1 лінійне рівняння. При вирішенні лінійних рівнянь ми прагнемо знайти корінь, тобто таке значення для змінної, яке перетворить рівняння на правильну рівність

У статті розглянемо принцип розв'язання таких рівнянь як лінійні рівняння. Запишемо визначення цих рівнянь, поставимо загальний вигляд. Розберемо всі умови знаходження рішень лінійних рівнянь, використовуючи, зокрема, практичні приклади.

Звернемо увагу, що матеріал нижче містить інформацію щодо лінійних рівнянь з однією змінною. Лінійні рівняння із двома змінними розглядаються в окремій статті.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Що таке лінійне рівняння

Лінійне рівняння- Це рівняння, запис якого такий:
a · x = b, де x- Змінна, aі b- Деякі числа.

Таке формулювання використано у підручнику алгебри (7 клас) Ю.М.Макаричова.

Приклад 1

Прикладами лінійних рівнянь будуть:

3 · x = 11(Рівняння з однією змінною xпри а = 5і b = 10);

− 3 , 1 · y = 0 (лінійне рівняння зі змінною y, де а = - 3, 1і b = 0);

x = − 4і − x = 5 , 37(лінійні рівняння, де число aзаписано у явному вигляді і дорівнює 1 і - 1 відповідно. Для першого рівняння b = - 4;для другого - b = 5, 37) і т.п.

У різних навчальних матеріалах можуть траплятися різні визначення. Наприклад, Віленкін Н.Я. до лінійних відносить також ті рівняння, які можна перетворити на вигляд a · x = bза допомогою перенесення доданків з однієї частини до іншої зі зміною знака та приведення подібних доданків. Якщо слідувати такому трактуванню, рівняння 5 · x = 2 · x + 6 -також лінійне.

А ось підручник алгебри (7 клас) Мордковіча А.Г. задає такий опис:

Визначення 2

Лінійне рівняння з однією змінною x – це рівняння виду a · x + b = 0, де aі b- Деякі числа, звані коефіцієнтами лінійного рівняння.

Приклад 2

Прикладом лінійних рівнянь такого виду можуть бути:

3 · x − 7 = 0 (a = 3 , b = − 7) ;

1, 8 · y + 7, 9 = 0 (a = 1, 8, b = 7, 9).

Але також наведено приклади лінійних рівнянь, які ми вже використовували вище: виду a · x = bнаприклад, 6 · x = 35.

Ми відразу домовимося, що в цій статті під лінійним рівнянням з однією змінною ми розумітимемо рівняння запису a · x + b = 0, де x- Змінна; a, b – коефіцієнти. Подібна форма лінійного рівняння нам бачиться найбільш виправданою, оскільки лінійні рівняння – це рівняння алгебри першого ступеня. А інші рівняння, зазначені вище, та рівняння, наведені рівносильними перетвореннями на вигляд a · x + b = 0, Визначимо, як рівняння, що зводяться до лінійних рівнянь.

За такого підходу рівняння 5 · x + 8 = 0 – лінійне, а 5 · x = − 8- Рівняння, що зводиться до лінійного.

Принцип розв'язання лінійних рівнянь

Розглянемо, як визначити, чи буде задане лінійне рівняння мати коріння і, якщо так, то скільки і як його визначити.

Визначення 3

Факт наявності коренів лінійного рівняння визначаться значеннями коефіцієнтів aі b.Запишемо ці умови:

• при a ≠ 0лінійне рівняння має єдиний корінь x = - b a;
• при a = 0і b ≠ 0лінійне рівняння не має коріння;
• при a = 0і b = 0лінійне рівняння має безліч коренів. По суті, у цьому випадку будь-яке число може стати коренем лінійного рівняння.

Дамо пояснення. Нам відомо, що в процесі розв'язування рівняння можливо здійснювати перетворення заданого рівняння в рівносильне йому, а значить має те ж коріння, що вихідне рівняння, або також не має коріння. Ми можемо робити наступні рівносильні перетворення:

• перенести доданок з однієї частини до іншої, змінивши знак на протилежний;
• помножити або розділити обидві частини рівняння на те саме число, не рівне нулю.

Таким чином, перетворимо лінійне рівняння a · x + b = 0, перенісши доданок bз лівої частини у праву частину зі зміною знака. Отримаємо: a · x = − b.

Отже, виробляємо поділ обох частин рівняння на рівне нулю число а,отримавши в результаті рівність виду x = - b a. Тобто, коли a ≠ 0 ,вихідне рівняння a · x + b = 0рівносильно рівності x = - ba , в якому очевидний корінь - ba .

Методом від протилежного можна продемонструвати, що знайдений корінь - єдиний. Задамо позначення знайденого кореня - b a як х 1 .Висловимо припущення, що є ще один корінь лінійного рівняння з позначенням х 2 .І звичайно: x 2 ≠ x 1 ,а це, у свою чергу, спираючись на визначення рівних чисел через різницю, рівнозначне умові x 1 − x 2 ≠ 0 .З урахуванням вищесказаного ми можемо скласти такі рівності, підставивши коріння:
a · x 1 + b = 0і a · x 2 + b = 0.
Властивість числових рівностей дає можливість зробити почленное віднімання частин рівностей:

a · x 1 + b − (a · x 2 + b) = 0 − 0, звідси: a · (x 1 − x 2) + (b − b) = 0і далі a · (x 1 - x 2) = 0 .Рівність a · (x 1 − x 2) = 0є невірною, оскільки раніше умовою було поставлено, що a ≠ 0і x 1 − x 2 ≠ 0 .Отримана суперечність і служить доказом того, що при a ≠ 0лінійне рівняння a · x + b = 0має лише один корінь.

Обґрунтуємо ще два пункти умов, що містять a = 0.

Коли a = 0лінійне рівняння a · x + b = 0запишеться як 0 · x + b = 0. Властивість множення числа на нуль дає нам право стверджувати, що яке б число не було взято як x, підставивши його на рівність 0 · x + b = 0отримаємо b = 0 . Рівність справедлива при b = 0; в інших випадках, коли b ≠ 0 ,рівність стає невірною.

Таким чином, коли a = 0та b = 0 , будь-яке число може стати коренем лінійного рівняння a · x + b = 0, оскільки при виконанні цих умов, підставляючи замість xбудь-яке число, отримуємо вірну числову рівність 0 = 0 . Коли ж a = 0і b ≠ 0лінійне рівняння a · x + b = 0зовсім не матиме коріння, оскільки при виконанні зазначених умов, підставляючи замість xбудь-яке число, отримуємо неправильну числову рівність b = 0.

Всі наведені міркування дають нам можливість записати алгоритм, що дає змогу знайти рішення будь-якого лінійного рівняння:

• за видом запису визначаємо значення коефіцієнтів aі bта аналізуємо їх;
• при a = 0і b = 0рівняння матиме нескінченно багато коренів, тобто. будь-яке число стане коренем заданого рівняння;
• при a = 0і b ≠ 0
• при a, відмінному від нуля, починаємо пошук єдиного кореня вихідного лінійного рівняння:

1. перенесемо коефіцієнт bу праву частину зі зміною знака на протилежний, наводячи лінійне рівняння до виду a · x = − b;
2. обидві частини отриманої рівності ділимо на число a, що дасть нам корінь заданого рівняння, що шукається: x = - b a .

Власне описана послідовність дій і є відповідь на питання, як знаходити рішення лінійного рівняння.

Насамкінець уточнимо, що рівняння виду a · x = bвирішуються за схожим алгоритмом з єдиною відмінністю, що число bу такому записі вже перенесено в потрібну частину рівняння, і при a ≠ 0можна відразу виконувати розподіл частин рівняння на число a.

Таким чином, щоб знайти рішення рівняння a · x = b,використовуємо такий алгоритм:

• при a = 0і b = 0рівняння матиме нескінченно багато коренів, тобто. будь-яке число може стати його коренем;
• при a = 0і b ≠ 0задане рівняння не матиме коріння;
• при a, не рівному нулю, обидві частини рівняння поділяються на число a, що дає можливість знайти єдиний корінь, який дорівнює b a.

Приклади розв'язування лінійних рівнянь

Необхідно вирішити лінійне рівняння 0 · x − 0 = 0.

Рішення

Після запису заданого рівняння бачимо, що a = 0і b = − 0(або b = 0,що те саме). Таким чином, задане рівняння може мати безліч коренів або будь-яке число.

Відповідь: x- Будь-яке число.

Приклад 4

Необхідно визначити, чи має коріння рівняння 0 · x + 2, 7 = 0.

Рішення

За записом визначаємо, що а = 0, b = 2, 7. Таким чином, задане рівняння не матиме коріння.

Відповідь:вихідне лінійне рівняння немає коренів.

Приклад 5

Задано лінійне рівняння 0 , 3 · x − 0 , 027 = 0 .Потрібно вирішити його.

Рішення

По запису рівняння визначаємо, що а = 0,3; b = - 0 , 027 що дозволяє нам стверджувати наявність єдиного кореня у заданого рівняння.

Наслідуючи алгоритм, переносимо b у праву частину рівняння, змінивши знак, отримуємо: 0,3 · x = 0,027.Далі розділимо обидві частини отриманої рівності на а = 0 3 тоді, x = 0 027 0 3 .

Здійснимо поділ десяткових дробів:

0,027 0,3 = 27 300 = 3 · 9 3 · 100 = 9 100 = 0, 09

Отриманий результат є коренем заданого рівняння.

Коротко рішення запишемо так:

0 , 3 · x - 0 , 027 = 0 , 0 , 3 · x = 0 , 027 , x = 0 , 027 0 , 3 , x = 0 , 09 .

Відповідь: x = 0,09.

Для наочності наведемо рішення рівняння запису a · x = b.

Приклад N

Задані рівняння: 1) 0 · x = 0; 2) 0 · x = − 9; 3) - 3 8 · x = - 3 3 4 . Потрібно вирішити їх.

Рішення

Усі задані рівняння відповідають запису a · x = b. Розглянемо по черзі.

У рівнянні 0 · x = 0, a = 0 і b = 0що означає: будь-яке число може бути коренем цього рівняння.

У другому рівнянні 0 · x = − 9: a = 0 і b = − 9 ,таким чином, це рівняння не матиме коріння.

По виду останнього рівняння - 3 8 · x = - 3 3 4 запишемо коефіцієнти: a = - 3 8, b = - 3 3 4, тобто. рівняння має єдиний корінь. Знайдемо його. Поділимо обидві частини рівняння на a отримаємо в результаті: x = - 3 3 4 - 3 8 . Спростимо дріб, застосувавши правило поділу негативних чисел з наступним переведенням змішаного числа в звичайний дріб і поділом звичайних дробів:

3 3 4 - 3 8 = 3 3 4 3 8 = 15 4 3 8 = 15 4 · 8 3 = 15 · 8 4 · 3 = 10

Коротко рішення запишемо так:

3 8 · x = - 3 3 4 , x = - 3 3 4 - 3 8 x = 10 .

Відповідь: 1) x– будь-яке число, 2) рівняння немає коренів, 3) x = 10 .

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Лінійні рівняння – досить нешкідлива та зрозуміла тема шкільної математики. Але, як це не дивно, кількість помилок на рівному місці при вирішенні лінійних рівнянь лише трохи менша, ніж в інших темах – квадратних рівняннях, логарифмах, тригонометрії та інших. Причини більшості помилок – банальні тотожні перетворення рівнянь. Насамперед, це плутанина у знаках при перенесенні доданків з однієї частини рівняння до іншої, а також помилки при роботі з дробами та дробовими коефіцієнтами. Так Так! Дроби в лінійних рівняннях також зустрічаються! Часто й поруч. Трохи нижче такі злі рівняння ми з вами також обов'язково розберемо.

Ну що, не тягтимемо кота за хвіст і почнемо розбиратися, мабуть? Тоді читаємо та вникаємо.)

Що таке лінійне рівняння? приклади.

Зазвичай лінійне рівняння має такий вигляд:

ax + b = 0,

Де a та b – будь-які числа. Які завгодно: цілі, дробові, негативні, ірраціональні – будь-які можуть бути!

Наприклад:

7х + 1 = 0 (тут a = 7, b = 1)

x - 3 = 0 (тут a = 1, b = -3)

x/2 – 1,1 = 0 (тут a = 1/2, b = -1,1)

Загалом ви зрозуміли, я сподіваюся.) Все просто, як у казці. До певного часу… А якщо придивитися до загального запису ax+b=0 більш уважно, та трохи задуматися? Адже a та b – будь-які числа! А якщо у нас, скажімо, a = 0 і b = 0 (будь-які числа можна брати!), то що у нас тоді вийде?

0 = 0

Але це ще не всі приколи! А якщо, скажімо, a = 0, b = -10? Тоді вже зовсім якась ахінея виходить:

0 = 10.

Що дуже і дуже напружує і підриває довіру до математики, що завойовується потім і кров'ю ... Особливо на контрольних і іспитах. А з цих незрозумілих і дивних рівностей ще й ікс знайти треба! Якого немає взагалі! І ось тут навіть добре підготовлені учні, часом, можуть впасти, як то кажуть, у ступор… Але не переживайте! У цьому уроці всі такі сюрпризи ми також розглянемо. І ікс з таких рівностей теж обов'язково знайдемо.) Причому цей ікс шукається дуже і дуже просто. Так Так! Дивно, але факт.)

Ну гаразд, це зрозуміло. Але як же можна дізнатися на вигляд завдання, що перед нами саме лінійне рівняння, а не якесь ще? На жаль, тільки на вигляд розпізнати тип рівняння можливо далеко не завжди. Справа в тому, що лінійними називаються як рівняння виду ax+b=0, а й будь-які інші рівняння, які тотожними перетвореннями, однак, зводяться до такого виду. А як тут дізнаєшся, зводиться воно чи ні? Поки що приклад майже не вирішиш – майже ніяк. Це засмучує. Але для деяких типів рівнянь можна при одному побіжному погляді відразу з упевненістю сказати, лінійне воно чи ні.

Для цього ще раз звернемося до загальної структури будь-якого лінійного рівняння:

ax + b = 0

Зверніть увагу: у лінійному рівнянні завждиє тільки змінна ікс у першому ступеніі якісь числа! І все! Більше нічого. При цьому немає іксів у квадраті, у кубі, під коренем, під логарифмом та іншою екзотикою. І (що особливо важливо!) немає дробів з іксом у знаменниках!А ось дроби з числами у знаменниках чи поділ на число– просто!

Наприклад:

Це лінійне рівняння. У рівнянні є лише ікси першою мірою і числа. І немає іксів у вищих ступенях – у квадраті, у кубі тощо. Так, тут є дроби, але при цьому у знаменниках дробів сидять лише числа.А саме - двійка та трійка. Іншими словами, у рівнянні немає поділу на ікс.

А ось рівняння

Вже не можна назвати лінійним, хоча тут також присутні лише числа та ікси в першому ступені. Бо, крім іншого, тут є ще й дроби з іксами у знаменниках. І після спрощень і перетворень таке рівняння може стати будь-яким: і лінійним, і квадратним – всяким.

Як розв'язувати лінійні рівняння? приклади.

То як вирішувати лінійні рівняння? Читайте далі і дивуйтеся.) Все рішення лінійних рівнянь базується на двох основних речах. Перелічимо їх.

1) Набір елементарних дій та правил математики.

Це використання дужок, розкриття дужок, робота з дробами, робота з негативними числами, таблиця множення тощо. Ці знання й уміння необхідні як вирішення лінійних рівнянь, а всієї математики взагалі. І якщо з цим проблеми, згадуйте молодші класи. Інакше несолодко вам доведеться.

2)

Їх лише два. Так Так! Більше того, ці базові тотожні перетворення лежать в основі рішення не тільки лінійних, а взагалі будь-яких рівнянь математики! Одним словом, розв'язання будь-якого іншого рівняння – квадратного, логарифмічного, тригонометричного, ірраціонального тощо. - Як правило, починається з цих самих базових перетворень. А ось рішення саме лінійних рівнянь, власне, на них (перетвореннях) і закінчується. Готовою відповіддю.) Тож не полінуйтеся і прогуляєтеся за посиланням.) Тим більше, що там лінійні рівняння теж детально розбираються.

Що ж, я думаю, настав час приступати до розбору прикладів.

Для початку, як розминка, розглянемо якусь елементарщину. Без будь-яких дробів та інших наворотів. Наприклад, таке рівняння:

х - 2 = 4 - 5х

Це класичне лінійне рівняння. Всі ікси максимум у першому ступені і поділу на ікс ніде немає. Схема рішення в таких рівняннях завжди єдина і проста до жаху: всі члени з іксами треба зібрати зліва, а всі члени без іксів (тобто числа) зібрати праворуч. Ось і приступаємо до збирання.

Для цього запускаємо у хід перше тотожне перетворення. Нам потрібно перенести -5х ліворуч, а -2 перенести праворуч. Зі зміною знака, ясна річ.) От і переносимо:

х + 5х = 4 + 2

Ну ось. Півсправи зроблено: ікси зібрали в купку, числа теж. Тепер зліва наводимо подібні, а праворуч – рахуємо. Отримуємо:

6х = 6

Чого тепер нам не вистачає на повне щастя? Та щоб ліворуч чистий ікс залишився! А шістка – заважає. Як її позбутися? Запускаємо тепер друге тотожне перетворення – ділимо обидві частини рівняння на 6. І – вуаля! Відповідь готова.)

х = 1

Зрозуміло, приклад дуже примітивний. Щоби загальну ідею вловити. Що ж, вирішимо щось істотніше. Наприклад, розберемо ось таке рівняння:

Детально розберемо.) Це теж лінійне рівняння, хоча, начебто, тут є дроби. Але в дробах є поділ на двійку і є поділ на трійку, а от поділ на вираз з іксом - немає! Тож – вирішуємо. Використовуючи ті самі тотожні перетворення, так.)

Що спочатку робитимемо? З іксами - вліво, без іксів - праворуч? В принципі можна і так. Летіти в Сочі через Владивосток.) ​​А можна піти найкоротшим шляхом, відразу скориставшись універсальним і потужним способом. Якщо знати тотожні перетворення, очевидно.)

Для початку ставлю ключове питання: що вам найсильніше впадає в око і найбільше не подобається в цьому рівнянні? 99 людей зі 100 скажуть: дроби!І будуть праві.) От і позбудемося спочатку їх. Безпечно для самого рівняння.) Тому почнемо відразу з другого тотожного перетворення- З домноження. На що треба помножити ліву частину, щоб знаменник успішно скоротився? Правильно на двійку. А праву частину? На трійку! Але ... Математика - жінка примхлива. Вона, розумієш, вимагає множити обидві частини тільки на те саме число!Кожну частину помножувати на своє число – не котить… Що будемо робити? Що-що… Шукати компроміс. Щоб і наші хотілки задовольнити (позбутися дробів) і математику не образити.) А помножимо обидві частини на шістку!) Тобто, на загальний знаменник всіх дробів, що входять до рівняння. Тоді одним махом і двійка скоротиться, і трійка!

От і множимо. Всю ліву частину та всю праву частину цілком! Тому використовуємо дужки. Ось так виглядає сама процедура:

Тепер розкриваємо ці дужки:

Тепер, представивши 6 як 6/1, помножимо шістку на кожну дробу зліва і справа. Це звичайне множення дробів, але, так і бути, розпишу детально:

А ось тут – увага! Чисельник (х-3) я взяв у дужки! Це все тому, що при множенні дробів чисельник множиться весь, повністю! І з виразом х-3 треба працювати як із однією цільною конструкцією. А от якщо ви запишете чисельник так:

6х - 3,

Але у нас все правильно і треба вирішувати. Що далі робити? Розкривати дужки у чисельнику зліва? Ні в якому разі! Ми з вами домножували обидві частини на 6, щоб позбутися дробів, а не для того щоб паритися з розкриттям дужок. На цьому етапі нам треба скоротити наші дроби.З почуттям глибокого задоволення скорочуємо всі знаменники і отримуємо рівняння без будь-яких дробів, у лінійку:

3(х-3) + 6х = 30 - 4х

А ось тепер і дужки, що залишилися, можна розкрити:

3х - 9 + 6х = 30 - 4х

Рівняння стає все краще та краще! Ось тепер знову згадуємо про перше тотожне перетворення. З кам'яним обличчям повторюємо заклинання з молодших класів: з іксами – ліворуч, без іксів – праворуч. І застосовуємо це перетворення:

3х + 6х + 4х = 30 + 9

Наводимо подібні ліворуч і вважаємо праворуч:

13х = 39

Залишилося поділити обидві частини на 13. Тобто знову застосувати друге перетворення. Ділимо і отримуємо відповідь:

х = 3

Готова справа. Як ви бачите, у цьому рівнянні нам довелося один раз застосувати перше перетворення (перенесення доданків) і двічі – друге: на початку рішення ми використовували домноження (на 6) з метою позбутися дробів, а наприкінці рішення використовували поділ (на 13), щоб позбавитися коефіцієнта перед іксом. І рішення будь-якого (так-так, будь-якого!) лінійного рівняння складається з комбінації цих самих перетворень у тій чи іншій послідовності. З чого саме починати – від конкретного рівняння залежить. Десь вигідніше починати з перенесення, а десь (як у цьому прикладі) – з домноження (чи поділу).

Працюємо від простого – до складного. Розглянемо тепер відверту бляху. З купою дробів та дужок. А я вже підкажу, як не надертися.)

Наприклад, ось таке рівняння:

Хвилину дивимося на рівняння, жахаємося, але таки беремо себе в руки! Основна проблема – з чого починати? Можна скласти дроби у правій частині. Можна виконати віднімання дробів у дужках. Можна обидві частини на щось примножити. Або поділити… То що ж таки можна? Відповідь: все можна! Жодна з перерахованих дій математика не забороняє. І яку б послідовність дій і перетворень ви не обрали, відповідь вийде завжди одна – правильна. Якщо, звичайно, на якомусь кроці не порушити тотожність ваших перетворень і тим самим не наляпати помилок…

А щоб не наляпати помилок, у таких наворочених прикладах, як цей, завжди найкорисніше оцінити його зовнішній вигляд і в умі прикинути: що можна таке зробити в прикладі, щоб максимальноспростити його за крок?

От і прикидаємо. Зліва стоять шістки у знаменниках. Особисто мені вони не подобаються, а забрати їх дуже легко. Домножу я обидві частини рівняння на 6! Тоді шістки зліва благополучно скоротяться, дроби в дужках поки що нікуди не подінуться. Та й нічого страшного. З ними трохи пізніше розправимося.) А ось праворуч у нас скоротяться знаменники 2 і 3. Саме при цій дії (множенні на 6) у нас за один крок досягаються максимальні спрощення!

Після множення все наше зле рівняння стане таким:

Хто не зрозумів, як саме вийшло це рівняння, ви погано засвоїли розбір попереднього прикладу. А я намагався, між іншим…

Отже, розкриваємо:

Тепер самим логічним кроком було б усамітнити дроби зліва, а 5х відправити у праву частину. Водночас і подібні у правій частині наведемо. Отримаємо:

Вже набагато краще. Тепер ліва частина сама собою підготувалася до множення. На що треба домножити ліву частину, щоб одразу і п'ятірка скоротилася, і четвірка? На 20! Але ще у нас є мінуси в обох частинах рівняння. Тому найзручніше буде множити обидві частини рівняння не так на 20, але в -20. Тоді одним махом і мінуси зникнуть і дроби.

Ось і множимо:

Кому досі незрозумілий цей крок – значить проблеми не в рівняннях. Проблеми – в основах! Знову згадуємо золоте правило розкриття дужок:

Якщо число множиться на якийсь вираз у дужках, то це число треба послідовно помножити на кожне доданок цього виразу. У цьому якщо число позитивно, знаки виразів після розкриття зберігаються. Якщо негативно – змінюються протилежні:

a(b+c) = ab+ac

-a(b+c) = -ab-ac

Мінуси у нас зникли після збільшення обох частин на -20. І тепер дужки з дробами зліва ми множимо цілком собі додатне число 20. Отже, при розкритті цих дужок усі знаки, що були всередині них, зберігаються. А ось звідки взялися дужки у чисельниках дробів, я вже докладно пояснював у попередньому прикладі.

А ось тепер дроби і скоротити можна:

4(3-5х)-5(3х-2) = 20

Розкриваємо дужки, що залишилися. Знову ж таки, правильно розкриваємо. Перші дужки множаться на позитивне число 4 і всі знаки при їх розкритті зберігаються. А ось другі дужки множаться на негативнечисло -5 і тому всі знаки змінюються на протилежні:

12 - 20х - 15х + 10 = 20

Залишилися дрібниці. З іксами вліво, без іксів – праворуч:

-20х - 15х = 20 - 10 - 12

-35х = -2

Ось майже все. Зліва потрібний чистий ікс, а число -35 заважає. Ось і ділимо обидві частини на (-35). Нагадую, що друге тотожне перетворення дозволяє нам множити і ділити обидві частини на яке завгодночисло. В тому числі і на негативне.) Аби не на нуль! Сміливо ділимо та отримуємо відповідь:

X = 2/35

Цього разу ікс вийшов дрібним. Нічого страшного. Такий приклад.)

Як бачимо, принцип розв'язання лінійних рівнянь (навіть найбільш накручених) досить простий: беремо вихідне рівняння і тотожними перетвореннями послідовно спрощуємо його до отримання відповіді. З дотриманням основ, зрозуміло! Головні проблеми тут саме у недотриманні основ (скажімо, перед дужками стоїть мінус, а знаки при розкритті змінити забули), а також у банальній арифметиці. Тож не нехтуйте основами! Вони - фундамент всієї решти математики!

Деякі приколи під час вирішення лінійних рівнянь. Або особливі випадки.

Все б нічого. Проте… Потрапляються серед лінійних рівнянь і такі кумедні перли, які у процесі їх вирішення можуть і у сильний ступор увігнати. Навіть відмінника.)

Наприклад, ось таке нешкідливе на вигляд рівняння:

7х + 3 = 4х + 5 + 3х - 2

Широко позіхаючи і злегка сумуючи, збираємо всі ікси зліва, а всі числа праворуч:

7х-4х-3х = 5-2-3

Наводимо подібні, рахуємо та отримуємо:

0 = 0

Ось раз! Видав приклад фокус! Сама собою ця рівність заперечень не викликає: нуль справді дорівнює нулю. Але ж ікс пропав! Безслідно! А ми зобов'язані записати у відповіді, чому дорівнює ікс. Інакше рішення не вважається, так.) Що ж робити?

Без паніки! У таких нестандартних випадках рятують найзагальніші поняття та принципи математики. Що таке рівняння? Як розв'язувати рівняння? Що означає розв'язати рівняння?

Вирішити рівняння – це означає знайти Усезначення змінної ікс, які при підстановці в вихіднерівняння дадуть нам правильну рівність (тотожність)!

Але вірна рівність у нас вже вийшло! 0=0, вірніше нікуди!) Залишається здогадатися, за яких саме іксів у нас виходить ця рівність. Які ж такі ікси можна підставляти у вихіднерівняння, якщо при підстановці всі вони все одно скорочуються на повний нуль?Невже не здогадалися?

Ну звичайно ж! Ікси можна підставляти будь-які!!! Цілком будь-які. Які бажаєте, такі і підставляйте. Хоч 1, хоч -23, хоч 2,7 – які завгодно! Вони все одно скоротяться, і в результаті залишиться чиста правда. Спробуйте, поставте та переконайтеся особисто.)

Ось вам і відповідь:

х – будь-яке число.

У науковому записі ця рівність пишеться так:

Читається цей запис так: "Ікс - будь-яке дійсне число."

Або в іншій формі через проміжки:

Як вам більше подобається, так і оформлюйте. Це вірна і повноцінна відповідь!

А тепер я зміню в нашому вихідному рівнянні лише одне число. Ось таке рівняння тепер вирішимо:

7х + 2 = 4х + 5 + 3х - 2

Знову переносимо доданки, рахуємо та отримуємо:

7х - 4х - 3х = 5 - 2 - 2

0 = 1

І як вам цей прикол? Було звичайне лінійне рівняння, а стала незрозуміла рівність

0 = 1…

Говорячи науковою мовою, ми отримали неправильна рівність.А російською неправда це. Марення сивої кобили. Ахінея.) Бо нуль не дорівнює одиниці!

А тепер знову розуміємо, які ж ікси при підстановці у вихідне рівняння дадуть нам правильна рівність?Які? А жодні! Який ікс не підставляй, все одно все зменшується і залишиться лажа.)

Ось і відповідь: рішень немає.

У математичному записі така відповідь оформляється так:

Читається: «Ікс належить пустій ​​множині.»

Такі відповіді в математиці теж зустрічаються досить часто: далеко не завжди в будь-якого рівняння є коріння в принципі. Якісь рівняння можуть і зовсім не мати коріння. Зовсім.

Ось такі два сюрпризи. Сподіваюся, що тепер раптова пропажа іксів у рівнянні не поставить вас надовго в глухий кут. Справа цілком знайома.)

І тут чую закономірне питання: а в ОДЕ чи ЄДІ вони будуть? На ЄДІ самі по собі як завдання – ні. Занадто простенькі. А ось в ОДЕ або в текстових завданнях – просто! Тож тепер – тренуємось і вирішуємо:

Відповіді (безладно): -2; -1; будь-яке число; 2; немає рішень; 7/13.

Все вийшло? Чудово! У вас непогані шанси на іспиті.

Щось не сходиться? Гм... Смуток, звісно. Значить, десь поки що є прогалини. Або основах, чи тотожних перетвореннях. Або ж справа в банальній неуважності. Перечитайте урок ще раз. Бо не та це тема, без якої можна так легко обійтися в математиці.

Успіхів! Вона вам обов'язково усміхнеться, повірте!)

Лінійні рівняння. Рішення, приклади.

Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали у розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже..."
І для тих, хто "дуже навіть...")

Лінійні рівняння.

Лінійні рівняння – не найскладніша тема шкільної математики. Але є там свої фішки, які можуть спантеличити навіть підготовленого учня. Розберемося?)

Зазвичай лінійне рівняння визначається як рівняння виду:

ax + b = 0 де а та b- Будь-які числа.

2х + 7 = 0. Тут а=2, b=7

0,1 х - 2,3 = 0 Тут а=0,1, b=-2,3

12х + 1/2 = 0 Тут а=12, b=1/2

Нічого складного, правда? Особливо, якщо не помічати слова: "де а і b – будь-які числа"... А якщо помітити, та необережно замислитись?) Адже, якщо а=0, b=0(будь-які числа можна?), то виходить кумедний вираз:

Але це ще не все! Якщо, скажімо, а=0,а b=5,виходить зовсім щось несусвітне:

Що напружує та підриває довіру до математики, так...) Особливо на іспитах. Але ж із цих дивних виразів ще й ікс знайти треба! Якого немає взагалі. І що дивно, цей ікс дуже просто знаходиться. Ми навчимося це робити. У цьому уроці.

Як дізнатися лінійне рівняння на вигляд? Це, дивлячись якийсь зовнішній вигляд.) Фішка в тому, що лінійними рівняннями називаються не тільки рівняння виду ax + b = 0 , але й будь-які рівняння, які перетвореннями та спрощеннями зводяться до цього виду. А хто ж його знає, зводиться воно чи ні?)

Чітко розпізнати лінійне рівняння можна у деяких випадках. Скажімо, якщо перед нами рівняння, в яких є лише невідомі в першому ступені та числа. Причому в рівнянні немає дробів з розподілом на невідоме , це важливо! А розподіл на число,або дріб числовий – це будь ласка! Наприклад:

Це лінійне рівняння. Тут є дроби, але немає іксів у квадраті, кубі і т.д., і немає іксів у знаменниках, тобто. ні поділу на ікс. А ось рівняння

не можна назвати лінійним. Тут ікси все в першому ступені, але є розподіл на вираз з іксом. Після спрощень та перетворень може вийти і лінійне рівняння, і квадратне, і все, що завгодно.

Виходить, що дізнатися лінійне рівняння в якомусь мудрому прикладі не можна, поки його майже не вирішиш. Це засмучує. Але у завданнях, як правило, не питають про вид рівняння, правда? У завданнях велять рівняння вирішувати.Це радує.)

Розв'язання лінійних рівнянь. приклади.

Все рішення лінійних рівнянь складається з тотожних перетворень рівнянь. До речі, ці перетворення (цілі два!) лежать в основі рішень всіх рівнянь математики.Іншими словами, рішення будь-якогорівняння починається з цих самих перетворень. Що стосується лінійних рівнянь, воно (рішення) цих перетвореннях і закінчується повноцінним відповіддю. Має сенс за посиланням сходити, правда?) Тим більше, там теж приклади розв'язання лінійних рівнянь є.

Для початку розглянемо найпростіший приклад. Без будь-яких підводних каменів. Нехай нам потрібно вирішити таке рівняння.

х - 3 = 2 - 4х

Це лінійне рівняння. Ікси все в першому ступені, поділу на ікс немає. Але, власне, нам все одно, яке це рівняння. Нам його вирішувати треба. Схема тут проста. Зібрати все, що з іксами в лівій частині рівності, все, що без іксів (числа) – у правій.

Для цього потрібно перенести - 4х у ліву частину, зі зміною знака, зрозуміло, а - 3 - У праву. До речі, це і є перше тотожне перетворення рівнянь.Здивовані? Значить, за посиланням не ходили, а дарма...) Отримаємо:

х + 4х = 2 + 3

Наводимо подібні, вважаємо:

Що нам не вистачає на повне щастя? Та щоб ліворуч чистий ікс був! П'ятірка заважає. Позбавляємося п'ятірки за допомогою другого тотожного перетворення рівнянь.А саме - ділимо обидві частини рівняння на 5. Отримуємо готову відповідь:

Приклад елементарний, ясна річ. Це для розминки.) Не дуже зрозуміло, чого я тут тотожні перетворення згадував? Ну добре. Беремо бика за роги.) Вирішимо щось солідніше.

Наприклад, ось це рівняння:

З чого почнемо? З іксами – вліво, без іксів – вправо? Можна і так. Маленькими кроками довгою дорогою. А можна відразу, універсальним та потужним способом. Якщо, звичайно, у вашому арсеналі є тотожні перетворення рівнянь.

Задаю вам ключове питання: що вам найбільше не подобається у цьому рівнянні?

95 осіб зі 100 дадуть відповідь: дроби ! Відповідь правильна. От і давайте їх позбудемося. Тому починаємо відразу зі другого тотожного перетворення. На що потрібно помножити дріб зліва, щоб знаменник скоротився геть? Правильно, на 3. А справа? 4. Але математика дозволяє нам множити обидві частини на те саме число. Як викрутимося? А помножимо обидві частини на 12! Тобто. загальний знаменник. Тоді і трійка скоротиться і четвірка. Не забуваймо, що множити треба кожну частину повністю. Ось як виглядає перший крок:

Розкриваємо дужки:

Зверніть увагу! Чисельник (х+2)я взяв у дужки! Це тому, що при множенні дробів, чисельник множиться весь, цілком! А тепер дроби і скоротити можна:

Розкриваємо дужки, що залишилися:

Не приклад, а суцільне задоволення!) Ось тепер згадуємо заклинання з молодших класів: з іксом – ліворуч, без ікса – праворуч!І застосовуємо це перетворення:

Наводимо такі:

І ділимо обидві частини 25, тобто. знову застосовуємо друге перетворення:

От і все. Відповідь: х=0,16

Беремо на замітку: щоб привести вихідне замороченого рівняння до приємного вигляду, ми використовували два (всього два!) тотожні перетворення- Перенесення вліво-вправо зі зміною знака і множення-розподіл рівняння на те саме число. Це універсальний спосіб! Працювати таким чином ми будемо з будь-якими рівняннями! Цілком будь-якими. Саме тому я про ці тотожні перетворення постійно занудно повторюю.)

Як бачимо, принцип розв'язання лінійних рівнянь простий. Беремо рівняння та спрощуємо його за допомогою тотожних перетворень до отримання відповіді. Основні проблеми тут у обчисленнях, а не в принципі вирішення.

Але... Зустрічаються в процесі розв'язання найелементарніших лінійних рівнянь такі сюрпризи, що можуть і у сильний ступор увігнати...) На щастя, таких сюрпризів може бути лише два. Назвемо їх особливими випадками.

Особливі випадки під час вирішення лінійних рівнянь.

Сюрприз перший.

Припустимо, трапилося вам найелементарніше рівняння, що-небудь, типу:

2х +3 = 5х +5 - 3х - 2

Злегка нудна, переносимо з іксом вліво, без ікса - вправо... Зі зміною знака, все чин-чинарем... Отримуємо:

2х-5х +3х = 5-2-3

Вважаємо, і... опаньки! Отримуємо:

Сама собою ця рівність не викликає заперечень. Нуль справді дорівнює нулю. Але ж ікс пропав! А ми зобов'язані записати у відповіді, чому дорівнює ікс.Інакше, рішення не вважається, так ...) Тупик?

Спокій! У таких сумнівних випадках рятують найзагальніші правила. Як розв'язувати рівняння? Що означає розв'язати рівняння? Це означає, знайти всі значення ікса, які, при підстановці у вихідне рівняння, дадуть нам правильну рівність.

Але вірна рівність у нас вжевийшло! 0=0, куди вже вірніше? Залишається збагнути, за яких іксів це виходить. Які значення ікса можна підставляти в вихіднерівняння, якщо ці ікси все одно скорочуються на повний нуль?Ну ж бо?)

Так! Ікси можна підставляти будь-які!Які бажаєте. Хоч 5, хоч 0,05, хоч -220. Вони все одно скоротяться. Якщо не вірите - можете перевірити.) Підставляйте будь-які значення ікса в вихіднерівняння та порахуйте. Весь час виходитиме чиста правда: 0=0, 2=2, -7,1=-7,1 і так далі.

Ось вам і відповідь: х – будь-яке число.

Відповідь можна записати різними математичними значками, суть не змінюється. Це абсолютно правильна і повноцінна відповідь.

Сюрприз другий.

Візьмемо те саме елементарне лінійне рівняння і змінимо в ньому лише одне число. Ось таке вирішуватимемо:

2х +1 = 5х +5 - 3х - 2

Після тих самих тотожних перетворень ми отримаємо щось інтригуюче:

Ось так. Вирішували лінійне рівняння, здобули дивну рівність. Говорячи математичною мовою, ми отримали неправильна рівність.А говорячи простою мовою, неправда це. Маячня. Але тим не менш, це марення - цілком вагома основа для правильного вирішення рівняння.)

Знову міркуємо, виходячи із загальних правил. Які ікси при підстановці у вихідне рівняння дадуть нам вірнерівність? Та ніякі! Немає таких іксів. Чого не підставляй, все скоротиться, залишиться марення.)

Ось вам і відповідь: рішень немає.

Це також цілком повноцінна відповідь. У математиці такі відповіді часто зустрічаються.

Ось так. Зараз, сподіваюся, зникнення іксів у процесі вирішення будь-якого (не тільки лінійного) рівняння вас анітрохи не збентежить. Справа вже знайома.)

Тепер, коли ми розібралися з усіма підводними каменями в лінійних рівняннях, має сенс їх вирішувати.

Якщо Вам подобається цей сайт...

До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)

можна познайомитися з функціями та похідними.

Навчитися вирішувати рівняння - це одне з головних завдань, які ставить алгебра перед учнями. Починаючи з найпростішого, коли воно складається з однієї невідомої, і переходячи до складніших. Якщо не засвоєно дій, які потрібно виконати з рівняннями з першої групи, буде важко розібратися з іншими.

Для продовження розмови потрібно домовитись про позначення.

Загальний вид лінійного рівняння з однією невідомою та принцип його вирішення

Будь-яке рівняння, яке може призвести до запису такого виду:

а * х = в,

називається лінійним. Це загальна формула. Але часто у завданнях лінійні рівняння записані у неявному вигляді. Тоді потрібно виконати тотожні перетворення, щоб отримати загальноприйнятий запис. До цих дій належать:

• розкриття дужок;
• переміщення всіх доданків зі змінною величиною в ліву частину рівності, а інших - у праву;
• приведення подібних доданків.

Якщо невідома величина стоїть у знаменнику дробу, потрібно визначити її значення, у яких вираз нічого очікувати мати сенсу. Інакше кажучи, потрібно дізнатися область визначення рівняння.

Принцип, яким вирішуються все лінійні рівняння, зводиться до того що, щоб розділити значення правої частини рівності на коефіцієнт перед змінної. Тобто «х» дорівнюватиме в/а.

Приватні випадки лінійного рівняння та їх вирішення

Під час міркувань можуть бути такі моменти, коли лінійні рівняння приймають одне із особливих видів. Кожен із них має конкретне рішення.

У першій ситуації:

а * х = 0, причому а ≠ 0.

Вирішенням такого рівняння завжди буде х = 0.

У другому випадку «а» набуває значення дорівнює нулю:

0 * х = 0.

Відповіддю такого рівняння буде будь-яке число. Тобто має нескінченну кількість коренів.

Третя ситуація виглядає так:

0 * х = в, де у ≠ 0.

Це рівняння немає сенсу. Тому що коріння, яке задовольняє йому, не існує.

Загальний вигляд лінійного рівняння із двома змінними

З його назви стає зрозумілим, що невідомих величин у ньому вже дві. Лінійні рівняння із двома зміннимивиглядають так:

а * х + в * у = с.

Оскільки в записі зустрічаються дві невідомі, то відповідь буде виглядати як пара чисел. Тобто недостатньо вказати лише одне значення. Це буде неповна відповідь. Пара величин, у яких рівняння перетворюється на тотожність, є рішенням рівняння. Причому у відповіді завжди першою записують ту змінну, яка йде раніше за абеткою. Іноді кажуть, що ці числа йому задовольняють. Причому таких пар може бути безліч.

Як вирішити лінійне рівняння із двома невідомими?

Для цього потрібно просто підібрати будь-яку пару чисел, яка виявиться правильною. Для простоти можна прийняти одну з невідомих рівною якомусь простому числу, а потім знайти другу.

При вирішенні часто доводиться виконувати дії спрощення рівняння. Вони називаються тотожними перетвореннями. Причому для рівнянь завжди справедливі такі властивості:

• кожне доданок можна перенести на протилежну частину рівності, замінивши в нього знак на протилежний;
• ліву та праву частини будь-якого рівняння дозволено ділити на одне й те саме число, якщо воно не дорівнює нулю.

Приклади завдань із лінійними рівняннями

Перше завдання.Розв'язати лінійні рівняння: 4х = 20, 8 (х - 1) + 2х = 2 (4 - 2х); (5х + 15) / (х + 4) = 4; (5х + 15)/(х + 3) = 4.

У рівнянні, яке йде в цьому списку першим, досить просто виконати поділ 20 на 4. Результат дорівнюватиме 5. Це і є відповідь: х=5.

Третє рівняння вимагає, щоб було виконано тотожне перетворення. Воно полягатиме у розкритті дужок та приведенні подібних доданків. Після першої дії рівняння набуде вигляду: 8х - 8 + 2х = 8 - 4х. Потім треба перенести всі невідомі до лівої частини рівності, а решта — до правої. Рівняння виглядатиме так: 8х + 2х + 4х = 8 + 8. Після приведення подібних доданків: 14х = 16. Тепер воно виглядає так само, як і перше, і рішення його легко. Відповіддю буде х = 8/7. Але в математиці потрібно виділяти цілу частину з неправильного дробу. Тоді результат перетвориться, і «х» дорівнюватиме одній цілій і одній сьомій.

У решті прикладів змінні перебувають у знаменнику. Це означає, що спочатку потрібно дізнатися, за яких значень рівняння визначені. Для цього потрібно виключити числа, за яких знаменники звертаються до нуля. У першому прикладі це «-4», у другому воно «-3». Тобто ці значення слід виключити з відповіді. Після цього потрібно помножити обидві частини рівності на вирази у знаменнику.

Розкривши дужки та навівши подібні доданки, у першому з цих рівнянь вийде: 5х + 15 = 4х + 16, а у другому 5х + 15 = 4х + 12. Після перетворень рішенням першого рівняння буде х = -1. Друге виявляється рівним "-3", це означає, що останнє рішень не має.

Друге завдання.Розв'язати рівняння: -7х + 2у = 5.

Припустимо, що перша невідома х = 1, тоді рівняння набуде вигляду -7 * 1 + 2у = 5. Перенісши в праву частину рівності множник «-7» і змінивши у нього знак на плюс, вийде, що 2у = 12. Значить, у =6. Відповідь: одне з розв'язків рівняння х = 1, у = 6.

Загальний вигляд нерівності з однією змінною

Усі можливі ситуації для нерівностей представлені тут:

• а * х > в;
• а*х< в;
• а * х ≥в;
• а * х ≤ ст.

Загалом воно виглядає як найпростіше лінійне рівняння, тільки знак рівності замінений на нерівність.

Правила тотожних перетворень нерівності

Так само як лінійні рівняння та нерівності можна видозмінювати за певними законами. Вони зводяться до наступного:

1. до лівої та правої частин нерівності можна додати будь-яке буквене або числове вираз, причому знак нерівності залишиться тим самим;
2. також можна і помножити або розділити на те саме позитивне число, від цього знову знак не змінюється;
3. при множенні чи розподілі одне і те негативне число рівність залишиться вірним за умови зміни знака нерівності на протилежний.

Загальний вигляд подвійних нерівностей

У завданнях можуть бути такі варіанти нерівностей:

• в< а * х < с;
• в ≤ а * х< с;
• в< а * х ≤ с;
• у ≤ а * х ≤ с.

Подвійними воно називається, тому що обмежене знаками нерівності із двох сторін. Воно вирішується з допомогою тих самих правил, як і звичайні нерівності. І знаходження відповіді зводиться до низки тотожних перетворень. Поки що не буде отримано найпростіше.

Особливості вирішення подвійних нерівностей

Першою є його зображення на координатної осі. Використовувати цей спосіб для простих нерівностей немає потреби. А ось у складних випадках він може бути необхідним.

Для зображення нерівності слід зазначити на осі всі точки, які вийшли під час міркувань. Це і неприпустимі значення, що позначаються виколотими точками, і значення з нерівностей, що вийшло після перетворень. Тут також важливо правильно намалювати крапки. Якщо нерівність сувора, тобто< или >, то ці значення виколоті. У несуворих нерівностях точки потрібно зафарбовувати.

Потім слід позначити сенс нерівностей. Це можна зробити за допомогою штрихування або дуг. Їхнє перетинання вкаже відповідь.

Друга особливість пов'язані з його записом. Тут пропонується два варіанти. Перший – це остаточна нерівність. Другий – у вигляді проміжків. Ось із ним буває, що виникають труднощі. Відповідь проміжками завжди виглядає як змінна зі знаком приналежності та дужок із числами. Іноді проміжків виходить кілька, тоді між дужками потрібно написати символ "і". Ці знаки виглядають так: ∈ та ∩. Дужки проміжків теж грають свою роль. Кругла ставиться тоді, коли точку виключено із відповіді, а прямокутна включає це значення. Знак нескінченності завжди стоїть у круглій дужці.

Приклади розв'язання нерівностей

1. Вирішити нерівність 7 - 5х ≥ 37.

Після нескладних перетворень виходить: -5х ≥ 30. Розділивши на «-5» можна отримати такий вираз: х ≤ -6. Це вже відповідь, але її можна записати і по-іншому: х∈(-∞;-6).

2. Розв'яжіть подвійну нерівність -4< 2x + 6 ≤ 8.

Спочатку потрібно скрізь відняти 6. Вийде: -10< 2x ≤ 2. Теперь нужно разделить на 2. Неравенство примет вид: -5 < x ≤ 1. Изобразив ответ на числовой оси, сразу можно понять, что результатом будет промежуток от -5 до 1. Причем первая точка исключена, а вторая включена. То есть ответ у неравенства такой: х ∈ (-5; 1].

Початковий рівень

Лінійні рівняння. Повне керівництво (2019)

Що таке «лінійні рівняння»

або в усній формі - трьом друзям дали по яблуках з розрахунку, що всього є у Васі яблук.

І ось ти вже вирішив лінійне рівняння
Тепер дамо цьому терміну математичне визначення.

Лінійне рівняння - це рівняння алгебри, у якого повний ступінь складових його багаточленів дорівнює. Воно виглядає так:

Де і - будь-які числа та

Для нашого випадку з Васею та яблуками ми запишемо:

- «Якщо Вася роздасть усім трьом друзям однакову кількість яблук, у нього яблук не залишиться»

«Приховані» лінійні рівняння, або важливість тотожних перетворень

Незважаючи на те, що на перший погляд все гранично просто, при вирішенні рівнянь необхідно бути уважним, тому що лінійними рівняннями називаються не тільки рівняння виду, а й будь-які рівняння, які перетвореннями та спрощеннями зводяться до цього виду. Наприклад:

Ми бачимо, що справа стоїть, що, за ідеєю, вже говорить про те, що рівняння не є лінійним. Мало того, якщо ми розкриємо дужки, то отримаємо ще два доданки, в яких буде, але не треба поспішати з висновками! Перш, ніж судити, чи є рівняння лінійним, необхідно зробити всі перетворення і таким чином спростити вихідний приклад. При цьому перетворення можуть змінювати зовнішній вигляд, але не саму суть рівняння.

Іншими словами дані перетворення мають бути тотожнимиабо рівносильними. Таких перетворень всього два, але вони грають дуже, дуже важливу роль при вирішенні завдань. Розглянемо обидва перетворення на конкретних прикладах.

Перенесення вліво – вправо.

Допустимо, нам необхідно вирішити таке рівняння:

Ще у початковій школі нам казали: «з іксами – вліво, без іксів – вправо». Який вираз із іксом стоїть праворуч? Правильно, а не як не. І це важливо, оскільки при неправильному розумінні цього, начебто простого питання, виходить невірна відповідь. А який вираз із іксом стоїть зліва? Правильно, .

Тепер, коли ми з цим розібралися, переносимо всі доданки з невідомими в ліву сторону, а все, що відомо - в праву, пам'ятаючи, що якщо перед числом немає ніякого знака, наприклад, то число позитивно, тобто перед ним стоїть знак. ».

Переніс? Що в тебе вийшло?

Все, що залишилося зробити - навести подібні доданки. Наводимо:

Отже, перше тотожне перетворення ми успішно розібрали, хоч впевнена, що ти і без мене його знав і активно використовував. Головне - не забувай про знаки при числах та змінюй їх на протилежні при перенесенні через знак рівності!

Множення-поділ.

Почнемо відразу ж із прикладу

Дивимось і розуміємо: що нам не подобається у цьому прикладі? Невідоме все в одній частині, відомі – в іншій, але щось нам заважає… І це щось – четвірка, бо якби її не було, все було б ідеально – ікс дорівнює числу – саме так, як нам і потрібно !

Як можна її позбутися? Перенести праворуч ми не можемо, тому що тоді нам потрібно переносити весь множник (ми ж не можемо її взяти і відірвати від), а переносити весь множник теж немає сенсу.

Настав час згадати про поділ, у зв'язку з чим розділимо все якраз на! Все це означає і ліву, і праву частину. Так тільки так! Що в нас виходить?

Ось і відповідь.

Подивимося тепер інший приклад:

Чи здогадуєшся, що потрібно зробити в цьому випадку? Правильно, помножити ліву та праву частини на! Яка ти отримала відповідь? Правильно. .

Напевно, все про тотожні перетворення ти й так уже знав. Вважай, що ми просто освіжили ці знання у твоїй пам'яті і настав час для чогось більшого - Наприклад, для вирішення нашого великого прикладу:

Як ми вже говорили раніше, дивлячись на нього, не скажеш, що дане рівняння є лінійним, але нам необхідно розкрити дужки та здійснити тотожні перетворення. Тож почнемо!

Для початку згадуємо формули скороченого множення, зокрема, квадрат суми та квадрат різниці. Якщо ти не пам'ятаєш, що це таке і як розкриваються дужки, настійно рекомендую почитати тему, тому що ці навички стануть у нагоді тобі при вирішенні практично всіх прикладів, що зустрічаються на іспиті.
Розкрив? Порівнюємо:

Тепер настав час навести подібні доданки. Пам'ятаєш, як нам у тих самих початкових класах казали «не складаємо мухи з котлетами»? Ось нагадую про це. Складаємо все окремо - множники, які мають, множники, які мають й інші множники, у яких немає невідомих. Як приведеш подібні доданки, перенеси всі невідомі вліво, а все, що відомо праворуч. Що в тебе вийшло?

Як ти бачиш, ікси у квадраті зникли, і ми бачимо цілком звичайне лінійне рівняння. Залишилося лише знайти!

І насамкінець скажу ще одну дуже важливу річ про тотожні перетворення - тотожні перетворення застосовні не тільки для лінійних рівнянь, але і для квадратних, дробових раціональних та інших. Просто потрібно запам'ятати, що при перенесенні множників через знак рівності ми змінюємо знак на протилежний, а при розподілі або множенні на якесь число ми множимо/ділимо обидві частини рівняння на ОДНО і те ж число.

Що ще ти виніс із цього прикладу? Що дивлячись на рівняння не завжди можна прямо і точно визначити, чи воно є лінійним чи ні. Необхідно спочатку повністю спростити вираз, і потім судити, яким воно є.

Лінійні рівняння. приклади.

Ось тобі ще кілька прикладів для самостійного тренування - визнач, чи є рівняння лінійним і якщо так, знайди його коріння:

Відповіді:

1. Є.

2. Не є.

Розкриємо дужки і наведемо такі складові:

Зробимо тотожне перетворення - розділимо ліву та праву частину на:

Ми бачимо, що рівняння не є лінійним, тому шукати його коріння не потрібно.

3. Є.

Зробимо тотожне перетворення - помножимо ліву і праву частину, щоб позбутися знаменника.

Подумай, чому так важливо, щоб? Якщо ти знаєш відповідь на це питання, переходимо до подальшого вирішення рівняння, якщо ні – обов'язково заглянь у тему, щоб не наробити помилок у складніших прикладах. До речі, як бачиш, ситуація, коли неможлива. Чому?
Отже, продовжуємо та перетворюємо рівняння:

Якщо ти легко з усім упорався, поговоримо про лінійні рівняння з двома змінними.

Лінійні рівняння із двома змінними

Тепер перейдемо до більш складного - лінійних рівнянь із двома змінними.

Лінійні рівнянняз двома змінними мають вигляд:

Де, і – будь-які числа в.

Як ти бачиш, вся різниця лише в тому, що до рівняння додається ще одна змінна. А так все те саме - тут немає іксів у квадраті, немає поділу на змінну тощо. і т.п.

Який би навести тобі приклад життя... Візьмемо того ж Васю. Припустимо, він вирішив, що кожному з трьох друзів він дасть однакову кількість яблук, а яблука залишить собі. Скільки яблук потрібно купити Васі, якщо кожному другові він дасть по яблуку? А по? А якщо по?

Залежність кількості яблук, яку отримає кожна людина до загальної кількості яблук, яку необхідно придбати, буде виражена рівнянням:

• - кількість яблук, яку отримає людина (або, або);
• - кількість яблук, що Вася візьме собі;
• - скільки всього яблук потрібно купити Васі з урахуванням кількості яблук на людину.

Вирішуючи це завдання, ми отримаємо, що якщо одному другу Вася дасть яблуко, йому необхідно купувати штук, якщо дасть яблука - і т.д.

І взагалі. У нас дві змінні. Чому б не збудувати цю залежність на графіку? Будуємо та відзначаємо значення наших, тобто точки, з координатами, і!

Як ти бачиш, і залежать один від одного лінійно, звідси і назва рівнянь - лінійні».

Абстрагуємось від яблук і розглянемо графічно різні рівняння. Подивися уважно на два побудовані графіки - прямий та параболи, заданими довільними функціями:

Знайди і познач на обох малюнках точки, відповідні.
Що в тебе вийшло?

Ти бачиш, що на графіку першої функції одномувідповідає один, Тобто і лінійно залежать один від одного, що не скажеш про другу функцію. Звичайно, ти можеш заперечити, що на другому графіку так само відповідає ікс - , але це тільки одна точка, тобто окремий випадок, тому що ти все одно можеш знайти такий, якому відповідає не тільки один. Та й збудований графік ніяк не нагадує лінію, а є параболою.

Повторюся, ще раз: графіком лінійного рівняння має бути ПРЯМА лінія.

З тим, що рівняння не буде лінійним, якщо у нас йде якоюсь мірою – це зрозуміло на прикладі параболи, хоча для себе ти можеш побудувати ще кілька простих графіків, наприклад, або. Але я тебе запевняю - жоден з них не являтиме собою ПРЯМУ ЛІНІЮ.

Не віриш? Побудуй, а потім порівняй з тим, що вийшло у мене:

А що буде, якщо ми розділимо щось на, наприклад, якесь число? Чи буде лінійна залежність та? Не будемо міркувати, а будуватимемо! Наприклад, збудуємо графік функції.

Якось не виглядає збудоване прямою лінією… відповідно, рівняння не лінійне.
Підведемо підсумки:

1. Лінійне рівняння -це рівняння алгебри, у якого повна ступінь складових його багаточленів дорівнює.
2. Лінійне рівнянняз однією змінною має вигляд:
   , де і - будь-які числа;
   Лінійне рівнянняз двома змінними:
   , Де, і - будь-які числа.
3. Не завжди одразу можна визначити, чи є рівняння лінійним чи ні. Іноді, щоб зрозуміти це, необхідно зробити тотожні перетворення перенести вліво/вправо подібні члени, не забувши змінити знак, або помножити/розділити обидві частини рівняння на те саме число.

ЛІНІЙНІ РІВНЯННЯ. КОРОТКО ПРО ГОЛОВНЕ

1. Лінійне рівняння

Це рівняння алгебри, у якого повний ступінь складових його багаточленів дорівнює.

2. Лінійне рівняння з однією змінноюмає вигляд:

Де і – будь-які числа;

3. Лінійне рівняння із двома зміннимимає вигляд:

Де, і – будь-які числа.

4. Тотожні перетворення

Щоб визначити чи є рівняння лінійним чи ні, необхідно зробити тотожні перетворення:

• перенести ліворуч/праворуч такі члени, не забувши змінити знак;
• помножити/розділити обидві частини рівняння на те саме число.