Аксіоматичний метод: опис, етапи становлення та приклади.

спосіб побудови теорії, у якому її основу кладуться деякі вихідні становища - аксіоми чи постулати, у тому числі й інші твердження цієї теорії повинні виводитися суто логічним шляхом.

Відмінне визначення

Неповне визначення ↓

Аксіоматичний метод

від грец. axioma – прийняте становище) – спосіб побудови наукової теорії, як її основа апріорі приймає положення, з яких всі інші твердження теорії виводяться логічним шляхом. Повна аксіоматизація теорій неможлива (К.Гедель, 1931).

Відмінне визначення

Неповне визначення ↓

Аксіоматичний метод

від грец. axi?ma - прийняте положення) - спосіб побудови теорії, заснований на прийнятих (або доведених раніше) вихідних положеннях (аксіомах та постулатах), з яких логічним шляхом, за допомогою доказів виводяться інші знання. Філософську інтерпретацію аксіоматичний метод як застосування дедукції отримав у вченні Р. Декарта. Тією чи іншою мірою аксіоматичний метод був використаний у різних науках – у філософії (Б. Спіноза), соціології (Дж. Віко), біології (Дж. Вуджер) та ін. Проте основною сферою його застосування залишаються математика та символічна логіка, а також ряд областей фізики (механіка, термодинаміка, електродинаміка та ін.).

Відмінне визначення

Неповне визначення ↓

АКСІОМАТИЧНИЙ МЕТОД

спосіб побудови наукової теорії, у якому її основу кладуться деякі вихідні становища (аксіоми), чи постулати, у тому числі й інші твердження цієї теорії мають виводитися суто логічним шляхом у вигляді докази. Побудова науки з урахуванням аксіоматичного методу зазвичай називають дедуктивним. Цей метод почали використовувати при побудові геометрії у Стародавній Греції. Найбільш успішно він реалізується в організацію математичного знання, де величезний вага у пізнанні належить конструктивно-творчої діяльності розуму. У природознавстві, соціально-гуманітарних та інженерно-технічних науках цей метод займає підпорядковане становище в порівнянні з іншими когнітивними методами.

Відмінне визначення

Неповне визначення ↓

АКСІОМАТИЧНИЙ МЕТОД

Метод організації наукового (особливо, теоретичного) знання, сутність якого полягає у виділенні серед усієї множини істинних висловлювань про певної предметної області такого його підмножини (аксіом), з якого логічно випливали б всі інші істинні висловлювання (теореми і поодинокі істинні висловлювання). Ідеал аксіоматичного побудови наукового знання, початок реалізації якого було покладено побудовою геометрії у Стародавній Греції (VII - IV ст. свідомості, а й конструктивно-творчої діяльності розуму. У природознавстві, соціально-гуманітарних та інженерно-технічних науках аксіоматичний метод організації знання займає підпорядковане становище в порівнянні з іншими формами когнітивної організації. (Див. доказ, дедукція, теорія, метод).

Відмінне визначення

Неповне визначення ↓

АКСІОМАТИЧНИЙ МЕТОД

спосіб побудови наук. теорії, при якому в її основі лежать деякі вихідні положення (судження) - аксіоми, або постулати, з яких решта твердження цієї науки (теореми) повинні виводитися логіч. шляхом за допомогою доказу. Призначення А.М. полягає в обмеженні свавілля при прийнятті наук. суджень у кач-ве істин цієї теорії. Побудова науки з урахуванням А.м. зазвичай називається дедуктивним (див. Дедукція). Усі поняття дедуктивної теорії (крім фіксованого числа початкових) вводяться у вигляді визначень, які виражають (чи їх) через раніше введені поняття. Тією чи іншою мірою дедуктивні докази, притаманні А.м., застосовуються в мн. наук. Але незважаючи на спроби систематич. застосування А.М. у філософії (Спіноза), соціології (Віко), політекономії (Родбертус-Ягецов), біології (Вуджер) та ін науках, гол. обл. його додатки залишаються математика та символіч. логіка, а також деякі розділи фізики (механіка, термодинаміка, електродинаміка та ін). Одним із перших прикладів застосування А.М. явл. «Почала» Евкліда (близько 300 р. е.). Б.Н.Махутов

Відмінне визначення

Неповне визначення ↓

АКСІОМАТИЧНИЙ МЕТОД

Спосіб побудови наукової теорії, при якому якісь положення теорії обираються як вихідні, а всі інші її положення виводяться з них суто логічним шляхом, за допомогою доказів. Положення, доведені з урахуванням аксіом, називаються теоремами.

А. м. - особливий спосіб визначення об'єктів та відносин між ними (див.: Аксіоматичне визначення). А. м. використовується в математиці, логіці, а також в окремих розділах фізики, біології та ін.

А. м. зародився ще в античності і здобув велику популярність завдяки "Початкам" Евкліда, що з'явилося близько 330 - 320 р.р. до зв. е. Евкліду зірвалася, проте, описати у його " аксіомах і постулатах " всі властивості геометричних об'єктів, використовувані їм у реальності; його докази супроводжувалися численними кресленнями. "Приховані" припущення геометрії Евкліда були виявлені тільки в останній час Д. Гільбертом (1862-1943), що розглядав аксіоматичну теорію як формальну теорію, що встановлює співвідношення між її елементами (знаками) і описує будь-які об'єкти, що задовольняють їй. Зараз аксіоматичні теорії нерідко формулюються як формалізовані системи, що містять точний опис логічних засобів виведення теорем із аксіом. Доказ у такій теорії є послідовністю формул, кожна з яких або є аксіомою, або виходить з попередніх формул послідовності по одному з прийнятих правил виведення.

До аксіоматичної формальної системи пред'являються вимоги несуперечності, повноти, незалежності системи аксіом тощо.

A.M. є лише одним із методів побудови наукового знання. Він має обмежене застосування, оскільки вимагає високого рівня розвитку змістовної теорії, що аксіоматизується.

Як показав відомий математик та логік К. Гедель, досить багаті наукові теорії (напр., арифметика натуральних чисел) не допускають повної аксіоматизації. Це свідчить про обмеженість AM. та неможливості повної формалізації наукового знання (див.: Геделя теорема).

Відмінне визначення

Неповне визначення ↓

АКСІОМАТИЧНИЙ МЕТОД

спосіб побудови наук. теорії, при якому в її основу кладуться деякі вихідні положення (судження) - аксіоми, або постулати, з яких всі інші твердження цієї теорії повинні виводитися суто логіч. шляхом, у вигляді доказів. Побудова науки з урахуванням А. м. зазвичай зв. дедуктивним (див. Дедукція). Усі поняття дедуктивної теорії (крім фіксованого числа початкових) вводяться у вигляді визначень, що виражають їх через раніше введені поняття. Тією чи іншою мірою дедуктивні докази, характерні А. м., застосовуються в мн. науках, проте гол. область його застосування - математика, логіка, а також деякі розділи фізики.

Ідея А. м. вперше була висловлена ​​у зв'язку з побудовою геометрії у Др. Греції (Піфагор, Платон, Арістотель, Евклід). Для совр. стадії розвитку А. м. характерна висунута Гільбертом концепція формального А. м., яка ставить завдання точного опису логіч. засобів виведення теорем із аксіом. основ. ідея Гільберта - повна формалізація мови науки, при якій її судження розглядаються як послідовності знаків (формули), що набувають сенсу лише при деякій конкретній інтерпретації. Для виведення теорем із аксіом (і взагалі одних формул з інших) формулюються спец. правила виведення. Доказ у такій теорії (обчисленні, або формальній системі) - це нек-ра послідовність формул, кожна з яких брало або є аксіома, або виходить з попередніх формул послідовності по к.-л. правил виведення. На відміну від таких формальних доказів, властивості самої формальної системи загалом вивчаються. засобами метатеорії. основ. вимоги до аксіоматич. формальним системам – несуперечність, повнота, незалежність аксіом. Гільбертівська програма, що передбачала можливість довести несуперечність і повноту всієї класич. математики в цілому виявилася нездійсненною. У 1931 Гедел довів неможливість повної аксіоматизації досить розвинених наук. теорій (напр., арифметики натуральних чисел), що свідчило про обмеженість А. м. Осн. принципи А. м. були піддані критиці прихильниками інтуїціонізму та конструктивного спрямування. також Формалізм в математиці та логіці, Теорія.

Відмінне визначення

Неповне визначення ↓

АКСІОМАТИЧНИЙ МЕТОД

один із способів дедуктивної побудови наукових теорій, при якому: 1) вибирається деяка безліч прийнятих без доказу пропозицій певної теорії (аксіом); 2) які входять у них поняття явно не визначаються в рамках цієї теорії; 3) фіксуються правила визначення та правила виведення даної теорії, що дозволяють вводити нові терміни (поняття) в теорію та логічно виводити одні пропозиції з інших; 4) всі інші пропозиції цієї теорії (теореми) виводяться з (1) на основі (3). Перші уявлення про А. м. виникли в Давн. Греції (Елеати, Платон. Арістотель, Евклід). Надалі робилися спроби аксіоматичного викладу різних розділів філософії та науки (Спіноза, Ньютон та ін). Для цих досліджень було характерно змістовне аксіоматичне побудова певної теорії (і тільки її однієї), при цьому основна увага приділялася визначенню та вибору інтуїтивно очевидних аксіом. Починаючи з другої половини 19 в, у зв'язку з інтенсивною розробкою проблем обґрунтування математики та математичної логіки, аксіоматичну теорію стали розглядати як формальну (а з 20-30-х рр. 20 в - як формалізовану) систему, що встановлює співвідношення між її елементами (знаками) та описує будь-які безлічі об'єктів, які їй задовольняють. У цьому осн. увагу стали звертати на встановлення несуперечливості системи, її повноти, незалежності системи аксіом і т.д. аксіоматичні системи (лише другі є власне наукові знання) Це розрізнення викликало необхідність формулювання осн. вимог, що пред'являються до них, у двох планах синтаксичному та семантичному (синтаксична та семантична несуперечність, повнота, незалежність аксіом і т д) Аналіз формалізованих аксіоматичних систем привів до встановлення їх принципових обмежень, гл з яких брало є доведена Геделем неможливість повної аксіоматизації наукових теорій (напр, арифметики натуральних чисел), звідки випливає неможливість повної формалізації наукового знання Аксіоматизація є лише одним із методів побудови наукового знання, але її використання як засіб наукового відкриття дуже обмежене. Аксіоматизація здійснюється зазвичай після того, як змістовно теорія вже достатньо побудована, і служить цілям більш точного її уявлення, зокрема суворого виведення всіх наслідків з прийнятих посилок. розділів фізики, біології, психології, економіки, лінгвістики та ін, включаючи теорії структури та динаміки наукового знання. При дослідженні природничо (взагалі будь-якого нематематичного) знання А. м. виступає у формі гіпотетико-дедуктивного методу (див. також Формалізація)

Відмінне визначення

Неповне визначення ↓

АКСІОМАТИЧНИЙ МЕТОД

грец. axioma - значуще, прийняте положення) - спосіб побудови теорії, при якому деякі справжні твердження обираються як вихідні положення (аксіом), з яких потім логічним шляхом виводяться і доводяться інші справжні твердження (теореми) цієї теорії. Наукова значимість AM. була обгрунтована ще Аристотелем, який першим розділив усі безліч істинних висловлювань на основні ("принципи") і докази, що "вимагають", що "доводять". У розвитку A.M. пройшов три етапи. У першому етапі A.M. був змістовним, аксіоми приймалися виходячи з їхньої очевидності. Прикладом такого дедуктивного побудови теорії є "Початки" Евкліда. З другого краю етапі Д. Гільберт вніс формальний критерій застосування A.M. - вимога несуперечності, незалежності та повноти системи аксіом. На етапі A.M. стає формалізованим. Відповідно змінилося і поняття "аксіома". Якщо першому етапі розвитку A.M. вона розумілася як як відправний пункт доказів, а й як справжнє становище, що не потребує своєї очевидності доказі, нині аксіома обгрунтовується як необхідного елемента теорії, коли підтвердження останньої розглядається одночасно як підтвердження її аксіоматичних підстав як вихідного пункту побудови . Крім основних і тверджень, що вводяться в A.M. став виділятися також рівень спеціальних правил виведення. Таким чином нарівні з аксіомами та теоремами як безліччю всіх істинних тверджень даної теорії формулюються аксіоми та теореми для правил виведення – метааксіоми та метатеореми. К. Геделем в 1931 була доведена теорема про принципову неповноту будь-якої формальної системи, бо в ній містяться нерозв'язні пропозиції, які одночасно недоказові та незаперечні. Враховуючи обмеження, що накладаються на нього, А. М. розглядається як один з основних методів побудови розвиненої формалізованої (а не тільки змістовної) теорії поряд з гіпотетико-дедуктивним методом (який іноді трактується як "напіваксіоматичний") і методом математичної гіпотези. Гіпотетико-дедуктивний метод, на відміну AM, передбачає побудову ієрархії гіпотез, у якій слабкіші гіпотези виводяться з сильніших у межах єдиної дедуктивної системи, де сила гіпотези збільшується у міру віддалення від емпіричного базису науки. Це дозволяє послабити силу обмежень AM: подолати замкнутість аксіоматичної системи за рахунок можливості введення додаткових гіпотез, жорстко не пов'язаних вихідними положеннями теорії; вводити абстрактні об'єкти різних рівнів організації дійсності, тобто. зняти обмеження на справедливість аксіоматики "в усіх світах"; зняти вимогу до рівноправності аксіом. З іншого боку, AM, на відміну від методу математичної гіпотези, що акцентує увагу на самих правилах побудови математичних гіпотез, що належать до недосліджених явищ, дозволяє апелювати до певних змістовних предметних областей.

Відмінне визначення

Неповне визначення ↓

АКСІОМАТИЧНИЙ МЕТОД

метод побудови теорій, відповідно до якого дозволяється користуватись у доказах лише аксіомами та раніше виведеними з них твердженнями. Підстави для застосування аксіоматичного методу можуть бути різними, що зазвичай призводить до розрізнення аксіом не тільки за їх формулюванням, а й за методологічними (прагматичними) статусами. Наприклад, аксіома може мати статус затвердження або статус припущення або статус лінгвістичної угоди про бажане вживання термінів. Іноді ця відмінність у статусах відбивається в назвах аксіом (у сучасних аксіоматиках для емпіричних теорій серед усіх аксіом виділяють часто т. і. постулати значення, що виражають лінгвістичні угоди, а древні греки ділили геометричні аксіоми на загальні поняття і постулати, другі будують). Взагалі, облік статусів аксіом обов'язковий, оскільки можна, наприклад, змінити зміст аксіоматичної теорії, не змінивши у своїй ні формулювання, ні семантику аксіом, а змінивши лише їх статус, оголосивши, скажімо, одну їх новим постулатом значення. Аксіоматичний метод був вперше продемонстрований Евклідом у його «Початках», хоча поняття аксіоми, постулату та визначення розглядалися вже Аристотелем. Зокрема, до нього сходить тлумачення аксіом як необхідних загальних засад доказу. Розуміння аксіом як істин самоочевидних склалося пізніше, ставши основним із появою шкільної логіки Пор-Рояяя, для авторів якої очевидність означає особливу здатність душі усвідомлювати деякі істини безпосередньо (у чистому спогляданні чи інтуїції). До речі, переконання Канта в апріорному синтетичному характері геометрії Евкліда залежить від цієї традиції не вважати аксіоми лінгвістичними угодами або припущеннями. Відкриття неевклідової геометрії (Гаусс, Лобачевський, Бойяї); поява в абстрактній алгебрі нових числових систем, причому відразу цілих сімейств (напр., /»-адичні числа); поява змінних структур на кшталт груп; нарешті, обговорення питань на кшталт «яка геометрія істинна?» - усе це сприяло усвідомленню двох нових, проти античним, статусів аксіом: аксіом як описів (класів можливих універсумів міркувань) і аксіом як припущень, а чи не самоочевидних тверджень. Так сформувалися засади сучасного розуміння аксіоматичного методу. Цей розвиток аксіоматичного методу стає особливо наочним при зіставленні «Початок» Евкліда з «Підставами геометрії» Д. Гільберта-нової аксіоматики геометрії, що базується на вищих досягненнях математики 19 ст. Наприкінці того століття Дж. Пеано дав аксіоматику натуральних чисел. Далі аксіоматичний метод був використаний для порятунку теорії множин після знаходження парадоксів. У цьому аксіоматичний метод було узагальнено і логіку. Гільберт сформулював аксіоми та правила виведення класичної логіки висловлювань, а П. Бернайс – логіки предикатів. Нині аксіоматичне завдання є стандартним способом визначення нових логік та нових алгебраїчних понять. В останні десятиліття в міру розвитку моделей теорії аксіоматичний метод став майже обов'язково доповнюватися теоретико-модельним.

Відмінне визначення

Неповне визначення ↓

аксіоматичний метод

АКСІОМАТИЧНИЙ МЕТОД (Від грец. axioma) - прийняте становище - спосіб побудови наукової теорії, при якому в доказах користуються лише аксіомами, постулатами і раніше виведеними з них твердженнями. Вперше яскраво продемонстрований Евклідом у його «Початках», хоча поняття аксіоми та постулату згадуються вже Аристотелем. У стародавніх греків аксіомою називалося ясно сформульоване становище, настільки самоочевидне, що його не доводять і кладуть в основу інших доказів. Постулат - твердження про можливість виконати певну побудову. Тому «Цільше більше частини» – аксіома, а «З цієї точки даним радіусом можна описати коло» – постулат. Надалі поняття аксіоми поглинуло поняття постулату, оскільки були усвідомлені поняття дескриптивності і конструктивності (аксіома описує, постулат будує). Майже всі аксіоми еллінської геометрії були сформульовані настільки чітко та вдало, що не викликали сумнівів. Однак одне з положень Евкліда, а саме п'ятий постулат, еквівалентний твердженню «Через точку, що лежить поза прямою, можна провести пряму, паралельну даній, і до того ж лише одну», із самого початку викликало сумніви. Більше того, до Евкліда елліни досліджували всі три можливі гіпотези: 1) не можна провести жодної паралельної прямої; 2) можна провести більше однієї і 3) можна провести лише одну паралельну пряму; але Евклід усвідомлено вибрав одне формулювання, оскільки лише у разі існував квадрат і поняття подоби фігур. Надалі наявність альтернатив було забуто і п'ятий постулат неодноразово намагалися довести. Аж до 17 ст. А. м. мало розвивався. Евклід і Архімед сформулювали аксіоми статики та оптики, а надалі, у зв'язку із загальною тенденцією до коментаторства та канонізації, дослідження перекладали, або, у кращому разі, аналізували старі системи аксіом. Не дивно, що нова математика почала з відмови від А. м. і аналіз нескінченно малих розвивався як неформалізована теорія. Була зрозуміла сумнівність аксіоми «Ціле менше частини», оскільки Микола Кузанський і за ним Галілей показали, що з нескінченних сукупностей ціле може бути ізоморфно частини. Але це відкриття було недооцінено, тому що надто добре узгоджувалося з християнською релігією (з концепціями різних іпостасей нескінченного Бога). Далі, невдача Спінози у спробах вивести геометричним, суто розумовим методом систему етики та метафізики показала незастосовність існуючого А. м. до гуманітарних понять. Повернення до А. м. сталося у 19 ст. Воно базувалося на двох відкриттях - неевклідової геометрії (що відкрила те, що було відомо до Евкліда, але потім геть-чисто забуто), і абстрактної алгебри. У неевклідовій геометрії (Гау с, Лобачевський, Бойяї) було показано, що одне з заперечень п'ятого постулату - а саме те, що через точку, що лежить поза прямою, можна провести дві прямі, паралельні даній - сумісно з іншими аксіомами геометрії. Таким чином, ті аксіоми та постулати, які створювалися, щоб описати «єдино справжній» простір, насправді описують цілий клас різних просторів. В абстрактній алгебрі з'явилися нові числові системи, причому відразу цілі їх сімейства (напр., радіальні числа) і змінні структури типу груп. Властивості змінних структур природно було описувати з допомогою аксіом, але тепер ніхто не наполягав з їхньої самоочевидності, а розглядали їх як спосіб опису класу математичних об'єктів. Напр. напівгрупа визначається єдиною аксіомою - асоціативності множення: а° (Ь прос) = (а про Ь)про З.У самій геометрії настала черга критичного переосмислення класичних аксіом. Е. Паш показав, що Евклід не побачив ще один постулат, так само інтуїтивно очевидний, як і описані ним: «Якщо пряма перетинає одну зі сторін трикутника, то вона перетне й іншу». Далі було показано, що одна з ознак рівності трикутників потрібно прийняти як аксіому, інакше втрачається строгість доказів, оскільки з інших аксіом не випливає можливість переміщення фігур. Було відкинуто аксіому «Ціле менше частини», як не має сенсу з погляду нової математики, і замінено на кілька положень про співвідношення заходів фігур. І, нарешті, Д. Гільберт сформулював нову аксіоматику геометрії, що базується на найвищих досягненнях математики 19 ст. За еллінських часів і пізніше поняття числа не описувалося аксіоматично. Лише наприкінці 19 ст. Дж. Пеано (Італія) надав аксіоматику натуральних чисел. Аксіоматики Пеано і Гільберта містять за одним принципом вищого порядку, який говорить не про фіксовані поняття, а про довільні поняття або сукупності. Напр., в арифметиці це принцип математичної індукції. Без принципів вищих порядків однозначний опис стандартних математичних структур неможливий. А. м. був використаний для порятунку теорії множинпісля знаходження пов'язаних з нею парадоксів.Порятунок сам по собі здійснювався не найкращим способом - латанням парадигми.Ті з принципів теорії множин, які здавалися не парадоксами і забезпечували необхідні для математики побудови, були прийняті як аксіом. Але при цьому А. м. узагальнено на логіку. Д. Гільберт явно сформулював аксіоми та правила виведення класичної логіки висловлювань,а П. Бернайс - логіки предикатів.Нині аксіоматичне завдання є стандартним способом визначення нових логік та нових алгебраїчних понять. Сучасний А. м. відрізняється від традиційного тим, що явно задаються не тільки аксіоми, а й мова, а в логіці - ще й правила виведення теорії чи системи, що описується. Переглянутий та посилений А. м. став потужною зброєю у таких нових галузях знання, як когнітивна науката математична лінгвістика. Він дозволяє зводити семантичні проблеми на рівень синтаксичних і тим самим допомагати їх вирішенню. В останні десятиліття з розвитком теорії моделей А. м. став в обов'язковому порядку доповнюватися теоретико-модельним. Формулюючи аксіоматичну систему, слід описати і сукупність її моделей. Мінімально необхідним обґрунтуванням системи аксіом є її коректність та повнота на заданому класі моделей. Але для застосування недостатньо такого формального обґрунтування - потрібно також показати змістовний зміст побудованої системи та її виразні можливості. Основним математичним обмеженням А. м. служить те, що логіка вищих порядків неформалізується і неповна, а без неї описати стандартні математичні структури не можна. Тому в тих сферах, де є конкретні числові оцінки, А. м. не може бути застосований до повної математичної мови. У таких областях можлива лише неповна та непослідовна, так звана часткова чи змістовна, аксіоматизація. Неформалізованість понять сама по собі, як не дивно, не перешкоджає застосуванню А. м. до цих понять. Все одно при роботі у фіксованій обстановці є сенс переходити до більш ефективних формальних моделей. У разі позитивною рисою формалізмів часто може бути їх невідповідність реальної ситуації. Формалізми не можуть повністю відповідати змісту понять, але якщо ці невідповідності заховані, то формалізмами часто продовжують користуватися і після того, як обстановка перестала бути придатною для їх застосування, і навіть у ситуації, яка з самого початку не підходить для їх використання. Подібні ризики існують і для часткових формалізації. Я Н. Непийвода

Відмінне визначення

Неповне визначення ↓

АКСІОМАТИЧНИЙ МЕТОД - метод побудови наукової теорії, у якому вибирається ряд вихідних тверджень, званих аксіомами, а подальші твердження (теореми) виходять із них з допомогою суто логічних міркувань (доказів). Класичний зразок застосування аксіоматичного методу – викладена у «Початках» Евкліда (близько 300 року до нашої ери) аксіоматична система, яка охоплювала всю відому на той час математику. Вплив аксіоматичного методу поширилося і інші галузі знання: фізику, біологію, філософію, богослов'я.

Протягом багатьох століть "Початки" Евкліда були єдиним прикладом аксіоматичної теорії. Починаючи з 19 століття, створюються нові теорії, наприклад Лобачевська геометрія, аксіоматичні теорії дійсних та натуральних чисел. На початку 20 століття були побудовані аксіоматичні теорії множин, що вплинули на розвиток усієї математики.

Формальне визначення аксіоматичної теорії було надано Д. Гільбертом. При формальному описі теорії задається її мова (правила побудови виразів різних типів, зокрема формул, які відповідають змістовним твердженням), виділяється клас формул, званих аксіомами теорії, і описуються правила висновку, що дозволяють будувати докази теорем. Доказ є послідовність формул, кожна з яких або є аксіомою, або виходить із попередніх за одним із правил виведення. Теорія називається несуперечливою, якщо в ній не можна отримати протиріччя, тобто заперечення її теорем є теоремами; і повної, якщо для будь-якої формули А або А, або заперечення А є теоремою. При побудові формальних теорій питання несуперечності є ключовим. Для встановлення несуперечності зазвичай використовується метод інтерпретацій. При синтаксичної інтерпретації теорії Т вибирається інша теорія Т1, несуперечність якої передбачається відомою; інтерпретація переводить формули Т у формули Т1, а теореми Т у теореми Т1. При семантичній інтерпретації будується модель теорії: теореми перетворюються на справжні змістовні твердження про об'єкти певного універсуму. Якщо теорія має модель, вона несуперечлива. Шляхом інтерпретації доказ несуперечності евклідової геометрії зводиться до доказу несуперечності теорії дійсних чисел, а доказ несуперечності геометрії Лобачевського – до доказу несуперечності евклідової геометрії.

Питання несуперечності стали особливо актуальні на початку 20 століття після виявлення парадоксів множин теорії. У зв'язку з цим на початку 20 століття Д. Гільбертом висунуто програму обґрунтування математики, метою якої було доказ несуперечності формальних теорій, що використовують нескінченні множини. Програма Гільберта значно переосмислена після відкриттів К. Геделя (1931-32). Для будь-якої несуперечливої ​​теорії S, що містить арифметику і заданої алгоритмічно перерахованим списком аксіом, встановлено, що теорія S неповна (теорема Геделя про неповноту) і несуперечність теорії S не можна довести засобами самої теорії S (теорема Геделя про несуперечність). Перший результат, по суті, означає, що остаточна формалізація наукового знання неможлива, і в будь-якій досить сильній аксіоматичній теорії є проблеми, які є нерозв'язними в цій теорії. Другий результат показує, що такою проблемою є несуперечність теорії S і для її доказу потрібні неарифметичні засоби. За допомогою додаткових принципів було отримано докази несуперечності арифметики, аналізу та інших теорій. Була посилена теорема Геделя про неповноту: знайдені арифметичні твердження, які є істинними, але недоведеними у формальній арифметиці.

Формальна аксіоматична теорія називається алгоритмічно розв'язною, якщо для будь-якої формули А існує алгоритм, який за кінцеве число кроків визначає, чи є формула А теоремою. Програма Гільберта передбачала, що формальне підтвердження теорем можна механізувати. Однак нерозв'язна навіть найпростіша теорія - обчислення предикатів, нерозв'язна всяка несуперечлива теорія, що містить арифметику, та багато інших теорій. З іншого боку, виявлено і нетривіальні приклади розв'язних теорій, наприклад геометрія евклідова і теорія кінцевих полів.

Альтернативним аксіоматичним методом є генетичний (конструктивний) метод, у якому нові наукові закони перебувають досвідченим шляхом, а чи не як логічні наслідки відомих результатів. Генетичний метод розвивався в 20 столітті в інтуїціоністському (французький математик Г. Вейль, голландський математик Л. Брауер) та конструктивному (А. А. Марков) напрямках математики.

Аксіоматичний метод зіграв і продовжує відігравати важливу роль у підставах математики.

Бурбаки Н. Початки математики. М., 1965. Ч. 1. Кн. 1: Теорія множин; Кліні С. К. Математична логіка. М., 1973; Новіков П. С. Елементи математичної логіки. М., 1973; Єфімов Н.В. Найвища геометрія. 6-те вид. М., 1978; Гільберт Д., Бернайс П. Підстави математики: Теорія доказів. М., 1982; Довідкова книга з математичної логіки: У 3 частина М., 1982; Успенський В. А. Що таке аксіоматичний метод? 2-ге вид. Іжевськ, 2001.

Аксіоматичний метод дає можливість робити висновки та відкривати закони без опори на спостереження та експерименти, а через логічний висновок.

Мабуть, одним із перших успішних застосувань аксіоматичного методу стала геометрія давньогрецького математика Евкліда (вона з'явилася десь у 330–320 рр. до н.е.). Евклідову аксіоматичну систему загалом можна охарактеризувати в такий спосіб. Вивчення навколишнього простору дало можливість описати деякі властивості об'єктів, які отримали назву точка, пряма, площина, трикутник, коло тощо. Декілька тверджень про ці об'єкти Евклід вибрав як аксіом або постулатів. Їхня істинність, на його думку, не потребувала доказу через їхню очевидність і легке розуміння. До аксіом він відніс судження: «Через дві точки можна провести тільки одну пряму», «Через пряму і точку поза нею може проходити лише одна площина» та ін. які зазвичай називаються теоремами.

Задля справедливості треба сказати, що докази Евкліда (як і докази шкільної геометрії, яку ми всі вивчили) супроводжуються численними кресленнями. І знадобилося чимало часу, щоб дійти очевидної думки, що креслення не повинні бути суттєвою частиною самого процесу доказу. Вони повинні або полегшувати процес доказу, або допомагати стежити за перебігом доказу, або нарешті сприяти запам'ятовуванню доказу. Цей недолік геометрії Евкліда виправив Д. Гільберт у книзі «Підстави геометрії» (1999).

Та обставина, що аксіоматично побудована геометрія давала надзвичайно, простий, зручний та економний спосіб встановлення істинності геометричних міркувань, справляло сильне враження. Аксіоматичний метод почали намагатися застосовувати у математичних теоріях, а й у філософії (Спіноза). Представники дуже багатьох наук сподівалися, що зрештою багато теорій за допомогою аксіоматики можна довести до такої ж витонченості та досконалості як евклідову геометрію. Аксіоматичний метод зазнав ретельного вивчення. Перші найважливіші результати були отримані знову ж таки в геометрії.

П'ятий постулат Евкліда (його можна сформулювати так: дві паралельні прямі не перетинаються, скільки ми їх не продовжували) здавався математикам менш очевидним, ніж інші. Було зроблено безліч спроб довести цей постулат, шляхом виведення його з інших постулатів евклідової системи. Але всі ці спроби зазнали невдачі. 1923 року М.М. Лобачевський й у 1933 р. Бойаи побудували геометрію, у якій постулатом фігурувало заперечення п'ятого постулату Евкліда, тобто. як аксіома була взята думка про те, що через точку поза прямою можна провести нескінченно багато прямих, паралельних даній прямій. Спочатку багато математиків зустріли неевклідову геометрію в багнети через її явну суперечність сприйманому фізичному простору. Проте, 1950 р. Фр. Клейн знайшов дуже вдалу інтерпретацію цієї геометрії. Якщо під «площиною» розуміти нутро якогось кола евклідової площини, під «точкою» - точку цього кола, а під «прямою» - хорду його кола, то всередині кола виконуватимуться всі аксіоми та теореми геометрії Лобачевського-Бойаї. З цих відкриттів було зроблено важливі висновки про будь-яку аксіоматичну систему: аксіоми цієї системи повинні задовольняти вимоги незалежності, повноти, несуперечності і вона не повинна бути виродженою.

Вимога незалежності означає, що не одна з аксіом не повинна виводитися як теорема з інших. Повнота аксіоматики якоїсь теорії означає, що з аксіом за правилами логіки повинні виводитись всі твердження цієї теорії. Система аксіом має бути несуперечливою. З них не повинно виводитись якесь твердження разом зі своїм запереченням. Якщо це трапляється, то згідно із законом виключеного третього одне з суджень обов'язково хибне. Яке, встановити не можна, бо й те й інше виводитимуться за законами логіки. Нарешті, система аксіом буде невироджена, якщо вдається знайти якісь об'єкти (фізичні або теоретичні), які описує теорія, виведена з цих аксіом.

Але ще більше питань, пов'язаних з аксіоматичним методом, виникло з відкриттям у XX1 столітті парадоксів теорії множин. Вони являли собою міркування цілком справедливі з інтуїтивної (змістовної) точки зору, проте призводять до протиріч. Деякі з них, наприклад, парадокс «Брехень» були відомі з давніх-давен. Нагадаємо, що суть цього парадоксу в наступному: хтось каже: «Я брешу». Якщо при цьому він бреше, то сказане їм брехня, і, отже, не бреше. Якщо ж при цьому він не бреше, то сказане їм істина, і, отже, бреше. Так що в будь-якому випадку він бреше і не бреше одночасно. Однак зв'язок парадоксу «брехун» з теорією множин не був усвідомлений. Це трапилося тоді, коли з аксіоматичної теорією множин, запропонованою Г. Кантором та ін стали виводитися аналогічні парадокси. Найпростіший з них – парадокс Беррі (2006). Суть його така: безліч всіх натуральних чисел, які можуть бути названі російською за допомогою числа складів (або букв), менше деякого кінцевого натурального числа, безумовно, звичайно, отже, має існувати найменше з чисел, які не можуть бути так названі. Але «найменше ціле число, яке може бути названо російською менше, ніж у п'ятдесят складів» (підрахуйте число складів) є вираз російської мови, містять менше п'ятдесяти складів. Відомі різні модифікації цього феномена. p align="justify"> При дослідженні систем аксіом арифметики, теорії множин та інших аксіоматичних теорій виявилося, що не існує повної системи аксіом, з яких можна було б вивести таку просту теорію як арифметика (К.Гедель). Виявилося так, що проблеми несуперечності систем аксіом теорії множин та інших теорій надзвичайно важкі. При спробах їх вирішення математики та логіки розкололися на ворогуючі між собою угруповання. На думку Гільберта та його формалістської школи, щоб позбавити математику від парадоксів потрібно сформулювати її у вигляді аксіоматичної теорії, після чого слід довести несуперечність цієї теорії. На думку інтуїціоністів, очолюваних Бауером, щоб позбавити математику парадоксів, треба відмовитися від визнання універсального характеру деяких законів логіки, зокрема закону виключеного третього.

Отже, суть аксіоматичного методу наступного. У теорію вводяться без визначення деякі об'єкти, природа яких визначено. Потім за допомогою аксіом задають певні відносини між об'єктами. Побудувати аксіоматичну теорію - це означає вивести логічні наслідки з аксіом, відмовившись від будь-яких інших пропозицій щодо природи об'єктів, що розглядаються. Для побудованої таким чином теорії прагнуть довести повноту, несуперечність, незалежність та невиродженість системи її аксіом.

Муніципальна освітня установа.

Вознесенська середньоосвітня школа.

Реферат з математики

на тему «Аксіоматика та аксіоматичний метод»

учня 7 класу Каєра Євгена Вікторовича.

Керівник Пузікова Н.В.

с. Вознесенка, 2007 р.

вивчення аксіоматичного методу та його застосувань у різних галузях знань.

· З'ясувати, що таке аксіоматика.

· Розглянути застосування аксіоматичного методу в геометрії

· Навчитися застосовувати аксіоматичний метод.

1. Введення. Що таке аксіоматика |

2. Аксіоматичний метод – найважливіший науковий метод.

3. Аксіоматичний метод у геометрії.

4. Дослідницька робота. Застосування аксіоматичного методу у шаховому турнірі.

6. Література.

1. Вступ. Що таке аксіоматика |

Аксіома-це деякі твердження про властивості речей, які приймаються як вихідні положення, на основі яких далі доводяться теореми і, взагалі, будується вся теорія.

Аксіоматика - система аксіом тієї чи іншої науки. Наприклад, аксіоматика елементарної геометрії містить близько двох десятків аксіом. аксіоматика числового поля-9 аксіом. Поруч із ними найважливішу роль сучасної математики грає аксіоматика групи, аксіоматика метричного і векторного просторів та інших.

Радянським математикам С. Н. Бернштейну та А. Н. Колмогорову належить заслуга аксіоматичного опису теорії ймовірностей. Десятки інших напрямів сучасної математики також розвиваються аксіоматичної основі, тобто. з урахуванням відповідної системи аксіом.

2. Аксіоматичний метод – найважливіший науковий метод

Аксіоматичний метод – важливий науковий інструмент пізнання світу. Більшість правлінь сучасної математики, теоретична механіка та ряд розділів сучасної фізики будуються на основі аксіоматичного методу. У самій математиці аксіоматичний метод дає закінчену, логічно струнку побудову наукової теорії. Не менше значення має й те, що математична теорія, побудована аксіоматично, знаходить багаторазові додатки й у природознавстві.

Сучасна точка зору на аксіоматичну побудову будь-якої галузі знань полягає в наступному:

1. Перераховуються початкові (невизначені) поняття;

2. Вказується список аксіом, у яких встановлюються деякі зв'язки та взаємовідносини між початковими поняттями;

3. За допомогою визначень запроваджуються подальші поняття;

4. З первісних фактів, які у аксіомах, виводяться, доводяться з допомогою деякої логічної системи подальші факти – теореми.

Початкові поняття та аксіоми запозичені з досвіду. Тому очевидно, що всі наступні факти, що виводяться в аксіоматичній теорії, хоча їх одержують на основі аксіом чисто умоглядним, дедуктивним шляхом, мають тісний зв'язок із життям і можуть бути застосовані у практичній діяльності людини.

Найважливішою вимогою до системи аксіом є її несуперечність, яку можна розуміти так: хоч би скільки ми виводили теорем з цих аксіом, серед них не буде двох теорем, що суперечать один одному. Суперечлива аксіоматика не може бути основою побудови змістовної теорії.

Розвивши ту чи іншу аксіоматичну теорію, ми можемо, не проводячи повторних міркувань, стверджувати, що її висновки мають місце у кожному випадку, коли справедливі аксіоми, що розглядаються. Таким чином, аксіоматичний метод дозволяє цілі аксіоматично розвинені теорії застосовувати у різних галузях знань. У цьому полягає сила аксіоматичного методу.

3. Аксіоматичний метод у геометрії

При вивченні геометрії ми спиралися на низку аксіом. Нагадаємо, що аксіомами називаються ті основні положення геометрії, які приймаються як вихідні. Разом із так званими основними поняттями вони утворюють фундамент для побудови геометрії. Перші основні поняття, з якими ми познайомилися, були поняття точки та прямої. Визначення основних понять не даються, які властивості виражаються в аксіомах. Використовуючи основні поняття та аксіоми, ми даємо визначення нових понять, формулюємо та доводимо теореми і таким чином вивчаємо властивості геометричних фігур.

Наприклад розглянемо аксіому паралельних прямих:

через точку, що не лежить на цій прямій, проходить тільки одна пряма, паралельна даній.

Твердження, які виводяться безпосередньо з аксіом, називаються наслідками. Розглянемо деякі наслідки з аксіоми паралельних прямих.

1. Якщо пряма перетинає одну з двох паралельних прямих, вона перетинає і іншу.

2. Якщо дві прямі паралельні третій прямій, то вони паралельні.

4.Дослідна робота. Застосування аксіоматичного методу у шаховому турнірі.

Щоб докладніше пояснити, як застосовується аксіоматичний метод, наведемо приклад. Припустимо, кілька школярів вирішили організувати шаховий турнір за спрощеною схемою: кожен має зіграти рівно чотири партії з кимось із інших учасників (а білими чи чорними фігурами – за жеребом). Щоб скласти розклад турніру, потрібно сформулювати вимоги, які учні пред'явили до турніру , як аксіом. Для цього потрібно було запровадити три початкові (невизначені) поняття: «гравець», «партія», «участь гравця в партії». Аксіом вийшло чотири:

Аксіома 1. Число гравців непарне.

Аксіома 2. Кожен гравець бере участь у чотирьох партіях .

Аксіома 3. У кожній партії беруть участь два гравці .

Аксіома 4. Для кожних двох гравців є не більше однієї партії, в якій вони беруть участь.

З цих аксіом можна вивести низку теорем.

Теорема 1. Число гравців не менше п'яти .

Доведення.Оскільки нульчетне число, то з аксіомі 1 число гравців не дорівнює нулю, тобто. існує хоча б один гравець А. Цей гравець через аксіому 2 бере участь у чотирьох партіях, причому в кожній з цих партій, крім А, бере участь ще один гравець (аксіома 3). Нехай В,С,Д,Е - гравці, відмінні від А, які беруть участь у цих партіях. По аксіомі 4 всі гравці В,С,Д,Е різні (якби, наприклад, було В=С, то виявилося б, що є дві партії, в яких беруть участь гравець А і гравець В=С).Отже, ми знайшли вже п'ятьох гравців: А,В,С,Д,Е. Але тоді по аксіомі 1 число гравців не менше ніж п'ять.

Теорема.2 . Число всіх виступів гравців парне .

q- деяка партія, введемо нове поняття - (q, А) - виступ гравця.

Доведення. Кожна партія дає два виступи гравців (q, А), (q, В), (за аксіомою 3), число всіх виступів 2n, де n число гравців (А 4). Отже, кількість виступів гравців кратно 2, тобто. парно.

Теорема3. Кількість виграшів у турнірі не перевищує кількості гравців.

Доведення. Нехай п- кількість гравців, тоді 2п- кількість виступів гравців (А), п- Число зіграних партій (А3). Розглянемо два випадки:

1. У всіх партіях були переможець і програли. Тоді число виграшів дорівнюватиме кількості партій, тобто. п.

2. Деякі партії закінчилися внічию, нехай таких партій буде до.Тоді в решті п - допартіях було виявлено переможця, тобто. кількість виграшів вбирається у число партій. Теорему доведено.

Прочитавши літературу, я дізнався, що таке аксіома, що таке аксіоматичний метод і як він застосовується у геометрії. Вивчивши аксіоматичний метод, я застосував його до дослідження шахового турніру.

Література

Енциклопедичний словник юного математика

/ Упоряд. Е-68 А.П. Савін. - М.: Педагогіка, 1989.

Геометрія, 7-9: Навч. Для загальноосвіт. Закладів / Л.С. Атанасян та ін. Просвітництво, 2004.

Аксіоматичний метод

Аксіомою називають відправне, вихіднестановище будь-якої теорії, що у основі доказів інших положень (наприклад, теорем) цієї теорії, не більше якої воно приймаєтьсябез доказів. У повсякденній свідомості та мові аксіомою називають якусь істину, настільки безперечну, що вона не вимагаєдоказів.

Отже, аксіоматичний метод- Це один із способів дедуктивного побудови наукової теорії, при якому вибирається невелика кількість прийнятих без доказу положень, званих «початками», «постулатами» або «опитуються як оксиомами», а все логічне слідствоцих аксіом.

Аксіоматичний метод в математиці бере початок щонайменше від Евкліда, хоча термін «аксіома» часто зустрічається і у Арістотеля: «… Бо неможливі докази для всього: адже доказ повинен даватися виходячи з чогось щодо чогось і для обґрунтування чогось . Τᴀᴋᴎᴎᴩᴀᴈᴏᴍ, виходить, що все, що доводиться, повинно належати до одного роду, бо всі науки, що доводять, однаково користуються аксіомами.<…>Аксіома має найвищий ступінь спільності і суть початку всього.<…>Початками докази я називаю загальноприйняті положення, на підставі яких усі будують свої докази.<…>Про початки знання не потрібно запитувати «чому», а кожне з цих початків саме по собі має бути достовірним. Правдоподібно те, що здається правильним всім чи більшості людей або мудрим – усім чи більшості з них або найвідомішим і славнішим. (Див., наприклад, Арістотель. Твори в чотирьох томах. Т. 2. Топика. М.: Думка, 1978. С. 349).

Як видно з останнього фрагмента «Топики» Аристотеля, підставою прийняття аксіоми служить якась «достовірність» і навіть авторитет«відомих і славних» людей. Але в даний час це не вважається достатньою підставою. Сучасні точні науки, зокрема. сама математика, не вдаються до очевидностіяк до аргументу істинності: аксіома просто запроваджується, приймається без доказів.

Давид Гільберт (1862-1943), німецький математик та фізик, вказував, що термін аксіоматичнийвживається іноді у ширшому, інколи ж й у вужчому значенні слова. При найширшому розумінні цього терміна побудова будь-якої теорії ми називаємо «аксіоматичним». У цьому плані Д. Гільберт розрізняє змістовну аксіоматику та формальну аксіоматику.

Перша «...вводить свої основні поняття з посиланням на наявний у нас досвід, а свої основні положення або вважає очевидними фактами, в яких можна безпосередньо переконатися, або формулює їх як підсумок певного досвіду і тим самим висловлює нашу впевненість у тому, що нам вдалося напасти на слід законів природи, а заразом і наш намір підкріпити цю впевненість успіхом теорії, що розвивається. Формальна аксіоматика теж потребує визнання очевидності за речами певного роду - це дуже важливо як для здійснення дедукції, так і для встановлення несуперечності самої аксіоматики – проте з тією істотною відмінністю, що даний рід очевидності не ґрунтується на якомусь особливому гносі. еологічному відношенні до аналізованої конкретної галузі науки, а залишається одним і тим же у разі будь-якої аксіоматики: ми маємо на увазі настільки елементарний спосіб пізнання, що він взагалі є попередньою умовою будь-якого точного теоретичного дослідження.<…>Формальна аксіоматизація вкрай важливості потребує змістовної як у своєму доповненні, оскільки саме ця остання спочатку керує нами в процесі вибору відповідних формалізмів, а потім, коли формальна теорія вже є в нашому розпорядженні, вона підказує нам, як ця теорія має бути застосована до аналізованої області дійсності. З іншого боку, ми не можемо обмежитися змістовною аксіоматикою з тієї простої причини, що в науці – якщо не завжди, то все ж переважно – ми маємо справу з такими теоріями, які аж ніяк не повністю відтворюють дійсний стан речей. , а є лише спрощувальною ідеалізацієюцього становища, у чому полягає їх значення. Така теорія, звісно, ​​має бути обгрунтована шляхом посилання очевидність її аксіом чи досвід. Понад те, її обгрунтування і має бути здійснено лише тому сенсі, що буде встановлено несуперечність виробленої у ній ідеалізації, т.е. тієї екстраполяції, в результаті якої введені в цій теорії поняття та її основні положення переступають межі наочно очевидного або даних досвіду(курсив мій – Ю.Є.). (Гільберт Д., Бернайс П. Підстави математики. М.: Наука, 1979. С. 23.)

Τᴀᴋᴎᴎᴩᴀᴈᴏᴍ, аксіоматичний метод, що сучасно розуміється, зводиться до наступного: а) вибирається безліч прийнятих без доказіваксіом; б) які входять у них поняття явно не визначаються у межах цієї теорії; в) фіксуються правила визначення та правила виведення даної теорії, що дозволяють логічно виводити одні припущення з інших; г) всі інші теореми виводяться з «а» на базі «в». Таким методом в даний час побудовано різні розділи математики(геометрія, теорія ймовірностей, алгебра та ін.), фізики(механіка, термодинаміка); робляться спроби аксіоматизації хіміїі біології. Геделем доведено неможливість повної аксіоматизації досить розвинених наукових теорій (наприклад, арифметики натуральних чисел), звідки випливає неможливість повної формалізації наукового знання. При дослідженні природничо знання аксіоматичний метод виступає у формі гіпотетико-дедуктивного методу. Вживання в повсякденному мовленні поняття «аксіома» як такої собі апріорнийочевидності не відбиває суті цього поняття. Таке аристотеліївське розуміння даного терміна в математиці та природознавстві в даний час подолано. Обговорення аксіоматики доречно супроводжувати фрагментом класичного твору Карла Раймунда Поппера:

«Теоретичну систему можна назвати аксіоматизованою, якщо сформульовано безліч висловлювань-аксіом, що задовольняє наступним чотирма фундаментальними вимогами: (а) система аксіом має бути несуперечливою(тобто у ній має бути ні самосуперечливих аксіом, ні протиріч між аксіомами). Це еквівалентно вимогі, що не всяке довільне висловлювання виводиться в такій системі. (b) Аксіоми цієї системи повинні бути незалежними, тобто система не повинна містити аксіом, які виводяться з інших аксіом. (Іншими словами, не можна висловлювання можна назвати аксіомою тільки в тому випадку, якщо воно не виводиться в частині системи, що залишилася після його видалення). Ці дві умови відносяться до самої системи аксіом. Що ж до ставлення системи аксіом до основної частини теорії, то аксіоми мають бути: (c) достатнімидля дедукції всіх висловлювань, що належать до аксіоматизованої теорії, та d) необхіднимиу тому сенсі, що система має містити зайвих припущень.<…>Я вважаю допустимими дві різні інтерпретації будь-якої системи аксіом. Аксіоми можна розглядати або (1) як конвенції, або (2) як емпіричні, або наукові гіпотези«Поппер К. Р. Логіка наукового дослідження. М.: Республіка, 2005. С. 65).

У історії можна знайти ряд прикладів переходу на аксіоматичний спосіб викладу теорії. Більше того, послідовне застосування цього методу до логіки доказу теорем у геометрії дозволило переосмислити цю давню науку, відкривши світ «неевклідових геометрій» (А. І. Лобачевський, Я. Бойаї, К. Гаусс, Г. Ф. Б. Ріман та ін.). Цей метод виявився зручним і продуктивним, що дозволяє будувати наукову теорію буквально як монокристал (так, зокрема, викладається зараз теоретична механіка та класична термодинаміка). Дещо пізніше, вже в 30-х роках XX століття вітчизняний математик Андрій Миколайович Колмогоров (1903-1987) дав аксіоматичне обґрунтування теорії ймовірностей, яка, як впевнено вважають історики науки, до цього спиралася на емпіричні образи азартних ігор («орлянка»). . У зв'язку з цим є сенс запропонувати увазі читача два фрагменти з текстів класиків науки і педагогіки, які вміли писати, як говорив Бердяєв, не тільки «про щось», а й «щось».

Р. Курант і Г. Роббінс: «У системі Евкліда є одна аксіома, щодо якої – на базі зіставлення з емпіричними даними, із залученням туго натягнутих ниток або світлових променів – ніяк не можна сказати, чи є вона «істинною». Це знаменитий постулат про паралельні, Який стверджує, що через дану точку, розташовану поза даною прямою, можна провести одну і лише однупряму, паралельну даній. Своєрідною особливістю цієї аксіоми є те, що твердження, що міститься в ній, стосується властивостей прямої на всьому її протязі, Причому пряма передбачається необмежено продовженою в обидві сторони: сказати, що дві прямі паралельні, - означає стверджувати, що у них не можна виявити загальної точки, як би далеко їх не продовжувати, цілком очевидно, що в межах деякої обмеженоючастини площини, як би ця частина не була широка, навпаки, можна провести через цю точку безліч прямих, що не перетинаються з цієї прямої. Так як максимально можлива довжина лінійки, нитки, навіть світлового променя, що простежується за допомогою телескопа, неодмінно кінцева і так як усередині кола кінцевого радіуса існує багато прямих, що проходять через дану точку і в межах кола не зустрічаються з цією прямою, то звідси випливає, що постулат Евкліда ніколи не повинен бути перевірений експериментально.<…>Угорський математик Бойаї і російський математик Лобачевський поклали край сумнівам, побудувавши у всіх деталях геометричну систему, в якій аксіома паралельності була відкинута. Коли Бойаї послав свою роботу «королю математики» Гаусса, від якого з нетерпінням чекав підтримки, то отримав у відповідь повідомлення, що самим Гаусом відкриття було зроблено раніше, але він утримався свого часу від публікації результатів, побоюючись надто гучних обговорень.

Подивимося, що означає незалежність аксіоми паралельності. Цю незалежність слід розуміти в тому сенсі, що можливе вільне від внутрішніх протиріч побудова «геометричних» пропозицій про точки, прямі і т.д., виходячи з системи аксіом, в якій аксіома паралельності замінена протилежною. Таку побудову прийнято називати неевклідовою геометрією(курсив мій – Ю.Є.). Потрібно було інтелектуальне безстрашність Гауса, Бойаї та Лобачевського, щоб усвідомити, що геометрія, заснована не на евклідовій системі аксіом, має бути абсолютно несуперечливою(курсив мій – Ю.Є.).<…>Ми вміємо тепер будувати прості «моделі» такої геометрії, що задовольняють усім аксіомам Евкліда, крім аксіоми паралельності (Курант Р., Роббінс Г. Що таке математика? М.: Просвітництво, 1967. С. 250).

Різні варіанти неевклідових геометрій (наприклад, геометрія Рімана, а також геометрія в просторі більш ніж трьох вимірів) пізніше знайшли застосування в побудові теорій, що відносяться до мікросвіту (релятивістська квантова механіка, фізика елементарних частинок) і, навпаки, до мегамиру (загальна теорія ).

Нарешті, думка вітчизняного математика Андрія Миколайовича Колмогорова: «Теорія ймовірностей чи математична дисципліна може й має бути аксіоматизована у тому сенсі, як геометрія чи алгебра. Це означає, що після того, як дано назви об'єктам, що вивчаються, та їх основним відносинам, а також аксіоми, яким ці відносини повинні підкорятися, весь подальший виклад повинен ґрунтуватися виключно на цих аксіомах, не спираючись на звичайне конкретне значення цих об'єктів та їх відносин(курсив мій – Ю.Є.).<…>Будь-яка аксіоматична (абстрактна) теорія допускає, як відомо, нескінченну кількість конкретних інтерпретацій. Τᴀᴋᴎᴎᴩᴀᴈᴏᴍ, і математична теорія ймовірностей допускає поряд з тими інтерпретаціями, з яких вона виникла, також багато інших.<…>Аксіоматизація теорії ймовірностей має бути проведена різними способами як щодо вибору аксіом, так і вибору базових понять та базових співвідношень. У разі якщо переслідувати мету можливої ​​простоти як самої системи аксіом, так і побудови з неї подальшої теорії, то представляється найбільш доцільним аксіоматизування понять випадкової події та її ймовірності. Існують також інші системи аксіоматичної побудови теорії ймовірностей, а саме такі, в яких поняття ймовірностей не відноситься до базових понять, а саме виражається через інші поняття [виноска: наприклад, von Mises R. Wahrscheinlichkeitsrechnung, Leipzig u. Wien, Fr. Deuticke, 1931; Бернштейн С.М. Теорія ймовірностей, 2-ге вид., Москва, ГТТІ, 1934.]. При цьому прагнуть, однак, до іншої мети, а саме, по можливості до найбільш тісного змикання математичної теорії з емпіричним виникненням поняття ймовірності (Колмогоров А. Н. Основні поняття теорії ймовірностей. М.: Наука, 1974. С. 9).

Аксіоматичний метод - поняття та види. Класифікація та особливості категорії "Аксіоматичний метод" 2017, 2018.