Висота від точки до площини. Відстань від точки до площини

Пошук відстані від точки до площини - часта задача, що виникає при вирішенні різних завдань аналітичної геометрії, наприклад, до цього завдання можна звести знаходження відстані між двома прямими, що схрещуються, або між прямою і паралельною їй площиною.

Розглянемо площину $β$ і точку $M_0$ з координатами $(x_0;y_0; z_0)$, яка не належить площині $β$.

Визначення 1

Найкоротшою відстанню між точкою та площиною буде перпендикуляр, опущений з точки $М_0$ на площину $β$.

Малюнок 1. Відстань від точки до площини. Автор24 - інтернет-біржа студентських робіт

Нижче розглянуто, як знайти відстань від точки до площини координатним методом.

Висновок формули для координатного методу пошуку відстані від точки до площини у просторі

Перпендикуляр з точки $M_0$, що перетинається з площиною $β$ у точці $M_1$ з координатами $(x_1;y_1; z_1)$, лежить на прямій, напрямним вектором якої є нормальний вектор площини $β$. У цьому довжина одиничного вектора $n$ дорівнює одиниці. Відповідно до цього, відстань від $β$ до точки $M_0$ складе:

$ρ= |\vec(n) \cdot \vec(M_1M_0)|\left(1\right)$, де $\vec(M_1M_0)$ - нормальний вектор площини $β$, а $\vec(n)$ - одиничний нормальний вектор аналізованої площини.

У разі коли рівняння площини задано в загальному вигляді $Ax+ By + Cz + D=0$, координати нормального вектора площини є коефіцієнтами рівняння $\(A;B;C\)$, а одиничний нормальний вектор у цьому випадку має координати , що обчислюються за наступним рівнянням:

$\vec(n)= \frac(\(A;B;C\))(\sqrt(A^2 + B^2 + C^2))\left(2\right)$.

Тепер можна знайти координати нормального вектора $\vec(M_1M_0)$:

$\vec(M_0M_1)= \(x_0 – x_1;y_0-y_1;z_0-z_1\)\left(3\right)$.

Також виразимо коефіцієнт $D$, використовуючи координати точки, що лежить у площині $β$:

$D= Ax_1+By_1+Cz_1$

Координати одиничного нормального вектора з рівності $(2)$ можна підставити рівняння площині $β$, тоді маємо:

$ρ= \frac(|A(x_0 -x_1) + B(y_0-y_1)+C(z_0-z_1)|)(\sqrt(A^2+B^2+C^2))= \frac( |Ax_0+ By_0 + Cz_0-(Ax_1+By_1+Cz_1)|)(\sqrt(A^2+B^2+C^2)) = \frac(Ax_0+ By_0 + Cz_0 + D)(\sqrt(A^2 +B^2+C^2))\left(4\right)$

Рівність $(4)$ є формулою знаходження відстані від точки до площині у просторі.

Загальний алгоритм знаходження відстані від точки $M_0$ до площині

1. Якщо рівняння площини встановлено не у загальній формі, спочатку необхідно привести його до загальної.
2. Після цього необхідно виразити із загального рівняння площини нормальний вектор даної площини через точку $M_0$ і точку, що належить заданій площині, для цього потрібно скористатися рівністю $(3)$.
3. Наступний етап - пошук координат одиничного нормального вектора площини за формулою $ (2) $.
4. Нарешті, можна розпочати пошуку відстані від точки до площині, це здійснюється за допомогою обчислення скалярного добутку векторів $\vec(n)$ і $\vec(M_1M_0)$.

, Конкурс «Презентація до уроку»

Клас: 11

Презентація до уроку

Назад вперед

Увага! Попередній перегляд слайдів використовується виключно для ознайомлення та може не давати уявлення про всі можливості презентації. Якщо вас зацікавила ця робота, будь ласка, завантажте повну версію.

Цілі:

• узагальнення та систематизація знань та умінь учнів;
• розвиток умінь аналізувати, порівнювати, робити висновки.

Обладнання:

• мультимедійний проектор;
• комп'ютер;
• листи з текстами завдань

ХІД ЗАНЯТТЯ

I. Організаційний момент

ІІ. Етап актуалізації знань(слайд 2)

Повторюємо як визначається відстань від точки до площини

ІІІ. Лекція(Слайди 3-15)

На занятті ми розглянемо різні способи знаходження відстані від точки до площині.

Перший метод: поетапно-обчислювальний

Відстань від точки М до площини:
– дорівнює відстані до площини від довільної точки Р, що лежить на прямій a, яка проходить через точку М і паралельна площині;
– дорівнює відстані до площини від довільної точки Р, що лежить на площині, яка проходить через точку М і паралельна площині.

Вирішимо такі завдання:

№1. У кубі А…D 1 знайти відстань від точки 1 до площині АВ 1 З.

Залишилося обчислити значення довжини відрізка 1 Н.

№2. У правильній шестикутній призмі А…F 1 , усі ребра якої дорівнюють 1, знайдіть відстань від точки А до площини DEA 1 .

Наступний метод: метод обсягів.

Якщо обсяг піраміди АВСМ дорівнює V, то відстань від точки М до площини α, що містить ΔАВС, обчислюється за формулою ρ(М; α) = ρ(М; АВС) =
При розв'язанні задач ми використовуємо рівність обсягів однієї фігури, виражені двома різними способами.

Розв'яжемо наступне завдання:

№3. Ребро AD піраміди DABC перпендикулярно площині основи АВС. Знайдіть відстань від А до площини, що проходить через середини ребер АВ, АС та АD, якщо.

При вирішенні завдань координатним методомвідстань від точки М до площини можна обчислити за формулою ρ(М; α) = , де М(х 0 ; у 0 ; z 0), а площина задана рівнянням ax + by + cz + d = 0

Розв'яжемо наступне завдання:

№4. У одиничному кубі A…D 1 знайдіть відстань від точки А 1 до площини ВDC 1 .

Введемо систему координат з початком у точці А, вісь у пройде по ребру АВ, вісь х – по ребру АD, вісь z – по ребру АА 1 . Тоді координати точок В (0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1)
Складемо рівняння площини, що проходить через точки, D, C 1 .

Тоді - dx - dy + dz + d = 0 x + y - z - 1 = 0. Отже, ρ =

Наступний метод, який можна використовувати під час вирішення завдань даного типу – метод опорних завдань.

Застосування цього методу полягає у застосуванні відомих опорних завдань, які формулюються як теореми.

Розв'яжемо наступне завдання:

№5. У одиничному кубі А…D1 знайдіть відстань від точки D1 ​​до площині АВ1С.

Розглянемо застосування векторний метод.

№6. У одиничному кубі А…D 1 знайдіть відстань від точки А 1 до площини ВDС 1 .

Отже, ми розглянули різні способи, які можна використовувати при вирішенні цього завдання. Вибір того чи іншого методу залежить від конкретної задачі та ваших уподобань.

IV. Робота у групах

Спробуйте розв'язати завдання різними способами.

№1. Ребро куба А ... D 1 дорівнює. Знайдіть відстань від вершини С до площини BDC 1 .

№2. У правильному тетраедрі АВСD з ребром знайдіть відстань від точки А до площини BDC

№3. У правильній трикутній призмі АВСА 1 В 1 С 1 всі ребра якої дорівнюють 1, знайдіть відстань від А до площини ВСА 1 .

№4. У правильній чотирикутній піраміді SABCD, усі ребра якої дорівнюють 1, знайдіть відстань від А до площини SCD.

V. Підсумок уроку, домашнє завдання, рефлексія

Нехай існує площина . Проведемо нормаль
через початок координат О. Нехай задані
- Кути, утворені нормаллю з осями координат.
. Нехай - Довжина відрізка нормалі
до перетину з площиною. Вважаючи відомими напрямні косинуси нормалі , виведемо рівняння площини .

Нехай
) – довільна точка площини. Вектор окремої нормалі має координати. Знайдемо проекцію вектора
на нормаль.

Оскільки точка Мналежить площині, то

.

Це і є рівняння заданої площини, що називається нормальним .

Відстань від точки до площини

Нехай дана площина ,М*
- Точка простору, d - Відстань від площини.

Визначення. Відхиленням крапки М*від площини називається число ( + d), якщо M* лежить по той бік від площини, куди вказує позитивний напрямок нормалі , і число (- d), якщо точка розташована з іншого боку площини:

.

Теорема. Нехай площина з одиничною нормаллю задана нормальним рівнянням:

Нехай М*
- Точка простору Відхилення т.з. M* від площини задається виразом

Доведення.Проекцію т.п.
* на нормаль позначимо Q. Відхилення точки М*від площини одно

.

Правило.Щоб знайти відхилення т. M* Від площини, потрібно в нормальне рівняння площини підставити координати т.п. M* . Відстань від точки до площини дорівнює .

Приведення загального рівняння площини до нормального вигляду

Нехай та сама площина задана двома рівняннями:

Загальне рівняння,

Нормальне рівняння.

Оскільки обидва рівняння задають одну площину, їх коефіцієнти пропорційні:

Перші три рівності зведемо у квадрат і складемо:

Звідси знайдемо – нормуючий множник:

. (10)

Помноживши загальне рівняння площини на множник, що нормує, отримаємо нормальне рівняння площини:

Приклади завдань на тему Площина.

приклад 1.Скласти рівняння площини , що проходить через задану точку
(2,1,-1) та паралельної площині.

Рішення. Нормаль до площини :
. Оскільки площини паралельні, то нормаль є і нормаллю до шуканої площини . Використовуючи рівняння площини, що проходить через задану точку (3), отримаємо для площини рівняння:

Відповідь:

приклад 2.Підставою перпендикуляра, опущеного з початку координат на площину , є точка
. Знайти рівняння площини .

Рішення. Вектор
є нормаллю до площини . Крапка М 0 належить площині. Можна скористатися рівнянням площини, що проходить через задану точку (3):

Відповідь:

приклад 3.Побудувати площину , що проходить через точки

та перпендикулярну площині :.

Отже, щоб деяка точка М (x, y, z) належала площині , необхідно, щоб три вектори
були компланарні:

=0.

Залишилося розкрити визначник та навести отриманий вираз до виду загального рівняння (1).

приклад 4.Площина задана загальним рівнянням:

Знайти відхилення точки
від заданої поверхні.

Рішення. Наведемо рівняння поверхні до нормального вигляду.

,

.

Підставимо в отримане нормальне рівняння координати точки М*.

.

Відповідь:
.

Приклад 5.Чи перетинає площину відрізок.

Рішення. Щоб відрізок АВперетинав площину, відхилення і від площини повинні мати різні знаки:

.

Приклад 6.Перетин трьох площин в одній точці.

.

Система має єдине рішення, отже три площини мають одну загальну точку.

Приклад 7.Знаходження бісектрис двогранного кута, утвореного двома заданими площинами.

Нехай і - відхилення певної точки
від першої та другої площин.

На одній із біссектральних площин (що відповідає тому кутку, в якому лежить початок координат) ці відхилення рівні за модулем і знаком, а на іншій – рівні за модулем і протилежні за знаком.

Це рівняння першої біссектральної площини.

Це рівняння другої біссектральної площини.

Приклад 8.Визначення розташування двох даних точок і щодо двогранних кутів, утворених даними площинами.

Нехай
. Визначити: в одному, у суміжних або вертикальних кутах знаходяться точки і .

а). Якщо і лежать по один бік від і от , то вони лежать в одному двогранному кутку.

б). Якщо і лежать по один бік від і по різні від , то вони лежать у суміжних кутах.

в). Якщо і лежать по різні боки від і , то вони лежать у вертикальних кутах.

Системи координат 3

Лінії на площині 8

Лінії першого ладу. Прямі на площині. 10

Кут між прямими 12

Загальне рівняння прямої 13

Неповне рівняння першого ступеня 14

Рівняння прямої "у відрізках" 14

Спільне дослідження рівнянь двох прямих 15

Нормаль до прямої 15

Кут між двома прямими 16

Канонічне рівняння прямої 16

Параметричні рівняння прямої 17

Нормальне (нормоване) рівняння прямої 18

Відстань від точки до прямої 19

Рівняння пучка прямих 20

Приклади завдань на тему «пряма на площині» 22

Векторний твір векторів 24

Властивості векторного твору 24

Геометричні властивості 24

Алгебраїчні властивості 25

Вираз векторного твору через координати співмножників 26

Змішаний твір трьох векторів 28

Геометричний зміст змішаного твору 28

Вираз змішаного твору через координати векторів 29

Приклади розв'язання задач

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
• Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

• Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

Визначення відстані між: 1 - точкою та площиною; 2 - прямий та площиною; 3 – площинами; 4 - прямими, що схрещуються, розглядається спільно, так як алгоритм рішення для всіх цих задач по суті однаковий і складається з геометричних побудов, які потрібно виконати для визначення відстані між заданими точкою А і площиною α. Якщо і є якась відмінність, то воно полягає лише в тому, що у випадках 2 і 3 перш ніж приступити до вирішення задачі, слід на прямій m (випадок 2) або площині β (випадок 3) відзначити довільну точку А. При визначенні відстані між прямими схрещуються попередньо укладаємо їх в паралельні площини α і β з подальшим визначенням відстані між цими площинами.

Розглянемо кожен із зазначених випадків вирішення завдань.

1. Визначення відстані між точкою та площиною.

Відстань від точки до площини визначається завдовжки відрізка перпендикуляра, опущеного з точки на площину.

Тому вирішення цього завдання складається з послідовного виконання наступних графічних операцій:

1) з точки А опускаємо перпендикуляра на площину (рис. 269);

2) знаходимо точку М перетину цього перпендикуляра з площиною М = а ∩ α;

3) визначаємо довжину відрізка.

Якщо площина загального становища, то для того щоб опустити на цю площину перпендикуляр, необхідно попередньо визначити напрямок проекцій горизонталі та фронталі цієї площини. Знаходження точки зустрічі цього перпендикуляра з площиною вимагає виконання додаткових геометричних побудов.

Розв'язання задачі спрощується, якщо площина займає приватне положення щодо площин проекцій. У цьому випадку проведення проекцій перпендикуляра, і знаходження точки його зустрічі з площиною здійснюється без будь-яких додаткових допоміжних побудов.

ПРИКЛАД 1. Визначити відстань від точки А до площини, що фронтально проеціює α (рис. 270).

РІШЕННЯ. Через А" проводимо горизонтальну проекцію перпендикуляра l" ⊥ h 0α, а через А" - його фронтальну проекцію l" ⊥ f 0α. Зазначаємо точку M" = l" ∩ f 0α. Оскільки AM || π 2 то [А "М"] == |АМ| = d.

З розглянутого прикладу видно, наскільки легко вирішується завдання, коли площина займає проецірующее становище. Тому, якщо у вихідних даних буде задана площина загального положення, то, перш ніж приступити до рішення, слід перевести площину положення, перпендикулярне до будь-якої площини проекції.

ПРИКЛАД 2. Визначити відстань від точки К до площини, заданої ΔАВС (рис. 271).

1. Переводимо площину ΔАВС у проеційне положення *. Для цього переходимо від системи xπ2/π1 до x1π3/π1: напрямок нової осі х1 вибирається перпендикулярним до горизонтальної проекції горизонталі площини трикутника.

2. Проектуємо ΔАВС на нову площину π 3 (площина ΔАВС спроектується на π 3 , [ С " 1 В " 1 ]).

3. Проектуємо на ту саму площину точку К (К" → К" 1).

4. Через точку К" 1 проводимо (К" 1 М" 1)⊥ відрізку [С" 1 В" 1 ]. Відстань шукана d = | K" 1 M" 1 | .

Розв'язання задачі спрощується, якщо площина задана слідами, тому що відпадає необхідність проведення проекцій ліній рівня.

ПРИКЛАД 3. Визначити відстань від точки К до площини α, заданої слідами (рис. 272) .

* Найбільш раціональним шляхом переведення площини трикутника в проецірующее положення є спосіб заміни площин проекцій, так як у цьому випадку достатньо побудувати лише одну допоміжну проекцію.

РІШЕННЯ. Замінюємо площину π 1 площиною π 3 для цього проводимо нову вісь x 1 ⊥ f 0α . На h 0α відзначаємо довільну точку 1" і визначаємо її нову горизонтальну проекцію на площині 3 (1" 1). Через точки X α 1 (Х α 1 = h 0α 1 ∩ x 1) і 1" 1 проводимо h 0α 1 . Визначаємо нову горизонтальну проекцію точки К → К" 1 . З точки К" 1 опускаємо перпендикуляр на h 0α 1 і відзначаємо точку його перетину з h 0α 1 - М" 1 . Довжина відрізка K" 1 M" 1 вкаже відстань, що шукається.

2. Визначення відстані між прямою та площиною.

Відстань між прямою та площиною визначається довжиною відрізка перпендикуляра, опущеного з довільної точки прямої на площину (див. рис. 248).

Тому розв'язання задачі визначення відстані між прямою m і площиною α нічим не відрізняється від розглянутих у п. 1 прикладів на визначення відстані між точкою і площиною (див. рис. 270 ... 272). Як точку можна брати будь-яку точку, що належить прямий m.

3.Визначення відстані між площинами.

Відстань між площинами визначається величиною відрізка перпендикуляра, опущеного з точки, взятої однією площині, на іншу площину.

З цього визначення випливає, що алгоритм розв'язання задачі знаходження відстані між площинами α і β відрізняється від аналогічного алгоритму розв'язання задачі визначення відстані між прямою m і площиною α лише тим, що пряма m повинна належати площині α, тобто, щоб визначити відстань між площинами α і β слід:

1) взяти в площині пряму m;

2) виділити на прямий m довільну точку А;

3) із точки А опустити перпендикуляр l на площину β;

4) визначити точку М – точку зустрічі перпендикуляра l з площиною β;

5) визначити величину відрізка.

На практиці доцільно користуватися іншим алгоритмом рішення, який відрізнятиметься від наведеного лише тим, що, перш ніж приступити до виконання першого пункту, слід перевести площини в проецірующее положення.

Включення до алгоритму цієї додаткової операції спрощує виконання всіх без винятку інших пунктів, що, зрештою, призводить до більш простого рішення.

ПРИКЛАД 1. Визначити відстань між площинами α та β (рис. 273).

РІШЕННЯ. Переходимо від системи xπ2/π1 до x1π1/π3. По відношенню до нової площини 3 площини α і β займають проецірующее положення, тому відстань між новими фронтальними, слідами f 0α 1 і f 0β 1 є шуканим.

В інженерній практиці часто доводиться вирішувати завдання на побудову площини, паралельної даної та віддаленої від неї на задану відстань. Наведений нижче приклад 2 ілюструє вирішення такого завдання.

ПРИКЛАД 2. Потрібно побудувати проекції площини β, паралельної даній площині α (m || n), якщо відомо, що відстань між ними дорівнює d (рис. 274).

1. У площині α проводимо довільні горизонталь h(1, 3) та фронталь f(1,2).

2. З точки 1 відновлюємо перпендикуляр l до площини α(l"⊥h", l"⊥f").

3. На перпендикулярі l відзначаємо довільну точку А.

4. Визначаємо довжину відрізка - (становище вказує на епюрі метрично неспотворене напрям прямий l).

5. Відкладаємо на прямій (1"А0) від точки 1" відрізок = d.

6. Зазначаємо на проекціях l" та l" точки В" і В", що відповідають точці В 0 .

7. Через точку проводимо площину β (h 1 ∩ f 1). Щоб β || α, необхідно спостерігати умову h 1 || h та f 1 || f.

4. Визначення відстані між прямими, що схрещуються.

Відстань між схрещуються прямими визначається довжиною перпендикуляра, укладеного між паралельними площинами, яким належать прямі, що схрещуються.

Для того щоб через схрещувальні прямі m і f провести взаємно паралельні площини α і β, достатньо через точку А (А ∈ m) провести пряму р, паралельну до прямої f, а через точку В (В ∈ f) - пряму k, паралельну до прямої m . Прямі m і р, f і k, що перетинаються, визначають взаємно паралельні площини α і β (див. рис. 248, е). Відстань між площинами α і β дорівнює шуканій відстані між схрещуються прямими m і f.

Можна запропонувати і інший шлях для визначення відстані між прямими схрещуються, який полягає в тому, що за допомогою будь-якого способу перетворення ортогональних проекцій одна з схрещуваних прямих перекладається в проецірующее положення. І тут одна проекція прямий вироджується в крапку. Відстань між новими проекціями прямих, що схрещуються (точкою A" 2 і відрізком C" 2 D" 2) є шуканою.

На рис. 275 наведено розв'язання задачі на визначення відстані між прямими а і b, що схрещуються, заданими відрізками [АВ] і [CD]. Рішення виконують у наступній послідовності:

1. Переводять одну з прямих (а), що схрещуються, в положення, паралельне площині π 3 ; для цього переходять від системи площин проекції xπ 2 /π 1 до нової x 1 π 1 /π 3 вісь x 1 проводять паралельно горизонтальній проекції прямої а. Визначають а" 1 [А" 1 В" 1] і b" 1 .

2. Шляхом заміни площини π 1 площиною π 4 переводять пряму

а в положення а" 2 перпендикулярне площині π 4 (нову вісь х 2 проводять перпендикулярно а" 1).

3. Будують нову горизонтальну проекцію прямої b"2 - [C"2D"2].

4. Відстань від точки А" 2 до прямої C" 2 D" 2 (відрізок (А" 2 М" 2 ]).

Слід мати на увазі, що переведення однієї з схрещуваних прямих в проецірующее положення є нічим іншим, як перекладом площин паралелізму, в які можна укласти прямі а і b, також проецірующее положення.

Справді, перевівши пряму а положення, перпендикулярне площині π 4 , ми забезпечуємо перпендикулярність будь-якої площини, що містить пряму а, площини π 4 , у тому числі і площини α, що визначається прямими а і m (а ∩ m, m || b ). Якщо ми тепер проведемо пряму n, паралельну а і пряму b, що перетинає, то ми отримаємо площину β, що є другою площиною паралелізму, в яку укладені схрещувальні прямі а і b. Оскільки β || α, то й β ⊥ π 4 .