Чернова. Курс лекцій з мат

Ще фільтри

У репетитора чи учня

У репетитора

Учня

Дистанційно

Ціна за годину

Від

До

Показувати

Тільки з фото

Тільки з відгуками

Тільки перевірені

Аспірант

Шкільний викладач

Викладач вишу

Приватний викладач

Носій мови

Більше 10 років

Старше 50 років

Статистика:

501 репетитор знайдено

2260 відгуків залишено учнями

Середня оцінка: 4,5 5 1 Середня оцінка репетиторів, знайдених за фільтром

Знайдено 501 репетитор

Скинути фільтри

ОДЕ (ДІА) ЄДІ підготовка до олімпіадшкільний курс Алгебра Аналітична геометрія Вища математика+8 Геометрія Комбінаторика Лінійна алгебра Математична статистика Математичний аналіз прикладна математика Теорія імовірностіТригонометрія

Діти 6-7 років Школярі 1-11 класівСтуденти Дорослі

м. Озерна м. Південно-Західна м. Кунцевська (філівська)

Викладач вишу Стаж 17 років

від 2 000 руб/год

У репетитора

Дуже ефективний репетитор та талановитий педагог – вміє так подати програму вищої математики ВНЗ, що курс математики з нічного кошмару став прикрою. необхідністю – при тому, що зі шкільного курсу студентка впевнено знала лише програму 5-6 класу.Всі відгуки (46)

Аналітична геометрія Варіаційний обчислення Векторний аналіз +33 Вища математикаГеометрія Дискретна математика Диференціальна геометрія Диференційне рівнянняКомбінаторика Лінійна алгебра Лінійна геометрія Лінійне програмування Математична статистика Математична фізика Математичні моделі Математичний аналіз Методи оптимальних рішень Методи оптимізації Оптимальне керування прикладна математикаСопромат Тензорний аналіз Теоретична механіка Теорія імовірностіТеорія графів Теорія ігор Теорія оптимізаціїТеорія чисел Топологія Тригонометрія ТФКП Рівняння у приватних похідних Рівняння математичної фізики Фінансова математика Функціональний аналізЕконометрика

Школярі 9-11 класівСтуденти Дорослі

м. Бульвар Дмитра Донського

Викладач вишу Стаж 44 роки

від 1 500 руб/год

Репетитор з математичної статистики

У репетитора

Лікар фізико-математичних наук. Провідний науковий співробітник МДУ (механіко-математичний факультет), професор факультету додаткової освіти МДІМВ, входив до складу екзаменаційних комісій з математики МДУ, МДІМВ, МДУДТ.

Олексій Васильович саме той викладач, якого ми довго шукали. Вміє знайти підхід до учня та грамотно подати навчальний матеріал. Всі відгуки (29)

Школярі 10-11 класівСтуденти

м. Раменки

Приватний викладач Стаж 11 років

від 1 600 руб/год

Репетитор з математичної статистики

Призер Олімпіади Ломоносов 2007 з предметів - усна та письмова математика, твір. Учасник міжфакультетського спецкурсу олімпіадних завдань Розгорнути кафедри математичного аналізу Мех-мату МДУ. Досвід ведення гуртків малого мех-мату 2007-2012. Факультативної математики в ліцеї 1553 року. Вчитель алгебри, геометрії, інформатики, англійської мови в ліцеї 1553 року в 2011 році. Супровід навчання дітей у мовних таборах Англії та Мальти 2011-2012. Трирічний досвід управління роздрібом у центральному апараті найбільшого банку СНД. Проводжу заняття з використанням графічного планшета Wacom та онлайн дошки (платною, у якої є можливість використовувати і кілька осіб одночасно, одночасне редактивування, відео та звук спільні). Після зайняття посилання на кімнату залишаються - учень завжди має доступ до написаного на уроці та має доступ до записів за весь час курсу, всі матеріали написані на дошці так само надсилаються клієнту у форматі пдф. Використовується для зв'язку як скайп, так і сама онлайн-кімната. Кількість учнів підготовлених до іспитів – понад 100, готував до ОДЕ, ЄДІ надходження до ліцеїв при МІФІ, МДУ. Готував до складання іспитів студентів різних вузів МДУ мех-мат, фізфак, економфак, МПГУ, Плеханова, Фінансова Академія при президенті, МДІМВ, МІФІ тощо. Готую дітей до олімпіад Всеросійська, Ломоносов та Вузовські при Баумана та Міфі, МФТІ. Викладання – моя основна діяльність. Також готую до вступу в Англійські та Швейцарські коледжі. Складання єдиного іспиту A-level англійською з математики-фізики. Підготовляю школярів до здачі англійської ОДЕ та ЄДІ.

Займався в Олексія Олександровича, за місяць встиг з ним підготуватися на перескладання математичного аналізу. Виразно і зрозуміло пояснив мені предмет, Розгорнути здав без проблем завдяки йому.Всі відгуки (52)

ОГЕ (ДІА) ЄДІ шкільний курс Алгебра Аналітична геометрія Вища математикаГеометрія +12 Дискретна математика Диференційне рівняння Лінійна алгебра Лінійна геометрія Математична статистика Математичний аналіз Англійською мовою Теорія імовірностіТеорія графів Теорія ігор Тригонометрія Економетрика

Школярі 1-11 класівСтуденти Дорослі

м. Червоногвардійська

Приватний викладач Стаж 9 років

від 1 500 руб/год

Репетитор з математичної статистики

У репетитора, у учня дистанційно

Випускник хутра-мату МДУ. Є досвід роботи у банківській сфері як аналітик, досвід роботи системним аналітиком у сфері IT розробки. Знання Розгорнути програмування, реляційних баз даних (SQL). Перший розряд з шахів. Є успішний досвід роботи з усіма категоріями учнів: Школярі (ОДЕ, ЄДІ, підвищення успішності) Студенти (практично всі розділи вищої математики та механіки) Дорослі (заняття "для себе", допомога з робочими питаннями).

«Математик – це той, хто вміє знаходити аналогію між твердженнями. Найкращий математик – хто встановлює аналогії доказів. Сильніший може помітити аналогії теорій. Але є й такі, хто між аналогіями бачить аналогії»
Стефан Банах

Математична статистика для чайників

Найчастіше математичну статистику вивчають разом із теорією ймовірностей(курс "Теорія ймовірностей та математична статистика", ТВіМС). Корисні матеріали з теорії ймовірностей (онлайн підручник, калькулятори, приклади рішень тощо) ви .

Теми: 1. Генеральна сукупність та вибірка 2. Порівняння середніх 3. Кореляція та регресія.

On-line ресурси

• Клоков С.А., завдання з теорії ймовірностей та математичної статистики. Для студентів математичних спеціальностей, завдання з відповідями, деякі рішення.
• Маніта А. Д., Теорія ймовірностей та математична статистика. Книжка орієнтована на студентів природничих факультетів Московського державного університету ім. М.В. Ломоносова. Окрім інформації про друковану версію підручника, ви знайдете на цьому сайті повний текст книги, включаючи короткі статистичні таблиці.

  Основні розділи змісту:Події та їх ймовірності. Дискретні випадкові величини та його розподілу. Загальні довільні величини. Спільний розподіл загальних випадкових величин. Граничні закони теорії ймовірностей. Огляд методів математичної статистики. Метод найменших квадратів. Довірчі інтервали. Статистичні гіпотези. Таблиці (стандартний нормальний закон, квантили хі-квадрат розподілу, квантили розподілу Стьюдента).

• Чернова Н. І., Лекції з математичної статистики Семестровий курс лекцій. Дуже докладний та ясний, рекомендується для студентів-економістів.
• Електронний підручник з математичної статистики.
  

  Підручник включає: 1) Курс лекцій з математичної статистики: В.В. Шеломовський. Математична статистика (Мурманськ: МДПУ, 2005. – 128 с.), 2) Цикл лабораторних робіт, виконаних за допомогою Maple, що дозволяють краще зрозуміти методики розрахунків, 3) Цикл тестів для перевірки знань.

Бажаєте знайти репетитора з математичної статистики в Москві? У нашій базі їх – 164!

Якщо у Вас немає часу вибирати репетитора з математичної статистики самостійно, переглядаючи всі анкети, Ви можете написати, який саме репетитор Вам потрібен, та адміністратор безкоштовнопідбере Вам потрібні варіанти.

Репетитори математичної статистики

Приватний репетитор математичної статистики в Москві.
Навчання школярів 5 - 11   класів, студентів, дорослих. Підготовка до ЄДІ, ОДЕ. Якісне проходження шкільної програми. Підготовка до всіх провідних фізико-математичних шкіл, ліцеїв. Допомога учням, які самостійно вивчають математику. Можливі літні заняття.
Можливі заняття в міні-групі (2-4 особи) за ціною, нижчою за офіційну.
Працюю на результат. Застосовую метод навчання, у якому учні найповніше розвивають свої здібності і логічне мислення, і навіть зацікавлюються математикою. Працюю за спеціальними власними посібниками та методиками (до речі, що пройшли перевірку на практиці)...
  

• Вартість заняття: 1500 руб. / 60 хв
• Предмети:
• Місто:Москва
• Найближчі станції метро:Електрозаводська, Авіамоторна
• Виїзд додому:ні
• Статус:Шкільний викладач
• Освіта:Навчався у фізико-математичній школі ім. А. Н. Колмогорова (нині СУНЦ при МДУ) у 1986-1988 роках. Закінчив фізичний факультет МДУ ім. М. В. Ломоносова у 1994 році. Працюю в школі вчителем математики з 1994 року.

Математика учням 2-11 класів, абітурієнтам, студентам. Підготовка до ЄДІ з математики. Підготовка до олімпіади ГУ-ВШЕ та вступних іспитів до МДУ. Допомога по всіх розділах шкільної програми, досвід роботи в школі. Консультації студентам з усіх розділів вищої математики (математичний аналіз, лінійна алгебра, аналітична геометрія, теорія ймовірностей, математична статистика, економетрика, дискретна математика та інші).
  

• Вартість заняття: 2000 руб. / 60 хв
• Предмети:
• Місто:Москва
• Найближча станція метро:Кунцевська
• Виїзд додому:можливий
• Статус:Викладач вишу
• Освіта:Московський державний університет ім. М. В. Ломоносова (МДУ), Механіко-Математичний факультет, 1981 закінчення. Кандидат фізико-математичних наук. Викладаю у ГУ-ВШЕ.

Репетитор з математичної статистики.
Підготовка до ЄДІ, ДІА. Підготовка студентів з будь-яких рядків математики, усунення прогалин у школярів та студентів. Підготовка абітурієнтів до вступних іспитів до будь-яких вузів. Інформатика та програмування.
  

• Вартість заняття: 1500 руб. / 60 хв
• Предмети:Математика, Математичний аналіз, Теорія ймовірностей, Інформатика
• Міста:Москва, Красногірськ
• Найближчі станції метро:Молодіжна, Строгіне
• Виїзд додому:можливий
• Статус:Приватний викладач
• Освіта:МДУ ім. М. В. Ломоносова, Механіко-математичний факультет, 1996 закінчення.

Індивідуальний репетитор з математичної статистики.
Математика: підготовка до ЄДІ та ГІА, алгебра (включаючи тригонометрію, арифметику, математичну логіку), геометрія (планіметрія, стереометрія), математичний аналіз, вища математика, теорія ймовірностей, лінійна алгебра, дискретна математика та інші дисципліни до іспитів у ВНЗ. Фізика: шкільна програма, підготовка до ЄДІ, ДІА.
Географія: шкільна програма, підготовка до ЄДІ, ДІА.
Підхід до кожного учня індивідуальний. Ви мені кажете результат, який хочете отримати від цих занять, і ми разом його домагаємось.
Підхід до кожного учня індивідуальний.
  

• Вартість занять: 60 хвилин/2200-2900 рублів (залежно від місця проведення заняття та рівня підготовки);
  90 хвилин/3200 - 4000 рублів (залежно від місця проведення заняття та рівня підготовки);
  120 хвилин/410...
• Предмети:Математика, Фізика, Географія, Теорія ймовірностей
• Міста:Москва, Одинцове
• Найближча станція метро:Крилатське
• Виїзд додому:можливий
• Статус:Приватний викладач
• Освіта:МДУ ім. М. В. Ломоносова, механіко-математичний факультет, випуск 2010 р. Середній бал – 4,5. Школу закінчив із медаллю.

Приватний викладач із математичної статистики.
Підготовка школярів до ЄДІ та внутрішніх іспитів, до вступу до закордонних шкіл, допомога студентам у ліквідації прогалин з матаналізу, ТФКП, вищої математики (лінійна алгебра, аналітична геометрія, вища математика).
Сертифікований експерт ЄДІ з математики, 12-річний досвід підготовки до ЄДІ, стаж репетиторства – понад 30 років. Учні вступають на бюджет на економічний факультет МДУ, ГУ-ВШЕ, ФА. Є успішний досвід підготовки до GSCE, A-Level.
  

• Вартість занять: 60 хвилин/2000 руб.;
  120 хвилин / 4000 руб.
• Предмети:Математика, Математичний аналіз, Теорія ймовірностей, Лінійна алгебра
• Місто:Москва
• Найближчі станції метро:Китай-місто, Луб'янка
• Виїзд додому:можливий
• Статус:Викладач вишу
• Освіта:Уральський педагогічний інститут, фізико-математичний факультет, 1982 закінчення, диплом з відзнакою. Кандидат фізико – математичних наук, доцент державного університету.

• Вартість занять: 1500 р.-2000 р. / 60 хв. Залежно від класу.
• Предмети:Математика, Математичний аналіз, Лінійна алгебра, Теорія ймовірностей
• Місто:Москва
• Найближча станція метро:Новогірієво
• Виїзд додому:можливий
• Статус:Шкільний викладач
• Освіта:Свердловський педагогічний інститут, спеціальність: математика, інформатика та ВТ, 1991 рік закінчення.

Досвідчений викладач із математичної статистики.
Професійна та якісна підготовка до 9-их класів Ліцею НДУ ВШЕ у 2019 році. Інтенсивна робота з варіантів Комплексних тестів НДУ ВШЕ, а також з завдань, які суворо відповідають екзаменаційним варіантам! Ретельне відпрацювання методів вирішення всіх завдань Комплексного тесту! Учень буде підготовлений якісно!
Систематизація знань за 5 – 11 класи. Ефективне та значне підтягування за програмою (алгебра та геометрія). Забезпечення стабільно високої успішності (на "4" та "5"). Ретельна підготовка до ОДЕ – 2019 року. Навчання розв'язання задач I-ої та II-ї частини варіантів ОДЕ.
  

Репетитор з математичної статистики.
Школярі 5-11 класи, абітурієнти (Підготовка до МДУ або до завдань С5 та С6 на ЄДІ), студенти (заняття з загального курсу вищої математики: математичний аналіз, аналітична геометрія, лінійна алгебра, теорія ймовірностей).
Даю досить серйозні заняття з авторських матеріалів, індивідуально підібраних завдань під кожного учня. Крім того, розбираю складні олімпіадні номери та С6 з ЄДІ.
Мінімальна ціна заняття 90 хв. 3300 руб.
Якщо підготовка до МДУ або до завдань С5 та С6 на ЄДІ – в межах 3800-4000р.
Професійний репетитор з математики. Гарантована якість роботи. Індивідуальний підхід та підбір методики для кожного учня.
  

• Вартість заняття: 2200 руб. / 60 хв
• Предмети:Математика, Математичний аналіз, Теорія ймовірностей, Лінійна алгебра
• Місто:Москва
• Найближча станція метро:Щукінська
• Виїзд додому:ні
• Статус:Приватний викладач
• Освіта:Вища педагогічна освіта: математичний факультет МПГУ. Закінчив у 1996 році.

Кваліфікований репетитор з математичної статистики.
Предмети: Математика (шкільна та вища, ОДЕ та ЄДІ), Фізика (шкільна, ОДЕ та ЄДІ), Теорія ймовірностей, Математична статистика, Комбінаторика.
Школярі, абітурієнти, студенти. Підготовка до будь-якого вузу, ЄДІ, Олімпіади. Предмети: математика, фізика, математичний аналіз, лінійна алгебра, аналітична геометрія, теорія ймовірностей, математична статистика, довільні процеси.
Викладач підготовчих курсів до ВНЗ.
  

• Вартість занять:Моя ставка вдома в м. Довгопрудний - 3000 руб./60 хв. , на виїзді у учня – 3700 руб./60 хв. , Дистанційні заняття (скайп) - 2700 руб. / 60 хв.
• Предмети:Математика, Фізика, Теорія ймовірностей, Математичний аналіз
• Міста:Москва, Лобня, Довгопрудний, Дмитров
• Найближчі станції метро:Алтуф'єво, Річковий Вокзал
• Виїзд додому:можливий
• Статус:Викладач вишу
• Освіта:Московський фізико-технічний інститут (МФТІ), факультет управління та прикладної математики, кандидат технічних наук, вчене звання "Старший науковий співробітник", доцент кафедри вищої математики...

Досвідчений репетитор з математичної статистики.
Математика та фізика для школярів середніх та старших класів, студентів, дорослих, підготовка до ОДЕ та ЄДІ. Заняття з вступниками до ВНЗ. Індивідуальні заняття – максимально ефективні. Великий викладацький досвід гарантує успішне вивчення найскладніших питань.
  

• Вартість занять:Математика та фізика: 90 хв./900 руб для школярів.
  Студентам та дорослим 90 хв./1200 руб.
• Предмети:Математика, Математичний аналіз, Фізика
• Міста:Москва, Жуковський, Жуковський, Жуковський, Жуковський
• Найближчі станції метро:Котельники, Вихіно
• Виїзд додому:можливий
• Статус:Приватний викладач
• Освіта:МДУ ім. М. Ст Ломоносова, фізфак, кафедра математики для фізичного факультету, 1976 рік. Російська академія підприємництва, 1994

Міністерство Російської Федерації зі зв'язку та інформатизації

Сибірський державний університет телекомунікацій та інформатики

М. І. Чернова

МАТЕМАТИЧНА

СТАТИСТИКА

Навчальний посібник

Новосибірськ

Доцент, канд. фіз.-мат. наук Н. І. Чернова. Математична статистика: Навчальний посібник/СібГУТІ.- Новосибірськ, 2009.- 90 с.

Навчальний посібник містить піврічний курс лекцій з математичної статистики для студентів економічних спеціальностей. Навчальний посібник відповідає вимогам Державного освітнього стандарту до професійних освітніх програм зі спеціальності 080116 – «Математичні методи економіки».

Кафедра ММШП Табл. 7, малюнків – 9, список літ. - 8 найм.

Рецензенти: А. П. Ковалевський, канд. фіз.-мат. наук, доцент кафедри вищої математики НДТУ В. І. Лотов, д-р фіз.-мат. наук, професор кафедри

теорії ймовірностей та математичної статистики НГУ

Для спеціальності 080116 – «Математичні методи в економіці»

Затверджено редакційно-видавничою радою СібДУТІ як навчальний посібник

c Сибірський державний університет

телекомунікацій та інформатики, 2009 р.

§ 5. Властивості вибіркових моментів. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

§ 6. Гістограма як оцінка щільності. . . . . . . . . . . . . . . . . 14

§ 7. Питання та вправи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Глава II. Точкове оцінювання. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

§ 1. Точкові оцінки та їх властивості. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

§ 2. Метод моментів. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

§ 1. Гіпотези та критерії. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

§ 2. Питання та вправи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Глава VII. Критерії згоди. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

§ 1. Загальний вигляд критеріїв згоди. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

§ 2. Перевірка простих гіпотез про параметри. . . . . . . . . . . . . . 53

§ 3. Критерії для перевірки гіпотези про розподіл. . . . . . . . 56

§ 4. Критерії для перевірки параметричних гіпотез. . . . . . . . 59

§ 5. Критерії для перевірки однорідності. . . . . . . . . . . . . . . 61

§ 6. Критерій 2 для перевірки незалежності . . . . . . . . . . . . . 70

§ 7. Питання та вправи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

§ 2. Метод максимальної правдоподібності.. . . . . . . . . . . . . . . 74

§ 3. Метод найменших квадратів.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

ПЕРЕДМОВА

Навчальний посібник містить повний курс лекцій з математичної статистики для студентів, які навчаються за спеціальністю «Математичні методи економіки» Сибірського державного університету телекомунікацій та інформатики. Зміст курсу повністю відповідає освітнім стандартам підготовки бакалаврів із зазначеної спеціальності.

Курс математичної статистики спирається на семестровий курс теорії ймовірностей та є основою для річного курсу економетрики. В результаті вивчення предмета студенти повинні опанувати математичні методи дослідження різних моделей математичної статистики.

Курс складається із восьми розділів. Перший розділ є головним для розуміння предмета. Вона знайомить читача із основними поняттями математичної статистики. Другий розділ присвячений методам точкового оцінювання невідомих параметрів розподілу: моментів та максимальної правдоподібності.

Третій розділ розглядає порівняння оцінок у середньоквадратичному сенсі. Тут же вивчається нерівність Рао-Крамера як засіб перевірки ефективності оцінок.

У четвертому розділі розглядається інтервальне оцінювання параметрів, яке завершується у наступному розділі побудовою інтервалів для параметрів нормального розподілу. Для цього вводяться спеціальні статистичні розподіли, які потім використовуються за умов згоди у восьмому розділі. Глава шоста дає необхідні основні поняття теорії перевірки гіпотез, тому вивчити її читачеві слід дуже ретельно.

Нарешті, глави сьома і восьма дають перелік найчастіше використовуваних практично критеріїв згоди. У дев'ятому розділі розглянуто прості моделі та методи регресійного аналізу та доведено основні властивості отриманих оцінок.

Практично кожен розділ завершується списком вправ за текстом розділу. Додаток містить таблиці з переліком основних характеристик дискретних та абсолютно безперервних розподілів, таблиці основних статистичних розподілів.

Наприкінці книги наведено докладний предметний покажчик. У списку літератури перераховані підручники, які можна використовувати на додаток до курсу та збірники завдань для практичних занять.

Нумерація параграфів у кожному розділі окрема. Формули, приклади, затвердження тощо мають наскрізну нумерацію. При посиланні на об'єкт з іншого розділу для зручності читача вказано номер сторінки, де міститься об'єкт. При посиланні об'єкт із тієї ж глави наводиться лише номер формули, прикладу, затвердження. Закінчення доказів позначено значком.

Глава I

ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ МАТЕМАТИЧНОЇ СТАТИСТИКИ

Математична статистика спирається на методи теорії ймовірностей, але вирішує інші завдання. Теоретично ймовірностей розглядаються випадкові величини із заданим розподілом чи випадкові експерименти, властивості яких цілком відомі. Але звідки беруться знання про розподіли у практичних експериментах? З якою ймовірністю, наприклад, випадає герб на цій монеті? Для визначення цієї можливості ми можемо підкидати монету багато разів. Але у будь-якому разі висновки доведеться робити за результатами кінцевого числа спостережень. Так, спостерігаючи 5035 гербів після 10 000 кидань монети, не можна зробити точний висновок про ймовірність випадання герба: навіть якщо ця ймовірність відрізняється від 0,5, герб може випасти 5035 разів. Точні висновки про розподіл можна робити лише тоді, коли проведено нескінченну кількість випробувань, що неможливо. Математична статистика дозволяє за результатами кінцевого числа експериментів робити більш-менш точні висновки про розподіл випадкових величин, що спостерігаються в цих експериментах.

§ 1. Завдання математичної статистики

Припустимо, що ми повторюємо той самий випадковий експеримент в однакових умовах. У результаті кожного повторення експерименту спостерігається деякий набір даних (числових чи інших).

У цьому виникають такі питання.

1. Якщо спостерігається одна випадкова величина - як із набору її значень у кількох експериментах зробити можливо точніший висновок про її розподіл?

2. Якщо спостерігається прояв двох або більше ознак, - що можна сказати про вид і силу залежності випадкових величин, що спостерігаються?

Часто можна висловити деякі припущення про розподіл або про його властивості. У цьому випадку за досвідченими даними потрібно підтвердити або спростувати ці припущення (гіпотези). При цьому треба пам'ятати, що відповідь «так» чи «ні» може бути дана лише з певним ступенем достовірності, і що довше ми можемо продовжувати експеримент, то точніше можуть бути висновки. Іноді можна заздалегідь стверджувати про наявність

8 ГЛАВА I. ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ МАТЕМАТИЧНОЇ СТАТИСТИКИ

деяких властивостей спостережуваного експерименту - наприклад, про функціональну залежність між величинами, що спостерігаються, про нормальність розподілу, про його симетричність, про наявність у розподілу щільності або про його дискретний характер і т.д.

Отже, математична статистика працює там, де є випадковий експеримент, властивості якого частково або повністю невідомі, і де ми вміємо відтворювати цей експеримент в одних і тих же умовах деяке (а краще будь-яке) число разів.

Результати експериментів можуть мати кількісний чи якісний характер. Кількісні результати можна, наприклад, складати. Так, однією з їх осмислених показників є середнє арифметичне спостережень. Якісні результати складати безглуздо, хоча вони можуть бути зодягнені в числову форму. Скажімо, місяць народження опитаного - якісне, а не кількісне спостереження: його хоч і можна задати числом, але середнє арифметичне цих чисел несе стільки ж розумної інформації, як повідомлення про те, що в середньому людина народилася між червнем та липнем.

У перших розділах ми вивчатимемо роботу з кількісними результатами спостережень.

§ 2. Вибірка

Нехай ξ : Ω → R - випадкова величина, що спостерігається у випадковому експерименті. Проводячи n разів цей експеримент в однакових умовах, ми отримаємо числа X1, X2,. . . , Xn - значення випадкової величини, що спостерігається в першому, другому і т. д. експериментах. Випадкова величина має деякий розподіл F, який нам частково або повністю невідомий.

Розглянемо докладніше набір X = (X1, ..., Xn), званий вибіркою.

У серії вже проведених експериментів вибірка – це набір чисел. Але до того, як експеримент проведено, має сенс вважати вибірку набором випадкових величин (незалежних і розподілених так само, як ξ). Справді, до проведення дослідів ми можемо сказати, які значення набудуть елементи вибірки: це будуть якісь із значень випадкової величиниξ . Тому має сенс вважати, що до досвіду Xi - випадкова величина, однаково розподілена с, а після досвіду - число, яке ми спостерігаємо в i-му за рахунком експерименті, тобто одне з можливих значень випадкової величини Xi.

1. Вибіркою X = (X1 , .

Елементи вибірки часто перетворюють для зручності роботи з великим набором даних – упорядковують чи групують.

Якщо елементи вибірки X1, . . . , Xn упорядкувати за зростанням, вийде набір нових випадкових величин, званий варіаційним рядом:

X(1) 6 X(2) 6 . . . 6 X(n−1) 6 X(n) .

Тут X(1) = min(X1 , . . . , Xn ), X(n) = max(X1 , . . . , Xn ). Елемент X(k) називається k-м членом варіаційного ряду або k-й порядковою статистикою.

При групуванні даних виділяють кілька груп значень елементів вибірки, підраховують кількість елементів у кожній групі та далі мають справу лише з цим новим набором даних. Як угруповання, так і впорядкування даних відкидають частину інформації, що міститься у вибірці.

Завданням математичної статистики є отримання за вибіркою висновків про невідомий розподіл F, з якого вона вилучена. Розподіл характеризується функцією розподілу, щільністю або таблицею, набором числових характеристик: E ξ = E X1 , Dξ = D X1 , Eξ k = E X1 k . По вибірці необхідно вміти будувати наближення всім цих параметрів. Такі наближення називають оцінками. Термін «оцінка» не має жодного відношення до нерівностей. Оцінкою для деякої невідомої характеристики розподілу називають побудовану за вибіркою випадкову величину, яка у сенсі є наближенням цієї невідомої характеристики розподілу.

П р і м е р 1. Шестигранний кубик підкинуто 100 разів. Перша грань випала 25 разів, друга та п'ята – по 14 разів, третя – 21 раз, четверта – 15 разів, шоста – 11 разів. Ми маємо справу з числовою вибіркою, яка для зручності згрупована за кількістю очок, що випали.

За даними результатами експерименту не можна визначити ймовірності p1,. . . , p6 випадання граней. Можна лише сказати, що отримані числові оцінки цих ймовірностей: 0,25 для p1 , 0,14 для p2 і для p5 тощо.

Навіть не проводячи такий експеримент, ми могли заздалегідь сказати, що оцінкою для невідомої ймовірності p1 буде випадкова величина

а оцінкою для ймовірності p2 буде випадкова величина

У цій серії експериментів ці випадкові величини прийняли значення 0,25 та 0,14 відповідно. В іншій серії їх значення зміняться.

§ 3. Вибіркові характеристики

З теорії ймовірностей нам відомий універсальний засіб для наближеного обчислення різноманітних математичних очікувань: закон великих чисел. Цей закон гарантує, що середні арифметичні незалежних і однаково розподілених доданків у певному сенсі зближуються з математичним очікуванням типового доданка (якщо, звичайно, це математичне очікування існує).

Тому як наближення (оцінки) для невідомого математичного очікування E X1 можна використовувати середнє арифметичне всіх елементів вибірки: вибіркове середнє

можна використовувати для оцінювання величини Eg(X1).

Так само закон великих чисел Бернуллі дозволяє нам оцінювати різні ймовірності. Наприклад, ймовірність події (X1< 3} можно заменить на долю успешных испытаний в схеме Бернулли: если для каждого элемента выборки успехом считать событие {Xi < 3}, то доля успехов

p = кількість Xi< 3n

буде сходитися (імовірно) до ймовірності успіху P(X1< 3). Оценивать неизвестную функцию распределения F (y) = P(X1 < y) мож-

але за допомогою емпіричної функції розподілу