Чому дорівнює найменший спільний знаменник? Робота зі змішаними числами

Вміст:

Для складання або віднімання дробів з різними знаменниками (числа, що стоять під дробовою рисою) спочатку необхідно знайти їх найменший спільний знаменник (НОЗ). Таким числом буде найменше кратне, що зустрічається у списку кратних кожного знаменника, тобто число, що ділиться націло на кожен знаменник. Також ви можете обчислити найменше загальне кратне (НОК) двох або більше знаменників. У будь-якому випадку йдеться про цілі числа, методи знаходження яких дуже схожі. Визначивши НОЗ, ви зможете привести дроби до спільного знаменника, що у свою чергу дозволить вам складати та віднімати їх.

Кроки

1 Перерахування кратних

1. 1 Перерахуйте кратні кожного знаменника.Складіть список з кількох кратних кожного знаменника у рівнянні. Кожен список має складатися із твору знаменника на 1, 2, 3, 4 тощо.
   • Приклад: 1/2 + 1/3 + 1/5
   • Кратні 2: 2 * 1 = 2; 2 * 2 = 4; 2 * 3 = 6; 2 * 4 = 8; 2 * 5 = 10; 2 * 6 = 12; 2*7 = 14; і так далі.
   • Кратні 3: 3 * 1 = 3; 3 * 2 = 6; 3 * 3 = 9; 3*4 = 12; 3*5 = 15; 3*6 = 18; 3*7 = 21; і так далі.
   • Кратні 5: 5 * 1 = 5; 5*2 = 10; 5*3 = 15; 5*4 = 20; 5 * 5 = 25; 5 * 6 = 30; 5*7 = 35; і так далі.
2. 2 Визначте найменше загальне кратне.Перегляньте кожен список і позначте будь-які кратні числа, які є спільними для всіх знаменників. Після виявлення загальних кратних визначте найменший знаменник.
   • Зверніть увагу, що якщо спільний знаменник не знайдено, можливо, потрібно буде продовжити виписувати кратні, доки не з'явиться загальне кратне число.
   • Краще (і легше) користуватися цим методом у тому випадку, коли у знаменниках стоять невеликі числа.
   • У прикладі загальним кратним всіх знаменників є число 30: 2 * 15 = 30 ; 3 * 10 = 30 ; 5 * 6 = 30
   • НОЗ = 30
3. 3 Для того щоб привести дроби до спільного знаменника, при цьому не змінивши їх значення, помножте кожен чисельник (число, що стоїть над дробовою рисою) на число, що дорівнює частці від поділу НОЗ на відповідний знаменник.
   • Приклад: (15/15) * (1/2); (10/10) * (1/3); (6/6) * (1/5)
   • Нове рівняння: 15/30 + 10/30 + 6/30
4. 4 Розв'яжіть отримане рівняння.Після знаходження НОЗ та зміни відповідних дробів, просто розв'яжіть отримане рівняння. Не забудьте спростити отриману відповідь (якщо це можливо).
   • Приклад: 15/30 + 10/30 + 6/30 = 31/30 = 1 1/30

2 Використання найбільшого спільного дільника

1. 1 Перелічіть дільники кожного знаменника.Дільник - це ціле число, яке поділяє націло це число. Наприклад, дільниками числа 6 є числа 6, 3, 2, 1. Дільником будь-якого числа є 1, тому що будь-яке число поділяється на одиницю.
   • Приклад: 3/8 + 5/12
   • Дільники 8: 1, 2, 4 , 8
   • Дільники 12: 1, 2, 3, 4 , 6, 12
2. 2 Знайдіть найбільший спільний дільник обох знаменників.Перерахувавши дільники кожного знаменника, відзначте всі спільні дільники. Найбільший спільний дільник є найбільшим спільним дільником, який знадобиться для вирішення завдання.
   • У прикладі спільними дільниками для знаменників 8 і 12 є числа 1, 2, 4.
   • НОД = 4.
3. 3 Перемножте знаменники між собою.Якщо ви хочете використовувати НОД для вирішення завдання, спочатку перемножте знаменники між собою.
   • Приклад: 8*12 = 96
4. 4 Розділіть отримане значення на НОД.Отримавши результат перемноження знаменників, розділіть його на обчислений вами НОД. Отримане число буде найменшим загальним знаменником (НОЗ).
   • Приклад: 96/4 = 24
5. 5
   • Приклад: 24/8 = 3; 24/12 = 2
   • (3/3) * (3/8) = 9/24; (2/2) * (5/12) = 10/24
   • 9/24 + 10/24
6. 6 Розв'яжіть отримане рівняння.
   • Приклад: 9/24 + 10/24 = 19/24

3 Розкладання кожного знаменника на прості множники

1. 1 Розкладіть кожен знаменник на звичайні множники.Розкладіть кожен знаменник на прості множники, тобто прості числа, що при перемноженні дають вихідний знаменник. Нагадаємо, що прості множники - це числа, які діляться тільки на 1 або самих себе.
   • Приклад: 1/4 + 1/5 + 1/12
   • Прості множники 4: 2 * 2
   • Прості множники 5: 5
   • Прості множники 12: 2 * 2 * 3
2. 2 Підрахуйте число разів кожен простий множник у кожного знаменника.Тобто визначте скільки разів кожен простий множник з'являється в списку множників кожного знаменника.
   • Приклад: Є дві 2 для знаменника 4; нуль 2 для 5; дві 2 для 12
   • Є нуль 3 для 4 та 5; одна 3 для 12
   • Є нуль 5 для 4 та 12; одна 5 для 5
3. 3 Візьміть тільки найбільше разів для кожного простого множника.Визначте найбільшу кількість разів наявності кожного простого множника у будь-якому знаменнику.
   • Наприклад: найбільше разів для множника 2 - 2 рази; для 3 - 1 раз; для 5 - 1 раз.
4. 4 Запишіть по порядку знайдені на попередньому кроці прості множники.Не записуйте кількість разів наявності кожного простого множника у всіх вихідних знаменниках - робіть це з урахуванням найбільшого числа разів (як описано в попередньому кроці).
   • Приклад: 2, 2, 3, 5
5. 5 Помножте ці числа.Результат добутку цих чисел дорівнює НОЗ.
   • Приклад: 2*2*3*5 = 60
   • НОЗ = 60
6. 6 Розділіть НОЗ на вихідний знаменник.Для обчислення множника, який потрібний для приведення дробів до спільного знаменника, розділіть знайдений вами НОЗ на вихідний знаменник. Помножте чисельник та знаменник кожного дробу на цей множник. Ви отримаєте дроби із спільним знаменником.
   • Приклад: 60/4 = 15; 60/5 = 12; 60/12 = 5
   • 15 * (1/4) = 15/60; 12 * (1/5) = 12/60; 5 * (1/12) = 5/60
   • 15/60 + 12/60 + 5/60
7. 7 Розв'яжіть отримане рівняння.НОЗ знайдено; тепер ви можете скласти або відняти дроби. Не забудьте спростити отриману відповідь (якщо це можливо).
   • Приклад: 15/60 + 12/60 + 5/60 = 32/60 = 8/15

4 Робота зі змішаними числами

1. 1 Перетворіть кожне змішане число на неправильний дріб.Для цього помножте цілу частину змішаного числа на знаменник і складіть із чисельником – це буде чисельник неправильного дробу. Ціле число теж перетворите на дріб (просто поставте 1 у знаменнику).
   • Приклад: 8 + 2 1/4 + 2/3
   • 8 = 8/1
   • 2 1/4, 2 * 4 + 1 = 8 + 1 = 9; 9/4
   • Переписане рівняння: 8/1 + 9/4 + 2/3
2. 2 Знайти найменший спільний знаменник.Обчисліть НОЗ будь-яким способом, описаним у попередніх розділах. Для цього прикладу ми будемо використовувати метод "перерахування кратних", в якому виписуються кратні кожного знаменника та на їх основі обчислюється НОЗ.
   • Зверніть увагу, що вам не потрібно перераховувати кратні 1 , так як будь-яке число, помножене на 1 , Так само самому собі; іншими словами, кожне число є кратним 1 .
   • Приклад: 4*1=4; 4 * 2 = 8; 4 * 3 = 12 ; 4*4 = 16; і т.д.
   • 3 * 1 = 3; 3 * 2 = 6; 3 * 3 = 9; 3 * 4 = 12 ; і т.д.
   • НОЗ = 12
3. 3 Перепишіть вихідне рівняння.Чисельники та знаменники вихідних дробів помножте на число, що дорівнює частці від поділу НОЗ на відповідний знаменник.
   • Наприклад: (12/12) * (8/1) = 96/12; (3/3) * (9/4) = 27/12; (4/4) * (2/3) = 8/12
   • 96/12 + 27/12 + 8/12
4. 4 Розв'яжіть рівняння.НОЗ знайдено; тепер ви можете скласти або відняти дроби. Не забудьте спростити отриману відповідь (якщо це можливо).
   • Приклад: 96/12 + 27/12 + 8/12 = 131/12 = 10 11/12

Що вам знадобиться

• Олівець
• Папір
• Калькулятор (за бажанням)

Щоб привести дроби до найменшого спільного знаменника, треба: 1) знайти найменше загальне кратне знаменників цих дробів, воно і буде найменшим спільним знаменником. 2) знайти для кожної з дробів додатковий множник, навіщо ділити новий знаменник на знаменник кожної дроби. 3) помножити чисельник і знаменник кожного дробу на його додатковий множник.

приклади. Привести такі дроби до найменшого спільного знаменника.

Знаходимо найменше загальне кратне знаменників: НОК (5; 4) = 20, тому що 20 - найменше число, яке ділиться і на 5 і на 4. Знаходимо для 1-го дробу додатковий множник 4 (20 : 5 = 4). Для 2-го дробу додатковий множник дорівнює 5 (20 : 4 = 5). Помножуємо чисельник і знаменник 1-го дробу на 4, а чисельник і знаменник 2-го дробу на 5. Ми привели ці дроби до найменшого спільного знаменника ( 20 ).

Найменший загальний знаменник цих дробів — число 8, оскільки 8 ділиться на 4 і саме себе. Додаткового множника до 1-го дробу не буде (або можна сказати, що він дорівнює одиниці), до 2-го дробу додатковий множник дорівнює 2 (8 : 4 = 2). Помножуємо чисельник і знаменник 2-го дробу на 2. Ми привели ці дроби до найменшого спільного знаменника ( 8 ).

Дані дроби є нескоротними.

Скоротимо 1-й дріб на 4, а 2-й дріб скоротимо на 2. ( див. приклади скорочення звичайних дробів: Мапа сайту → 5.4.2. Приклади скорочення звичайних дробів). Знаходимо НОК(16) ; 20)=2 4 · 5=16· 5 = 80. Додатковий множник для 1-го дробу дорівнює 5 (80 : 16 = 5). Додатковий множник для 2-го дробу дорівнює 4 (80 : 20 = 4). Помножуємо чисельник і знаменник 1-го дробу на 5, а чисельник і знаменник 2-го дробу на 4. Ми привели ці дроби до найменшого спільного знаменника ( 80 ).

Знаходимо найменший спільний знаменник НОЗ(5 ; 6 і 15) = НОК (5 ; 6 та 15) = 30. Додатковий множник до 1-го дробу дорівнює 6 (30 : 5=6), додатковий множник до 2-го дробу дорівнює 5 (30 : 6=5), додатковий множник до 3-го дробу дорівнює 2 (30 : 15 = 2). Помножуємо чисельник і знаменник 1-го дробу на 6, чисельник і знаменник 2-го дробу на 5, чисельник і знаменник 3-го дробу на 2. Ми привели ці дроби до найменшого спільного знаменника ( 30 ).

Сторінка 1 з 1 1

Знаменником арифметичного дробу a/b називають число b, що показує розміри часток одиниці, з яких складено дріб. Знаменником алгебраїчного дробу A/B називають алгебраїчне вираз B. Для виконання арифметичних дій з дробами їх необхідно призвести до найменшого спільного знаменника.

Вам знадобиться

• Для роботи з дробами алгебри при знаходженні найменшого спільного знаменника необхідно знати методи розкладання многочленів на множники.

Інструкція

Розглянемо приведення до найменшого спільного знаменника двох арифметичних дробів n/m та s/t, де n, m, s, t – цілі числа. Зрозуміло, що ці два дроби можна привести до будь-якого знаменника, що поділяється на m і t. Але намагаються призвести до найменшого спільного знаменника. Він дорівнює найменшому загальному кратному знаменників m і t цих дробів. Найменше кратне (НОК) чисел - це найменше , Що ділиться одночасно на всі задані числа. Тобто. у разі необхідно знайти найменше загальне кратне чисел m і t. Позначається як НОК (m, t). Далі дроби множаться на відповідні: (n/m) * (НОК (m, t) / m), (s/t) * (НОК (m, t) / t).

Наведемо знаходження найменшого спільного знаменника трьох дробів: 4/5, 7/8, 11/14. Для початку розкладемо знаменники 5, 8, 14: 5 = 1 * 5, 8 = 2 * 2 * 2 = 2 ^ 3, 14 = 2 * 7. Далі обчислюємо НОК (5, 8, 14), перемножуючи всі числа, що входять хоч би в одне з розкладів. НОК (5, 8, 14) = 5 * 2^3 * 7 = 280. Зауважимо, що якщо множник зустрічається у розкладанні кількох чисел (множник 2 у розкладанні знаменників 8 і 14), то беремо множник більшою мірою (2^3 у нашому випадку).

Отже, загальний отримано. Він дорівнює 280 = 5 * 56 = 8 * 35 = 14 * 20. Тут ми отримуємо числа, на які треба помножити дроби з відповідними знаменниками, щоб привести їх до найменшого спільного знаменника. Отримуємо 4/5 = 56*(4/5)=224/280, 7/8=35*(7/8)=245/280, 11/14=20*(11/14)=220/280.

Приведення до найменшого спільного знаменника алгебраїчних дробів виконується за аналогією з арифметичними. Для наочності розглянемо завдання прикладі. Нехай дано два дроби (2 * x) / (9 * y ^ 2 + 6 * y + 1) і (x ^ 2 + 1) / (3 * y ^ 2 + 4 * y + 1). Розкладемо на множники обидва знаменники. Зауважимо, що знаменник першого дробу є повним квадратом: 9 * y^2 + 6 * y + 1 = (3 * y + 1)^2. Для

На цьому уроці ми розглянемо приведення дробів до спільного знаменника та розв'яжемо завдання з цієї теми. Дамо визначення поняття загального знаменника та додаткового множника, згадаємо про взаємно прості числа. Дамо визначення поняттю найменший загальний знаменник (НОЗ) і вирішимо низку завдань з його перебування.

Тема: Складання та віднімання дробів з різними знаменниками

Урок: Приведення дробів до спільного знаменника

Повторення. Основна властивість дробу.

Якщо чисельник і знаменник дробу помножити або розділити на те саме натуральне число, то вийде рівний їй дріб.

Наприклад, чисельник і знаменник дробу можна поділити на 2. Отримаємо дріб . Цю операцію називають скороченням дробу. Можна виконати і зворотне перетворення, помноживши чисельник і знаменник дробу на 2. І тут кажуть, що ми привели дріб до нового знаменника. Число 2 називають додатковим множником.

Висновок.Дроб можна привести до будь-якого знаменника кратного знаменника даного дробу. Для того щоб привести дріб до нового знаменника, його чисельник та знаменник множать на додатковий множник.

1. Наведіть дріб до знаменника 35.

Число 35 кратно 7, тобто 35 ділиться на 7 без залишку. Отже, це перетворення можливо. Знайдемо додатковий множник. Для цього розділимо 35 на 7. Отримаємо 5. Помножимо на 5 чисельник та знаменник вихідного дробу.

2. Наведіть дріб до знаменника 18.

Знайдемо додатковий множник. І тому розділимо новий знаменник на вихідний. Отримаємо 3. Помножимо на 3 чисельник та знаменник даного дробу.

3. Наведіть дріб до знаменника 60.

Розділивши 60 на 15, отримаємо додатковий множник. Він дорівнює 4. Помножимо чисельник і знаменник на 4.

4. Наведіть дріб до знаменника 24

У нескладних випадках приведення до нового знаменника виконують у думці. Прийнято тільки вказувати додатковий множник за дужкою трохи правіше і вище від вихідного дробу.

Дроб можна привести до знаменника 15 і дріб можна привести до знаменника 15. У дробів і загальний знаменник 15.

Спільним знаменником дробів може бути будь-яке спільне кратне їх знаменників. Для простоти дробу призводять до найменшого спільного знаменника. Він дорівнює найменшому загальному кратному знаменників цих дробів.

приклад. Привести до найменшого спільного знаменника дробу та .

Спочатку знайдемо найменше загальне кратне знаменників цих дробів. Це число 12. Знайдемо додатковий множник для першого і другого дробу. Для цього 12 розділимо на 4 і на 6. Три – це додатковий множник для першого дробу, а два – для другого. Наведемо дроби до знаменника 12.

Ми привели дроби і до спільного знаменника, тобто ми знайшли рівні їм дроби, у яких один і той самий знаменник.

Правило.Щоб привести дроби до найменшого спільного знаменника, треба

По-перше, знайти найменше загальне кратне знаменників цих дробів, воно і буде їх найменшим спільним знаменником;

По-друге, розділити найменший спільний знаменник на знаменники цих дробів, тобто знайти для кожного дробу додатковий множник.

По-третє, помножити чисельник і знаменник кожного дробу на його додатковий множник.

а) Привести до спільного знаменника дробу та .

Найменший загальний знаменник дорівнює 12. Додатковий множник для першого дробу – 4, для другого – 3. Наводимо дроби до знаменника 24.

б) Привести до спільного знаменника дробу та .

Найменший загальний знаменник дорівнює 45. Розділивши 45 на 9 на 15 отримаємо, відповідно, 5 і 3. Наводимо дроби до знаменника 45.

в) Привести до спільного знаменника дробу та .

Загальний знаменник – 24. Додаткові множники, відповідно, – 2 та 3.

Іноді буває важко підібрати усно найменше загальне кратне знаменників цих дробів. Тоді загальний знаменник та додаткові множники знаходять за допомогою розкладання на прості множники.

Привести до спільного знаменника дробу та .

Розкладемо числа 60 та 168 на прості множники. Випишемо розкладання числа 60 і додамо множники 2 і 7 з другого розкладання. Помножимо 60 на 14 і отримаємо загальний знаменник 840. Додатковий множник для першого дробу – це 14. Додатковий множник для другого дробу – 5. Приведемо дроби до спільного знаменника 840.

Список літератури

1. Віленкін Н.Я., Жохов В.І., Чесноков А.С. та ін Математика 6. – К.: Мнемозіна, 2012.

2. Мерзляк А.Г., Полонський В.В., Якір М.С. Математика 6 клас. – Гімназія, 2006.

3. Депман І.Я., Віленкін Н.Я. За сторінками підручника з математики. – Просвітництво, 1989.

4. Рурукін О.М., Чайковський І.В. Завдання з курсу математики 5-6 клас. – ЗШ МІФІ, 2011.

5. Рурукін А.М., Сочілов С.В., Чайковський К.Г. Математика 5-6. Посібник для учнів 6-х класів заочної школи МІФІ. – ЗШ МІФІ, 2011.

6. Шеврін Л.М., Гейн А.Г., Коряков І.О. та ін Математика: Підручник-співрозмовник для 5-6 класів середньої школи. Бібліотека вчителя математики. – Просвітництво, 1989.

Можна завантажити книги, зазначені у п.1.2. цього уроку.

Домашнє завдання

Віленкін Н.Я., Жохов В.І., Чесноков А.С. та ін Математика 6. - М.: Мнемозіна, 2012. (Посилання див. 1.2)

Домашнє завдання: №297, №298, №300.

Інші завдання: №270, №290

Більшість дій з дробами алгебри, такі, наприклад, як додавання і віднімання, вимагають попереднього приведення цих дробів до однакових знаменників. Такі знаменники також часто позначаються словосполученням "загальний знаменник". У цій темі ми розглянемо визначення понять «загальний знаменник дробів алгебри» і «найменший загальний знаменник дробів алгебри (НОЗ)», розглянемо за пунктами алгоритм знаходження спільного знаменника і вирішимо кілька завдань по темі.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Загальний знаменник алгебраїчних дробів

Якщо говорити про прості дроби, то загальним знаменником є ​​таке число, яке ділиться на будь-який із знаменників вихідних дробів. Для звичайних дробів 1 2 і 5 9 число 36 може бути загальним знаменником, так як без залишку ділиться на 2 та на 9 .

Загальний знаменник алгебраїчних дробів визначається схожим чином, тільки замість чисел використовуються багаточлени, оскільки саме вони стоять у чисельниках та знаменниках алгебраїчного дробу.

Визначення 1

Загальний знаменник алгебраїчного дробу– це багаточлен, який ділиться на знаменник будь-якого дробу.

У зв'язку з особливостями алгебраїчних дробів, про які піде нижче, ми частіше матимемо справу із загальними знаменниками, представленими як твори, а чи не як стандартного многочлена.

Приклад 1

Багаточлену, записаному у вигляді твору 3 · x 2 · (x + 1)відповідає багаточлен стандартного вигляду 3 · x 3 + 3 · x 2. Цей многочлен може бути загальним знаменником алгебраїчних дробів 2 x , - 3 · x · y x 2 і y + 3 x + 1 у зв'язку з тим, що він ділиться на x, на x 2і на x + 1. Інформація про розподіл багаточленів є у відповідній темі нашого ресурсу.

Найменший загальний знаменник (НОЗ)

Для заданих алгебраїчних дробів кількість спільних знаменників може бути безліч.

Приклад 2

Візьмемо для прикладу дробу 1 2 · x та x + 1 x 2 + 3 . Їх спільним знаменником є 2 · x · (x 2 + 3), як і − 2 · x · (x 2 + 3), як і x · (x 2 + 3), як і 6 , 4 · x · (x 2 + 3) · (y + y 4), як і − 31 · x 5 · (x 2 + 3) 3, і т.п.

При вирішенні завдань можна полегшити собі роботу, використовуючи загальний знаменник, який серед безлічі знаменників має найпростіший вид. Такий знаменник найчастіше позначається як найменший загальний знаменник.

Визначення 2

Найменший загальний знаменник алгебраїчних дробів- це загальний знаменник алгебраїчних дробів, який має найпростіший вигляд.

До слова, термін «найменший спільний знаменник» перестав бути загальновизнаним, тому краще обмежуватися терміном «загальний знаменник». І ось чому.

Раніше ми сфокусували вашу увагу на фразі «знаменник найпростішого вигляду». Основний зміст цієї фрази наступний: на знаменник найпростішого виду має без залишку ділитися будь-який інший загальний знаменник даних за умови завдання алгебраїчних дробів. При цьому у творі, який є спільним знаменником дробів, можна використовувати різні числові коефіцієнти.

Приклад 3

Візьмемо дроби 1 2 · x та x + 1 x 2 + 3 . Ми вже з'ясували, що найпростіше працювати нам буде із спільним знаменником виду 2 · x · (x 2 + 3). Також спільним знаменником для цих двох дробів може бути x · (x 2 + 3), Що не містить числового коефіцієнта. Питання, який із цих двох спільних знаменників вважати найменшим загальним знаменником дробів. Однозначної відповіді немає, тому правильніше говорити просто про спільний знаменник, а в роботу брати той варіант, з яким працювати буде найзручніше. Так ми можемо використовувати і такі спільні знаменники як x 2 · (x 2 + 3) · (y + y 4)або − 15 · x 5 · (x 2 + 3) 3, які мають складніший вигляд, але проводити з ними дії може бути складніше.

Знаходження спільного знаменника алгебраїчних дробів: алгоритм дій

Припустимо, що ми маємо кілька алгебраїчних дробів, котрим нам потрібно знайти спільний знаменник. Для вирішення цього завдання ми можемо використати наступний алгоритм дій. Спочатку нам необхідно розкласти на множники знаменники вихідних дробів. Потім ми складаємо твір, до якого послідовно вмикаємо:

• всі множники із знаменника першого дробу разом із ступенями;
• всі множники, присутні у знаменнику другого дробу, але яких немає у записаному творі або їх ступінь недостатньо;
• всі множники, що бракують, із знаменника третього дробу, і так далі.

Отриманий твір буде спільним знаменником алгебраїчних дробів.

Як множники твору ми можемо взяти всі знаменники дробів, даних за умови завдання. Однак множник, який ми отримаємо в результаті, буде далекий від НОЗ і використання його буде ірраціональним.

Приклад 4

Визначте загальний знаменник дробів 1 x 2 · y, 5 x + 1 та y - 3 x 5 · y.

Рішення

В даному випадку ми не маємо необхідності розкладати знаменники вихідних дробів на множники. Тому почнемо застосовувати алгоритм зі складання твору.

Зі знаменника першого дробу візьмемо множник x 2 · y, із знаменника другого дробу множник x + 1. Отримуємо твір x 2 · y · (x + 1).

Знаменник третього дробу може дати нам множник x 5 · y, однак у складеному нами раніше творі вже є множники x 2і y. Отже, додаємо ще x 5 − 2 = x 3. Отримуємо твір x 2 · y · (x + 1) · x 3, яке можна привести до вигляду x 5 · y · (x + 1). Це і буде наш НОЗ алгебраїчних дробів.

Відповідь: x 5 · y · (x + 1) .

Тепер розглянемо приклади завдань, як у знаменниках алгебраїчних дробів є цілі числові множники. У таких випадках ми також діємо за алгоритмом, попередньо розклавши цілі числові множники на прості множники.

Приклад 5

Знайдіть спільний знаменник дробів 1 12 · x та 1 90 · x 2 .

Рішення

Розклавши числа у знаменниках дробів на прості множники, отримуємо 1 2 2 · 3 · x та 1 2 · 3 2 · 5 · x 2 . Тепер ми можемо перейти до упорядкування спільного знаменника. Для цього зі знаменника першого дробу візьмемо твір 2 2 · 3 · xі додамо до нього множники 3 , 5 і xіз знаменника другого дробу. Отримуємо 2 2 · 3 · x · 3 · 5 · x = 180 · x 2. Це і є наш спільний знаменник.

Відповідь: 180 · x 2.

Якщо уважно подивитися на результати двох розібраних прикладів, можна помітити, що загальні знаменники дробів містять усі множники, присутні у розкладаннях знаменників, причому якщо деякий множник є у кількох знаменниках, він береться з найбільшим з наявних показників ступеня. Якщо ж у знаменниках є цілі коефіцієнти, то загальному знаменнику присутній числовий множник, рівний найменшому загальному кратному цих числових коефіцієнтів.

Приклад 6

У знаменниках обох дробів алгебри 1 12 · x і 1 90 · x 2 є множник x. У другому випадку множник x зведений квадрат. Для складання спільного знаменника це множник необхідно взяти найбільшою мірою, тобто. x 2. Інших множників із змінними немає. Цілі числові коефіцієнти вихідних дробів 12 і 90 , А їх найменше загальне кратне дорівнює 180 . Виходить, що спільний знаменник має вигляд 180 · x 2.

Тепер ми можемо записати ще один алгоритм знаходження загального множника дробів алгебри. Для цього ми:

• розкладаємо знаменники всіх дробів на множники;
• складаємо добуток всіх літерних множників (за наявності множника в декількох розкладах, беремо варіант з найбільшим показником ступеня);
• додаємо НОК числових коефіцієнтів розкладів до отриманого твору.

Наведені алгоритми рівноцінні, так що використовувати у розв'язанні задач можна будь-який із них. Важливо приділяти увагу деталям.

Трапляються випадки, коли загальні множники у знаменниках дробів можуть бути непомітні за числовими коефіцієнтами. Тут доцільно спочатку винести числові коефіцієнти при старших ступенях змінних за дужки у кожному з множників, що є у знаменнику.

Приклад 7

Який загальний знаменник мають дроби 3 5 - x та 5 - x · y 2 2 · x - 10 .

Рішення

У першому випадку за дужки потрібно винести мінус одиницю. Отримуємо 3-х-5. Помножуємо чисельник і знаменник на - 1 у тому, щоб позбутися мінуса в знаменнику: - 3 x - 5 .

У другому випадку за дужку виносимо двійку. Це дозволяє нам отримати дріб 5 - x · y 2 2 · x - 5 .

Очевидно, що загальний знаменник даних дробів алгебри - 3 x - 5 і 5 - x · y 2 2 · x - 5 це 2 · (x − 5).

Відповідь:2 · (x − 5).

Дані за умови завдання дробу можуть мати дробові коефіцієнти. У цих випадках необхідно спочатку позбавитися дробових коефіцієнтів шляхом множення чисельника і знаменника на деяке число.

Приклад 8

Спростіть дроби алгебри 1 2 · x + 1 1 14 · x 2 + 1 7 і - 2 2 3 · x 2 + 1 1 3 , після чого визначте їх спільний знаменник.

Рішення

Позбавимося дробових коефіцієнтів, помноживши чисельник і знаменник у першому випадку на 14 , у другому випадку на 3 . Отримуємо:

1 2 · x + 1 1 14 · x 2 + 1 7 = 14 · 1 2 · x + 1 14 · 1 14 · x 2 + 1 7 = 7 · x + 1 x 2 + 2 і - 2 2 3 · x 2 + 1 1 3 = 3 · - 2 3 · 2 3 · x 2 + 4 3 = - 6 2 · x 2 + 4 = - 6 2 · x 2 + 2 .

Після проведених змін стає зрозуміло, що спільний знаменник – це 2 · (x 2 + 2).

Відповідь: 2 · (x 2 + 2).

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter