Що є модулем від'ємного числа. Що таке модуль числа в математиці

Модуль числа n є кількість одиничних відрізків від початку координат до точки n. Причому не важливо, в який бік буде відраховуватись ця відстань – праворуч або ліворуч від нуля.

Інструкція

• Модуль числатакож прийнято називати абсолютною величиною цього числа. Він позначається короткими вертикальними лініями, проведеними ліворуч і праворуч числа. Наприклад, модуль числа 15 записується так: |15|.
• Пам'ятайте, що модуль може бути лише позитивним числом чи нулем. Модуль позитивного числадорівнює самому числу. Модуль нуля дорівнює нулю. Тобто для будь-кого числа n, яке більше чи дорівнює нулю, буде справедлива така формула |n| = n. Наприклад, |15| = 15, тобто модуль числа 15 дорівнює 15-ти.
• Модулем негативного числабуде те саме число, але з протилежним знаком. Тобто для будь-кого числа n, яке менше за нуль, буде справедлива формула |n| = -n. Наприклад, |-28 | = 28. Модуль числа-28 дорівнює 28-ми.
• Можна знаходити модулі не тільки для цілих, а й для дробових чисел. Причому щодо дробових чисел діють самі правила. Наприклад, |0,25| = 25, тобто модуль числа 0,25 дорівнюватиме 0,25. А |-?| = ¾, тобто модуль числа-¾ дорівнюватиме ¾.
• Працюючи з модулями корисно знати, що модулі протилежних чисел завжди рівні одне одному, тобто |n| = | -n |. Це є основною властивістю модулів. Наприклад, |10| = | -10 |. Модуль числа 10 дорівнює 10-ти, так само, як модуль числа-10. З іншого боку, |a - b| = | b - a |, тому що відстань від точки a до точки b і відстань від b до a дорівнюють один одному. Наприклад, |25 - 5| = |5 - 25|, тобто |20| = | - 20 |.

Модуль – математичне поняття, яке проходять у шостому класі. Сам собою числовий модуль не є нічого складного, це одна з найпростіших тем у початковій математиці. Але якщо випадково пропустити вивчення потрібного параграфа, можна зіткнутися з нерозумінням теми. Тому нагадаємо, що саме називається модулем, як його знайти для різних чисел, і що є це поняття по суті.

Модуль з погляду геометрії

Забігаючи вперед, спробуємо відразу зрозуміти, що ж є модуль на практиці - так буде легше вловити його сенс. Намалюємо на аркуші паперу пряму координат, візьмемо нуль за точку відліку, а праворуч і ліворуч на однаковій відстані поставимо якісь дві точки - наприклад, 5 і -5.

Модулем вважатиметься саме фактична відстань до нуля від -5 та від 5. Очевидно, що ця відстань буде абсолютно однаковою. Тому в обох випадках модуль дорівнюватиме числу «5» - і неважливо, який знак стоїть перед вихідним числом, яке ми розглядаємо.

Як знайти модуль числа?

Тепер, коли ми візуально уявляємо, що таке модуль, буде простіше зрозуміти формулювання з підручника. Вона говорить, що модулем якогось числа є саме це число, якщо воно позитивне, число, протилежне вихідному числу, якщо воно негативне, і нуль, якщо модуль шукаємо для нуля.

Це можна сформулювати і інакше – модулем будь-якого числа буде саме це число в абсолютному вираженні, тобто без урахування знака. Записується модуль так - з обох боків від потрібного числа ставляться вертикальні лінії, наприклад, модуль для числа «5» дорівнюватиме «5», а записуватися він буде, як |5|.

З усього, що ми розповіли вище, можна вивести кілька строгих правил для модулів.

• Чи може бути модуль негативним? Ні!Модуль може бути лише позитивним. Навіть якщо йдеться про негативне число, наприклад, -7, його модуль дорівнюватиме |7| - Число, протилежному вихідному.
• Для нуля модуль завжди дорівнюватиме нулю. Правильно та інше - нуль може бути модулем виключно в тому випадку, якщо обчислюється він для числа нуль, і в жодному іншому.
• Якщо потрібно знайти модуль для виразу типу a*b, тобто модуль твору, то спочатку можна знайти модуль а, потім модуль b, і перемножити їх один на одного.
• Те саме стосується і поділу - якщо нам потрібно розділити y на z і знайти модуль числа, що вийшло, то можна взяти модуль y і розділити його на модуль z. Результат буде одним і тим самим.

Протилежні числа- Це числа, які відрізняються один від одного тільки знаком. Вираз -Аозначає, що це число протилежнечислу а.

Наприклад, 7 та – 7;
41 і - 41 і т.д.

Число 0 протилежне самому собі!

Тобто для того, щоб показати протилежність чиселв математиці використовують знак « – ».

Приписавши знак « – » перед позитивним числом 5 , ми отримаємо негативне число – 5 .

Приписавши знак « – » перед негативним числом – 5 , ми отримаємо протилежне йому позитивне число 5 , Тобто - (-5) = 5.

– (–а) = а

На координатній прямій точці, у яких протилежні координати, розташовані на однаковій відстані від початку відліку.

AO = OC
BO = OD

Модуль числа

Модуль числа– це відстань (в одиничних відрізках) від початку відліку до точки, яка зображує це число на координатній прямій.

Точки А(– 4) та В (4) віддалені від початку відліку на 4 одиничні відрізки, а числа – 4 та 4 мають однакові модулі, рівні 4.

Модуль числа позначають | а |

Оскільки модуль – це відстань, а відстань може бути негативним, то модуль числа не може бути негативним числом!!!

Модулем позитивного числа і нуля є те саме число, а модулем негативного числа – протилежне йому число:

| а | = а, якщо а ≥ 0 (якщо а – невід'ємне число)

| а | = - а, якщо а< 0 (если а – отрицательное число)

Висновки

Властивості модуля числа:

1. Модуль числа може бути негативним. Модуль числа завжди або позитивне чи дорівнює 0.

1. Протилежні числа мають рівні модулі.

| - А | = | а | = а

приклад, | - 12 | = | 12 | = 12

Розв'язання рівнянь (приклади)

1. - x = 7
замість -x та 7 напишемо протилежні їм числа, використовуючи знак «–»
–(– x) = – 7
скористаємося правилом, що – (–а) = а отримаємо
x = - 7

2. - x = - 10
–(– x) = –(– 10)
x = 10

3. x = –(– 32)
x = 32

4. | x | = 4
x = 4 або x = - 4
Відповідь: 4; - 4

5. | x | = 0
x = 0
Відповідь: 0

6. | y | = - 8
модуль не може бути негативним числом, а значить, дане рівняння не має рішення
Відповідь: немає коренів

7. | - x | = 12
пригадаємо другу властивість модуля, що| – а| = |а| = а, тоді
| x | = 12
x = 12 або x = - 12
Відповідь: 12; - 12

8. | y | - 2 = 12
подібні рівняння вирішуються як прості рівняння, тільки з урахуванням модуля
| y | = 12 + 2
| y | = 14
y = 14 або y = - 14
Відповідь: 14; - 14

9. 10 - 2 | x | = 4
2| x | = 10 - 4
2| x | = 6
| x | = 6: 2
| x | = 3
x = 3 або x = - 3
Відповідь: 3; - 3

Тобто при вирішенні рівнянь, що містять модуль, ми отримаємо три види відповіді:
два корені (якщо під знаком модуля позитивне число), один корінь (якщо під знаком модуля 0)
немає коренів (якщо під знаком модуля від'ємне число).

Вирішення найпростіших нерівностей, що містять модуль

У 5 класі ми вирішували приклади із найпростішими нерівностями. Лінійні нерівності бувають суворі та нестрогі.
Суворі нерівності– це нерівності зі знаками більше (>) або менше (<).
x > a; x< a;
Нестрогі нерівності– це нерівності зі знаками більше або дорівнює (≥) або менше або дорівнює (≤).
x ≥ a; x ≤ a.

Приклади

1. Знайдіть усі натуральні значення x, при яких є правильною нерівність x< 9

Рішення.
Ця нерівність буде правильною за таких значень x: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8.
Відповідь: х = (1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8) – натуральні рішення даної нерівності.

Примітка:
Число 0 не є розв'язанням цієї нерівності, тому що 0 не є натуральним числом;
Число 9 не є рішенням цієї нерівності, так як дана нерівність суворе, тобто х строго менше 9 і не може бути рівним 9.

2. азадовольняє нерівність а> 12?

Рішення.
Оскільки нерівність сувора, то число 13 є найменшим натуральним значенням а, яке задовольняє цю нерівність.
Відповідь: 13

3. Яке найменше натуральне значення азадовольняє нерівність а ≥ 12?

Рішення.
Оскільки нерівність несувора, то число 12 є найменшим натуральним значенням а, яке задовольняє цю нерівність.
Відповідь: 12.

4. < x < 9

Рішення.
Нерівність подвійна (читають як «х більше від 2, але менше від 9»), строга, тому 3; 4; 5; 6; 7; 8 – натуральні рішення цієї подвійної нерівності.
Відповідь: х = (3; 4; 5; 6; 7; 8)

5. Знайдіть усі натуральні значення x, при яких є правильною нерівність 2< x ≤ 9.

Рішення.
3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 – натуральні рішення цієї подвійної нерівності.
Відповідь:х = (3; 4; 5; 6; 7; 8; 9)

6. Знайти всі цілі числа, які задовольняють нерівність| x |< 5.

Рішення.
| x |< 5 (читаем как «расстояние от начала отсчёта до точки изображающей х меньше 5»).
Нерівність | x |< 5 эквивалентно (може бути також записано) –5 < x < 5. Неравенство двойное, строгое, поэтому данное неравенство будет правильным при таких значениях x: –4; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; 4.
Відповідь:х = (-4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4)

7. Знайти всі цілі числа, які задовольняють нерівність| x | ≤ 5.

Рішення.
Нерівність | x | ≤ 5 еквівалентно –5 ≤ x ≤ 5. Нерівність подвійна, не сувора, тому числа –5 і 5 увійдуть у безліч чисел, при яких ця нерівність буде правильною. Таким чином, ця нерівність буде правильною за таких значень x: –5; -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5.
Відповідь: х = (-5; -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5)

8. Знайти всі цілі числа, які задовольняють нерівність | x | > 2 та позначте їх на координатній прямій.

Рішення.
Нерівність | x | > 2 еквівалентно x< – 2 или x >2. Позначимо на координатній прямій точці, координати яких задовольняють даній нерівності

Оскільки нерівність сувора, то числа - 2 і 2 не входять до множини цілих чисел, при яких ця нерівність буде правильною. А на координатній прямій ці точки позначаємо у вигляді незафарбованої точки.

Відповідь: х = (…–5; –4; –3; 3; 4; 5…)

9. Знайти всі цілі числа, які задовольняють нерівність | x | ≥ 2 та позначте їх на координатній прямій.

Рішення.
Нерівність | x | ≥ 2 еквівалентно x ≤ – 2 або x ≥ 2. Позначимо на координатній прямій точці, координати яких задовольняють даній нерівності

Оскільки нерівність несувора, то числа - 2 і 2 входять у безліч цілих чисел, при яких ця нерівність буде правильною. А на координатній прямій ці точки позначаємо як зафарбованої точки.

Відповідь: х = (…–5; –4; –3; –2; 2; 3; 4; 5…)

10. Знайти всі цілі числа, які задовольняють нерівність 1< | x | ≤ 3 и обозначте их на координатной прямой.

Рішення.
Розглянемо спочатку ліву частину нерівності. Вона означає, що відстань від початку відліку до точок менше 1. Розглянемо праву частину нерівності: відстань від початку відліку до цих точок менше або дорівнює 3.
Побудуємо ці точки на координатній прямій:

1 і – 1 не входять до множини цілих чисел, які задовольняють нерівності, тому що нерівність сувора.
3 і – 3 входять до множини цілих чисел, які задовольняють нерівності, тому що нерівність не сувора.

Відповідь:х = (-3; -2; 2; 3)

Термін (module) у буквальному перекладі з латинської означає «захід». Це було введено в математику англійським ученим Р. Котесом. А німецький математик К. Вейєрштрас ввів в обіг знак модуля - символ, яким це поняття позначається при написанні.

Вперше це поняття вивчається в математиці за програмою 6 класу середньої школи. Згідно з одним із визначень, модуль - це абсолютне значення дійсного числа. Іншими словами, щоб дізнатись модуль дійсного числа, необхідно відкинути його знак.

Графічно абсолютне значення апозначається як |a|.

Основна відмінна риса цього поняття у тому, що він є неотрицательной величиною.

Числа, які відрізняються один від одного лише знаком, називаються протилежними. Якщо значення позитивне, протилежне йому буде негативним, а нуль є протилежним самому собі.

Геометричне значення

Якщо розглядати поняття модуля з позицій геометрії, він позначатиме відстань, яке вимірюється в одиничних відрізках від початку координат до заданої точки. Це визначення повністю розкриває геометричний зміст терміну, що вивчається.

Графічно можна висловити так: |a| = OA.

Властивості абсолютної величини

Нижче будуть розглянуті всі математичні властивості цього поняття та способи запису у вигляді буквених виразів:

Особливості вирішення рівнянь із модулем

Якщо говорити про розв'язання математичних рівнянь і нерівностей, у яких міститься module, необхідно пам'ятати, що їх вирішення потрібно відкрити цей знак.

Наприклад, якщо знак абсолютної величини містить у собі деяке математичне вираз, перед тим як розкрити модуль, необхідно враховувати діючі математичні визначення.

|А + 5| = А + 5якщо, А більше або дорівнює нулю.

5-Аякщо А значення менше нуля.

У деяких випадках знак може розкриватися однозначно за будь-яких значень змінної.

Розглянемо ще один приклад. Побудуємо координатну пряму, де відзначимо всі числові значення абсолютної величиною яких буде 5.

Для початку необхідно накреслити координатну пряму, позначити на ній початок координат і встановити розмір одиничного відрізка. Крім того, пряма повинна мати напрямок. Тепер на цій прямій необхідно нанести розмітки, які дорівнюють величині одиничного відрізка.

Таким чином, ми можемо побачити, що на цій координатній прямій будуть дві точки, що цікавлять нас, зі значеннями 5 і -5.

Модуль числа вводиться нове поняття математики. Докладно розберемо, що таке модуль числа і як з ним працювати?

Розглянемо приклад:

Ми вийшли з дому до магазину. Пройшли 300 м, математично цей вираз можна записати як +300, значення числа 300 від знака “+” не зміниться. Відстань чи модуль числа в математиці це і теж можна записати так: |300|=300. Знак модуля числа позначається двома вертикальними лініями.

А потім у зворотному напрямку пройшли 200м. Математично шлях назад ми можемо записати як -200. Але ми не говоримо так "ми пройшли мінус двісті метрів", хоча ми повернулися, тому що відстань як величина залишається позитивною. Для цього в математиці запровадили поняття модуля. Записати відстань чи модуль числа -200 можна так: |-200|=200.

Властивості модуля.

Визначення:
Модуль числа чи абсолютна величина числа– це відстань від відправної точки до точки призначення.

Модуль цілого числа не дорівнює нулю, завжди позитивне.

Записується модуль так:

1. Модуль позитивного числа дорівнює самому числу.
| a|=a

2. Модуль від'ємного числа дорівнює протилежному числу.
|- a|=a

3. Модуль нуля, що дорівнює нулю.
|0|=0

4. Модулі протилежних чисел рівні.
| a|=|-a|=a

Питання на тему:
Що таке модуль числа?
Відповідь: модуль — це відстань від точки до точки призначення.

Якщо перед цілим числом поставити знак "+", що станеться?
Відповідь: число не змінить свого сенсу, наприклад, 4=+4.

Якщо перед цілим числом встановити знак “-” , що станеться?
Відповідь: число зміниться на , наприклад, 4 та -4.

У яких чисел однаковий модуль?
Відповідь: у позитивних чисел та нуля модуль буде той самий. Наприклад, 15 = | 15 |.

Які числа модуль – протилежне число?
Відповідь: у негативних чисел, модуль дорівнюватиме протилежному числу. Наприклад, |-6|=6.

Приклад №1:
Знайдіть модуль чисел: а) 0 б) 5 в) -7?

Рішення:
а) |0|=0
б) |5|=5
в) | -7 | = 7

Приклад №2:
Чи існують два різні числа, модулі яких рівні?

Рішення:
|10|=10
|-10|=10

Модулі протилежних чисел рівні.

Приклад №3:
Які два протилежні числа мають модуль 9?

Рішення:
|9|=9
|-9|=9

Відповідь: 9 та -9.

Приклад №4:
Виконайте дії: а) |+5|+|-3| б) |-3|+|-8| в) | +4 | - | +1 |

Рішення:
а) |+5|+|-3|=5+3=8
б) |-3|+|-8|=3+8=11
в)|+4|-|+1|=4-1=3

Приклад №5:
Знайдіть: а) модуль числа 2; б) модуль числа 6; в) модуль числа 8; г) модуль числа 1; д) модуль числа 0.
Рішення:

а) модуль числа 2 позначається як | 2 | або |+2| це одне і теж.
|2|=2

б) модуль числа 6 позначається як | 6 | або |+6| це одне і теж.
|6|=6

в) модуль числа 8 позначається як | 8 | або |+8| це одне і теж.
|8|=8

г) модуль числа 1 позначається як | 1 | або |+1| це одне і теж.
|1|=1

буд) модуль числа 0 позначається як |0|, |+0| чи |-0| це одне і теж.
|0|=0