Через пряму побудувати площину перпендикулярну до заданої. Побудова взаємно перпендикулярних прямих, прямих і площин.
Ознака перпендикулярності прямої та площини дозволяє побудувати взаємно перпендикулярні пряму та площину, тобто довести існування таких прямих та площин. Почнемо з побудови площини, перпендикулярної даної прямої і проходить через цю точку. Розв'яжемо дві задачі на побудову, що відповідають двом можливостям розташування даної точки і даної прямої.
Завдання 1. Через дану точку А на даній прямій провести площину, перпендикулярну цій прямій.
Проведемо через пряму а будь-які дві площини і в кожній з цих площин через точку А проведемо по прямій, перпендикулярній до прямої а, позначимо їх b і с (рис. 2.17). Площина а, що проходить через прямі біс, містить точку А і перпендикулярна до прямої а (за ознакою перпендикулярності прямої та площини). Тому площина шукана. Завдання вирішено.
Завдання має лише одне (тобто єдине) рішення. Справді, припустимо неприємне. Тоді, крім площини через точку А проходить ще якась площина Р, перпендикулярна до прямої а (рис. 2.18). Візьмемо в площині Р будь-яку пряму, що проходить через точку А і не лежить у площині а. Проведемо площину через пересічні прямі а і . Площина у перетне площину а по прямій q. Пряма q не збігається з прямою, тому що q лежить у а не лежить в а. Обидві ці прямі лежать у площині у, проходять через точку А і перпендикулярні до прямої а так як і аналогічно як і . Але це суперечить відомій теоремі планіметрії, згідно з якою в площині через кожну точку проходить лише одна пряма, перпендикулярна до цієї прямої.
Отже, припустивши, що через точку А проходять дві площини, перпендикулярні до прямої а, ми дійшли протиріччя. Тому завдання має єдине рішення.
Завдання 2. Через дану точку А, яка не лежить на даній прямій а, провести площину, перпендикулярну до цієї прямої.
Через точку А проводимо пряму b, перпендикулярну до прямої а. Нехай В - точка перетину а та b. Через точку В проводимо ще пряму с, перпендикулярну до прямої а (рис. 2.19). Площина, що проходить через обидві прямі, буде перпендикулярна а за ознакою перпендикулярності (теорема 2).
Як і задачі 1, побудована площина єдина. Справді, візьмемо будь-яку площину, яка проходить через точку А перпендикулярно до прямої а. Така площина містить пряму, перпендикулярну до прямої а і проходить через точку А. Але така пряма тільки одна. Це пряма b, яка проходить через точку В. Значить, площина, що проходить через А і перпендикулярна до прямої а, повинна містити точку В, а через точку В проходить лише одна площина, перпендикулярна до прямої а (завдання 1). Отже, вирішивши ці завдання на побудову та довівши єдиність їх рішень, ми довели наступну важливу теорему.
Теорема 3 (про площину, перпендикулярну до прямої). Через кожну точку проходить площина, перпендикулярна даній прямій, і до того ж лише одна.
Наслідок (про площину перпендикулярів). Прямі, перпендикулярні даній прямій у цій точці, лежать в одній площині і покривають її.
Нехай а - дана пряма і А - якась її точка. Через неї проходить площина. За визначенням перпендикулярності прямої та площини вона покрита
крита прямими, перпендикулярними до прямої а в точці А, тобто. через кожну точку площини а в ній проходить пряма, перпендикулярна до прямої а.
Припустимо, що через точку А проходить пряма , що не лежить у площині а. Проведемо через неї і пряму а площину Р. Площина Р перетне а по деякій прямій з (рис. 2.20). І оскільки виходить, що через точку А в площині Р проходять дві прямі b і с, перпендикулярні до прямої а. Це неможливо. Значить, прямих, перпендикулярних до прямої а в точці А і не лежачих у площині а, немає. Усі вони лежать у цій площині.
Приклад до слідства теореми 3 дають спиці в колесі, перпендикулярні осі: при обертанні вони закреслюють площину (точніше, коло), приймаючи всі положення, перпендикулярні осі обертання.
Теореми 2 та 3 допомагають дати просте рішення наступного завдання.
Завдання 3. Через точку даної площини провести пряму, перпендикулярну до цієї площини.
Нехай дані площину а і точка А в площині а. Проведемо в площині через точку А якусь пряму а. Через точку А проведемо площину , перпендикулярну до прямої а (завдання 1). Площина перетне площину а по деякій прямій b (рис. 2.21). Проведемо в площині Р через точку А пряму, перпендикулярну до прямої b. Так як (оскільки лежить у площині
І), то за теоремою 2 . Єдиність її рішення встановлена у п. 2.1.
Зауваження. Про побудови у просторі. Нагадаємо, що у розділі 1 ми вивчаємо "будівельну геометрію". А в цьому пункті ми вирішили три завдання на побудову у просторі. Що ж розуміють у стереометрії під термінами "побудувати", "провести", "вписати" і т.п.? Спочатку згадаємо про побудови на площині. Вказавши, наприклад, як будувати коло, описане біля трикутника, ми тим самим доводимо її існування. Взагалі, вирішуючи задачу на побудову, ми доводимо теорему існування фігури із заданими властивостями.Це рішення зводиться до складання деякого алгоритму побудови шуканої фігури, тобто до вказівки послідовності виконання найпростіших операцій, що призводять до необхідного результату. кіл і знаходження точок їх перетину, потім за допомогою креслярських інструментів виконується безпосередня побудова фігури на папері або на дошці.
Отже, у планіметрії розв'язання задачі на побудову має як би дві сторони: теоретичну – алгоритм побудови – та практичну – реалізацію цього алгоритму, наприклад, циркулем та лінійкою.
У стереометричної задачі на побудову залишається лише одна сторона – теоретична, тому що немає інструментів для побудови у просторі, аналогічних циркулю та лінійці.
За основні побудови у просторі приймають ті, які забезпечуються аксіомами та теоремами про існування прямих та площин. Це - проведення прямої через дві точки, проведення площини (пропозиції п. 1.1 та аксіома 1 п. 1.4), а також побудова прямої перетину будь-яких двох побудованих площин (аксіома 2 п. 1.4). Крім того, ми, природно, вважатимемо, що можна виконувати планиметричні побудови у вже побудованих площинах.
Вирішити завдання побудувати у просторі - це означає вказати послідовність основних побудов, у яких виходить потрібна постать. Зазвичай явно вказуються в повному обсязі основні побудови, а робляться посилання вже вирішені завдання побудова, тобто. на вже доведені пропозиції та теореми про можливість таких побудов.
Крім побудов – теорем існування у стереометрії, можливі ще два види завдань, пов'язаних із побудовами.
По-перше, завдання малюнку чи кресленні. Такими є завдання на перерізи багатогранників або інших тіл. Ми не будуємо насправді сам перетин, а лише зображаємо його на
малюнку чи кресленні, який ми вже маємо. Такі побудови здійснюються як планиметричні з урахуванням аксіом та теорем стереометрії та правил зображень. Завдання такого типу постійно вирішують у кресленні та в конструкторській практиці.
По-друге, завдання побудувати поверхнях тел. Завдання: "Побудувати точки на поверхні куба, віддалені від даної його вершини на дану відстань" - вирішується за допомогою циркуля (як?). Завдання: "Побудувати точки на поверхні кулі, віддалені від цієї точки на дану відстань" - також вирішується за допомогою циркуля (як?). Завдання такого типу вирішують не під час уроків геометрії - їх постійно вирішує розмітник, зрозуміло, з точністю, якою дозволяють досягти його інструменти. Але, вирішуючи такі завдання, він спирається на геометрію.
Побудова взаємно перпендикулярних прямих і площин є важливою графічною операцією під час вирішення метричних завдань.
Побудова перпендикуляра до прямої або площини ґрунтується на властивості прямого кута, яке формулюється наступним чином: якщо одна зі сторін прямого кута паралельна площині проекцій, а інша не перпендикулярна до неї, то кут проектується в натуральну величину на цю площину.
Малюнок 28
Сторона ВС прямого кута АВС, зображеного малюнку 28, паралельна площині П 1 . Отже, проекція кута АВС на цю площину представлятиме прямий кут А1В1С1=90.
Пряма перпендикулярна площині, якщо вона перпендикулярна двом прямим, що перетинаються, лежать у цій площині. При побудові перпендикуляра з безлічі прямих площин, що належать, вибирають прямі рівні - горизонталь і фронталь. У цьому випадку горизонтальну проекцію перпендикуляра проводять перпендикулярно до горизонталі, а фронтальну -перпендикулярно до фронталі. На прикладі, зображеному малюнку 29, показано побудову перпендикуляра до площині, заданої трикутником АВС, з точки К. Для цього спочатку проводимо горизонталь і фронталь у площині. Потім з фронтальної проекції точки До проводимо перпендикуляр до фронтальної проекції фронталі, та якщо з горизонтальної проекції точки - перпендикуляр до горизонтальної проекції горизонталі. Потім будуємо точку перетину даного перпендикуляра з площиною за допомогою допоміжної січної площини Σ. Шукана точка - F. Таким чином, отриманий відрізок КF є перпендикуляром до площини АВС.
Малюнок 29
На малюнку 29 зображено побудову перпендикуляра КF до площини АВС.
Дві площини перпендикулярні, якщо пряма, що лежить в одній площині, перпендикулярна двом прямої іншої площини, що перетинається. Побудова площини перпендикулярної даної площини АВС показано малюнку 30. Через точку М проводиться пряма МN, перпендикулярна площині АВС. Горизонтальна проекція цієї прямої перпендикулярна АС, оскільки АС є горизонталлю, а фронтальна проекція перпендикулярна до АВ, тому що АВ - фронталь. Потім через точку М проводиться довільна пряма EF. Таким чином, площина перпендикулярна АВС і задана двома прямими EF і MN, що перетинаються.
Малюнок 30
Цей спосіб застосовується визначення натуральних величин відрізків загального становища, і навіть кутів нахилу їх до площин проекцій. Для того щоб визначити натуральну величину відрізка цим способом, необхідно добудувати прямокутний трикутник до однієї з проекцій відрізка. Іншим катетом буде різниця висот або глибин кінцевих точок відрізка, а гіпотенуза - натуральною величиною.
Розглянемо приклад: малюнку 31 дано відрізок АВ загального стану. Потрібно визначити його натуральну величину та кути його нахилу до фронтальної та горизонтальної площин проекцій.
Проводимо перпендикуляр одного з кінців відрізка на горизонтальній площині. Відкладаємо на ньому різницю висот (ZA-ZB) кінців відрізка та добудовуємо прямокутний трикутник. Гіпотенуза є натуральною величиною відрізка, а кут між натуральною величиною і проекцією відрізка - натуральною величиною кута нахилу відрізка до площини П 1 . Порядок побудов на фронтальній площині той самий. По перпендикуляру відкладаємо різницю глибин кінців відрізка (YA-YB). Отриманий кут між натуральною величиною відрізка та його фронтальною проекцією – це кут нахилу відрізка до площини П 2 .
Малюнок 31
1. Сформулюйте теорему про властивість прямого кута.
2. У якому разі пряма перпендикулярна до площини?
3. Скільки прямих і скільки площин перпендикулярних даній площині можна провести через точку простору?
4. Навіщо застосовується спосіб прямокутного трикутника?
5. Як за допомогою цього способу визначити кут нахилу відрізка загального положення горизонтальної площини проекцій?
БУДОВА ВЗАЄМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНИХ ПРЯМІЙ І ПЛОЩИНІ
З усіх можливих положень прямої, що перетинає площину, відзначимо випадок, коли пряма перпендикулярна до площини і розглянемо властивості проекцій такої прямої.
На рис. 185 задана площина, що визначається двома прямими AN і AM, що перетинаються, причому AN є горизонталлю, а AM - фронталлю цієї площини. Пряма АВ, зображена на тому ж кресленні, перпендикулярна до AN і до AM і, отже, перпендикулярна до площини, що визначається ними.
Перпендикуляр до площини перпендикулярний до будь-якої прямої, проведеної в цій площині. Але щоб при цьому проекція перпендикуляра до площини загального положення виявилася перпендикулярною до однойменної проекції будь-якої прямої цієї площини, пряма повинна бути горизонталлю або фронталлю або профільної прямої площини. Тому, бажаючи побудувати перпендикуляр до площини, беруть у випадку дві такі прямі (наприклад, горизонталь і фронталь, як показано на рис. 185).
Отже, у перпендикуляра до площини горизонтальна проекція перпендикулярна до горизонтальної проекції горизонталі, фронтальна проекція перпендикулярна до фронтальної проекції фронталі, профільна проекція перпендикулярна до профільної проекції профільної прямої цієї площини.
Очевидно, у разі коли площина виражена слідами (рис. 186), ми отримуємо наступний висновок: якщо пряма перпендикулярна до площини, то горизонтальна проекція цієї прямої перпендикулярна до горизонтального сліду площини, а фронтальна проекція перпендикулярна до фронтального сліду площини.
Отже, якщо в системі ? Але для профільно-проецірующей площині може виявитися, що пряма до цієї площини не перпендикулярна, хоча проекції прямої перпендикулярні відповідно до горизонтального і фронтального слідів площини. Тому у разі профільно-проецірующей площині треба розглянути також взаємне положення профільної проекції прямої та профільного сліду даної площини і лише після цього встановити, чи перпендикулярні між собою дані пряма і площина.
Очевидно (рис. 187) горизонтальна проекція перпендикуляра до площини зливається з горизонтальною проекцією лінії ската, проведеної в площині через основу перпендикуляра.
На рис. 186 з точки А проведено перпендикуляр пл. a (А "С" ⊥ f" 0a , А "С" ⊥ h" 0a) і показано побудову точки Е, в якій перпендикуляр АС перетинає пл. а. Побудова виконана за допомогою горизонтально-проєкуючої пл. β, проведеної через перпендикуляр АЕ.
На рис. 188 показано побудову перпендикуляра до площини, що визначається трикутником АВС. Перпендикуляр проведено через точку А.
Так як фронтальна проекція перпендикуляра до площини повинна бути перпендикулярна до фронтальної проекції фронталі площини, а горизонтальна проекція перпендикулярна до горизонтальної проекції горизонталі, то в площині через точку А проведені фронталь з проекціями A"D" і A"D" і горизонталь А"Е "А"Е". Звісно, ці прямі необов'язково проводити саме через точку А.
Далі проведено проекції перпендикуляра: M"N" ⊥ A"D", M"N" ⊥ А"Е". Чому проекції на рис. 188 на ділянках A"N" та А"М" показані штриховими лініями? Тому що тут розглядається площина, задана трикутником АВС, а не лише цей трикутник: перпендикуляр знаходиться частково перед площиною, частково за нею.
На рис. 189 і 190 показано побудову площини, що проходить через точку А перпендикулярно до прямої ВС. На рис. 189 площина виражена слідами. Побудова розпочато з проведення через точку А горизонталі шуканої площини: оскільки горизонтальний слід площини повинен бути перпендикулярний до "С", то і горизонтальна проекція горизонталі повинна бути перпендикулярна до "С". Тому A"N" ⊥ В"С. Проекція A"N" || осі х, як це має бути у горизонталі. Потім проведено через точку N" (N" - фронтальна проекція фронтальної сліду горизонталі AN) "С", отримана точка Х a і проведено слід h" 0a || A"N" (h" 0a ⊥ "С").
На рис. 190 площину визначено її фронталлю AM та горизонталлю AN. Ці прямі перпендикулярні до ПС (А "М"" ⊥ В"С", A"N" ⊥ В"С); обумовлена ними площина перпендикулярна до НД.
Так як перпендикуляр до площини перпендикулярний до кожної прямої, проведеної в цій площині, то навчившись проводити площину перпендикулярно до прямої, можна скористатися цим для проведення перпендикуляра з деякої точки А до прямої загального положення ВС. Очевидно, можна намітити наступний план побудови проекцій прямий:
1) через точку А провести площину (назвемо її?), Перпендикулярну до ВС;
2) визначити точку До перетину прямої ПС з пл. ϒ;
3) з'єднати точки А та К відрізком прямої лінії.
Прямі АК та НД взаємно перпендикулярні.
Приклад побудови дано на рис. 191. Через точку А проведено площину (ϒ), перпендикулярну до ВС. Це зроблено за допомогою фронталі, фронтальна проекція A"F" якої проведена перпендикулярно до фронтальної проекції "С" і горизонталі, горизонтальна проекція якої перпендикулярна до "С".
Потім знайдено точку К, в якій пряма ВС перетинає пл. ϒ. Для цього через пряму ВС проведена горизонтально-проеціруюча площина β (на кресленні вона задана тільки горизонтальним слідом β"). Пл. β перетинає пл. ϒ по прямій з проекціями 1"2 і 1"2". У перетині цієї прямої з прямою ПС виходить точка К. Пряма АК є шуканим перпендикуляром до ПС. Справді, пряма АК перетинає пряму ПС і перебуває у пл. ?, перпендикулярної до прямої ВС; отже, АК ⊥ НД.
На рис. 192 зображені площину загального положення а, що проходить через точку А, і перпендикуляр AM до цієї площини, продовжений до перетину пл. п 1 в точці В". 
Кут ф 1 між пл. а та пл. п 1 і кут ф між прямою AM та пл. п 1 є гострими кутами прямокутного трикутника "АМ" і, отже, ф 1 +ф = 90°. Аналогічно, якщо пл. а складає з пл. п 2 кут σ 2 а пряма AM, перпендикулярна к а, складає з пл. п 2 кут σ то σ 2 + σ = 90°. З цього, перш за все, випливає, що площина загальна положення, яка повинна становити з пл. п 1 кут ф 1 з пл. п 2 кут σ 2 може бути побудована, лише якщо 180° > Ф 1 + σ2 > 90°.
Справді, складаючи почленно Ф 1 + Ф = 90° і σ 2 + σ = 90°, отримаємо Ф 1 + σ 2 + Ф + σ = 180°, тобто Ф 1 + σ 2< 180, а так как Ф + σ < 90 , то Ф 1 + σ 2 >90 °. Якщо взяти Ф 1 + σ 2 =90°, то вийде профільно-проецуюча площина, а якщо взяти Ф 1 + σ 2 = 180°, то вийде профільна площина, тобто в обох випадках площина не загального положення, а приватного .
ПОБУДУВАННЯ ВЗАЄМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНИХ ПЛОЩИН
Побудова площини β, перпендикулярна до площини a, може бути зроблена двома шляхами: 1) пл. β проводиться через пряму, перпендикулярну до пл. а; 2) пл. β проводиться перпендикулярно до прямої, що лежить у пл. або паралельної цієї площині. Для отримання єдиного рішення потрібні додаткові умови.
На рис. 193 показано побудову площини перпендикулярної до площини, заданої трикутником CDE. Додатковою умовою тут служить те, що площина, що шукається, повинна проходити через пряму А В. Отже, площина, що шукається, визначається прямою АВ і перпендикуляром до площини трикутника. Для цього перпендикуляра до пл. CDE у ній взяті фронталь CN і горизонталь СМ: якщо B"F" ⊥ C"N" і B"F"⊥C"M", то BF⊥ пл. CDE.
Утворена прямими перетинаються АВ і BF площина перпендикулярна до пл. ШОЕ, оскільки проходить через перпендикуляр до цієї площини. На рис. 194 горизонтально-проецуюча площина проходить через точку К перпендикулярно до площини, заданої трикутником АВС. Тут додатковою умовою була перпендикулярність шуканої площини відразу до двох площин: пл. АВС та до пл. п 1 . Тому й відповіддю служить горизонтально-проецуюча площина. Оскільки вона проведена перпендикулярно до горизонталі AD, т. е. до прямої, що належить пл. АВС, пл. β перпендикулярна до пл. АВС.
Чи може перпендикулярність однойменних слідів площин бути ознакою перпендикулярності самих площин?
До очевидних випадків, коли це так, відноситься взаємна перпендикулярність двох горизонтально-проектуючих площин, у яких горизонтальні сліди взаємно перпендикулярні. Також це має місце при взаємній перпендикулярності фронтальних слідів фронтально-проектуючих площин; ці площини взаємно перпендикулярні.
Розглянемо (рис. 195) горизонтально-проецуючу площину, перпендикулярну до площини загального положення а.
Якщо пл. β перпендикулярна до пл. л, п 1 пл. а, то β⊥h" 0a як до лінії перетину пл. а і пл. п 1. Звідси h" 0a ⊥ β і, отже, h" 0a ⊥ β , як до однієї з прямих у пл. β.
Отже, перпендикулярність горизонтальних слідів площини загального становища і горизонтально-проекції відповідає взаємної перпендикулярності цих площин.
Вочевидь, перпендикулярність фронтальних слідів фронтально-проецирующей площині і загального становища також відповідає взаємної перпендикулярності цих площин.
Але якщо однойменні сліди двох площин загального положення взаємно перпендикулярні, то площини не перпендикулярні між собою, оскільки тут не дотримується жодна з умов, викладених на початку цього параграфа.
На закінчення розглянемо рис. 196. Тут має місце випадок взаємної перпендикулярності однойменних слідів в обох парах і перпендикулярності самих площин: обидві площини особливого (приватного) положення - профільна ϒ і профільно-проецуюча а.
| Вербальна форма | Графічна форма |
| 1. Відомо, що для побудови прямої, перпендикулярної площини необхідно побудувати горизонталь і фронталь у площині. а) Зауважимо, що побудова перпендикуляра спрощується, оскільки сторони площини Q(D АВС) є прямими рівня: АВ (А 1 В 1 ; А 2 В 2) – фронталь АС (А 1 С 1 ; А 2 С 2) – горизонталь . б) Візьмемо на прямий lдовільну точку К | |
| 2. Через точку К, що належить прямий l,проводимо пряму n^ Q, тобто. n 1 ^ A 1 C 1 і n 2 ^ A 2 В 2 . Шукана площина буде визначатися двома прямими, що перетинаються, одна з яких задана – l, а інша – nє перпендикулярною до заданої площини: P( l n) Q (D ABC) |  |
Кінець роботи -
Ця тема належить розділу:
Нарисна геометрія - Т.В. Кришталева
Якщо Вам потрібний додатковий матеріал на цю тему, або Ви не знайшли те, що шукали, рекомендуємо скористатися пошуком по нашій базі робіт:
Що робитимемо з отриманим матеріалом:
Якщо цей матеріал виявився корисним для Вас, Ви можете зберегти його на свою сторінку в соціальних мережах:
| Твітнути |
Всі теми цього розділу:
НАРИСНА ГЕОМЕТРІЯ
Рекомендовано Далекосхідним регіональним навчально-методичним центром як навчальний посібник для студентів спеціальності 210700 “Автоматика, телемеханіка та зв'язок на жел
Геометричні образи
1. Площина проекцій: p – довільна; p1 – горизонтальна; p2 – фронтальна; p3 – профільна; S - центр проец
Позначення теоретико-множинні
Сутність методу проектування полягає в тому, що проекція Аp деякого геометричного обр
Проеціювання центральне
Центральним називається проектування, при якому всі проекції промені виходять з однієї точки S, званої центром проектування. На рис. 1.3 дано приклад центрального проектування, де p – плоско
Проеціювання паралельне
Паралельним називається проектування, при якому всі проецірующие промені між собою паралельні. Паралельні проекції можуть бути косокутними (рис.1.7) та прямокутними (рис. 1.8).
Властивості ортогональних проекцій
1. Проекція точки є крапкою (рис. 1.9). Рис. 1.9 2. Проекція прямої загалом
Оборотність креслення. Метод Монжу
Розглянутий у § 2 та § 3 спосіб проектування на одну площину проекцій дає можливість вирішити пряме завдання (маючи предмет, можна знайти його проекцію), але не дозволяє вирішити обернене завдання (має
Система двох взаємно перпендикулярних площин
Оборотність креслення, як про це говорилося раніше, тобто однозначне визначення положення точки в просторі за її проекціями, може бути забезпечена проектуванням на дві взаємно перпендикулярні
Система трьох взаємно перпендикулярних площин
На практиці дослідження та побудови зображень система двох взаємно перпендикулярних площин не завжди дає можливість однозначного розв'язання. Так, наприклад, якщо перемістити точку А вздовж осі
Комплексне креслення та наочне зображення точки в I–IV октантах
Розглянемо приклад побудови точок А, У, З, D у різних октантах (табл. 2.4). Таблиця 2.4 Октант Наочне зображення
загальні положення
Лінія – це одновимірний геометричний образ, що має довжину; безліч всіх послідовних положень точки, що рухається. За визначенням Евкліда: "А лінія - довжина без ширини". Стать
Прямі рівні
Визначення Наочне зображення Комплексне креслення Горизонталлю називають будь-яку лінію, паралельну горизонтальній
Проєціруючі прямі
Визначення Наочне зображення Комплексний креслення Горизонтально проеціюючу пряму називають пряму, перпендикулярну
Побудова третьої проекції відрізка за двома заданими
У прикладі ми будемо розглядати побудову прямої загального становища у першій чверті (табл. 3.3). Таблиця 3.3 Вербальна форма
Спосіб прямокутного трикутника. Визначення натуральної величини відрізка прямої лінії та кутів нахилу прямої до площин проекцій
Побудова проекцій відрізка прямого загального та приватного положення дозволяє вирішувати не тільки позиційні завдання (розташування щодо площин проекцій), а й метричні – визначення довжини від
Визначення натуральної величини відрізка прямого загального стану
Для визначення натуральної величини відрізка прямої лінії загального положення за її проекціями застосовують метод прямокутного трикутника. Розглянемо послідовність цього (табл.
загальні положення
Дві прямі у просторі можуть мати різне розташування: перетинатись (лежати в одній площині). Окремий випадок перетину - під прямим кутом; можуть бути паралельні
Визначення видимості прямих щодо площин проекцій
Для визначення видимості прямих щодо площин проекції використовують конкуруючі точки. Розглянемо комплексне креслення прямих а і b, що схрещуються (рис. 4.1 і рис. 4.2). Визначимо, яка
Алгоритм побудови прямих перетинів
Вербальна форма Графічна форма 1. Через точку провести пряму h|| p1 і перетинає пряму а
Площини проецірующие
Визначення Наочне зображення Комплексний креслення Горизонтально-проєкувальною площиною називають площину, перпендику
Площини рівня
Характеристика Наочне зображення Епюр Фронтальна площина - це площина, паралельна площині p2. Ця
Прямі особливі положення в площині
Прямими особливого положення у площині є горизонталь h, фронталь f та лінії найбільшого нахилу до площин проекцій. Розглянемо графічне зображення цих ліній (табл. 5.6). Та
Алгоритм побудови фронталі
Вербальна форма Графічна форма Дана площина a(a||b), отже, a1 || b1; a2
Алгоритм побудови другої проекції точки К
Вербальна форма Графічна форма Площина a – задана плоскою фігурою a (D АВС), K2 – фронтальна проекція точки K
Алгоритм побудови площини, паралельної даній
Вербальна форма Графічна форма 1. Для вирішення задачі в даній площині Р(D АBC) беруться будь-які прямі, що перетинаються. Наприклад, АВ
Площини перетинаються
Дві площини перетинаються прямою лінією. Для побудови лінії їхнього перетину необхідно знайти дві точки, що належать цій лінії. Завдання спрощується, якщо одна з площин, що перетинаються
Алгоритм побудови прямої, паралельної площині
Вербальна форма Графічна форма 1. Побудуємо у площині Р(D АВС) пряму А1, що належить площині Р
Алгоритм перетину прямої лінії з площиною загального положення
Вербальна форма Графічна форма 1. Щоб побудувати точку перетину прямої l з площиною
Алгоритм побудови перпендикуляра до площини
Вербальна форма Графічна форма 1. Щоб побудувати перпендикуляр до площині Р(D АВС) через точку D, необхідно спочатку по
До глави 3
1. Побудувати проекції прямої АВ (рис. 3), якщо вона: а) паралельна p1; б) паралельна p2; в) паралельна ОХ; г) перпендикулярна p1
До глави 5
У площині, заданій двома паралельними прямими, побудувати фронталь на відстані 15 мм від p1 (рис. 9):
До глави 6
1. Дана площина Р(а|| b) і фронтальна проекція m2 прямої m, що проходить через точку D. Побудувати горизонтальну проекцію прямої m1 так, щоб пряма m була паралельна плоскій
Тести до розділу 3
Виберіть відповідність позначення відрізка АВ його зображення (рис. 6): 1. АВ || p 1 2. АВ | p 2 3. АВ ^ p 1 4.
Тести до розділу 6
1. На якому з креслень (рис. 12) площина S (D АВС) паралельна площині Р(m C n).
Рекомендований бібліографічний список
1. ГОСТ 2.001-70. Загальні засади // У зб. Єдина система конструкторської документації. Основні положення. - М.: Вид-во стандартів, 1984. - С. 3-5. 2. ГОСТ 2.104-68. Основні написи //
У рамках цієї теми необхідно вміти:
- 1. Задавати площину перпендикулярну до прямої.
- 2. Задавати пряму, перпендикулярну до площини.
При вирішенні цих взаємозалежних завдань важливо розуміти, як мають бути спрямовані проекції перпендикуляра щодо проекцій площини. Для цього вирішимо завдання А і Б.
Завдання А
Умови. Через точку А, взяту на прямій гп, провести площину, перпендикулярну до цієї прямої.
Рішення. Відомо що площина перпендикулярна до прямої, сіли дві прямі, розташовані в цій площині, перпендикулярні до заданої прямої.
Тому в нашому випадку через точку А достатньо провести дві прямі, кожна з яких була б перпендикулярна до т. Тоді ці прямі в парі визначать потрібну площину.
Нехай однією із прямих, що визначають цю площину, стане горизонталь. Її фронтальна проекція 1 пройде горизонтально (рис. 4.7), а горизонтальна проекція h| - під прямим кутом до m 1 (на підставі теореми про проекції прямого кута).
Другий прямий, що визначає потрібну площину, буде фронталь. Ес горизонтальна проекція f| пройде горизонтально.
а фронтальна проекція f2 - йод прямим кутом до mi (на підставі тієї ж таки теореми).
Рис. 4.7
Таким чином, завдання вирішено. Аналізуючи її, ми можемо помітити, що до побудованої площини (f х h) задана пряма m є перпендикуляр. Звідси випливає важливий практичний висновок:
горизонтальна проекція перпендикуляра до площини повинна проходити під прямим кутом горизонтальної проекції горизонталі, а фронтальна проекція - під прямим кутом до фронтальної проекції фронталі.
Завдання Б
умови. Опустити перпендикуляр з точки В на площину DEF (з визначенням його видимості та відношення до площини).
Рис. 4.8а – графічні умови завдання
Рис. 4.86
Рис. 4.8в - визначення основи та натуральної величини перпендикуляра
Рішення. Спочатку викреслимо проекції DEF і (рис. 4.8а).
Приступивши до розв'язання задачі, виділимо в ній три
характерні етапи:
- 1. Побудова напрямків проекцій перпендикуляра.
- 2. Побудова основи перпендикуляра (точки його перетину з площиною).
- 3. Визначення натуральної величини перпендикуляра.
Виконаємо ці побудови. Спочатку намітимо напрямок
проекцій перпендикуляра Для цього попередньо в площині DEF необхідно провести горизонталь h і фронталь f, які є орієнтирами для його проекцій.
Тепер знайдемо основу перпендикуляра як точку перетину отриманої прямої з площиною DEF. Це завдання вже знайоме (див. п. 3.3.4). У розглянутому прикладі шукана точка К лежить поза трикутника, що обмежує площину (рис. 4.8в). Вона розташована на прямій 2-3, яка, за побудовою, належить площині DEF. Значить, їй належить і точка К. Якщо проекції перпендикуляра частково або повністю затуляються проекціями трикутника DEF, то додатково необхідно визначити видимість перпендикуляра по відношенню до площини.
Натуральна величина перпендикуляра ВК може бути знайдена будь-яким із методів, розглянутих раніше в. 2.2. На малюнку 4.8в цієї мети використано метод прямокутного трикутника.
Зазначимо, що це завдання найчастіше формулюється як визначення відстані від точки до площині трикутника DEF.
