na A(1, 2) at B(3, 4).

Solusyon. Ang paglalapat ng formula sa itaas, nakukuha namin:

Equation ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng isang punto at isang slope.

Kung ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya Ah + Wu + C = 0 dalhin sa form:

at italaga , pagkatapos ay tinatawag ang nagresultang equation

equation ng isang tuwid na linya na may slope k.

Ang equation ng isang tuwid na linya sa isang punto at isang nakadirekta na vector.

Sa pamamagitan ng pagkakatulad sa punto na isinasaalang-alang ang equation ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng normal na vector, maaari mong ipasok ang gawain

isang tuwid na linya sa pamamagitan ng isang punto at isang vector ng direksyon ng isang tuwid na linya.

Kahulugan. Bawat di-zero na vector (α 1 , α 2), na ang mga bahagi ay nakakatugon sa kondisyon

Aα 1 + Bα 2 = 0 tinawag vector ng direksyon ng tuwid na linya.

Ah + Wu + C = 0.

Halimbawa. Hanapin ang equation ng isang tuwid na linya na may vector ng direksyon (1, -1) at dumadaan sa punto A(1, 2).

Solusyon. Hahanapin natin ang equation ng nais na tuwid na linya sa anyo: Ax + By + C = 0. Ayon sa kahulugan,

ang mga coefficient ay dapat matugunan ang mga kondisyon:

1 * A + (-1) * B = 0, ibig sabihin. A = B.

Pagkatapos ang equation ng isang tuwid na linya ay may anyo: Ax + Ay + C = 0, o x + y + C / A = 0.

sa x=1, y=2 nakukuha namin C/ A = -3, ibig sabihin. gustong equation:

x + y - 3 = 0

Equation ng isang tuwid na linya sa mga segment.

Kung sa pangkalahatang equation ng tuwid na linya Ah + Wu + C = 0 C≠0, kung gayon, ang paghahati ng -C, nakukuha natin:

o , saan

Ang geometric na kahulugan ng mga coefficient ay ang coefficient a ay ang coordinate ng intersection point

tuwid na may ehe oh a b- ang coordinate ng punto ng intersection ng linya na may axis OU.

Halimbawa. Ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya ay ibinigay x - y + 1 = 0. Hanapin ang equation ng tuwid na linyang ito sa mga segment.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Normal na equation ng isang tuwid na linya.

Kung magkabilang panig ng equation Ah + Wu + C = 0 hatiin sa bilang , na tinatawag na

normalizing factor, pagkatapos makuha namin

xcosφ + ysinφ - p = 0 -normal na equation ng isang tuwid na linya.

Dapat piliin ang sign ± ng normalizing factor upang μ * C< 0.

R- ang haba ng patayo na bumaba mula sa pinagmulan hanggang sa linya,

a φ - ang anggulo na nabuo ng patayo na ito sa positibong direksyon ng axis Oh.

Halimbawa. Ibinigay ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya 12x - 5y - 65 = 0. Kinakailangang sumulat ng iba't ibang uri ng mga equation

itong tuwid na linya.

Ang equation ng tuwid na linyang ito sa mga segment:

Ang equation ng linyang ito na may slope: (hatiin sa 5)

Equation ng isang tuwid na linya:

cos φ = 12/13; kasalanan φ= -5/13; p=5.

Dapat tandaan na hindi lahat ng tuwid na linya ay maaaring katawanin ng isang equation sa mga segment, halimbawa, mga tuwid na linya,

parallel sa mga palakol o dumadaan sa pinanggalingan.

Anggulo sa pagitan ng mga linya sa isang eroplano.

Kahulugan. Kung dalawang linya ang ibinigay y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, pagkatapos ay ang matinding anggulo sa pagitan ng mga linyang ito

ay tutukuyin bilang

Dalawang linya ay parallel kung k 1 = k 2. Dalawang linya ay patayo

kung k 1 \u003d -1 / k 2 .

Teorama.

Direkta Ah + Wu + C = 0 at A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 ay parallel kapag ang mga coefficient ay proporsyonal

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Kung din С 1 \u003d λС, pagkatapos ay nagtutugma ang mga linya. Mga coordinate ng punto ng intersection ng dalawang linya

ay matatagpuan bilang isang solusyon sa sistema ng mga equation ng mga linyang ito.

Ang equation ng isang linya na dumadaan sa isang ibinigay na punto ay patayo sa isang ibinigay na linya.

Kahulugan. Isang linyang dumadaan sa isang punto M 1 (x 1, y 1) at patayo sa linya y = kx + b

kinakatawan ng equation:

Ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya.

Teorama. Kung bibigyan ng punto M(x 0, y 0), tapos ang layo ng pila Ah + Wu + C = 0 tinukoy bilang:

Patunay. Hayaan ang punto M 1 (x 1, y 1)- ang base ng patayo ay bumaba mula sa punto M para sa isang naibigay

direkta. Pagkatapos ang distansya sa pagitan ng mga puntos M at M 1:

(1)

Mga coordinate x 1 at 1 ay matatagpuan bilang isang solusyon sa sistema ng mga equation:

Ang pangalawang equation ng system ay ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang ibinigay na punto M 0 patayo

binigay na linya. Kung babaguhin natin ang unang equation ng system sa anyo:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

pagkatapos, paglutas, nakukuha natin:

Ang pagpapalit ng mga expression na ito sa equation (1), makikita natin:

Ang teorama ay napatunayan.

Ang artikulong ito ay nagpapakita ng derivation ng equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang ibinigay na mga punto sa isang rectangular coordinate system na matatagpuan sa isang eroplano. Nakukuha namin ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang ibinigay na mga punto sa isang rectangular coordinate system. Biswal naming ipapakita at lutasin ang ilang mga halimbawa na may kaugnayan sa materyal na sakop.

Bago makuha ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang ibinigay na mga punto, kinakailangan na bigyang pansin ang ilang mga katotohanan. Mayroong isang axiom na nagsasabing sa pamamagitan ng dalawang di-nagkataon na mga punto sa isang eroplano ay posible na gumuhit ng isang tuwid na linya at isa lamang. Sa madaling salita, ang dalawang ibinigay na punto ng eroplano ay tinutukoy ng isang tuwid na linya na dumadaan sa mga puntong ito.

Kung ang eroplano ay ibinigay ng rectangular coordinate system na Oxy, kung gayon ang anumang tuwid na linya na inilalarawan dito ay tumutugma sa equation ng tuwid na linya sa eroplano. Mayroon ding koneksyon sa nagdidirekta na vector ng tuwid na linya. Ang mga datos na ito ay sapat na upang iguhit ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang ibinigay na punto.

Isaalang-alang ang isang halimbawa ng paglutas ng katulad na problema. Kinakailangang buuin ang equation ng isang tuwid na linya a na dumadaan sa dalawang hindi magkatugmang puntos na M 1 (x 1, y 1) at M 2 (x 2, y 2) na matatagpuan sa Cartesian coordinate system.

Sa canonical equation ng isang tuwid na linya sa isang eroplano, na may anyo na x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y , ang isang rectangular coordinate system O x y ay tinukoy na may isang tuwid na linya na nag-intersect dito sa isang punto na may mga coordinate M 1 (x 1, y 1) na may gabay na vector a → = (a x , a y) .

Kinakailangang buuin ang canonical equation ng tuwid na linya a, na dadaan sa dalawang puntos na may mga coordinate M 1 (x 1, y 1) at M 2 (x 2, y 2) .

Ang tuwid na linya a ay may nakadirekta na vector M 1 M 2 → na may mga coordinate (x 2 - x 1, y 2 - y 1), dahil ito ay nag-intersect sa mga puntos na M 1 at M 2. Nakuha namin ang kinakailangang data upang mabago ang canonical equation na may mga coordinate ng vector ng direksyon M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) at ang mga coordinate ng mga puntos na M 1 na nakahiga sa kanila (x 1, y 1) at M 2 (x 2 , y 2) . Nakukuha namin ang isang equation ng anyong x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 o x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 .

Isaalang-alang ang figure sa ibaba.

Kasunod ng mga kalkulasyon, isinusulat namin ang mga parametric equation ng isang tuwid na linya sa isang eroplano na dumadaan sa dalawang puntos na may mga coordinate M 1 (x 1, y 1) at M 2 (x 2, y 2) . Nakukuha namin ang isang equation ng form x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ o x \u003d x 2 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 2 + (y 2 - y 1) λ.

Tingnan natin ang ilang halimbawa.

Halimbawa 1

Isulat ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa 2 ibinigay na puntos na may mga coordinate M 1 - 5 , 2 3 , M 2 1 , - 1 6 .

Solusyon

Ang canonical equation para sa isang tuwid na linya na nagsasalubong sa dalawang puntos na may mga coordinate x 1 , y 1 at x 2 , y 2 ay nasa anyong x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . Ayon sa kondisyon ng problema, mayroon kaming x 1 \u003d - 5, y 1 \u003d 2 3, x 2 \u003d 1, y 2 \u003d - 1 6. Kinakailangang palitan ang mga numerical na halaga sa equation x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . Mula dito nakuha natin na ang canonical equation ay kukuha ng anyong x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

Sagot: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

Kung kinakailangan upang malutas ang isang problema sa isang iba't ibang uri ng equation, pagkatapos ay para sa isang panimula maaari kang pumunta sa kanonikal, dahil mas madaling makarating sa iba pa mula dito.

Halimbawa 2

Buuin ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa mga puntos na may mga coordinate M 1 (1, 1) at M 2 (4, 2) sa O x y coordinate system.

Solusyon

Una kailangan mong isulat ang canonical equation ng isang naibigay na linya na dumadaan sa ibinigay na dalawang puntos. Nakakuha tayo ng equation ng anyong x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .

Dinadala namin ang canonical equation sa nais na anyo, pagkatapos ay makuha namin:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

Sagot: x - 3 y + 2 = 0 .

Ang mga halimbawa ng naturang mga gawain ay isinaalang-alang sa mga aklat-aralin sa paaralan sa mga aralin sa algebra. Ang mga gawain sa paaralan ay naiiba sa na ang equation ng isang tuwid na linya na may isang slope coefficient ay kilala, na may form na y \u003d k x + b. Kung kailangan mong hanapin ang halaga ng slope k at ang numero b, kung saan ang equation y \u003d k x + b ay tumutukoy sa isang linya sa O x y system na dumadaan sa mga puntos na M 1 (x 1, y 1) at M 2 (x 2, y 2) , kung saan x 1 ≠ x 2 . Kapag x 1 = x 2 , pagkatapos ang slope ay tumatagal sa halaga ng infinity, at ang tuwid na linya M 1 M 2 ay tinukoy ng isang pangkalahatang hindi kumpletong equation ng form na x - x 1 = 0 .

Dahil ang mga tuldok M 1 at M 2 ay nasa isang tuwid na linya, kung gayon ang kanilang mga coordinate ay nakakatugon sa equation na y 1 = k x 1 + b at y 2 = k x 2 + b. Kinakailangang lutasin ang sistema ng mga equation na y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b na may paggalang sa k at b.

Upang gawin ito, nakita namin ang k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 o k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .

Sa ganitong mga halaga ng k at b, ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa ibinigay na dalawang puntos ay tumatagal ng sumusunod na anyo y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 o y \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

Ang pagsasaulo ng napakalaking bilang ng mga formula nang sabay-sabay ay hindi gagana. Upang gawin ito, kinakailangan upang madagdagan ang bilang ng mga pag-uulit sa paglutas ng mga problema.

Halimbawa 3

Isulat ang equation ng isang tuwid na linya na may slope na dumadaan sa mga puntos na may mga coordinate M 2 (2, 1) at y = k x + b.

Solusyon

Upang malutas ang problema, gumagamit kami ng isang formula na may slope na may form na y \u003d k x + b. Ang mga coefficient k at b ay dapat kumuha ng isang halaga na ang equation na ito ay tumutugma sa isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang puntos na may mga coordinate M 1 (- 7 , - 5) at M 2 (2 , 1) .

puntos M 1 at M 2 na matatagpuan sa isang tuwid na linya, kung gayon ang kanilang mga coordinate ay dapat baligtarin ang equation na y = k x + b ang tamang pagkakapantay-pantay. Mula dito nakuha natin na - 5 = k · (- 7) + b at 1 = k · 2 + b. Pagsamahin natin ang equation sa system - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b at lutasin.

Sa pagpapalit, nakuha namin iyon

5 = k - 7 + b 1 = k 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

Ngayon ang mga halaga k = 2 3 at b = - 1 3 ay inihahalili sa equation na y = k x + b . Nakuha namin na ang nais na equation na dumadaan sa mga ibinigay na puntos ay isang equation na may anyo na y = 2 3 x - 1 3 .

Ang ganitong paraan ng paglutas ay paunang tinutukoy ang paggasta ng isang malaking halaga ng oras. Mayroong isang paraan kung saan ang gawain ay malulutas nang literal sa dalawang hakbang.

Isinulat namin ang canonical equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa M 2 (2, 1) at M 1 (- 7, - 5) , na may anyong x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5 ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

Ngayon ay lumipat tayo sa equation ng slope. Nakukuha natin iyon: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 (x + 7) = 9 (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3 .

Sagot: y = 2 3 x - 1 3 .

Kung sa tatlong-dimensional na espasyo ay mayroong isang hugis-parihaba na coordinate system O x y z na may dalawang ibinigay na di-nagtutugmang puntos na may mga coordinate M 1 (x 1, y 1, z 1) at M 2 (x 2, y 2, z 2), ang tuwid na linya M na dumadaan sa kanila 1 M 2 , ito ay kinakailangan upang makuha ang equation ng linyang ito.

Mayroon tayong mga canonical equation ng form x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z at parametric equation ng form x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ ay nagagawang magtakda ng isang linya sa O x y z coordinate system na dumadaan sa mga puntos na may mga coordinate (x 1, y 1, z 1) na may nakadirekta na vector a → = (a x, a y, a z) .

Tuwid M 1 M 2 ay may vector ng direksyon sa anyong M 1 M 2 → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) , kung saan ang linya ay dumadaan sa puntong M 1 (x 1 , y 1 , z 1) at M 2 (x 2, y 2, z 2), kaya ang canonical equation ay maaaring nasa anyong x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 o x - x 2 x 2 - x 1 \u003d y - y 2 y 2 - y 1 \u003d z - z 2 z 2 - z 1, naman, parametric x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ o x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) λ z \u003d z 2 + (z 2 - z 1) λ.

Isaalang-alang ang isang figure na nagpapakita ng 2 ibinigay na mga puntos sa espasyo at ang equation ng isang tuwid na linya.

Halimbawa 4

Isulat ang equation ng isang tuwid na linya na tinukoy sa isang rectangular coordinate system O x y z ng tatlong-dimensional na espasyo, na dumadaan sa ibinigay na dalawang puntos na may mga coordinate M 1 (2, - 3, 0) at M 2 (1, - 3, - 5 ).

Solusyon

Kailangan nating hanapin ang canonical equation. Dahil pinag-uusapan natin ang tungkol sa tatlong-dimensional na espasyo, nangangahulugan ito na kapag ang isang tuwid na linya ay dumaan sa mga ibinigay na punto, ang nais na canonical equation ay magkakaroon ng anyo na x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 .

Sa pamamagitan ng kundisyon, mayroon tayong x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. Ito ay sumusunod na ang mga kinakailangang equation ay maaaring isulat bilang mga sumusunod:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

Sagot: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter