Що таке багатокутник? Багатокутники. Детальна теорія з прикладами Багатокутники які фігури

Розділи: Математика

Предмет, вік учнів: геометрія, 9 клас

Ціль уроку: дослідження видів багатокутників.

Навчальна задача: актуалізувати, розширити та узагальнити знання учнів про багатокутники; сформувати уявлення про “складові частини” багатокутника; провести дослідження кількості складових елементів правильних багатокутників (від трикутника до n – кутника);

Розвиваюча задача: розвивати вміння аналізувати, порівнювати, робити висновки, розвивати обчислювальні навички, усне та письмове математичне мовлення, пам'ять, а також самостійність у мисленні та навчальній діяльності, вміння працювати в парах та групах; розвивати дослідницьку та пізнавальну діяльність;

Виховне завдання: виховувати самостійність, активність, відповідальність за доручену справу, завзятість у досягненні поставленої мети.

Хід уроку:на дошці написана цитата

"Природа говорить мовою математики, літери цієї мови... математичні постаті".Г.Галлілей

На початку уроку клас ділиться на робочі групи (у разі розподіл на групи по 4 людини у кожній – кількість учасників групи дорівнює кількості груп питань).

1.Стадія виклику-

Цілі:

а) актуалізація знань учнів на тему;

б) пробудження інтересу до теми, що вивчається, мотивація кожного учня до навчальної діяльності.

Прийом: Гра “Чи вірите ви, що…”, організація роботи з текстом.

Форми роботи: фронтальна, групова.

"Чи вірите ви в те, що ...."

1. … слово "багатокутник" вказує на те, що у всіх фігур цього сімейства "багато кутів"?

2. … трикутник відноситься до великого сімейства багатокутників, що виділяються серед безлічі різних геометричних фігур на площині?

3. … квадрат – це правильний восьмикутник (чотири сторони + чотири кути)?

Сьогодні на уроці йтиметься про багатокутники. Ми дізнаємося, що ця фігура обмежена замкненою ламаною, яка, у свою чергу, буває простою, замкнутою. Поговоримо про те, що багатокутники бувають плоскими, правильними, опуклими. Один із плоских багатокутників – трикутник, з яким ви давно і добре знайомі (можна продемонструвати учням плакати із зображенням багатокутників, ламаною, показати їх різні види, також можна скористатися і ТЗН).

2. Стадія осмислення

Ціль: отримання нової інформації, її осмислення, відбір.

Прийом: зигзаг.

Форми роботи: індивідуальна->парна->групова.

Кожному з групи видається текст на тему уроку, причому текст складено в такий спосіб, що він включає як інформацію вже відому учням, і інформацію абсолютно нову. Разом з текстом учні отримують питання, відповіді на які необхідно знайти в цьому тексті.

Багатокутники. Види багатокутників.

Хто не чув про загадковий Бермудський трикутник, у якому безвісти зникають кораблі та літаки? Адже знайомий нам з дитинства трикутник таїть у собі чимало цікавого та загадкового.

Крім вже відомих нам видів трикутників, що поділяються по сторонах (різносторонній, рівнобедрений, рівносторонній) і кутах (гострокутний, тупокутний, прямокутний) трикутник відноситься до великого сімейства багатокутників, що виділяються серед безлічі різних геометричних фігур на площині.

Слово "багатокутник" вказує на те, що у всіх фігур цього сімейства "багато кутів". Для характеристики фігури цього мало.

Ломаною А 1 А 2 …А n називається фігура, яка складається з точок А 1, А 2, … А n і відрізків, що їх з'єднують А 1 А 2 , А 2 А 3 ,…. Крапки називаються вершинами ламаною, а відрізки ланками ламаною. (Рис.1)

Ламана називається простою, якщо вона не має самоперетинів (рис.2,3).

Ламана називається замкненою, якщо в неї кінці збігаються. Довжиною ламаною називається сума довжин її ланок (рис.4).

Проста замкнута ламана називається багатокутником, якщо її сусідні ланки не лежать на одній прямій (рис.5).

Підставте в слові багатокутник замість частини багато конкретне число, наприклад 3. Ви отримаєте трикутник. Або 5. Тоді – п'ятикутник. Зауважимо, що скільки кутів, стільки й сторін, тому ці фігури цілком можна було б назвати і багатосторонніми.

Вершини ламаної називаються вершинами багатокутника, а ланки ламаної – сторонами багатокутника.

Багатокутник розбиває площину на дві області: внутрішню та зовнішню (рис.6).

Плоським багатокутником або багатокутною областю називається кінцева частина площини обмежена багатокутником.

Дві вершини багатокутника, що є кінцями однієї сторони, називаються сусідніми. Вершини, які є кінцями однієї боку – несусідні.

Багатокутник з n вершинами, отже, і з n сторонами називається n-кутником.

Хоча найменша кількість сторін багатокутника – 3. Але трикутники, з'єднуючись один з одним, можуть утворювати інші фігури, які також є багатокутниками.

Відрізки, що з'єднують сусідні вершини багатокутника, називаються діагоналями.

Багатокутник називається опуклим, якщо він лежить в одній напівплощині щодо будь-якої прямої, що містить його бік. При цьому сама пряма вважається напівплощиною, що належить.

Кутом опуклого багатокутника при цій вершині називається кут, утворений його сторонами, що сходяться в цій вершині.

Доведемо теорему (про суму кутів опуклого n – косинця): Сума кутів опуклого n – косинця дорівнює 180 0 *(n - 2).

Доведення. Що стосується n=3 теорема справедлива. Нехай А 1 А 2 …А n – опуклий багатокутник і n>3. Проведемо у ньому (з однієї вершини) діагоналі. Так як багатокутник опуклий, ці діагоналі розбивають його на n – 2 трикутника. Сума кутів багатокутника збігається із сумою кутів усіх цих трикутників. Сума кутів кожного трикутника дорівнює 180 0 , а кількість цих трикутників n – 2. Тому сума кутів опуклого n – кутника А 1 А 2 …А n дорівнює 180 0 * (n - 2). Теорему доведено.

Зовнішнім кутом опуклого багатокутника при цій вершині називається кут, суміжний внутрішньому куту багатокутника при цій вершині.

Випуклий багатокутник називається правильним, якщо у нього всі сторони рівні та всі кути рівні.

Тож квадрат можна назвати по-іншому – правильним чотирикутником. Рівносторонні трикутники також є правильними. Такі постаті давно цікавили майстрів, які прикрашали будинки. З них виходили гарні візерунки, наприклад, на паркеті. Але не з усіх правильних багатокутників можна було скласти паркет. Із правильних восьмикутників паркет скласти не можна. Справа в тому, що у них кожен кут дорівнює 135 0 . І якщо якась точка є вершиною двох таких восьмикутників, то на їх частку доведеться 270 0 , і третьому восьмикутнику там поміститися ніде: 360 0 - 270 0 = 90 0 . для квадрата цього достатньо. Тому можна скласти паркет із правильних восьмикутників та квадратів.

Правильними бувають і зірки. Наша п'ятикутна зірка – правильна п'ятикутна зірка. А якщо повернути квадрат навколо центру на 450, то вийде правильна восьмикутна зірка.

1 група

Що називається ламаною? Поясніть, що таке вершини та ланки ламаної.

Яка ламана називається простою?

Яка ламана називається замкненою?

Що називається багатокутником? Що називається вершинами багатокутника? Що називається сторонами багатокутника?

2 група

Який багатокутник називається плоским? Наведіть приклади багатокутників.

Що таке n – косинець?

Поясніть, які вершини багатокутника сусідні, а які ні.

Що таке діагональ багатокутника?

3 група

Який багатокутник називається опуклим?

Поясніть, які кути багатокутника зовнішні, а які внутрішні?

Який багатокутник називається правильним? Наведіть приклади правильних багатокутників.

4 група

Чому дорівнює сума кутів опуклого n-кутника? Доведіть.

Учні працюють з текстом, шукають відповіді на поставлені питання, після чого формуються експертні групи, робота в яких йде з одних і тих самих питань: учні виділяють головне, складають опорний конспект, подають інформацію однієї з графічних форм. Після закінчення роботи учні повертаються до своїх робочих груп.

3.Стадія рефлексії-

а) оцінка своїх знань, виклик до наступного кроку пізнання;

б) осмислення та присвоєння отриманої інформації.

Прийом: дослідження.

Форми роботи: індивідуальна->парна->групова.

У робочих групах виявляються фахівці з відповідей кожен із розділів запропонованих питань.

Повернувшись до робочої групи, експерт знайомить інших членів групи з відповідями на свої запитання. У групі відбувається обміну інформацією всіх учасників робочої групи. Таким чином, у кожній робочій групі, завдяки роботі експертів, складається загальне уявлення по темі, що вивчається.

Дослідницька робота учнів – наповнення таблиці.

Вирішення цікавих завдань на тему уроку.

• У чотирикутнику проведіть пряму так, щоб вона розділила його на три трикутники.
• Скільки сторін має правильний багатокутник, кожен із внутрішніх кутів якого дорівнює 135 0 ?
• У деякому багатокутнику всі внутрішні кути рівні між собою. Чи може сума внутрішніх кутів цього багатокутника дорівнювати: 360 0 380 0 ?

Підбиття підсумків уроку. Запис домашнього завдання.

Існують різні погляди те що, що вважати багатокутником. У шкільному курсі геометрії використовують одне з таких визначень.

Визначення 1

Багатокутник

- це фігура, складена з відрізків

так, що суміжні відрізки(тобто сусідні відрізки із загальною вершиною, наприклад, A1A2 та A2A3) не лежать на одній прямій, а несуміжні відрізки немає спільних точок.

Визначення 2

Багатокутником називається проста замкнута.

Крапки

називаються вершинами багатокутника, відрізки

— сторонами багатокутника.

Сума довжин усіх сторін називається периметром багатокутника.

Багатокутник, який має n вершин (а отже, і n сторін) називається n - косинцем.

Багатокутник, що лежить в одній площині, називається плоским. Коли говорять про багатокутник, якщо не сказано інакше, мається на увазі, що йдеться про плоский багатокутник.

Дві вершини, що належать одній стороні багатокутника, називаються сусідніми. Наприклад, A1 та A2, A5 та A6 – сусідні вершини.

Відрізок, який з'єднує дві несусідні вершини, називається діагоналлю багатокутника.

З'ясуємо, скільки діагоналей має багатокутник.

З кожної з n вершин багатокутника виходить n-3 діагоналі

(Всього вершин n. Не рахуємо саму вершину і дві сусідні, які не утворюють з даної вершиною діагоналі. Для вершини A1, наприклад, не враховуємо саму A1 і сусідні вершини A2 і A3).

Таким чином, кожна з n вершин відповідає n-3 діагоналі. Оскільки одна діагональ відноситься відразу до двох вершин, щоб знайти кількість діагоналей багатокутника, треба добуток n(n-3) розділити навпіл.

Отже, n - косинець має

діагоналі.

Будь-який багатокутник ділить площину на дві частини – внутрішню та зовнішню області багатокутника. Фігуру, що складається з багатокутника та його внутрішньої області, також називають багатокутником.

Властивості багатокутників

Багатокутник - це геометрична фігура, що зазвичай визначається як замкнута ламана без самоперетинів (простий багатокутник (рис. 1а)), проте іноді самоперетину допускаються (тоді багатокутник не є простим).

Вершини ламаної називаються вершинами багатокутника, а відрізки – сторонами багатокутника. Вершини багатокутника називаються сусідніми, якщо є кінцями однієї з його сторін. Відрізки, які з'єднують несусідні вершини багатокутника, називаються діагоналями.

Кутом (або внутрішнім кутом) опуклого багатокутника при даній вершині називається кут, утворений його сторонами, що сходяться в цій вершині, при цьому кут вважається багатокутником. Зокрема кут може перевищувати 180°, якщо багатокутник невипуклий.

Зовнішнім кутом опуклого багатокутника при цій вершині називається кут, суміжний внутрішньому куту багатокутника при цій вершині. У випадку зовнішній кут це різниця між 180° і внутрішнім кутом. З кожної вершини -кутника при > 3 виходять - 3 діагоналі, тому загальна кількість діагоналей -кутника дорівнює.

Багатокутник із трьома вершинами називається трикутником, із чотирма - чотирикутником, із п'ятьма - п'ятикутником тощо.

Багатокутник з nвершинами називається n-косинцем.

Плоським багатокутником називається фігура, що складається з багатокутника та обмеженої ним кінцевої частини площі.

Багатокутник називають опуклим, якщо виконано одну з наступних (еквівалентних) умов:

• 1. він лежить по одну сторону від будь-якої прямої, що з'єднує сусідні вершини. (Тобто продовження сторін багатокутника не перетинають інших його сторін);
• 2. він є перетином (тобто загальною частиною) декількох напівплощин;
• 3. будь-який відрізок з кінцями в точках, що належать багатокутнику, цілком належить йому.

Випуклий багатокутник називається правильним, якщо у нього всі сторони рівні і всі кути рівні, наприклад, рівносторонній трикутник, квадрат і пентагон.

Опуклий багатокутник називається описаним біля кола, якщо всі його сторони торкаються деякого кола

Правильний багатокутник - це багатокутник, у якого всі кути та всі сторони рівні між собою.

Властивості багатокутників:

1 Кожна діагональ опуклого -кутника, де >3, розкладає його на два опуклі багатокутники.

2 Сума всіх кутів опуклого -кутника дорівнює.

Д-во: Теорему доведемо шляхом математичної індукції. При = 3 вона очевидна. Припустимо, що теорема правильна для -кутника, де <, і доведемо її для -кутника.

Нехай-даний багатокутник. Проведемо діагональ цього багатокутника. По теоремі 3 багатокутник розкладено на трикутник і опуклий -кутник (рис. 5). За припущенням індукції. З іншого боку, . Складаючи ці рівності та враховуючи, що (- внутрішній промінь кута ) і (- внутрішній промінь кута ), отримуємо.При отримуємо: .

3 Біля будь-якого правильного багатокутника можна описати коло, і до того ж лише одну.

Д-во: Нехай правильний багатокутник, а й – бісектриси кутів, та (рис. 150). Тому що, отже, * 180°< 180°. Отсюда следует, что биссектрисы и углов и пересекаются в некоторой точке О.Доведемо, що O = ОА 2 = Про =… = ОА п . Трикутник Прорівнобедрений, тому Про= Про. За другою ознакою рівності трикутників, отже, Про = Про. Аналогічно доводиться, що Про = Проі т.д. Таким чином, точка Прорівновіддалена від усіх вершин багатокутника, тому коло з центром Прорадіусу Проє описаною біля багатокутника.

Доведемо тепер, що описане коло лише одне. Розглянемо якісь три вершини багатокутника, наприклад, А 2 , . Оскільки через ці точки проходить лише одне коло, то біля багатокутника … не можна описати більш ніж одне коло.

• 4 У будь-який правильний багатокутник можна вписати коло і до того ж лише одну.
• 5 Окружність, вписана у правильний багатокутник, стосується сторін багатокутника в їх серединах.
• 6 Центр кола, описаного біля правильного багатокутника, збігається з центром кола, вписаного в той самий багатокутник.
• 7 Симетрія:

Кажуть, що фігура має симетрію (симетрична), якщо існує такий рух (не тотожний), що переводить цю фігуру в себе.

• 7.1. Трикутник загального вигляду немає осей чи центрів симетрії, він несиметричний. Рівнобедрений (але не рівносторонній) трикутник має одну вісь симетрії: серединний перпендикуляр до основи.
• 7.2. Рівносторонній трикутник має три осі симетрії (серединні перпендикуляри до сторін) та поворотну симетрію щодо центру з кутом повороту 120°.

7.3 Будь-який правильний n-кутник має n осей симетрії, всі вони проходять через його центр. Він також має поворотну симетрію щодо центру з кутом повороту.

При парному nодні осі симетрії проходять через протилежні вершини, інші – через середини протилежних сторін.

При непарному nкожна вісь проходить через вершину та середину протилежної сторони.

Центр правильного багатокутника з парним числом сторін є центром симетрії. У правильного багатокутника з непарною кількістю сторін центру симетрії немає.

8 Подібність:

При подобі і -кутник переходить в -кутник, напівплощина - напівплощина, тому опуклий n-кутник переходить у опуклий n-кутник.

Теорема: Якщо сторони і кути опуклих багатокутників і задовольняють рівності:

де - коефіцієнт подія

то ці багатокутники подібні.

• 8.1 Відношення периметрів двох подібних багатокутників дорівнює коефіцієнту подібності.
• 8.2. Відношення площ двох опуклих подібних багатокутників дорівнює квадрату коефіцієнта подібності.

багатокутник трикутник периметр теорема

Багатокутник- це геометрична фігура, обмежена замкненою ламаною лінією, що не має самоперетинів.

Ланки ламаною називаються сторонами багатокутника, а її вершини - вершинами багатокутника.

Кутамибагатокутника називаються внутрішні кути, утворені сусідніми сторонами. Число кутів багатокутника дорівнює числу його вершин і сторін.

Багатокутникам надаються назви за кількістю сторін. Багатокутник із найменшою кількістю сторін називається трикутником, він має лише три сторони. Багатокутник із чотирма сторонами називається чотирикутником, із п'ятьма - п'ятикутником тощо.

Позначення багатокутника становлять із букв, що стоять при його вершинах, називаючи їх по порядку (за годинниковою або проти годинникової стрілки). Наприклад, кажуть чи пишуть: п'ятикутник ABCDE :

У п'ятикутнику ABCDEкрапки A, B, C, Dі E- це вершини п'ятикутника, а відрізки AB, BC, CD, DEі EA- Сторони п'ятикутника.

Випуклі та увігнуті

Багатокутник називається опуклимякщо жодна з його сторін, продовжена до прямої лінії, його не перетинає. У протилежному випадку багатокутник називається увігнутим:

Периметр

Сума довжин усіх сторін багатокутника називається його периметром.

Периметр багатокутника ABCDEдорівнює:

AB + BC+ CD + DE + EA

Якщо у багатокутника рівні всі сторони і всі кути, його називають правильним. Правильними багатокутниками можуть бути лише опуклі багатокутники.

Діагональ

Діагональ багатокутника- Це відрізок, що з'єднує вершини двох кутів, які не мають спільної сторони. Наприклад, відрізок ADє діагоналлю:

Єдиним багатокутником, який має жодної діагоналі, є трикутник, оскільки у ньому немає кутів, які мають спільних сторін.

Якщо з якоїсь вершини багатокутника провести всі можливі діагоналі, то вони розділять багатокутник на трикутники:

Трикутників буде рівно на два менше, ніж сторін:

t = n - 2

де t- це кількість трикутників, а n- Кількість сторін.

Поділ багатокутника на трикутники за допомогою діагоналей використовується для знаходження площі багатокутника, оскільки щоб знайти площу якогось багатокутника, потрібно розбити його на трикутники, знайти площу цих трикутників і отримані результати скласти.

Частина площини, обмежена замкненою ламаною лінією, називається багатокутником.

Відрізки цієї ламаної лінії називаються сторонамибагатокутник. АВ, НД, CD, DE, ЕА (рис. 1) - сторони багатокутника ABCDE. Сума всіх сторін багатокутника називається його периметром.

Багатокутник називається опуклимякщо він розташований по одну сторону від будь-якої своєї сторони, необмежено продовженої за обидві вершини.

p align="justify"> Багатокутник MNPKO (рис. 1) не буде опуклим, так як він розташований не по одну сторону прямої КР.

Ми розглядатимемо лише опуклі багатокутники.

Кути, складені двома сусідніми сторонами багатокутника, називаються його внутрішнімикутами, а вершини їх - вершинами багатокутника.

Відрізок прямий, що з'єднує дві несусідні вершини багатокутника, називається діагоналлю багатокутника.

АС, AD – діагоналі багатокутника (рис. 2).

Кути, суміжні із внутрішніми кутами багатокутника, називаються зовнішніми кутами багатокутника (рис. 3).

Залежно від числа кутів (сторін) багатокутник називається трикутником, чотирикутником, п'ятикутником і т.д.

Два багатокутники називаються рівними, якщо їх можна поєднати накладенням.

Вписані та описані багатокутники

Якщо всі вершини багатокутника лежать на колі, то багатокутник називається вписанимв коло, а коло - описаноюбіля багатокутника (рис).

Якщо всі сторони багатокутника є дотичні до кола, то багатокутник називається описанимбіля кола, а коло називається вписаноюбагатокутник (рис).

Подібність багатокутників

Два однойменних багатокутники називаються подібними, якщо кути одного з них відповідно дорівнюють кутам іншого, а подібні сторони багатокутників пропорційні.

Однойменними називаються багатокутники, що мають однакову кількість сторін (кутів).

Подібними називаються сторони подібних багатокутників, що з'єднують вершини відповідно до рівних кутів (рис).

Так, наприклад, щоб багатокутник ABCDE був подібний до багатокутника A'B'C'D'E', необхідно, щоб: ∠A = ∠A' ∠B = ∠B' ∠С = ∠С' ∠D = ∠D' ∠ Е = ∠Е' і, крім того, AB/A'B' = BC/B'C' = CD/C'D' = DE/D'E' = EA/E'A'.

Відношення периметрів подібних багатокутників

Спочатку розглянемо властивість низки рівних відносин. Нехай маємо, наприклад, відносини: 2/1=4/2=6/3=8/4=2.

Знайдемо суму попередніх членів цих відносин, потім - суму їх наступних членів та знайдемо відношення отриманих сум, отримаємо:

$$ \frac(2 + 4 + 6 + 8)(1 + 2 + 3 + 4) = \frac(20)(10) = 2 $$

Те саме ми отримаємо, якщо візьмемо ряд якихось інших відносин, наприклад: 2 / 3 = 4 / 6 = 6 / 9 = 8 / 12 = 10 / 15 = 2 / 3 Знайдемо суму попередніх членів цих відносин і суму наступних, а потім знайдемо відношення цих сум, отримаємо:

$$ \frac(2 + 4 + 5 + 8 + 10)(3 + 6 + 9 + 12 + 15) = \frac(30)(45) = \frac(2)(3) $$

У тому й іншому випадку сума попередніх членів ряду рівних відносин відноситься до суми наступних членів цього ж ряду, як попередній член будь-якого з цих відносин відноситься до свого наступного.

Ми вивели цю властивість, розглянувши ряд числових прикладів. Воно може бути виведено строго та у загальному вигляді.

Тепер розглянемо ставлення периметрів таких багатокутників.

Нехай багатокутник ABCDE подібний до багатокутника A'B'C'D'E' (рис).

З подоби цих багатокутників випливає, що

AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A'

На підставі виведеної нами властивості ряду рівних відносин можемо написати:

Сума попередніх членів взятих нами відносин є периметром першого багатокутника (Р), а сума наступних членів цих відносин є периметром другого багатокутника (Р'), значить, P / P' = AB / A'B' .

Отже, периметри подібних багатокутників відносяться як їхні подібні сторони.

Відношення площ подібних багатокутників

Нехай ABCDE та A'B'C'D'E' - подібні багатокутники (рис).

Відомо, що ΔAВС ~ ΔA'В'С' ΔACD ~ ΔA'C'D' і ΔADE ~ ΔA'D'E'.

Крім того,

;

Оскільки другі відносини цих пропорцій рівні, що випливає з подоби багатокутників, то

Використовуючи властивість ряду рівних відносин отримаємо:

Або

де S і S - площі даних подібних багатокутників.

Отже, площі таких багатокутників відносяться як квадрати подібних сторін.

Отриману формулу можна перетворити на такий вид: S / S' = (AВ / A'В') 2

Площа довільного багатокутника

Нехай потрібно обчислити площу довільного чотирикутника АВСС (рис).

Проведемо у ньому діагональ, наприклад АD. Отримаємо два трикутники АВD та АСD, площі яких обчислювати вміємо. Потім знаходимо суму площ цих трикутників. Отримана сума і виражатиме площу даного чотирикутника.

Якщо потрібно обчислити площу п'ятикутника, то чинимо так само: з однієї якої-небудь вершини проводимо діагоналі. Отримаємо три трикутники, площі яких можемо обчислити. Отже, можемо знайти й площу цього п'ятикутника. Також робимо при обчисленні площі будь-якого багатокутника.

Площа проекції багатокутника

Нагадаємо, що кутом між прямою та площиною називається кут між даною прямою та її проекцією на площину (рис.).

Теорема. Площа ортогональної проекції багатокутника на площину дорівнює площі багатокутника, що проектується, помноженої на косинус кута, утвореного площиною багатокутника і площиною проекції.

Кожен багатокутник можна розбити на трикутники, сума площ яких дорівнює площі багатокутника. Тому теорему достатньо довести для трикутника.

Нехай ΔАВС проектується на площину р. Розглянемо два випадки:

а) одна зі сторін ΔАВС паралельна до площини р;

б) жодна із сторін ΔАВС не паралельна р.

Розглянемо перший випадок: нехай [АВ] || р.

Проведемо через (АВ) площину р 1 || рі спроектуємо ортогонально ΔАВС на р 1 і на р(Рис.); отримаємо ΔАВС 1 і ΔА'В'С'.

За якістю проекції маємо ΔАВС 1 (cong) ΔА'В'С', і тому

S Δ ABC1 = S Δ A'B'C'

Проведемо ⊥ та відрізок D 1 C 1 . Тоді ⊥ , a \(\overbrace(CD_1C_1)\) = φ є величина кута між площиною ΔАВС та площиною р 1 . Тому

S Δ ABC1 = 1/2 | AB | | C 1 D 1 | = 1/2 | АВ | | CD 1 | cos φ = S Δ ABC cos φ

і, отже, S Δ A'B'C' = S Δ ABC cos φ.

Перейдемо до розгляду другого випадку. Проведемо площину р 1 || рчерез ту вершину ΔАВС, відстань від якої до площини рнайменше (нехай це буде вершина А).

Спроектуємо ΔАВС на площині р 1 та р(Рис.); нехай його проекціями будуть відповідно ΔАВ 1 С 1 і ΔА'В'С'.

Нехай (ВС) ∩ p 1 = D. Тоді

S Δ A'B'C' = S ΔAB1 C1 = S ΔADC1 - S ΔADB1 = (S ΔADC - S ΔADB) cos φ = S Δ ABC cos φ