Що таке круговий циліндр. Визначення та властивості циліндра

Назва науки "геометрія" перекладається як "вимір землі". Зародилася стараннями найперших древніх землевпорядників. А було так: під час розливів священного Нілу потоки води іноді змивали межі ділянок землеробів, а нові кордони могли не збігтися зі старими. Податки ж селянами сплачувалися до скарбниці фараона пропорційно до величини земельного наділу. Вимірюванням площ ріллі у нових кордонах після розливу займалися спеціальні люди. Саме внаслідок їхньої діяльності і виникла нова наука, що отримала розвиток у Стародавній Греції. Там вона і назву отримала, і набула практично сучасного вигляду. Надалі термін став міжнародною назвою науки про плоскі та об'ємні фігури.

Планіметрія – розділ геометрії, що займається вивченням плоских фігур. Іншим розділом науки є стереометрія, що розглядає властивості просторових (об'ємних) фігур. До таких фігур відноситься і описується в цій статті – циліндр.

Прикладів присутності предметів циліндричної форми у повсякденному житті достатньо. Циліндричну (набагато рідше – конічну) форму мають майже всі деталі обертання – вали, втулки, шийки, осі тощо. Циліндр широко використовується в будівництві: вежі, опорні, декоративні колони. Крім того посуд, деякі види упаковки, труби різних діаметрів. І нарешті - знамениті капелюхи, які надовго стали символом чоловічої елегантності. Список можна продовжувати нескінченно.

Визначення циліндра як геометричної фігури

Циліндром (круговим циліндром) прийнято називати фігуру, що складається з двох кіл, які при бажанні поєднуються за допомогою паралельного перенесення. Саме ці кола є підставами циліндра. А ось лінії (прямі відрізки), що зв'язують відповідні точки, одержали назву «утворюючі».

Важливо, що підстави циліндра завжди рівні (якщо ця умова не виконується, то перед нами - усічений конус, щось інше, але тільки не циліндр) і знаходяться в паралельних площинах. А відрізки, що з'єднують відповідні точки на колах, паралельні і рівні.

Сукупність нескінченної множини утворюючих - не що інше, як бічна поверхня циліндра - один з елементів даної геометричної фігури. Інша її важлива складова – розглянуті вище кола. Називаються вони основами.

Види циліндрів

Найпростіший і найпоширеніший вид циліндра - круговий. Його утворюють два правильні кола, які у ролі підстав. Але замість них можуть бути інші фігури.

Основи циліндрів можуть утворювати (крім кіл) еліпси, інші замкнуті фігури. Але циліндр може мати обов'язково замкнуту форму. Наприклад, основою циліндра може служити парабола, гіпербола, інша відкрита функція. Такий циліндр буде відкритим чи розгорнутим.

По куту нахилу утворюють до основ циліндри можуть бути прямими або похилими. У прямого циліндра утворюють строго перпендикулярні площині основи. Якщо цей кут відрізняється від 90°, циліндр – похилий.

Що таке поверхня обертання

Прямий круговий циліндр, без сумніву, - найпоширеніша поверхня обертання, яка використовується в техніці. Іноді за технічними показаннями застосовується конічна, куляста, деякі інші типи поверхонь, але 99% всіх валів, осей, що обертаються, і т.д. виконані саме у формі циліндрів. Для того, щоб краще усвідомити, що таке поверхня обертання, можна розглянути, як утворений сам циліндр.

Припустимо, є якась пряма a, розташований вертикально. ABCD - прямокутник, одна із сторін якого (відрізок АВ) лежить на прямій a. Якщо обертати прямокутник навколо прямої, як показано на малюнку, обсяг, який він займе, обертаючись, і буде нашим тілом обертання - прямим круговим циліндром з висотою H = AB = DC і радіусом R = AD = BC.

В даному випадку, в результаті обертання фігури – прямокутника – виходить циліндр. Обертаючи трикутник, можна отримати конус, обертаючи півколо - кулю і т.д.

Площа поверхні циліндра

Для того щоб обчислити площу поверхні прямого звичайного кругового циліндра, необхідно підрахувати площі основ і бічної поверхні.

Спочатку розглянемо, як обчислюють площу бічної поверхні. Це твір довжини кола на висоту циліндра. Довжина кола, своєю чергою, дорівнює подвоєному твору універсального числа Пна радіус кола.

Площа кола, як відомо, дорівнює добутку Пна квадрат радіусу. Отже, склавши формули для площі визначення бічної поверхні з подвоєним виразом площі підстави (адже їх два) і зробивши нехитрі алгебраїчні перетворення, отримуємо остаточне вираз для визначення площі поверхні циліндра.

Визначення обсягу фігури

Об'єм циліндра визначається за стандартною схемою: площа поверхні основи множиться на висоту.

Таким чином, кінцева формула виглядає наступним чином: шукане визначається як добуток висоти тіла на універсальне число Пі квадрат радіуса основи.

Отримана формула, треба сказати, застосовна для вирішення найнесподіваніших завдань. Так само, як обсяг циліндра, визначається, наприклад, обсяг електропроводки. Це необхідно для обчислення маси проводів.

Відмінності у формулі тільки в тому, що замість радіуса одного циліндра стоїть ділений надвоє діаметр жили проводки і у виразі з'являється кількість жил у проводі N. Також замість висоти використовується довжина дроту. Таким чином розраховується об'єм «циліндра» не одного, а за кількістю проводків обплітання.

Такі розрахунки часто потрібні практично. Адже значна частина ємностей для води виготовлена у формі труби. І обчислити об'єм циліндра часто потрібно навіть у домашньому господарстві.

Проте, як говорилося, форма циліндра може бути різною. І в деяких випадках потрібно розрахувати, чому дорівнює об'єм похилого циліндра.

Відмінність у тому, що площу поверхні основи множать не так на довжину утворює, як у разі прямому циліндром, але в відстань між площинами - перпендикулярний відрізок, побудований з-поміж них.

Як видно з малюнка, такий відрізок дорівнює добутку довжини утворює синус кута нахилу утворює до площини.

Як побудувати розгортку циліндра

У деяких випадках потрібно викроїти розгортку циліндра. На наведеному малюнку показані правила, якими будується заготівля виготовлення циліндра із заданими висотою і діаметром.

Слід враховувати, що малюнок наведений без урахування швів.

Відмінності скошеного циліндра

Уявімо собі якийсь прямий циліндр, обмежений з одного боку площиною, перпендикулярною утворюючим. А ось площина, що обмежує циліндр з іншого боку, не перпендикулярна до утворює і не паралельна першій площині.

На малюнку представлено скошений циліндр. Площина апід деяким кутом, відмінним від 90° до утворюючим, перетинає фігуру.

Така геометрична форма найчастіше зустрічається на практиці у вигляді з'єднань трубопроводів (коліни). Але бувають навіть будівлі, збудовані у вигляді скошеного циліндра.

Геометричні характеристики скошеного циліндра

Нахил однієї з площин скошеного циліндра трохи змінює порядок розрахунку як площі поверхні такої фігури, так і її об'єму.

Циліндр

Опр. Циліндром називається тіло, яке складається з двох кіл, що поєднуються

паралельним перенесенням та всіх відрізків, що з'єднують відповідні точки

цих кіл.

Кола називають основами циліндра, а відрізки, що з'єднують відповідні точки кіл цих кіл – утворюють циліндра (рис. 1)

Мал. 1 рис. 2 рис. 3 рис. 4

Властивості циліндра:

1) Основи циліндра рівні і лежать у паралельних площинах.

2) Утворювальні циліндри рівні і паралельні.

Опр. Радіусом циліндра називається радіус його основи.

Опр. Висотою циліндра називається відстань між площинами його основ.

Опр. Перетин циліндра площиною, що проходить через вісь циліндра, називається осьовим перетином.

Осьовий переріз циліндра – прямокутник зі сторонами 2R та l(У прямому циліндрі l= Н) рис. 2

Перетин циліндра, паралельні осі, є прямокутниками (рис. 3).

Перетин циліндра площиною, паралельною основам – коло, рівне основам (рис. 4)

Площа поверхні циліндра.

Бічна поверхня циліндра складена з утворюючих.

Повна поверхня циліндра складається з основ та бічної поверхні.

S повний = 2 S осн + S бік ; S осн = П ∙ R 2 ; S бік = 2 П ∙ R ∙НS повний = 2ПR ∙(R + Н)

Практична частина:

№1. Радіус циліндра дорівнює 3см, яке висота- 5см. Знайдіть площу осьового перерізу і площу пів-

ної поверхні циліндра.

№2. Діагональ осьового перерізу циліндра нахилена до площини основи під кутом.
і дорівнює 20 см. Знайдіть площу бічної поверхні циліндра.

№3. Радіус циліндра дорівнює 2см, яке висота- 3см. Знайдіть діагональ осьового перерізу циліндра.

№4. Діагональ осьового перерізу циліндра, рівна
, утворює з площиною основи кут
. Знайдіть площу бічної поверхні циліндра.

№5. Площа бічної поверхні циліндра дорівнює 15 . Знайдіть площу осьового перерізу.

№6. Знайдіть висоту циліндра, якщо площа його основи дорівнює 1, а S бік =
.

№7. Діагональ осьового перерізу циліндра має довжину 8см і нахилена до площини основи під кутом.
. Знайдіть повну поверхню циліндра.

Циліндрична димова труба з діаметром 65см має висоту 18м. Скільки жерсті потрібно для виготовлення, якщо на заклепку йде 10% матеріалу?

Category:Cylindersна Вікіскладі

Циліндр(ін.-грец. κύλινδρος - валик, ковзанка) - геометричне тіло, обмежене циліндричною поверхнею і двома паралельними площинами, що перетинають її. Циліндрична поверхня - поверхня, що отримується таким поступальним рухом прямої (утворюючої) у просторі, що виділена точка утворює рухається вздовж плоскої кривої (напрямної). Частина поверхні циліндра, обмежена циліндричною поверхнею, називається бічною поверхнею циліндра. Інша частина, обмежена паралельними площинами, це основи циліндра. Таким чином, межа основи формою співпадатиме з напрямною.

У більшості випадків під циліндром мається на увазі прямий круговий циліндр, у якого напрямна - коло і підстави перпендикулярні до утворює. Такий циліндр має вісь симетрії.

Інші види циліндра - (по нахилу утворює) косою або похилий (якщо утворює стосується основи не під прямим кутом); (за формою основи) еліптичний, гіперболічний, параболічний.

Призма також є різновидом циліндра – з основою у вигляді багатокутника.

Площа поверхні циліндра

Площа бічної поверхні

До обчислення площі бічної поверхні циліндра

Площа бічної поверхні циліндра дорівнює довжині твірної, помноженої на периметр перерізу циліндра площиною, перпендикулярною твірної.

Площа бічної поверхні прямого циліндра обчислюється за його розгорткою. Розгортка циліндра є прямокутником з висотою і довжиною , що дорівнює периметру основи. Отже, площа бічної поверхні циліндра дорівнює площі розгортки і обчислюється за формулою:

Зокрема, для прямого кругового циліндра:

, і

Для похилого циліндра площа бічної поверхні дорівнює довжині утворюючої, помноженої на периметр перерізу перпендикулярного утворює:

Простої формули, що виражає площу бічної поверхні косого циліндра через параметри основи та висоту, на відміну від об'єму, на жаль, не існує.

Площа повної поверхні

Площа повної поверхні циліндра дорівнює сумі площ його бічної поверхні та її основ.

Для прямого кругового циліндра:

Об'єм циліндра

Для похилого циліндра існують дві формули:

де - Довжина утворює, а - кут між твірною і площиною основи. Для прямого циліндра.

Для прямого циліндра , і , і об'єм дорівнює:

Для кругового циліндра:

де d- Діаметр основи.

Примітки

Wikimedia Foundation. 2010 .

Синоніми:

Дивитись що таке "Циліндр" в інших словниках:

- (Лат. cylindrus) 1) геометричне тіло, обмежене з кінців двома колами, з боків площиною, що обгинає ці кола. 2) у годинниковій майстерності: особливий важіль подвійного колеса. 3) капелюх, що має форму циліндра. Словник іноземних слів, … Словник іноземних слів російської мови

циліндр- а, м. cylindre m., нім. Zylinder, лат. cylindrus гр. 1. Геометричне тіло, яке утворюється обертання прямокутника навколо однієї з його сторін. Об'єм циліндра. БАС 1. Товстота циліндра дорівнює площі його основи, помноженої на висоту. Даль ... Історичний словник галицизмів російської

Чол., грец. пряма стопка, вал; облець, хмара; тіло, обмежене нарешті двома колами, а з боків гнутою по колах площиною. Товстота циліндра дорівнює площі його основи, помноженої на висоту, геом. Паровий циліндр, халява, труба, в якій… Тлумачний словник Даля- Високий чоловічий капелюх з шовкового плюшу з невеликими твердими полями. Великий Енциклопедичний словник

ЦИЛІНДР, тверде тіло або поверхню, що утворюються обертанням прямокутника навколо однієї з його сторін як осі. Об'єм циліндра, якщо позначити його висоту як h, а радіус основи як r дорівнює pr2h, а площа вигнутої поверхні 2prh … Науково-технічний енциклопедичний словник

Циліндр, циліндра, чоловік. (Від грец. kylindros). 1. Геометричне тіло, що утворюється обертанням прямокутника біля однієї з його сторін, званої віссю, і має в основі коло (мат.). 2. Частина машин (двигунів, насосів, компресорів і т.д.) в ... Тлумачний словник Ушакова

Циліндр, а, чоловік. 1. Геометричне тіло, утворене обертанням прямокутника навколо однієї з його сторін. 2. Колонновидний предмет, напр. частина поршневої машини. 3. Високий твердий капелюх такої форми з невеликими полями. Чорний ц. | прил.… … Тлумачний словник Ожегова

- (Steam cylinder) одна з основних деталей поршневих машин. Виконується як порожнистого круглого Ц., у якому рухається поршень. Ц. парових машин забезпечується зазвичай паровою сорочкою для обігріву його стінок з метою зменшення конденсації пари.

Визначення циліндра як геометричної фігури

Види циліндрів

Що таке поверхня обертання

Площа поверхні циліндра

Визначення обсягу фігури

Об'єм циліндра визначається за стандартною схемою: площа поверхні основи множиться на висоту.

Як видно з малюнка, такий відрізок дорівнює добутку довжини утворює синус кута нахилу утворює до площини.

Як побудувати розгортку циліндра

Слід враховувати, що малюнок наведений без урахування швів.

Відмінності скошеного циліндра

Геометричні характеристики скошеного циліндра

Циліндр є геометричним тілом, обмеженим двома паралельними площинами і циліндричною поверхнею. У статті поговоримо про те, як знайти площу циліндра і, застосувавши формулу, вирішимо для прикладу кілька завдань.

У циліндра є три поверхні: вершина, основа, та бічна поверхня.

Вершина та основа циліндра є колами, їх легко визначити.

Відомо, що площа кола дорівнює πr 2 . Тому формула площі двох кіл (вершини і основи циліндра) матиме вигляд πr 2 + πr 2 = 2πr 2 .

Третя, бічна поверхня циліндра є вигнутою стінкою циліндра. Для того щоб краще уявити цю поверхню, спробуємо перетворити її, щоб отримати впізнавану форму. Уявіть собі, що циліндр, це звичайна консервна банка, яка не має верхньої кришки і дна. Зробимо вертикальний надріз на бічній стінці від вершини до основи банки (Крок 1 на малюнку) і спробуємо максимально розкрити (випрямити) отриману фігуру (Крок 2).

Після повного розкриття отриманої банки побачимо вже знайому фігуру (Крок 3), це прямокутник. Площа прямокутника легко обчислити. Але перед цим повернемося на мить до початкового циліндра. Вершина вихідного циліндра є коло, а ми знаємо, що довжина кола обчислюється за формулою: L = 2πr. На малюнку вона позначена червоним кольором.

Коли бічна стінка циліндра повністю розкрита, бачимо, що довжина кола стає довжиною отриманого прямокутника. Сторонами цього прямокутника будуть довжина кола (L = 2πr) та висота циліндра (h). Площа прямокутника дорівнює добутку його сторін – S = довжина x ширина = L x h = 2πr x h = 2πrh. В результаті ми отримали формулу для розрахунку площі бічної поверхні циліндра.

Формула площі бічної поверхні циліндра
S бік. = 2πrh

Площа повної поверхні циліндра

Зрештою, якщо ми складемо площу всіх трьох поверхонь, ми отримаємо формулу площі повної поверхні циліндра. Площі поверхні циліндра дорівнює площа вершини циліндра + площа основи циліндра + площа бічної поверхні циліндра або S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Іноді цей вираз записується ідентичною формулою 2πr (r + h).

Формула площі повної поверхні циліндра
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r – радіус циліндра, h – висота циліндра

Приклади розрахунку площі поверхні циліндра

Для розуміння наведених формул спробуємо порахувати площу поверхні циліндра на прикладах.

1. Радіус основи циліндра дорівнює 2, висота дорівнює 3. Визначте площу бічної поверхні циліндра.

Площа повної поверхні розраховується за формулою: S бік. = 2πrh

S бік. = 2*3,14*2*3

S бік. = 6,28*6

S бік. = 37,68

Площа бічної поверхні циліндра дорівнює 37,68.

2. Як знайти площу поверхні циліндра, якщо висота дорівнює 4, а радіус 6?

Площа повної поверхні розраховується за формулою: S = 2πr 2 + 2πrh

S = 2 * 3,14 * 6 2 + 2 * 3,14 * 6 * 4

S = 2 * 3,14 * 36 + 2 * 3,14 * 24

S = 226,08 + 150,72

Площа поверхні циліндра дорівнює 376,8.