Що свідчить період коливань. Гармонічні коливання

Час, протягом якого відбувається одна повна зміна ЕРС, тобто один цикл коливання або один повний оборот радіуса-вектора, називається періодом коливання змінного струму(малюнок 1).

Малюнок 1. Період та амплітуда синусоїдального коливання. Період – час одного коливання; Аплітуда – його найбільше миттєве значення.

Період виражають у секундах та позначають буквою Т.

Також використовуються дрібніші одиниці виміру періоду це мілісекунда (мс)- одна тисячна секунди і мікросекунда (мкс)- одна мільйонна секунди.

1 мс = 0,001 сек = 10 -3 сек.

1 мкс = 0,001 мс = 0,000001сек = 10 -6 сек.

1000 мкс = 1 мс.

Число повних змін ЕРС або кількість обертів радіуса-вектора, тобто інакше кажучи, кількість повних циклів коливань, що здійснюються змінним струмом протягом однієї секунди, називається частотою коливань змінного струму.

Частота позначається буквою f і виявляється у періодах на секунду чи герцах.

Одна тисяча герц називається кілогерцем (кГц), а мільйон герц – мегагерцем (МГц). Існує так само одиниця гігагерц (ГГц), що дорівнює одній тисячі мегагерц.

1000 Гц = 103 Гц = 1 кГц;

1000000 Гц = 106 Гц = 1000 кГц = 1 МГц;

1000000000 Гц = 10 9 Гц = 1000 000 кГц = 1000 МГц = 1 ГГц;

Чим швидше відбувається зміна ЕРС, тобто чим швидше обертається радіус-вектор, тим менше період коливання Чим швидше обертається радіус-вектор, тим вища частота. Таким чином, частота та період змінного струму є величинами, обернено пропорційними один одному. Чим більше одна з них, тим менша інша.

Математичний зв'язок між періодом та частотою змінного струму та напруги виражається формулами

Наприклад, якщо частота струму дорівнює 50 Гц, то період дорівнюватиме:

Т=1/f=1/50=0,02 сек.

І навпаки, якщо відомо, що період струму дорівнює 0,02 сек, (T=0,02 сек.), то частота дорівнюватиме:

f = 1/T = 1/0,02 = 100/2 = 50 Гц

Частота змінного струму, що використовується для освітлення та промислових цілей, якраз і дорівнює 50 Гц.

Частоти від 20 до 20000 Гц називаються звуковими частотами. Струми в антена радіостанцій коливаються з частотами до 1 500 000 000 Гц або, інакше кажучи, до 1 500 МГц або 1,5 ГГц. Такі високі частоти називають радіочастотами або коливаннями високої частоти.

Нарешті, струми в антенах станцій радіолокацій, станцій супутникового зв'язку, інших спецсистем (наприклад ГЛАНАСС, GPS) коливаються з частотами до 40 000 МГц (40 ГГц) і вище.

Амплітуда змінного струму

Найбільше значення, якого досягає ЕРС чи сила струму за період, називається амплітудою ЕРС чи сили змінного струму. Легко помітити, що амплітуда в масштабі дорівнює довжині радіусу-вектора. Амплітуди струму, ЕРС та напруги позначаються відповідно літерами Im, Em та Um (малюнок 1).

Кутова (циклічна) частота змінного струму.

Швидкість обертання радіуса-вектора, тобто зміна величини кута повороту протягом однієї секунди, називається кутовою (циклічною) частотою змінного струму і позначається грецькою літерою ? (Омега). Кут повороту радіуса-вектора у будь-який момент щодо його початкового положення вимірюється зазвичай над градусах, а спеціальних одиницях - радіанах.

Радіаном називається кутова величина дуги кола, довжина якої дорівнює радіусу цього кола (рисунок 2). Все коло, що становить 360 °, дорівнює 6,28 радіан, тобто 2.

Малюнок 2.

1рад = 360 ° / 2

Отже, кінець радіусу-вектора протягом одного періоду пробігають шлях, що дорівнює 6,28 радіан (2). Так як протягом однієї секунди радіус-вектор здійснює число обертів, що дорівнює частоті змінного струму. f, то за одну секунду його кінець пробігає шлях, рівний 6,28*fрадіан. Це вираз, що характеризує швидкість обертання радіуса-вектора, і буде кутовий частотою змінного струму -? .

? = 6,28 * f = 2f

Кут повороту радіуса-вектора будь-якої миті щодо його початкового положення називається фазою змінного струму. Фаза характеризує величину ЕРС (або струму) в дану мить або, як то кажуть, миттєве значення ЕРС, її напрям у ланцюгу та напрям її зміни; фаза показує, чи зменшується ЕРС чи зростає.

Малюнок 3.

Повний оборот радіуса-вектора дорівнює 360 °. З початком нового обороту радіуса-вектора зміна ЕРС відбувається у тому порядку, як і протягом першого обороту. Отже, всі фази ЕРС повторюватимуться у колишньому порядку. Наприклад, фаза ЕРС при повороті радіуса-вектора на кут 370° буде такою ж, як і при повороті на 10°. В обох випадках радіус-вектор займає однакове положення, і, отже, миттєві значення ЕРС будуть в обох випадках однаковими по фазі.

Визначення

Період- це мінімальний час, за який відбувається один повний коливальний рух.

Позначають період буквою $T$.

де $ \ Delta t $ - час коливань; $N$ - кількість повних коливань.

Рівняння коливань пружинного маятника

Розглянемо найпростішу коливальну систему, у якій можна реалізувати механічні коливання. Це вантаж маси $m$, підвішений на пружині, коефіцієнт пружності якої дорівнює $k $ (рис.1). Розглянь вертикальний рух вантажу, який обумовлений дією сили тяжіння та сили пружності пружини. У стані рівноваги такої системи сила пружності дорівнює за величиною силою тяжкості. Коливання пружинного маятника виникають, коли систему виводять зі стану рівноваги, наприклад, трохи додатково розтягнувши пружину, після цього маятник надають самому собі.

Припустимо, що маса пружини мала в порівнянні з масою вантажу, при описі коливань її враховувати не будемо. Початком відліку вважатимемо точку на осі координат (X), яка збігається з положенням рівноваги вантажу. У цьому положенні пружина має подовження, яке позначимо $b$. Розтяг пружини відбувається через вплив на вантаж сили тяжіння, отже:

Якщо вантаж зміщують додатково, але закон Гука ще виконується, то сила пружності пружини стає рівна:

Прискорення вантажу запишемо, пам'ятаючи, що рух відбувається по осі X, як:

Другий закон Ньютона для вантажу набуває вигляду:

Врахуємо рівність (2), формулу (5) перетворимо на вигляд:

Якщо ввести позначення: $(\omega )^2_0=\frac(k)(m)$, то рівняння коливань запишемо як:

\[\ddot(x)+(\omega )^2_0x=0\left(7\right),\]

де $(\omega )^2_0=\frac(k)(m)$ - циклічна частота коливань пружинного маятника. Рішенням рівняння (7) (це перевіряється безпосередньою підстановкою) є функція:

де $(\omega )_0=\sqrt(\frac(k)(m))>0$ - циклічна частота коливань маятника, $A$ - амплітуда коливань; $((\omega )_0t+\varphi)$ - фаза коливань; $\varphi$ і $(\varphi)_1$ - початкові фази коливань.

Формули періоду коливань пружинного маятника

Ми отримали, що коливання пружинного маятника описується функцією косинус чи синус. Це періодичні функції, отже, зміщення $x$ прийматиме рівні значення через певні однакові проміжки часу, які називають періодом коливань. Позначають період літерою T.

Ще однією величиною, що характеризує коливання є величина, зворотна періоду коливань, її називають частотою ($\nu $):

Період пов'язаний із циклічною частотою коливань як:

Вище ми отримували для пружинного маятника $(\omega )_0=\sqrt(\frac(k)(m))$, отже, період коливань пружинного маятника дорівнює:

Формула періоду коливань пружинного маятника (11) показує, що $T$ залежить від маси вантажу, прикріпленого до пружини та коефіцієнта пружності пружини, але не залежить від амплітуди коливань (A). Ця властивість коливань називають ізохронністю. Ізохронність виконується доти, доки справедливий закон Гука. При величезних розтягненнях пружини закон Гука порушується, виникає залежність коливань від амплітуди. Наголосимо, що формула (11) для обчислення періоду коливань пружинного маятника справедлива при малих коливаннях.

Приклади завдань на період коливань

Приклад 1

Завдання.Пружинний маятник здійснив 50 повних коливань за час, що дорівнює 10 с. Який період коливань маятника? Чому дорівнює частота цих коливань?

Рішення.Так як період - це мінімальний час, необхідний маятнику для здійснення одного повного коливання, то знайдемо його як:

Обчислимо період:

Частота - величина зворотна періоду, отже:

\[\nu =\frac(1)(T)\left(1.2\right).\]

Обчислимо частоту коливань:

\[\nu =\frac(1)(0,2)=5\ \left(Гц\right).\]

Відповідь.$ 1) \ T = 0,2 $ с; 2) 5Гц

Приклад 2

Завдання.Дві пружини, мають коефіцієнти пружності $k_1$ і $k_2$ з'єднані паралельно (рис.2), до системи приєднаний вантаж маси $M$. Який період коливань отриманого пружинного маятника, якщо маси пружин можна знехтувати, сила пружності, що діє на вантаж, підпорядковується закону Гука?

Рішення.Скористаємося формулою для обчислення періоду коливань пружинного маятника:

При паралельному з'єднанні пружин результуюча жорсткість системи знаходиться як:

Це означає, що замість $k$ у формулу для обчислення періоду пружинного маятника підставимо праву частину виразу (2.2), маємо:

Відповідь.$T=2\pi \sqrt(\frac(M)(k_1(+k)_2))$

(Лат. amplitude- величина) - це найбільше відхилення тіла, що коливається від положення рівноваги.

Для маятника це максимальна відстань, на яку віддаляється кулька від свого положення рівноваги (рисунок нижче). Для коливань з малими амплітудами за таку відстань можна приймати як довжину дуги 01 чи 02, і довжини цих відрізків.

Амплітуда коливань вимірюється в одиницях довжини - метрах, сантиметрах і т. д. На графіку коливань амплітуда визначається як максимальна (за модулем) ордината синусоїдальної кривої, (див. рис. Нижче).

Період коливань.

Період коливань- Це найменший проміжок часу, через який система, що робить коливання, знову повертається в той же стан, в якому вона знаходилася в початковий момент часу, вибраний довільно.

Іншими словами, період коливань ( Т) - це час, за який відбувається одне повне коливання. Наприклад, на малюнку нижче цей час, за який вантаж маятника переміщається з крайньої правої точки через точку рівноваги Проу крайню ліву точку і назад через точку Прознову в крайню праву.

За повний період коливань, таким чином, тіло проходить шлях, рівний чотирьом амплітудам. Період коливань вимірюється в одиницях часу - секундах, хвилинах і т. д. Період коливань може бути визначений за відомим графіком коливань (див. рис. нижче).

Поняття «період коливань», строго кажучи, справедливе, лише коли значення коливається величини точно повторюються через певний проміжок часу, тобто для гармонійних коливань. Однак це поняття застосовується також і для випадків приблизно повторюваних величин, наприклад, для загасаючих коливань.

Частота коливань.

Частота коливань- Це число коливань, що здійснюються за одиницю часу, наприклад, за 1 с.

Одиниця частоти у СІ названа герцем(Гц) на честь німецького фізика Г. Герца (1857-1894). Якщо частота коливань ( v) дорівнює 1 Гц, то це означає, що за кожну секунду відбувається одне коливання. Частота та період коливань пов'язані співвідношеннями:

Теоретично коливань користуються також поняттям циклічною, або кругової частоти ω . Вона пов'язана із звичайною частотою vта періодом коливань Тспіввідношеннями:

.

Циклічна частота- Це число коливань, що здійснюються за 2πсекунд.

Так і до ангармонічним строго періодичними коливаннями (а приблизно - з тим чи іншим успіхом - і неперіодичним коливанням, принаймні до близьких до періодичності).

У випадку, коли мова йдепро коливання гармонійного осцилятора з загасанням , під періодом розуміється період його осцилюючої складової (ігноруючи згасання), який збігається з подвоєним тимчасовим проміжком між найближчими проходженнями величини, що коливається через нуль. У принципі, це визначення може бути з більшою чи меншою точністю та користю поширене в деякому узагальненні та на загасаючі коливання з іншими властивостями.

Позначення:звичайне стандартне позначення періоду коливань: T (\displaystyle T)(хоча можуть застосовуватися й інші, найчастіше це τ (\displaystyle \tau ), іноді Θ (\displaystyle \Theta )і т.д.).

Для хвильових процесів період пов'язаний також очевидним чином з довжиною. λ (\displaystyle \lambda)

де v (\displaystyle v)- швидкість поширення хвилі (точніше - фазова-швидкість).

У квантовій фізиціперіод коливань прямо пов'язаний з енергією (оскільки в квантовій фізиці енергія об'єкта – наприклад, частки – є частота коливань його хвильової функції).

Теоретичне знаходженняперіод коливань тієї чи іншої фізичної системи зводиться, як правило, до знаходження рішення динамічних рівнянь (рівняння), що описує цю систему. Для категорії лінійних систем (а приблизно - і для линеаризуемых систем у лінійному наближенні, що найчастіше є дуже хорошим) існують стандартні порівняно прості математичні методи, дозволяють це зробити (якщо відомі самі фізичні рівняння, що описують систему).

Для експериментального визначенняперіоду використовуються годинники, секундоміри, частотоміри, стробоскопи, строботахометри, осцилографи. Також застосовуються биття, метод гетеродинування у різних видах, використовується принцип резонансу. Для хвиль можна поміряти період побічно - через довжину хвилі, для чого застосовуються інтерферометри, дифракційні решітки і тп. Іноді потрібні і витончені методи, спеціально розроблені для конкретного важкого випадку (трудність можуть представляти як саме вимір часу, особливо якщо йдеться про гранично малі або навпаки дуже великі часи, так і труднощі спостереження коливається величини).

Енциклопедичний YouTube

• 1 / 5

  Уявлення про періоди коливань різних фізичних процесів дає стаття Частотні інтервали (враховуючи те, що період у секундах є зворотна величина частоти в герцах).

  Деяке уявлення про величини періодів різних фізичних процесів також може дати шкалу частот електромагнітних коливань (див. Електромагнітний спектр).

  Періоди коливань чутного людиною звуку перебувають у діапазоні

  Від 5·10 −5 до 0,2

  (чіткі межі його дещо умовні).

  Періоди електромагнітних коливань, що відповідають різним кольорам видимого світла – у діапазоні

  Від 1,1 · 10 -15 до 2,3 · 10 -15.

  Оскільки при екстремально великих та екстремально маленьких періодах коливань методи вимірювання мають тенденцію стають дедалі непрямими (аж до плавного перетікання в теоретичні екстраполяції), важко назвати чітку верхню та нижню межі для періоду коливань, виміряного безпосередньо. Якусь оцінку для верхньої межі може дати час існування сучасної науки (сотні років), а для нижньої – період коливань хвильової функції найважчої з відомих зараз частинок ().

  В будь-якому випадку кордоном знизуможе служити планковское час , яке настільки мало, що з сучасним уявленням як навряд може бути взагалі якось фізично виміряно , а й навряд чи у більш-менш найближчому майбутньому видається можливість наблизитися до виміру величин навіть набагато порядків великих, а кордоном зверху- час існування Всесвіту - понад десять мільярдів років.

  Періоди коливань найпростіших фізичних систем

  Пружинний маятник

  Математичний маятник

  T = 2 π l g (displaystyle T = 2 pi (sqrt (frac (l) (g))))

  де l (\displaystyle l)- Довжина підвісу (наприклад, нитки), g (\displaystyle g)- прискорення вільного падіння .

  Період малих коливань (на Землі) математичного маятника довжиною 1 метр з гарною точністю дорівнює 2 секундам.

  Фізичний маятник

  T = 2 π J m g l (\displaystyle T=2\pi (\sqrt (\frac (J)(mgl))))

  де J (\displaystyle J)- момент інерції маятника щодо осі обертання, m (\displaystyle m) -

  Що таке період коливань? Що це за величина, який фізичний зміст вона має та як її розрахувати? У цій статті ми розберемося з цими питаннями, розглянемо різні формули, якими можна розрахувати період коливань, а також з'ясуємо, який зв'язок є між такими фізичними величинами, як період і частота коливань тіла/системи.

  Визначення та фізичний зміст

  Періодом коливань називається такий проміжок часу, коли тіло чи система здійснюють одне коливання (обов'язково повне). Паралельно можна відзначити параметр, під час якого коливання може вважатися повним. У ролі такої умови виступає повернення тіла у його початковий стан (до початкової координати). Дуже добре проводиться аналогія із періодом функції. Помилково, до речі, думати, що вона має місце виключно у звичайній та вищій математиці. Як відомо, ці дві науки нерозривно пов'язані. І з періодом функцій можна зіткнутися не тільки при вирішенні тригонометричних рівнянь, але і в різних розділах фізики, а саме йдеться про механіку, оптику та інші. При перенесенні періоду коливань з математики у фізику під ним треба розуміти просто фізичну величину (а не функцію), яка має пряму залежність від часу, що минає.

  Які бувають коливання?

  Коливання поділяються на гармонійні та ангармонічні, а також на періодичні та неперіодичні. Логічно було б припустити, що у разі гармонійних коливань вони відбуваються відповідно до певної гармонійної функції. Це може бути як синус, і косинус. При цьому у справі можуть виявитися і коефіцієнти стиснення-розтягнення та збільшення-зменшення. Також коливання бувають загасаючими. Тобто коли на систему діє певна сила, яка поступово “гальмує” самі коливання. При цьому період стає меншим, тоді як частота коливань незмінно збільшується. Дуже добре демонструє таку ось фізичну аксіому найпростіший досвід з використанням маятника. Він може бути пружинного вигляду, а також математичного. Це не важливо. До речі, період коливань у таких системах визначатиметься різними формулами. Але про це трохи пізніше. Зараз наведемо приклади.

  Досвід із маятниками

  Взяти першим можна будь-який маятник, різниці ніякої не буде. Закони фізики те що і закони фізики, що вони дотримуються у разі. Але чомусь більше до вподоби математичний маятник. Якщо хтось не знає, що він являє собою: це кулька на нерозтяжній нитці, яка кріпиться до горизонтальної планки, прикріпленої до ніжок (або елементів, які грають їхню роль - тримати систему в рівноважному стані). Кульку найкраще брати з металу, щоб досвід був наочнішим.

  

  Отже, якщо вивести таку систему з рівноваги, прикласти до кулі якусь силу (простіше кажучи, штовхнути її), то кулька почне розгойдуватися на нитки, дотримуючись певної траєкторії. Згодом можна помітити, що траєкторія, якою проходить куля, скорочується. У той же час кулька починає все швидше снувати туди-сюди. Це свідчить, що частота коливань збільшується. А ось час, за який кулька повертається у початкове положення, зменшується. Адже час одного повного коливання, як ми з'ясували раніше, і називається періодом. Якщо одна величина зменшується, а інша збільшується, то говорять про зворотну пропорційність. Ось ми й дісталися першого моменту, на підставі якого будуються формули для визначення періоду коливань. Якщо ж ми візьмемо для проведення пружинний маятник, то там закон спостерігатиметься трохи інакше. Для того щоб він був найбільш наочно представлений, наведемо систему руху у вертикальній площині. Щоб було зрозуміліше, спочатку варто було сказати, що являє собою пружинний маятник. З назви зрозуміло, що в його конструкції має бути пружина. І це справді так. Знову ж таки, ми маємо горизонтальну площину на опорах, до якої підвішується пружина певної довжини і жорсткості. До неї, у свою чергу, підвішується грузик. Це може бути циліндр, куб чи інша фігурка. Це може бути навіть якась стороння річ. У будь-якому випадку, при виведенні системи з положення рівноваги, вона почне здійснювати загасання коливання. Найбільш чітко проглядається збільшення частоти саме у вертикальній площині, без жодного відхилення. На цьому із дослідами можна закінчити.

  

  Отже, у ході ми з'ясували, що період і частота коливань це дві фізичні величини, які мають зворотну залежність.

  Позначення величин та розмірності

  Зазвичай період коливань позначається латинської літерою T. Набагато рідше може позначатися інакше. Частота позначається буквою µ (“Мю”). Як ми говорили на початку, період це не що інше, як час, за який в системі відбувається повне коливання. Тоді розмірністю періоду буде секунда. Оскільки період і частота обернено пропорційні, то розмірністю частоти буде одиниця, поділена на секунду. У записі завдань все буде виглядати таким чином: T(с), µ(1/с).

  Формула для математичного маятника. Завдання №1

  Як і у випадку з дослідами, я вирішив насамперед розібратися з математичним маятником. Детально вдаватися до висновку формули ми не будемо, оскільки таке завдання спочатку не було. Та й висновок сам по собі громіздкий. Але з самими формулами ознайомимося, з'ясуємо, що за величини до них входять. Отже, формула періоду коливань для математичного маятника має такий вигляд:

  

  Де l – довжина нитки, п = 3,14, а g – прискорення вільного падіння (9,8 м/с^2). Жодних труднощів формула викликати не повинна. Тому без додаткових питань перейдемо одразу до вирішення задачі на визначення періоду коливання математичного маятника. Металева куля масою 10 грам підвішена на нерозтяжній нитці довжиною 20 сантиметрів. Розрахуйте період коливання системи, взявши її за математичний маятник. Рішення дуже просте. Як і у всіх завданнях з фізики, необхідно максимально спростити її за рахунок відкидання непотрібних слів. Вони включаються в контекст для того, щоб заплутати вирішального, але насправді ніякої ваги абсолютно не мають. Найчастіше, зрозуміло. Тут можна виключити момент із “нерозтяжною ниткою”. Це словосполучення не повинно вводити у ступор. Оскільки маятник у нас математичний, маса вантажу нас цікавити не повинна. Тобто слова про 10 грамів теж просто покликані заплутати учня. Але ж ми знаємо, що у формулі маса відсутня, тому зі спокійною совістю можемо приступати до вирішення. Отже, беремо формулу і просто підставляємо в неї величини, оскільки необхідно визначити період системи. Оскільки додаткових умов не було задано, округлятимемо значення до 3-го знака після коми, як і прийнято. Перемноживши та поділивши величини, отримаємо, що період коливань дорівнює 0,886 секунд. Завдання вирішено.

  Формула для пружинного маятника. Завдання №2

  Формули маятників мають загальну частину, саме 2п. Ця величина присутня відразу у двох формулах, але вони відрізняються підкореним виразом. Якщо задачі, що стосується періоду пружинного маятника, зазначена маса вантажу, то уникнути обчислень з її застосування неможливо, як це було у випадку з математичним маятником. Але лякатися не варто. Ось так виглядає формула періоду для пружинного маятника:

  

  У ній m – маса підвішеного до пружини вантажу, k – коефіцієнт жорсткості пружини. У завдані значення коефіцієнта може бути наведено. Але якщо у формулі математичного маятника особливо не розгуляєшся - таки 2 величини з 4 є константами - то тут додається 3 параметр, який може змінюватися. І на виході ми маємо 3 змінні: період (частота) коливань, коефіцієнт жорсткості пружини, маса підвішеного вантажу. Завдання може бути зорієнтоване перебування будь-якого з цих параметрів. Знову шукати період було б надто легко, тому ми трохи змінимо умову. Знайдіть коефіцієнт жорсткості пружини, якщо час повного коливання становить 4 секунди, а маса вантажу пружинного маятника дорівнює 200 грамів.

  Для вирішення будь-якого фізичного завдання добре було б спочатку зробити малюнок і написати формули. Вони тут – половина справи. Записавши формулу, необхідно виразити коефіцієнт жорсткості. Він у нас під коренем, тому обидві частини рівняння зведемо в квадрат. Щоб позбавитися дробу, помножимо частини на k. Тепер залишимо у лівій частині рівняння лише коефіцієнт, тобто розділимо частини на T^2. У принципі, завдання можна було б ще трохи ускладнити, поставивши не період у числах, а частоту. У будь-якому випадку, за підрахунками та округленнями (ми домовилися округлювати до 3-го знака після коми), вийде, що k = 0, 157 Н/м.

  Період вільних вагань. Формула періоду вільних коливань

  

  Під формулою періоду вільних коливань розуміють формули, які ми розібрали у двох раніше наведених завданнях. Складають також рівняння вільних коливань, але там йдеться вже про усунення та координати, а це питання стосується вже іншої статті.

  1) Перш ніж братися за завдання, запишіть формулу, яка з нею пов'язана.

  2) Найпростіші завдання не потребують малюнків, але у виняткових випадках їх потрібно буде зробити.

  3) Намагайтеся позбавлятися коренів і знаменників, якщо це можливо. Записане в рядок рівняння, що не має знаменника, вирішувати набагато зручніше та простіше.