Що називається багатогранним кутом. Тригранний та багатогранний кути

Багатогранні кути Багатогранний кут є просторовим аналогом багатокутника на площині. Нагадаємо, що багатокутником на площині називається фігура, утворена простою замкненою ламаною цієї площини та обмеженою нею внутрішньою областю.

Визначення багатогранного кута Поверхня, утворену кінцевим набором плоских кутів A1SA2, A2SA3, …, An-1SAn, An. SA 1 із загальною вершиною S, в яких сусідні кути не мають загальних точок, крім точок загального променя, а не сусідні кути не мають спільних точок, крім загальної вершини, називатимемо багатогранною поверхнею. Фігура, утворена зазначеною поверхнею та однією з двох частин простору, нею обмежених, називається багатогранним кутом. Загальна вершина S називається вершиною багатогранного кута. Промені SA 1, …, SAn називаються ребрами багатогранного кута, а самі плоскі кути A 1 SA 2, A 2 SA 3 …, An-1 SAn, An. SA 1 – гранями багатогранного кута. Багатогранний кут позначається літерами SA 1 ... An, що вказують вершину та точки на його ребрах.

Види багатогранних кутів Залежно від кількості граней багатогранні кути бувають тригранними, чотиригранними, п'ятигранними тощо.

Вправа 1 Наведіть приклади багатогранників, у яких грані, що перетинаються у вершинах, утворюють лише: а) тригранні кути; б) чотиригранні кути; в) п'ятигранні кути. Відповідь: а) Тетраедр, куб, додекаедр; б) октаедр; в) ікосаедр.

Вправа 2 Наведіть приклади багатогранників, у яких грані, перетинаючись у вершинах, утворюють лише: а) тригранні та чотиригранні кути; б) тригранні та п'ятигранні кути; в) чотиригранні та п'ятигранні кути. Відповідь: а) чотирикутна піраміда, трикутна біпіраміда; б) п'ятикутна піраміда; в) п'ятикутна біпіраміда.

Нерівність трикутника Для трикутника має місце така теорема. Теорема (Нерівність трикутника). Кожна сторона трикутника менша від суми двох інших сторін. Доведемо, що з тригранного кута має місце наступний просторовий аналог цієї теореми. Теорема. Кожен плоский кут тригранного кута менший за суму двох інших його плоских кутів.

Розглянемо тригранний кут SABC. Нехай найбільший із його плоских кутів є кут ASC. Тоді виконуються нерівності ASB ASC

Точка перетину бісектрис Для трикутника має місце така теорема. Теорема. Бісектриси трикутника перетинаються в одній точці – центрі вписаного кола. Доведемо, що з тригранного кута має місце наступний просторовий аналог цієї теореми. Теорема. Біссектральні площини двогранних кутів тригранного кута перетинаються однією прямою.

Розглянемо тригранний кут SABC. Біссектральна площина двостороннього SAD кута SA є геометричним місцем точок цього кута, рівновіддалених від його граней SAB і SAC. Аналогічно, біссектральна площина SBE двогранного кута SB є геометричним місцем точок цього кута, віддалених від його граней SAB і SBC. Лінія їх перетину SO складатиметься з точок, що рівно віддалені від усіх граней тригранного кута. Отже, через неї проходитиме біссектральна площина двогранного кута SC.

Крапка перетину серединних перпендикулярів Для трикутника має місце така теорема. Теорема. Серединні перпендикуляри до сторін трикутника перетинаються в одній точці – центр описаного кола. Доведемо, що з тригранного кута має місце наступний просторовий аналог цієї теореми. Теорема. Площини, що проходять через бісектриси граней тригранного кута і перпендикулярні до цих граней, перетинаються по одній прямій.

Розглянемо тригранний кут SABC. Площина, що проходить через бісектрису SD кута BSC і перпендикулярна до його площини, складається з точок рівновіддалених від ребер SB і SC тригранного кута SABC. Аналогічно, площина, що проходить через бісектрису SE кута ASC і перпендикулярна до його площини, складається з точок рівновіддалених від ребер SA і SC тригранного кута SABC. Лінія їх перетину SO складатиметься з точок, що рівно віддалені від усіх ребер тригранного кута. Отже, її міститиме площину, що проходить через бісектрису кута ASB і перпендикулярна його площині.

Точка перетину медіан Для трикутника має місце така теорема. Теорема. Медіани трикутника перетинаються в одній точці – центрі вписаного кола. Доведемо, що з тригранного кута має місце наступний просторовий аналог цієї теореми. Теорема. Площини, що проходять через ребра тригранного кута та бісектриси протилежних граней, перетинаються по одній прямій.

Розглянемо тригранний кут SABC. На його ребрах відкладемо рівні відрізки SA = SB = CS. Бісектриси SD, SE, SF плоских кутів тригранного кута є медіанами трикутників відповідно SBC, SAB. Отже, AD, BE, CF – медіани трикутника ABC. Нехай O – точка перетину медіан. Тоді пряма SO буде лінією перетину площин, що розглядаються.

Точка перетину висот Для трикутника має місце така теорема. Теорема. Висоти трикутника або їх продовження перетинаються в одній точці. Доведемо, що з тригранного кута має місце наступний просторовий аналог цієї теореми. Теорема. Площини, що проходять через ребра тригранного кута і перпендикулярні до площин протилежних граней, перетинаються по одній прямій.

Розглянемо тригранний кут Sabc. Нехай d, e, f – лінії перетину площин граней тригранного кута з площинами, що проходять через ребра a, b, c цього кута і перпендикулярні до відповідних площин граней. Виберемо якусь точку C на ребрі с. Опустимо з неї перпендикуляри CD та CE на прямі d та e відповідно. Позначимо A та B точки перетину прямих CD та CE з прямими SB та SA відповідно. Пряма d є ортогональною проекцією прямої AD на площину BSC. Так як BC перпендикулярна до прямої d, то вона перпендикулярна і до прямої AD. Аналогічно, пряма AC перпендикулярна до прямої BE. Нехай O – точка перетину прямих AD та BE. Пряма BC перпендикулярна площині SAD, отже, вона перпендикулярна до прямої SO. Аналогічно, Пряма AC перпендикулярна площині SBE, отже, вона перпендикулярна до прямої SO. Таким чином, пряма SO перпендикулярна прямим BC і AC, отже перпендикулярна площині ABC, значить, перпендикулярна і прямий AB. З іншого боку, пряма CO перпендикулярна до прямої AB. Таким чином, пряма AB перпендикулярна до площини SOC. Площина SAB проходить через пряму AB, перпендикулярну до площини SOC, отже, сама перпендикулярна до цієї площини. Отже, всі три площини, що розглядаються, перетинаються по прямій SO.

Сума плоских кутів Теорема. Сума плоских кутів тригранного кута менша за 360°. Доведення. Нехай SABC – це трикутний кут. Розглянемо тригранний кут із вершиною A, утворений гранями ABS, ACS та кутом BAC. Через нерівність трикутника, має місце нерівність BAС

Випуклі багатогранні кути Багатогранний кут називається опуклим, якщо він є опуклою фігурою, тобто разом з будь-якими двома своїми точками цілком містить і відрізок, що з'єднує їх. На малюнку наведено приклади опуклого та невипуклого багатогранних кутів. Властивість. Сума всіх плоских кутів опуклого багатогранного кута менша за 360°. Доказ аналогічний доведенню відповідної властивості для тригранного кута.
Вправа 5 Два плоскі кути тригранного кута дорівнюють 70° та 80°. У яких межах знаходиться третій плоский кут? Відповідь: 10 про

Вправа 6 Плоскі кути тригранного кута дорівнюють 45°, 45° та 60°. Знайдіть величину кута між площинами плоских кутів 45°. Відповідь: 90 о.

Вправа 7 У тригранному куті два плоскі кути рівні по 45°; двогранний кут між ними прямий. Знайдіть третій плоский кут. Відповідь: 60 о.

Вправа 8 Плоскі кути тригранного кута дорівнюють 60°, 60° та 90°. На його ребрах від вершини відкладено рівні відрізки OA, OB, OC. Знайдіть двогранний кут між площиною кута 90° і площиною ABC. Відповідь: 90 о.

Вправа 9 Кожен плоский кут трикутного кута дорівнює 60°. На одному з його ребер відкладений від вершини відрізок, що дорівнює 3 см, і з кінця опущений перпендикуляр на протилежну грань. Знайдіть довжину цього перпендикуляра. Відповідь: див.

МАОУ «Ліцей інноваційних технологій»

Багатогранні кути. Випуклі багатогранники

Підготував учень 10Б класу: Бурикін Олексій

Перевірив: Дубінська І.А.

Хабаровськ

Багатогранний кут

Багатогранним кутомназивається фігура, утворена плоскими кутами так, що виконуються умови:

1) ніякі два кути не мають спільних точок, крім їх загальної вершини або цілої сторони;

2) у кожного з цих кутів кожна його сторона є спільною з одним і лише одним іншим таким кутом;

3) від кожного кута до кожного можна перейти кутами, що мають спільну сторону;

4) жодні два кути із загальною стороною не лежать в одній площині.

• Кути ASB, BSC,... називаються плоскими кутамиабо гранями, сторони їх SA, SB, ... називаються ребрами, а загальна вершина S- вершиноюбагатогранного кута.

Теорема1.

У тригранному куті кожен плоский кут менший за суму двох інших плоских кутів.

Слідство

• / ASC - / ASB/CSB; / ASC - / CSB/ASB.

У тригранному куті кожен плоский кут більший за різницю двох інших кутів. .

Теорема2.

• Сума величин усіх трьох плоских кутів тригранного кута менша за 360° .

Доведення

Позначимо,

тоді з трикутників ASC, ASB, BSC маємо

Тепер нерівність набуває вигляду

180 ° - α + 180 ° - β + 180 ° - γ 180 °,

звідки й випливає, що

α + β + γ

Найпростіші випадки рівності тригранних кутів

• 1) по рівному двогранному кутку, укладеному між двома відповідно рівними і однаково розташованими плоскими кутами , або 2) по рівному плоскому кутку, укладеному між двома відповідно рівними і однаково розташованими двогранними кутами .

Випуклий багатогранний кут

• Багатогранний кут називається опуклим, якщо він весь розташований по одну сторону від площини кожної його граней, необмежено продовженої.

Багатогранник.

Багатогранник, у тривимірному просторі-сукупність кінцевого числа плоских багатокутників, така, що кожна сторона будь-якого з багатокутників є одночасно сторона іншого, званого суміжним з першим.

Випуклі багатогранники

Багатогранникназивається опуклимякщо він весь лежить по одну сторону від площини будь-якої його грані; тоді грані його теж опуклі.

Випуклий багатогранникрозрізає простір на дві частини – зовнішню та внутрішню. Внутрішня частина є опукле тіло. Назад, якщо поверхня опуклого тіла багатогранна, то відповідний багатогранник – опуклий.

Теорема.Сума всіх плоских кутів опуклого багатогранного кута менша за 360 градусів.

Властивість 1.У опуклому багатограннику усі грані є опуклими багатокутниками.

Властивість2.Будь-який опуклий багатогранник може бути складений із пірамід із загальною вершиною, основа яких утворює поверхню багатогранника.

Багатогранний кут

частина простору, обмежена однією порожниною багатогранної конічної поверхні, що направляє - плоский багатокутник без самоперетинів. Грані цієї поверхні називаються гранями М. у., вершину – вершиною М. у. М. в. називають правильним, якщо рівні всі його лінійні кути та всі його двогранні кути. Мірою М. в. є площа, обмежена сферичним багатокутником, отриманим перетином граней М. у., сферою з радіусом, рівним одиниці, і з центром у вершині М. у. також Тілесний кут .

Велика Радянська Енциклопедія. - М: Радянська енциклопедія. 1969-1978 .

Дивитись що таке "Багатогранний кут" в інших словниках:

Див. Тілесний кут … Великий Енциклопедичний словник

Див. Тілесний кут. * * * Багатогранний кут Багатогранний кут, див. Тілесний кут (див. ТІЛІВИЙ кут) … Енциклопедичний словник

Частина простору, обмежена однією порожниною багатогранної коніч. поверхні, що спрямовує до рій плоский багатокутник без самоперетинів. Грані цієї поверхні зв. гранями М. у., вершина вершиною М. у. Багатогранний кут зв. правильним … Математична енциклопедія

См Тілесний кут … Природознавство. Енциклопедичний словник

багатогранний кут- Матем. Частина простору, обмежена кількома площинами, що проходять через одну точку (вершину кута). Словник багатьох виразів

Багатогранна, багатогранна, багатогранна (книжн.). 1. Має кілька граней чи сторін. Багатогранний камінь. Багатогранний кут (частина простору, обмежена кількома площинами, що перетинаються в одній точці; мат.). 2. перен. Тлумачний словник Ушакова

- (Мат.). Якщо з точки на даній площині проведемо прямі ОА і 0В, то отримаємо кут АОВ (чорт. 1). Чорт. 1. Крапка 0 зв. вершиною кута, а прямі ОА та 0В сторонами кута. Припустимо, що дано два кути ΒΟΑ і Β 1 Ο 1 Α 1. Накладемо їх так, щоб… …

- (Мат.). Якщо з точки на даній площині проведемо прямі ОА і 0В, то отримаємо кут АОВ (чорт. 1). Чорт. 1. Крапка 0 зв. вершиною кута, а прямі ОА та 0В сторонами кута. Припустимо, що дано два кути ΒΟΑ і Β1Ο1Α1. Накладемо їх так, щоб вершини О… Енциклопедичний словник Ф.А. Брокгауза та І.А. Єфрона

Цей термін має й інші значення, див. Кут (значення). Кут ∠ Розмірність ° Одиниці виміру СІ Радіан … Вікіпедія

Плоский, геометрична постать, утворена двома променями (сторонами У.), які з однієї точки (вершини У.). Кожен У., що має вершину в центрі Про деяке коло (центральний У.), визначає на колі дугу AB, обмежену… Велика Радянська Енциклопедія

Розглянемо три промені а, Ь, с, що виходять з однієї точки і не лежать в одній площині. Трикутним кутом (abc) називається фігура, складена "з трьох плоских кутів (аЬ), (Ьс) і (ас) (рис. 2). Ці кути називаються гранями тригранного кута, а їх сторони - ребрами, загальна вершина плоских кутів називається Двогранні кути, утворені гранями тригранного кута, називаються двогранними кутами тригранного кута.

Аналогічно визначається поняття багатогранного кута (рис. 3).

Багатогранник

У стереометрії вивчаються постаті у просторі, звані тілами. Наочно (геометричне) тіло треба уявляти як частину простору, зайняту фізичним тілом і обмежену поверхнею.

Багатогранник - це тіло, поверхня якого складається з кінцевого числа плоских багатокутників (рис. 4). Багатогранник називається опуклим, якщо він розташований з одного боку площини кожного плоского багатокутника з його поверхні. Загальна частина такої площини та поверхні опуклого багатогранника називається гранню. Грані опуклого багатогранника є плоскими опуклими багатокутниками. Сторони граней називаються ребрами багатогранника, а вершини – вершинами багатогранника.

Пояснимо сказане з прикладу знайомого вам куба (рис. 5). Куб є опуклий багатогранник. Його поверхня складається із шести квадратів: ABCD, BEFC, .... Вони є його гранями. Ребрами куба є сторони цих квадратів: АВ, НД, BE,... . Вершинами куба є вершини квадратів: А, В, С, D, Е, .... У куба шість граней, дванадцять ребер та вісім вершин.

Найпростішим багатогранникам – призмам та пірамідам, які будуть основним об'єктом нашого вивчення, – ми дамо такі визначення, які, по суті, не використовують поняття тіла. Вони будуть визначені як геометричні фігури із зазначенням усіх точок простору, що їм належать. Поняття геометричного тіла та його поверхні у випадку буде дано пізніше.

20. Різнорівневе вивчення багатогранних кутів, властивостей плоских кутів тригранного кута та багатогранного кута.

Базовий рівень:

Атанасян

Розглядає лише двогранний кут.

Погорєлов

Спочатку розглядає двогранний кут і потім одразу тригранний та багатогранний.

Розглянемо три промені а, b, с, що виходять з однієї точки, що лежать в одній площині. Тригранним кутом (abc) називається фігура, складена з трьох плоских кутів (ab), (bc) та (ac) (рис. 400). Ці кути називаються гранями тригранного кута, які сторони - ребрами. Загальна вершина плоских кутів називається вершиною трикутного кута. Двогранні кути, утворені гранями тригранного кута, називаються двогранними кутами тригранного кута.

Аналогічно вводиться поняття багатогранного кута (рис.401).

рис 400 та рис.401

П рофільний рівень(А.Д.Алексндров, А.Л.Вернер, В.І.Рудих):

Залишаючи визначення та вивчення довільних багатогранних кутів до § 31, ми розглянемо зараз найпростіші з них – тригранні кути. Якщо стереометрії аналогами плоских кутів вважатимуться двогранні кути, то тригранні кути можна як аналоги плоских трикутників , а наступних параграфах побачимо, як вони природно пов'язані зі сферичними трикутниками.

Побудувати (отже, і конструктивно визначити) тригранний кут можна так. Візьмемо будь-які три промені а, b,c, що мають загальний початок Про і не лежать в одній площині (рис. 150). Ці промені є сторонами трьох опуклих плоских кутів: кута зі сторонами b, с, кута зі сторонами а, з і кута зі сторонами а, b. Об'єднання цих трьох кутів α, β, γ називається тригранним кутом Оabc(або, коротше, тригранним кутом О). Промені а,b з називаються ребрами тригранного кута Оаbс, а плоскі кути α, β, γ - його гранями. Точка О називається вершиною тригранного кута.

3 а м е ч а н ня. Можна було б визначити тригранний кут і з невипуклою гранню (рис. 151), але ми такі тригранні кути не розглядатимемо.

При кожному з ребер тригранного кута визначається відповідний двогранний кут, такий, ребро якого містить відповідне ребро тригранного кута, а грані якого містять грані тригранного кута, що прилягають до цього ребра.

Величини двогранних кутів тригранного кута Оаbс при ребрах а,b, з відповідно позначатимемо через а^,b^, с^(кришечки безпосередньо над буквами).

Три грані α, β, γ тригранного кута Оаbс і три його двогранних кута при ребрах а,b, с, а також величини α, β, γ і а^,b^, с^ називатимемо елементами тригранного кута. (Згадайте, що елементи плоского трикутника – це його сторони та його кути.)

Наше завдання – виразити одні елементи тригранного кута через інші його елементи, тобто побудувати «тригонометрію» тригранних кутів.

1) Почнемо з виведення аналога теореми косінусів. Спочатку розглянемо такий тригранний кут Оаbс, який має хоча б дві грані, наприклад α і β є гострими кутами. Візьмемо на його ребрі з точку С і проведемо з неї в гранях α і β перпендикуляри СВ і СА до ребра до перетину з ребрами а іbв точках А і В (рис. 152). Виразимо відстань АВ із трикутників ОАВ та САВ за теоремою косінусів.

АВ 2 =АС 2 +ВС 2 -2АС*ВС*Cos(c^) і АВ 2 =ОА 2 +ОВ 2 -2АО*ВО*Cosγ.

Віднімаючи з другої рівності першу, отримаємо:

ОА 2 -АС 2 +ОВ 2 -ВС 2 +2АС*ВС*Cos(c^)-2АО*ВО*Cosγ=0 (1). Т.к. трикутники ОСВ і ОСА прямокутні, то АС 2 -АС 2 = ОС 2 і ОВ 2 - ВС 2 = ОС 2 (2)

Тому з (1) і (2) слід, що ОА*ОВ*Cosγ=ОС 2 +АС*ВС*Cos(c^)

тобто.

Але
,
,
,
. Тому

(3) – аналог теореми косінусів для тригранних кутів- формула косінусів.

Обидві грані α та β – тупі кути.

Один із кутів α та β, наприклад α, гострий, а інший – β- тупий.

Хоти б один з кутів α або β прямий.

Ознаки рівності тригранних кутівсхожі на ознаки рівності трикутників. Але є відмінність: наприклад, два тригранні кути рівні, якщо відповідно рівні їхні двогранні кути. Згадайте, що два плоскі трикутники, у яких відповідні кути рівні, подібні. А для тригранних кутів аналогічна умова призводить не до подібності, а до рівності.

Тригранні кути володіють чудовим властивістю, Яке називається двоїстістю. Якщо в будь-якій теоремі про тригранний кут Оаbс замінити величини а,b, з на π-α, π-β, π-γі, навпаки, замінити α, β, γ на π-a^, π-b^, π -c^, то знову отримаємо правильне твердження про тригранні кутах, подвійне вихідної теореми. Щоправда, якщо таку заміну зробити в теоремі синусів, то знову прийдемо до теореми синусів (вона сама собі двояка). Але якщо так зробити в теоремі косінусів (3), то отримаємо нову формулу

cosc^= -cosa^cosb^+sina^sin b^cosγ.

Чому має місце така двоїстість, стане ясно, якщо для тригранного кута побудувати двоякий йому тригранний кут, ребра якого перпендикулярні граням вихідного кута (див. п. 33.3 та рис. 356).

Одними з найпростіших поверхонь є багатогранні кути. Вони складаються із звичайних кутів (такі кути тепер часто називатимемо плоскими кутами), подібно до того, як замкнута ламана складається з відрізків. А саме дається таке визначення:

Багатогранним кутом називаєтьсяфігура, утворена плоскими кутами так, що виконані умови:

1) Жодні два кути не мають спільних точок, крім їхньої загальної вершини або цілої сторони.

2) У кожного з цих кутів кожна його сторона є спільною з одним і тільки з одним таким кутом.

3) Від кожного кута до кожного можна перейти кутами, що мають спільні сторони.

4) Жодні два кути із загальною стороною не лежать в одній площині (рис. 324).

У цьому умови плоскі кути, що утворюють багатогранний кут, називаються його гранями, які боку - його ребра.

Під це визначення підходить і двогранний кут. Він складається із двох розгорнутих плоских кутів. Вершиною його може вважатися будь-яка точка на його ребре, і ця точка розбиває ребро на два ребра, що сходяться на вершині. Але через цю невизначеність у положенні вершини двогранний кут виключають із багатогранних кутів.

П

Поняття багатогранному вугіллі важливо, зокрема, щодо багатогранників - в теорії багатогранників. Будова багатогранника характеризується тим, з яких граней він складений і як вони сходяться на вершинах, тобто які там виявляються багатогранні кути.

Розгляньте багатогранні кути у різних багатогранників.

Зверніть увагу, що грані багатогранних кутів можуть бути невипуклими кутами.