Дискретний логарифм та алгоритми його обчислення. Дивитись що таке "Дискретний логарифм" в інших словниках

Найчастіші запитання

Чи можливо виготовити друк на документі за наданим зразком? Відповідь Так можливо. Надішліть на нашу електронну адресу скан-копію або фото гарної якості, і ми виготовимо необхідний дублікат.

Які види оплати ви приймаєте? Відповідь Ви можете сплатити документ під час отримання на руки у кур'єра, після того, як перевірите правильність заповнення та якість виконання диплома. Також це можна зробити в офісі поштових компаній, що пропонують послуги післяплати.
Всі умови доставки та оплати документів розписані у розділі «Оплата та доставка». Також готові вислухати Ваші пропозиції щодо умов доставки та оплати за документ.

Чи можу я бути впевнена, що після оформлення замовлення ви не зникнете з моїми грошима? Відповідь У сфері виготовлення дипломів у нас є досить тривалий досвід роботи. У нас є кілька сайтів, які постійно оновлюються. Наші фахівці працюють у різних куточках країни, виготовляючи понад 10 документів на день. За роки роботи наші документи допомогли багатьом людям вирішити проблеми працевлаштування або перейти на більш високооплачувану роботу. Ми заробили довіру і визнання серед клієнтів, тому у нас немає причин чинити подібним чином. Тим більше, що це просто неможливо зробити фізично: Ви оплачуєте своє замовлення в момент отримання на руки, передоплати немає.

Чи можу я замовити диплом будь-якого ВНЗ? Відповідь Загалом, так. Ми працюємо у цій сфері майже 12 років. За цей час сформувалася майже повна база видаваних документів багатьох ВНЗ країни і за різні роки видачі. Все, що Вам потрібно – вибрати ВУЗ, спеціальність, документ та заповнити форму замовлення.

Що робити при виявленні в документі помилок та помилок? Відповідь Отримуючи документ у нашого кур'єра чи поштової компанії, ми рекомендуємо ретельно перевірити всі деталі. Якщо буде виявлено помилку, помилку або неточність, Ви маєте право не забирати диплом, при цьому потрібно вказати виявлені недоліки особисто кур'єру або письмово, відправивши листа на електронну пошту.
У найкоротший термін ми виправимо документ та повторно відправимо на вказану адресу. Зрозуміло, пересилання буде сплачено нашою компанією.
Щоб уникнути подібних непорозумінь перед тим, як заповнювати оригінальний бланк, ми надсилаємо на пошту замовнику макет майбутнього документа, для перевірки та затвердження остаточного варіанту. Перед надсиланням документа кур'єром або поштою ми також робимо додаткове фото та відео (в т. ч. в ультрафіолетовому світінні), щоб Ви мали наочне уявлення про те, що отримаєте у результаті.

Що потрібно зробити, щоб замовити диплом у вашій компанії? Відповідь Для замовлення документа (атестата, диплома, академічної довідки та ін.) необхідно заповнити онлайн-форму замовлення на нашому сайті або повідомити свою електронну пошту, щоб ми надіслали вам бланк анкети, який потрібно заповнити та надіслати назад нам.
Якщо ви не знаєте, що вказати в якомусь полі форми замовлення/анкети, залиште їх незаповненими. Всю інформацію, що бракує, ми тому уточнимо в телефонному режимі.

Останні відгуки

Валентина:

Ви врятували нашого сина від звільнення! Справа в тому, що недоучившись в інституті, син пішов до армії. А повернувшись, відновлюватись не захотів. Працював без диплома. Але нещодавно почали звільняти всіх, хто не має скоринки. Тож вирішили звернутися до вас і не пошкодували! Тепер спокійно працює та нічого не боїться! Дякую!

До речі, після завтрашнього апдейту можна буде прикручувати безкоштовний TLS до dyndns хостів! Це суперкруто, всі хом'яки тепер будуть із сертифікатами.

Захищаємось від Side channel атак

Не секрет, що нині інформацію про ключі шифрування можна видалено знімати чи не через вентилятор. Тому все більшої популярності набувають constant-time алгоритми, які не залежать від вхідних даних. Німці випустили мінімальні вимоги для реалізації, виконання яких ускладнить завдання отримання секретних даних через побічні канали даних. , раджу ознайомитись.

На цьому в мене все до нових зустрічей!

Дискретне логарифмування(DLOG) – завдання звернення функції g x (\displaystyle g^(x))у деякій кінцевій мультиплікативній групі G (\displaystyle G).

Найчастіше завдання дискретного логарифмування розглядають у мультиплікативної групи кільця відрахувань або кінцевого поля, а також у групі точок еліптичної кривій над кінцевим полем. Ефективні алгоритми вирішення завдання дискретного логарифмування у випадку невідомі.

Для заданих gі aРішення xрівняння називається дискретним логарифмомелемента aна підставі g. У випадку, коли Gє мультиплікативною групою кільця відрахувань за модулем m, рішення називають також індексомчисла aна підставі g. Індекс числа aна підставі gгарантовано існує, якщо gє первісним коренем по модулю m.

Енциклопедичний YouTube

1 / 5

✪ Завдання обчислення дискретного логарифму

✪ Дискретне логарифмування (частина 11) | Криптографія | Програмування

✪ Протокол Діффі - Хеллмана (частина 12) | Криптографія | Програмування

✪ Переносна шифрувальна машина «Еніґма» (частина 6) | Криптографія | Програмування

✪ Шифр ​​Вернама (частина 4) | Криптографія | Програмування

Субтитри

Нам потрібна числова процедура, яка легко виконується в одному напрямку та набагато важча у зворотному. Це призводить до модульної арифметики, також відомої як "арифметика годин" (або "залишків"). Наприклад, для знаходження 46 по модулю 12 можна взяти мотузку довжиною 46 одиниць і згорнути її навколо годинника, який називають модулем. Те місце, де мотузок закінчується, є рішення. Тобто 46 за модулем 12 еквівалентно 10-ти. Все просто. Тепер для цього візьмемо простий модуль. 17, наприклад. Потім знайдемо первісний корінь 17-ти, у цьому випадку - три. Він має дуже важливу властивість при зведенні в різні ступені - значення рівномірно розподіляються навколо годинника. 3 називають породжувальним елементом або генератором. Якщо звести 3 у будь-який ступінь x, то результат рівноймовірно може бути будь-яким числом від 1 до 16. Тобто зворотна процедура досить складна. Скажімо, який ступінь 3 дасть у результаті 12? Це і є завдання обчислення дискретного логарифму. І тепер ми маємо односторонню функцію. Проста для прямого та складна для зворотного виконання. Для заданого числа 12 нам доводиться вдатися до перебору багатьох хибних варіантів, щоб знайти потрібний показник ступеня. Тож наскільки це складно? Ну, з невеликими значеннями це просто, але якщо використаний простий модуль завдовжки сотні знаків, завдання стає практично нерозв'язним. Навіть якщо є доступ до всіх обчислювальних потужностей Землі, перебір усіх варіантів може тривати тисячі років. Таким чином, сила односторонньої функції заснована на часі, необхідному для зворотного перетворення.

Постановка задачі

Нехай у певній кінцевій мультиплікативної групі G (\displaystyle G)задано рівняння

Розв'язання задачі дискретного логарифмування полягає у знаходженні деякого цілого невід'ємного числа x (\displaystyle x), Що задовольняє рівняння (1). Якщо воно можна, у нього має бути хоча б одне натуральне рішення, що не перевищує порядок групи. Це відразу дає грубу оцінку складності алгоритму пошуку рішень зверху - алгоритм повного перебору знайшов би рішення за число кроків не вище порядку даної групи.

Найчастіше розглядається випадок, коли G = ⟨ g ⟩ (\displaystyle G=\langle g\rangle ), тобто група є циклічною, породженою елементом g (\displaystyle g). І тут рівняння завжди має рішення. У разі довільної групи питання про розв'язання задачі дискретного логарифмування, тобто питання існування рішень рівняння (1), вимагає окремого розгляду.

приклад

Розглянемо задачу дискретного логарифмування в кільці відрахувань за модулем простого числа. Нехай поставлено порівняння

Для чисел спеціального вигляду результат можна покращити. У деяких випадках можна побудувати алгоритм, для якого константи будуть c ≈ 1 , 00475 (\displaystyle c\approx 1,00475), d = 2 5 (\displaystyle d=(\frac (2)(5))). За рахунок того, що константа c (\displaystyle c)досить близька до 1, подібні алгоритми можуть обігнати алгоритм з d = 1 3 (\displaystyle d=(\frac (1)(3))).

У довільному кінцевому полі

Завдання розглядається у полі GF(q), де q = p n (\displaystyle q=p^(n)), p (\displaystyle p)- Просте.

У групі точок на еліптичній кривій

Розглядається група точок еліптичної кривої над кінцевим полем. У цій групі визначено операцію складання двох точок. Тоді m P (\displaystyle mP)- це P + … + P ⏟ m (\displaystyle \underbrace (P+\ldots +P) \limits _(m)). Розв'язанням задачі дискретного логарифмування на еліптичній кривій є знаходження такого натурального числа m (\displaystyle m), що m P = A (\displaystyle mP=A)для заданих точок P (\displaystyle P)і A. (\displaystyle A.)

До 1990-го року не існувало алгоритмів дискретного логарифмування, що враховують особливості будови групи точок еліптичної кривої. Згодом, Менезес (Alfred J. Menezes), Окамото (Tatsuaki Okamoto) та Венстон (Scott A. Vanstone) запропонували алгоритм, який використовує спарювання Вейля. Для еліптичної кривої, визначеної над полем G F (q) (\displaystyle GF(q)), даний алгоритм зводить завдання дискретного логарифмування до аналогічного завдання в полі G F (q k) (\displaystyle GF(q^(k))). Однак, дана інформація корисна, тільки якщо ступінь k (\displaystyle k)мала. Ця умова виконується, переважно, для суперсингулярних еліптичних кривих. В інших випадках подібна інформація практично ніколи не призводить до субекспоненційних алгоритмів.

Обчислювальна складність та додатки в криптографії

Завдання дискретного логарифмування є одним з основних завдань, на яких базується криптографія, з відкритим ключем. Класичними криптографічними схемами на її основі є схема вироблення загального ключа Діффі-Хеллмана, схема електронного підпису Ель-Гамаля, криптосистема Мессі-Омури для передачі повідомлень. Їх криптостійкість ґрунтується на імовірно високій обчислювальній складності обігу показової функції. Хоча сама показова функція обчислюється досить ефективно, навіть найсучасніші алгоритми обчислення дискретного логарифму мають дуже високу складність, яка можна порівняти зі складністю найбільш швидких алгоритмів.

План:

Вступ

• 1 Постановка задачі
• 2 Приклад
• 3 Алгоритми рішення
  • 3.1 У довільній мультиплікативній групі
  • 3.2 У кільці відрахувань по простому модулю
    • 3.2.1 Алгоритми з експонентною складністю
    • 3.2.2 Субекспоненційні алгоритми
  • 3.3 У довільному кінцевому полі
  • 3.4 У групі точок на еліптичній кривій
• 4 Обчислювальна складність та додатки в криптографії

Вступ

Дискретне логарифмування(DLOG) – завдання обігу функції g xу деякій кінцевій мультиплікативній групі G .

Найчастіше завдання дискретного логарифмування розглядають у мультиплікативної групі кільця відрахувань чи кінцевого поля, соціальній та групі точок еліптичної кривою над кінцевим полем. Ефективні алгоритми вирішення завдання дискретного логарифмування у випадку невідомі.

Для заданих gі aРішення xрівняння g x = a називається дискретним логарифмомелемента aна підставі g. У випадку, коли Gє мультиплікативною групою кільця відрахувань за модулем m, рішення називають також індексомчисла aна підставі g. Індекс числа aна підставі gгарантовано існує, якщо gє первісним коренем по модулю m.

1. Постановка задачі

Нехай у певній кінцевій мультиплікативної групі Gзадано рівняння

Розв'язання задачі дискретного логарифмування полягає у знаходженні деякого цілого невід'ємного числа x, Що задовольняє рівняння (1). Якщо воно можна, у нього має бути хоча б одне натуральне рішення, що не перевищує порядок групи. Це відразу дає грубу оцінку складності алгоритму пошуку рішень зверху - алгоритм повного перебору знайшов би рішення за число кроків не вище порядку цієї групи.

Найчастіше розглядається випадок, коли , тобто група є циклічною, породженою елементом g. І тут рівняння завжди має рішення. У разі довільної групи питання про розв'язання задачі дискретного логарифмування, тобто питання існування рішень рівняння (1), вимагає окремого розгляду.

2. Приклад

Найпростіше розглянути завдання дискретного логарифмування в кільці відрахувань за модулем простого числа.

Нехай поставлено порівняння

Вирішуватимемо завдання методом перебору. Випишемо таблицю всіх ступенів числа 3. Щоразу ми обчислюємо залишок від розподілу на 17 (наприклад, 3 3 ≡27 - залишок від розподілу на 17 дорівнює 10).

Тепер легко побачити, що рішенням порівняння є x=4, оскільки 3 4 ≡13.

Насправді модуль зазвичай є досить великим числом, і метод перебору є занадто повільним, тому виникає потреба у швидших алгоритмах.

3. Алгоритми рішення

3.1. У довільній мультиплікативній групі

Розв'язності та розв'язання задачі дискретного логарифмування в довільній кінцевій обелевій групі присвячено статтю J. Buchmann, M. J. Jacobson та E. Teske. В алгоритмі використовується таблиця, що складається з пар елементів та виконується множення. Даний алгоритм повільний і придатний для практичного використання. Для конкретних груп існують свої, ефективніші, алгоритми.

3.2. У кільці відрахувань по простому модулю

Розглянемо рівняння

де p- Просте, bне ділиться на p. Якщо aє утворюючим елементом групи , то рівняння (2) має рішення за будь-яких b. Такі числа aназиваються ще первісними корінням, і їх кількість дорівнює φ( p− 1) , де φ - функція Ейлера. Рішення рівняння (2) можна знаходити за формулою:

Однак складність обчислення за цією формулою гірша, ніж складність перебору.

Наступний алгоритм має складність

Алгоритм

Кінець алгоритму

Існує також безліч інших алгоритмів для вирішення задачі дискретного логарифмування у полі відрахувань. Їх прийнято розділяти на експоненційні та субекспоненційні. Поліноміального алгоритму для вирішення цього завдання поки що не існує.

3.2.1. Алгоритми з експонентною складністю

3.2.2. Субекспоненційні алгоритми

Дані алгоритми мають складність арифметичних операцій, де і деякі константи. Ефективність алгоритму багато в чому залежить від близькості cдо 1 і d- До 0.

Найкращими параметрами щодо оцінки складності на даний момент є , .

Для чисел спеціального вигляду результат можна покращити. У деяких випадках можна побудувати алгоритм, котрим константи будуть , . За рахунок того, що константа cдосить близька до 1, подібні алгоритми можуть випередити алгоритм з .

3.3. У довільному кінцевому полі

Завдання розглядається у полі GF(q), де q = p n , p- Просте.

3.4. У групі точок на еліптичній кривій

Розглядається група точок еліптичної кривої над кінцевим полем. У цій групі визначено операцію складання двох точок. Тоді mP- Це. Розв'язанням задачі дискретного логарифмування на еліптичній кривій є знаходження такого натурального числа m, що

для заданих точок Pі A.

До 1990 року не існувало алгоритмів дискретного логарифмування, що враховують особливості будови групи точок еліптичної кривої. Згодом Менезес (Alfred J. Menezes), Окамото (Tatsuaki Okamoto) і Венстон (Scott A. Vanstone) запропонували алгоритм, що використовує спарювання Вейля. Для еліптичної кривої, визначеної над полем GF(q) , даний алгоритм зводить завдання дискретного логарифмування до аналогічного завдання в полі GF(q k) . Однак, дана інформація корисна, тільки якщо ступінь kмала. Ця умова виконується, переважно, для суперсингулярних еліптичних кривих. В інших випадках подібна інформація практично ніколи не призводить до субекспоненційних алгоритмів.

4. Обчислювальна складність та додатки в криптографії

Завдання дискретного логарифмування є одним із основних завдань, на яких базується криптографія з відкритим ключем. Ідея, що лежить в основі подібних систем, спирається на високу обчислювальну складність поводження деяких числових функцій. В даному випадку операція дискретного логарифмування є зворотною до показової функції. Остання обчислюється досить просто, тоді як навіть найсучасніші алгоритми обчислення дискретного логарифму мають дуже високу складність, яка можна порівняти зі складністю найбільш швидких алгоритмів розкладання чисел на множники.

Інша можливість ефективного розв'язання задачі обчислення дискретного логарифму пов'язана з квантовими обчисленнями. Теоретично доведено, що, використовуючи їх, дискретний логарифм можна обчислити за поліноміальний час . У будь-якому випадку, якщо поліноміальний алгоритм обчислення дискретного логарифму буде реалізовано, це означатиме практичну непридатність криптосистем на його основі.