Що потрібно зробити, щоб знайти дільник. Як знайти невідомий дільник

Рівняння, розв'язання рівнянь

розв'язання рівнянь

3+x=8,
x = 8-3,
x = 5.

зробити перевірку

На початок сторінки

x−2=5,
x=5+2,
x = 7.

9−x=4,
x=9-4,
x = 5.

На початок сторінки

Як знайти дільник

x·3=12,
x=123,
x = 4.

На початок сторінки

x5=9,
x=9·5,
x = 45.

Рішення можна оформити і так:
18x=3,
x=183,
x = 6.

На початок сторінки

(2·x−7)3−5=2,
(2 · x-7) 3 = 2 +5,
(2·x−7)3=7,
2·x−7=7·3,
2·x−7=21,
2 · x = 21 +7,
2 · x = 28,
x=282,
x = 14.

На початок сторінки

• Математика.
• Математика

Розподіл. Поділ із залишком

Визначення поділу

Розділити число a на число b означає знайти таке нове число, на яке треба помножити b, щоб отримати a.

Звідси випливає таке визначення дії: поділом називається така арифметична дія, за допомогою якого за цим твором двох чисел і одному з них (відомому множнику) знаходять інше число (невідомий множник).

При розподілі цей твір називається ділимим, даний співмножник дільником, а шуканий співмножник - приватним.

Звідси зрозуміло, що розподіл є дія, зворотне множенню.

Розподіл числа a на число b можна записати двома способами:

1) або 2) , причому кожна з цих рівностей означає, що при розподілі числа aна число bу частці виходить натуральне число q.

Поділ із залишком

При вимогі, щоб приватне було цілим числом, розподіл числа aна число bможливо не завжди.

Наприклад, не можна розділити 23 на 4, тому що немає такого цілого числа, на яке можна було б помножити 4 і отримати добуток, що дорівнює 23.

Але можна вказати найбільше ціле число, при множенні якого на 4, виходить ціле число найближче до 23. Таким числом є 5. При множенні 5 на 4 отримаємо 20.

Різниця між ділимим 23 і 20 дорівнює 3 - називається залишком від розподілу.

Сам же поділ у таких випадках називається розподілом із залишком.

Випадок, коли в приватному виходить ціле число і жодного залишку не буде, називається поділом без залишкуабо поділом націло, приватне ж називається повним приватнимабо просто приватним.

Якщо при розподілі числа a на число b виходить неповне приватне q і залишок r записується це так.

Або .

При розподілі із залишком неповним приватним називається найбільше число, яке при множенні на дільник дає твір, що не перевищує ділене. Різниця між ділимим і цим твором називається залишком.

Звідси випливає, що залишок при розподілі повинен бути завжди меншим від дільника, Так як якби залишок дорівнював дільнику або був би більше його, то приватне тоді не було б найбільшим з можливих чисел. Якщо залишок відняти з діленого, то отримана різниця ( a - r) розділиться на цей дільник bбез залишку, причому в приватному, як і раніше, вийде число q.

За змістом поділу різниця.

Звідси: (за змістом поділу).

Остання рівність показує, що у разі поділу із залишком ділене і дільнику, помноженому на приватне, плюс залишок.

Примітка. Надалі вираз: одне число ділиться на інше без залишку (націло)- Замінимо виразом: одне число поділяється на інше.

Число aу цьому випадку називається кратним числу b.

Схожа інформація:

1. C) Величина, що характеризує згладженість або гострість емпіричного розподілу в порівнянні з нормальним розподілом
2. I.

   Що таке приватне чисел

   Визначення складу спільного имущества

3. I. Визначення ступеня окиснення в органічних речовинах.
4. ІІ. РОЗПОДІЛ НАВЧАЛЬНОГО ЧАСУ ЗА СЕМЕСТРАМИ ТА ВИДАМИ НАВЧАЛЬНИХ ЗАНЯТТІВ
5. II. РОЗПОДІЛ НАВЧАЛЬНОГО ЧАСУ ЗА СЕМЕСТРАМИ ТА ВИДАМИ НАВЧАЛЬНИХ ЗАНЯТТІВ
6. ITC, українське відділення міжнародного видавничого дому. 03110, Київ, просп. Лобановського (Червонозоряний), 51, тел. 270-39-03, itcpublishing.com
7. IV. Перепишіть речення, підкресліть визначення, виражене дієприкметником I з zu; переведіть речення.
8. V. Визначення тривалості робіт, змінності, складу бригад, числа виконавців
9. VI. Визначення абсолютної швидкості
10. VI. ВИЗНАЧЕННЯ ПЕРЕМОЖЦІВ
11. XI. ВИЗНАЧЕННЯ ПЕРЕМОЖЦІВ І ПРИЗЕРІВ
12. А. Визначення діелектричних параметрів e', tgdx, e» твердих електроізоляційних матеріалів

Пошук на сайті:

Рівняння, розв'язання рівнянь

Знаходження невідомого доданку, множника, тощо, правила, приклади, рішення

Довгий шлях напрацювання навичок розв'язання рівняньпочинається з вирішення найперших і щодо простих рівнянь. Під такими рівняннями ми маємо на увазі рівняння, в лівій частині яких знаходиться сума, різницю, твір або приватне двох чисел, одне з яких невідоме, а в правій частині стоїть число. Тобто, ці рівняння містять невідоме доданок, що зменшується, віднімається, множник, ділене або дільник. Про вирішення таких рівнянь і йтиметься у цій статті.

Тут ми наведемо правила, що дозволяють знаходити невідомий доданок, множник і т.п. Причому відразу розглядатимемо застосування цих правил на практиці, вирішуючи характерні рівняння.

Щоб знайти невідомий доданок, треба…

Женя з Колею вирішили поїсти яблук, для чого почали їх збивати з яблуні. Женя видобув 3 яблука, а наприкінці процесу у хлопчиків виявилося 8 яблук. Скільки яблук збив Коля?

Для перекладу цієї типової задачі на математичну мову, позначимо невідоме число яблук, які збив Коля, через x. Тоді за умовою 3 Женіних яблука та x Коліних разом становлять 8 яблук. Остання фраза відповідає рівняння виду 3+x=8. У лівій частині цього рівняння знаходиться сума, що містить невідомий доданок, у правій частині стоїть значення цієї суми — число 8. Так як же знайти невідомий доданок, що цікавить нас?

Для цього існує таке правило: щоб знайти невідомий доданок, треба від суми відняти відомий доданок.

Це пояснюється лише тим, що віднімання надається сенс, зворотний змісту складання. Іншими словами, між додаванням і відніманням чисел існує зв'язок, який виражається в наступному: з того, що a+b=c випливає, що c−a=b та c−b=a, і навпаки, з c−a=b, як і з c−b=a випливає, що a+b=c.

Озвучене правило дозволяє по одному відомому доданку та відомій сумі визначити інше невідоме доданок. При цьому не має значення, який із доданків невідомо, перше чи друге. Розглянемо його застосування з прикладу.

Повернімося до нашого рівняння 3+x=8. Згідно з правилом, нам треба відомої суми 8 відняти відомий доданок 3. Тобто, виконуємо віднімання натуральних чисел: 8−3=5, так ми знайшли потрібне нам невідоме доданок, воно дорівнює 5.

Прийнято таку форму запису розв'язання подібних рівнянь:

• спочатку записують вихідне рівняння,
• нижче – рівняння, що виходить після застосування правила знаходження невідомого доданку,
• нарешті, ще нижче записують рівняння, отримане після виконання дій з числами.

Сенс такої форми записи у тому, що вихідне рівняння послідовно замінюється рівносильними рівняннями, у тому числі стає очевидним корінь вихідного рівняння. Докладно про це говорять на уроках алгебри в 7 класі, а поки що оформимо рішення нашого рівняння рівня 3 класу:
3+x=8,
x = 8-3,
x = 5.

Щоб переконатися у правильності отриманої відповіді, бажано зробити перевірку. Для цього отриманий корінь рівняння треба підставити у вихідне рівняння і подивитися, чи це дає правильну числову рівність.

Отже, підставляємо вихідне рівняння 3+x=8 замість x число 5, отримуємо 3+5=8 – це рівність правильне, отже, ми правильно знайшли невідоме доданок. Якби при перевірці ми здобули неправильну числову рівність, то це вказало б нам на те, що ми неправильно вирішили рівняння. Основними причинами цього можуть бути застосування не того правила, яке потрібно, або обчислювальні помилки.

На початок сторінки

Як знайти невідоме зменшуване, що віднімається?

Зв'язок між додаванням і відніманням чисел, про який ми вже згадували в попередньому пункті, дозволяє отримати правило знаходження невідомого зменшуваного через відоме віднімання і різницю, а також правило знаходження невідомого віднімається через відоме зменшуване і різницю. Формулюватимемо їх по черзі, і відразу наводитимемо рішення відповідних рівнянь.

Щоб знайти невідоме зменшуване, треба до різниці додати віднімання.

Наприклад розглянемо рівняння x−2=5. Воно містить невідоме зменшення. Наведене правило нам показує, що з його пошуку ми повинні до відомої різниці 5 додати відоме віднімається 2, маємо 5+2=7. Таким чином, шукане зменшуване дорівнює семи.

Якщо опустити пояснення, рішення записується так:
x−2=5,
x=5+2,
x = 7.

Для самоконтролю виконаємо перевірку. Підставляємо вихідне рівняння знайдене зменшуване, при цьому отримуємо числову рівність 7-2=5. Воно вірне, тому, можна бути впевненим, що ми чітко визначили значення невідомого зменшуваного.

Можна переходити до знаходження невідомого. Воно знаходиться за допомогою додавання за таким правилом: щоб знайти невідоме віднімання, треба від зменшуваного відняти різницю.

Розв'яжемо рівняння виду 9−x=4 за допомогою записаного правила. У цьому рівнянні невідомим є віднімання. Щоб його знайти, нам треба від відомого зменшуваного 9 відібрати відому відмінність 4, маємо 9-4=5. Таким чином, шукане віднімання дорівнює п'яти.

Наведемо короткий варіант розв'язання цього рівняння:
9−x=4,
x=9-4,
x = 5.

Залишається лише перевірити правильність знайденого. Зробимо перевірку, для чого підставимо вихідне рівняння замість x знайдене значення 5, при цьому отримуємо числову рівність 9-5=4. Воно правильне, тому знайдене нами значення правильне.

І перш ніж переходити до наступного правила зауважимо, що в 6 класі розглядається правило розв'язання рівнянь, яке дозволяє виконувати перенесення будь-якого доданку з однієї частини рівняння до іншої з протилежним знаком. Так ось усі розглянуті вище правила знаходження невідомого доданку, що зменшується і віднімається з ним повністю узгоджені.

На початок сторінки

Щоб знайти невідомий множник, треба…

Погляньмо на рівняння x·3=12 і 2·y=6. Вони невідоме число є множником у лівій частині, а твір і другий множник відомі. Для знаходження невідомого множника можна використовувати таке правило: щоб знайти невідомий множник, треба твір поділити на відомий множник.

В основі цього правила лежить те, що поділу чисел ми надали сенс, обернений до змісту множення. Тобто, між множенням і розподілом існує зв'язок: з рівності a b = c, в якому a 0 і b 0 слід, що ca = b і cb = c, і назад.

Наприклад знайдемо невідомий множник рівняння x·3=12. Відповідно до правила нам треба розділити відомий добуток 12 на відомий множник 3. Проведемо поділ натуральних чисел: 123=4. Таким чином, невідомий множник дорівнює 4.

Коротко рішення рівняння записується у вигляді послідовності рівностей:
x·3=12,
x=123,
x = 4.

Бажано зробити перевірку результату: підставляємо у вихідне рівняння замість літери знайдене значення, отримуємо 4·3=12 – правильне числове рівність, тому ми правильно знайшли значення невідомого множника.

Окремо слід звернути увагу, що озвучене правило не можна застосовувати для знаходження невідомого множника, коли інший множник дорівнює нулю. Наприклад, це правило не підходить для вирішення рівняння x 0 = 11. Дійсно, якщо в цьому випадку дотримуватися правила, то щоб знайти невідомий множник нам треба виконати розподіл твору 11 на інший множник, що дорівнює нулю, а на нуль не можна ділити. Ці випадки ми докладно обговоримо під час розмови про лінійні рівняння.

І ще один момент: діючи за вивченим правилом, ми фактично виконуємо поділ обох частин рівняння на відомий від нуля відомий множник. У 6 класі буде сказано, що обидві частини рівняння можна множити і ділити на те саме відмінне від нуля число, це не впливає на корені рівняння.

На початок сторінки

Як знайти невідоме ділене, дільник?

В рамках нашої теми залишилося розібратися, як знайти невідоме ділене при відомому дільнику та приватному, а також як знайти невідомий дільник при відомому ділимому та приватному. Відповісти на ці питання дозволяє вже згаданий у попередньому пункті зв'язок між множенням та поділом.

Щоб знайти невідоме ділене, треба приватне помножити на дільник.

Розглянемо його застосування з прикладу. Розв'яжемо рівняння x5=9. Щоб знайти невідоме ділене цього рівняння, треба згідно з правилом помножити відоме приватне 9 на відомий дільник 5, тобто виконуємо множення натуральних чисел: 9·5=45. Таким чином, шукане ділене дорівнює 45.

Покажемо короткий запис рішення:
x5=9,
x=9·5,
x = 45.

Перевірка підтверджує, що значення невідомого поділеного знайдено правильно. Дійсно, при підстановці вихідне рівняння замість змінної x числа 45 воно звертається в правильну числову рівність 455=9.

Зауважимо, що розібране правило можна трактувати як множення обох частин рівняння відомий дільник. Таке перетворення впливає коріння рівняння.

Переходимо до правила знаходження невідомого дільника: щоб знайти невідомий дільник, треба поділити розділити на приватне.

Розглянемо приклад. Знайдемо невідомий дільник рівняння 18x=3. Для цього нам потрібно відоме ділене розділити 18 на відоме приватне 3, маємо 183=6. Таким чином, дільник, що шукається, дорівнює шести.

Рішення можна оформити і так:
18x=3,
x=183,
x = 6.

Перевіримо цей результат для надійності: 186 = 3 - правильна числова рівність, отже, корінь рівняння знайдено правильно.

Зрозуміло, що це правило можна застосовувати лише тоді, коли приватне відмінно від нуля, щоб не зіткнутися з розподілом на нуль. Коли приватне дорівнює нулю, то можливі два випадки. Якщо при цьому ділене дорівнює нулю, тобто рівняння має вигляд 0x = 0, то цьому рівнянню задовольняє будь-яке відмінне від нуля значення дільника. Інакше кажучи, корінням такого рівняння є будь-які числа, не рівні нулю. Якщо ж за рівному нулю приватному ділене відмінно від нуля, то ні за яких значеннях дільника вихідне рівняння не звертається у правильне числове рівність, тобто, рівняння немає коренів. Для ілюстрації наведемо рівняння 5x=0, воно немає рішень.

На початок сторінки

Спільне використання правил

Послідовне застосування правил знаходження невідомого доданку, що зменшується, віднімається, множника, ділимого і дільника дозволяє вирішувати і рівняння з єдиною змінною складнішого виду. Розберемося з цим на прикладі.

Розглянемо рівняння 3 x + 1 = 7. Спочатку ми можемо знайти невідоме доданок 3 x, для цього треба від суми 7 відібрати відоме доданок 1, отримуємо 3 x = 7-1 і далі 3 x = 6. Тепер залишилося знайти невідомий множник, розділивши твір 6 на відомий множник 3 маємо x=63, звідки x=2. Так знайдено корінь вихідного рівняння.

Для закріплення матеріалу наведемо коротке рішення ще одного рівняння (2 x-7) 3-5 = 2.
(2·x−7)3−5=2,
(2 · x-7) 3 = 2 +5,
(2·x−7)3=7,
2·x−7=7·3,
2·x−7=21,
2 · x = 21 +7,
2 · x = 28,
x=282,
x = 14.

На початок сторінки

• Математика.. 4 клас. Навч. для загальноосвіт. установ. О 2 год. Ч. 1/.- 8-е вид. - М.: Просвітництво, 2011. - 112 с.: Іл. - (Школа Росії). - ISBN 978-5-09-023769-7.
• Математика: навч. для 5 кл. загальноосвіт. установ / Н. Я. Віленкін, В. І. Жохов, А. С. Чесноков, С. І. Шварцбурд. - 21-е вид., Стер. - М.: Мнемозіна, 2007. - 280 с.: Іл. ISBN 5-346-00699-0.

Рівняння, розв'язання рівнянь

Знаходження невідомого доданку, множника, тощо, правила, приклади, рішення

Довгий шлях напрацювання навичок розв'язання рівняньпочинається з вирішення найперших і щодо простих рівнянь. Під такими рівняннями ми маємо на увазі рівняння, в лівій частині яких знаходиться сума, різницю, твір або приватне двох чисел, одне з яких невідоме, а в правій частині стоїть число. Тобто, ці рівняння містять невідоме доданок, що зменшується, віднімається, множник, ділене або дільник. Про вирішення таких рівнянь і йтиметься у цій статті.

Тут ми наведемо правила, що дозволяють знаходити невідомий доданок, множник і т.п. Причому відразу розглядатимемо застосування цих правил на практиці, вирішуючи характерні рівняння.

Щоб знайти невідомий доданок, треба…

Женя з Колею вирішили поїсти яблук, для чого почали їх збивати з яблуні. Женя видобув 3 яблука, а наприкінці процесу у хлопчиків виявилося 8 яблук. Скільки яблук збив Коля?

Для перекладу цієї типової задачі на математичну мову, позначимо невідоме число яблук, які збив Коля, через x. Тоді за умовою 3 Женіних яблука та x Коліних разом становлять 8 яблук. Остання фраза відповідає рівняння виду 3+x=8. У лівій частині цього рівняння знаходиться сума, що містить невідомий доданок, у правій частині стоїть значення цієї суми — число 8. Так як же знайти невідомий доданок, що цікавить нас?

Для цього існує таке правило: щоб знайти невідомий доданок, треба від суми відняти відомий доданок.

Це пояснюється лише тим, що віднімання надається сенс, зворотний змісту складання. Іншими словами, між додаванням і відніманням чисел існує зв'язок, який виражається в наступному: з того, що a+b=c випливає, що c−a=b та c−b=a, і навпаки, з c−a=b, як і з c−b=a випливає, що a+b=c.

Озвучене правило дозволяє по одному відомому доданку та відомій сумі визначити інше невідоме доданок. При цьому не має значення, який із доданків невідомо, перше чи друге. Розглянемо його застосування з прикладу.

Повернімося до нашого рівняння 3+x=8. Згідно з правилом, нам треба відомої суми 8 відняти відомий доданок 3. Тобто, виконуємо віднімання натуральних чисел: 8−3=5, так ми знайшли потрібне нам невідоме доданок, воно дорівнює 5.

Прийнято таку форму запису розв'язання подібних рівнянь:

• спочатку записують вихідне рівняння,
• нижче – рівняння, що виходить після застосування правила знаходження невідомого доданку,
• нарешті, ще нижче записують рівняння, отримане після виконання дій з числами.

Сенс такої форми записи у тому, що вихідне рівняння послідовно замінюється рівносильними рівняннями, у тому числі стає очевидним корінь вихідного рівняння. Докладно про це говорять на уроках алгебри в 7 класі, а поки що оформимо рішення нашого рівняння рівня 3 класу:
3+x=8,
x = 8-3,
x = 5.

Щоб переконатися у правильності отриманої відповіді, бажано зробити перевірку. Для цього отриманий корінь рівняння треба підставити у вихідне рівняння і подивитися, чи це дає правильну числову рівність.

Отже, підставляємо вихідне рівняння 3+x=8 замість x число 5, отримуємо 3+5=8 – це рівність правильне, отже, ми правильно знайшли невідоме доданок. Якби при перевірці ми здобули неправильну числову рівність, то це вказало б нам на те, що ми неправильно вирішили рівняння. Основними причинами цього можуть бути застосування не того правила, яке потрібно, або обчислювальні помилки.

На початок сторінки

Як знайти невідоме зменшуване, що віднімається?

Зв'язок між додаванням і відніманням чисел, про який ми вже згадували в попередньому пункті, дозволяє отримати правило знаходження невідомого зменшуваного через відоме віднімання і різницю, а також правило знаходження невідомого віднімається через відоме зменшуване і різницю. Формулюватимемо їх по черзі, і відразу наводитимемо рішення відповідних рівнянь.

Щоб знайти невідоме зменшуване, треба до різниці додати віднімання.

Наприклад розглянемо рівняння x−2=5. Воно містить невідоме зменшення. Наведене правило нам показує, що з його пошуку ми повинні до відомої різниці 5 додати відоме віднімається 2, маємо 5+2=7. Таким чином, шукане зменшуване дорівнює семи.

Якщо опустити пояснення, рішення записується так:
x−2=5,
x=5+2,
x = 7.

Для самоконтролю виконаємо перевірку. Підставляємо вихідне рівняння знайдене зменшуване, при цьому отримуємо числову рівність 7-2=5. Воно вірне, тому, можна бути впевненим, що ми чітко визначили значення невідомого зменшуваного.

Можна переходити до знаходження невідомого. Воно знаходиться за допомогою додавання за таким правилом: щоб знайти невідоме віднімання, треба від зменшуваного відняти різницю.

Розв'яжемо рівняння виду 9−x=4 за допомогою записаного правила. У цьому рівнянні невідомим є віднімання. Щоб його знайти, нам треба від відомого зменшуваного 9 відібрати відому відмінність 4, маємо 9-4=5. Таким чином, шукане віднімання дорівнює п'яти.

Наведемо короткий варіант розв'язання цього рівняння:
9−x=4,
x=9-4,
x = 5.

Залишається лише перевірити правильність знайденого. Зробимо перевірку, для чого підставимо вихідне рівняння замість x знайдене значення 5, при цьому отримуємо числову рівність 9-5=4. Воно правильне, тому знайдене нами значення правильне.

І перш ніж переходити до наступного правила зауважимо, що в 6 класі розглядається правило розв'язання рівнянь, яке дозволяє виконувати перенесення будь-якого доданку з однієї частини рівняння до іншої з протилежним знаком. Так ось усі розглянуті вище правила знаходження невідомого доданку, що зменшується і віднімається з ним повністю узгоджені.

На початок сторінки

Щоб знайти невідомий множник, треба…

Погляньмо на рівняння x·3=12 і 2·y=6. Вони невідоме число є множником у лівій частині, а твір і другий множник відомі.

Як знайти приватне дільник дільник пишу правила, що не запам'ятовуються

Для знаходження невідомого множника можна використовувати таке правило: щоб знайти невідомий множник, треба твір поділити на відомий множник.

В основі цього правила лежить те, що поділу чисел ми надали сенс, обернений до змісту множення. Тобто, між множенням і розподілом існує зв'язок: з рівності a b = c, в якому a 0 і b 0 слід, що ca = b і cb = c, і назад.

Наприклад знайдемо невідомий множник рівняння x·3=12. Відповідно до правила нам треба розділити відомий добуток 12 на відомий множник 3. Проведемо поділ натуральних чисел: 123=4. Таким чином, невідомий множник дорівнює 4.

Коротко рішення рівняння записується у вигляді послідовності рівностей:
x·3=12,
x=123,
x = 4.

Бажано зробити перевірку результату: підставляємо у вихідне рівняння замість літери знайдене значення, отримуємо 4·3=12 – правильне числове рівність, тому ми правильно знайшли значення невідомого множника.

Окремо слід звернути увагу, що озвучене правило не можна застосовувати для знаходження невідомого множника, коли інший множник дорівнює нулю. Наприклад, це правило не підходить для вирішення рівняння x 0 = 11. Дійсно, якщо в цьому випадку дотримуватися правила, то щоб знайти невідомий множник нам треба виконати розподіл твору 11 на інший множник, що дорівнює нулю, а на нуль не можна ділити. Ці випадки ми докладно обговоримо під час розмови про лінійні рівняння.

І ще один момент: діючи за вивченим правилом, ми фактично виконуємо поділ обох частин рівняння на відомий від нуля відомий множник. У 6 класі буде сказано, що обидві частини рівняння можна множити і ділити на те саме відмінне від нуля число, це не впливає на корені рівняння.

На початок сторінки

Як знайти невідоме ділене, дільник?

В рамках нашої теми залишилося розібратися, як знайти невідоме ділене при відомому дільнику та приватному, а також як знайти невідомий дільник при відомому ділимому та приватному. Відповісти на ці питання дозволяє вже згаданий у попередньому пункті зв'язок між множенням та поділом.

Щоб знайти невідоме ділене, треба приватне помножити на дільник.

Розглянемо його застосування з прикладу. Розв'яжемо рівняння x5=9. Щоб знайти невідоме ділене цього рівняння, треба згідно з правилом помножити відоме приватне 9 на відомий дільник 5, тобто виконуємо множення натуральних чисел: 9·5=45. Таким чином, шукане ділене дорівнює 45.

Покажемо короткий запис рішення:
x5=9,
x=9·5,
x = 45.

Перевірка підтверджує, що значення невідомого поділеного знайдено правильно. Дійсно, при підстановці вихідне рівняння замість змінної x числа 45 воно звертається в правильну числову рівність 455=9.

Зауважимо, що розібране правило можна трактувати як множення обох частин рівняння відомий дільник. Таке перетворення впливає коріння рівняння.

Переходимо до правила знаходження невідомого дільника: щоб знайти невідомий дільник, треба поділити розділити на приватне.

Розглянемо приклад. Знайдемо невідомий дільник рівняння 18x=3. Для цього нам потрібно відоме ділене розділити 18 на відоме приватне 3, маємо 183=6. Таким чином, дільник, що шукається, дорівнює шести.

Рішення можна оформити і так:
18x=3,
x=183,
x = 6.

Перевіримо цей результат для надійності: 186 = 3 - правильна числова рівність, отже, корінь рівняння знайдено правильно.

Зрозуміло, що це правило можна застосовувати лише тоді, коли приватне відмінно від нуля, щоб не зіткнутися з розподілом на нуль. Коли приватне дорівнює нулю, то можливі два випадки. Якщо при цьому ділене дорівнює нулю, тобто рівняння має вигляд 0x = 0, то цьому рівнянню задовольняє будь-яке відмінне від нуля значення дільника. Інакше кажучи, корінням такого рівняння є будь-які числа, не рівні нулю. Якщо ж за рівному нулю приватному ділене відмінно від нуля, то ні за яких значеннях дільника вихідне рівняння не звертається у правильне числове рівність, тобто, рівняння немає коренів. Для ілюстрації наведемо рівняння 5x=0, воно немає рішень.

На початок сторінки

Спільне використання правил

Послідовне застосування правил знаходження невідомого доданку, що зменшується, віднімається, множника, ділимого і дільника дозволяє вирішувати і рівняння з єдиною змінною складнішого виду. Розберемося з цим на прикладі.

Розглянемо рівняння 3 x + 1 = 7. Спочатку ми можемо знайти невідоме доданок 3 x, для цього треба від суми 7 відібрати відоме доданок 1, отримуємо 3 x = 7-1 і далі 3 x = 6. Тепер залишилося знайти невідомий множник, розділивши твір 6 на відомий множник 3 маємо x=63, звідки x=2. Так знайдено корінь вихідного рівняння.

Для закріплення матеріалу наведемо коротке рішення ще одного рівняння (2 x-7) 3-5 = 2.
(2·x−7)3−5=2,
(2 · x-7) 3 = 2 +5,
(2·x−7)3=7,
2·x−7=7·3,
2·x−7=21,
2 · x = 21 +7,
2 · x = 28,
x=282,
x = 14.

На початок сторінки

• Математика.. 4 клас. Навч. для загальноосвіт. установ. О 2 год. Ч. 1/.- 8-е вид. - М.: Просвітництво, 2011. - 112 с.: Іл. - (Школа Росії). - ISBN 978-5-09-023769-7.
• Математика: навч. для 5 кл. загальноосвіт. установ / Н. Я. Віленкін, В. І. Жохов, А. С. Чесноков, С. І. Шварцбурд. - 21-е вид., Стер. - М.: Мнемозіна, 2007. - 280 с.: Іл. ISBN 5-346-00699-0.

Рівняння, розв'язання рівнянь

Знаходження невідомого доданку, множника, тощо, правила, приклади, рішення

Довгий шлях напрацювання навичок розв'язання рівняньпочинається з вирішення найперших і щодо простих рівнянь. Під такими рівняннями ми маємо на увазі рівняння, в лівій частині яких знаходиться сума, різницю, твір або приватне двох чисел, одне з яких невідоме, а в правій частині стоїть число. Тобто, ці рівняння містять невідоме доданок, що зменшується, віднімається, множник, ділене або дільник. Про вирішення таких рівнянь і йтиметься у цій статті.

Тут ми наведемо правила, що дозволяють знаходити невідомий доданок, множник і т.п. Причому відразу розглядатимемо застосування цих правил на практиці, вирішуючи характерні рівняння.

Щоб знайти невідомий доданок, треба…

Женя з Колею вирішили поїсти яблук, для чого почали їх збивати з яблуні. Женя видобув 3 яблука, а наприкінці процесу у хлопчиків виявилося 8 яблук. Скільки яблук збив Коля?

Для перекладу цієї типової задачі на математичну мову, позначимо невідоме число яблук, які збив Коля, через x. Тоді за умовою 3 Женіних яблука та x Коліних разом становлять 8 яблук. Остання фраза відповідає рівняння виду 3+x=8. У лівій частині цього рівняння знаходиться сума, що містить невідомий доданок, у правій частині стоїть значення цієї суми — число 8. Так як же знайти невідомий доданок, що цікавить нас?

Для цього існує таке правило: щоб знайти невідомий доданок, треба від суми відняти відомий доданок.

Це пояснюється лише тим, що віднімання надається сенс, зворотний змісту складання. Іншими словами, між додаванням і відніманням чисел існує зв'язок, який виражається в наступному: з того, що a+b=c випливає, що c−a=b та c−b=a, і навпаки, з c−a=b, як і з c−b=a випливає, що a+b=c.

Озвучене правило дозволяє по одному відомому доданку та відомій сумі визначити інше невідоме доданок. При цьому не має значення, який із доданків невідомо, перше чи друге. Розглянемо його застосування з прикладу.

Повернімося до нашого рівняння 3+x=8. Згідно з правилом, нам треба відомої суми 8 відняти відомий доданок 3. Тобто, виконуємо віднімання натуральних чисел: 8−3=5, так ми знайшли потрібне нам невідоме доданок, воно дорівнює 5.

Прийнято таку форму запису розв'язання подібних рівнянь:

• спочатку записують вихідне рівняння,
• нижче – рівняння, що виходить після застосування правила знаходження невідомого доданку,
• нарешті, ще нижче записують рівняння, отримане після виконання дій з числами.

Сенс такої форми записи у тому, що вихідне рівняння послідовно замінюється рівносильними рівняннями, у тому числі стає очевидним корінь вихідного рівняння. Докладно про це говорять на уроках алгебри в 7 класі, а поки що оформимо рішення нашого рівняння рівня 3 класу:
3+x=8,
x = 8-3,
x = 5.

Щоб переконатися у правильності отриманої відповіді, бажано зробити перевірку. Для цього отриманий корінь рівняння треба підставити у вихідне рівняння і подивитися, чи це дає правильну числову рівність.

Отже, підставляємо вихідне рівняння 3+x=8 замість x число 5, отримуємо 3+5=8 – це рівність правильне, отже, ми правильно знайшли невідоме доданок. Якби при перевірці ми здобули неправильну числову рівність, то це вказало б нам на те, що ми неправильно вирішили рівняння. Основними причинами цього можуть бути застосування не того правила, яке потрібно, або обчислювальні помилки.

На початок сторінки

Як знайти невідоме зменшуване, що віднімається?

Зв'язок між додаванням і відніманням чисел, про який ми вже згадували в попередньому пункті, дозволяє отримати правило знаходження невідомого зменшуваного через відоме віднімання і різницю, а також правило знаходження невідомого віднімається через відоме зменшуване і різницю. Формулюватимемо їх по черзі, і відразу наводитимемо рішення відповідних рівнянь.

Щоб знайти невідоме зменшуване, треба до різниці додати віднімання.

Наприклад розглянемо рівняння x−2=5. Воно містить невідоме зменшення. Наведене правило нам показує, що з його пошуку ми повинні до відомої різниці 5 додати відоме віднімається 2, маємо 5+2=7. Таким чином, шукане зменшуване дорівнює семи.

Якщо опустити пояснення, рішення записується так:
x−2=5,
x=5+2,
x = 7.

Для самоконтролю виконаємо перевірку. Підставляємо вихідне рівняння знайдене зменшуване, при цьому отримуємо числову рівність 7-2=5. Воно вірне, тому, можна бути впевненим, що ми чітко визначили значення невідомого зменшуваного.

Можна переходити до знаходження невідомого. Воно знаходиться за допомогою додавання за таким правилом: щоб знайти невідоме віднімання, треба від зменшуваного відняти різницю.

Розв'яжемо рівняння виду 9−x=4 за допомогою записаного правила. У цьому рівнянні невідомим є віднімання. Щоб його знайти, нам треба від відомого зменшуваного 9 відібрати відому відмінність 4, маємо 9-4=5. Таким чином, шукане віднімання дорівнює п'яти.

Наведемо короткий варіант розв'язання цього рівняння:
9−x=4,
x=9-4,
x = 5.

Залишається лише перевірити правильність знайденого. Зробимо перевірку, для чого підставимо вихідне рівняння замість x знайдене значення 5, при цьому отримуємо числову рівність 9-5=4. Воно правильне, тому знайдене нами значення правильне.

І перш ніж переходити до наступного правила зауважимо, що в 6 класі розглядається правило розв'язання рівнянь, яке дозволяє виконувати перенесення будь-якого доданку з однієї частини рівняння до іншої з протилежним знаком. Так ось усі розглянуті вище правила знаходження невідомого доданку, що зменшується і віднімається з ним повністю узгоджені.

На початок сторінки

Щоб знайти невідомий множник, треба…

Погляньмо на рівняння x·3=12 і 2·y=6. Вони невідоме число є множником у лівій частині, а твір і другий множник відомі. Для знаходження невідомого множника можна використовувати таке правило: щоб знайти невідомий множник, треба твір поділити на відомий множник.

В основі цього правила лежить те, що поділу чисел ми надали сенс, обернений до змісту множення. Тобто, між множенням і розподілом існує зв'язок: з рівності a b = c, в якому a 0 і b 0 слід, що ca = b і cb = c, і назад.

Наприклад знайдемо невідомий множник рівняння x·3=12. Відповідно до правила нам треба розділити відомий добуток 12 на відомий множник 3. Проведемо поділ натуральних чисел: 123=4. Таким чином, невідомий множник дорівнює 4.

Коротко рішення рівняння записується у вигляді послідовності рівностей:
x·3=12,
x=123,
x = 4.

Бажано зробити перевірку результату: підставляємо у вихідне рівняння замість літери знайдене значення, отримуємо 4·3=12 – правильне числове рівність, тому ми правильно знайшли значення невідомого множника.

Окремо слід звернути увагу, що озвучене правило не можна застосовувати для знаходження невідомого множника, коли інший множник дорівнює нулю. Наприклад, це правило не підходить для вирішення рівняння x 0 = 11. Дійсно, якщо в цьому випадку дотримуватися правила, то щоб знайти невідомий множник нам треба виконати розподіл твору 11 на інший множник, що дорівнює нулю, а на нуль не можна ділити. Ці випадки ми докладно обговоримо під час розмови про лінійні рівняння.

І ще один момент: діючи за вивченим правилом, ми фактично виконуємо поділ обох частин рівняння на відомий від нуля відомий множник. У 6 класі буде сказано, що обидві частини рівняння можна множити і ділити на те саме відмінне від нуля число, це не впливає на корені рівняння.

На початок сторінки

Як знайти невідоме ділене, дільник?

В рамках нашої теми залишилося розібратися, як знайти невідоме ділене при відомому дільнику та приватному, а також як знайти невідомий дільник при відомому ділимому та приватному. Відповісти на ці питання дозволяє вже згаданий у попередньому пункті зв'язок між множенням та поділом.

Щоб знайти невідоме ділене, треба приватне помножити на дільник.

Розглянемо його застосування з прикладу. Розв'яжемо рівняння x5=9. Щоб знайти невідоме ділене цього рівняння, треба згідно з правилом помножити відоме приватне 9 на відомий дільник 5, тобто виконуємо множення натуральних чисел: 9·5=45. Таким чином, шукане ділене дорівнює 45.

Покажемо короткий запис рішення:
x5=9,
x=9·5,
x = 45.

Перевірка підтверджує, що значення невідомого поділеного знайдено правильно. Дійсно, при підстановці вихідне рівняння замість змінної x числа 45 воно звертається в правильну числову рівність 455=9.

Зауважимо, що розібране правило можна трактувати як множення обох частин рівняння відомий дільник. Таке перетворення впливає коріння рівняння.

Переходимо до правила знаходження невідомого дільника: щоб знайти невідомий дільник, треба поділити розділити на приватне.

Розглянемо приклад. Знайдемо невідомий дільник рівняння 18x=3. Для цього нам потрібно відоме ділене розділити 18 на відоме приватне 3, маємо 183=6. Таким чином, дільник, що шукається, дорівнює шести.

Рішення можна оформити і так:
18x=3,
x=183,
x = 6.

Перевіримо цей результат для надійності: 186 = 3 - правильна числова рівність, отже, корінь рівняння знайдено правильно.

ділене дільник приватне правило

Зрозуміло, що це правило можна застосовувати лише тоді, коли приватне відмінно від нуля, щоб не зіткнутися з розподілом на нуль. Коли приватне дорівнює нулю, то можливі два випадки. Якщо при цьому ділене дорівнює нулю, тобто рівняння має вигляд 0x = 0, то цьому рівнянню задовольняє будь-яке відмінне від нуля значення дільника. Інакше кажучи, корінням такого рівняння є будь-які числа, не рівні нулю. Якщо ж за рівному нулю приватному ділене відмінно від нуля, то ні за яких значеннях дільника вихідне рівняння не звертається у правильне числове рівність, тобто, рівняння немає коренів. Для ілюстрації наведемо рівняння 5x=0, воно немає рішень.

На початок сторінки

Спільне використання правил

Послідовне застосування правил знаходження невідомого доданку, що зменшується, віднімається, множника, ділимого і дільника дозволяє вирішувати і рівняння з єдиною змінною складнішого виду. Розберемося з цим на прикладі.

Розглянемо рівняння 3 x + 1 = 7. Спочатку ми можемо знайти невідоме доданок 3 x, для цього треба від суми 7 відібрати відоме доданок 1, отримуємо 3 x = 7-1 і далі 3 x = 6. Тепер залишилося знайти невідомий множник, розділивши твір 6 на відомий множник 3 маємо x=63, звідки x=2. Так знайдено корінь вихідного рівняння.

Для закріплення матеріалу наведемо коротке рішення ще одного рівняння (2 x-7) 3-5 = 2.
(2·x−7)3−5=2,
(2 · x-7) 3 = 2 +5,
(2·x−7)3=7,
2·x−7=7·3,
2·x−7=21,
2 · x = 21 +7,
2 · x = 28,
x=282,
x = 14.

На початок сторінки

• Математика.. 4 клас. Навч. для загальноосвіт. установ. О 2 год. Ч. 1/.- 8-е вид. - М.: Просвітництво, 2011. - 112 с.: Іл. - (Школа Росії). - ISBN 978-5-09-023769-7.
• Математика: навч. для 5 кл. загальноосвіт. установ / Н. Я. Віленкін, В. І. Жохов, А. С. Чесноков, С. І. Шварцбурд. - 21-е вид., Стер. - М.: Мнемозіна, 2007. - 280 с.: Іл. ISBN 5-346-00699-0.

Рівняння, розв'язання рівнянь

Знаходження невідомого доданку, множника, тощо, правила, приклади, рішення

Довгий шлях напрацювання навичок розв'язання рівняньпочинається з вирішення найперших і щодо простих рівнянь. Під такими рівняннями ми маємо на увазі рівняння, в лівій частині яких знаходиться сума, різницю, твір або приватне двох чисел, одне з яких невідоме, а в правій частині стоїть число. Тобто, ці рівняння містять невідоме доданок, що зменшується, віднімається, множник, ділене або дільник. Про вирішення таких рівнянь і йтиметься у цій статті.

Тут ми наведемо правила, що дозволяють знаходити невідомий доданок, множник і т.п. Причому відразу розглядатимемо застосування цих правил на практиці, вирішуючи характерні рівняння.

Щоб знайти невідомий доданок, треба…

Женя з Колею вирішили поїсти яблук, для чого почали їх збивати з яблуні. Женя видобув 3 яблука, а наприкінці процесу у хлопчиків виявилося 8 яблук. Скільки яблук збив Коля?

Для перекладу цієї типової задачі на математичну мову, позначимо невідоме число яблук, які збив Коля, через x. Тоді за умовою 3 Женіних яблука та x Коліних разом становлять 8 яблук. Остання фраза відповідає рівняння виду 3+x=8. У лівій частині цього рівняння знаходиться сума, що містить невідомий доданок, у правій частині стоїть значення цієї суми — число 8. Так як же знайти невідомий доданок, що цікавить нас?

Для цього існує таке правило: щоб знайти невідомий доданок, треба від суми відняти відомий доданок.

Це пояснюється лише тим, що віднімання надається сенс, зворотний змісту складання. Іншими словами, між додаванням і відніманням чисел існує зв'язок, який виражається в наступному: з того, що a+b=c випливає, що c−a=b та c−b=a, і навпаки, з c−a=b, як і з c−b=a випливає, що a+b=c.

Озвучене правило дозволяє по одному відомому доданку та відомій сумі визначити інше невідоме доданок. При цьому не має значення, який із доданків невідомо, перше чи друге. Розглянемо його застосування з прикладу.

Повернімося до нашого рівняння 3+x=8. Згідно з правилом, нам треба відомої суми 8 відняти відомий доданок 3. Тобто, виконуємо віднімання натуральних чисел: 8−3=5, так ми знайшли потрібне нам невідоме доданок, воно дорівнює 5.

Прийнято таку форму запису розв'язання подібних рівнянь:

• спочатку записують вихідне рівняння,
• нижче – рівняння, що виходить після застосування правила знаходження невідомого доданку,
• нарешті, ще нижче записують рівняння, отримане після виконання дій з числами.

Сенс такої форми записи у тому, що вихідне рівняння послідовно замінюється рівносильними рівняннями, у тому числі стає очевидним корінь вихідного рівняння. Докладно про це говорять на уроках алгебри в 7 класі, а поки що оформимо рішення нашого рівняння рівня 3 класу:
3+x=8,
x = 8-3,
x = 5.

Щоб переконатися у правильності отриманої відповіді, бажано зробити перевірку. Для цього отриманий корінь рівняння треба підставити у вихідне рівняння і подивитися, чи це дає правильну числову рівність.

Отже, підставляємо вихідне рівняння 3+x=8 замість x число 5, отримуємо 3+5=8 – це рівність правильне, отже, ми правильно знайшли невідоме доданок. Якби при перевірці ми здобули неправильну числову рівність, то це вказало б нам на те, що ми неправильно вирішили рівняння. Основними причинами цього можуть бути застосування не того правила, яке потрібно, або обчислювальні помилки.

На початок сторінки

Як знайти невідоме зменшуване, що віднімається?

Зв'язок між додаванням і відніманням чисел, про який ми вже згадували в попередньому пункті, дозволяє отримати правило знаходження невідомого зменшуваного через відоме віднімання і різницю, а також правило знаходження невідомого віднімається через відоме зменшуване і різницю. Формулюватимемо їх по черзі, і відразу наводитимемо рішення відповідних рівнянь.

Щоб знайти невідоме зменшуване, треба до різниці додати віднімання.

Наприклад розглянемо рівняння x−2=5. Воно містить невідоме зменшення. Наведене правило нам показує, що з його пошуку ми повинні до відомої різниці 5 додати відоме віднімається 2, маємо 5+2=7. Таким чином, шукане зменшуване дорівнює семи.

Якщо опустити пояснення, рішення записується так:
x−2=5,
x=5+2,
x = 7.

Для самоконтролю виконаємо перевірку. Підставляємо вихідне рівняння знайдене зменшуване, при цьому отримуємо числову рівність 7-2=5. Воно вірне, тому, можна бути впевненим, що ми чітко визначили значення невідомого зменшуваного.

Можна переходити до знаходження невідомого. Воно знаходиться за допомогою додавання за таким правилом: щоб знайти невідоме віднімання, треба від зменшуваного відняти різницю.

Розв'яжемо рівняння виду 9−x=4 за допомогою записаного правила. У цьому рівнянні невідомим є віднімання. Щоб його знайти, нам треба від відомого зменшуваного 9 відібрати відому відмінність 4, маємо 9-4=5. Таким чином, шукане віднімання дорівнює п'яти.

Наведемо короткий варіант розв'язання цього рівняння:
9−x=4,
x=9-4,
x = 5.

Залишається лише перевірити правильність знайденого. Зробимо перевірку, для чого підставимо вихідне рівняння замість x знайдене значення 5, при цьому отримуємо числову рівність 9-5=4. Воно правильне, тому знайдене нами значення правильне.

І перш ніж переходити до наступного правила зауважимо, що в 6 класі розглядається правило розв'язання рівнянь, яке дозволяє виконувати перенесення будь-якого доданку з однієї частини рівняння до іншої з протилежним знаком. Так ось усі розглянуті вище правила знаходження невідомого доданку, що зменшується і віднімається з ним повністю узгоджені.

На початок сторінки

Щоб знайти невідомий множник, треба…

Погляньмо на рівняння x·3=12 і 2·y=6. Вони невідоме число є множником у лівій частині, а твір і другий множник відомі. Для знаходження невідомого множника можна використовувати таке правило: щоб знайти невідомий множник, треба твір поділити на відомий множник.

В основі цього правила лежить те, що поділу чисел ми надали сенс, обернений до змісту множення. Тобто, між множенням і розподілом існує зв'язок: з рівності a b = c, в якому a 0 і b 0 слід, що ca = b і cb = c, і назад.

Наприклад знайдемо невідомий множник рівняння x·3=12. Відповідно до правила нам треба розділити відомий добуток 12 на відомий множник 3. Проведемо поділ натуральних чисел: 123=4. Таким чином, невідомий множник дорівнює 4.

Коротко рішення рівняння записується у вигляді послідовності рівностей:
x·3=12,
x=123,
x = 4.

Бажано зробити перевірку результату: підставляємо у вихідне рівняння замість літери знайдене значення, отримуємо 4·3=12 – правильне числове рівність, тому ми правильно знайшли значення невідомого множника.

Що таке ділене, дільник, приватне та залишок (приклади)?

Окремо слід звернути увагу, що озвучене правило не можна застосовувати для знаходження невідомого множника, коли інший множник дорівнює нулю. Наприклад, це правило не підходить для вирішення рівняння x 0 = 11.

Дійсно, якщо в цьому випадку дотримуватися правила, то щоб знайти невідомий множник нам треба виконати розподіл твору 11 на інший множник, що дорівнює нулю, а на нуль не можна ділити. Ці випадки ми докладно обговоримо під час розмови про лінійні рівняння.

І ще один момент: діючи за вивченим правилом, ми фактично виконуємо поділ обох частин рівняння на відомий від нуля відомий множник. У 6 класі буде сказано, що обидві частини рівняння можна множити і ділити на те саме відмінне від нуля число, це не впливає на корені рівняння.

На початок сторінки

Як знайти невідоме ділене, дільник?

В рамках нашої теми залишилося розібратися, як знайти невідоме ділене при відомому дільнику та приватному, а також як знайти невідомий дільник при відомому ділимому та приватному. Відповісти на ці питання дозволяє вже згаданий у попередньому пункті зв'язок між множенням та поділом.

Щоб знайти невідоме ділене, треба приватне помножити на дільник.

Розглянемо його застосування з прикладу. Розв'яжемо рівняння x5=9. Щоб знайти невідоме ділене цього рівняння, треба згідно з правилом помножити відоме приватне 9 на відомий дільник 5, тобто виконуємо множення натуральних чисел: 9·5=45. Таким чином, шукане ділене дорівнює 45.

Покажемо короткий запис рішення:
x5=9,
x=9·5,
x = 45.

Перевірка підтверджує, що значення невідомого поділеного знайдено правильно. Дійсно, при підстановці вихідне рівняння замість змінної x числа 45 воно звертається в правильну числову рівність 455=9.

Зауважимо, що розібране правило можна трактувати як множення обох частин рівняння відомий дільник. Таке перетворення впливає коріння рівняння.

Переходимо до правила знаходження невідомого дільника: щоб знайти невідомий дільник, треба поділити розділити на приватне.

Розглянемо приклад. Знайдемо невідомий дільник рівняння 18x=3. Для цього нам потрібно відоме ділене розділити 18 на відоме приватне 3, маємо 183=6. Таким чином, дільник, що шукається, дорівнює шести.

Рішення можна оформити і так:
18x=3,
x=183,
x = 6.

Перевіримо цей результат для надійності: 186 = 3 - правильна числова рівність, отже, корінь рівняння знайдено правильно.

Зрозуміло, що це правило можна застосовувати лише тоді, коли приватне відмінно від нуля, щоб не зіткнутися з розподілом на нуль. Коли приватне дорівнює нулю, то можливі два випадки. Якщо при цьому ділене дорівнює нулю, тобто рівняння має вигляд 0x = 0, то цьому рівнянню задовольняє будь-яке відмінне від нуля значення дільника. Інакше кажучи, корінням такого рівняння є будь-які числа, не рівні нулю. Якщо ж за рівному нулю приватному ділене відмінно від нуля, то ні за яких значеннях дільника вихідне рівняння не звертається у правильне числове рівність, тобто, рівняння немає коренів. Для ілюстрації наведемо рівняння 5x=0, воно немає рішень.

На початок сторінки

Спільне використання правил

Послідовне застосування правил знаходження невідомого доданку, що зменшується, віднімається, множника, ділимого і дільника дозволяє вирішувати і рівняння з єдиною змінною складнішого виду. Розберемося з цим на прикладі.

Розглянемо рівняння 3 x + 1 = 7. Спочатку ми можемо знайти невідоме доданок 3 x, для цього треба від суми 7 відібрати відоме доданок 1, отримуємо 3 x = 7-1 і далі 3 x = 6. Тепер залишилося знайти невідомий множник, розділивши твір 6 на відомий множник 3 маємо x=63, звідки x=2. Так знайдено корінь вихідного рівняння.

Для закріплення матеріалу наведемо коротке рішення ще одного рівняння (2 x-7) 3-5 = 2.
(2·x−7)3−5=2,
(2 · x-7) 3 = 2 +5,
(2·x−7)3=7,
2·x−7=7·3,
2·x−7=21,
2 · x = 21 +7,
2 · x = 28,
x=282,
x = 14.

На початок сторінки

• Математика.. 4 клас. Навч. для загальноосвіт. установ. О 2 год. Ч. 1/.- 8-е вид. - М.: Просвітництво, 2011. - 112 с.: Іл. - (Школа Росії). - ISBN 978-5-09-023769-7.
• Математика: навч. для 5 кл. загальноосвіт. установ / Н. Я. Віленкін, В. І. Жохов, А. С. Чесноков, С. І. Шварцбурд. - 21-е вид., Стер. - М.: Мнемозіна, 2007. - 280 с.: Іл. ISBN 5-346-00699-0.

Нерідко можна зустріти такі рівняння, у яких невідомий дільник. Наприклад 350: Х = 50, де 350 - ділене, Х - дільник, а 50 - часткове. Для вирішення цих прикладів необхідно зробити певний набір дій із тими числами, які відомі.

Вам знадобиться

• - олівець чи ручка;
• - аркуш паперу чи зошит.

Інструкція

• Уявіть, що одна жінка мала кілька дітей. У магазині вона придбала 30 цукерок. Повернувшись додому, жінка розділила солодощі порівну між дітьми. Таким чином кожна дитина отримала на десерт по 5 цукерок. Запитання: Скільки дітей було у жінки?
• Складіть просте рівняння, де невідоме, тобто. Х – це кількість дітей, 5 – це число цукерок, отриманих кожною дитиною, а 30 – це кількість солодощів, яка була куплена. Таким чином ви повинні отримати приклад: 30: Х = 5. У цьому математичному виразі 30 називається ділимим, Х - дільником, а приватне, що вийшло, дорівнює 5.
• Тепер приступайте до вирішення. Відомо: щоб знайти дільник, потрібно поділити розділити на приватне. Виходить: Х = 30: 5; 30: 5 = 6; Х = 6.
• Зробіть перевірку, підставивши в рівняння число, що вийшло. Отже, 30: Х = 5 ви знайшли невідомий дільник, тобто. Х = 6, в такий спосіб: 30: 6 = 5. Вираз вірно, та якщо з цього випливає, що рівняння вирішено правильно. Зрозуміло, під час вирішення прикладів, у яких фігурують прості числа, перевірку виконувати необов'язково. Але коли рівняння складаються із двозначних, тризначних, чотиризначних тощо. чисел, обов'язково перевіряйте себе. Адже це не забирає багато часу, але дає абсолютну впевненість у отриманому результаті.

Довгий шлях напрацювання навичок розв'язання рівняньпочинається з вирішення найперших і щодо простих рівнянь. Під такими рівняннями ми маємо на увазі рівняння, в лівій частині яких знаходиться сума, різницю, твір або приватне двох чисел, одне з яких невідоме, а в правій частині стоїть число. Тобто, ці рівняння містять невідоме доданок, що зменшується, віднімається, множник, ділене або дільник. Про вирішення таких рівнянь і йтиметься у цій статті.

Тут ми наведемо правила, що дозволяють знаходити невідомий доданок, множник і т.п. Причому відразу розглядатимемо застосування цих правил на практиці, вирішуючи характерні рівняння.

Навігація на сторінці.

Отже, підставляємо вихідне рівняння 3+x=8 замість x число 5 , отримуємо 3+5=8 – це рівність правильне, отже, правильно знайшли невідоме доданок. Якби при перевірці ми здобули неправильну числову рівність, то це вказало б нам на те, що ми неправильно вирішили рівняння. Основними причинами цього можуть бути застосування не того правила, яке потрібно, або обчислювальні помилки.

Як знайти невідоме зменшуване, що віднімається?

Зв'язок між додаванням і відніманням чисел, про який ми вже згадували в попередньому пункті, дозволяє отримати правило знаходження невідомого зменшуваного через відоме віднімання і різницю, а також правило знаходження невідомого віднімається через відоме зменшуване і різницю. Формулюватимемо їх по черзі, і відразу наводитимемо рішення відповідних рівнянь.

Щоб знайти невідоме зменшуване, треба до різниці додати віднімання.

Наприклад розглянемо рівняння x−2=5 . Воно містить невідоме зменшення. Наведене правило нам показує, що з його відшукання ми повинні до відомої різниці 5 додати відоме віднімається 2 , маємо 5+2=7 . Таким чином, шукане зменшуване дорівнює семи.

Якщо опустити пояснення, рішення записується так:
x−2=5 ,
x=5+2 ,
x=7.

Для самоконтролю виконаємо перевірку. Підставляємо вихідне рівняння знайдене зменшуване, при цьому отримуємо числову рівність 7−2=5 . Воно вірне, тому, можна бути впевненим, що ми чітко визначили значення невідомого зменшуваного.

Можна переходити до знаходження невідомого. Воно знаходиться за допомогою додавання за таким правилом: щоб знайти невідоме віднімання, треба від зменшуваного відняти різницю.

Розв'яжемо рівняння виду 9−x=4 за допомогою записаного правила. У цьому рівнянні невідомим є віднімання. Щоб його знайти, нам треба від відомого зменшуваного 9 відібрати відому різницю 4 маємо 9-4=5 . Таким чином, шукане віднімання дорівнює п'яти.

Наведемо короткий варіант розв'язання цього рівняння:
9−x=4 ,
x = 9-4 ,
x=5.

Залишається лише перевірити правильність знайденого. Зробимо перевірку, навіщо підставимо вихідне рівняння замість x знайдене значення 5 , у своїй отримуємо числове рівність 9−5=4 . Воно правильне, тому знайдене нами значення правильне.

І перш ніж переходити до наступного правила зауважимо, що в 6 класі розглядається правило розв'язання рівнянь, яке дозволяє виконувати перенесення будь-якого доданку з однієї частини рівняння до іншої з протилежним знаком. Так ось усі розглянуті вище правила знаходження невідомого доданку, що зменшується і віднімається з ним повністю узгоджені.

Щоб знайти невідомий множник, треба…

Погляньмо на рівняння x·3=12 і 2·y=6 . Вони невідоме число є множником у лівій частині, а твір і другий множник відомі. Для знаходження невідомого множника можна використовувати таке правило: щоб знайти невідомий множник, треба твір поділити на відомий множник.

В основі цього правила лежить те, що поділу чисел ми надали сенс, обернений до змісту множення. Тобто, між множенням і розподілом існує зв'язок: з рівності a b = c, в якому a 0 і b 0 слід, що c: a = b і c: b = c, і назад.

Наприклад знайдемо невідомий множник рівняння x·3=12 . Відповідно до правила нам треба розділити відомий твір 12 на відомий множник 3 . Проведемо : 12:3 = 4 . Таким чином, невідомий множник дорівнює 4 .

Коротко рішення рівняння записується у вигляді послідовності рівностей:
x · 3 = 12 ,
x = 12:3,
x=4.

Бажано зробити перевірку результату: підставляємо у вихідне рівняння замість літери знайдене значення, отримуємо 4·3=12 – правильне числове рівність, тому ми правильно знайшли значення невідомого множника.

І ще один момент: діючи за вивченим правилом, ми фактично виконуємо поділ обох частин рівняння на відомий від нуля відомий множник. У 6 класі буде сказано, що обидві частини рівняння можна множити і ділити на те саме відмінне від нуля число, це не впливає на корені рівняння.

Як знайти невідоме ділене, дільник?

В рамках нашої теми залишилося розібратися, як знайти невідоме ділене при відомому дільнику та приватному, а також як знайти невідомий дільник при відомому ділимому та приватному. Відповісти на ці питання дозволяє вже згаданий у попередньому пункті зв'язок між множенням та поділом.

Щоб знайти невідоме ділене, треба приватне помножити на дільник.

Розглянемо його застосування з прикладу. Розв'яжемо рівняння x:5=9 . Щоб знайти невідоме ділене цього рівняння треба згідно з правилом помножити відоме приватне 9 на відомий дільник 5 тобто виконуємо множення натуральних чисел: 9·5=45 . Таким чином, шукане ділене дорівнює 45 .

Покажемо короткий запис рішення:
x: 5 = 9,
x = 9 · 5,
x=45.

Перевірка підтверджує, що значення невідомого поділеного знайдено правильно. Дійсно, при підстановці вихідне рівняння замість змінної x числа 45 воно звертається у правильну числову рівність 45:5 = 9 .

Зауважимо, що розібране правило можна трактувати як множення обох частин рівняння відомий дільник. Таке перетворення впливає коріння рівняння.

Переходимо до правила знаходження невідомого дільника: щоб знайти невідомий дільник, треба поділити розділити на приватне.

Розглянемо приклад. Знайдемо невідомий дільник із рівняння 18:x=3. Для цього нам потрібно відоме ділене 18 розділити на відоме приватне 3 , маємо 18:3 = 6 . Таким чином, дільник, що шукається, дорівнює шести.

Рішення можна оформити і так:
18: x = 3,
x = 18:3,
x=6.

Перевіримо цей результат для надійності: 18:6 = 3 - правильна числова рівність, отже, корінь рівняння знайдено правильно.

Зрозуміло, що це правило можна застосовувати лише тоді, коли приватне відмінно від нуля, щоб не зіткнутися з розподілом на нуль. Коли приватне дорівнює нулю, то можливі два випадки. Якщо при цьому ділене дорівнює нулю, тобто рівняння має вигляд 0: x = 0, то цьому рівнянню задовольняє будь-яке відмінне від нуля значення дільника. Інакше кажучи, корінням такого рівняння є будь-які числа, не рівні нулю. Якщо ж за рівному нулю приватному ділене відмінно від нуля, то ні за яких значеннях дільника вихідне рівняння не звертається у правильне числове рівність, тобто, рівняння немає коренів. Для ілюстрації наведемо рівняння 5: x = 0 воно не має рішень.

Спільне використання правил

Послідовне застосування правил знаходження невідомого доданку, що зменшується, віднімається, множника, ділимого і дільника дозволяє вирішувати і рівняння з єдиною змінною складнішого виду. Розберемося з цим на прикладі.

Розглянемо рівняння 3 x + 1 = 7 . Спочатку ми можемо знайти невідоме доданок 3 x, для цього треба від суми 7 відібрати відоме доданок 1, отримуємо 3 x = 7-1 і далі 3 x = 6 . Тепер залишилося знайти невідомий множник, розділивши твір 6 на відомий множник 3 маємо x=6:3 звідки x=2 . Так знайдено корінь вихідного рівняння.

Для закріплення матеріалу наведемо коротке рішення ще одного рівняння (2 x-7): 3-5 = 2 .
(2·x−7):3−5=2 ,
(2 · x-7): 3 = 2 +5,
(2 · x-7): 3 = 7,
2·x−7=7·3 ,
2·x−7=21 ,
2 · x = 21 +7,
2 · x = 28 ,
x = 28:2,
x=14.

Список літератури.

• Математика.. 4 клас. Навч. для загальноосвіт. установ. О 2 год. Ч. 1/[М. І. Моро, М. А. Бантова, Г. В. Бельтюкова та ін]. - 8-е вид. – К.: Просвітництво, 2011. – 112 с.: іл. - (Школа Росії). - ISBN 978-5-09-023769-7.
• Математика: навч. для 5 кл. загальноосвіт. установ / Н. Я. Віленкін, В. І. Жохов, А. С. Чесноков, С. І. Шварцбурд. - 21-е вид., Стер. – М.: Мнемозіна, 2007. – 280 с.: іл. ISBN 5-346-00699-0.

Інструкція

Найчастіше потрібно розкласти число на прості множники. Це числа, які ділять вихідне число без залишку, і при цьому самі можуть ділитися без залишку тільки на саму себе та одиницю (до таких чисел 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 і т.д.). Причому закономірності у ряду не знайдено. Візьміть їх із спеціальної таблиці або знайдіть за допомогою алгоритму, який називається «решета Ератосфена».

Числа, що мають більше двох дільників, називаються складовими. Які ж числаможуть бути складовими?
Так як числаділяться на 2 націло, то всі парні числакрім числа 2, будуть складовими. Дійсно, при розподілі 2:2 двійка ділиться сама на себе, тобто має лише два дільники (1 і 2) і є простим числом.

Подивимося, чи є у парного числаще якісь дільники. Розділимо його спочатку на 2. З комутативності операції множення очевидно, що приватне, що вийшло, також буде дільником числа. Потім, якщо приватне, що вийшло, буде цілим, розділимо знову на 2 вже це приватне. Тоді нове приватне y = (x:2):2 = x:4, що вийшло в результаті, теж буде дільником вихідного числа. Аналогічно, і 4 буде дільником вихідного числа.

Продовжуючи цей ланцюжок, узагальним правило: послідовно ділимо спочатку а потім вийшло приватні на 2 до тих пір, поки приватне не буде одно непарному числу. При цьому всі приватні будуть дільниками цього. числа. Крім цього дільниками цього числабудуть і числа 2^k де k = 1 ... n, де n - число кроків цього ланцюжка. Приклад: 24: 2 = 12, 12: 2 = 6, 6: 2 = 3 - непарне число. Отже, 12, 6 та 3 - дільники числа 24. У цьому ланцюжку 3 кроки, отже, дільниками числа 24 будуть також числа 2^1 = 2 (вже відомо з парності числа 24), 2^2 = 4 і 2^3 = 8. Таким чином, числа 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 та 24 будуть дільниками числа 24.

Однак не для всіх парних чисел ця може дати все дільники числа. Розглянемо, наприклад, число 42. 42:2 = 21. Однак, як відомо, числа 3, 6 та 7 також будуть дільниками числа 42.
Існують ділимості на числа. Розглянемо найважливіші їх:
Ознака ділимості на 3: коли сума цифр числаділиться на 3 без залишку.
Ознака ділимості на 5: коли остання цифра числа 5 чи 0.
Ознака ділимості на 7: коли результат віднімання подвійної останньої цифри з цього числабез останньої цифри поділяється на 7.
Ознака ділимості на 9: коли сума цифр числаділиться на 9 без залишку.
Ознака ділимості на 11: коли сума цифр, що займають непарні місця, або дорівнює сумі цифр, що займають парні місця, або від неї на число, що ділиться на 11.
Існують також ознаки подільності на 13, 17, 19, 23 та інші числа.

Як парних, так непарних чисел потрібно використовувати ознаки поділу те чи інше число. Розділивши число, слід визначити дільникиприватного, що вийшов, і.т.д. (ланцюжок аналогічний ланцюжка парних чисел при розподілі їх на 2, описаної вище).

Джерела:

• Ознаки подільності

З чотирьох основних математичних процесів найбільш ресурсомісткою операцією є поділ. Його можна здійснювати вручну (стовпчиком), на калькуляторах різних конструкцій, а також за допомогою логарифмічної лінійки.

Інструкція

Щоб поділити одне число на інше стовпчиком, спочатку запишіть ділене, потім дільник. Поміж ними розташуйте вертикальну лінію. Під дільником проведіть горизонтальну лінію. Послідовно видаляючи у молодші розряди, отримайте число, яке більше дільника. Послідовно помножуючи цифри від 0 до 9 на дільник, знайдіть найбільше з чисел, менших отриманого на попередньому етапі Запишіть цю цифру як перший розділ приватного. Результат множення цієї цифри на дільник запишіть під розділеним із зсувом на один розряд праворуч. Зробіть віднімання, а з його результатом здійсніть ті ж дії, поки не знайдете всі розряди приватного. Розташування коми визначте, віднімаючи порядок дільника з порядку ділимого.

Якщо числа не поділяються один на одного, можливі дві ситуації. У першій з них одна цифра або поєднання кількох цифр повторюватиметься нескінченно. Тоді продовжувати обчислення безглуздо – достатньо взяти цю цифру чи ланцюжок із цифр у період. У другій ситуації будь-якої закономірності приватного не вдасться. Тоді припиніть поділ, домігшись бажаної точності результату, а останній округліть.

Для поділу одного числа на інше з використанням калькулятора з арифметичної (як найпростішого, так і інженерного) натисніть кнопку скидання, введіть ділене, натисніть кнопку поділу, введіть дільник, а потім натисніть кнопку зі знаком рівності. На калькуляторі з формульним записом діліть аналогічним чином, з урахуванням того, що клавіша зі знаком рівності може носити , наприклад, Enter або Exe. Сучасні прилади цього типу є дворядковими: набирається у верхньому рядку, а результат відображається в нижньому більшими цифрами. Використовуючи клавішу Ans, цей результат можна використовувати у наступному обчисленні. У всіх випадках результат автоматично заокруглюється в межах розрядної сітки калькулятора.

На калькуляторі зі зворотним польським записом спочатку натисніть кнопку скидання, потім введіть ділене та натисніть клавішу Enter (замість цього напису на ній може бути стрілка, спрямована вгору). Число опиниться в комірці стека. Тепер введіть дільник і натисніть клавішу зі знаком поділу. Відбудеться розподіл числа зі стека на число, яке відображалося до цього на індикаторі.

Логарифмічну лінійку використовуйте у випадках, коли точність потрібна невелика. Заберіть з обох чисел, а потім від кожного з них візьміть по два старші розряди. На шкалі A знайдіть дільник, а потім поєднайте його з ділимим на шкалі B. Потім знайдіть на останній одиницю - прямо над нею на шкалі A буде розташовано приватне. Розташування коми в ньому визначте тим же способом, що й стовпчиком.

Джерела:

• Порядок поділу стовпчиком
• приватні числа це

Школярі часто зустрічають серед завдань з математики таке формулювання: "знайдіть найменше загальне кратне чисел". Цьому обов'язково потрібно навчитися робити, щоб виконувати різні дії з дробами з різними знаменниками.

Знаходження найменшого загального кратного: основні поняття

Щоб зрозуміти, як обчислювати НОК, слід визначитися насамперед із значенням терміна "кратне".

Кратним числу А називають таке натуральне число, яке без залишку ділиться на А. Так, кратними числами 5 можна вважати 15, 20, 25 і так далі.

Дільників конкретного числа може бути обмежена кількість, а ось кратних безліч.

Загальне кратне натуральних чисел – число, яке ділиться на них без залишку.

Найменше загальне кратне (НОК) чисел (двох, трьох або більше) - це найменше натуральне число, яке ділиться на ці цифри націло.

Щоб знайти НОК, можна використати кілька способів.

Для невеликих чисел зручно виписати в рядок усі кратні цих чисел доти, доки серед них не знайдеться загальне. Кратні позначають у записі великою літерою До.

Наприклад, кратні числа 4 можна записати так:

До (4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

До (6) = (12, 18, 24, ...)

Так, можна побачити, що найменшим загальним кратним чисел 4 і 6 є число 24. Цей запис виконують таким чином:

НОК (4, 6) = 24

Найбільший загальний дільник- це максимальне число, на яке може ділитися кожне із пропонованих чисел. Часто цей термін використовується для скорочення складних дробів, де і чисельник та знаменник треба поділити на однакове число. Іноді можна визначити найбільший загальний дільникна око, однак у більшості випадків, що для того, щоб його знайти потрібно провести ряд математичних операцій.

Вам знадобиться

• Для цього вам знадобиться аркуш паперу або калькулятор.

Інструкція

Розкладіть кожне складне число на добуток простих чи множників. Наприклад, 60 і 80, де 60 - дорівнює 2 * 2 * 3 * 5, а 80 - 2 * 2 * 2 * 2 * 5, простіше це можна записати за допомогою . В даному випадку виглядатиме як два в другій, помножена на п'ять і три, а другий - твір двох у четвертій та п'яти.

Тепер випишіть загальні для обох чисел. У нашому варіанті – це два та п'ять. Однак в інших випадках це число може бути одне, два або три цифри і навіть . Далі треба попрацювати. Виберіть найменшу у кожного множника. У прикладі це два у другому ступені та п'ять у першому.

На завершення просто потрібно перемножити цифри. У нашому випадку все дуже просто: два в , помножене на п'ять, дорівнює 20. Таким чином, число 20 можна назвати найбільшим спільним дільником для 60 і 80.

Відео на тему

Зверніть увагу

Пам'ятайте, що простим множником є ​​число, яке має лише 2 дільники: одиниця і саме це число.

Корисна порада

Крім цього методу можна також користуватися алгоритмом Евкліда. Повний його опис, представлений у геометричній формі, можна знайти у книзі Евкліда "Початку".

Пов'язана стаття

Нерідко можна зустріти такі рівняння, у яких невідомий. Наприклад 350: Х = 50, де 350 - ділене, Х - дільник, а 50 - часткове. Для вирішення цих прикладів необхідно зробити певний набір дій із тими числами, які відомі.

Вам знадобиться

• - олівець чи ручка;
• - аркуш паперу чи зошит.

Інструкція

Складіть просте рівняння, де невідоме, тобто. Х – це кількість дітей, 5 – це число цукерок, отриманих кожною дитиною, а 30 – це кількість солодощів, яка була куплена. Таким чином ви повинні отримати : 30: Х = 5. У цьому математичному виразі 30 називається ділимим, Х - дільником, а приватне, що вийшло, дорівнює 5.

Тепер приступайте до вирішення. Відомо: щоб знайти дільник, потрібно поділити розділити на приватне. Виходить: Х = 30: 5; 30: 5 = 6; Х = 6.

Зробіть перевірку, підставивши в рівняння число, що вийшло. Отже, 30: Х = 5 ви знайшли невідомий дільник, тобто. Х = 6, таким чином: 30: 6 = 5. Вираз вірний, а з цього випливає, що рівняння вирішено . Зрозуміло, під час вирішення прикладів, у яких фігурують прості числа, перевірку виконувати необов'язково. Але коли рівняння , тризначні, чотиризначні і т.д. чисел, обов'язково перевіряйте себе. Адже це не забирає багато часу, але дає абсолютну впевненість у отриманому результаті.

Зверніть увагу