Чому дорівнює сума кутів? Наукова електронна бібліотека

Трикутник . Гострокутний, тупокутний та прямокутний трикутник.

Катети та гіпотенуза. Рівностегновий та рівносторонній трикутник.

Сума кутів трикутника.

Зовнішній кут трикутника. Ознаки рівності трикутників.

Чудові лінії та точки у трикутнику: висоти, медіани,

бісектриси,серединні e перпендикуляри, ортоцентр,

центр тяжкості, центр кола, центр вписаного кола.

Теорема Піфагора. Співвідношення сторін у довільному трикутнику.

Трикутник – це багатокутник із трьома сторонами (або трьома кутами). Сторони трикутника часто позначаються малими літерами, які відповідають великим літерам, що позначають протилежні вершини.

Якщо всі три кути гострі (рис.20), то це гострокутний трикутник . Якщо один із кутів прямий(C, рис.21), то це прямокутний трикутник; сторониa, b, що утворюють прямий кут, називаються катетами; сторонаc, протилежна прямому куту, називається гіпотенузою. Якщо один ізкутів тупий (B, рис.22), то це тупокутний трикутник.


Трикутник ABC (рис.23) - рівнобедрений, якщо двійого сторони рівні (a= c); ці рівні сторони називаються бічними, третя сторона називається основоютрикутник. Трикутник ABC (рис.24) - рівносторонній, якщо всійого сторони рівні (a = b = c). У загальному випадку ( a ≠ b ≠ c) маємо нерівностороннійтрикутник .

Основні властивості трикутників. У будь-якому трикутнику:

1. Проти більшої сторони лежить більший кут, і навпаки.

2. Проти рівних сторін лежать рівні кути, і навпаки.

Зокрема, всі кути в рівностороннімтрикутнику рівні.

3. Сума кутів трикутника дорівнює 180 º .

З двох останніх властивостей випливає, що кожен кут у рівносторонньому

трикутнику дорівнює 60 º.

4. Продовжуючи одну із сторін трикутника (AC, рис.25), отримуємо зовнішній

кут BCD . Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі внутрішніх кутів,

не суміжних з ним : BCD = A + B.

5. Будь-яка сторона трикутника менша від суми двох інших сторін і більше

їх різниці (a < b + c, a > b – c;b < a + c, b > a – c;c < a + b,c > a – b).

Ознаки рівності трикутників.

Трикутники рівні, якщо вони відповідно рівні:

a ) дві сторони та кут між ними;

b ) два кути і прилегла до них сторона;

c) три сторони.

Ознаки рівності прямокутних трикутників.

Два прямокутнихтрикутника рівні, якщо виконується одна з наступних умов:

1) рівні їх катети;

2) катет та гіпотенуза одного трикутника рівні катету та гіпотенузі іншого;

3) гіпотенуза та гострий кут одного трикутника рівні гіпотенузі та гострому куту іншого;

4) катет і прилеглий гострий кут одного трикутника дорівнюють катету та прилеглому гострому куту іншого;

5) катет і протилежний гострий кут одного трикутника дорівнюють катету і протилежному гострому кутку іншого.

Чудові лінії та точки у трикутнику.

Висота трикутника - цеперпендикуляр,опущений з будь-якої вершини на протилежний бік ( або її продовження). Ця сторона називаєтьсяосновою трикутника . Три висоти трикутника завжди перетинаютьсяв одній точцізваної ортоцентромтрикутник. Ортоцентр гострокутного трикутника (точка O , рис.26) розташований усередині трикутника, аортоцентр тупокутного трикутника (точка O , Мал.27) – зовні; Ортоцентр прямокутного трикутника збігається з вершиною прямого кута.

Медіана – це відрізок , що з'єднує будь-яку вершину трикутника із серединою протилежної сторони. Три медіани трикутника (AD, BE, CF, рис.28) перетинаються в одній точці O завжди лежить всередині трикутникаі є його центром важкості. Ця точка ділить кожну медіану щодо 2:1, рахуючи від вершини.

Бісектриса – це відрізок бісектрисикута від вершини до точки перетину з протилежною стороною. Три бісектриси трикутника (AD, BE, CF, рис.29) перетинаються в одній точці О, що завжди лежить усередині трикутникаі що є центром вписаного кола(Див. розділ «Вписаніта описані багатокутники»).

Бісектриса ділить протилежний бік на частини, пропорційні прилеглим сторонам ; наприклад, на рис.29 AE: CE = AB: BC.

Середній перпендикуляр – це перпендикуляр, проведений із середньоїточки відрізка (сторони). Три серединні перпендикуляри трикутника АВС(KO, MO, NO, рис.30 ) перетинаються в одній точці О, що є центром описаного кола (точки K, M, N – середини сторін трикутника ABC).

У гострокутному трикутнику ця точка лежить усередині трикутника; у тупокутному – зовні; у прямокутному - у середині гіпотенузи. Ортоцентр, центр тяжкості, центр описаного та центр вписаного кола збігаються лише у рівносторонньому трикутнику.

Теорема Піфагора. У прямокутному трикутнику квадрат довжинигіпотенузи дорівнює сумі квадратів довжин катетів.

Доказ теореми Піфагора очевидно випливає з рис.31. Розглянемо прямокутний трикутник ABC з катетами a, bта гіпотенузою c.

Збудуємо квадрат AKMB , використовуючи гіпотенузу AB як бік. Потімпродовжимо сторони прямокутного трикутника ABC так, щоб отримати квадрат CDEF сторона якого дорівнюєa + b.Тепер ясно, що площа квадрата CDEF дорівнює ( a + b) 2 . З іншого боку, ця площа дорівнює суміплощ чотирьох прямокутних трикутниківі квадрата AKMB, тобто

c 2 + 4 (ab / 2) = c 2 + 2 ab,

звідси,

c 2 + 2 ab= (a + b) 2 ,

і остаточно маємо:

c 2 =a 2 + b 2 .

Співвідношення сторін у довільному трикутнику.

У загальному випадку (для довільного трикутника) маємо:

c 2 =a 2 + b 2 – 2ab· cos C,

де C – кут між сторонамиaі b .

У 8 класі під час уроків геометрії у школі учні вперше знайомляться з поняттям опуклого багатокутника. Незабаром вони дізнаються, що ця фігура має дуже цікаву властивість. Якою б складною вона не була, сума всіх внутрішніх та зовнішніх кутів опуклого багатокутника набуває строго певного значення. У цій статті репетитор з математики та фізики розповідає про те, чому дорівнює сума кутів опуклого багатокутника.

Сума внутрішніх кутів опуклого багатокутника

Як довести цю формулу?

Перш ніж перейти до доказу цього твердження, пригадаємо, який багатокутник називається опуклим. Випуклим називається такий багатокутник, який повністю знаходиться по одну сторону від прямої, що містить будь-яку його сторону. Наприклад, такий, який зображений на цьому малюнку:

Якщо ж багатокутник не задовольняє зазначену умову, він називається неопуклим. Наприклад, такий:

Сума внутрішніх кутів опуклого багатокутника дорівнює , де кількість сторін багатокутника.

Доказ цього факту ґрунтується на добре відомій усім школярам теоремі про суму кутів у трикутнику. Впевнений, що й вам ця теорема знайома. Сума внутрішніх кутів трикутника дорівнює.

Ідея полягає в тому, щоб розбити опуклий багатокутник на кілька трикутників. Зробити це можна у різний спосіб. Залежно від того, який спосіб ми виберемо, докази трохи відрізнятимуться.

1. Розіб'ємо опуклий багатокутник на трикутники всіма можливими діагоналями, проведеними з якоїсь вершини. Легко зрозуміти, що тоді наш n-кутник розіб'ється на трикутника:

Причому сума всіх кутів всіх трикутників, що вийшли, дорівнює сумі кутів нашого n-кутника. Адже кожен кут у трикутниках, що виходять, є частковою якогось кута в нашому опуклому багатокутнику. Тобто шукана сума дорівнює.

2. Можна також вибрати точку всередині опуклого багатокутника та з'єднати її з усіма вершинами. Тоді наш n-кутник розіб'ється на трикутників:

Причому сума кутів нашого багатокутника в цьому випадку дорівнюватиме сумі всіх кутів усіх цих трикутників за вирахуванням центрального кута, який дорівнює . Тобто шукана сума знову ж таки дорівнює.

Сума зовнішніх кутів опуклого багатокутника

Поставимо тепер питання: «Чому дорівнює сума зовнішніх кутів опуклого багатокутника?» Відповісти це питання можна так. Кожен зовнішній кут є суміжним із відповідним внутрішнім. Тому він дорівнює:

Тоді сума всіх зовнішніх кутів дорівнює. Тобто вона дорівнює.

Тобто виходить дуже кумедний результат. Якщо відкласти послідовно один за одним усі зовнішні кути будь-якого опуклого n-кутника, то в результаті заповниться рівно вся площина.

Цей цікавий факт можна проілюструвати в такий спосіб. Давайте пропорційно зменшувати всі сторони якогось опуклого багатокутника доти, доки він не зіллється в крапку. Після того, як це станеться, всі зовнішні кути виявляться відкладеними один від одного і заповнять таким чином всю площину.

Цікавий факт, чи не так? І таких фактів у геометрії дуже багато. Тож навчайте геометрію, дорогі школярі!

Матеріал про те, чому дорівнює сума кутів опуклого багатокутника, підготував , Сергій Валерійович

Сума кутів трикутника- важлива, але досить проста тема, що проходять у 7 класі на геометрії. Тема складається з теореми, короткого доказу та кількох логічних наслідків. Знання цієї теми допомагає у вирішенні геометричних завдань під час подальшого вивчення предмета.

Теорема – чому рівні складені між собою кути довільного трикутника?

Теорема говорить - якщо взяти будь-який трикутник незалежно від його виду, сума всіх кутів незмінно становитиме 180 градусів. Доводиться це так:

• для прикладу беруть трикутник АВС, через розташовану на вершині точку проводять пряму лінію і позначають її, як «а», пряма «а» при цьому строго паралельна стороні АС;
• між прямою «а» і сторонами АВ і ПС позначають кути, маркуючи їх цифрами 1 і 2;
• кут 1 визнають рівним куту А, а кут 2 - рівним куту С, оскільки ці кути вважаються навхрест лежачими;
• таким чином, сума між кутами 1, 2 і 3 (який позначається на місці кута) визнається рівною розгорнутому куту з вершиною - і становить 180 градусів.

Якщо сума кутів, позначених цифрами, становить 180 градусів, то сума кутів А, В і С визнається рівною 180 градусам. Це правило правильне для будь-якого трикутника.

Що випливає з геометричної теореми

Прийнято виділяти кілька наслідків із наведеної теореми.

• Якщо в задачі розглядається трикутник з прямим кутом, то один з його кутів буде за замовчуванням 90 градусів, а сума гострих кутів також становитиме 90 градусів.
• Якщо йдеться про прямокутний рівнобедрений трикутник, то його гострі кути, що в сумі складають 90 градусів, окремо дорівнюватимуть 45 градусам.
• Рівносторонній трикутник складається з трьох рівних кутів, відповідно, кожен з них дорівнюватиме 60 градусам, а в сумі вони становитимуть 180 градусів.
• Зовнішній кут будь-якого трикутника дорівнюватиме сумі між двома внутрішніми кутами, що не прилягають до нього.

Можна вивести наступне правило - у будь-якому з трикутників є як мінімум два гострі кути. У деяких випадках трикутник складається із трьох гострих кутів, а якщо їх тільки два, то третій кут буде тупим або прямим.

Доведення:

• Дано трикутник АВС.
• Через вершину B проведемо пряму DK паралельно до основи AC.
• \angle CBK= \angle C як внутрішній навхрест лежачі при паралельних DK та AC, та січній BC.
• \angle DBA = \angle A внутрішній навхрест лежачі у DK \parallel AC та січній AB. Кут DBK розгорнутий і рівний
• \angle DBK = \angle DBA + \angle B + \angle CBK
• Оскільки розгорнутий кут дорівнює 180 ^\circ , а \angle CBK = \angle C і \angle DBA = \angle A , то отримаємо 180 ^\circ = \angle A + \angle B + \angle C.

Теорема доведена

Наслідки з теореми про суму кутів трикутника:

1. Сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90°.
2. У рівнобедреному прямокутному трикутнику кожен гострий кут дорівнює 45°.
3. У рівносторонньому трикутнику кожен кут дорівнює 60°.
4. У будь-якому трикутнику або всі кути гострі, або два кути гострі, а третій - тупий або прямий.
5. Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох внутрішніх кутів, не суміжних із ним.

Теорема про зовнішній кут трикутника

Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох кутів трикутника, що залишилися, не суміжних з цим зовнішнім кутом

Доведення:

• Дано трикутник АВС, де ВСD - зовнішній кут.
• \angle BAC + \angle ABC +\angle BCA = 180^0
• З рівностей кут \angle BCD + \angle BCA = 180^0
• Отримуємо \angle BCD = \angle BAC+\angle ABC.

Розділи: Математика

Презентація . (Слайд 1)

Тип уроку:урок вивчення нового матеріалу

Цілі уроку:

• Освітні:
  • розглянути теорему про суму кутів трикутника,
  • показати застосування теореми під час вирішення завдань.
• Виховні:
  • виховання позитивного ставлення учнів до знань,
  • виховувати в учнів засобами уроку впевненість у своїх силах.
• Розвиваючі:
  • розвиток аналітичного мислення,
  • розвиток «умінь вчитися»: використовувати знання, вміння та навички у навчальному процесі,
  • розвиток логічного мислення, здатність чітко формулювати свої думки.

Обладнання:інтерактивна дошка, презентації, картки.

ХІД УРОКУ

I. Організаційний момент

– Сьогодні на уроці ми згадаємо визначення прямокутного, рівнобедреного, рівностороннього трикутників. Повторимо властивості кутів трикутників. Застосовуючи властивості внутрішніх односторонніх і внутрішніх навхрест кутів, що лежать, доведемо теорему про суму кутів трикутника і навчимося застосовувати її при вирішенні завдань.

ІІ. Усно(Слайд 2)

1) Знайти на малюнках прямокутний, рівнобедрений, рівнобічний трикутники.
2) Дати визначення цим трикутникам.
3) Сформулювати властивості кутів рівнобічного та рівнобедреного трикутника.

4) На малюнку KE II NH. (Слайд 3)

– Вкажіть посічені для цих прямих
– Знайти внутрішні односторонні кути, внутрішні навхрест кути, що лежать, назвати їх властивості

ІІІ. Пояснення нового матеріалу

Теорема.Сума кутів трикутника дорівнює 180 о

За формулюванням теореми, хлопці будують креслення, записують умову, висновок. Відповідаючи питання, самостійно доводять теорему.

Дано: Довести:

Доведення:

1. Через вершину трикутника проведемо пряму BD II AC.
2. Вказати січучі для паралельних прямих.
3. Що можна сказати про кути CBD та ACB? (Зробити запис)
4. Що ми знаємо про кути CAB та ABD? (Зробити запис)
5. Замінимо кут CBD кутом ACB
6. Зробити висновок.

IV. Закінчи пропозицію.(Слайд 4)

1. Сума кутів трикутника дорівнює …
2. У трикутнику один із кутів дорівнює, інший, третій кут трикутника дорівнює …
3. Сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює …
4. Кути рівнобедреного прямокутного трикутника дорівнюють …
5. Кути рівностороннього трикутника рівні...
6. Якщо кут між бічними сторонами рівнобедреного трикутника дорівнює 1000, то кути при підставі дорівнюють …

V. Небагато історії.(Слайди 5-7)