Приватні похідні та повний диференціал. Приватні та повні диференціали функції декількох змінних

Кожна приватна похідна (по xі по y) функції двох змінних є звичайною похідною функції однієї змінної при фіксованому значенні іншої змінної:

(де y= const),

(де x= Const).

Тому приватні похідні обчислюють за формулам та правилам обчислення похідних функцій однієї змінної, Вважаючи при цьому іншу змінну постійною (константою).

Якщо Вам не потрібен розбір прикладів та необхідного для цього мінімуму теорії, а потрібне лише вирішення Вашого завдання, то переходьте до калькулятор приватних похідних онлайн .

Якщо важко зосередитися, щоб відстежувати, де у функції константа, то можна в чорновому рішенні прикладу замість змінної з фіксованим значенням підставити будь-яке число - тоді можна буде швидше обчислити приватну похідну як похідну звичайну функції однієї змінної. Треба тільки не забути при чистовому оформленні повернути місце константу (змінну з фіксованим значенням).

Описана вище властивість приватних похідних випливає з визначення приватної похідної, яка може потрапити в екзаменаційні питання. Тож ознайомлення з визначенням нижче можна відкрити теоретичну довідку.

Поняття безперервності функції z= f(x, y) у точці визначається аналогічно до цього поняття для функції однієї змінної.

Функція z = f(x, y) називається безперервною в точці якщо

Різниця (2) називається повним збільшенням функції z(Воно виходить в результаті прирощень обох аргументів).

Нехай задані функції z= f(x, y) і крапка

Якщо зміна функції zвідбувається при зміні лише одного з аргументів, наприклад, x, при фіксованому значенні іншого аргументу y, то функція отримає збільшення

зване приватним збільшенням функції f(x, y) за x.

Розглядаючи зміну функції zЗалежно від зміни лише одного з аргументів, ми фактично переходимо до функції однієї змінної.

Якщо існує кінцева межа

то він називається приватною похідною функції f(x, y) за аргументом xі позначається одним із символів

(4)

Аналогічно визначаються приватне збільшення zпо y:

та приватна похідна f(x, y) за y:

(6)

приклад 1.

Рішення. Знаходимо приватну похідну за змінною "ікс":

(yфіксовано);

Знаходимо приватну похідну за змінною "гравець":

(xфіксовано).

Як видно, не має значення, якою мірою змінна, яка фіксована: в даному випадку це просто деяке число, що є множником (як у випадку звичайної похідної) при змінній, за якою знаходимо приватну похідну. Якщо ж фіксована змінна не помножена на змінну, за якою знаходимо приватну похідну, то ця самотня константа, байдуже, якою мірою, як і у випадку звичайної похідної, звертається в нуль.

приклад 2.Дана функція

Знайти приватні похідні

(за іксом) та (за гріком) і обчислити їх значення в точці А (1; 2).

Рішення. При фіксованому yпохідна першого доданка знаходиться як похідна статечної функції ( таблиця похідних функцій однієї змінної):

.

При фіксованому xпохідна першого доданка знаходиться як похідна показової функції, а другого – як похідна постійної:

Тепер обчислимо значення цих приватних похідних у точці А (1; 2):

Перевірити розв'язання задач з приватними похідними можна на калькулятор приватних похідних онлайн .

приклад 3.Знайти приватні похідні функції

Рішення. За один крок знаходимо

(y xніби аргументом синуса було 5 x: так само 5 виявляється перед знаком функції);

(xфіксовано і є в даному випадку множником при y).

Перевірити розв'язання задач з приватними похідними можна на калькулятор приватних похідних онлайн .

Аналогічно визначаються приватні похідні функції трьох і більше змінних.

Якщо кожному набору значень ( x; y; ...; t) незалежних змінних з множини Dвідповідає одне певне значення uз множини E, то uназивають функцією змінних x, y, ..., tі позначають u= f(x, y, ..., t).

Для функцій трьох і більше змінних геометричної інтерпретації немає.

Приватні похідні функції кількох змінних визначаються і обчислюються також у припущенні, що змінюється лише одне із незалежних змінних, інші при цьому фіксовані.

приклад 4.Знайти приватні похідні функції

.

Рішення. yі zфіксовані:

xі zфіксовані:

xі yфіксовані:

Знайти приватні похідні самостійно, а потім переглянути рішення

Приклад 5.

Приклад 6.Знайти приватні похідні функції.

Приватна похідна функції кількох змінних має той самий механічний зміст, як і похідна функції однієї змінної, - це швидкість зміни функції щодо зміни одного із аргументів.

Приклад 8.Кількісна величина потоку Ппасажирів залізниць може бути виражена функцією

де П- кількість пасажирів, N– кількість жителів кореспондуючих пунктів, R- Відстань між пунктами.

Приватна похідна функції Ппо R, рівна

показує, що зменшення потоку пасажирів обернено пропорційно квадрату відстані між кореспондуючими пунктами за однієї і тієї ж чисельності жителів у пунктах.

Приватна похідна Ппо N, рівна

показує, що збільшення потоку пасажирів пропорційно подвоєному числу жителів населених пунктів при тому самому відстані між пунктами.

Перевірити розв'язання задач з приватними похідними можна на калькулятор приватних похідних онлайн .

Повний диференціал

Твір приватної похідної на збільшення відповідної незалежної змінної називається приватним диференціалом. Приватні диференціали позначаються так:

Сума приватних диференціалів за всіма незалежними змінними дає повний диференціал. Для функції двох незалежних змінних повний диференціал виражається рівністю

(7)

Приклад 9.Знайти повний диференціал функції

Рішення. Результат використання формули (7):

Функція, що має повний диференціал у кожній точці певної області, називається диференційованою в цій галузі.

Знайти повний диференціал самостійно, а потім переглянути рішення

Як і у разі функції однієї змінної, з диференційованості функції у певній області випливає її безперервність у цій галузі, але з навпаки.

Сформулюємо без доказів достатню умову диференціювання функції.

Теорема.Якщо функція z= f(x, y) має безперервні приватні похідні

у цій галузі, вона диференційована у цій галузі та її диференціал виражається формулою (7).

Можна показати, що подібно до того, як у випадку функції однієї змінної диференціал функції є головною лінійною частиною прирощення функції , так і у випадку декількох змінних повний диференціал є головною, лінійною щодо прирощень незалежних змінних частиною повного прирощення функції.

Для функції двох змінних повне збільшення функції має вигляд

(8)

де α і β - нескінченно малі при і.

Приватні похідні вищих порядків

Приватні похідні та функції f(x, y) самі є деякими функціями тих самих змінних і, у свою чергу, можуть мати похідні за різними змінними, які називаються приватними похідними вищих порядків.

Транскрипт

1 ЛЕКЦІЯ N Повний диференціал, приватні похідні та диференціали вищих порядків Повний диференціал Приватні диференціал d a +B () z z Помічаючи, що A=, B =, запишемо формулу () у такому вигляді z z dz= + () Поширимо поняття диференціала функції на незалежні змінні, поклавши диференціали незалежних змінних рівними їх приростам: d= ; d= Після цього формула повного диференціала функції набуде вигляду z z dz= d + d () d + d Приклад Нехай =ln(+) Тоді dz= d + d = Аналогічно, якщо u=f(, n) є функція, що диференціюється n незалежних n змінних, то du = d (d =) = Вираз d z = f (,) d (4) називається приватним диференціалом функції z = f (,) по змінній; вираз d z=f (,)d (5) називається приватним диференціалом функції z=f(,) за змінною З формул (), (4) і (5) випливає, що повний диференціал функції є сумою її приватних диференціалів: dz=d z+d z Зазначимо, що повне прирощення z функції z=f(,), взагалі кажучи, не дорівнює сумі приватних прирощень. прирост z = z z + + α (,) + β (,) відрізняється від своєї лінійної частини dz = z z + тільки на суму останніх доданків α +β, які при 0 і 0 є нескінченно малими більш високого порядку, ніж складові лінійної частини. при dz 0 лінійну частину збільшення диференційованої функції називають головною частиною збільшення функції і користуються наближеною формулою z dz, яка буде тим більш точною, чим меншими за абсолютною величиною будуть збільшення аргументів,97 Приклад Обчислити приблизно arctg(),0

2 Рішення Розглянемо функцію f(,)=arctg() Застосовуючи формулу f(х 0 + х,у 0 + у) f(х 0, у 0) + dz, отримаємо arctg(+) arctg() + [ arctg() ] + [ arctg()] або + + arctg() arctg() () + () Покладемо =, =, тоді =-0,0, =0,0 Тому, (0,0 0,0 arctg) arctg( ) + (0,0) 0,0 = arctg 0,0 = + 0,0 + () + () π = 0,05 0,0 0,75 4 Можна показати, що помилка, що виходить при застосуванні наближеної формули z dz не перевищує числа = М(+), де М найбільше значення абсолютних величин других приватних похідних f(,), f(,), f(,) при зміні аргументів від до + і від до + Приватні похідні вищих порядків Якщо функція u =f(, z) має в деякій (відкритій) області D приватну похідну по одній зі змінних, то знайдена похідна, сама будучи функцією від, z може в свою чергу в деякій точці (0, 0, z 0) мати приватні похідні за тією ж або за будь-якою іншою змінною Для вихідної функції u=f(, z) ці похідні будуть приватними похідними другого порядку Якщо перша похідна була взята, наприклад ер, по, то її похідна з z позначається так: f (0, 0, z0) f (0, 0, z0) f (0, 0, z0) = ; =; = або u, u, uzzz Аналогічно визначають похідні третього, четвертого і так далі порядків Зауважимо, що приватна похідна вищого порядку, взята за різними змінними, наприклад, ; називається змішаною приватною похідною Приклад u= 4 z тоді, u =4 z ; u = 4 z; u z = 4 z; u = z; u =6 4 z; u zz = 4; u = z; u = z; u z = 4 z; u z = 8 z; u z = 6 4 z; u z =6 4 z Зауважимо, що змішані похідні, взяті по одним і тим же змінним, але в різному порядку, збігаються. функція f(,) визначена в (відкритій) області D,) в цій області існують перші похідні f і f, а також другі змішані похідні f і f і нарешті) ці останні похідні f і f, як функції і, безперервні в деякій точці (0, 0) області D Тоді у цій точці f (0, 0)=f (0, 0) Доказ Розглянемо вираз

3 f (0 +, 0 f (0 +, 0) f (0, 0 + f (0, 0) W=, де, відмінні від нуля, наприклад, позитивні, і притому настільки малі, що D міститься весь прямокутник [ 0, 0 +; 0, 0 +] Введемо допоміжну функцію від: f (, 0 f (, 0) ϕ()=, яка в проміжку [ 0, 0 +] в силу () має похідну: f f ϕ (, 0 +) (, 0) ()= і, отже, безперервна За допомогою цієї функції f (0 +, 0 f (0 +, 0) f (0, 0 f (0, 0)) вираз W, який дорівнює W = можна переписати у вигляді: ? так: W = ϕ (0 + θ, 0 f (0 + θ, 0) (0 + θ) = (0<θ<) Пользуясь существованием второй производной f (,), снова применим формулу конечных приращений, на этот раз к функции от: f (0 +θ,) в промежутке [ 0, 0 +] Получим W=f (0 +θ, 0 +θ), (0<θ <) Но выражение W содержит и, с одной стороны, и и, с другой, одинаковым образом Поэтому, можно поменять их роли и, введя вспомогательную функцию: Ψ()= f (0 +,) f (0,), путем аналогичных рассуждений получить результат: W=f (0 +θ, 0 +θ) (0<θ, θ <) Из сопоставления () и (), находим f (0 +θ, 0 +θ)=f (0 +θ, 0 +θ) Устремив теперь и к нулю, перейдем в этом равенстве к пределу В силу ограниченности множителей θ, θ, θ, θ, аргументы и справа, и слева стремятся к 0, 0 А тогда, в силу (), получим: f (0, 0)=f (0, 0), что и требовалось доказать Таким образом, непрерывные смешанные производные f и f всегда равны Общая теорема о смешанных производных Пусть функция u=f(, n) от переменных определена в открытой n-мерной области D и имеет в этой области всевозможные частные производные до (n-)-го порядка включительно и смешанные производные n-го порядка, причем все эти производные непрерывны в D При этих условиях значение любой n-ой смешанной производной не зависит от того порядка, в котором производятся последовательные дифференцирования Дифференциалы высших порядков Пусть в области D задана непрерывная функция u=f(, х), имеющая непрерывные частные производные первого порядка Тогда, du= d + d + + d

4 Ми бачимо, що du також є деякою функцією від, Якщо припустити існування безперервних приватних похідних другого порядку для u, то du буде мати безперервні приватні похідні першого порядку і можна говорити про повний диференціал від цього диференціала du, d(du), який називається диференціалом другого порядку (або другим диференціалом) від u; він позначається d u Підкреслимо, що збільшення d, d, d при цьому розглядаються як постійні і залишаються одними і тими ж при переході від одного диференціала до наступного (причому d, d будуть нулями) Отже, d u = d (du) = d (d + d + + d) = d() d + d() d + + d() d або d u = (d + d + d + + d) d + + (d + d + = d + d + + d + dd + dd + + dd + + Аналогічно, визначається диференціал третього порядку d u і так далі Якщо для функції u існують безперервні приватні похідні всіх порядків до n-го включно, то існування n-го диференціала забезпечене Можна спростити запис Винесемо у виразі першого диференціалу «літеру u» за дужки Тоді, запис буде символічним: u = (d + d + + d) u ; + + d) u, яку слід розуміти так: спочатку «многочлен», що стоїть у дужках, формально, зводиться за правилами алгебри в ступінь, потім усі отримані члени «множуються» на u (яке n дописується в чисельниках при) , і тільки після цього всім символам повертається їх значення як похідних і диференціалів u d) d u 4Виробні від складних функцій Нехай ми маємо функцію u=f(, z), визначену в області D, причому кожна зі змінних, z у свою чергу, є функцією від змінної t в деякому проміжку: =ϕ(t), =ψ(t), z=λ(t) Нехай, крім того, при зміні точки t (, z) не виходять за межі області D Підставивши значення, і z в функцію u, отримаємо складну функцію: u=f(ϕ(t), ψ(t), λ(t)) Припустимо, що u має по і z безперервні приватні похідні u, u і u z і що t, t і z t існують Тоді можна довести існування похідної складної функції і обчислити її Надамо змінної t деяке приріст t, тоді, і z отримають відповідно прирощення, і z, функція ж отримає приріст u Уявимо прирощення функції u у формі: (це можна зробити, так як ми припустили існування безперервних приватних похідних u, u та u z) u=u +u +u z z+α +β +χ z, де α, β, χ 0 при, z 0 Розділимо обидві частини рівності на t, отримаємо u z z = u + u + uz + α + β + χ t t t t t t t 4

5 Спрямуємо тепер приріст t до нуля: тоді z будуть прагнути до нуля, оскільки функції, z від t безперервні (ми припустили існування похідних t, t, z t), а тому, α, β, χ теж прагнуть до нуля У межі отримуємо u t =u t +u t +u z z t () Бачимо, що при зроблених припущеннях похідна складної функції дійсно існує Якщо скористатися диференціальним позначенням, то d d d dz () буде мати вигляд: = + + () dt dt dt z dt Розглянемо тепер випадок залежності , z від кількох змінних t: =ϕ(t, v), =ψ(t, v), z=χ(t, v) Крім існування та безперервності приватних похідних функції f(, z), ми припускаємо тут існування похідних від функцій, z по t і v Цей випадок суттєво не відрізняється від вже розглянутого, так як при обчисленні приватної похідної функції від двох змінних ми одну зі змінних фіксуємо, і у нас залишається функція тільки від однієї змінної, формула () буде та z, а () потрібно переписати у вигляді: = + + (а) t t t z t z = ++ (б) v v v z v Приклад u=; =ϕ(t)=t; =ψ(t)=cos t u t = - t + ln t = - t-ln sint 5

Функції кількох змінних У багатьох питаннях геометрії природознавства та дисциплін доводиться мати справу з функціями двох трьох і більше змінних Приклади: Площа трикутника S a h де a основа

13. Приватні похідні вищих порядків Нехай = має і визначені на D O. Функції називають також приватними похідними першого порядку функції або першими приватними похідними функції. та загалом

Додаток Визначення похідної Нехай значення аргументу, а f) і f) - ((відповідні значення функції f () Різниця називається збільшенням аргументу, а різниця - збільшенням функції на відрізку,

Практичне заняття ДИФЕРЕНЦІЮВАННЯ СКЛАДНОЇ ТА НЕЯВНОЇ ФУНКЦІЇ Диференціювання складної функції Диференціювання неявної функції, що задається одним рівнянням Системи неявних і параметрично заданих

ФУНКЦІЇ КІЛЬКАХ ЗМІННИХ Функції однієї незалежної змінної не охоплюють всі залежності, що існують у природі. Тому природно розширити відоме поняття функціональної залежності та запровадити

6. Неявні функції 6.1 Визначення, попередні відомості Залежність однієї змінної від іншої (або інших) не обов'язково може бути виражена за допомогою так званого явного уявлення, коли

1. Основні поняття. Функції кількох змінних. Дослідження функції кількох змінних проведемо на прикладах функцій двох та трьох змінних, оскільки всі дані визначення та отримані результати

2.2.7. Застосування диференціала до наближених обчислень. Диференціал функції y = залежить від х і є головною частиною збільшення х. Також можна скористатися формулою: dy d Тоді абсолютна похибка:

Лекція 9. Похідні та диференціали вищих порядків, їх властивості. Крапки екстремуму функції. Теореми Ферма та Роля. Нехай функція y диференційована на деякому відрізку [b]. У такому разі її похідна

5 Точка в якій F F F або хоча б одна з цих похідних не існує називається особливою точкою поверхні У такій точці поверхня може не мати дотичної площини Визначення Нормаллю до поверхні

ВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ. Інтегральні суми та певний інтеграл Нехай дана функція y = f(), визначена на відрізку [, b], де< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

ЗВИЧАЙНІ ДИФЕРЕНЦІЙНІ РІВНЯННЯ ПЕРШОГО ПОРЯДКУ.. Основні поняття Диференціальним рівнянням називається рівняння, до якого невідома функція входить під знаком похідної чи диференціала.

6. Диференціал функції 1. Визначення та геометричний зміст ВИЗНАЧЕННЯ. Функція y = f(x) називається диференційованою в точці x 0, якщо її збільшення у цій точці може бути записано як сума лінійної

Лекції Розділ Функції кількох змінних Основні поняття Деякі функції багатьох змінних добре знайомі Наведемо кілька прикладів Для обчислення площі трикутника відома формула Герона S

~ 1 ~ ФУНКЦІЯ БАГАТЬОХ ЗМІННИХ 3 Функція двох змінних, область визначення, способи завдання та геометричний зміст. Визначення: z f називається функцією двох змінних, якщо кожній парі значень,

Диференціальні рівняння першого порядку дозволені щодо похідної Теорема існування та єдиності рішення У загальному випадку диференціальне рівняння першого порядку має вигляд F()

Лекція 3 Екстремум функції кількох змінних Нехай функція кількох змінних u = f (x, x) визначена в області D, і точка x (x, x) = належить даній області Функція u = f (x, x) має

Модуль Тема Функціональні послідовності та ряди Властивості рівномірної збіжності послідовностей та рядів Ступінні ряди Лекція Визначення функціональних послідовностей та рядів Рівномірно

9 Похідна та диференціал 91 Основні формули та визначення для вирішення задач Визначення Нехай функція y f () визначена на деякій f (Δ) f () Δy околиці точки Межа відношення при Δ Δ Δ, якщо

1 Тема 1. Диференціальні рівняння першого порядка 1.0. Основні визначення та теореми Диференціальне рівняння першого порядку: незалежна змінна; y = y() потрібна функція; y = y() її похідна.

Лекція 8 Диференціювання складної функції Розглянемо складну функцію t t t f де t t t t t t t t t t t t t t t t Теорема Нехай функції диференційовані в деякій точці N t t t а функція f диф

МОСКІВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ЦИВІЛЬНОЇ АВІАЦІЇ В.М. Любимов, Є.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шурінов М А Т Е М А Т І К А Р А Д И ПОСІБНИК з вивчення дисципліни та контрольні завдання

II ДИФЕРЕНЦІЙНІ РІВНЯННЯ Диференціальні рівняння першого порядку Визначення Співвідношення, в яких невідомі змінні та їх функції знаходяться під знаком похідної чи диференціала, називаються

6 Завдання, що призводять до поняття похідної Нехай матеріальна точка рухається по прямій в одному напрямку за законом s f (t), де t - час, а s - шлях, що проходить точкою за час t Зазначимо деякий момент

Лекція 3. Невизначений інтеграл. Первісна і невизначений інтеграл У диференціальному обчисленні вирішується завдання: за цією функцією f() знайти її похідну (або диференціал). Інтегральне числення

1 Лекція 7 Похідні та диференціали вищих порядків Анотація: Вводиться поняття функції, що диференціюється, дається геометрична інтерпретація першого диференціала і доводиться його інваріантність

Функції кількох аргументів Поняття функції кожному елементу х із множини Х за деяким законом у = f(х) поставлено у відповідність єдине значення змінної у з множини У кожній парі чисел

Укладач ВПБєлкін 1 Лекція 1 Функція декількох змінних 1 Основні поняття Залежність = f (1, n) змінної від змінних 1, n називається функцією n аргументів 1, n Надалі розглядатимемо

ДИФЕРЕНЦІЙНІ РІВНЯННЯ Загальні поняття Диференціальні рівняння мають численні та найрізноманітніші додатки у механіці фізики астрономії техніці та інших розділах вищої математики (наприклад

I Визначення функції декількох змінних Область визначення При вивченні багатьох явищ доводиться мати справу з функціями двох і більше незалежних змінних. Наприклад температура тіла в даний момент

Лекція 8 Теореми Ферма, Роля, Коші, Лагранжа та Лопіталя Анотація: Доводяться всі названі теореми та наводяться приклади розкриття невизначеностей за правилом Лопіталю Визначення Функція y=f() досягає

СА Лавренченко wwwlawrencenkoru Лекція 4 Диференціювання складних функцій Неявне диференціювання Згадаймо правило диференціювання для функцій однієї змінної, що також називається ланцюговим правилом (див.

Розділ Диференціальне обчислення функції однієї та кількох змінних Функція дійсного аргументу Дійсні числа Цілі позитивні числа називаються натуральними Додамо до натуральних

Практикум: «Диференційність та диференціал функції» Якщо функція y f () має кінцеву похідну в точці, то збільшення функції в цій точці можна представити у вигляді: y(,) f () () (), де () при

Лекція Диференціальні рівняння -го порядку Основні види диференціальних рівнянь -го порядку та їх вирішення Диференціальні рівняння є одним із найуживаніших засобів математичного

ТЕМА 1 ВИРОБНИЧА ФУНКЦІЇ ДИФЕРЕНЦІАЛ ФУНКЦІЇ ПРОГРАМНІ ПИТАННЯ: 11 Функціональний зв'язок Межа функції 1 Похідна функції 1 Механічний фізичний та геометричний зміст похідної 14 Основні

М І Н І С Т Е Р С Т О В О Б Р А З О В А Н І Я І Н А У К І Р О С С І Й С К О Й ФЕ Д Е Р А Ц І І ФЕДЕРАЛЬНА ДЕРЖАВНА АВТОНОМНА ОСВІТАЛЬНА УСТАНОВА ВИЩОЇ ОСВІТИ «Національний дослідницький

ДИСЦИПЛІНА «ВИЩА МАТЕМАТИКА» курс, семестр Заочна форма навчання ТЕМА Матрична алгебра При вирішенні економічних завдань застосовуються методи економіко-математичного моделювання, що використовують рішення

В.В. Жук, А.М. Камачкін Диференційність функцій багатьох змінних. Диференційність функції у точці. Достатні умови диференційності у термінах приватних похідних. Диференціювання складної

Глава 4 Межа функції 4 1 ПОНЯТТЯ МЕЖІ ФУНКЦІЇ У цьому розділі основну увагу приділено поняттю межі функції. Визначено, що таке межа функції у нескінченності, а потім межа у точці, межі

ЛЕКЦІЯ 23 КАНОНІЧНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ. ТЕОРЕМА ЛІУВІЛЛЯ ПРО ЗБЕРІГАННЯ ФАЗОВОГО ОБСЯГУ. ВИРОБНИЧА ФУНКЦІЯ ВІЛЬНОГО ПЕРЕТВОРЕННЯ Продовжимо вивчати канонічні перетворення. Спочатку нагадаємо основні

Кафедра математики та інформатики Математичний аналіз Навчально-методичний комплекс для студентів ВПО, які навчаються із застосуванням дистанційних технологій Модуль 3 Диференціальне обчислення функцій однієї

55 є при нескінченно малою величиною більш високого порядку малості порівняно з ρ n (,), де ρ () + (), ті можна уявити його у формі Пеано n R, ρ Приклад Записати формулу Тейлора при n с

Тема Визначений інтеграл Визначений інтеграл Завдання, що приводять до поняття певного інтеграла Задача про обчислення площі криволінійної трапеції У системі координат Оху дана криволінійна трапеція,

5 Ступінні ряди 5 Ступінні ряди: визначення, область збіжності Функціональний ряд виду (a + a) + a () + K + a () + K a) (, (5) де, a, a, K, a,k деякі числа, називають статечним рядом Числа

Числові ряди Числова послідовність Опр Числовою послідовністю називають числову ф-цію, визначену на множині натуральних чисел х - загальний член послідовності х =, х =, х =, х =,

Диференціальні рівняння лекція 4. Рівняння в повних диференціалах. Інтегруючий множник Лектор Шерстньова Анна Ігорівна 9. Рівняння в повних диференціалах Рівняння d + d = 14 називається рівнянням

Металургійний факультет Кафедра вищої математики РЯДИ Методичні вказівки Новокузнецьк 5 Федеральна агенція з освіти Державна освітня установа вищої професійної освіти

Математичний аналіз Розділ: Функція кількох змінних Тема: Диференційність ФНП (закінчення. Приватні похідні та диференціали складних ФНП. Диференціювання неявних функцій Лектор Рожкова С.В.

( теорема Ферма - теорема Дарбу - теорема Ролля - теорема Лагранжа теорема про середнє значення - геометричне тлумачення теореми про середнє - теорема Коші - формула кінцевих прирощень - правило Лопіталя

Розділ 4 Основні теореми диференціального обчислення Розкриття невизначеностей Основні теореми диференціального обчислення Теорема Ферма (П'єр Ферма (6-665) французький математик) Якщо функція y f

ЛЕКЦІЯ 7 ДИФЕРЕНЦІЙНЕ ЗЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЇ ОДНІЙ ЗМІННОЇ 1 Поняття похідної функції Розглянемо функцію у=f(), визначену на інтервалі (а;в) Візьмемо будь-яке значення х (а;в) і задамо аргументу

Міністерство освіти Республіки Білорусь УО «Вітебський державний технологічний університет» Тема. «Ряди» Кафедра теоретичної та прикладної математики. розроблено доц. Є.Б. Дуніною. Основні

Лекція 3 Ряди Тейлора і Маклорена Застосування статечних рядів Розкладання функцій у статечні ряди Ряди Тейлора і Маклорена Для додатків важливо вміти цю функцію розкладати в статечний ряд, ті функцію

58 Певний інтеграл Нехай на проміжку задана функція () Вважатимемо функцію безперервною, хоча це не обов'язково Виберемо на проміжку довільні числа, 3, n-, які відповідають умові:

Диференціальні рівняння вищого ладу. Конєв В.В. Малюнки лекцій. 1. Основні поняття 1 2. Рівняння, що допускають зниження порядку 2 3. Лінійні диференціальні рівняння вищого порядку

Лекція 20 ТЕОРЕМА ПРО ВИРОБНИЧУ СКЛАДНУ ФУНКЦІЮ. Нехай y = f (u), а u = u (x). Отримуємо функцію y, яка залежить від аргументу x: y = f(u(x)). Остання функція називається функцією функції або складною функцією.

Диференціювання неявно заданої функції Розглянемо функцію (,) = C (C = const) Це рівняння задає неявну функцію () Припустимо, ми вирішили це рівняння і знайшли явний вираз = () Тепер можна

Московський авіаційний інститут (національний дослідний університет) Кафедра "Вища математика" Межі Похідні Функції кількох змінних Методичні вказівки та варіанти контрольних

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА 7 УЗАГАЛЬНІ ФУНКЦІЇ I. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т І Я І Т Е О Р Е М И Позначимо через D безліч усіх нескінченно диференційованих фінітних функцій дійсного змінного. Це

Глава 3. Дослідження функцій з допомогою похідних 3.1. Екстремуми та монотонність Розглянемо функцію y = f(), визначену на деякому інтервалі I R. Кажуть, що вона має локальний максимум у точці

Московський державний технічний університет імені Н.Е. Баумана Факультет «Фундаментальні науки» Кафедра «Математичне моделювання» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Методичні вказівки та варіанти РГР на тему Функція кількох змінних для студентів спеціальності Дизайн. Якщо величина однозначно визначається завданням значень величин і, незалежних один від одного,

Московський державний технічний університет імені Н.Е. Баумана Факультет «Фундаментальні науки» Кафедра «Математичне моделювання» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ ДО РОЗРАХУНКОВИХ ЗАВДАНЬ ПО КУРСУ ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ «ЗВИЧАЙНІ ДИФЕРЕНЦІЙНІ РІВНЯННЯ РЯДИ Подвійні ІНТЕГРАЛИ» ЧАСТИНА Ш ТЕМА РЯДИ

Межа функції. Межа числової послідовності Визначення. Нескінченною числовою послідовністю (або просто числовою послідовністю називається функція f f (, визначена на багатьох

Лекція 19 ВИРОБНИЧА І ЇЇ ДОДАТКИ. ВИЗНАЧЕННЯ ВИРОБНИЧОЇ. Нехай маємо деяку функцію y=f(x), визначену на певному проміжку. Для кожного значення аргументу xз цього проміжку функція y=f(x)

Диференціальне обчислення функцій кількох змінних Функції кількох змінних Величина називається функцією змінних величин n якщо кожній точці М n належить деякій множині X поставлено

ЛЕКЦІЯ N 7. Ступінні ряди і ряди Тейлора..Степінні ряди..... Ряд Тейлора.... 4.Розкладання деяких елементарних функцій у ряди Тейлора і Маклорена.... .Ступіньні

Лекція 3 Теорема існування та єдиності розв'язання скалярного рівняння Постановка задачі Основний результат Розглянемо задачу Коші d f () d =, () = Функція f (,) задана в області G площині (,

Федеральне агентство з освіти Московський Державний університет геодезії та картографії (МІІГАіК) МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ ТА ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ за курсом

Лінеарізація функції. Дотична площина та нормаль до поверхні.

Похідні та диференціали вищих порядків.

1. Приватні похідні ФНП *)

Розглянемо функцію і = f(P), РÎDÌR nабо, що те саме,

і = f(х 1 , х 2 , ..., х п).

Зафіксуємо значення змінних х 2 , ..., х п, а змінною х 1 дамо приріст D х 1 . Тоді функція іотримає приріст , що визначається рівністю

= f (х 1+D х 1 , х 2 , ..., х п) – f(х 1 , х 2 , ..., х п).

Це прирощення називають приватним збільшеннямфункції іпо змінній х 1 .

Визначення 7.1.Приватної похідної функції і = f(х 1 , х 2 , ..., х п) за змінною х 1 називається межа відношення приватного збільшення функції до збільшення аргументу D х 1 при D х 1 ® 0 (якщо ця межа існує).

Позначається приватна похідна за х 1 символами

Таким чином, за визначенням

Аналогічно визначаються приватні похідні за іншими змінними х 2 , ..., х п. З визначення видно, що приватна похідна функції змінної х i– це звичайна похідна функції однієї змінної х iколи інші змінні вважаються константами. Тому всі раніше вивчені правила та формули диференціювання можуть бути використані для пошуку похідної функції кількох змінних.

Наприклад, для функції u = x 3 + 3xy – z 2 маємо

Таким чином, якщо функція кількох змінних задана явно, то питання існування та відшукання її приватних похідних зводяться до відповідних питань щодо функції однієї змінної – тієї, за якою необхідно визначити похідну.

Розглянемо явно задану функцію. Нехай рівняння F( x, y) = 0 визначає неявну функцію однієї змінної х. Справедлива

Теорема 7.1.

Нехай F( x 0 , y 0) = 0 та функції F( x, y), F¢ х(x, y), F¢ у(x, y) безперервні в деякій околиці точки ( х 0 , у 0), причому F¢ у(x 0 , y 0) ¹ 0. Тоді функція у, Задана неявно рівнянням F( x, y) = 0, має в точці ( x 0 , y 0) похідну, яка дорівнює

.

Якщо умови теореми виконуються у будь-якій точці області DÌ R 2 , то у кожній точці цієї області .

Наприклад, для функції х 3 –2у 4 + ух+ 1 = 0 знаходимо

Нехай тепер рівняння F( x, y, z) = 0 визначає неявну функцію двох змінних. Знайдемо і. Оскільки обчислення похідної за хпроводиться при фіксованому (постійному) у, то цих умовах рівність F( x, y= Const, z) = 0 визначає zяк функцію однієї змінної хі згідно з теоремою 7.1 отримаємо

.

Аналогічно .

Таким чином, для функції двох змінних, заданої неявно рівнянням , приватні похідні знаходять за формулами: ,

Нехай функція визначена у певній (відкритій) області D точок
мірного простору, та
– точка у цій галузі, тобто.
D.

Приватним збільшенням функціїбагатьох змінних за якою-небудь змінною називається те збільшення, яке отримає функція, якщо ми дамо збільшення цієї змінної, вважаючи, що всі інші змінні мають постійні значення.

Наприклад, приватне збільшення функції змінної буде

Приватної похідної незалежної змінної у точці
від функції називається межа (якщо існує) відносини приватного збільшення
функції до збільшення
змінної при прагненні
до нуля:

Приватну похідну позначають одним із символів:

;
.

Зауваження.Індекс внизу в цих позначеннях лише вказує, за якою зі змінних береться похідна, і не пов'язана з тим, у якій точці
ця похідна обчислюється.

Обчислення приватних похідних не представляє нічого нового в порівнянні з обчисленням звичайної похідної, необхідно тільки пам'ятати, що при диференціюванні функції будь-якої змінної всі інші змінні приймаються за постійні. Покажемо на прикладах.

приклад 1.Знайти приватні похідні функції
.

Рішення. При обчисленні приватної похідної функції
за аргументом розглядаємо функцію як функцію лише однієї змінної , тобто. вважаємо, що має фіксоване значення. При фіксованому функція
є статечною функцією аргументу . За формулою диференціювання статечної функції отримуємо:

Аналогічно при обчисленні приватної похідної вважаємо, що фіксоване значення , і розглядаємо функцію
як показову функцію аргументу . У результаті отримуємо:

Приклад 2. Найті приватні похідні і функції
.

Рішення.При обчисленні приватної похідної за задану функцію ми розглядатимемо як функцію однієї змінної , а вирази, що містять , Будуть постійними множниками, тобто.
виступає у ролі постійного коефіцієнта при статечній функції (
). Диференціюючи цей вираз по , Отримаємо:

.

Тепер, навпаки, функцію розглядаємо як функцію однієї змінної , в той час як вирази, що містять , виступають у ролі коефіцієнта
(
).Диференціюючи за правилами диференціювання тригонометричних функцій, отримуємо:

приклад 3. Обчислити приватні похідні функції
у точці
.

Рішення.Знаходимо спочатку приватні похідні цієї функції у довільній точці
її області визначення. При обчисленні приватної похідної за вважаємо, що
є незмінними.

при диференціюванні по постійними будуть
:

а при обчисленні приватних похідних за і по , аналогічно, постійними будуть, відповідно,
і
, тобто:

Тепер обчислимо значення цих похідних у точці
, підставляючи у тому висловлювання конкретні значення змінних. У результаті отримуємо:

11. Приватні та повні диференціали функції

Якщо тепер до приватного збільшення
застосувати теорему Лагранжа про кінцеві збільшення змінної , то, вважаючи безперервної, отримаємо такі співвідношення:

де
,
- Безмежно мала величина.

Приватним диференціалом функціїпо змінній називається головна лінійна частина приватного збільшення
, рівна добутку приватної похідної за цією змінною на збільшення цієї змінної, і позначається

Очевидно, приватний диференціал відрізняється від приватного збільшення на нескінченно малу вищого порядку.

Повним збільшенням функціїбагатьох змінних називається її приріст, яке вона отримає, коли всім незалежним змінним дамо приріст, тобто.

де всі
, залежать ті разом із нею прагнуть нулю.

Під диференціалами незалежних змінних домовилися мати на увазі довільніприрощення
і позначати їх
. Таким чином, вираз приватного диференціала набуде вигляду:

Наприклад, приватний диференціал по визначається так:

.

Повним диференціалом
функції багатьох зміннихназивається головна лінійна частина повного збільшення
, Рівна, тобто. сумі всіх її приватних диференціалів:

Якщо функція
має безперервні приватні похідні

у точці
, то вона диференційована в даній точці.

При досить малому для функції, що диференціюється
мають місце наближені рівності

,

за допомогою яких можна робити наближені обчислення.

приклад 4.Знайти повний диференціал функції
трьох змінних
.

Рішення.Насамперед, знаходимо приватні похідні:

Помітивши, що вони безперервні за всіх значень
, знаходимо:

Для диференціалів функцій багатьох змінних вірні всі теореми про властивості диференціалів, доведені для випадку функції однієї змінної, наприклад: якщо і - Безперервні функції змінних
, що мають безперервні приватні похідні по всіх змінних, а і - довільні постійні, то:

(6)

Приватні похідні функції двох змінних.
Поняття та приклади рішень

На цьому уроці ми продовжимо знайомство з функцією двох змінних і розглянемо, мабуть, найпоширеніше тематичне завдання – знаходження приватних похідних першого та другого порядку, а також повного диференціалу функції. Студенти-заочники, як правило, стикаються з приватними похідними на 1 курсі у 2 семестрі. Причому, за моїми спостереженнями, завдання перебування приватних похідних практично завжди зустрічається на іспиті.

Для ефективного вивчення нижченаведеного матеріалу вам необхідновміти більш менш впевнено знаходити «звичайні» похідні функції однієї змінної. Навчитися правильно поводитися з похідними можна під час уроків Як знайти похідну?і Похідна складної функції. Також нам знадобиться таблиця похідних елементарних функцій та правил диференціювання, найзручніше, якщо вона буде під рукою в роздрукованому вигляді. Здобути довідковий матеріал можна на сторінці Математичні формули та таблиці.

Швиденько повторимо поняття функції двох змінних, я постараюся обмежитися найменшим. Функція двох змінних зазвичай записується як , у своїй змінні , називаються незалежними зміннимиабо аргументами.

Приклад: - Функція двох змінних.

Іноді використовують запис. Також зустрічаються завдання, де замість букви використовується буква .

З геометричної точки зору функція двох змінних найчастіше є поверхнею тривимірного простору (площина, циліндр, куля, параболоїд, гіперболоїд і т. д.). Але, власне, це вже більше аналітична геометрія, а у нас на порядку денному математичний аналіз, який ніколи не давав списувати мій викладач вузу є моїм «ковзаном».

Переходимо до питання перебування приватних похідних першого та другого порядків. Повинен повідомити хорошу новину для тих, хто випив кілька чашок кави і налаштувався на неймовірно важкий матеріал: приватні похідні – це майже те саме, що й «звичайні» похідні функції однієї змінної.

Для приватних похідних справедливі всі правила диференціювання та таблиця похідних елементарних функцій. Є тільки кілька невеликих відмінностей, з якими ми познайомимося прямо зараз:

…так, до речі, для цієї теми я таки створив маленьку pdf-книжку, яка дозволить "набити руку" буквально за пару годин. Але, користуючись сайтом, ви, безумовно, теж отримаєте результат - тільки може трохи повільніше:

Приклад 1

Знайти приватні похідні першого та другого порядку функції

Спочатку знайдемо приватні похідні першого порядку. Їх дві.

Позначення:
або - приватна похідна по "ікс"
або – приватна похідна за «ігроком»

Почнемо з . Коли ми знаходимо приватну похідну по «ікс», то змінна вважається константою (постійним числом).

Коментарі до виконаних дій:

(1) Перше, що ми робимо під час перебування приватної похідної – укладаємо всюфункцію в дужки під штрих з підрядковим індексом.

Увага, важливо!Підрядкові індекси НЕ ВТРАЮЄМО по ходу рішення. В даному випадку, якщо ви десь намалюєте «штрих» без , то викладач, як мінімум, може поставити поруч із завданням (відразу відкусити частину бала за неуважність).

(2) Використовуємо правила диференціювання , . Для простого прикладу, як цей, обидва правила можна застосувати на одному кроці. Зверніть увагу на перший доданок: оскільки вважається константою, а будь-яку константу можна винести за знак похідної, то ми виносимо за дужки. Тобто в цій ситуації нічим не краще за звичайне число. Тепер подивимося на третій доданок: тут, навпаки, нічого не виносити. Оскільки константа, то – теж константа, і в цьому сенсі вона нічим не краща за останній доданок – «сімки».

(3) Використовуємо табличні похідні та .

(4) Спрощуємо, або, як я люблю говорити, «зачісуємо» відповідь.

Тепер. Коли ми знаходимо приватну похідну за «ігроком», то зміннавважається константою (постійним числом).

(1) Використовуємо самі правила диференціювання , . У першому доданку виносимо константу за знак похідної, у другому доданку нічого винести не можна оскільки – вже константа.

(2) Використовуємо таблицю похідних функцій. Уявно поміняємо в таблиці всі «ікси» на «ігреки». Тобто дана таблиця рівно справедлива і для (та й взагалі майже для будь-якої літери). Зокрема, формули, які ми використовуємо, виглядають так: і .

У чому сенс приватних похідних?

По суті приватні похідні 1-го порядку нагадують «звичайну» похідну:

– це функції, які характеризують швидкість змінифункції у напрямку осей та відповідно. Так, наприклад, функція характеризує крутість «підйомів» та «схилів» поверхніу напрямку осі абсцис, а функція повідомляє нам про «рельєф» цієї ж поверхні у напрямку осі ординат.

! Примітка : тут маються на увазі напрямки, які паралельнікоординатним осям.

З метою кращого розуміння розглянемо конкретну точку площини та обчислимо в ній значення функції (висоту):
– а тепер уявіть, що ви тут знаходитесь (НА САМІЙ поверхні).

Обчислимо приватну похідну по «ікс» у цій точці:

Негативний знак «іксової» похідної повідомляє про спаданняфункції в точці за напрямом осі абсцис. Іншими словами, якщо ми зробимо маленький-маленький (Безмежно малий)крок у бік вістря осі (паралельно даної осі), то спустимося вниз схилом поверхні.

Тепер дізнаємося характер «місцевості» у напрямку осі ординат:

Похідна за «ігроком» позитивна, отже, в точці за напрямком осі функція зростає. Якщо дуже просто, то тут нас чекає підйом у гору.

Крім того, приватна похідна в точці характеризує швидкість змінифункції за відповідним напрямом. Чим набуте значення більше за модулем– тим поверхня крутіша, і навпаки, чим вона ближче до нуля – тим поверхня більш полога. Так, у нашому прикладі «схил» у напрямку осі абсцис крутіший, ніж «гора» у напрямку осі ординат.

Але то були два приватні шляхи. Цілком зрозуміло, що з точки, в якій ми знаходимося, (і взагалі з будь-якої точки даної поверхні)ми можемо зрушити і в якомусь іншому напрямку. Таким чином, виникає інтерес скласти загальну «навігаційну карту», ​​яка повідомляла б нам про «ландшафт» поверхні по можливостіу кожній точці області визначення цієї функціїпо всіх доступних шляхах. Про це та інші цікаві речі я розповім на одному з наступних уроків, а поки що повернемося до технічного боку питання.

Систематизуємо елементарні прикладні правила:

1) Коли ми диференціюємо по , то змінна вважається константою.

2) Коли ж диференціювання здійснюється зато константою вважається.

3) Правила та таблиця похідних елементарних функцій справедливі і застосовні для будь-якої змінної (або будь-якої іншої), за якою ведеться диференціювання.

Крок другий. Знаходимо приватні похідні другого порядку. Їх чотири.

Позначення:
або – друга похідна з «ікс»
або – друга похідна за «ігроком»
або – змішанапохідна «ікс із ігрок»
або – змішанапохідна «ігрок з ікс»

З другої похідної немає жодних проблем. Говорячи простою мовою, друга похідна – це похідна від першої похідної.

Для зручності я перепишу вже знайдені приватні похідні першого порядку:

Спочатку знайдемо змішані похідні:

Як бачите, все просто: беремо приватну похідну та диференціюємо її ще раз, але в даному випадку – вже за «ігроком».

Аналогічно:

У практичних прикладах можна орієнтуватися на таку рівність:

Таким чином, через змішані похідні другого порядку дуже зручно перевірити, чи правильно ми знайшли приватні похідні першого порядку.

Знаходимо другу похідну по «ікс».
Жодних винаходів, беремо і диференціюємо її по «ікс» ще раз:

Аналогічно:

Слід зазначити, що при знаходженні потрібно проявити підвищена увага, оскільки жодних чудових рівностей для їхньої перевірки не існує.

Другі похідні також знаходять широке практичне застосування, зокрема вони використовуються в задачі відшукання екстремумів функції двох змінних. Але всьому свій час:

Приклад 2

Обчислити приватні похідні першого порядку функції у точці. Знайти похідні другого порядку.

Це приклад самостійного рішення (відповіді наприкінці уроку). Якщо виникли труднощі з диференціюванням коріння, поверніться до уроку Як знайти похідну?А взагалі, незабаром ви навчитеся знаходити подібні похідні «з льоту».

Набиваємо руку на складніших прикладах:

Приклад 3

Перевірити, що . Записати повний диференціал першого порядку.

Рішення: Знаходимо приватні похідні першого порядку:

Зверніть увагу на підрядковий індекс: , поряд з «іксом» можна в дужках записувати, що - константа. Ця позначка може бути дуже корисною для початківців, щоб легше було орієнтуватися у вирішенні.

Подальші коментарі:

(1) Виносимо всі константи за знак похідної. У разі і , отже, та його твір вважається постійним числом.

(2) Не забуваємо, як правильно диференціювати коріння.

(1) Виносимо всі константи за знак похідної, у разі константою є .

(2) Під штрихом у нас залишився добуток двох функцій, отже, потрібно використовувати правило диференціювання твору .

(3) Не забуваємо, що це складна функція (хоча і найпростіша зі складних). Використовуємо відповідне правило: .

Тепер знаходимо змішані похідні другого порядку:

Отже, всі обчислення виконані правильно.

Запишемо повний диференціал. У контексті завдання не має сенсу розповідати, що таке повний диференціал функції двох змінних. Важливо, що цей диференціал дуже часто потрібно записати в практичних завданнях.

Повний диференціал першого порядкуфункції двох змінних має вигляд:

В даному випадку:

Тобто, у формулу треба тупо просто підставити вже знайдені похідні приватні першого порядку. Значки диференціалів і в цій та схожих ситуаціях по можливості краще записувати в чисельниках:

І на неодноразові прохання читачів, повний диференціал другого порядку.

Він виглядає так:

УВАЖНО знайдемо «однолітерні» похідні 2-го порядку:

і запишемо «монстра», акуратно «прикріпивши» квадрати, твір і не забувши подвоїти змішану похідну:

Нічого страшного, якщо щось здалося важким, до похідних завжди можна повернутися пізніше, після того, як підніміть техніку диференціювання:

Приклад 4

Знайти приватні похідні першого порядку функції . Перевірити, що . Записати повний диференціал першого порядку.

Розглянемо серію прикладів зі складними функціями:

Приклад 5

Знайти приватні похідні першого порядку функції.

Рішення:

Приклад 6

Знайти приватні похідні першого порядку функції .
Записати повний диференціал.

Це приклад самостійного рішення (відповідь наприкінці уроку). Повне рішення не наводжу, оскільки воно досить просте

Досить часто всі вищерозглянуті правила застосовують у комбінації.

Приклад 7

Знайти приватні похідні першого порядку функції .

(1) Використовуємо правило диференціювання суми

(2) Перше доданок у разі вважається константою, оскільки у виразі немає нічого, залежить від «ікс» – лише «ігреки». Знаєте, завжди приємно, коли дріб вдається перетворити на нуль). Для другого доданку застосовуємо правило диференціювання твору. До речі, у цьому сенсі нічого б не змінилося, якби натомість була дана функція – важливо, що тут добуток двох функцій, КОЖНА з яких залежить від «ікс», А тому потрібно використовувати правило диференціювання твору. Для третього доданку застосовуємо правило диференціювання складної функції.

(1) У першому доданку і в чисельнику і в знаменнику міститься «гравець», отже потрібно використовувати правило диференціювання приватного: . Другий доданок залежить ТІЛЬКИ від «ікс», значить, вважається константою і перетворюється на нуль. Для третього доданку використовуємо правило диференціювання складної функції.

Для тих читачів, які мужньо дісталися майже кінця уроку, розповім старий мехматовский анекдот для разрядки:

Одного разу в просторі функцій з'явилася зла похідна і як пішла всіх диференціювати. Усі функції розбігаються хто куди, нікому не хочеться перетворюватися! І лише одна функція нікуди не тікає. Підходить до неї похідна і запитує:

– А чому це ти від мене нікуди не тікаєш?

– Ха. А мені все одно, адже я «е в ступені ікс», і ти зі мною нічого не вдієш!

На що зла похідна з підступною посмішкою відповідає:

- Ось тут ти помиляєшся, я тебе продиференціюю по "ігрок", так що тобі бути нулем.

Хто зрозумів анекдот, той освоїв похідні щонайменше на «трійку»).

Приклад 8

Знайти приватні похідні першого порядку функції .

Це приклад самостійного рішення. Повне рішення та зразок оформлення завдання – наприкінці уроку.

Ну ось майже все. Насамкінець не можу не порадувати любителів математики ще одним прикладом. Справа навіть не в любителях, у всіх різний рівень математичної підготовки - зустрічаються люди (і не так вже й рідко), які люблять потягатися із завданнями складніше. Хоча, останній цьому уроці приклад не так складний, скільки громіздкий з погляду обчислень.