Чому дорівнює обсяг кулі радіусу r. Куля та сфера, обсяг кулі, площа сфери, формули

Радіус кулі (позначається як r або R) – це відрізок, який з'єднує центр кулі з будь-якою точкою на поверхні. Як і у випадку кола, радіус кулі є важливою величиною, яка необхідна для знаходження діаметра кулі, довжини кола, площі поверхні та/або об'єму. Але радіус кулі можна знайти і за цим значенням діаметра, довжини кола та іншої величини. Використовуйте формулу, на яку можна підставити дані значення.

Кроки

Формули для обчислення радіусу

Обчисліть радіус діаметром.Радіус дорівнює половині діаметра, тому використовуйте формулу г = D/2. Ця така сама формула, яка використовується при обчисленні радіусу та діаметра кола.

• Наприклад, дано кулю з діаметром 16 см. Радіус цієї кулі: r = 16/2 = 8 см. Якщо діаметр дорівнює 42 см, то радіус дорівнює 21 см (42/2=21).

1. Обчисліть радіус за довжиною кола.Використовуйте формулу: r = C/2π. Оскільки довжина кола C = πD = 2πr, то розділіть формулу для обчислення довжини кола на 2π і отримайте формулу для знаходження радіусу.

   • Наприклад, дано кулю з довжиною кола 20 см. Радіус цієї кулі: r = 20/2π = 3,183 см.
   • Така сама формула використовується при обчисленні радіусу та довжини кола кола.

2. Обчисліть радіус за обсягом кулі.Використовуйте формулу: r = ((V/π)(3/4)) 1/3. Об'єм кулі обчислюється за формулою V = (4/3)πr 3 . Відокремивши r на одній стороні рівняння, ви отримаєте формулу ((V/π)(3/4)) 3 = г, тобто для обчислення радіусу об'єм кулі ділимо на π, результат множимо на 3/4, а отриманий результат зводимо в ступінь 1/3 (або витягаємо кубічний корінь).

   • Наприклад, дана куля з об'ємом 100 см 3 . Радіус цієї кулі обчислюється так:
     • ((V/π)(3/4)) 1/3 = r
     • ((100/π)(3/4)) 1/3 = r
     • ((31,83)(3/4)) 1/3 = r
     • (23,87) 1/3 = r
     • 2,88 см= r

3. Обчисліть радіус площею поверхні.Використовуйте формулу: г = √(A/(4 π)). Площа поверхні кулі обчислюється за формулою А = 4πr 2 . Відокремивши r на одній стороні рівняння, ви отримаєте формулу √(A/(4π)) = r, тобто щоб обчислити радіус, потрібно витягти квадратний корінь із площі поверхні, поділеної на 4π. Замість того, щоб видобувати корінь, вираз (A/(4π)) можна звести до ступеня 1/2.

   • Наприклад, дана куля з площею поверхні 1200 см 3 . Радіус цієї кулі обчислюється так:
     • √(A/(4π)) = r
     • √(1200/(4π)) = r
     • √(300/(π)) = r
     • √(95,49) = r
     • 9,77 см= r

   Визначення основних величин

   1. Запам'ятайте основні величини, які стосуються обчислення радіусу кулі.Радіус кулі – це відрізок, який з'єднує центр кулі з будь-якою точкою на поверхні. Радіус кулі можна обчислити за даними значення діаметра, довжини кола, об'єму або площі поверхні.

      Скористайтеся значеннями даних величин, щоб знайти радіус.Радіус можна обчислити за даними значенням діаметра, довжини кола, обсягу та площі поверхні. Більше того, зазначені величини можна знайти за цим значенням радіусу. Щоб обчислити радіус, просто перетворіть формули знаходження зазначених величин. Нижче наведені формули (в яких присутній радіус) для обчислення діаметра, довжини кола, об'єму та площі поверхні.

   Знаходження радіусу на відстані між двома точками

   1. Знайдіть координати (х, у, z) центру кулі.Радіус кулі дорівнює відстані між його центром та будь-якою точкою, що лежить на поверхні кулі. Якщо відомі координати центру кулі та будь-якої точки, що лежить на його поверхні, можна знайти радіус кулі за спеціальною формулою, обчисливши відстань між двома точками. Спочатку знайдіть координати центру кулі. Майте на увазі, що так як куля є тривимірною фігурою, то точка матиме три координати (х, у, z), а не дві (х, у).

      • Розглянемо приклад. Дана куля з центром з координатами (4,-1,12) . Скористайтеся цими координатами, щоб знайти радіус кулі.

   2. Знайдіть координати точки, що лежить на поверхні кулі.Тепер потрібно знайти координати (х, у, z) будь-якийкрапки, що лежить на поверхні кулі. Оскільки всі точки, що лежать на поверхні кулі, розташовані на однаковій відстані від центру кулі, для обчислення радіусу кулі можна вибрати будь-яку точку.

      • У нашому прикладі припустимо, що деяка точка, що лежить на поверхні кулі, має координати (3,3,0) . Обчисливши відстань між цією точкою та центром кулі, ви знайдете радіус.

   3. Обчисліть радіус за формулою d = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2).Дізнавшись координати центру кулі та точки, що лежить на його поверхні, ви можете знайти відстань між ними, яка дорівнює радіусу кулі. Відстань між двома точками обчислюється за формулою d = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2), де d – відстань між точками, (x 1 , y 1 ,z 1) - координати центру кулі, (x 2, y 2, z 2) - координати точки, що лежить на поверхні кулі.

      • У прикладі замість (x 1 ,y 1 ,z 1) підставте (4,-1,12), а замість (x 2 ,y 2 ,z 2) підставте (3,3,0):
        • d = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2)
        • d = √((3 - 4) 2 + (3 - -1) 2 + (0 - 12) 2)
        • d = √((-1) 2 + (4) 2 + (-12) 2)
        • d = √(1 + 16 + 144)
        • d = √(161)
        • d = 12,69. Це шуканий радіус кулі.

   4. Майте на увазі, що у загальних випадках r = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2).Усі точки, що лежать на поверхні кулі, розташовані на однаковій відстані від центру кулі. Якщо у формулі для знаходження відстані між двома точками "d" замінити на "r", вийде формула для обчислення радіусу кулі за відомими координатами (x 1 ,y 1 ,z 1) центру кулі та координатами (x 2 ,y 2 ,z 2 ) будь-якої точки, що лежить на поверхні кулі.

      • Зведіть обидві сторони цього рівняння в квадрат і отримайте r 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2 . Зауважте, що це рівняння відповідає рівнянню сфери r 2 = x 2 + y 2 + z 2 із центром з координатами (0,0,0).
   • Не забувайте про порядок виконання математичних операцій. Якщо ви не пам'ятаєте цей порядок, а ваш калькулятор може працювати з круглими дужками, користуйтеся ними.
   • У цій статті розповідається про обчислення радіусу кулі. Але якщо ви відчуваєте труднощі з вивченням геометрії, краще почати з обчислення величин, пов'язаних із кулею, через відоме значення радіусу.
   • π (Пі) – це літера грецького алфавіту, що означає постійну, рівну відношенню діаметра кола до довжини його кола. Число Пі є ірраціональним числом, яке записується як ставлення дійсних чисел. Існує безліч наближень, наприклад, відношення 333/106 дозволить знайти число Пі з точністю до чотирьох цифр після десяткової коми. Як правило, користуються приблизним значенням числа Пі, що дорівнює 3,14.

Куляце геометричне тіло, утворене внаслідок обертання півкола на осі свого діаметра.

Обчислити об'єм кулі

Об'єм куліможна обчислити за такою формулою:

R – радіус кулі

V – об'єм кулі

Знайти об'єм кулі радіусом сантиметрів.

Для того, щоб обчислити об'єм кулі формула використовується така:

де - Об'єм кулі, що шукається, - , - Радіус.

Таким чином, при радіусі сантиметрів об'єм кулі дорівнює:

У геометрії кулявизначається як якесь тіло, що являє собою сукупність всіх точок простору, які розташовуються від центру на відстані, не більше заданої, званої радіусом кулі.

Поверхня кулі називається сферою, а сама вона утворюється шляхом обертання півкола біля його діаметра, що залишається нерухомим.

З цим геометричним тілом дуже часто стикаються інженери-конструктори та архітектори, яким часто доводиться обчислювати обсяг кулі. Скажімо, у конструкції передньої підвіски переважної більшості сучасних автомобілів використовуються так звані кульові опори, в яких, як неважко здогадатися із самої назви, одними з основних елементів є саме кулі.

З їх допомогою відбувається з'єднання маточок керованих коліс та важелів. Від того, наскільки правильно буде обчисленийїх обсяг, багато в чому залежить як довговічність цих вузлів і правильність їхньої роботи, а й безпеку руху.

У техніці поширення отримали такі деталі, як кулькові підшипники, з допомогою яких відбувається кріплення осей в нерухомих частинах різних вузлів і агрегатів і забезпечується їх обертання.

Слід зазначити, що з розрахунку конструкторам потрібно знайти обсяг кулі (а точніше – куль, помещаемых в обойму) з високим рівнем точності. Що стосується виготовлення металевих кульок для підшипників, то вони виготовляються з металевого дроту за допомогою складного технологічного процесу, що включає в себе стадії формування, загартування, грубого шліфування, чистового притирання та очищення.

До речі кажучи, ті кульки, які входять в конструкцію всіх кулькових ручок, виготовляються за такою ж технологією.

Досить часто кулі використовуються і в архітектурі, причому там вони найчастіше є декоративними елементами будівель та інших споруд.

У більшості випадків вони виготовляються з граніту, що часто потребує великих витрат ручної праці. Звичайно, дотримуватися такої високої точності виготовлення цих куль, як тих, які застосовуються в різних агрегатах і механізмах, не потрібно.

Без куль немислима така цікава та популярна гра, як більярд. Для їх виробництва використовуються різні матеріали (кістка, камінь, метал, пластмаси) та використовуються різні технологічні процеси.

Однією з основних вимог, що висуваються до більярдних куль, є їхня висока міцність і здатність витримувати високі механічні навантаження (передусім ударні). Крім того, їх поверхня повинна бути точною сферою для того, щоб забезпечувалося плавне і рівне кочення по поверхні більярдних столів.

Зрештою, без таких геометричних тіл, як кулі, не обходиться жодна новорічна або ялинка. Виготовляються ці прикраси здебільшого зі скла методом видування, і при їх виробництві найбільша увага приділяється не точності розмірів, а естетичності виробів.

Технологічний процес при цьому практично повністю автоматизований і вручну ялинкові кулі лише пакуються.

Сфера - одне з найпростіших геометричних тіл, в якому всі точки її поверхні знаходяться на тій самій відстані від центру зображення. Відстань від центру сфери до будь-якої точки на її поверхні називається радіусом.

Об'єм м'яча

Діаметр кулі називається подвоєним радіусом.

Як знайти об'єм кулі навколо його радіусу

Якщо знаємо радіус сфери, ми можемо легко обчислити її величину. Для цього помножте куб на радіус і чотири Pi, після чого результат буде розділений на три. Формула для визначення об'єму кулі за її радіусом виглядає наступним чином: .
Для тих, хто забув ми пам'ятаємо, що число Pi є фіксованим значенням і дорівнює 3.14.

Як знайти обсяг сфери на діаметр

Якщо діаметр сфери відомий з умов задачі, її обсяг обчислюється за такою формулою: , тобто.

число Pi слід помножити діаметр діаметра, то отриманий результат ділиться на 6.

Як визначити масу кулі

Маса тіла - це фізична величина, що вказує на ступінь її інертності. Маса фізичного тіла залежить від обсягу займаного простору та щільності матеріалу, з якого він збирається. Об'єм тіла правильної форми (скажімо, бити) неважко розрахувати, і якщо матеріал, з якого він виготовлений, також відомий, наваломце можна бути дуже примітивним.

інструкції

першийВкажіть суму бити .

Як розрахувати обсяг кулі

Для цього достатньо знати один з ваших параметрів - радіус, діаметр, поверхня і т. д. Скажіть, чи знаєте ви діаметр бити(d), його обсяг (V) дозволяється визначати, як одна шоста частина продукту з діаметром піднімається в кубі з числом Pi: V = π * d? / 6. Через радіус бити(r) обсяг виражається як одна третина добутку числа Pi, який у чотири рази збільшується з радіусом, поміщеним у куб: V = 4 * π * r? /3.

другийпідраховувати наваломбити(m), помножте його об'єм із чудовою щільністю речовини (p): m = p * V.

Якщо це матеріал битине однорідний, ми повинні взяти середню щільність. У цій формулі ми замінюємо обсяг битичерез його відомі параметри, допускається приймати за відомим діаметром битиформула m = p * π * d? / 6 і для головного радіусу m = p * 4 * π * r? /3.

третійВикористовуйте для розрахунків, наприклад типовий калькулятор програмного забезпечення, який входить до базової операційної системи Windows, будь-яку сильну версію, яка використовується сьогодні.

Найпростіший спосіб розпочати – натисканням win + r, щоб відкрити типовий діалог для запуску програми, потім введіть команду calc та натисніть кнопку OK.

У меню «Калькулятор» розгорніть розділ «Вигляд» і виберіть рядок «Інженер» або «Вчений» (залежно від версії ОС) — інтерфейс цього режиму має кнопку для введення номера номера Pi одним клацанням миші. Операції розмноження і поділу у цьому калькуляторі нічого не винні порушувати питання, але визначати під час розрахунку маси битибуде кілька кнопок із символами x^2 та x^3.

ПРОЕКТУВАННЯ ВОДИ І САНІТАЦІЇ

E-mail: [email protected]

Час роботи: Пн-Пт з 9-00 до 18-00 (без обіду)

Обчислення обсягу сфери через радіус чи діаметр

Сфера - це геометричне тіло, що є сукупністю всіх точок простору, розташованих від центру на певній відстані.

Як розрахувати обсяг кулі

Основною математичною характеристикою кулі є її радіус.

Кількість кулі – це кількісна характеристика цього числа у Всесвіті.

Формула розрахунку обсягу кулі:

V = 4/3 * π * r 3

V = 1/6 * π * d 3

r - радіус сфери;
d - Діаметр сфери.

Див. також статтю про всі геометричні фігури (лінійний 1D, плоский 2D і 3D 3D).

Ця сторінка є найпростішим веб-калькулятором для розрахунку об'єму кулі за радіусом або діаметром.

Інструкція

Зверніть увагу

^ - Знак, що позначає зведення в ступінь;
^1/2 - насправді вилучення квадратного кореня;
^1/3 - вилучення кубічного кореня.

Джерела:

• діаметр це

Колом називається геометрична фігура на площині, яка складається з усіх точок цієї площини, що знаходяться на однаковій відстані від заданої точки. Задана точка при цьому називається центром кола, а відстань, на якій точки колазнаходяться від її центру – радіусом кола. Область площини обмежена колом називається кругом. Існує кілька методів розрахунку діаметра кола, вибір конкретного залежить від наявних початкових даних.

Інструкція

Відео на тему

При проведенні побудов різних геометричних фігур іноді потрібно визначити їх характеристики: довжину, ширину, висоту тощо. Якщо йдеться про коло або коло, то часто доводиться визначати їхній діаметр. Діаметр є відрізок прямий, який з'єднує дві найбільш віддалені один від одного точки, розташовані на колі.

Вам знадобиться

• - вимірювальна лінійка;
• - циркуль;
• - Калькулятор.

Інструкція

У найпростішому випадку визначте діаметр за формулою D = 2R, де R – радіус кола з центром у точці О. Така зручна, якщо ви викреслюєте коло із заздалегідь обумовленим . Наприклад, якщо при побудові фігури ви встановите розчин ніжок циркуля рівним 50 мм, то діаметр кола, отриманого в результаті, дорівнюватиме подвоєному радіусу, тобто 100 мм.

Якщо вам відома довжина кола, що становить зовнішню межу кола, використовуйте для визначення діаметра формулу:

D = L/p, де
L - Довжина кола;
p – число «пі», що дорівнює приблизно 3,14.

Наприклад, якщо довжина 180 мм, то діаметр дорівнюватиме приблизно: D = 180 / 3,14 = 57,3 мм.

Якщо ви маєте заздалегідь викреслене коло з радіусом, діаметром та довжиною кола, то для приблизного діаметра використовуйте і вимірювальну лінійку . Складність полягає в тому, щоб знайти на

Куля і сфера – це насамперед геометричні фігури, і якщо куля – це геометричне тіло, то сфера – це поверхня кулі. Цими фігурами цікавилися ще багато тисяч років тому е.

Згодом, коли було відкрито, що Земля — це куля, а небо — небесна сфера, набув розвитку новий захоплюючий напрямок у геометрії — геометрія на сфері чи сферична геометрія. Для того, щоб розмірковувати про розмір та об'єм кулі, потрібно спочатку дати йому визначення.

Куля

Кулькою радіусу R з центром у точці Про в геометрії називають тіло, яке створене всіма точками простір, що мають загальну властивість. Ці точки знаходяться на відстані, що не перевищує радіуса кулі, тобто заповнюють весь простір менше радіусу кулі на всі боки від його центру. Якщо ми розглянемо лише ті точки, які рівновіддалені від центру кулі — ми розглядатимемо її поверхню чи оболонку кулі.

Як можна отримати кулю? Ми можемо вирізати з паперу коло і почати його обертати навколо його діаметра. Тобто діаметр кола буде віссю обертання. Освічена фігура – ​​буде куля. Тому кулю називають також тілом обертання. Тому що вона може бути утворена шляхом обертання плоскої фігури — кола.

Візьмемо якусь площину і розріжемо нею нашу кулю. Подібно до того, як ми ріжемо ножем апельсин. Шматок, який ми відтятимемо від кулі, називається кульовим сегментом.

У Стародавній Греції вміли не тільки працювати з кулею та сферою, як із геометричними фігурами, наприклад, використовувати їх при будівництві, а також вміли розраховувати площу поверхні кулі та об'єм кулі.

Сферою інакше називається поверхня кулі. Сфера – це не тіло – це поверхня тіла обертання. Однак так як і Земля і багато тіла мають сферичну форму, наприклад крапля води, вивчення геометричних співвідношень всередині сфери набуло великого поширення.

Наприклад, якщо ми з'єднаємо дві точки сфери між собою прямою лінією, то ця пряма лінія назветься хордою, а якщо ця хорда пройде через центр сфери, що збігається з центром кулі, то хорда назветься діаметром сфери.

Якщо ми проведемо пряму лінію, яка торкнеться сфери лише в одній точці, то ця лінія називатиметься дотичною. Крім того, ця дотична до сфери у цій точці буде перпендикулярна до радіусу сфери, проведеного в точку торкання.

Якщо ми продовжимо хорду до прямої в один і інший бік від сфери, то ця хорда називатиметься січною. Або можна сказати інакше — січка до сфери містить у собі її хорду.

Об'єм кулі

Формула для обчислення об'єму кулі має вигляд:

де R - радіус кулі.

Якщо потрібно знайти обсяг кульового сегмента, скористайтеся формулою:

V сег =πh 2 (R-h/3), h - Висота кульового сегмента.

Площа поверхні кулі чи сфери

Щоб обчислити площу сфери або площу поверхні кулі (це те саме):

де R - радіус сфери.

Архімед дуже любив кулю та сферу, він навіть попросив залишити на його гробницю малюнок, на якому в циліндр вписано кулю. Архімед вважав, що об'єм кулі та її поверхню дорівнюють двом третім від об'єму та поверхні циліндра, в який вписана куля»

Багато тіл, які ми зустрічаємо в житті або про які чули, мають кулясту форму, наприклад футбольний м'яч, крапля води, що падає, під час дощу або наша планета. У зв'язку з цим актуальним є розгляд питання, як знаходити обсяг кулі.

Фігура куля в геометрії

Перед тим як відповісти на питання, кулі, розглянемо докладніше це тіло. Деякі люди плутають його із сферою. Зовні вони справді схожі, проте куля - це заповнений всередині об'єкт, сфера ж є лише зовнішню оболонку кулі нескінченно малої товщини.

З точки зору геометрії кулю можна уявити сукупністю точок, причому ті з них, які лежать на його поверхні (вони утворюють сферу), знаходяться на однаковій відстані від центру фігури. Цю відстань називають радіусом. По суті, радіус - це єдиний параметр, за допомогою якого можна описати будь-які властивості кулі, такі як площа поверхні або об'єм.

На малюнку нижче наведено приклад кулі.

Якщо уважно подивитися на цей ідеальний круглий об'єкт, можна здогадатися, як його отримати зі звичайного кола. Для цього достатньо обертати цю плоску фігуру навколо осі, що збігається з діаметром.

Однією з відомих древніх літературних джерел, у якому досить докладно розглядаються властивості цієї об'ємної постаті, є праця грецького філософа Евкліда - " Елементи " .

Площа поверхні та об'єм

Розглядаючи питання, як знаходити обсяг кулі, крім цієї величини, слід навести формулу для його площі, оскільки обидва вирази можна пов'язати один з одним, як буде показано нижче.

Отже, щоб обчислити об'єм кулі, слід застосувати одну з двох формул:

• V = 4/3 * pi * R3;
• V = 67/16*R3.

Тут R – радіус фігури. Перша з наведених формул є точною, однак, щоб скористатися цією перевагою, необхідно використовувати відповідну кількість знаків після коми для числа pi. Друге вираження дає цілком добрий результат, відрізняючись від першого всього на 0,03%. Для низки практичних завдань цієї точності більш ніж достатньо.

дорівнює цій величині для сфери, тобто виражається формулою S = 4 * pi * R2. Якщо звідси висловити радіус, а потім підставити його в першу формулу для об'єму, тоді отримаємо: R = √(S/(4*pi)) = > V = S/3*√(S/(4*pi)).

Таким чином, ми розглянули питання, як знайти об'єм кулі через радіус та через площу його поверхні. Ці висловлювання можна успішно застосовувати практично. Далі у статті наведемо приклад їхнього використання.

Завдання з краплею дощу

Вода, коли знаходиться в невагомості, набуває форми кулястої краплі. Пов'язано це з наявністю сил поверхневого натягу, які прагнуть мінімізувати площу поверхні. Куля, у свою чергу, має найменше її значення серед усіх геометричних фігур з однаковою масою.

Під час дощу крапля води, що падає, знаходиться в невагомості, тому її формою є куля (тут нехтуємо силою опору повітря). Необхідно визначити об'єм, площу поверхні та радіус цієї краплі, якщо відомо, що її маса становить 0,05 грама.

Об'єм визначити просто, для цього слід поділити відому масу на густину H 2 O (ρ = 1 г/см 3). Тоді V = 0,05/1 = 0,05 см 3 .

Знаючи, як знайти об'єм кулі, слід виразити з формули радіус і підставити отримане значення, маємо: R = ∛(3*V/(4*pi)) = ∛(3*0,05/(4*3,1416)) = 0,2285 див.

Тепер значення радіуса підставляємо у вираз для площі поверхні фігури, отримуємо: S = 4*3,1416*0,22852=0,6561 см2.

Таким чином, знаючи, як знаходити об'єм кулі, ми отримали відповіді на всі питання задачі: R = 2,285 мм, S = 0,6561 см2 і V = 0,05 см3.