Що таке центр кривизни опуклої поверхні півкулі. Центр кривизни

тиск безпосередньо під опуклою поверхнею рідини більший за тиск під плоскою поверхнею рідини, а тиск під увігнутою поверхнею рідини менше тиску, ніж під плоскою поверхнею.

Розрахунок тиску під сферичною поверхнею рідини

Вона являє собою тонкий шар води, який має дві поверхні, що обмежують: внутрішню і зовнішню. Радіуси кривизни цих поверхонь можна вважати однаковими, тому що товщина плівки в тисячі разів менша за радіус міхура. Вода з цього шару поступово стікає, шар витончується і рветься. Так що бульбашки по воді плавають не дуже довго: від часток секунди до десятка секунд. Слід зазначити, що з потоншення водяної плівки розмір міхура мало змінюється.

Розрахуємо надлишковий тиск у такому міхурі. Для простоти розглянемо одношарову напівсферу радіусу r, що розташовується на горизонтальній поверхні, так само вважатимемо, що зовні повітря немає. Плівка утримується на заштрихованій поверхні за рахунок змочування (рис. 2.3). При цьому на неї вздовж межі контакту з поверхнею діє сила поверхневого натягу, що дорівнює

де - коефіцієнт поверхневого натягу рідини,

Довжина межі розділу плівка-поверхня дорівнює.

Т. е. маємо:

.

Ця сила, що діє на плівку, а через неї і на повітря, спрямована перпендикулярно до поверхні (див. рис 2.3). Так що тиск повітря на поверхню і, отже, усередині міхура можна розрахувати так:

Де F - сила поверхневого натягу, рівна ,

S - площа поверхні: .

Підставляючи значення сили F та площі S у формулу розрахунку тиску отримаємо:

і остаточно.

У нашому прикладі з повітряним міхуром на поверхні води плівка подвійна і, отже, надлишковий тиск дорівнює .

На малюнку 2.4 наведено приклади одношарових сферичних поверхонь, які можуть утворитися на поверхні рідини. Над рідиною знаходиться газ, що має тиск.

Капілярність (від латів. capillaris - волосяний), капілярний ефект - фізичне явище, що полягає в здатності рідин змінювати рівень у трубках, вузьких каналах довільної форми, пористих тілах. Підняття рідини відбувається у випадках змочування каналів рідинами, наприклад, води в скляних трубках, піску, грунті і т. п. Зниження рідини відбувається в трубках і каналах, що не змочуються рідиною, наприклад ртуть у скляній трубці.

На основі капілярності заснована життєдіяльність тварин і рослин, хімічні технології, побутові явища (наприклад, підйом гасу за ґнотом у гасовій лампі, витирання рук рушником). Капілярність ґрунту визначається швидкістю, з якою вода піднімається у ґрунті та залежить від розміру проміжків між ґрунтовими частинками.

Формула Лапласа

Розглянемо тонку рідку плівку, завтовшки якої можна знехтувати. Прагнучи мінімізувати свою вільну енергію, плівка створює різницю тиску з різних боків. Цим пояснюється існування мильних бульбашок: плівка стискається доти, доки тиск усередині міхура не перевищуватиме атмосферне на величину додаткового тиску плівки. Додатковий тиск у точці поверхні залежить від середньої кривизни у цій точці і дається формулою Лапласа:

Тут R 1,2 – радіуси головних кривизн у точці. Вони мають однаковий знак, якщо відповідні центри кривизни лежать по один бік від дотичної площини в точці, і різний знак - якщо по різну сторону. Наприклад, для сфери центри кривизни у будь-якій точці поверхні збігаються з центром сфери, тому

Для випадку поверхні кругового циліндра радіуса R маємо

Спб.: Політехніка, 2004. – 679 c.
ISBN 5-7325-0236-Х
завантажити(пряме посилання) : spravochniktehnologaoptika2004.djvu Попередня 1 .. 55 > .. >> Наступна
Похибка методу пробного скла складається з похибки визначення радіуса кривизни самого пробного скла і похибки оцінки числа інтерференційних кілець, що спостерігаються. Остання зазвичай не перевищує 0,5 кільця або 0,14 мкм. Вигляд інтерференційної картини, що отримується при накладенні пробного скла на поверхню, що перевіряється, показаний на рис. 3.7.
Для визначення знака помилки натискають на пробне скло, спрямовуючи зусилля натиску вздовж осі виробу. При натисканні стежать за рухом інтерференційних кілець.
Якщо кільця стягуються до центру, помилка має позитивний знак, тобто. радіус кривизни опуклої поверхні, що перевіряється більше радіуса пробного скла (для увігнутої - навпаки). Якщо при натиску кільця розширюються, йдучи від центру, то помил-
Мал. 3.6. Схема контролю радіусів пробним склом
141
Мал. 3.7. Інтерференційна картина під час накладання пробного скла
Мал. 3.8. Схема методу кілець Ньютона
ка має негативний знак, тобто радіус кривизни опуклої поверхні менше радіуса кривизни увігнутої поверхні.
Методи вимірювання радіусів кривизни самого пробного скла встановлюються ГОСТ 2786-82*. У табл. 3.11 наведено засоби вимірювання радіусів кривизни пробного скла 1-го класу точності, рекомендовані інструкцією. Зазначені таблиці виміру на оптиметрі ІКГ проводяться методом порівняння з кінцевими заходами.
Для перевірки радіусів кривизни поверхонь пробного скла 2-го та 3-го класів точності інструкцією рекомендується кілька методів. Серед них - метод безпосереднього вимірювання за допомогою мікрометрів (які зазвичай застосовують для вимірювання стекол - півкуль з невеликим радіусом кривизни), автокол-лімаційний метод і метод кілець Ньютона.
За методом кілець Ньютона вимірюють радіуси кривизни, що перевищують 2000 мм (рис. 3.8). Перевірювана деталь 1 поміщається на предметний стіл 6 оптичного вимірювального приладу моделей ІЗА-2, УІМ-25, БМІ , на неї накладається плоскопаралельна скляна пластина 5, нижня поверхня якої має мінімальні відступи від ідеальної поверхні (N<0,1). Монохроматическим источником света 2 с помощью по-
Таблиця 3.11.
ЗАСОБИ ВИМІРЮВАННЯ РАДІУСІВ КРИВІЗНИ ПРОБНИХ СТЕКЛ
Радіус кривизни, мм Засіб виміру Форма скла Гранична похибка виміру
Від 0,5 до 37,5 Від 37,5 до 4000 Горизонтальний оптиметр ІКГ Автоколімаційна установка Випукло Увігнуте Від 0,175 до 4,0 мкм 0,004-0,007 %
142
лупрозорої пластини 3 здійснюється підсвічування проміжку між пластиною 5 і деталлю 1.
Кільцеву інтерференційну картину, що утворилася в проміжку, спостерігають у мікроскоп 4, і радіуси кілець вимірюють переміщенням столу приладу 6. Радіус кривизни обчислюють за формулою
п Рп-Рр (kn-kp)X'
де рп - радіус інтерференційного кільця kn; рр - радіус кільця kp; X - довжина хвилі джерела світла, що використовується; бенкет - порядкові номери кілець.
Розрахунки показують, якщо kn - kp~ 200, і наведення на кільце здійснюється з точністю до 0,1 його ширини, то відносна похибка вимірювання R не перевищує 0,1 %. Ця похибка може бути в два-три рази знижена, якщо перевіряється і плоску поверхні пластини 5 покрити світлодіючим шаром і замість двопроменевої одержати багатопроменеву інтерференційну картину.
Принципова схема приладу, що використовується при автоколі-маційному методі вимірювань радіусів кривизни, показана на рис. 3.9 а, б. Основу її становить автоколімаційний мікроскоп 1, що має вимірювальне переміщення вздовж своєї осі і осі сферичної поверхні деталі 2, що перевіряється. Для вимірювання радіуса кривизни осьовим переміщенням мікроскопа послідовно домагаються отримання різкого автоколімаційного зображення сітки мікроскопа при наведенні його на центр кривизни (рис. 3). а потім на вершину поверхні вимірюваної сфери (рис. 3.9 б). Різниця відліків для цих крайніх положень мікроскопів дорівнює вимірюваному радіусу кривизни поверх-
Мал. 3.9. Схема автоколімаційного методу вимірювання радіусу кривизни
143
ності. Точність вимірювань автоколімаційним методом в основному залежить від точності Дz фокусування мікроскопа на центр кривизни. Вона складає з урахуванням дії автоколімації, мкм, Д z = 0,1/А2, де А - діюча апертура мікрооб'єктиву мікроскопа або апертура вимірюваної поверхні (береться найменше значення А).
Для зменшення похибки наведення (особливо при вимірі радіусів кривизни поверхонь з малими відносними отворами) в деяких приладах застосовують коінцидентний метод фокусування. Діапазон радіусів кривизни поверхонь, що вимірюються автоколімаційним методом, залежить від довжини шкал вимірювальних приладів. При використанні вимірювальних машин типу ІЗМ вдається виміряти увігнуті поверхні з радіусом кривизни до 5000-6000 мм. За сприятливих обставин похибка виміру вбирається у 0,004 %.
Для вимірювання радіусів кривизни опуклих та увігнутих поверхонь безконтактним способом розроблено прилад ГІП-2. В основу його схеми покладено набір синтезованих голограм. Принцип дії полягає у наступному (рис. 3.10).

1). Типи кривих с.3-4.

2). Число оборотів с.4-6.

3). Випуклість с.6-7.

4). Найбільше питання с.7.

5). Мультфільм Літтл с.8-10.

6). Криві та рівняння с.11.

7). Приклади с. 12.

8). Список литературы с.13

Скільки землі кривих?

Це питання видається дивним. Можна намалювати безліч різноманітних кривих. Домовимося спочатку, які ми розглядатимемо. Тут нам має допомогти повсякденний досвід. Хороша пружна мотузка або дріт не має гострих кутів. Тому ми вивчатимемо лише гладкі криві (без будь-яких зламів), накреслені на земній поверхні. Таким кривим дозволяється мати скільки завгодно точок самоперетину.

Типи кривих

Крива – популярний математичний об'єкт, має багато цікавих показників: кривизну, довжину, кількість точок самоперетину, перегину тощо. буд. Усі вони заслуговують вивчення. (Про деяких із них розказано у статті Табачникова «Про плоскі криві» у «Кванті» №11 за 1988 р.) А які важливі для нас? Можливо довжина? Але кривих однакової довжини все одно надто багато. Чи вважати однаковими криві, у яких однакова кривизна? Тоді різних кривих буде більше, ніж функцій, - забагато. Щоб більше не гадати, забудемо відразу про всі характеристики кривої.

Будемо розуміти вираз «криві не сильно відрізняються один від одного буквально і вважати однаковими криві, які відрізняються «малим ворушінням». Тепер нам доведеться рахувати однаковими будь-які дві криві, які можна продеформувати (перетягнути) одна в одну так, щоб вони постійно залишалися гладкими (рис. 1). Адже таку деформацію можна розбити на серію «малих рухів». Будемо називати такі криві кривими одного типу.

Ми відкинули всі видимі різницю між кривими. Природно припустити, що з такому наївному угоді все криві - одного типу. Для незамкнених кривих так воно й є. Уявімо собі мотузку, що лежить на землі, що починає розпрямлятися з одного з кінців. Така мотузка плавно розгорнеться у пряму лінію (рис. 2). Отже, цікаво розглядати лише замкнутийїкриві.

Тепер все готове, щоб сформулювати суворе математичне питання:

Скільки Землі різних типів замкнутих кривих?

Це питання має багато різновидів і доповнень, що приводять нас у популярну область сучасної математики. Про це мова попереду, а поки що давайте вважати Землю плоскою.

Мал. 1. Мал. 2.

Число оборотів

Спробуйте продеформувати «вісімку» на нуль». Вийшло? Тоді дорогою у вас обов'язково виникло вістря (рис, 3). А чи можна деформувати так, щоб крива залишалася гладкою? Схоже, що не можна. Як це суворо довести? Перша думка - порахувати число самоперетинів кривої чи число областей, куди крива ділить площину. Але ці цифри можуть змінюватися. Ми вже бачили на малюнку 1, як крива типу "вісімки" втратила пару точок самоперетину. Це означає що парнеость числа сампроперетинівзалишилася без зміни. (Щоправда, у перший момент дві точки перетворилися на одну, але її слід розглядати як пару, що злилася.) Так само ситуація з числом областей: вони утворюються і зникають парами. Отже, "вісімка" і "нулик" відносяться до різних типів. Можливо, існує лише два типи кривих? Нічого подібного.

На площині існує безліч різних типів замкнутих кривих.

Щоб довести цю нашу першу теорему, кожною замкненою кривою на площині поставимо у відповідність натуральне число. Розглянемо точку, що рухається вздовж кривої (вектор її швидкості стосується кривої у кожний момент часу). Нехай за деякий час крапка обіжає всю криву і повернеться до початкового положення.

Числом оборотів кривоїми називатимемо число повних оборотів, які здійснює вектор швидкості цієї точки. (Не має значення, в якому напрямку повертається вектор. Це залежить від напрямку руху точки вздовж кривої.)

Число оборотів - інваріант , тобто воно не змінюється при деформації кривої. Адже це число не може змінитися стрибком при «малому ворушінні» кривої, а деформація - ланцюжок таких «ворушень». Отже, криві з різним числом оборотів відносяться до різних типів.

Різних чисел нескінченно багато, отже, і кривих – також. Теорему доведено.

Насправді, число обертів- єдиний інваріантплоских кривої. Це означає, що дві криві з однаковими числами оборотів належать одному типу. Спробуйте самі вигадати доказ, а якщо не вийде - поекспериментуйте. У крайньому випадку прочитайте «Квант» № 4 за 1983 р. А ми краще згадаємо, що Земля - ​​куля.

І все-таки вона крутиться...

Поверхня Землі – сфера. Скільки ж на ній кривих? Сфера – це площина плюс ще одна точка (рис. 4). Малюнок 4 називається стереографічною проекцією.Зробимо стереографічну проекцію з точки, що не лежить на кривій. Тоді ця крива потрапить на площину. Значить на сфері стільки ж типів кривих, скільки на площині? Так, недалеко ми пішли від тих, хто й справді вважає Землю плоскою. Ось правильна відповідь.

На сфері існує рівно два різні типи замкнутих кривих.

Доказ качнемо з картинки (рис. 5). Як бачите, кількість обертів більше не зберігається. Ось що відрізняє криві на сфері від кривих на площині. «Обернувшись» навколо сфери, крива втратила два оберти. Тепер легко зробити таку ж операцію над кривою з будь-яким числом оборотів (треба тільки домалювати у кривих на малюнку 5 кілька петельок у будь-якому місці). Ми отримали, що будь-яку криву можна продеформувати одну з кривих малюнку 6. У яку саме - залежить від парності числа оборотів.

Але як довести, що криві а) та 6) – різних типів не тільки на площині, а й на сфері? Адже, строго кажучи, кількість оборотів у цьому випадку взагалі не визначена. Виручає вже знайома нам парність числа самоперетину. У кривої б) це число непарне, а у кривої а) - чітко (дорівнює нулю).

Радіус кривизни опуклої поверхні можна розрахувати за такою формулою:

де: T1 - радіус кривизни опуклої поверхні, мм;

T2 - радіус кривизни оптичної зони увігнутої поверхні, мм;

D - вершинна рефракція лінзи, у діоптріях; n – показник заломлення матеріалу лінзи; t – товщина в центрі лінзи по її осі, мм.

Ha попередньо нагріту сферичну оправку з радіусом, що відповідає радіусу оптичної зони напівфабрикату, наносять віск наклейковий і приклеюють напівфабрикат з боку обробленої увігнутої поверхні. Центрівку проводять на спеціальному центрувальному пристрої з точністю 0,02-0,04 мм.

Після остигання оправлення разом із відцентрованим на ній напівфабрикатом встановлюється на посадковий конус сферотокарного верстата для обробки опуклої поверхні.

Розрахований радіус встановлюють за індикатором, розташованим на поворотному супорті. З допомогою іншого індикатора, встановленого на верстаті шпинделі, визначають товщину шару матеріалу, що знімається при обробці. Точення опуклої поверхні проводиться за кілька проходів (аналогічно обробці увігнутої поверхні) до тих пір, поки в центрі лінзи буде досягнуто заданої товщини.

Полірування опуклої поверхні проводять спеціальним полірувальником, змоченим суспензією, що полірує, на полірувальному автоматі (одно- або багатошпиндельному). Час полірування – від 2 до 5 хвилин (залежно від матеріалу).

Чистоту оптичної поверхні лінзи контролюють за допомогою бінокулярного мікроскопа або лупи відразу після виготовлення лінзи до зняття її з оправки з центральним отвором. Оптичну силу вимірюють на діоптриметрі. Якщо процесі контролю виявляється, що результати обробки не задовільні, то проводиться коригування процесу.

Після закінчення полірування та контролю оптики лінзу знімають з оправки, очищають від воску наклеєчного.

При виготовленні зовнішньої поверхні лінз негативної рефракції спочатку проточують сферичну поверхню з розрахунковим радіусом кривизни оптичної зони до заданої товщини центром, а потім проточують лентикулярну зону із заданою товщиною краю до сполучення з оптичною зоною. Радіус кривизни лентикулярної зони є розрахунковим та залежить від конструктивних особливостей лінзи. При розрахунку слід на увазі, що товщина лінзи по краю не повинна перевищувати 0,2 мм, а діаметр оптичної зони наружкой поверхні повинен бути не менше 7,5 мм.

При виготовленні зовнішньої поверхні лінз позитивної рефракції спочатку проточують сферичну поверхню розрахунковим радіусом до товщини центру, що перевищує необхідну на 0,03 мм. Величина радіусу залежить від товщини лінзи по центру та по краю. Потім проточують лентикулярну зону, починаючи від краю заготовки до розрахункового діаметра оптичної зони зовнішньої поверхні, який вибирається на 04-05 мм більше діаметра внутрішньої поверхні. По індикатору встановлюється розрахунковий радіус оптичної зони. Розворотом супорта кріплення різця та відповідною подачею заготовки вершина різця поєднується з периферійною ділянкою оптичної зони та проводиться обробка оптичної зони опуклої поверхні.

Полірування проводять на полірувальному верстаті за допомогою спеціального полірувальника, змоченого суспензією.

Виготовлення ГПЖКЛ проводиться за тією ж схемою, але використовуються менш інтенсивні режими обробки та спеціальні склади для очищення та полірування цих матеріалів.

При обробці сфероторичних лінз спочатку проточується увігнута сферична поверхня лінзи за методикою, розглянутою вище, а потім для отримання торичній поверхні на периферії проводиться її обробка торічним інструментом (зазвичай шліфувальником і полірувальником) із заданими радіусами кривизни поверхонь у двох взаємно перпендикулярних площинах. 76). Кількість торичних інструментів, що готуються, завцсит від необхідного числа торичних поверхонь на зоні ущільнення (ковзання).

Для виточування шліфувальника використовують спеціальний токарний верстат, призначений для виготовлення торичного інструменту. При цьому слід дотримуватись таких правил:

1. По різниці між радіусами в головних меридіанах встановлюють поперечне усунення шпинделя щодо поворотного супорта. Контроль переміщення ведуть за індикатором годинного типу. Наприклад, для торичного інструменту з радіусами 8,0/8,5 мм ця величина, звана торичною різницею, дорівнюватиме 0,5 мм.

2. Обертанням поворотного супорта проточують заготівлю інструменту на глибині.

Мал. 76. Схема торичного полірувальника.

ну не більше 0,05 мм за кожен прохід, до отримання заданого радіусу, що відраховується за індикатором поворотного супорта.

Потім виготовлений інструмент встановлюють у спеціальний пристрій («торична вилка») полірувального верстата.

Підкладку з проточеною заготовкою жорстко закріплюють до повідця вилки. Потім повідець встановлюють пази вилки так, щоб увігнута поверхня заготовки спиралася на робочу поверхню торичного інструменту. Штирком

верхнього шпинделя полірувального верстата фіксують повідець торичного виделки. Вертикальним переміщенням головки доводочного верстата, що коливається, необхідно домогтися такого положення заготовки, щоб вона переміщалася тільки в центральній частині торичного інструменту. Шліфування проводиться шліфувальним порошком M7 та M3 до отримання заданого розміру оптичної зони. Час шліфування залежить від співвідношення радіусів лінзи та торичної різниці інструменту. Контроль одержуваного розміру оптичної зони проводять за допомогою вимірювальної лупи збільшенням 10х.

Кривизна крива

Нехай γ( t) - регулярна крива в d-мірному евклідовому просторі, параметризована довжиною. Тоді

називається кривизною кривоюγ у точці p = γ( t) , тут позначає другу похідну за t. Вектор

називається вектор кривизниγ у точці p = γ( t 0) .

Для кривої, заданої параметрично в загальному випадку (параметр не обов'язково є довжиною), кривизна відображається формулою

де і відповідно позначають першу і другу похідну радіус-вектора в потрібної точці.

Для того, щоб крива γ збігалася з деяким відрізком прямої або з усієї прямої, необхідно і достатньо, щоб кривизна (або вектор кривизни) тотожно дорівнювала нулю.

Величина, обернена кривизні кривої, називається радіусом кривизни; він збігається з радіусом стикається кола в даній точці кривої. Центр цього кола називається центром кривизни.

Кривизна поверхні

Нехай Φ є регулярна поверхня у тривимірному евклідовому просторі. Нехай p- точка Φ , T p- дотична площина до Φ у точці p , n- одинична нормаль до Φ у точці p, а - π eплощина, що проходить через nта деякий одиничний вектор eв T p. Крива γ e, що виходить як перетин площини π eз поверхнею Φ називається нормальним перетиномповерхні Φ у точці pв напрямку e. Величина

де позначає скалярний твір k - вектор кривизни γ eу точці p, називається нормальною кривизноюповерхні Φ у напрямку e. З точністю до знака нормальна кривизна дорівнює кривизні кривої γ e .

У дотичній площині T pіснують два перпендикулярні напрямки e 1 та e 2 такі, що нормальну кривизну у довільному напрямку можна подати за допомогою так званої формули Ейлера:

де α - кут між e 1 та e 2 , a величини κ 1 і κ 2 нормальні кривизни у напрямках e 1 та e 2 , вони називаються головними кривизнами, а напрямки e 1 та e 2 - головними напрямкамиповерхні у точці p. Головні кривизни є екстремальними значеннями нормальних кривизн. Структуру нормальних кривизн у цій точці поверхні зручно графічно зображати з допомогою індикатриси Дюпена.

Величина

називається середньою кривизноюповерхні. Величина

називається гаусової кривизноюповерхні.

Гауссова кривизна є об'єктом внутрішньої геометрії поверхонь, зокрема, не змінюється при ізометричних згинаннях.

Див. також

Література

• Погорєлов А. І.Диференціальна геометрія (6 видання). М: Наука, 1974.
• Рашевський П. К.Курс диференціальної геометрії (3-тє видання). М.-Л.: ГІТТЛ, 1950.

Wikimedia Foundation.