Диференціал функції двох змінних. Приватні похідні та повний диференціал

Розглянемо функцію двох змінних z = f (x, y)та її повне збільшення у точці M 0 (x 0 , y 0)

Δ z = f(x 0 +Δ x, y 0 +Δ y) - f(x 0 , y 0).

Визначення. Якщо є числа Pі Qтакі, що повне збільшення можна подати у вигляді

Δ z = PΔ x + QΔ y + ε Δρ,

де і ε→ 0 при Δρ→ 0 , то вираз PΔ x + QΔ yназивається повним диференціалом функції z = f (x, y)у точці M 0 (x 0, y 0).

У цьому випадку повне збільшення функції складається з двох частин: перша частина PΔ x + QΔ yє лінійною щодо Δ xі Δ y, друга - нескінченно малої вищого порядку порівняно з .

Повний диференціал функції z = f (x, y)позначається через dz, тобто

dz = P? x + Q? y.

Функція, що має повний диференціал у цій точці, називається диференційованою в цій точці.

Теорема. Якщо u=f(M)диференційована в точці M 0, то вона у ній безперервна.

Зауваження. З безперервності функції двох змінних не випливає її диференціювання.

приклад. безперервна в (0,0) , але немає приватної похідної - немає. Аналогічно не існує приватної похідної по y. Отже, функція не диференційована.

Теорема [необхідна умова диференційності]. Якщо z = f (x, y)диференційована в точці M 0, то вона має в цій точці приватні похідні по xі y, причому

f′ x (x 0 ,y 0) = P, f′ y (x 0 , y 0) = Q.

Зауваження. З існування приватних похідних не випливає диференційність. Приклад:

Маємо але функція не є безперервною, отже не є диференційованою.

Теорема [достатня умова диференційності]. Якщо перші приватні похідні функції z = f (x, y)визначені в деякій околиці точки M 0 (x 0, y 0)і безперервні в самій точці M 0, то дана функція має повний диференціал у цій точці.

Зауваження. Маємо

Δ z = f′ x (x 0 , y 0)Δ x + f′ y (x 0 , y 0)Δ y + ε Δρ,

де ε→ 0 при Δρ→ 0 . Отже,

f(x 0 +Δ x,y 0 +Δ y) - f(x 0 ,y 0) ≈ f′ x (x 0 ,y 0)Δ x + f′ y (x 0 ,y 0)Δ y

f(x 0 +Δ x, y 0 +Δ y) f(x 0 ,y 0) + f′ x (x 0 , y 0)Δ x + f′ y (x 0 , y 0)Δ y.

Ця формула застосовується у наближених обчисленнях.

При фіксованих Δ xі Δ yповний диференціал є функцією змінних xі y:

Покладемо dx=Δx, dy=Δyі назвемо ці величини диференціалами незалежних змінних.

Тоді отримаємо формулу

тобто повний диференціал функції дорівнює сумі творів перших приватних похідних відповідні диференціали аргументів.

Аналогічно визначається та виражається повний диференціал функції трьох змінних. Якщо u=f(x, y, z)і існують числа P, Q, Rтакі, що

Δ u = PΔ x+QΔ y+RΔ z+εΔρ, ε→ 0при δρ→ 0 ,

то повним диференціалом називається вираз

du = P x + Q y + R z.

Якщо перші похідні цієї функції безперервні, то

де dx=Δx, dz=Δz, dz=Δz.

Визначення. Повним диференціалом другого порядку певної функції називається повний диференціал від повного диференціала.

Якщо z = f (x, y), dz=z′ x dx+z′ y dy, то

Дотична площина та нормаль до поверхні

Розглянемо поверхню S, задану рівнянням

z = f (x, y).

Нехай f(x, y)має приватні похідні у певній області. Розглянемо M 0 (x 0 , y 0).

- кутовий коефіцієнт дотичної в точці M 0до перерізу поверхні площиною y=y 0, тобто до лінії z = f (x, y 0). Стосовно цієї лінії має вигляд:

z-z 0 =f′ x (x 0 , y 0)(x-x 0), y=y 0.

Аналогічно, переріз площиною x=x 0дає рівняння

z-z 0 =f′ y (x 0 , y 0)(y-y 0), x=x 0.

Площина, що містить обидві ці прямі, має рівняння

z-z 0 = f′ x (x 0 , y 0)(x-x 0)+f′ y (x 0 , y 0)(y-y 0)

і називається дотичною площиною до поверхні Sу точці P 0 (x 0 , y 0 , z 0).

Зазначимо, що рівняння дотичної площини можна переписати як

z-z 0 = df.

Таким чином, геометричний зміст повного диференціалу: диференціал у точці M 0для збільшення (x-x 0 , y-y 0)є збільшення аплікати точки дотичної площини до поверхні z = f (x, y)у точці (x 0 , y 0)для тих самих прирощень.

Дотична площина має вектор нормалі у точці. (x 0 , y 0 , z 0) - \vec(n)=(f′ x (x 0 , y 0), f′ y (x 0 , y 0), -1). Пряма, що проходить через точку P 0і має напрямний вектор \vec(n)називається нормаллю до поверхні z = f (x, y)у цій точці. Її рівняння:

Диференціювання складних функцій

Нехай дана функція, що диференціюється z=F(v, w), аргументи якої є функціями змінних, що диференціюються. xі y:

v = v (x, y), w = w (x, y).

Якщо при цьому функція

z=F(v(x, y), w(x, y))=Phi(x, y)

має сенс, то вона називається складною функцією від xі y.

Теорема. Приватні похідні z′ x, z′yскладної функції існують і виражаються формулами

Якщо vі w- диференційовані функції однієї змінної t, тобто

v = v (t), w=w(t),

і має сенс функція

z=F(v(t), w(t))=f(t),

то її похідна виражається формулою

Ця похідна називається повною похідною.

Якщо задана функція, що диференціюється

u=F(ξ, η, ζ),

аргументи якої ξ=ξ(t), η=η(t), ζ=ζ(t)- функції змінної, що диференціюються tта функція

u=F(ξ(t), η(t), ζ(t))

Як бачимо, знаходження диференціала потрібно помножити похідну на dx . Це дозволяє з таблиці формул для похідних одразу записати відповідну таблицю для диференціалів.

Повний диференціал для функції двох змінних:

Повний диференціал для функції трьох змінних дорівнює сумі приватних диференціалів: f (x, y, z) = d x f (x, y, z) dx + d y f (x, y, z) dy + d z f (x, y, z) dz

Визначення. Функція y=f(x) називається диференційованою у точці x 0 , якщо її приріст у цій точці можна подати у вигляді ∆y=A∆x + α(∆x)∆x, де A – константа, а α(∆x) – нескінченно мала при ∆x → 0.
Вимога диференційованості функції у точці еквівалентна існуванню похідної у цій точці, причому A=f'(x 0).

Нехай f(x) диференційована в точці x 0 і f "(x 0)≠0 тоді ∆y=f'(x 0)∆x + α∆x, де α= α(∆x) →0 при ∆x → 0. Величина ∆y і кожен доданок правої частини є нескінченно малими величинами при ∆x → 0. Порівняємо їх: , тобто α(∆x)∆x – нескінченно мала більш високого порядку, ніж f'(x 0)∆x.
, тобто ∆y~f'(x 0)∆x. Отже, f'(x 0)∆x є головною і водночас лінійною щодо ∆x частиною прирощення ∆y (лінійна – значить містить ∆x у першому ступені). Це доданок називають диференціалом функції y=f(x) у точці x 0 і позначають dy(x 0) чи df(x 0). Отже, для довільних значень x
dy=f′(x)∆x. (1)
Вважають dx=∆x, тоді
dy=f′(x)dx. (2)

Приклад. Знайти похідні та диференціали даних функцій.
а) y=4 tg2 x
Рішення:

диференціал:
б)
Рішення:

диференціал:
в) y=arcsin 2 (lnx)
Рішення:

диференціал:
г)
Рішення:
=
диференціал:

Приклад. Для функції y=x 3 знайти вираз для ∆y та dy при деяких значеннях x та ∆x.
Рішення. ∆y = (x+∆x) 3 – x 3 = x 3 + 3x 2 ∆x +3x∆x 2 + ∆x 3 – x 3 = 3x 2 ∆x+3x∆x 2 +∆x 3 ; dy=3x 2 ∆x (взяли головну лінійну щодо ∆x частина ∆y). В даному випадку α(∆x)∆x = 3x∆x 2 + ∆x 3 .

Приватні похідні функції двох змінних.
Поняття та приклади рішень

На цьому уроці ми продовжимо знайомство з функцією двох змінних і розглянемо, мабуть, найпоширеніше тематичне завдання – знаходження приватних похідних першого та другого порядку, а також повного диференціалу функції. Студенти-заочники, як правило, стикаються з приватними похідними на 1 курсі у 2 семестрі. Причому, за моїми спостереженнями, завдання перебування приватних похідних практично завжди зустрічається на іспиті.

Для ефективного вивчення нижченаведеного матеріалу вам необхідновміти більш менш впевнено знаходити «звичайні» похідні функції однієї змінної. Навчитися правильно поводитися з похідними можна під час уроків Як знайти похідну?і Похідна складної функції. Також нам знадобиться таблиця похідних елементарних функцій та правил диференціювання, найзручніше, якщо вона буде під рукою в роздрукованому вигляді. Здобути довідковий матеріал можна на сторінці Математичні формули та таблиці.

Швиденько повторимо поняття функції двох змінних, я постараюся обмежитися найменшим. Функція двох змінних зазвичай записується як , у своїй змінні , називаються незалежними зміннимиабо аргументами.

Приклад: - Функція двох змінних.

Іноді використовують запис. Також зустрічаються завдання, де замість букви використовується буква .

З геометричної точки зору функція двох змінних найчастіше є поверхнею тривимірного простору (площина, циліндр, куля, параболоїд, гіперболоїд і т. д.). Але, власне, це вже більше аналітична геометрія, а у нас на порядку денному математичний аналіз, який ніколи не давав списувати мій викладач вузу є моїм «ковзаном».

Переходимо до питання перебування приватних похідних першого та другого порядків. Повинен повідомити хорошу новину для тих, хто випив кілька чашок кави і налаштувався на неймовірно важкий матеріал: приватні похідні – це майже те саме, що й «звичайні» похідні функції однієї змінної.

Для приватних похідних справедливі всі правила диференціювання та таблиця похідних елементарних функцій. Є тільки кілька невеликих відмінностей, з якими ми познайомимося прямо зараз:

…так, до речі, для цієї теми я таки створив маленьку pdf-книжку, яка дозволить "набити руку" буквально за пару годин. Але, користуючись сайтом, ви, безумовно, теж отримаєте результат - тільки може трохи повільніше:

Приклад 1

Знайти приватні похідні першого та другого порядку функції

Спочатку знайдемо приватні похідні першого порядку. Їх дві.

Позначення:
або - приватна похідна по "ікс"
або – приватна похідна за «ігроком»

Почнемо з . Коли ми знаходимо приватну похідну по «ікс», то змінна вважається константою (постійним числом).

Коментарі до виконаних дій:

(1) Перше, що ми робимо під час перебування приватної похідної – укладаємо всюфункцію в дужки під штрих з підрядковим індексом.

Увага, важливо!Підрядкові індекси НЕ ВТРАЮЄМО по ходу рішення. В даному випадку, якщо ви десь намалюєте «штрих» без , то викладач, як мінімум, може поставити поруч із завданням (відразу відкусити частину бала за неуважність).

(2) Використовуємо правила диференціювання , . Для простого прикладу, як цей, обидва правила можна застосувати на одному кроці. Зверніть увагу на перший доданок: оскільки вважається константою, а будь-яку константу можна винести за знак похідної, то ми виносимо за дужки. Тобто в цій ситуації нічим не краще за звичайне число. Тепер подивимося на третій доданок: тут, навпаки, нічого не виносити. Оскільки константа, то – теж константа, і в цьому сенсі вона нічим не краща за останній доданок – «сімки».

(3) Використовуємо табличні похідні та .

(4) Спрощуємо, або, як я люблю говорити, «зачісуємо» відповідь.

Тепер. Коли ми знаходимо приватну похідну за «ігроком», то зміннавважається константою (постійним числом).

(1) Використовуємо самі правила диференціювання , . У першому доданку виносимо константу за знак похідної, у другому доданку нічого винести не можна оскільки – вже константа.

(2) Використовуємо таблицю похідних функцій. Уявно поміняємо в таблиці всі «ікси» на «ігреки». Тобто дана таблиця рівно справедлива і для (та й взагалі майже для будь-якої літери). Зокрема, формули, які ми використовуємо, виглядають так: і .

У чому сенс приватних похідних?

По суті приватні похідні 1-го порядку нагадують «звичайну» похідну:

– це функції, які характеризують швидкість змінифункції у напрямку осей та відповідно. Так, наприклад, функція характеризує крутість «підйомів» та «схилів» поверхніу напрямку осі абсцис, а функція повідомляє нам про «рельєф» цієї ж поверхні у напрямку осі ординат.

! Примітка : тут маються на увазі напрямки, які паралельнікоординатним осям.

З метою кращого розуміння розглянемо конкретну точку площини та обчислимо в ній значення функції (висоту):
– а тепер уявіть, що ви тут знаходитесь (НА САМІЙ поверхні).

Обчислимо приватну похідну по «ікс» у цій точці:

Негативний знак «іксової» похідної повідомляє про спаданняфункції в точці за напрямом осі абсцис. Іншими словами, якщо ми зробимо маленький-маленький (Безмежно малий)крок у бік вістря осі (паралельно даної осі), то спустимося вниз схилом поверхні.

Тепер дізнаємося характер «місцевості» у напрямку осі ординат:

Похідна за «ігроком» позитивна, отже, в точці за напрямком осі функція зростає. Якщо дуже просто, то тут нас чекає підйом у гору.

Крім того, приватна похідна в точці характеризує швидкість змінифункції за відповідним напрямом. Чим набуте значення більше за модулем– тим поверхня крутіша, і навпаки, чим вона ближче до нуля – тим поверхня більш полога. Так, у нашому прикладі «схил» у напрямку осі абсцис крутіший, ніж «гора» у напрямку осі ординат.

Але то були два приватні шляхи. Цілком зрозуміло, що з точки, в якій ми знаходимося, (і взагалі з будь-якої точки даної поверхні)ми можемо зрушити і в якомусь іншому напрямку. Таким чином, виникає інтерес скласти загальну «навігаційну карту», яка повідомляла б нам про «ландшафт» поверхні по можливостіу кожній точці області визначення цієї функціїпо всіх доступних шляхах. Про це та інші цікаві речі я розповім на одному з наступних уроків, а поки що повернемося до технічного боку питання.

Систематизуємо елементарні прикладні правила:

1) Коли ми диференціюємо по , то змінна вважається константою.

2) Коли ж диференціювання здійснюється зато константою вважається.

3) Правила та таблиця похідних елементарних функцій справедливі і застосовні для будь-якої змінної (або будь-якої іншої), за якою ведеться диференціювання.

Крок другий. Знаходимо приватні похідні другого порядку. Їх чотири.

Позначення:
або – друга похідна з «ікс»
або – друга похідна за «ігроком»
або – змішанапохідна «ікс із ігрок»
або – змішанапохідна «ігрок з ікс»

З другої похідної немає жодних проблем. Говорячи простою мовою, друга похідна – це похідна від першої похідної.

Для зручності я перепишу вже знайдені приватні похідні першого порядку:

Спочатку знайдемо змішані похідні:

Як бачите, все просто: беремо приватну похідну та диференціюємо її ще раз, але в даному випадку – вже за «ігроком».

Аналогічно:

У практичних прикладах можна орієнтуватися на таку рівність:

Таким чином, через змішані похідні другого порядку дуже зручно перевірити, чи правильно ми знайшли приватні похідні першого порядку.

Знаходимо другу похідну по «ікс».
Жодних винаходів, беремо і диференціюємо її по «ікс» ще раз:

Аналогічно:

Слід зазначити, що при знаходженні потрібно проявити підвищена увага, оскільки жодних чудових рівностей для їхньої перевірки не існує.

Другі похідні також знаходять широке практичне застосування, зокрема вони використовуються в задачі відшукання екстремумів функції двох змінних. Але всьому свій час:

Приклад 2

Обчислити приватні похідні першого порядку функції у точці. Знайти похідні другого порядку.

Це приклад самостійного рішення (відповіді наприкінці уроку). Якщо виникли труднощі з диференціюванням коріння, поверніться до уроку Як знайти похідну?А взагалі, незабаром ви навчитеся знаходити подібні похідні «з льоту».

Набиваємо руку на складніших прикладах:

Приклад 3

Перевірити, що . Записати повний диференціал першого порядку.

Рішення: Знаходимо приватні похідні першого порядку:

Зверніть увагу на підрядковий індекс: , поряд з «іксом» можна в дужках записувати, що - константа. Ця позначка може бути дуже корисною для початківців, щоб легше було орієнтуватися у вирішенні.

Подальші коментарі:

(1) Виносимо всі константи за знак похідної. У разі і , отже, та його твір вважається постійним числом.

(2) Не забуваємо, як правильно диференціювати коріння.

(1) Виносимо всі константи за знак похідної, у разі константою є .

(2) Під штрихом у нас залишився добуток двох функцій, отже, потрібно використовувати правило диференціювання твору .

(3) Не забуваємо, що це складна функція (хоча і найпростіша зі складних). Використовуємо відповідне правило: .

Тепер знаходимо змішані похідні другого порядку:

Отже, всі обчислення виконані правильно.

Запишемо повний диференціал. У контексті завдання не має сенсу розповідати, що таке повний диференціал функції двох змінних. Важливо, що цей диференціал дуже часто потрібно записати в практичних завданнях.

Повний диференціал першого порядкуфункції двох змінних має вигляд:

В даному випадку:

Тобто, у формулу треба тупо просто підставити вже знайдені похідні приватні першого порядку. Значки диференціалів і в цій та схожих ситуаціях по можливості краще записувати в чисельниках:

І на неодноразові прохання читачів, повний диференціал другого порядку.

Він виглядає так:

УВАЖНО знайдемо «однолітерні» похідні 2-го порядку:

і запишемо «монстра», акуратно «прикріпивши» квадрати, твір і не забувши подвоїти змішану похідну:

Нічого страшного, якщо щось здалося важким, до похідних завжди можна повернутися пізніше, після того, як підніміть техніку диференціювання:

Приклад 4

Знайти приватні похідні першого порядку функції . Перевірити, що . Записати повний диференціал першого порядку.

Розглянемо серію прикладів зі складними функціями:

Приклад 5

Знайти приватні похідні першого порядку функції.

Рішення:

Приклад 6

Знайти приватні похідні першого порядку функції .
Записати повний диференціал.

Це приклад самостійного рішення (відповідь наприкінці уроку). Повне рішення не наводжу, оскільки воно досить просте

Досить часто всі вищерозглянуті правила застосовують у комбінації.

Приклад 7

Знайти приватні похідні першого порядку функції .

(1) Використовуємо правило диференціювання суми

(2) Перше доданок у разі вважається константою, оскільки у виразі немає нічого, залежить від «ікс» – лише «ігреки». Знаєте, завжди приємно, коли дріб вдається перетворити на нуль). Для другого доданку застосовуємо правило диференціювання твору. До речі, у цьому сенсі нічого б не змінилося, якби натомість була дана функція – важливо, що тут добуток двох функцій, КОЖНА з яких залежить від «ікс», А тому потрібно використовувати правило диференціювання твору. Для третього доданку застосовуємо правило диференціювання складної функції.

(1) У першому доданку і в чисельнику і в знаменнику міститься «гравець», отже потрібно використовувати правило диференціювання приватного: . Другий доданок залежить ТІЛЬКИ від «ікс», значить, вважається константою і перетворюється на нуль. Для третього доданку використовуємо правило диференціювання складної функції.

Для тих читачів, які мужньо дісталися майже кінця уроку, розповім старий мехматовский анекдот для разрядки:

Одного разу в просторі функцій з'явилася зла похідна і як пішла всіх диференціювати. Усі функції розбігаються хто куди, нікому не хочеться перетворюватися! І лише одна функція нікуди не тікає. Підходить до неї похідна і запитує:

– А чому це ти від мене нікуди не тікаєш?

– Ха. А мені все одно, адже я «е в ступені ікс», і ти зі мною нічого не вдієш!

На що зла похідна з підступною посмішкою відповідає:

- Ось тут ти помиляєшся, я тебе продиференціюю по "ігрок", так що тобі бути нулем.

Хто зрозумів анекдот, той освоїв похідні щонайменше на «трійку»).

Приклад 8

Знайти приватні похідні першого порядку функції .

Це приклад самостійного рішення. Повне рішення та зразок оформлення завдання – наприкінці уроку.

Ну ось майже все. Насамкінець не можу не порадувати любителів математики ще одним прикладом. Справа навіть не в любителях, у всіх різний рівень математичної підготовки - зустрічаються люди (і не так вже й рідко), які люблять потягатися із завданнями складніше. Хоча, останній цьому уроці приклад не так складний, скільки громіздкий з погляду обчислень.

Визначення:Повним диференціалом функціїкількох змінних називається сума всіх її приватних диференціалів:

Приклад 1: .

Рішення:

Оскільки окремі похідні цієї функції рівні:

То одразу можна записати приватні диференціали цих функцій:

, ,

Тоді повний диференціал функції матиме вигляд:

Приклад 2Знайти повний диференціал функції

Рішення:

Ця функція є складною, тобто. можна уявити як

Знаходимо приватні похідні:

Повний диференціал:

Аналітичний зміст повного диференціала полягає в тому, що повний диференціал функції декількох змінних є головною частиною повного збільшення цієї функції,тобто має місце наближена рівність: ∆z≈dz.

Необхідно, проте пам'ятати, що це наближені рівності справедливі лише за малих диференціалах dx і dy аргументів функції z=f(x,y).

Застосування повного диференціала в наближених обчисленнях ґрунтується на використанні формули ∆z≈dz.

Дійсно, якщо в даній формулі збільшення ∆z функції подати у вигляді , а повний диференціал у вигляді , то отримаємо:

≈ ,

Отриману формулу можна використовувати для наближеного знаходження «нового» значення функції двох змінних, яке вона приймає за досить малих приріст обох її аргументів.

приклад.Знайти наближене значення функції , При наступних значеннях її аргументів: 1,01, .

Рішення.

Підставивши приватні похідні функції, знайдені раніше у формулу, отримаємо:

При підстановці значень х=1, ∆х=0,01, у=2, ∆у=0,02 отримаємо:

Скалярне поле.

Якщо у кожній точці певної області простору D задана функція U(p)=U(x,y,z), то говорять, що в області D задано скалярне поле .

Якщо, наприклад, U(x,y,z) позначає температуру у точці М(х,у,z), то кажуть, що задано скалярне поле температур. Якщо область D заповнена рідиною або газом і U(x,y,z) означає тиск, то є скалярне поле тисків. Якщо в просторі встановлено розташування зарядів або масивних тіл, то говорять про поле потенціалу.

Скалярне поле називається стаціонарним,якщо функція U(x,y,z) не змінюється з часом: U(х,у,z) ≠ f(t).

Будь-яке стаціонарне поле характеризується:

1) поверхнею рівня скалярного поля

2) швидкістю зміни поля у заданому напрямку.

Поверхня рівняскалярного поля називається геометричне місце точок, у яких функція U(x,y,z) набуває постійного значення, тобто U(x,y,z) = const. Сукупність цих точок утворює деяку поверхню. Якщо візьмемо іншу константу, то отримаємо іншу поверхню.

Приклад:Нехай задано скалярне поле. Приклад такого поля є поле електричного потенціалу точкового електричного заряду (+q). Тут поверхнями рівня будуть еквіпотенційні поверхні тобто сфери, в центрі яких знаходиться заряд, що створює поле.

Напрямок найбільшого зростання скалярної функції визначається вектором, який називається градієнтомта позначається символом (або ).

Градієнт функції знаходиться через приватні похідні цієї функції і завжди перпендикулярний поверхні рівня скалярного поля в даній точці:

, де

Поодинокі вектори відповідно до осей OX, OY, OZ

Похідна від функції U(x,y,z) за будь-яким іншим напрямком (λ) визначається за формулою:

, де

α, β, γ – це кути між осями координат відповідно OX, OY, OZ та напрямком .

Вихідні дані збірника:

ПРО ДИФЕРЕНЦІАЛ ДРУГОГО ПОРЯДКУ

Ловков Іван Юрійович

студент Московського державного університету інформаційних технологій, радіотехніки та електроніки, РФ, м. Серпухів

E- mail: alkasardancer@ Rambler. ru

Таперечкіна Віра Олексіївна

канд. фіз.-мат. наук, доцент Московського державного університету інформаційних технологій, радіотехніки та електроніки, РФ, м. Серпухів

ABOUT SECOND-ORDER DIFFERENTIAL

Lovkov Ivan

student of Moscow State University of Information Technologies, Radio Engineering and Electronics, Росія, Serpukhov

Vera Taperechkina

candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associated Professor of Moscow State University of Information Technologies, Radio Engineering and Electronics, Russia, Serpukhov

АННОТАЦІЯ

У роботі розглянуті способи знаходження похідних та диференціалів першого та другого порядків для складних функцій двох змінних.

ABSTRACT

Calculation методів derivative and first and second differentials for composite functions of 2 variables.

Ключові слова:приватні похідні; диференціал.

Keywords: partial derivatives; різні.

1. Вступ.

Сформулюємо деякі факти з теорії функцій багатьох змінних, які знадобляться далі.

Визначення: функція z=f(u, v) називається диференційованою в точці (u, v), якщо її збільшення Δz представимо у вигляді:

Лінійна частина збільшення називається повним диференціалом і позначається dz.

Теорема (достатня умова диференційності) див.

Якщо в деякій околиці т.(u, v) існують безперервні похідні приватні і , то функція f(u, v) диференційована в цій точці і

(du = Δu, dv = Δv). (1)

Визначення: Другим диференціалом функції z=f(u, v) у цій точці (u, v) називається перший диференціал від першого диференціалу функції f(u, v), тобто.

З визначення другого диференціалу z=f(u, v), де u та v – незалежні змінні, випливає

Таким чином, справедлива формула:

При виведенні формули використано теорему Шварца про рівність змішаних похідних. Ця рівність справедлива за умови, що визначені в околиці т.(u, v) і безперервні т.(u, v). Див.

Формула для знаходження 2-го диференціала може бути записана символічно в наступному вигляді: - Формальне зведення дужки в квадрат з наступним формальним множенням справа на f(x y) дає отриману формулу . Аналогічно справедлива формула для 3-го диференціалу:

І взагалі:

Де формальне зведення в n-ий ступінь проводиться за формулою бінома Ньютона:

;

Зазначимо, що перший диференціал функції двох змінних має властивість інваріантності форми. Тобто, якщо u та v - незалежні змінні, то для функції z=f(u, v), згідно з (1)

Нехай тепер u = u (x y), v = v (x y), тоді z = f (u (x y), v (x y)), x і y - незалежні змінні, тоді

Використовуючи відомі формули для похідної складної функції:

Тоді з (3) та (4) отримаємо:

Таким чином,

(5)

де - Перший диференціал функції u, - Перший диференціал функції v.

Порівнюючи (1) і (5), бачимо, що формальний запис формули для dz зберігається, але якщо (1) du=Δu, dv=Δv - збільшення незалежних змінних, то (5) du і dv - диференціали функцій u і v.

2. Другий диференціал складної функції двох змінних.

Насамперед, покажемо, що другий диференціал не має властивості інваріантності форми.

Нехай z=z(u, v) у разі незалежних змінних u та v другий диференціал знаходимо за формулою (2)

Нехай тепер u=u(x y), v=v(x y), z=z(u(x y), v(x y)), де незалежні змінні x та y. Тоді

Отже, ми отримали остаточно:

Формули (2) і (6) не збігаються формою, отже, другий диференціал не має властивістю інваріантності.

Раніше було виведено формули приватних похідних 1-го порядку для складної функції z=f(u, v), де u=u(x y), v=v(x y), де x та y - незалежні змінні див.

Виведемо формули для обчислення приватних похідних та диференціала другого порядку для функції z = f (u, v), u = u (x y), v = v (x y), де x і y - незалежні змінні.

Для функцій u(x y), v(x y) незалежних змінних x, y маємо формули:

Підставимо формули (8) (6).