Квадратний корінь. Детальна теорія з прикладами

факт 1.
$\bullet$ Візьмемо деяке невід'ємне число $a$ (тобто $a\geqslant 0$). Тоді (арифметичним) квадратним коренемз числа $a$ називається таке невід'ємне число $b$, при зведенні якого в квадрат ми отримаємо число $a$: \[\sqrt a=b\quad \text(те саме, що )\quad a=b^2\]З визначення випливає, що $a\geqslant 0, b\geqslant 0$. Ці обмеження є важливою умовою існування квадратного кореня і слід їх запам'ятати!
Згадаймо, що будь-яке число при зведенні квадрата дає невід'ємний результат. Тобто $100^2=10000\geqslant 0$ і $(-100)^2=10000\geqslant 0$.
$\bullet$ Чому дорівнює $\sqrt(25)$? Ми знаємо, що $5^2=25$ і $(-5)^2=25$. Так як за визначенням ми повинні знайти невід'ємне число, то $-5$ не підходить, отже, $\sqrt(25)=5$ (оскільки $25=5^2$).
Знаходження значення $\sqrt a$ називається вилученням квадратного кореня з числа $a$ , а число $a$ називається підкореним виразом.
$\bullet$ Виходячи з визначення, виразу $\sqrt(-25)$ , $\sqrt(-4)$ і т.п. немає сенсу.

факт 2.
Для швидких обчислень корисно буде вивчити таблицю квадратів натуральних чисел від (1) до (20): \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=192\52 2=36 & \quad16^2=256\\ 7^2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20

факт 3.
Які дії можна виконувати з квадратним корінням?
$\bullet$ Сума чи різниця квадратного коріння НЕ РІВНА квадратному кореню із суми чи різниці, тобто \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\]Таким чином, якщо вам потрібно обчислити, наприклад, $\sqrt(25)+\sqrt(49)$ , то спочатку ви повинні знайти значення $\sqrt(25)$ і $\sqrt(49)$ , а потім їх скласти. Отже, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Якщо значення $\sqrt a$ або $\sqrt b$ при додаванні $\sqrt a+\sqrt b$ знайти не вдається, то такий вираз далі не перетворюється і залишається таким, як є. Наприклад, у сумі $\sqrt 2+ \sqrt (49)$ ми можемо знайти $\sqrt(49)$ - це $7$ , а ось $\sqrt 2$ ніяк перетворити не можна, тому $\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7$. Далі цей вислів, на жаль, спростити неможливо$\bullet$ Твір/приватне квадратного коріння дорівнює квадратному кореню з твору/приватного, тобто \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(і)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (за умови, що обидві частини рівностей мають сенс)
Приклад: $\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8$; $\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16$; $\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40$. $\bullet$ Користуючись цими властивостями, зручно знаходити квадратне коріння з великих чисел шляхом розкладання їх на множники.
Розглянемо приклад. Знайдемо $\sqrt(44100)$. Так як \ (44100: 100 = 441 \), то (44100 = 100 \ cdot 441 \). За ознакою ділимості число (441) ділиться на (9) (бо сума його цифр дорівнює 9 і ділиться на 9), отже, (441:9 = 49), тобто (441 = 9 cdot 49).
Таким чином, ми отримали: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\]Розглянемо ще один приклад: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt(\dfrac(16\cdot4\cdot4 qrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3=\dfrac(56)3\]
$\bullet$ Покажемо, як вносити числа під знак квадратного кореня на прикладі виразу $5\sqrt2$ (скорочений запис від виразу $5\cdot \sqrt2$). Оскільки $5=\sqrt(25)$ , то \ Зауважимо також, що, наприклад,
1) $\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2$ ,
2) \ (5 \ sqrt3- \ sqrt3 = 4 \ sqrt3 \)
3) (sqrt a + sqrt a = 2 sqrt a) .

Чому так? Пояснимо з прикладу 1). Як ви вже зрозуміли, якось перетворити число (sqrt2) ми не можемо. Припустимо, що $\sqrt2$ - це деяке число $a$. Відповідно, вираз $\sqrt2+3\sqrt2$ є не що інше, як $a+3a$ (одне число $a$ плюс ще три таких же числа $a$ ). А ми знаємо, що це дорівнює чотирьом таким числам $a$, тобто $4\sqrt2$.

факт 4.
$\bullet$ Часто кажуть "не можна витягти корінь", коли не вдається позбутися знака $\sqrt() \ $ кореня (радикала) при знаходженні значення якогось числа. Наприклад, витягти корінь у складі $16$ можна, тому що $16=4^2$ , тому $\sqrt(16)=4$ . А ось витягти корінь із числа $3$, тобто знайти $\sqrt3$, не можна, тому що немає такого числа, яке в квадраті дасть $3$.
Такі числа (або вирази з такими числами) є ірраціональними. Наприклад, числа $\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)$і т.п. є ірраціональними.
Також ірраціональними є числа $\pi$ (число "пі", приблизно рівне $3,14$ ), $e$ (це число називають числом Ейлера, приблизно воно дорівнює $2,7$ ) і т.д.
$\bullet$ Звертаємо вашу увагу на те, що будь-яке число буде або раціональним, або ірраціональним. А разом усі раціональні та всі ірраціональні числа утворюють безліч, що називається безліччю дійсних (речових) чисел.Позначається це безліч буквою $\mathbb(R)$.
Отже, всі числа, які ми знаємо, називаються речовими числами.

Факт 5.
$\bullet$ Модуль речового числа $a$ – це невід'ємне число $|a|$ , що дорівнює відстані від точки $a$ до $0$ на речовій прямій. Наприклад, $|3|$ і $|-3|$ дорівнюють 3, оскільки відстані від точок $3$ і $-3$ до $0$ однакові і дорівнюють $3$ .
$\bullet$ Якщо $a$ – невід'ємне число, то $|a|=a$ .
Приклад: $|5|=5$; $\qquad |\sqrt2|=\sqrt2$ . $\bullet$ Якщо $a$ – від'ємне число, то $|a|=-a$ .
Приклад: $|-5|=-(-5)=5$; $\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3$.
Кажуть, що у негативних чисел модуль "з'їдає" мінус, а позитивні числа, а також число (0), модуль залишає без змін.
АЛЕтаке правило годиться лише для чисел. Якщо у вас під знаком модуля знаходиться невідома $x$ (або якась інша невідома), наприклад, $|x|$ , про яку ми не знаємо, чи позитивна вона, дорівнює нулю або негативна, то позбутися модуля ми не можемо. І тут цей вислів таким і залишається: $|x|$ . $\bullet$ Мають місце такі формули: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( за умови ) a\geqslant 0\]Дуже часто допускається така помилка: кажуть, що $sqrt(a^2)$ і $(sqrt a)^2$ - одне і те ж. Це вірно тільки в тому випадку, коли (a) - позитивне число або нуль. А ось якщо $a$ - негативне число, то це не так. Достатньо розглянути такий приклад. Візьмемо замість $a$ число $-1$. Тоді $\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1$ , а от вираз $(\sqrt(-1))^2$ взагалі не існує (адже не можна під знак кореня поміщати негативні числа!).
Тому звертаємо вашу увагу, що $\sqrt(a^2)$ не дорівнює $(\sqrt a)^2$ !Приклад: 1) $\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2$, т.к. $-\sqrt2<0$ ;

$\phantom(00000)$ 2) $(\sqrt(2))^2=2$ . $\bullet$ Оскільки $\sqrt(a^2)=|a|$ , то \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (вираз $2n$ позначає парне число)
Тобто при витягуванні кореня з числа, що знаходиться певною мірою, цей ступінь зменшується вдвічі.
Приклад:
1) $\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64$
2) $\sqrt((-25)^2)=|-25|=25$ (зауважимо, що якщо модуль не поставити, то вийде, що корінь з числа дорівнює $-25$ ;
3) $\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8$ (оскільки будь-яке число парною мірою неотрицательно)

Факт 6.
Як порівняти два квадратні корені?
$\bullet$ Для квадратного коріння вірно: якщо $\sqrt a<\sqrt b$ , то $aПриклад:
1) порівняємо \(\sqrt(50)$ і $6\sqrt2$ . Для початку перетворимо другий вираз у $\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)$. Таким чином, оскільки $50<72$ , то и $\sqrt{50}<\sqrt{72}$ . Следовательно, $\sqrt{50}<6\sqrt2$ .
2) Між якими цілими числами знаходиться (sqrt (50))?
Оскільки $\sqrt(49)=7$ , $\sqrt(64)=8$ , а $49<50<64$ , то $7<\sqrt{50}<8$ , то есть число $\sqrt{50}$ находится между числами $7$ и $8$ .
3) Порівняємо $\sqrt 2-1$ і $0,5$. Припустимо, що $\sqrt2-1>0,5$: \[\begin(aligned) &\sqrt 2-1>0,5 \ \big| +1\quad \text((додамо одиницю до обох частин))\\ &\sqrt2>0,5+1 \ big| \ ^2 \quad\text((зведемо обидві частини в квадрат))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(aligned)\]Бачимо, що ми здобули неправильну нерівність. Отже, наше припущення було невірним і (sqrt 2-1<0,5\) .
Зауважимо, що додавання деякого числа до обох частин нерівності впливає з його знак. Множення/поділ обох частин нерівності на позитивне число також не впливає на його знак, а множення/розподіл на негативне число змінює знак нерівності на протилежний!
Зводити обидві частини рівняння/нерівності в квадрат можна ТІЛЬКИ ТОДІ, коли обидві частини невід'ємні. Наприклад, у нерівності з попереднього прикладу зводити обидві частини квадрат можна, в нерівності $-3<\sqrt2$ нельзя (убедитесь в этом сами)! $\bullet$ Слід запам'ятати, що \[\begin(aligned) &\sqrt 2\approx 1,4\\ \sqrt 3\approx 1,7 \end(aligned)\]Знання приблизного значення цих чисел допоможе вам порівняти чисел! $\bullet$ Для того, щоб витягти корінь (якщо він витягується) з якогось великого числа, якого немає в таблиці квадратів, потрібно спочатку визначити, між якими "сотнями" воно знаходиться, потім - між якими "десятками", а потім вже визначити останню цифру цього числа. Покажемо, як це працює на прикладі.
Візьмемо $\sqrt(28224)$. Ми знаємо, що $100^2=10\,000$, $200^2=40\,000$ і т.д. Зауважимо, що $28224$ знаходиться між $10\,000$ та $40\,000$ . Отже, $\sqrt(28224)$ знаходиться між $100$ і $200$ .
Тепер визначимо, між якими “десятками” знаходиться наше число (тобто, наприклад, між (120) і (130)). Також з таблиці квадратів знаємо, що $11^2=121$ , $12^2=144$ і т.д., тоді $110^2=12100$ , $120^2=14400$ , $130^2=16900$ ,2(14 00 \), \ (160 ^ 2 = 25600 \), \ (170 ^ 2 = 28900 \). Таким чином, ми бачимо, що $28224$ знаходиться між $160^2$ і $170^2$. Отже, число (sqrt (28224)) знаходиться між (160) і (170).
Спробуймо визначити останню цифру. Згадаймо, які однозначні числа при зведенні в квадрат дають на кінці (4)? Це $2^2$ і $8^2$. Отже, $\sqrt(28224)$ буде закінчуватися або на 2, або на 8. Перевіримо це. Знайдемо $162^2$ і $168^2$:
\ (162 ^ 2 = 162 \ cdot 162 = 26224 \)
\ (168 ^ 2 = 168 \ cdot 168 = 28224 \) .
Отже, (sqrt (28224) = 168) . Вуаль!

Для того, щоб гідно вирішити ЄДІ з математики, насамперед необхідно вивчити теоретичний матеріал, який знайомить із численними теоремами, формулами, алгоритмами тощо. На перший погляд може здатися, що це досить просто. Однак знайти джерело, в якому теорія для ЄДІ з математики викладена легко і зрозуміло для учнів з будь-яким рівнем підготовки, - завдання досить складне. Шкільні підручники неможливо завжди тримати під рукою. А знайти основні формули для ЄДІ з математики непросто буває навіть в Інтернеті.

Чому так важливо вивчати теорію з математики не лише для тих, хто здає ЄДІ?

Тому що це розширює кругозір. Вивчення теоретичного матеріалу з математики корисно всім, хто хоче отримати відповіді широке коло питань, що з пізнанням навколишнього світу. Все у природі впорядковане і має чітку логіку. Саме це і відбивається у науці, через яку можна зрозуміти світ.
Тому що це розвиває інтелект. Вивчаючи довідкові матеріали для ЄДІ з математики, а також вирішуючи різноманітні завдання, людина вчиться логічно мислити та розмірковувати, грамотно та чітко формулювати думки. У нього виробляється здатність аналізувати, узагальнювати, робити висновки.

Пропонуємо вам особисто оцінити всі переваги нашого підходу до систематизації та викладу навчальних матеріалів.

Квадратним коренем з числа Xназивається число A, яке в процесі множення самого на себе ( A*A) може дати число X.
Тобто. A * A = A 2 = X, і √X = A.

Над квадратним корінням ( √x), як і над іншими числами, можна виконувати такі арифметичні операції, як віднімання та додавання. Для віднімання та складання коренів їх потрібно з'єднати за допомогою знаків, що відповідають цим діям (наприклад √x - √y ).
А потім привести коріння до їх найпростішої форми - якщо між ними виявляться подібні, необхідно зробити приведення. Воно полягає в тому, що беруться коефіцієнти подібних членів зі знаками відповідних членів, далі полягають у дужках та виводиться загальний корінь за дужками множника. Коефіцієнт, який ми отримали, спрощується за звичайними правилами.

Крок 1. Вилучення квадратних коренів

По-перше, для складання квадратного коріння спочатку потрібно це коріння витягти. Це можна буде зробити, якщо числа під знаком кореня будуть повними квадратами. Наприклад візьмемо заданий вираз √4 + √9 . Перше число 4 є квадратом числа 2 . Друге число 9 є квадратом числа 3 . Таким чином, можна отримати таку рівність: √4 + √9 = 2 + 3 = 5 .
Все, приклад вирішено. Але так просто буває далеко не завжди.

Крок 2. Винесення множника числа з-під кореня

Якщо повних квадратів немає під знаком кореня, можна спробувати винести множник числа під знака кореня. Для прикладу візьмемо вираз √24 + √54 .

Розкладаємо числа на множники:
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

В числі 24 ми маємо множник 4 його можна винести з-під знака квадратного кореня. В числі 54 ми маємо множник 9 .

Отримуємо рівність:
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

Розглядаючи цей приклад, ми отримуємо винос множника з-під знаку кореня, тим самим спрощуючи заданий вираз.

Крок 3. Скорочення знаменника

Розглянемо таку ситуацію: сума двох квадратних коренів - це знаменник дробу, наприклад, A / (√a + √b).
Тепер перед нами стоїть завдання «позбутися ірраціональності у знаменнику».
Скористаємося наступним способом: множимо чисельник і знаменник дробу на вираз √a - √b.

Формулу скороченого множення ми тепер отримуємо у знаменнику:
(√a + √b) * (√a - √b) = a - b.

Аналогічно, якщо у знаменнику є різниця коренів: √a - √b, чисельник і знаменник дробу множимо на вираз √a + √b.

Візьмемо для прикладу дріб:
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 - √5) / ((√3 + √5) * (√3 - √5)) = 4 * (√3 - √5) / (-2) = 2 * (√5 - √3) .

Приклад складного скорочення знаменника

Тепер розглядатимемо досить складний приклад позбавлення ірраціональності в знаменнику.

Для прикладу беремо дріб: 12 / (√2 + √3 + √5) .
Потрібно взяти її чисельник і знаменник і перемножити вираз √2 + √3 - √5 .

Отримуємо:

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 - √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 - √30.

Крок 4. Обчислення приблизного значення на калькуляторі

Якщо потрібно лише приблизне значення, це можна зробити на калькуляторі шляхом підрахунку значення квадратного коріння. Окремо для кожного числа обчислюється значення та записується з необхідною точністю, яка визначається кількістю знаків після коми. Далі відбуваються всі необхідні операції, як із звичайними числами.

Приклад обчислення приблизного значення

Необхідно обчислити приблизне значення цього виразу √7 + √5 .

У результаті отримуємо:

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

Зверніть увагу: за жодних умов не слід робити додавання квадратних коренів, як простих чисел, це абсолютно неприпустимо. Тобто, якщо скласти квадратний корінь із п'яти і з трьох, у нас не може вийти квадратний корінь із восьми.

Корисна порада: якщо ви вирішили розкласти число на множники, для того щоб вивести квадрат з-під знака кореня, вам необхідно зробити зворотну перевірку, тобто перемножити всі множники, які вийшли в результаті обчислень, і в кінцевому результаті цього математичного розрахунку має вийти число, яке нам було задано спочатку.

Теорія

Складання та віднімання коренів вивчається у вступному курсі математики. Вважатимемо, що читачеві відоме поняття ступеня.

Визначення 1

Корінь ступеня $n$ із дійсного числа $a$ - це дійсне число $b$, $n$-а ступінь якого дорівнює $a$: $b=\sqrt[n]a, b^n=a.$ Тут $a$ - підкорене вираз, $n$ - показник кореня, $b$ - значення кореня. Знак кореня називають радикалом.

Зворотним впливу вилучення кореня є зведення ступінь.

Основні дії з арифметичним корінням:

Малюнок 1. Основні дії з арифметичним корінням. Автор24 - інтернет-біржа студентських робіт

Як бачимо, у перерахованих діях немає формули додавання і віднімання. Ці дії з корінням виробляються у вигляді перетворень. Для цих перетворень слід використовувати формули скороченого множення:

$(\sqrt a - \sqrt b)(\sqrt a + \sqrt b)=a-b;$

$(\sqrta-\sqrtb)(\sqrt(a^2)+\sqrt(ab)+\sqrt(b^2))=a-b;$

$(\sqrta+\sqrtb)(\sqrt(a^2)-\sqrt(ab)+\sqrt(b^2))=a+b;$

$a\sqrt a+b\sqrt b=(sqrt a)^3+(sqrt b)^3=(sqrt a+sqrt b)(a-sqrt(ab)+b);$

$a\sqrt a-b\sqrt b=(\sqrt a)^3-(\sqrt b)^3=(\sqrt a-sqrt b)(a+\sqrt(ab)+b).$

Варто зауважити, що дії додавання та віднімання зустрічаються в прикладах ірраціональних виразів: $ ab \ sqrt (m-n); 1+\sqrt3.$

Приклади

Розглянемо на прикладах випадки, коли застосовується "знищення" ірраціональності у знаменнику. Коли в результаті перетворень ірраціональне вираження вийшло і в чисельнику, і в знаменнику, потрібно "знищити" ірраціональність у знаменнику.

Приклад 1

$\frac(1)(sqrt7-sqrt6)=frac(sqrt7+sqrt6)((sqrt7-sqrt6)(sqrt7+sqrt6))=frac(sqrt7+sqrt6)(7-6)=frac(sqrt7+6s=6.

У цьому прикладі ми помножили чисельник і знаменник дробу на вираз, пов'язаний з знаменником. Таким чином, у знаменнику виконано перетворення за формулою різниці квадратів.

Вилучення квадрантного кореня з-поміж не єдина операція, яку можна проводити з цим математичним явищем. Так само як і звичайні числа, квадратне коріння складає і віднімає.

Правила складання та віднімання квадратних коренів

Визначення 1

Такі дії, як додавання і віднімання квадратного кореня, можливі лише за умови однакового підкореного виразу.

Приклад 1

Можна скласти або відняти вирази 2 3 та 6 3, але не 5 6 і 9 4 . Якщо є можливість спростити вираз і привести його до коріння з однаковим підкореним числом, спрощуйте, а потім складайте або віднімайте.

Дії з корінням: основи

Приклад 2

6 50 - 2 8 + 5 12

Алгоритм дії:

Спростити підкорене вираз. Для цього необхідно розкласти підкорене вираз на 2 множника, один з яких - квадратне число (число, з якого витягується цілий квадратний корінь, наприклад, 25 або 9).
Потім потрібно витягти корінь із квадратного числата записати отримане значення перед знаком кореня. Звертаємо вашу увагу, що другий множник заноситься під знак кореня.
Після процесу спрощення необхідно підкреслити коріння з однаковими підкореними виразами - тільки їх можна складати та віднімати.
У коріння з однаковими підкореними виразами необхідно скласти або відняти множники, які стоять перед знаком кореня. Підкорене вираз залишається без змін. Не можна складати чи віднімати підкорені числа!

Порада 1

Якщо у вас приклад з великою кількістю однакових підкорених виразів, то підкреслюйте такі вирази одинарними, подвійними та потрійними лініями, щоб полегшити процес обчислення.

Приклад 3

Давайте спробуємо вирішити цей приклад:

6 50 = 6 (25 × 2) = (6 × 5) 2 = 30 2 . Для початку необхідно розкласти 50 на 2 множника 25 і 2, потім витягти корінь з 25, який дорівнює 5, а 5 винести з-під кореня. Після цього потрібно помножити 5 на 6 (множник у кореня) і одержати 30 2 .

2 8 = 2 (4 × 2) = (2 × 2) 2 = 4 2 . Спочатку необхідно розкласти 8 на 2 множники: 4 і 2. Потім з 4 витягти корінь, який дорівнює 2, а 2 винести з-під кореня. Після цього потрібно помножити 2 на 2 (множник у кореня) і одержати 4 2 .

5 12 = 5 (4 × 3) = (5 × 2) 3 = 10 3 . Спочатку необхідно розкласти 12 на 2 множники: 4 і 3. Потім витягти з 4 корінь, який дорівнює 2, і винести його з-під кореня. Після цього потрібно помножити 2 на 5 (множник у кореня) і отримати 103.

Результат спрощення: 30 2 - 4 2 + 10 3

30 2 - 4 2 + 10 3 = (30 - 4) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

У результаті побачили, скільки однакових підкорених виразів міститься у цьому прикладі. А зараз попрактикуємось на інших прикладах.

Приклад 4

Спрощуємо (45) . Розкладаємо 45 на множники: (45) = (9 × 5);
Виносимо 3 з-під кореня (9 = 3): 45 = 3 5;
Складаємо множники біля коріння: 3 5 + 4 5 = 7 5 .

Приклад 5

6 40 - 3 10 + 5:

Спрощуємо 6 40 . Розкладаємо 40 на множники: 640 = 6 (4 × 10);
Виносимо 2 з-під кореня (4 = 2): 6 40 = 6 (4 × 10) = (6 × 2) 10;
Перемножуємо множники, які стоять перед коренем: 12 10;
Записуємо вираз у спрощеному вигляді: 12 10 - 3 10 + 5;
Оскільки перші два члени мають однакові підкорені числа, ми можемо їх відняти: (12 - 3) 10 = 9 10 + 5 .

Приклад 6

Як ми бачимо, спростити підкорені числа неможливо, тому шукаємо в прикладі члени з однаковими підкореними числами, проводимо математичні дії (складаємо, віднімаємо і т.д.) і записуємо результат:

(9 - 4) 5 - 2 3 = 5 5 - 2 3 .

Поради:

Перед тим, як складати чи віднімати, необхідно обов'язково спростити (якщо це можливо) підкорені вирази.
Складати та віднімати коріння з різними підкореними виразами суворо забороняється.
Не слід підсумовувати чи віднімати ціле число чи корінь: 3 + (2 x) 1/2 .
При виконанні дій з дробами необхідно знайти число, яке ділиться націло на кожен знаменник, потім привести дроби до спільного знаменника, потім скласти чисельники, а знаменники залишити без змін.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Вітаю, катани! Минулого разу ми докладно розібрали, що таке коріння (якщо не пам'ятаєте, рекомендую почитати). Головний висновок того уроку: існує лише одне універсальне визначення коріння, яке вам потрібно знати. Решта — брехня і марнування часу.

Сьогодні ми йдемо далі. Вчимося множити коріння, вивчимо деякі проблеми, пов'язані з множенням (якщо ці проблеми не вирішити, то на іспиті вони можуть стати фатальними) і як слід потренуємося. Тому запасайтеся попкорном, влаштовуйтесь зручніше - і ми починаємо.

Адже ви теж ще не вкурили?

Урок вийшов досить великим, тому я розділив його на дві частини:

Спочатку ми розберемо правила множення. Кеп начебто натякає: це коли є два корені, між ними стоїть знак «помножити» — і ми хочемо щось із цим зробити.
Потім розберемо зворотну ситуацію: є один великий корінь, а нам закортіло уявити його у вигляді добутку двох коренів простіше. З якого переляку це буває потрібно — окреме питання. Ми розберемо лише алгоритм.

Тим, кому не терпиться одразу перейти до другої частини — ласкаво прошу. З рештою почнемо по порядку.

Основне правило множення

Почнемо з найпростішого — класичного квадратного коріння. Ті самі, які позначаються $\sqrt(a)$ і $\sqrt(b)$. Для них все взагалі очевидно:

Правило множення. Щоб помножити один квадратний корінь на інший, потрібно просто перемножити їх підкорені вирази, а результат записати під загальним радикалом:

\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]

Жодних додаткових обмежень на числа, що стоять праворуч чи ліворуч, не накладається: якщо коріння-множники існують, то й твір теж існує.

приклади. Розглянемо відразу чотири приклади з числами:

\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \ \ \ \ \ sqrt (54) \ cdot \ sqrt (6) = \ sqrt (54 \ cdot 6) = \ sqrt (324) = 18; \\ \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \end(align)\]

Як бачите, основний зміст цього правила - спрощення ірраціональних виразів. І якщо в першому прикладі ми б і самі витягли коріння з 25 і 4 без будь-яких нових правил, то далі починається жерсть: $ \ sqrt (32) $ і $ \ sqrt (2) $ самі по собі не вважаються, але їх добуток виявляється точним квадратом, тому корінь з нього дорівнює раціональному числу.

Окремо хотів би відзначити останній рядок. Там обидва підкорені вирази є дробами. Завдяки твору багато множників скорочуються, а весь вираз перетворюється на адекватне число.

Звичайно, не завжди все буде так гарно. Іноді під корінням стоятиме повна лажа — незрозуміло, що з нею робити і як перетворювати після множення. Трохи пізніше, коли почнете вивчати ірраціональні рівняння та нерівності, там взагалі будуть усілякі змінні та функції. І дуже часто укладачі завдань якраз і розраховують на те, що ви виявите якісь складові або множники, що скорочуються, після чого завдання багаторазово спроститься.

Крім того, зовсім необов'язково перемножувати саме два корені. Можна помножити одразу три, чотири — та хоч десять! Правило від цього не зміниться. Погляньте:

\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0,001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0,001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1)(1)(1000))=\sqrt(\(1) \\ \end(align)\]

І знову невелике зауваження на другому прикладі. Як бачите, у третьому множнику під коренем стоїть десятковий дріб — у процесі обчислень ми замінюємо його звичайним, після чого все легко скорочується. Так ось: дуже рекомендую позбавлятися десяткових дробів у будь-яких ірраціональних виразах (тобто містять хоча б один значок радикала). У майбутньому це заощадить вам купу часу та нервів.

Але це був ліричний відступ. Тепер розглянемо загальніший випадок — коли у показнику кореня стоїть довільне число $n$, а не лише «класична» двійка.

Випадок довільного показника

Отже, з квадратним корінням розібралися. А що робити з кубічними? Або взагалі з корінням довільного ступеня $n$? Та все те саме. Правило залишається тим самим:

Щоб перемножити два корені ступеня $n$, достатньо перемножити їх підкорені вирази, після чого результат записати під одним радикалом.

Загалом нічого складного. Хіба що обсяг обчислень може виявитися більшим. Розберемо кілька прикладів:

приклади. Обчислити твори:

\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)=5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0,16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt(\frac(64)(((25)^(2))\cdot 25 (((25)^(3))))=\sqrt(((\left(\frac(4)(25) \right))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \end(align)\]

І знову увага друга вираз. Ми перемножуємо кубічні коріння, позбавляємося десяткового дробу і в результаті отримуємо в знаменнику добуток чисел 625 і 25. Це досить велике число - особисто я з ходу не вважаю, чому він рівний.

Тому ми просто виділили точний куб у чисельнику та знаменнику, а потім скористалися однією з ключових властивостей (або, якщо завгодно — визначенням) кореня $n$-го ступеня:

\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\left| a \right|. \\ \end(align)\]

Подібні «махінації» можуть заощадити вам час на іспиті або контрольній роботі, тому запам'ятайте:

Не поспішайте перемножувати числа у підкореному вираженні. Спочатку перевірте: раптом там «зашифровано» точний ступінь якогось виразу?

За всієї очевидності цього зауваження має визнати, що більшість непідготовлених учнів не бачать точних ступенів. Натомість вони перемножують все напролом, а потім дивуються: чому це вийшли такі звірячі числа?:)

Втім, все це дитячий белькіт у порівнянні з тим, що ми вивчимо зараз.

Розмноження коренів з різними показниками

Ну гаразд, тепер ми вміємо перемножувати коріння з однаковими показниками. А що якщо показники різні? Скажімо, як помножити звичайний $\sqrt(2)$ на якусь хрень типу $\sqrt(23)$? Чи можна це взагалі робити?

Так звичайно можна. Все робиться ось за цією формулою:

Правило множення коріння. Щоб помножити $\sqrt[n](a)$ на $\sqrt[p](b)$, достатньо виконати таке перетворення:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Однак ця формула працює лише за умови, що підкорені вирази невід'ємні. Це дуже важливе зауваження, до якого ми повернемося трохи згодом.

А поки що розглянемо пару прикладів:

\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81\cdot 8)=\sqrt(648); \\ \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)=\sqrt(1568); \\ \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)=\sqrt(5625). \\ \end(align)\]

Як бачите, нічого складного. Тепер давайте розберемося, звідки взялася вимога невід'ємності, і що буде, якщо ми її порушимо.

Помножувати коріння нескладно

Чому підкорені вирази мають бути невід'ємними?

Звичайно, можна уподібнитись шкільним вчителям і з розумним виглядом процитувати підручник:

Вимога неотрицательности пов'язані з різними визначеннями коренів парного і непарного ступеня (відповідно, області визначення вони теж різні).

Ну що стало зрозуміліше? Особисто я, коли читав це марення у 8-му класі, зрозумів для себе приблизно таке: «Вимога невід'ємності пов'язана з *#&^@(*#@^#)~%» — коротше, я ніхрена в той раз не зрозумів.

Тому зараз поясню все по-нормальному.

Спочатку з'ясуємо, звідки взагалі береться формула множення, наведена вище. Для цього нагадаю одну важливу властивість кореня:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Іншими словами, ми можемо спокійно зводити підкорене вираз у будь-який натуральний ступінь $k$ - при цьому показник кореня доведеться помножити на цей же ступінь. Отже, ми легко зведемо будь-яке коріння до загального показника, після чого перемножимо. Звідси і береться формула множення:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))]

Але є одна проблема, яка різко обмежує застосування цих формул. Розглянемо таке число:

Згідно з наведеною формулою ми можемо додати будь-який ступінь. Спробуємо додати $k=2$:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\left(-5 \right))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]

Мінус ми прибрали саме тому, що квадрат спалює мінус (як і будь-який інший парний ступінь). А тепер виконаємо зворотне перетворення: «скоротимо» двійку у показнику та ступені. Адже будь-яку рівність можна читати як зліва-направо, так і праворуч-наліво:

\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Rightarrow \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Rightarrow \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(5). \\ \end(align)\]

Але тоді виходить якась хрінь:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

Цього не може бути, тому що $\sqrt(-5) \lt 0$, а $\sqrt(5) \gt 0$. Отже, для парних ступенів та негативних чисел наша формула вже не працює. Після чого ми маємо два варіанти:

Вбитись об стіну констатувати, що математика — це безглузда наука, де є якісь правила, але це неточно;
Ввести додаткові обмеження, за яких формула стане робочою на 100%.

У першому варіанті нам доведеться постійно виловлювати "непрацюючі" випадки - це важко, довго і взагалі фу. Тому математики віддали перевагу другому варіанту.:)

Але не переживайте! На практиці це обмеження ніяк не впливає на обчислення, тому що всі ці проблеми стосуються лише коренів непарного ступеня, а з них можна виносити мінуси.

Тому сформулюємо ще одне правило, яке поширюється взагалі на всі дії з корінням:

Перш ніж перемножувати коріння, зробіть так, щоб підкорені вирази були невід'ємними.

приклад. Серед $\sqrt(-5)$ можна винести мінус з-під знака кореня - тоді все буде норм:

\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Rightarrow \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-s

Відчуваєте різницю? Якщо залишити мінус під коренем, то при зведенні підкореного виразу в квадрат він зникне і почнеться хрень. А якщо спочатку винести мінус, то можна хоч до посиніння зводити/прибирати квадрат — число залишиться негативним.

Таким чином, найправильніший і найнадійніший спосіб множення коренів наступний:

Забрати всі мінуси з-під радикалів. Мінуси бувають тільки в корінні непарної кратності — їх можна поставити перед коренем і при необхідності скоротити (наприклад, якщо цих мінусів виявиться два).
Виконати множення згідно з правилами, розглянутими вище у сьогоднішньому уроці. Якщо показники коріння однакові, просто перемножуємо підкорені вирази. А якщо різні - використовуємо злісну формулу \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))].
3.Насолоджуємося результатом і хорошими оцінками.:)

Ну що? Потренуємося?

Приклад 1. Спростіть вираз:

\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3)) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\8\ 4) (3)) = - \ sqrt (64) = -4; \end(align)\]

Це найпростіший варіант: показники коріння однакові та непарні, проблема лише в мінусі у другого множника. Виносимо цей мінус нафіг, після чого все легко вважається.

Приклад 2. Спростіть вираз:

\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))=\sqrt(((\left(((2)^(5))\r())((2)^(5)) 4)))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end(align)\]

Тут багатьох збентежило б те, що на виході вийшло ірраціональне число. Так, так буває: ми не змогли повністю позбутися кореня, але принаймні суттєво спростили вираз.

Приклад 3. Спростіть вираз:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left(((a)^(4)) \right))^(6)))=\sqrt(((a)^(2)) ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(align)\]

Ось на це завдання хотів би звернути вашу увагу. Тут одразу два моменти:

Під коренем стоїть не конкретне число чи ступінь, а змінна $a$. На перший погляд, це трохи незвично, але насправді при вирішенні математичних завдань найчастіше доведеться мати справу саме зі змінними.
Наприкінці ми примудрилися скоротити показник кореня і ступінь у підкореному вираженні. Таке трапляється досить часто. І це означає, що можна було спростити обчислення, якщо не користуватися основною формулою.

Наприклад, можна було вчинити так:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a)^(4)) \right))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt( (a)^(8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \\ \end(align)\]

По суті, усі перетворення виконувалися лише з другим радикалом. І якщо не детально розписувати всі проміжні кроки, то в результаті обсяг обчислень істотно знизиться.

Насправді ми вже стикалися з подібним завданням вище, коли вирішували приклад $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$. Тепер його можна розписати набагато простіше:

\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(((\left(((5)^(2))\cdot 3 \right))^(2)))= ))) = sqrt (75). \end(align)\]

Ну що ж, з множенням коріння розібралися. Тепер розглянемо зворотну операцію: що робити, коли під корінням стоїть твір?