Що таке поділ дробів. Розмноження простих і змішаних дробів з різними знаменниками

Звичайні дробові числа вперше зустрічають школярів у 5 класі і супроводжують їх протягом усього життя, тому що в побуті часто потрібно розглядати або використовувати якийсь об'єкт не повністю, а окремими шматками. Початок вивчення цієї теми – частки. Частки - це рівні частини, куди розділений той чи інший предмет. Адже не завжди виходить висловити, припустимо, довжину чи ціну товару цілим числом, слід взяти до уваги частини чи частки будь-якого заходу. Утворене від дієслова «дробити» - розділяти на частини, і маючи арабське коріння, у VIII столітті виникло саме слово «дроб» у російській мові.

Дробові вислови тривалий час вважали найскладнішим розділом математики. У XVII столітті, у разі першопідручників з математики, їх називали «ламані числа», що дуже складно відображалося у розумінні людей.

Сучасному виду простих дробових залишків, частини яких розділені саме горизонтальною межею, вперше посприяв Фібоначчі – Леонардо Пізанський. Його праці датовані 1202 року. Але мета цієї статті – просто і зрозуміло пояснити читачеві, як відбувається множення змішаних дробів із різними знаменниками.

Розмноження дробів з різними знаменниками

Спочатку варто визначити різновиди дробів:

• правильні;
• неправильні;
• змішані.

Далі слід згадати, як відбувається множення дробових чисел із однаковими знаменниками. Саме правило цього процесу нескладно сформулювати самостійно: результатом множення простих дробів з однаковими знаменниками є дробовий вираз, чисельник якого є добутком чисельників, а знаменник - добуток знаменників даних дробів. Тобто, по суті, новий знаменник є квадратом одного з існуючих спочатку.

При множенні простих дробів із різними знаменникамидля двох і більше множників правило не змінюється:

a/b * c/d = a*c / b*d.

Єдине відмінність у цьому, що освічене число під дробовою рисою буде добутком різних чисел і, природно, квадратом одного числового виразу його назвати неможливо.

Варто розглянути множення дробів із різними знаменниками на прикладах:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

У прикладах застосовуються способи скорочення дробових виразів. Можна скорочувати лише числа чисельника з числами знаменника, поруч множники, що стоять, над дробовою рисою або під нею скорочувати не можна.

Поряд із простими дробовими числами, існує поняття змішаних дробів. Змішане число складається з цілого числа та дробової частини, тобто є сумою цих чисел:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Як відбувається перемноження

Пропонується кілька прикладів до розгляду.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

У прикладі використовується множення числа на звичайну дробову частину, Записати правило для цієї дії можна формулою:

a * b/c = a*b /c.

Власне, такий твір є сума однакових дробових залишків, а кількість доданків вказує це натуральне число. Окремий випадок:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Існує ще один варіант вирішення множення числа на дрібний залишок. Варто просто розділити знаменник на це число:

d * e/f = e/f: d.

Цим прийомом корисно користуватися, коли знаменник ділиться на натуральне число без залишку або, як кажуть, націло.

Перевести змішані числа в неправильні дроби та отримати добуток раніше описаним способом:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

У цьому прикладі бере участь спосіб подання змішаного дробу в неправильний, його також можна подати у вигляді загальної формули:

a bc = a * b + c/c, де знаменник нового дробу утворюється при множенні цілої частини зі знаменником і при складанні його з чисельником вихідного дробового залишку, а знаменник залишається тим самим.

Цей процес працює і у зворотний бік. Для виділення цілої частини та дробового залишку потрібно поділити чисельник неправильного дробу на його знаменник «куточком».

Розмноження неправильних дробіввиробляють загальноприйнятим способом. Коли запис йде під єдиною дробовою рисою, при необхідності потрібно зробити скорочення дробів, щоб зменшити таким методом числа і простіше порахувати результат.

В інтернеті існує безліч помічників, щоб вирішувати навіть складні математичні завдання у різних варіаціях програм. Достатня кількість таких сервісів пропонують свою допомогу за рахунок множення дробів з різними числами в знаменниках – так звані онлайн-калькулятори для розрахунку дробів. Вони здатні не тільки помножити, а й зробити всі інші найпростіші арифметичні операції зі звичайними дробами та змішаними числами. Працювати з ним нескладно, на сторінці сайту заповнюються відповідні поля, вибирається знак математичної дії та натискається "обчислити". Програма рахує автоматично.

Тема арифметичних процесів з дробовими числами актуальна протягом навчання школярів середньої та старшої ланки. У старших класах розглядають не прості види, а цілі дробові вирази, але знання правил щодо перетворення та розрахунків, отримані раніше, застосовуються у первозданному вигляді. Добре засвоєні базові знання дають повну впевненість у вдалому вирішенні найскладніших завдань.

На закінчення має сенс навести слова Льва Миколайовича Толстого, який писав: «Людина є дріб. Збільшити свого чисельника - свої переваги, - не у владі людини, але кожен може зменшити свого знаменника - свою думку про себе, і цим зменшенням наблизитися до своєї досконалості».

Множення та розподіл дробів.

Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали у розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже..."
І для тих, хто "дуже навіть...")

Ця операція набагато приємніша за складання-віднімання! Бо простіше. Нагадую: щоб помножити дріб на дріб, потрібно перемножити чисельники (це буде чисельник результату) та знаменники (це буде знаменник). Тобто:

Наприклад:

Все дуже просто. І, будь ласка, не шукайте спільного знаменника! Не треба його тут…

Щоб розділити дріб на дріб, потрібно перевернути другу(це важливо!) дріб і їх перемножити, тобто:

Наприклад:

Якщо трапилося множення чи поділ із цілими числами та дробами – нічого страшного. Як і при додаванні, робимо з цілого числа дріб з одиницею в знаменнику – і вперед! Наприклад:

У старших класах часто доводиться мати справу з триповерховими (або навіть чотириповерховими!) дробами. Наприклад:

Як цей дріб привести до пристойного вигляду? Так, дуже просто! Використовувати поділ через дві точки:

Але не забувайте про порядок розподілу! На відміну від множення, це дуже важливо! Звичайно, 4:2, або 2:4, ми не сплутаємо. А ось у триповерховому дробі легко помилитись. Зверніть увагу, наприклад:

У першому випадку (вираз зліва):

У другому (вираз праворуч):

Відчуваєте різницю? 4 та 1/9!

А чим визначається порядок розподілу? Або дужками, або (як тут) довжиною горизонтальних рис. Розвивайте окомір. А якщо немає ні дужок, ні рисок, типу:

то ділимо-множимо по порядку, зліва направо!

І ще дуже простий та важливий прийом. У діях зі ступенями він вам ох як знадобиться! Поділимо одиницю на будь-який дріб, наприклад, на 13/15:

Дріб перекинувся! І так завжди буває. При розподілі 1 на будь-який дріб, в результаті отримуємо той же дріб, тільки перевернутий.

Ось і всі події з дробами. Річ досить проста, але помилок дає більш ніж достатньо. Візьміть до уваги практичні поради, і їх (помилок) буде менше!

Практичні поради:

1. Найголовніше при роботі з дробовими виразами – акуратність та уважність! Це не загальні слова, не добрі побажання! Це сувора потреба! Усі обчислення на ЄДІ робіть як повноцінне завдання, зосереджено та чітко. Краще написати два зайві рядки в чернетці, ніж накосячіть при розрахунку в умі.

2. У прикладах з різними видами дробів – переходимо до звичайних дробів.

3. Усі дроби скорочуємо до упору.

4. Багатоповерхові дробові вирази зводимо до звичайних, використовуючи розподіл через дві точки (стежимо за порядком розподілу!).

5. Одиницю на дріб ділимо в умі, просто перевертаючи дріб.

Ось вам завдання, які потрібно обов'язково вирішувати. Відповіді наведено після всіх завдань. Використовуйте матеріали цієї теми та практичні поради. Накиньте, скільки прикладів ви змогли вирішити правильно. З першого разу! Без калькулятора! І зробіть правильні висновки...

Пам'ятайте - правильна відповідь, отриманий з другого (тим більше – третього) разу – не рахується!Таке суворе життя.

Отже, вирішуємо в режимі іспиту ! Це вже підготовка до ЄДІ, між іншим. Вирішуємо приклад, перевіряємо, вирішуємо наступний. Вирішили все – перевірили знову з першого до останнього. І тільки потімдивимося відповіді.

Обчислити:

Вирішили?

Шукаємо відповіді, які збігаються із вашими. Я спеціально їх безладно записав, подалі від спокуси, так би мовити... Ось вони, відповіді, через крапку з комою записані.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

А тепер робимо висновки. Якщо все вийшло – радий за вас! Елементарні обчислення з дробами – не ваша проблема! Можна зайнятися серйознішими речами. Якщо ні...

Значить у вас одна з двох проблем. Або обидві відразу.) Нестача знань та (або) неуважність. Але це розв'язувані проблеми.

Якщо Вам подобається цей сайт...

До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)

можна познайомитися з функціями та похідними.

Для вирішення різних завдань з курсу математики, фізики доводиться виробляти поділ дробів. Це зробити дуже легко, якщо знати певні правила виконання цієї математичної дії.

Перш ніж перейти до формулювання правило про те, як ділити дроби, давайте згадаємо деякі математичні терміни:

1. Верхня частина дробу називається чисельником, а нижня – знаменником.
2. При розподілі числа називаються так: ділене: дільник = приватне

Як ділити дроби: прості дроби

Для виконання розподілу двох простих дробів слід помножити поділене на дріб, зворотний дільнику. Цей дріб по-іншому називають ще перевернутим, тому що він виходить в результаті заміни місцями чисельника та знаменника. Наприклад:

3/77: 1/11 = 3 /77 * 11 /1 = 3/7

Як ділити дроби: змішані дроби

Якщо ми маємо розділити змішані дроби, то тут теж все досить просто і зрозуміло. Спочатку переводимо змішаний дріб у звичайний неправильний дріб. Для цього множимо знаменник такого дробу на ціле число та чисельник додаємо до отриманого твору. У результаті ми отримали новий чисельник змішаного дробу, а знаменник залишиться без зміни. Далі поділ дробів здійснюватиметься так само, як і поділ простих дробів. Наприклад:

10 2/3: 4/15 = 32/3: 4/15 = 32/3 * 15 /4 = 40/1 = 40

Як ділити дріб на число

Щоб розділити простий дріб на число, останнє слід написати як дробу (неправильної). Це зробити дуже легко: на місці чисельника пишеться це число, а знаменник такого дробу дорівнює одиниці. Далі поділ виконується звичайним способом. Розглянемо це з прикладу:

5/11: 7 = 5/11: 7/1 = 5/11 * 1/7 = 5/77

Як ділити десяткові дроби

Нерідко доросла людина зазнає труднощів при необхідності без допомоги калькулятора розділити ціле число або десятковий дріб на десятковий дріб.

Отже, щоб виконати поділ десяткових дробів, потрібно в дільнику просто закреслити кому і перестати звертати на неї увагу. У ділимо кому потрібно пересунути праворуч на стільки знаків, скільки було в дробовій частині дільника, при необхідності дописуючи нулі. І далі роблять звичайне поділ на ціле число. Щоб це стало зрозуміліше, наведемо наступний приклад.

З дробами можна виконувати всі дії, у тому числі і поділ. Ця стаття показує розподіл звичайних дробів. Будуть дані визначення, розглянуті приклади. Детально зупинимося на розподілі дробів на натуральні числа і навпаки. Буде розглянуто поділ звичайного дробу на змішане число.

Розподіл звичайних дробів

Поділ є зворотним множенню. При розподілі невідомий множник перебуває при відомому творі та іншого множника, де й зберігається його сенс з звичайними дробами.

Якщо потрібно зробити розподіл звичайного дробу a b на c d , тоді визначення такого числа необхідно зробити множення на дільник c d , це дасть у результаті ділене a b . Отримаємо число і запишемо його a b · d c де d c є оберненим c d числу. Рівності можна записати за допомогою властивостей множення, а саме: a b · d c · c d = a b · d c · c d = a b · 1 = a b , де вираз a b · d c є приватним від поділу a b на c d .

Звідси отримаємо та сформулюємо правило поділу звичайних дробів:

Визначення 1

Щоб розділити звичайний дріб a b на c d , необхідно поділити ділимо на число, зворотне дільнику.

Запишемо правило у вигляді виразу: a b: c d = a b · d c

Правила поділу зводяться до множення. Щоб дотримуватися його, потрібно добре розумітися на виконанні множення звичайних дробів.

Перейдемо до розгляду поділу звичайних дробів.

Приклад 1

Виконати поділ 9 7 на 5 3 . Результат записати як дробу.

Рішення

Число 5 3 – це зворотний дріб 3 5 . Необхідно використовувати правило поділу звичайних дробів. Цей вираз запишемо так: 9 7: 5 3 = 9 7 · 3 5 = 9 · 3 7 · 5 = 27 35 .

Відповідь: 9 7: 5 3 = 27 35 .

При скороченні дробів слід виділяти цілу частину, якщо чисельник більший за знаменник.

Приклад 2

Розділити 8 15: 24 65 . Відповідь записати у вигляді дробу.

Рішення

Для вирішення потрібно перейти від поділу до множення. Запишемо це в такій формі: 8 15: 24 65 = 2 · 2 · 2 · 5 · 13 3 · 5 · 2 · 2 · 2 · 3 = 13 3 · 3 = 13 9

Необхідно зробити скорочення, а це виконується наступним чином: 8 · 65 15 · 24 = 2 · 2 · 2 · 5 · 13 3 · 5 · 2 · 2 · 2 · 3 = 13 3 · 3 = 13 9

Виділяємо цілу частину та отримуємо 13 9 = 1 4 9 .

Відповідь: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .

Розподіл незвичайного дробу на натуральне число

Використовуємо правило розподілу дробу на натуральне число: щоб розділити a b на натуральне число n, необхідно помножити лише знаменник на n. Звідси отримаємо вираз: a b: n = a b · n.

Правило розподілу є наслідком правила множення. Тому подання натурального числа у вигляді дробу дасть рівність такого типу: a b: n = a b: n 1 = a b · 1 n = a b · n .

Розглянемо цей поділ дробу на число.

Приклад 3

Здійснити поділ дробу 16 45 на число 12 .

Рішення

Застосуємо правило поділу дробу на число. Отримаємо вираз виду 1645: 12 = 1645 · 12 .

Зробимо скорочення дробу. Отримаємо 16 45 · 12 = 2 · 2 · 2 · 2 (3 · 3 · 5) · (2 ​​· 2 · 3) = 2 · 2 3 · 3 · 3 · 5 = 4 135 .

Відповідь: 16 45: 12 = 4 135 .

Поділ натурального числа на звичайний дріб

Правило поділу аналогічне оправилу поділу натурального числа на звичайний дріб: щоб розділити натуральне число n на звичайний a b необхідно провести множення числа n на зворотне дроби a b .

Виходячи з правила, маємо n: a b = n · b a , а завдяки правилу множення натурального числа на звичайний дріб, отримаємо вираз у вигляді n: a b = n · b a . Необхідно розглянути цей поділ на прикладі.

Приклад 4

Ділити 25 на 15 28 .

Рішення

Нам необхідно переходити від поділу до множення. Запишемо у вигляді виразу 25: 15 28 = 25 · 28 15 = 25 · 28 15 . Скоротимо дріб і отримаємо результат у вигляді дробу 46 2 3 .

Відповідь: 25: 15 28 = 46 2 3 .

Розподіл звичайного дробу на змішане число

При розподілі звичайного дробу на змішане число легко можна світити до поділу звичайних дробів. Потрібно перевести змішане число в неправильний дріб.

Приклад 5

Розділити дріб 35 16 на 3 1 8 .

Рішення

Так як 318 - змішане число, представимо його у вигляді неправильного дробу. Тоді отримаємо 318 = 3 · 8 + 18 = 258. Тепер зробимо поділ дробів. Отримаємо 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 · 8 25 = 35 · 8 16 · 25 = 5 · 7 · 2 · 2 · 2 2 · 2 · 2 · 2 · (5 · 5) = 7 10

Відповідь: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .

Розподіл змішаного числа виробляється так само, як і звичайних.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

) та знаменник на знаменник (отримаємо знаменник твору).

Формула множення дробів:

Наприклад:

Перед тим, як приступити до множення чисельників та знаменників, необхідно перевірити можливість скорочення дробу . Якщо вдасться скоротити дріб, то вам легше далі робити розрахунки.

Розподіл звичайного дробу на дріб.

Розподіл дробів за участю натурального числа.

Це не так страшно, як здається. Як і у випадку зі складанням, переводимо ціле число в дріб з одиницею в знаменнику. Наприклад:

Розмноження змішаних дробів.

Правила множення дробів (змішаних):

• перетворюємо змішані дроби на неправильні;
• перемножуємо чисельники та знаменники дробів;
• скорочуємо дріб;
• якщо отримали неправильний дріб, то перетворюємо неправильний дріб на змішану.

Зверніть увагу!Щоб помножити змішаний дріб на інший змішаний дріб, потрібно, спершу, привести їх до виду неправильних дробів, а далі помножити за правилом множення звичайних дробів.

Другий спосіб множення дробу на натуральне число.

Буває зручніше використовувати другий спосіб множення звичайного дробу на число.

Зверніть увагу!Для множення дробу на натуральне число необхідно знаменник дробу розділити це число, а чисельник залишити без зміни.

З наведеного вище прикладу зрозуміло, що цей варіант зручніше для використання, коли знаменник дробу ділиться без залишку на натуральне число.

Багатоповерхові дроби.

У старших класах найчастіше зустрічаються триповерхові (або більше) дроби. Приклад:

Щоб привести такий дріб до звичного вигляду, використовують поділ через 2 точки:

Зверніть увагу!У розподілі дробів дуже важливий порядок розподілу. Будьте уважні, тут легко заплутатися.

Зверніть увагу, наприклад:

При поділі одиниці на будь-який дріб, результатом буде той самий дріб, тільки перевернутий:

Практичні поради при множенні та розподілі дробів:

1. Найважливішим у роботі з дробовими виразами є акуратність та уважність. Усі обчислення робіть уважно та акуратно, зосереджено та чітко. Краще запишіть кілька зайвих рядків у чернетці, ніж заплутатися у розрахунках в умі.

2. У завданнях з різними видами дробів – переходьте до виду звичайних дробів.

3. Всі дроби скорочуємо доти, доки скорочувати вже буде неможливо.

4. Багатоповерхові дробові вирази наводимо на вигляд звичайних, користуючись розподілом через 2 точки.

5. Одиницю на дріб ділимо в умі, просто перевертаючи дріб.