Диференціал функції інваріантної форми запису. Властивості першого диференціалу функції

Якщо функція незалежних змінних, що диференціюється, а її повний диференціал dz дорівнює Нехай тепер Припустимо, що в точці ((,?/) функції »?) і г)) мають безперервні приватні похідні по (і по rf, а у відповідній точці (ж, у ) існують і безперервні приватні похідні і внаслідок чого функція г = f(x, у) диференційована в цій точці.За цих умов функція має в точці 17) похідні Диференціал складної функції Інваріантність форми диференціалу Неявні функції Відносна площина та нормаль до поверхні Як видно з формул (2), щ і щ безперервні в точці ((,*?). Тому функція в точці диференційована, приймемо згідно з формулою повного диференціала для функції від незалежних змінних £ і т], маємо Замінивши в правій частині рівності (3) щ і щ їх виразами з формул (2), отримаємо або як за умовою функції в точці ((,17) мають безперервні похідні приватні, то вони в це й точці диференційовані і З співвідношень (4) і (5) отримуємо, що Порівняння формул (1) і (6) показує, що повний диференціал функції z = / (я, у) виражається формулою одного і того ж виду як у випадку коли аргументи х і у функції /(г, у) є незалежними змінними, і у разі, коли ці аргументи є своєю чергою функціями від деяких змінних. Таким чином, повний диференціал функції декількох змінних має властивість інваріантності форми. Зауваження. З інваріантності форми повного диференціала випливає: якщо і у є диференційованими функціями будь-якого кінцевого числа змінних то залишаються в силі формули Нехай маємо рівняння де є функція двох змінних, задана в деякій області G на площині хОу. Якщо кожного значення х із деякого інтервалу (хо - Ло, хо + ^о) існує рівно одне значення у, яке разом із х задовольняє рівнянню (1), цим визначається функція у = у(х), на яку рівність випсишется тотожно по х у зазначеному інтервалі. У цьому випадку кажуть, що рівняння (1) визначає величину як неявну функцію х. Іншими словами, функція, задана рівнянням, не дозволеним щодо у, називається неявною функцією", вона стає явною, якщо залежність у від х задається безпосередньо. Приклади. 1. Рівняння визначає на всій OcW рх величину у як однозначну функцію х: 2. Рівнянням величина у визначається як однозначна функція х. Проілюструємо це твердження. Рівняння задовольняється парою значень х = 0, у = 0. Будемо вважати параметром і розглянемо функції. Питання про те, чи існує для обраного хо відповідне єдине значення Уо такий, що пара (задовольняє рівнянню (2), зводиться до того, чи пересіявши стоячи криві х ау і єдиній точці. Побудуємо їх графіки на площині хОу (рис.11) Крива » = х + с sin у, де х розглядається як параметр, виходить паралельним переносом вздовж осі Ох іривою г = г sin у. Геометрично очевидно, що при кожному х криві х = у і г = t + c $1пу мають єдиний 3. Рівняння ні при яких дійсних х не визначає у квк дійсну функцію аргументі х. сенсі можна говорити про неявні функції кількох змінних.Наступна теорема дає достатні умови однозначної розв'язності рівняння = 0 (1) відносно у певної околиці заданої точки (®о> Уо). ні наступні умови: 1) функція визначена і безперервна в деякому прямокутнику з центром у точці в точці функція у) звертається в н\ль; 3) у прямокутнику D існують і безперервні приватні похідні е знайдеться околиця цієї околиці існує єдина безперервна функція y = f (x) (рис. 12), яка набуває значення), задовольняє умову \y - yol і обертає рівняння (1) у тотожність: Ця функція безперервно диференційована на околиці точки Xq, причому Виведемо формулу (3) для похідної неявної функції, вважаючи існування цієї похідної доведеним. Нехай у = f(x) - неявна функція, що диференціюється, визначається рівнянням (1). Тоді в інтервалі) має місце тотожність. Диференціал складної функції. Інваріантність форми диференціалу. Неявні функції. , у), що лежить на кривій, що належить околиці точки (хо, уо)» має координати, пов'язані рівнянням Звідси при у = f(x) отримуємо, що і, отже, Приклад. Знайти j* від функції у = у(х), що визначається рівнянням. Теорсма Здастусловія для існування єдиної неявної функції, графік якої проходить через задану точку (хо, уо). достатні, але не потрібні. У справі, розглянемо рівняння Тут має безперервні приватні похідні дорівнює нулю в точці 0(0,0). Тим не менш, дане рівняння має єдине рішення, що дорівнює нулю при Завдання. Нехай дано рівняння – однозначна функція, що задовольняє рівняння (Р). 1) Скільки однозначних функцій (2") задовольняє рівняння (!")? 2) Скільки однозначних безперервних функцій задовольняє рівнянню (!")? 3) Скільки однозначних диференційованих фуїсцій задовольняє рівнянню (!")? 4) Скільки однозначних безперервних функцій, задовольняє "рівнянню (1"), якщо і досить мало? Теорема існування, аналогічна теоремі 8, має місце і у разі неявної функції z - z(x, у) двох змінних, яка визначається рівнянням Теорема 9. Нехай виконані наступні умовиГ) функція & визначена і безперервна в області D в області D існують і безперервні приватні похідні Тоді для будь-якого досить малого е > О знайдеться околиця Г2 точки (®о»Уо)/ в якій існує єдина безперервна функція z - / (ж, у), що приймає значення при х = ж0, у = уо, що задовольняє умові і звертає рівняння (4) у тотожність: При цьому функція в області Q має безперервні приватні похідні іГГ Знайдемо вирази для цих похідних. Нехай рівняння визначає z як однозначну та диференційовану функцію z = /(ж, у) незалежних змінних хну. Якщо в це рівняння замість z підставити функцію f(x, у), то отримаємо тотожність Отже, повні приватні похідні по ж і по у у, z), де z = / (г, у), також повинні бути рівні нулю. Диференціюючи, знайдемо звідки Ці формули дають вирази для приватних похідних неявної функції двох незалежних змінних. приклад. Знайти приватні проіааодніа від функції х(г,у), заданої рівнянням 4 Маємо звідки §11. Дотична площина та нормаль до поверхні 11.1. Попередня інформація Нехай маємо поверхню S, задану рівнянням Визначено*. Точка М(х, у, z) поверхні (1) називається звичайною точкою цієї поверхні і, якщо в точці М всі три похідні існують і безперервні, причому хоча б одна з них відмінна від нуля. Якщо в точці Му, z) поверхні (1) всі три похідні дорівнюють нулю або хоча б одна з цих похідних не існує, то точка М називається особливою точкою поверхні. приклад. Розглянемо круговий конус (рис. 13). Тут так що Єдиною особливою тонкою мляться початок координат 0(0,0,0): у цій точці аса приватні похідні одночасно звертаються в нуль. Мал. 13 Розглянемо просторову криву L, задану параметричними рівняннями, Нехай функції мають безперервні похідні в інтервалі. Виключимо з розгляду особливі точки кривої, у яких нехай - звичайна точка кривої L, яка визначається значенням to параметра. Тоді - вектор, що стосується кривої в точці. Відносна площина поверхні Нехай поверхня 5 задана рівнянням Візьмемо на поверхні S звичайну точку Р і проведемо через неї деяку криву L, що лежить на поверхні і задається параметричними рівняннями. , ніде на (а)р), що не звертаються одночасно в нуль.За визначенням, дотична крива L у точці Р називається касативною до поверхні 5 у цій точці.Якщо вирази (2) підставити в рівняння (1), то, оскільки крива L лежить на поверхні S, рівняння (1) звернеться в тотожність щодо t: Диференціюючи це тотожність по t, за правилом диференціювання складної функції отримаємо у цій точці (рис. 14). Що стосується вектора п, то він залежить тільки від координат цієї точки і виду функції ^"(ж, у, z) і не залежить від виду кривої, що проходить через точку Р. Так як Р - про бік точка поверхні 5, то довжина вектора п відмінна від нуля, Те, що скалярний добуток означає, що вектор г, дотичний до кривої L в точці Р, перпендикулярний вектору п в цій точці (рис. 14). Ці міркування зберігають свою силу для будь-якої кривої, що проходить через точку Р і лежить на поверхні S. Отже, будь-яка дотична пряма до поверхні 5 в точці Р перпендикулярна вектору п, і, отже, всі ці прямі лежать в одній площині, теж перпендикулярній вектору п .Визначення. Площина, в якій розташовані всі прямі дотичні до поверхні 5, що проходять через дану звичайну точку Р G 5, називається дотичної площиною поверхні в точці Р (рис. 15). Вектор Диференціал складної функції Інваріантність форми диференціалу Неявні функції Відносна площина і нормаль до поверхні Геометричний зміст повного диференціалу Нормаль до поверхні є нормальний вектор дотичної площини до поверхні в точці Р. Звідси відразу отримуємо рівняння дотичної площини до поверхні ЗГ(звичайно (®о, Уо» цієї поверхні: Якщо поверхня 5 задана рівнянням то, записавши це рівняння у вигляді отримаємо і рівняння дотичної площини в точці, буде виглядати так 11. 3. Геометричний зміст повного диференціалу Якщо у формулі (7) покласти, то вона набуде вигляду. = /(х, у) двох незалежних змінних х і у в точці М0, що відповідає приросту Дх і Ду змінних і у, дорівнює приросту z - z0 аплікати z точки дотичної площині поверхні 5 в точці Я>(хо «Уо» /(, Уо)) ПРИ переході від точки М0(хо, Уо) до точки - 11.4. Нормаль до поверхні Визначення. Пряма, що проходить через точку Ро(хо, уо, го) поверхні перпендикулярно дотичній площині до поверхні в точці Ро, називається нормаллю до поверхні в точці Pq. Вектор)L є направляючим вектором нормалі, а її рівняння мають вигляд Якщо поверхня 5 задана рівнянням, то рівняння нормалі в точці) виглядають так: у точці Тут У точці (0,0) ці похідні рівні нулю: і рівняння дотичної площини в точці 0 (0,0,0) набуває наступного вигляду: (площина хОу). Рівняння нормалі

Правило диференціювання складної функції приведе нас до однієї чудової та важливої ​​властивості диференціала.

Нехай функції такі, що їх може бути складена складна функція: . Якщо існують похідні то – за правилом V – існує і похідна

Замінюючи, однак, похідну її виразом (7) і помічаючи, що є диференціал х як функції від t, отримаємо остаточно:

тобто повернемося до колишньої форми диференціалу!

Таким чином, бачимо, що форма диференціала може бути збережена навіть у тому випадку, якщо колишня незалежна змінна замінена новою. Ми завжди маємо право писати диференціал у формі (5), чи буде їх незалежною змінною чи ні; різниця лише в тому, що, якщо за незалежну змінну обрано t, то означає не довільне збільшення а диференціал х як функції від цієї властивості і називають інваріантністю форми диференціала.

Так як з формули (5) безпосередньо виходить формула (6), що виражає похідну через диференціали, то і остання формула зберігає силу, за якою б незалежною змінною (звичайно, однією і тією ж в обох випадках) не були обчислені названі диференціали.

Нехай, наприклад, так що

Тоді і ми будемо мати: Легко перевірити, що формула

дає лише інший вираз для обчисленої вище похідної.

Цією обставиною особливо зручно користуватися у випадках, коли залежність у від х не задана безпосередньо, а натомість задана залежність обох змінних х і у від деякої третьої, допоміжної, змінної (названої параметром):

Припускаючи, що обидві ці функції мають похідні і що для першої з них існує зворотна функція, що має похідну, легко бачити, що тоді і у виявляється функцією від х:

для якої також є похідна. Обчислення цієї похідної може бути виконано за вказаним вище правилом:

не відновлюючи безпосередньої залежності від х.

Наприклад, якщо похідну можна визначити, як це зроблено вище, не користуючись залежністю.

Якщо розглядати х і як прямокутні координати точки на площині, то рівняння (8) кожному значенню параметра t ставлять у відповідність деяку точку, яка зі зміною t описує криву на площині. Рівняння (8) називаються параметричними рівняннями цієї кривої.

У разі параметричного завдання кривої формула (10) дозволяє безпосередньо за рівняннями (8) встановити кутовий коефіцієнт дотичної, не переходячи до завдання кривої рівнянням (9); саме,

Зауваження. Можливість виражати похідну через диференціали, взяті за будь-якою змінною, зокрема, призводить до того, що формули

що виражають у лейбніцевих позначеннях правила диференціювання зворотної функції та складної функції, стають простими алгебраїчними тотожностями (оскільки всі диференціали тут можуть бути взяті по одній і тій же змінній). Не слід думати, втім, що цим дано новий висновок названих формул: перш за все, тут не доводилося існування похідних ліворуч, головне ж – ми суттєво користувалися інваріантністю форми диференціала, яка сама є наслідком правила V.

За визначенням диференціал (перший диференціал) функції обчислюється за такою формулою
якщо - Незалежна змінна.

ПРИКЛАД.

Покажемо, що форма першого диференціалу залишається незмінною (є інваріантною) і в тому випадку, коли аргумент функції сам є функцією, тобто для складної функції
.

Нехай
диференційовані, тоді за визначенням

Крім того, що й потрібно було довести.

ПРИКЛАДИ.

Доведена інваріантність форми першого диференціалу дозволяє вважати, що
тобто похідна дорівнює відношенню диференціала функції до диференціалу її аргументунезалежно від того, чи є аргумент незалежною змінною або функцією.

Диференціювання функції, заданої параметрично

Нехай Якщо функція
має на безлічі зворотну, то
Тоді рівності
визначають на множині функцію, задану параметрично, – параметр (проміжна змінна).

ПРИКЛАД. Побудувати графік функції
.

Побудована крива називається циклоїдою(Рис. 25) і є траєкторією точки на колі радіуса 1, яка котиться без ковзання вздовж осі ОХ.

ЗАУВАЖЕННЯ. Іноді, але завжди, з параметричних рівнянь кривої можна виключити параметр.

ПРИКЛАДИ.
– параметричні рівняння кола, оскільки, очевидно,

–параметричні рівняння еліпса, оскільки

-параметричні рівняння параболи

Знайдемо похідну функції, заданої параметрично:

Похідна функції, заданої параметрично, також функція, задана параметрично: .

ВИЗНАЧЕННЯ. Другий похідний функції називається похідна від першої похідної.

Похідний -го порядку називається похідна від її похідної порядку
.

Позначають похідні другого та -го порядку так:

З визначення другої похідної та правила диференціювання параметрично заданої функції випливає, що
Для обчислення третьої похідної треба подати другу похідну у вигляді
та скористатися ще раз отриманим правилом. Похідні старших порядків обчислюються аналогічно.

ПРИКЛАД. Знайти похідні першого та другого порядків функції

.

Основні теореми диференціального обчислення

ТЕОРЕМА(Ферма). Нехай функція
має в точці
екстремум. Якщо існує
, то

ДОВЕДЕННЯ. Нехай
наприклад, - точка мінімуму. За визначенням точки мінімуму існує околиця цієї точки
, в межах якої
, тобто
- Приріст
у точці
. За визначенням
Обчислимо односторонні похідні у точці
:

за теоремою про граничний перехід у нерівності,

так як

, так як
Але за умовою
існує, тому ліва похідна дорівнює правій, а це можливо лише якщо

Припущення про те, що
- Точка максимуму, призводить до того ж.

Геометричний зміст теореми:

ТЕОРЕМА(Роль). Нехай функція
безперервна
, що диференціюється
і
тоді існує
така, що

ДОВЕДЕННЯ. Так як
безперервна
, то по другій теоремі Вейєрштраса вона досягає на
своїх найбільшого
і найменшого
значень або у точках екстремуму, або на кінцях відрізка.

1. Нехай
тоді

2. Нехай
Так як
те чи
, або
досягається в точці екстремуму
, але за теоремою Ферма
Що й потрібно було довести.

ТЕОРЕМА(Лагранжа). Нехай функція
безперервна
та диференційована
тоді існує
така, що
.

Геометричний зміст теореми:

Так як
, то січна паралельна дотичній. Таким чином, теорема стверджує, що існує дотична, паралельна січній, що проходить через точки А та В.

ДОВЕДЕННЯ. Через точки А
і В
проведемо січна АВ. Її рівняння
Розглянемо функцію

-відстань між відповідними точками на графіку і на січній АВ.

1.
безперервна
як різницю безперервних функцій.

2.
диференційована
як різницю диференційованих функцій.

3.

Значить,
задовольняє умовам теореми Роля, тому існує
така, що

Теорему доведено.

ЗАУВАЖЕННЯ.Формула називається формулою Лагранжа.

ТЕОРЕМА(Коші). Нехай функції
безперервні
, що диференціюються
і
тоді існує точка
така, що
.

ДОВЕДЕННЯ. Покажемо, що
. Якби
, то функція
задовольняла б умові теореми Роля, тому існувала б точка
така, що
- Протиріччя умові. Значить,
, та обидві частини формули визначені. Розглянемо допоміжну функцію.

безперервна
, що диференціюється
і
, тобто
задовольняє умови теореми Роля. Тоді існує точка
, в якій
, але

що й потрібно було довести.

Доведена формула називається формулою Коші.

ПРАВИЛО Лопіталя(Теорема Лопіталя-Бернуллі). Нехай функції
безперервні
, що диференціюються
,
і
. Крім того, існує кінцевий або нескінченний
.

Тоді існує

ДОВЕДЕННЯ. Бо за умовою
, то визначимо
у точці
, вважаючи
Тоді
стануть безперервними
. Покажемо, що

Припустимо, що
тоді існує
така, що
, оскільки функція
на
задовольняє умови теореми Роля. Але за умовою
- Протиріччя. Тому

. Функції
задовольняють умовам теореми Коші на будь-якому відрізку
, який міститься в
. Напишемо формулу Коші:

,
.

Звідси маємо:
, тому що якщо
, то
.

Перезначаючи змінну в останній межі, отримаємо необхідне:

ЗАУВАЖЕННЯ 1. Правило Лопіталя залишається справедливим у тому випадку, коли
і
. Воно дозволяє розкривати не лише невизначеність виду , а й виду :

.

ЗАУВАЖЕННЯ 2. Якщо після застосування правила Лопіталя невизначеність не розкрилася, його слід застосувати ще раз.

ПРИКЛАД.

ЗАУВАЖЕННЯ 3 . Правило Лопіталя – універсальний спосіб розкриття невизначеностей, але є межі, розкрити які можна, застосувавши лише одне із вивчених раніше приватних прийомів.

Але, очевидно,
, так як ступінь чисельника дорівнює ступеню знаменника, і межа дорівнює відношенню коефіцієнтів при старших ступенях